Post on 17-Apr-2015
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
1
Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas LTI Contínuos
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
2
Modelos no Domínio do Tempo de Sistemas LTI Contínuos
• Existem basicamente 3 técnicas de modelagem para sistemas de tempo contínuo:– Equações diferenciais como uma representação matemática dos
relacionamentos de entrada e saída.– Diagrama de blocos como uma representação de relacionamento
entre entrada, saída e estados internos.– Modelos de estados que são o equivalente dos diagramas de
bloco.
• Iremos estudar as equações diferenciais.• Comum as 3 técnicas de modelagem é o uso de sinais
dependentes do tempo, nos quais a derivada e a integral com relação ao tempo possui um papel importante.
• Portanto estes tipos de modelo de sistemas podem ser classificados como “modelos no domínio do tempo”.
• Seus componentes são “modelos no domínio da frequência”.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
3
Equações Diferenciais
• Nosso objetivo é achar um modelo de sistema sem detalhes de sua implementação.
• Nós usaremos um circuito elétrico e iremos supor que este é um sistema LTI composto por resistências ôhmicas, indutores e capacitores ideais.
• Desta forma poderemos considerar o uso de equações diferenciais com coeficientes constantes na qual somente os sinais de entrada e saída e seus derivados ocorrem.
• Este tipo de análise simplifica sistemas mecânicos, pneumáticos, hidráulicos e térmicos a equações diferenciais.
• O mesmo se aplica a outros tipos de sistemas: química, biologia, economia, etc.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
4
Equações Lineares com Coeficientes Constantes
• Equações diferenciais estabelecem relações entre derivadas de quantidades dependente com respeito a variáveis independentes.
• Elas são chamadas equações diferenciais ordinárias se as derivadas somente ocorrem com respeito a uma das variáveis independentes (ex.: tempo)
• Equações diferenciais com derivadas com respeito a mais que uma variável independente (ex.: tempo e 3 coordenadas espaciais) são chamadas equações diferenciais parciais.
• Uma equação diferencial é linear se as derivadas individuais são somente multiplicadas por fatores e combinados por adição.
• Adicionalmente, se os fatores das derivadas não dependem das variáveis independentes, o termo equação diferencial com coeficientes constantes é usado.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
5
Para Modelar Sistemas Contínuos
• Somente precisamos de equações diferenciais ordinárias com o tempo como a única variável independente.
• Em tais equações os sinais de entrada e saída do sistema devem ocorrer como variáveis dependentes.
• Sistemas Lineares Invariantes no Tempo podem ser modelados por equações diferenciais com coeficientes constantes.
• Exemplo de Equações Diferenciais Lineares
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
6
Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes
• O maior índice N de um coeficientes diferentes de zero N determina o que é chamado a ordem da equação diferencial.
• Para simplificar, vamos considerar M N (sistema realizável) e permitir algum, mas não todos os coeficientes βk serem iguais a zero.
• Para uma dada função x(t) existem até N diferentes soluções y(t) linearmente independentes a equação acima.
• Para uma solução particular, nós precisamos dar N condições.
• Para problemas de condição inicial, estas poderiam ser as N condições inicias:
• A equação diferencial acima descreve um sistema contínuo no tempo, sendo x(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
7
Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes
• Se o sinal de entrada x(t) for representado por f(t) e β por b então podemos escrever:
• Onde todos os coeficientes i e βi são constantes. Usando a notação operacional D para representar d/dt nós podemos representar esta equação como:
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
8
Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes
• Ou:
• Onde os polinômios Q(D) e P(D) são:
• Teoricamente as potências n e m nas equações acima poderiam assumir qualquer valor.
• Considerações práticas com relação a ruídos, por outro lado, requer que m n.
• Ruído é qualquer sinal indesejável originado da natureza ou pela ação do homem, o qual interfere com o sinal desejado no sistema.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
9
Forma Geral de Equação Diferencial Linear Ordinária com Coeficientes Constantes
• Infelizmente, ruído é um sinal banda larga contendo componentes de todas as frequências desde zero a infinito.
• Por esta razão o ruído contém uma quantidade significante de componentes variando rapidamente com derivadas que são consequentemente muito grande.
• Portanto qualquer sistema onde m > n irá amplificar os componentes de alta frequência do ruído através de diferenciais.
• E desta forma é possível que o ruído seja tão amplificado que ele venha a sobrepujar o sinal de saída do sistema mesmo que o sinal de ruído de entrada do sistema seja toleravelmente pequeno.
• Portanto iremos considerar no máximo m = n para que o sistema seja realizável.
• Ou seja, para que o sistema seja realizável (causal), é necessário que o número de zeros seja igual ao número de pólos.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
10
Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes
• A equação diferencial anterior descreve um sistema contínuo no tempo, se x(t) é o sinal de entrada, e y(t) é o sinal de saída.
• A equação também representa um sistema invariante no tempo, pois para t’=t-ζ temos que x(t-ζ) leva a solução y(t-ζ).
• Para mostrar a linearidade nós consideramos 2 sinais de entrada x1(t) e x2(t) e as soluções correspondentes y1(t) e y2(t) .
• Colocando as equações lineares
• Dentro da equação diferencial anterior, verificamos que
• É uma solução da equação diferencial, e portanto o sinal de saída do sistema.
• Concluímos que todo sistema que pode ser modelado usando equações diferenciais lineares com coeficientes constantes é portanto um sistema LTI.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
10
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
11
Equações Diferenciais com Coeficientes Constantes
• Isto significa que nós achamos nosso primeiro método para modelar tais sistemas na forma de equação diferencial.
• Este método preenche nosso requerimento inicial:– Modelagem de um sistema LTI independente de sua
realização.– Representação dos relacionamentos de entrada-
saída, sem detalhes do comportamento interno do sistema.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
11
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
12
Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
12
A aplicação da Lei da soma das tensões de Kirchhoff permite:
Usando as Leis de corrente-tensão de cada elemento (indutor, capacitor e resistor) nós podemos expressar esta equação como:
Diferenciando ambos os lados desta equação obtemos:
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
13
Exemplo-1: Para o filtro RLC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a corrente de saída y(t)
• A equação diferencial anterior é o relacionamento de entrada-saída entre a entrada f(t) e a saída y(t).
• Prova ser conveniente usar uma notação compacta D para o operador diferencial d/dt. Portanto:
• Com esta notação a equação achada anteriormente pode ser expressa como:
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
13
O operador diferencial é o inverso do operador integral, podemos portanto usar o operador 1/D para representar integração.
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
14
Exemplo-2: Para o filtro RC da figura abaixo, determine a equação de entrada/saída relacionando a tensão de entrada f(t) com a tensão de saída y(t).
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
14
A substituição do resultado na equação anterior permite:
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
15
Sinais de Entrada
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
16
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
17
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
18
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
19
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
20
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
21
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
22
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
23
Tempo de Subida (Tr) e Tempo de Assentamento ou Acomodação (Ts)
• Tempo de Subida é o tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do seu valor final. É dado por Tr=2,2/a (2,31/a – 0,11/a)=2,2/a
• Tempo de assentamento é o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí permaneça. Fazendo c(t)=0,98 achamos Ts=4/a
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
24
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
25
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
26
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
27
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
28
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
29
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
30PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
30
Tabela de Transformadas de Laplace
PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
31PRINCÍPIOS DE CONTROLE - RCBETINI
31
Tabela de Transformadas de Laplace (continuação)