Probabilidade e Estatística

PUC - GOIÁS

O que é Estatística ?

ESTATÍSTICA: conjunto de técnicas que permite,

de forma sistemática, coletar, organizar, descrever,

analisar e interpretar dados oriundos de estudos

ou experimentos, realizados em qualquer área do

conhecimento.

Algumas Atividades que Envolvem Estatística.

• Área Social: O censo populacional.

• Área Industrial: Confiabilidade de

Sistemas, Controle Estatístico de

Qualidade, etc.

• Área Agropecuária: Identificação de

melhores formas de manejo, etc.

• Área Bancária: Concessão de Crédito,

Atuária.

• Marketing: Pesquisas de Mercado,

Inferência, etc.

Principais Áreas da Estatística

• Estatística Descritiva: Utilizada na etapa inicial da análise, quando tomamos contato com os dados pela primeira vez. É o conjunto de técnicas destinadas a descrever e resumir os dados a fim de que possamos tirar conclusões a respeito da característica de interesse.

• Probabilidade: Teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório.

• Inferência Estatística: Estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação, a um grande conjunto de dados, das informações e conclusões obtidas a partir de subconjuntos de valores, usualmente de dimensão muito menor.

Exemplos de Aplicação

• Comparação entre tratamentos ou processos:

Produção Produção

Tratamento Tipo 1

x11 x12 x1n ... x21 x22 x2n ...

Tratamento Tipo 2

Tipo 1

é mais

produtivo

do que o

Tipo 2?

Raciocínio Estatístico

População Dados Amostragem

Estatística

Descritiva

Inferência Estatística

(Probabilidade)

Com Suporte Computacional

Técnicas de Amostragem

AMOSTRAS

Noções Básicas

• Definição de População: Ao grande conjunto de

elementos que contém determinada característica

comum, que temos interesse recebe o nome de

população.

Ex1: Toda a população brasileira.

População 1

Noções Básicas

Quando observamos todos os dados, procedemos ao Censo.

Exemplo: Examinar todos os brasileiros quanto a condição de nutrição.

População

Qual é a proporção de

brasileiros desnutridos?

• Um parâmetro é uma medida numérica que descreve uma

característica de uma população. Ex: 20% dos brasileiros estão

desnutridos.

Noções Básicas

Quase não se trabalha com população.

• Alto custo da pesquisa/experimento (material, pessoal,

logística, etc);

• Resultados demorados;

• Razões Éticas (experimentos com animais);

• Impossibilidade (Linha de produção, sangue, etc).

Motivos Principais

Noções Básicas: Amostra.

População

• Estatística: é uma medida numérica que descreve uma

característica de uma amostra. Ex: média da altura da pop.

Brasileira, proporção de desnutridos, etc.

Amostra

Definição: subconjunto da população, em geral com

dimensão sensivelmente menor.

x : Estatística.

Noções Básicas: Amostra.

Vantagens da Amostragem.

•Baixo custo operacional.

• Maior rapidez na execução da pesquisa ou estudo.

• Maior segurança nos resultados

Tipos de Amostragem

Amostra casual simples: Existência de um “frame”. Todos os elementos da população

devem ter chance igual de escolha. Procedimento baseado no sorteio aleatório.de

escolha.

Figura 1: Sorteio Aleatório

Tipos de Amostragem

Amostra Estratificada: Na amostra estratificada os elementos são

provenientes de todos os estratos da população.

Ex: Pesquisas em um cidade; pesquisas em florestas; etc.

Em cada estrato é feito o sorteio aleatório.

Tipos de Amostragem

Amostra Sistemática: Na amostra sistemática os elementos são

escolhidos não por acaso, mas por um sistema.

No primeiro período o sorteio é aleatório.

Exemplo: Linha de Produção; Pesquisas em formulários;

Tipos de Amostragem

Amostra por conglomerado: Amostra feita em vários estágios.

Maior economia.

Ex: Em uma pesquisa feita no pais, primeiro sorteamos os estados,

depois as cidades, depois os bairros, os setores censitários, os

domicílios e os indivíduos.

Tipos de Amostragem: Exercícios

1. Obtém-se uma amostra de um produto extraindo-se cada 100º unidade da linha

de produção;

2. Um fabricante de automóveis faz um estudo de mercado compreendendo

testes de direção feitos por uma amostra de 10 homens e 10 muheres em cada

uma das quatro diferentes faixas etárias;

3. Geram-se números aleatórios em um computador para selecionar números de

séries de carros a serem escolhidos para uma amostra teste.

A- Identifique o tipo de amostra:

4. Em uma linha de produção são produzidos 1000 comprimidos por hora,

sabendo que a linha funciona por 8 horas seguidas por dia e que deve ser

extraída uma amostra de 400 comprimidos por dia, qual seria o processo de

amostragem mais indicado e como seria a seleção dessa amostra?

Análise Exploratória de Dados

Estatística Descritiva 1

Organização dos dados em

Tabelas?

O que é uma variável ?

• Variável é uma característica, propriedade ou atributo de uma unidade da população, cujo valor pode variar entre as unidades da população.

• Variáveis Qualitativas ou Categóricas: Quando os possíveis valores assumem

atributos ou qualidades. Ex: sexo, cor, escolaridade, doença, condição do ar, condição

da água, etc.

Tipos de Variáveis

• Variáveis Quantitativas ou de Medidas: Quando seus valores são expressos em

números. Ex: altura, peso, número de filhos, pH, concentração do reagente, etc .

Especificando os tipos de variáveis

As variáveis qualitativas podem ser classificadas ainda como:

• Ordinais: quando o atributo tem uma ordenação natural, indicando intensidade crescente de realização. Ex: grau de escolaridade, classe social, condição do ar, condição da água,estado clínico, etc.

• Nominais: quando o atributo não se estabelece ordem. Ex: sexo, cor, raça, doença, etc.

Já as variáveis quantitativas podem ser:

• Discretas: resultantes de contagens, assumindo assim, em geral valores inteiros. Ex:

número de filhos, número de peças defeituosas, nº de pessoas doentes na região, etc.

• Contínuas: assumem valores em intervalos de números reais e geralmente, são

provenientes de uma mensuração. Ex: peso, altura, pH,concentração do reagente, etc..

Resumo geral: tipo de variável

Variável

Qualitativa

Quantitativa

ordinal

nominal

contínua

discreta

Exercícios

Apresentação dos dados em tabela

Tabela 1.1: Número de Nascimentos segundo o sexo

Fonte: E.W.

Sexo Freqüência

Masculino 10

Feminino 8

Total 18

Para efeito de comparação: Tabela de

freqüência relativa

Tabela 1.2: Número de Nascimentos segundo sexo.

Fonte: E.W.

Sexo Freqüência Freqüência relativa(%)

Masculino 10 55,56%

Feminino 8 44,44%

Total 18 100,00%

Tabelas de distribuição de freqüência.

Quando os dados são quantitativos contínuos, não conseguimos resumir a

informação da mesma forma anterior. Neste caso precisamos organizar os dados

em uma tabela de distribuição de freqüências. Veja os dados abaixo,

2,522 3,200 1,900 4,100 4,600 3,400

2,720 3,720 3,600 2,400 1,720 3,400

3,125 2,800 3,200 2,700 2,750 1,570

2,250 2,900 3,300 2,450 4,200 3,800

3,220 2,950 2,900 3,400 2,100 2,700

3,000 2,480 2,500 2,400 4,450 2,900

3,725 3,800 3,600 3,120 2,900 3,700

2,890 2,500 2,500 3,400 2,920 2,120

3,110 3,550 2,300 3,200 2,720 3,150

3,520 3,000 2,950 2,700 2,900 2,400

3,100 4,100 3,000 3,150 2,000 3,450

3,200 3,200 3,750 2,800 2,720 3,120

2,780 3,450 3,150 2,700 2,480 2,120

3,155 3,100 3,200 3,300 3,900 2,450

2,150 3,150 2,500 3,200 2,500 2,700

3,300 2,800 2,900 3,200 2,480

3,250 2,900 3,200 2,800 2,450

Tabela 1.7: Peso ao nascer de nascidos vivos, em quilogramas

Fonte: IBGE

Exemplo de tabela de distribuição de

freqüência.

Classe Ponto médio Freqüência

1,5 |--- 2,0 1,750 3

2,0 |--- 2,5 2,250 16

2,5 |--- 3,0 2,750 31

3,0 |--- 3,5 3,250 34

3,5 |--- 4,0 3,750 11

4,0 |--- 4,5 4,250 4

4,5 |--- 5,0 4,75 1

Tabela 1.9: Peso de recém nascidos.

Numa tabela de distribuição de freqüência também podem ser apresentados os

pontos médios de classe. O ponto médio é dado pela soma dos extremos de uma classe,

dividida por 2. Para a classe 1,5 |--- 2,0, o ponto médio é: (1,5+2)/2=1,75.

Cálculo da amplitude de classes

• Ordenar os dados

•Intervalo da amostra= Maior valor – menor valor

• Número de classes = raiz de n =

• Amplitude =

• Construir os intervalos = limite inferior + amplitude

Representação Gráfica de Dados

Gráfico de Setores ou Pizza. Usado para representar variáveis qualitativas, quando os

dados apresentam poucas características.

Figura1.1: Fonte de Emissão de CO na RMSP-2003.

Gasolina Alcool Diesel

Gráfico de Barras.

Gráfico de barras bastante usado com variáveis qualitativas e quantitativas

discretas. Ideal para quando temos várias classes de categorias.

Figura 1.2: Distribuição das reclamações via 0800.

Mau atendimento Troca de mercadoria Mercadoria com defeito Falta de variedade

Reclamações

Histograma O histograma é a representação gráfica para variáveis quantitativas

contínuas. Este tipo de representação mostra a forma da distribuição

da variável. É de fundamental importância na aplicação dos conceitos

de inferência estatística

Figura 1.3: Histograma do Peso Recém Nascido.

Ponto médio

Espalhamento

dos dados

Diagramas de Dispersão

Quando temos dados emparelhados e desejamos verificar de existe uma

associação entre esses dados, usamos como análise preliminar o diagrama

de dispersão.

Figura 1.5- Diagrama de dispersão: Temperatura X Rendimento de PQ.

0 20 40 60 80 100 120

Temperatura

Medidas de Centralidade.

Medidas de Posição.

Cálculo de Médias

Brutos. Dados 1

Tabelas. .1

classes. de número =k

amostra. da tamanho=n

.frequência da elemento ésimo-i = n

relativa. frequência da elemento ésimo-i = f

contínua. variávelda médio ponto oou amostra da elemento ésimo-i = x

Medidas de Centralidade

• Média Aritmética de um conjunto de valores é o

valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o

total pelo número de valores.

Exemplo 1: Os valores em gramas referentes aos pesos de

recém nascidos de uma pequena cidade em um dia específico

foram: 2500, 2350, 3400, 3280, 2650, 4010 e 2910.

Assim o peso médio é calculado como:

28,30147

2910...23502500

Medidas de Centralidade Se os dados apresentam observações extremas, a média pode

não ser a medida mais indicada para centralidade, pois sobre influência direta de observações extremas. Por exemplo:

Em uma pesquisa sobre salário de um Tecnólogo em Química Fármaco Industrial observamos os seguintes valores: $1000,00; $1200,00; $1800,00; $2500,00; $2700,00 ; $3200,00 e $15000,00

A média é: 3914,28. Essa medida é representativa para este

conjunto de dados.

Solução: O uso da mediana.

Mediana (Me) é o valor que divide a amostra ou população em

duas partes iguais.

Para o exemplo, Me = $2500,00

1 2 3 4 5 6 7

Dados Média Mediana

Figura 2.1 : Salários dos Tecnólogos

Como calcular a mediana?

Se o número de observações na amostra ou

população for impar, então a mediana será o elemento de

ordem , ou seja :

1nxMe2

Se o número for de ordem par, então a mediana será a média

entre os elementos centrais ou seja:

Exemplos para o cálculo da Mediana:

Serie 1: 12, 124, 32, 10, 18, 29 e 100 n= 7; impar

Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 100 e 124.

xxMe n

Serie 2: 12, 124, 32, 10, 18 e 29 n= 6; par.

Ordenar : 10, 12, 18, 29, 32, 124.

)4()3(1

Medidas Separatrizes

As medidas de posição possibilitam um melhor entendimento dos dados, focalizando sua posição relativa em relação ao conjunto como um todo.

Mediana: divide os dados ordenados em duas partes iguais.

Quartis: Dividem os dados ordenados em 4 partes iguais.

Decis: Dividem os dados ordenados em 10 partes iguais.

Percentis: Dividem os dados ordenados em 100 partes

iguas.

Medidas Separatrizes

Calculando o percentil (medida geral)

Ordenar a série de n observações em ordem crescente de valores, definimos

como 0% à posição de ordem 1 e 100% a observação de ordem n. Portanto

uma observação com ordem x terá uma posição p.

Posição

Medidas Separatrizes • Usando a semelhança de triângulos, vamos ter:

.observação dessa percentil o é :

.observação adeterminad uma de ordem a é:

série. na sobservaçõe de totalnúmero :

%100*1

*)1( P

Medidas Separatrizes: Exemplo1.

Série de 27 32 64 65 58 62 59 54 29 30 26 48 47

Dados 46 43 38 29 32 35 37 31 43 45 42 37 36

Calcular o valor da observação para o percentil P = 32%.

Série 26 27 29 29 30 31 32 32 35 36 37 37 38

Ordem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Série 42 43 43 45 46 47 48 54 58 59 62 64 65

Ordem 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Primeiro Passo: Ordenar os dados.

Medidas Separatrizes: Exemplo.

Agora vamos encontrar a ordem x correspondente:

32*)126(1

100*)1(

Portanto o valor na série de ordem x=9 é 35. Ou seja,

o valor que separa a série de dados entre os 32%

menores valores é 35.

Descritiva 4

Medidas de dispersão.

Medidas de dispersão Problema:

Uma empresa farmacêutica realiza um teste com dois

medicamentos para a mesma finalidade em um grupo de 14 pessoas,

sendo que 7 tomaram o medicamento A e as outras 7 o B.O tempo de

reação foi anotado para cada individuo:

Tabela 1: Tempo de reação dos medicamentos.

Fonte: E.W.

As médias para os dois grupos são iguais. Qual é o melhor medicamento?

Média

Med.A 15 61 48 16 72 17 16 35

Med.B 35 35 36 34 33 35 37 35

Tempo de Reação

Medida de Dispersão Só utilizando a média como medida resumo para um conjunto de

dados, não vamos ter uma boa representação. Necessitamos de outras

medidas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão dos valores em

torno da média. As medidas de dispersão medem a representatividade da

média. Tempo de Reação dos Medicamentos

1 2 3 4 5 6 7

Pacientes

Média

Medidas de Dispersão

• Amplitude Total: Diferença entre o maior e menor valor da série de dados. No exemplo temos.

43337 :MedB

571572 :MedA

Temos uma idéia da dispersão.

Problema: Depende dos valores extremos.

Não é avaliada a dispersão dos valores internos.

Os desvios de uma série de dados com relação a média são dados

.,...,2,1 onde , nixxi

Portanto o desvio médio seria uma boa taxa de dispersão

entre os dados. No entanto:

Medidas de Dispersão.

Confirmando o resultado.

Med.A Med.B

ix )( xxi ix )( xxi

15 -20 35 0

61 26 35 0

48 13 36 1

16 -19 34 -1

72 37 33 -2

17 -18 35 0

16 -19 37 2

Soma 0 Soma 0

Tabelas. 1

Brutos. Dados 1

Variância Amostral: É dada quando trabalhamos com

amostras.

Calculando a variância amostral para o MedA, temos:

)3516(...)3561()3515( 2222

Calcular a variância para o MedB.

666.16

)3537(...)3535()3535( 2222

O valor da variância é sempre positivo.

Algumas conclusões relacionadas com a variância.

Quando todos os elementos da série são iguais, a variância

é igual a zero.

O valor da variância é uma medida em escala diferente dos

dados.

Para resolver o problema da diferença de escala entre variância

e os dados, utilizamos o desvio padrão. O desvio padrão é a

raiz quadrada da variância.

Grupo A: S = 24,698. Grupo B : S = 1,29.

Para o exemplo anterior.

Variância Populacional

Tabelas. )(

Tabelas 1

Brutos. Dados 1

xxfXVar

Coeficiente de variação: Mede a variabilidade em termos relativos, dividindo o desvio padrão pela média.

Baixa: menor que 10%

Médio: de 10% a 20%

Alto: de 20% a 30%

Muito Alto: acima de 30%

Índices para avaliar a variação dos dados.

Exercícios

Introdução à Teoria das Probabilidades

JOELMIR FELICIANO

Conceitos Básicos

Experimento Aleatório ou Fenômeno Aleatório

Situações ou acontecimentos cujos resultados não podem ser previstos com

certeza.

Exemplos:

• Condições climáticas do próximo domingo;

• Taxa de inflação do próximo mês;

• Resultado ao lançar um dado ou moeda;

• Tempo de duração de uma lâmpada.

Espaço Amostral ()

Conjunto de todos os possíveis resultado de um experimento aleatório ou

fenômeno aleatório.

Exemplos:

1. Lançamento de um dado. ={1,2,3,4,5,6}

2. Tipo sanguíneo de um individuo. ={A, B, AB,0}

3. Opinião de um eleitor sobre um projeto. ={Favorável,Contrário}

4. Tempo de duração de uma lâmpada ={t; t>0)

Evento subconjunto do espaço amostral

Notação: A, B, C,...

Exemplos: No exemplo 1, alguns eventos:

A: sair face par: A={2,4,6}

B: Sair face maior que 3 B={4,5,6}

C: sair face 1 C={1}

D: sair face 7 D={ } (evento impossível)= (conjunto vazio)

Operação com eventos

Sejam os eventos A e B definidos no mesmo espaço amostral

•AB: União dos eventos A e B.

Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B

•AB: Intersecção dos eventos A e B.

Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em

comum, isto é, AB=

• A e B são complementares se sua intersecção é vazia e sua união o espaço

amostral, isto é. AB= e AB= .

• O complementar de um evento A é representado por AouAC

• A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}

• A C = {2, 4, 6} {1} =

• A B: = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}

• A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}

Exemplo: Lançamento de um dado

• AC = {1, 3, 5}

Probabilidade

Pergunta: Como atribuir probabilidade aos

elementos do espaço amostral?

Definições de probabilidades

Definição Clássica ou a priori

Se um experimento aleatório tiver n() resultados mutuamente exclusivos e

igualmente prováveis e se um evento A tiver n(A) desses resultados. A

probabilidade do evento A representado por P(A), é dado por:

Exemplo: Considere o lançamento de 2 dados balanceados. Calcular a

probabilidade de:

a) Obter soma 7;

b) Obter soma maior que 10;

c) Que o resultado do primeiro dado seja superior ao resultado do segundo.

6,65,64,6

6,55,54,5

6,45,44,4

3,62,61,6

3,52,51,5

3,42,41,4

6,35,34,3

6,25,24,2

6,15,14,1

3,32,31,3

3,22,21,2

3,12,11,1

a) A={(1,6),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(6,1)} P(A)=n(A)/n()=6/36=1/6

b) B={(5,6),(6,5),(6,6)} => P(B) = 3/36.

c) P(C)= 15/36.

Suponhamos que realizamos um experimento n vezes (n grande) e destas o

evento A ocorre exatamente r<n vezes, então a frequência relativa de vezes

que ocorreu o evento A, “r/n”, é a estimação da probabilidade que ocorra o

evento A, ou seja,

rAP )(

Essa estimação da probabilidade por frequência relativa de um evento A, é

próxima da verdadeira probabilidade do evento A, quando n tende ao infinito.

Definição frequentista ou a posteriori

Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. Calcular a probabilidade de

A={ resultado obtido é cara}.

fr1 fr2 fr3 fr4 frA

Cara 2/5 6/10 22/50 47/100 0,5

Coroa 3/5 4/10 28/50 53/100 0,5

n 5 10 50 100

Definição axiomática

A probabilidade de um evento A define-se com o número P(A), tal que satisfaz os

seguintes axiomas:

AASeiii

então ,exclusivos mutuamente eventos são ,,)(

,1)(0)(

Propriedades

)()()()()()()(

)()()()(,,.4

)()(,.3

)(1)(,.2

CAPCBPBAPCPBPAPCBAP

entãoCBASe

BAPBPAPBAPentãoBASe

BPAPentãoBASe

APAPentãoASe

Regra da adição de probabilidades

Exemplo 1. Na tabela 1, apresenta-se a composição por raça e sexo de uma

população de um país.

Tabela 1: Distribuição da população por raça e sexo.

Raça Masculino Feminino

Branca 1726384 2110253 3836637

Outra 628309 753125 1381434

Total 2354693 2863378 5218071

Suponha que selecionamos um habitante desse país e consideremos os

eventos:

H: "o habitante selecionado é do sexo masculino"

Hc:"o habitante selecionado é do sexo feminino"

B: "o habitante selecionado é da raça branca"

Bc: "o habitante selecionado é de outra raça"

H B : "o habitante selecionado é de sexo masculino e da raça branca"

H B : "o habitante selecionado é de sexo masculino ou da raça branca"

Hc B : "o habitante selecionado é de sexo feminino e da raça branca"

Hc B : "o habitante selecionado é de sexo feminino ou da raça branca"

Hc Bc :"o habitante selecionado é de sexo feminino e de outra raça "

Hc Bc "o habitante selecionado é de sexo feminino ou de outra raça"

As probabilidades de cada um destes eventos são:

.880,0404,0739,0549,0

)()()()(

;404,05218071

2110253)(

;855,0331,0735,0451,0

)()()()(

331,05218071

1726384)(

;265,0735,01)(1)(

735,05218071

3836637)(

;549,0451,01)(1)(

;451,05218071

2354693)(

BHPBPHPBHP

Probabilidade Condicional e Independência

Definição:[Probabilidade condicional] Sejam A e B dois eventos em um mesmo

espaço amostral, , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu o

evento B, é representado por P(A|B) é dado por:

Exemplo 2. Selecionamos uma semente, ao acaso, uma a uma e sem

reposição de uma sacola que contem 10 sementes de flores vermelhas e 5

de flores brancas. Qual é a probabilidade de que :

(a) a primeira semente seja vermelha. ?

(b) a segunda seja branca se a primeira foi vermelha.?

(1) .0)(,)(

BAPBAP

Sejam os eventos:

branca" é semente 2 :"V

; vermelha"é semente 2A " :

branca" é semente 1A :"V

; vermelha"é semente 1A " :

10)( 1 VP

(b) 14

5)|( 12 VVP c

Essas probabilidades podem ser representados em um diagrama da árvore

de probabilidades, a qual é mostrado na figura 1

Figura 1: Diagrama de árvore de probabilidade

Da expressão (1), pode-se deduzir uma relação bastante útil,

),|()()( BAPBPBAP

Que é conhecida como regra do produto de probabilidades ou probabilidade da

interseção

• 1 • Total

• V1c V2

V1c V2

• V1V2c

• V1V2

• Probabilidade • Resultados

Exemplo 3: No exemplo 2, suponha que temos interesse em determinar a

probabilidade que as duas sementes selecionadas sejam brancas.

5)|()()P(

brancas" são semente2 e 1 a " : é evento O

VVPVPVV

Teorema 1: Se B é um evento em , tal que P(B)>0, então:

).|()|()|()|(

:,,,.3

)|P(A1)|()|(1)|P(A:então ,BA, Se .2

0)|(.1

BCAPBCPBAPBCAP

entãoCBASe

BBAPouBAPB

Exemplo 3: Na Cidade de São Paulo, a probabilidade de chuva no primeiro dia de

setembro é 0,50 e a probabilidade de chuva nos dois primeiros dias de setembro

é 0,40. Se no primeiro de setembro choveu, qual é a probabilidade que no dia

seguinte não chova ?

Solução: Sejam os eventos: A:” chove no primeiro de setembro”, B:”chove no

segundo dia de setembro”.

Do enunciado do problema temos : P(A)=0,50 e P(AB)=0,40. A probabilidade

pedida é:

20,050,0

)(1)|(1)|(

BAPABPABP c

* Pelo teorema 1.2.

Definição[Independência de eventos] Dois eventos A e B são independentes se a

informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência

de A. Isto é,

P(A|B)=P(A), P(B)>0

Conseqüentemente, temos que dois eventos A e B são independentes se

somente se,

P(AB)=P(A)P(B).

Exemplo 4: Em uma escola 20% dos alunos tem problemas visuais, 8%

problemas auditivos e 4% tem problemas visuais e auditivos. Selecionamos um

aluno desta escola ao acaso:

(a) os eventos de ter problemas visuais e auditivos são eventos independentes?

(b) se aluno selecionado tem problemas visuais, qual é a probabilidade de que

tenha problemas auditivos?

(c)qual é a probabilidade de não ter problemas visuais ou ter problemas auditivos

V:” o aluno tem problemas visuais”

A:” o aluno tem problemas auditivos”.

Do enunciado temos: P(V)=0,20, P(A)=0,08 e P(AV)=0,04.

84,008,0

04,0108,008,02,01

)(1)()()(1

)|(1)()()(1)|()()()(1

)()()()()(

.20,020,0

)()|()(

.),()()( Como

.04,0)(

016,008,02,0)()()(

AVPAPAPVP

AVPAPAPVPAVPAPAPVP

AVPAPVPAVPc

AVPVAPb

tesindependensãonãoVeAAPVPAVP

Solução: sejam os eventos:

Teorema 2: Se A , B eventos em são eventos independentes, então:

tesindependen são (iii)

tesindependen são )(

tes.independen são )(

Exemplo 5: Um atirador acerta 80% de seus disparos e outro (na mesmas

condições de tiro), 70%. Qual é a probabilidade de acertar se ambos atiradores

disparam simultaneamente no alvo.? Considere que o alvo foi acertado quando

pelo menos, uma das duas balas tenha feito impacto no alvo.

.94,0]7,01][8,01[1)P(B1)P(B11

)()(1)(1)(

:forma segunda uma de resolvidoser pode exemplo, este amenteAlternativ

94,07,08,07,08,0

)(B)P(B)P(B)P(B

)()P(B)P(B)(

,.7,0)(

8,0)P(B 1,2.i ,alvo" o acerta atirador o:"B :eventos os Sejam

212121

BPBPBBPBBP

BBPBBP

LogoBP

Teorema de Bayes

Definição [Partição do espaço amostral]. Uma coleção de eventos

kBB ,,1 formam uma partição do espaço amostral se eles não têm

intersecção entre si e sua união é igual ao espaço amostral.

e ji para

iji BBB

Teorema da probabilidade total. Se kBB ,,1 , formam uma partição

do espaço amostral , então qualquer evento A em , satifaz:

iikk BAPBPBAPBPBAPBPAP1

11 )|()()|()()|()()(

Teorema Bayes. Se kBB ,,1 , formam uma partição do espaço amostral , e A é qualquer evento

em , então:

BAPBPABP

)|()()|(

Exemplo 6: Uma montadora trabalha com 2 fornecedores (A e B) de uma

determinada peça. As chances de que uma peça proveniente dos

fornecedores A e B esteja fora das especificações são 10% e 5%

respectivamente. A montadora recebe 30% das peças do fornecedor A e

70% de B. Se uma peça do estoque inteiro é escolhido ao acaso:

(a) Calcule a probabilidade de que ela esteja fora das especificações.

(b) Se uma peça escolhida ao acaso está fora das especificações, qual é a

probabilidade que venha do fornecedor fornecedor A ?

Solução:

Sejam os eventos:

A: “ peça selecionada seja do fornecedor A”

B:” peça selecionada seja do fornecedor B”

E:” peça selecionada esteja fora das especificações”

Do enunciado do problemas temos:P(A)=0,30; P(B)=0,70; P(E|A)=0,10 e

P(E|B)=0,05.

(a) P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)P(E|B)=(0,30)(0,10)+(0,70)(0,05)=0,065

(b) P(A|E)=?

Pelo teorema de Bayes temos:

0,46065,0

05,070,010,030,0

10,030,0

)|()()|()(

)|()()|(

BEPBPAEPAP

AEPAPEAP

A solução do exemplo anterior é facilitada pelo diagrama de árvore de

probabilidades.

Pelo teorema da probabilidade total temos:

Variáveis

Aleatórias

Discretas.

Variáveis

Aleatórias

Contínuas.

Distribuições

Amostrais.

Capítulo 8

Estimativa do Intervalo

de Confiança

Objetivos:

Neste capítulo, você aprenderá:

• Construir e interpretar estimativas de intervalos de confiança para a média aritmética e para a proporção

• Determinar o tamanho da amostra necessário para desenvolver um intervalo de confiança para a média aritmética ou para a proporção

• Utilizar estimativas de intervalos de confiança na análise de dados.

Tópicos

1. Intervalos de confiança para a média populacional, μ

– Quando o desvio-padrão da população σ é conhecido

– Quando o desvio-padrão da população σ é desconhecido

2. Intervalos de confiança para a proporção populacional, π

3. Determinação do tamanho da amostra necessário

Estimativa Pontual

• Uma estimativa pontual é um número único. Para a média populacional (e desvio-padrão populacional), a estimativa pontual é a média amostral (e o desvio-padrão amostral).

• O intervalo de confiança traz informações adicionais sobre a variabilidade da estimativa.

Estimativa Pontual

Limite Inferior do

Intervalo

Limite Superior do

Intervalo

Largura (amplitude) do

Intervalo de Confiança

Estimativas do Intervalo de

Confiança

• Um intervalo de confiança dá um intervalo de

valores possíveis:

– Leva em consideração a variação na estatística

amostral que ocorre de amostra para amostra

– Baseada em todas as observações de 1 amostra

– Dá informações sobre a proximidade do

parâmetro populacional desconhecido

– Estabelecido em termos do nível de confiança

• Ex. 95% de confiança, 99% de confiança

• Não pode ser nunca 100% de confiança

Estimativas do Intervalo de

Confiança

• A fórmula geral de todos os

intervalos de confiança é:

Estimativa Pontual ± (Valor Crítico) (Desvio Padrão)

Nível de Confiança

• Nível de Confiança

– Confiança de que o intervalo conterá o

parâmetro populacional desconhecido

• Um percentual (menor que 100%)

Nível de Confiança • Suponha nível de confiança = 95%

• Também escrito (1 - ) = .95

• Uma interpretação da frequência

relativa:

– No longo prazo, 95% de todos os

intervalos de confiança que poderão

ser construídos conterão o parâmetro

desconhecido

• Um intervalo específico pode conter ou

não o parâmetro verdadeiro

Intervalo de Confiança para μ

(σ conhecido) Premissas

– Desvio-Padrão da população σ é conhecido

– População é normalmente distribuída

– Se a população não é normal, use amostras

grandes

Estimativa do Intervalo de Confiança:

(onde Z é o valor crítico em uma distribuição normal

padronizada para uma probabilidade α/2 em cada

cauda)

Encontrando o Valor Crítico,

Considere um intervalo de confiança de

Z= -1.96 Z= 1.96

α .025

Limite Inferior do Intervalo

Limite Superior do Intervalo

Z unidades:

X unidades: Estimativa

Pontual

Encontrando o Valor Crítico, Z

Intervalos de Confiança mais comuns: 90%, 95%, e 99%

Nível de

Confiança

Coeficiente

de Confiança

Valor Z

Intervalos e Nível de

Confiança

Intervalos de Confiança

Intervalos se extendem de:

(1-)x100%

dos intervalos

construídos

contém μ;

()x100% não.

Distribuição Amostral

da Média

/2 /21

(σ conhecido) Exemplo • Uma amostra de 11 circuitos

extraída de uma população normal

tem resistência média de 2.20

ohms. Sabemos de testes

anteriores que a população tem

desvio-padrão igual a .35 ohms.

• Determine o intervalo de confiança

a 95% para a verdadeira

resistência média da população.

(σ conhecido) Exemplo

2.4068) , (1.9932

.2068 2.20

)11(.35/ 1.96 2.20

Nós estamos 95% confiantes de que o intervalo entre 1.9932 e

2.4068 ohms contém a verdadeira média da população.

Apesar da verdadeira média poder ou não estar no intervalo,

95% dos intervalos formados desta maneira conterão a

verdadeira média da população

(σ desconhecido)

• Se o desvio-padrão da população σ é

desconhecido, nós podemos adotar

como aproximação o desvio-padrão

da amostra, S

• Isso introduz uma incerteza adicional,

já que S varia de amostra para

amostra

• Então, se n < 30 usamos a

distribuição t de Student ao invés da

distribuição normal

(σ desconhecido) Premissas:

– Desvio-padrão da população é desconhecido

– População é normalmente distribuída

– Se a população não for normal, use amostras

grandes

Se n < 30 Use Distribuição t de Student

Estime o intervalo de confiança:

(onde t é o valor crítico da distribuição t com n-1 g.l.

e uma área de α/2 em cada cauda)

StX 1-n

Distribuição t de Student

• O valor t depende dos graus de liberdade

(g.l.)

– Número de observações que estão livres

para variar após a média da amostra ter sido

calculada

g.l. = n - 1

Graus de Liberdade

Se a média dos valores é 8.0,

então X3 deve ser 9

(i.e., X3 não é livre para variar)

Aqui, n = 3, então os graus de liberdade são = n – 1 = 3 – 1 = 2

(2 valores podem ser qualquer número, mas o terceiro não é livre para

variar uma vez que a média está dada)

Ideia: Número de observações que estão

livres para variar após a média da amostra

ter sido calculada

Exemplo: Suponha que a média de 3 números

seja 8.0

• Seja X1 = 7

• Seja X2 = 8

• Qual o valor de X3?

Distribuição t de Student

t (gl = 5)

t (gl = 13) Distribuições t são em forma de sino e simétricas, mas têm caudas mais “gordas” que a normal

Normal Padrão (t com gl = ∞)

Observe: t Z à medida que n aumenta

Tabela da t de Student

Áreas da Cauda Superior

.25 .10 .05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

3 0.765 1.638 2.353

t 0 2.920

O corpo da tabela contém os

valores t, não as probabilidades

Seja: n = 3

gl = n - 1 = 2

/2 =.05

/2 = .05

Tabela da t de Student

(σ desconhecido) Exemplo

Uma amostra aleatória com n = 25 tem X = 50 e S = 8.

Construa um intervalo de confiança a 95% para μ

– g.l. = n – 1 = 24, então

– O intervalo de confiança é:

8(2,064)50

S1-n /2, tX

(46,698 ; 53,302)

Intervalos de Confiança para

a Proporção Populacional, π

• Uma estimativa intervalar para a

proporção populacional ( π ) pode

ser calculada acrescentando uma

incerteza à proporção amostral ( p )

a Proporção Populacional, π

Lembre-se que a distribuição da proporção amostral é

aproximadamente normal se o tamanho da amostra é

grande, com desvio-padrão

Nós estimaremos este valor a partir dos dados

amostrais:

)(1σp

a Proporção Populacional, π Os limites inferior e superior do intervalo de confiança da

proporção populacional são calculados com a fórmula:

– Z é o valor crítico na distribuição normal padronizada para o nível de confiança desejado

– p é proporção na amostra

– n é o tamanho da amostra

p)p(1Zp

Intervalos de Confiança para a

Proporção Populacional, Exemplo

Em uma amostra aleatória de 100 pessoas, 25 são

canhotas. Construa um intervalo de confiança para a

verdadeira proporção de canhotos na população com

95% de confiança.

00.25(.75)/196,125/100

p)/np(1p

0,3349) ; (0,1651

(.0433) 1,96 .25

Intervalos de Confiança para a Proporção

Populacional, Exemplo

• Nós estamos 95% confiantes de que a

proporção de canhotos da população

esteja entre 16,51% e 33,49%. Apesar

de o intervalo de .1651 a .3349 poder

ou não conter a proporção populacional

verdadeira, 95% dos intervalos

construídos a partir de amostras de

tamanho 100 conterão a verdadeira

proporção de canhotos na população.

Determinando o tamanho da

amostra • O tamanho de amostra desejado pode ser

definido de forma a obter uma determinada margem de erro (e) com um nível de confiança especificado (1 - )

• A margem de erro é também chamada de erro amostral

– O quão imprecisa é a estimativa do parâmetro populacional

– O montante somado e subtraído da estimativa pontual para formar o intervalo de confiança

amostra σ conhecido • Para definir o tamanho da amostra

para a estimativa da média, você

precisa conhecer:

– O nível de confiança desejado (1 - ),

que determina o valor crítico Z

– O erro amostral desejado (margem de

erro), e

– O desvio-padrão, σ

σZn Agora,

resolva para

amostra σ conhecido

Se = 45, que tamanho de amostra é necessário para estimar a média com uma margem de erro de ± 5 com 90% de confiança?

219,195

(45)(1,645)σ2

Então, o tamanho de amostra necessário é

n = 220

amostra para σ desconhecido

• Se σ desconhecido, n< 30 e a

distribuição é normal então usa-se

a distribuição t-student.

• Selecione uma amostra piloto e estime σ

a partir do desvio-padrão da amostra, S.

• Se σ desconhecido e n> 30, usa-se

a distribuição Normal

amostra σ desconhecido • Para definir o tamanho da amostra para a

estimativa da média com σ desconhecido, você

precisa conhecer:

– O nível de confiança desejado (1 - ), que

determina o valor crítico t.

– O erro amostral desejado (margem de erro), e

– O desvio-padrão amostral, s.

tn Agora,

resolva para

amostra para Proporção Para determinar o tamanho da amostra necessário

para a proporção, você precisa saber:

– O nível desejado de confiança (1 - ), que

determina o valor crítico Z

– O erro amostral aceitável (margem de erro), e

– A verdadeira proporção de “sucessos”, p

• π pode ser estimado a partir de uma amostra

piloto, se necessário (ou conservadoramente

use π = .50)

Resolvendo

para n n

amostra

•Qual o tamanho da amostra

necessário à estimativa da proporção

de defeituosos em uma grande

população, com uma margem de erro

de ±3%, e 95% de confiança?

• (Assuma que em uma amostra

piloto foi obtida a proporção p = .12

de defeituosos)

amostra

Solução:

Para 95% confiança, use Z = 1.96

e = .03

p = .12, então use este para estimar π

Então use n = 451

450,74(.03)

.12)(.12)(1(1,96))1(2

Determinando o IC e o

tamanho da amostra usando

o Fator de Correção Até o presente momento vimos a construção do intervalo de Confiança para a média considerando a obtenção de amostra com reposição.

Contudo existem várias situações onde isso não é possível, logo estamos tratando de amostras sem reposição ou amostras destrutivas.

Desta forma utilizaremos um fator de correção para que a probabilidade de amostra para amostra não se altere.

Fator de Correção • Se o tamanho da amostra for menor que 5% do

tamanho da população, a não reposição é

desprezada.

• Se o tamanho da amostra for maior que 5%

devemos então corrigir o intervalo, para

compensar os efeitos da não reposição.

N é o tamanho da população

n é o tamanho da amostra

(σ conhecido)

• Determinando o tamanho da

amostra σ conhecido

Intervalo de Confiança para a

Proporção, π

• Determinando o tamanho da

amostra a proporção π

p)p(1Zp

)1()1(

(σ desconhecido)

• Determinando o tamanho da amostra σ

desconhecido

Aplicações

• Seis vantagens da amostragem

estatística

– Resultados amostrais são objetivos e

defensáveis

• Desde que baseados em princípios

estatísticos demonstráveis

– Permite a estimativa do tamanho da

amostra previamente e com bases

objetivas

– Permite uma estimativa do erro

amostral

Aplicações – Permite conclusões mais precisas sobre a

população

• A análise de toda a população pode demandar muito tempo e estar sujeitas a outros erros que não o da amostragem

– Amostras podem ser combinadas e avaliadas por diferentes pesquisadores

• Amostras são baseadas em abordagem científica

• Amostras podem ser tratadas como se tivessem sido feitas por um único pesquisador

– Uma avaliação objetiva dos resultados é possível

• Baseado no conhecimento do erro amostral

TESTE DE HIPÓTESES

Testes de Hipóteses: Realizamos um teste de hipóteses somente

quando estamos tomando uma decisão em relação a um parâmetro

da população com base no valor de uma estatística da amostra.

H0 - Hipótese Nula: Corresponde a uma afirmação (ou declaração)

em relação a um determinado parâmetro da população, que é

presumida como verdadeira, até que seja declarada falsa.

H1 - Hipótese Alternativa: é uma afirmação em relação a um

determinado parâmetro da população, que será verdadeira se a

hipótese nula for falsa.

Caudas de um teste

Um teste bicaudal possui regiões de rejeição em ambas

as caudas.

Um teste com cauda à esquerda possui região de rejeição na

cauda da esquerda.

Um teste com cauda à direita possui região de rejeição na

cauda da direita.

Cauda à Direita:

Ho: = 50

H1:: > 50

Cauda à Esquerda:

Ho: : = 50

H1: : <50

Bicaudal:

Ho: : = 50

H1:: 50

Tabela de sinais em H0 e H1 e suas respectivas caudas

Bicaudal

Teste com cauda à

Esquerda

Teste com cauda

à Direita

Sinal na hipótese

nula H0 ou ≤ ou ≥

Sinal na hipótese

alternativa H1 ≠

Região de rejeição Em ambas as

caudas

Na cauda

Esquerda Na cauda Direita

Testes de hipóteses em relação a µ para amostras grandes

utilizando a abordagem do valor-p ou p-valor

Valor –p: é o menor nível de significância no qual a hipótese

nula é rejeitada.

Utilizando a abordagem do valor–p, rejeitamos a hipótese nula se:

Valor –p < ou > valor -p

E não rejeitamos a hipótese nula se:

Valor –p ≥ ou ≤ valor -p

Tabela de Erro

H0 verdadeira H0 Falsa

Aceita H0 Decisão Correta Erro do tipo II

Rejeita H0 Erro do Tipo I Decisão Correta

Erro do tipo I: Ocorre quando uma hipótese nula

verdadeira é rejeitada.

𝛂 = P(erro tipo I) = P(rejeitar ∣ verdadeira )

Erro do tipo II: Ocorre quando uma hipótese nula falsa é

aceita.

𝛃 = P(erro tipo II) = P(não rejeitar ∣ é falso )

Teste de Hipóteses Para μ (σ conhecido)

Premissas:

Desvio-Padrão da população σ é conhecido

População é normalmente distribuída

Se a população não é normal, use amostras grandes

Estimativa do Intervalo de Confiança:

(onde Z é o valor crítico em uma distribuição normal

padronizada para uma probabilidade α/2 em cada cauda)

Teste de hipóteses em relação a média da população:

Amostra Grande

Para um desvio padrão populacional conhecido.

Para um desvio padrão amostral. n>30.

Etapas para realizar um teste de hipóteses utilizando a

abordagem do valor -p

1 – Declare as hipóteses nulas e alternativas;

2 – Fixar o nível de significância (𝛂);

3 – Calcular o valor da estatística do teste, que depende do

parâmetro que se deseja testar;

4 – Calcule o p-valor. Se p > 𝛂 aceita-se , caso contrário

o rejeita;

5 – Tome uma decisão.

Exemplo: Suspeita-se de que um medicamento

vasodilatador (Nifedipina) para Hipertensão Arterial,

amplamente receitado, esteja aumentando a freqüência

cardíaca dos pacientes. Para verificar essa suspeita,

colheu-se uma amostra aleatória de 50 pacientes que

recebem Nifedipina, e mediu-se a freqüência cardíaca de

cada um. É sabido que a freqüência cardíaca na

população normal tem Distribuição Normal, com média

69,8 bat/min e desvio-padrão de 1,86 bat/min.

A amostra com 50 pacientes forneceu uma média de 70,5

bat/min. Será que essa média amostral é diferente da

esperada para a população normal, assumindo um nível

de significância de 5%?

XHXH : e : 10

Como são conhecidos os parâmetros da população, é

possível aplicar uma estatística z. Deseja-se, apenas, testar

a diferença. Logo, o teste deve ser bicaudal. Para o nível

de significância de 5%, consideramos o valor crítico 0,025

1,96cz

Regra de Decisão

01,96 1,96 Aceitar 2

-1,96 0

Não-Rejeitar

Rejeitar H0

/2 Rejeitar H0

01,96 Rejeitar 2

z H p 0

Rejeitar

Aceitar

Retomando o exemplo temos:

Parâmetros da população com frequência cardíaca normal:

69,8 e 1,86

Resultados da amostra com n = 50 pacientes que tomam o

remédio:

01,96 Rejeitar z H 0036,0

8,695,70

Logo, há evidências de que a freqüência cardíaca média no grupo

de pacientes que tomam o remédio seja diferente da esperada para

uma população normal, com um nível de significância de 5%.

Conclusão

Teste de Hipóteses Para μ (σ desconhecido):

Amostra Pequena

Condições nas quais a distribuição t é utilizada para

realizar testes de hipóteses em relação a média µ

1 – Se o tamanho da amostra for pequeno (n<30);

2 – A população a partir da qual a amostra foi extraída for

distribuída de maneira (aproximadamente) normal;

3 – O desvio padrão da população é desconhecido.

Etapas para desenvolver o teste de hipóteses

1 – Declare as hipóteses nulas e alternativas;

2 – Selecione a distribuição a utilizar;

3 – Determine a região de rejeição e a região de aceitação;

4 – Calcule o valor da estatística do teste;

5 – Tome uma decisão.

Teste de hipóteses em relação a proporção de uma

população

Exemplo: A ANVISA realiza inspeção em 142 lotes de

medicamento de uma grande remessa, encontrando-se 8% dos

medicamentos com a embalagem violada. O fornecedor garante

que não haverá mais de 6% de medicamentos violados em

cada remessa.

O que devemos responder com o auxílio do teste de hipóteses é

se a afirmação do fornecedor é verdadeira!

0,102,0

06,008,0

02,0142

94,0.06,0

H0: p ≤ 6%

H1: p > 6%

Supondo α= 1%, 3% e 5% construa o teste de hipóteses para

saber se aceitamos ou rejeitamos a hipótese nula.

Tópicos importantes

• Para o teste de hipótese da média, o tamanho da amostra n sempre deve ser > que

• Para o teste de hipótese da média de pequenas amostras, a distribuição t de

student deve ser usada;

• No teste bicaudal, o nível de significância (α) é dividido igualmente entre as duas

caudas que constituem regiões críticas;

• A interpretação do teste é muito importante na realização dos experimentos de teste

de hipótese. Se mencionar igual trata-se de uma afirmação nula, se não mencionar,

a afirmação será a hipótese alternativa;

• Quando a hipótese alternativa (H1) é ≠ de algum valor, temos um teste bicaudal.

Quando H1 tem sinal > temos um teste com cauda à direita e quando H1 recebe sinal

< temos um teste com cauda à esquerda.

Regressão

Linear

Prof. Joelmir Feliciano

Objetivo

Explicar uma variável quantitativa segundo uma outra

variável quantitativa.

Exemplos

• Preço de um imóvel segundo a área construída

• Consumo de combustível segundo o preço do

combustível e a região

• Valorização de uma ação segundo a valorização da

• Taxa de criminalidade segundo a taxa de desemprego

• Tempo de reação em um processo químico segundo a

taxa de concentração do reagente.

Algumas definições

a) diagrama de dispersão: representação gráfica

entre duas variáveis quantitativas

b) correlação: quantifica a força da relação linear entre

duas variáveis quantitativas

c) regressão linear: explicita a forma da relação linear

Exemplo 1: nota da prova e

tempo de estudo

X : tempo de estudo (em horas)

Y : nota da prova

Pares de observações (Xi , Yi)

Tempo Nota

3,0 4,5

7,0 6,5

2,0 3,7

1,5 4,0

12,0 9,3

Diagrama de Dispersão

Coeficiente de correlação linear

O coeficiente de correlação linear é

definido como

Propriedades do coeficiente

de correlação linear

Propriedade

-1 r 1

Classificação da correlação

r = 1, correlação linear positiva e perfeita

r = -1, correlação linear negativa e perfeita

r = 0, inexistência de correlação linear

Exemplo do cálculo da correlação

Tempo ( X ) Nota ( Y ) X2

3,0 4,5 9 20,25 13,5

7,0 6,5 49 42,25 45,5

2,0 3,7 4 13,69 7,4

1,5 4,0 2,25 16 6

12,0 9,3 144 86,49 111,6

25,5 28 208,25 178,68 184

9960,0

2868,178

5,2525,208

28*5,25184

Gráficos - exemplos da

classificação da correlação

Exemplo para r = 1

Exemplo para r = -1

Exemplo para 0 < r < 1

Exemplo para -1 < r < 0

Exemplo para r = 0

Outro exemplo para r = 0

Diagrama de dispersão

Coeficiente de correlação:

r = 0.9591233

Reta ajustada

Y: Variável Resposta ou Dependente.

X: Variável Explicativa ou Independente.

a : intercepto ou coeficiente linear

b : inclinação ou coeficiente angular

Interpretação

Para cada aumento de uma unidade em X,

temos um aumento de b unidades em Y.

Cálculo dos Coeficientes de Regressão.

yyxbya

e onde ,

Cálculo dos coeficientes de

Regressão. Tempo ( X ) Nota ( Y ) X

3,0 4,5 9 20,25 13,5

7,0 6,5 49 42,25 45,5

2,0 3,7 4 13,69 7,4

1,5 4,0 2,25 16 6

12,0 9,3 144 86,49 111,6

25,5 28 208,25 178,68 184

5268,02,78

5,2525,208

28*5,25184

9133,21,5*5268,06,5 xbya

Equação da reta: Exemplo Notas

Interpretação

Para cada hora de estudos o aluno aumentar sua nota em 0,5268

pontos.

Exercício.

Considere a relação entre temperatura e rendimento em um

processo químico . Os dados estão ilustrados abaixo:

Temperatura ( ºC ) Rendimento (%)

100 91

Encontre a reta ajustada e desenhe o diagrama de dispersão

juntamente com a reta ajustada..

Exercício.

xy 87.007.12ˆ

07.12a

Reta ajustada

Interpretação: A cada unidade aumentada da temperada, o rendimento

aumenta em média em 0.87%.

9591.0R

Coeficiente de Determinação:

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