Post on 10-Jan-2017
Problemas de estruturas
multiplicativas num quinto ano
do Ensino Fundamental
MARIANA LEMES DE OLIVEIRA ZARAN
PROBLEMAS DE ESTRUTURAS
MULTIPLICATIVAS NUM QUINTO
ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
Cintia Ap. Bento dos Santos
PROBLEMAS DE ESTRUTURAS
MULTIPLICATIVAS NUM QUINTO
ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Universidade Cruzeiro Do Sul
2013
© <2013>
Universidade Cruzeiro do Sul
Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi
PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
Pró-Reitor – Prof. Dr. Danilo Antonio Duarte
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Coordenação – Profa. Dra. Edda Curi
Banca examinadora
Profa. Dra. Cintia Ap. Bento dos Santos
Profa. Dra. Edda Curi
Profa. Dra. Adair Mendes Nacarato
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA
UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL
Z39p
Zaran, Mariana Lemes de Oliveira.
Problemas de estruturas multiplicativas num quinto ano do
ensino fundamental / Mariana Lemes de Oliveira Zaran. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2013.
29 p. : il. Produto educacional (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática). 1. Educação matemática 2. Resolução de problemas 3.
Matemática – Ensino fundamental 4. Projeto Prova Brasil. I. Título II. Série.
CDU: 51:37
Sumário
1 APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 5
2 CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS ................................ 7
3 INSTRUMENTOS DE PESQUISA ..................................................................................... 10
3.1 PRIMEIRO INSTRUMENTO ............................................................................................ 12
3.2 SEGUNDO INSTRUMENTO ............................................................................................ 14
3.3 TERCEIRO INSTRUMENTO ........................................................................................... 19
3.4 QUARTO INSTRUMENTO ............................................................................................... 22
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ................................................................................... 25
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 27
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................ 29
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
5
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
1 APRESENTAÇÃO
Apresentamos um produto educacional que é fruto da pesquisa de
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade
Cruzeiro do Sul. Este material apresenta parte do resultado elaborado a partir
da dissertação intitulada “Uma análise dos procedimentos de resolução de
alunos de 5º ano do Ensino Fundamental em relação a problemas de
estruturas multiplicativas” de autoria de Mariana Lemes de Oliveira Zaran e
orientada pela Profa. Dra. Cintia Aparecida Bento dos Santos.
Nossa pesquisa teve por objetivo analisar protocolos de 57 alunos de 5°
ano do Ensino Fundamental de uma escola pública da cidade de São Paulo na
resolução de problemas do campo multiplicativo, buscando evidenciar
facilidades e dificuldades percebidas quanto a identificação destas operações
e, indícios de compreensão dos significados desses problemas.
A investigação foi norteada pelas seguintes questões:
Quais as interpretações demonstradas por alunos do 5°
ano ao resolverem problemas do Campo Multiplicativo?
Quais os indícios de compreensão revelados por alunos do
5° ano em relação às estruturas multiplicativas?
A investigação utilizou dados coletados a partir do Projeto Prova Brasil
de Matemática: revelações e possibilidades de avanços nos saberes de alunos
de 4ª série/5º ano e indicativos para formação de professores no âmbito do
Programa Observatório da Educação, Edital 2010, financiado pela Capes. Este
projeto é oriundo dos trabalhos desenvolvidos pelo grupo de pesquisa
Conhecimentos, Crenças e Práticas de Professores que ensinam Matemática –
CCPPM da mesma universidade, coordenado pela pesquisadora Dra. Edda
Curi, cujo objetivo era fortalecer as relações entre pesquisas acadêmicas e a
prática em sala de aula na educação básica.
A pesquisa é de natureza qualitativa, com técnica de análise documental
utilizando os protocolos dos alunos com os problemas dos quatro instrumentos
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6
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
resolvidos.
O objetivo desses instrumentos foi o de verificar os procedimentos
utilizados pelos alunos para solucionar problemas referentes às estruturas
multiplicativas, analisando se eles identificam ou não a ideia envolvida e como
os resolvem.
Neste contexto, apresentamos neste produto, quatro instrumentos de
investigação abordando diferentes grupos de problemas de acordo com a
categorização de Vergnaud (2009), em relação ao campo conceitual das
estruturas multiplicativas.
Esperamos que esse material possa contribuir de forma significativa
para a prática pedagógica de professores de Ensino Fundamental, bem como
propiciar reflexões a respeito das facilidades e dificuldades enfrentados pelos
alunos na resolução de problemas de estruturas multiplicativas.
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
7
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
2 CAMPO CONCEITUAL DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS
Para subsidiar a pesquisa foram utilizados, entre outros, os estudos de
Gerard Vergnaud (2009) sobre o campo conceitual multiplicativo e as
orientações didáticas dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática do
1º e 2º ciclos (BRASIL, 1997).
Assim, neste item, apresentamos esclarecimentos sobre a Teoria dos
Campos Conceituais evidenciando a categorização feita por Vergnaud (2009)
sobre os problemas pertencentes ao Campo Conceitual das Estruturas
Multiplicativas.
A Teoria dos Campos Conceituais tem como autor o pesquisador e
psicólogo francês Gerárd Vergnaud, reconhecido especialista na Didática da
Matemática, sendo diretor de pesquisas didáticas do Centro Nacional de
Pesquisa Científica do Instituto Nacional de Investigação Pedagógica, em
Paris.
Segundo Vergnaud (1996), a principal finalidade da teoria dos campos
conceituais é fornecer um quadro que permita a compreensão das filiações e
rupturas entre conhecimentos novos e antigos nas crianças e nos
adolescentes. Assim, sua teoria nos permite explorar os procedimentos e
representações realizados pelos alunos diante de um determinado problema,
possibilitando a identificação de suas dificuldades e facilidades.
Sobre os problemas pertencentes a este campo, Vergnaud (1996) afirma
que os problemas mais simples do Campo Multiplicativo implicam a proporção
simples de duas variáveis, uma em relação à outra, onde, de acordo com o
valor numérico e o domínio da experiência, os problemas apresentam
dificuldades diferentes de um em relação ao outro.
Existem duas grandes categorias dentre as quais se classificam os
problemas de multiplicação e divisão: isomorfismo de medidas e produto de
medidas.
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
8
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Na categoria de problemas denominada por Vergnaud (2009) como
Isomorfismo de Medidas, destacam-se os problemas que estabelecem
relações proporcionais entre conjuntos de mesma cardinalidade. Para a
elaboração deste grupo de problemas, optamos em dividi-los em dois tipos:
problemas envolvendo a correspondência “um a muitos”, e problemas que
trabalham a correspondência “muitos a muitos”, a fim de verificarmos mais
detalhadamente os procedimentos de resolução apresentados pelos alunos em
cada tipo de problema, bem como se estruturam os conhecimentos destes
alunos em cada uma destas relações.
Na categoria de problemas denominada por Vergnaud (2009) como
Produto de Medidas, destacam-se dois tipos de problemas: um que envolve
configuração retangular e outro que requer a utilização do raciocínio
combinatório, em que todos os elementos de um dos grupos são relacionados
com todos os elementos do outro grupo.
Ao realizarmos uma breve associação entre as categorias definidas por
Vergnaud e os grupos de situações presentes nos Parâmetros Curriculares
Nacionais, pudemos apontar: (i) a categoria isomorfismo de medidas indica-se
nos documentos oficiais pelos grupos de multiplicação comparativa e
proporcionalidade; (ii) a categoria produto de medidas é indicada pelos grupos
de configuração retangular e combinatória.
Com base nestas categorias que possibilitam o trabalho com os
conceitos das operações de multiplicação e divisão já nos primeiros anos no
Ensino Fundamental, elaboramos quatro instrumentos de pesquisa,
apresentados a seguir.
Faz-se necessário também evidenciar sobre essa teoria a importância
de um trabalho em que o aluno participe do processo de construção do
conhecimento, em que ele possa compreender o significado de um
determinado conceito. Nesse momento de aprendizagem, é proporcionado ao
aluno a oportunidade de estabelecer conexões significativas entre os conceitos
já vistos por ele e os novos conceitos apresentados. Também é por meio
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9
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
dessas conexões que o aluno pode reestruturar sua organização de
pensamento, os esquemas, podendo surgir novas formas de raciocínio, que
permitirão a evolução de seu pensamento dentro de um campo conceitual.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
3 INSTRUMENTOS DE PESQUISA
A seguir apresentamos quatro instrumentos de investigação elaborados
em conjunto com o grupo de pesquisa que podem auxiliar o professor no
desenvolvimento e na consolidação do raciocínio multiplicativo com os alunos e
as categorias que norteiam as análises.
Para exemplificar sua aplicação, discutiremos a seguinte questão: o que
mostram as resoluções dos alunos em relação aos significados dos problemas
do Campo Multiplicativo?
Ao analisar os 206 protocolos dos alunos elegemos as seguintes
categorias:
1. Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos
Nesta categoria, encontram-se os protocolos de alunos que
identificam a ideia da operação que resolve o problema e os
resolvem corretamente, seja por meio de um algoritmo ou de
procedimentos não convencionais, chegando ao resultado esperado.
2. Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas não
utilizam os procedimentos corretamente.
Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que
identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas erram
nos procedimentos de cálculo, seja por meio de um algoritmo ou de
procedimentos não convencionais, não chegando ao resultado
esperado.
3. Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas
indicam a operação, e não a desenvolvem.
Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que
identificam a operação que resolve o problema, representam qual é
essa operação, mas não desenvolvem a operação representada.
4. Não identificam a operação e acertam os
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procedimentos/algoritmos utilizados.
Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não
indicam a operação de multiplicação ou divisão, mas conseguem
resolver o problema por meio de uma ideia aditiva, fazendo adições
sucessivas, seja por meio de um algoritmo ou de um procedimento
não convencional, acertando os procedimentos utilizados e chegando
ao resultado esperado.
5. Não identificam a operação e erram os procedimentos
Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não
identificam a operação que resolve o problema e ainda erram os
procedimentos de resolução e não chegam ao resultado esperado.
6. Não identificam a operação que resolve o problema, apenas
indicam uma operação, e não a desenvolvem.
Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não
identificam a operação que resolve o problema, representam outra
operação, mas não a desenvolvem.
7. Indicam apenas o resultado e acertam.
Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não
realizaram registro de representação do procedimento para a
resolução, apenas indicando o resultado do problema. Nesse caso,
observamos que os alunos conseguem chegar ao resultado correto.
8. Não resolvem.
Nesta categoria, encontram-se os protocolos dos alunos que não
resolveram o problema, e nem mesmo levantaram hipóteses para
resolução do mesmo, deixando o exercício “em branco”.
Em cada problema analisado identificamos algumas das categorias
apresentadas e compatibilizamos os dados da pesquisa nas categorias
utilizadas.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
3.1 PRIMEIRO INSTRUMENTO
O primeiro instrumento, apresentado na Figura 1, agrega três problemas
que contemplam a ideia “um a muitos”, pertencentes à classe de problemas
isomorfismo de medidas.
Figura 1: Primeiro Instrumento de Pesquisa – Problemas de relação um a muitos
No problema 1 (Figura 1) esperávamos que os alunos utilizassem a
estrutura multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a
operação de multiplicação entre a quantidade de alunos e o número de
garrafas, resultando em um total de 50 garrafas na festa. As análises
realizadas foram compatibilizadas na tabela a seguir.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Tabela 1 – Resultados do problema 1- Instrumento 1
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 51
Identificam a ideia operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 2
Não identificam a operação e acertam os procedimentos/
algoritmos utilizados 1
Fonte: dados das pesquisadoras
No problema 2, que os alunos utilizassem a estrutura multiplicativa,
realizando um procedimento que envolvesse a operação de divisão entre o
número de garrafas e o número de pessoas, resultando em 3 garrafas levadas
por pessoa. Após a análise encontramos o resultado apresentado na tabela a
seguir.
Tabela 2 – Resultados do problema 2- Instrumento 1
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 24
Identificam a ideia operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 6
Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas
indicam a operação, e não a desenvolvem 2
Não identificam a operação e acertam os procedimentos/
algoritmos utilizados 16
Não identificam a operação e erram os procedimentos 16
Fonte: dados das pesquisadoras
No Problema 3, esperávamos que os alunos utilizassem a estrutura
multiplicativa, realizando um procedimento que envolvesse a operação de
divisão entre o número de garrafas que havia na festa e o número de garrafas
levadas por convidado, resultando em 24 pessoas presentes na festa. A tabela
a seguir apresenta os resultados da análise.
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Tabela 3 – Resultados do problema 3- Instrumento 1
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 31
Identificam a ideia operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 9
Identificam a operação que resolve o problema, mas apenas
indicam a operação, e não a desenvolvem 1
Não identificam a operação e erram os procedimentos 13
Fonte: dados das pesquisadoras
Ao analisarmos nosso primeiro instrumento, pertencente ao grupo de
problemas descrito por Vergnaud (2009) como Isomorfismo de Medidas,
pudemos verificar que, apesar de nem todos os alunos já identificarem a
operação do campo multiplicativo, grande parte deles conseguiu chegar ao
resultado esperado. A maior parte dos alunos utilizou as operações de
multiplicação e divisão. Os alunos obtiveram maiores êxitos na resolução do
problema 1, que envolvia a operação de multiplicação, e menores êxitos na
resolução dos problemas 2 e 3, que envolviam a operação de divisão. Todos os
problemas envolvem a noção de proporcionalidade.
3.2 SEGUNDO INSTRUMENTO
O segundo instrumento, Figura 2, agrega quatro problemas,
contemplando a ideia “muitos a muitos”, também pertencentes à classe de
problemas isomorfismo de medidas.
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
15
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Figura 2: Segundo Instrumento de Pesquisa – Problemas de relação muitos a
muitos
Apresentamos agora os quatro problemas analisados em nossa segunda
etapa da investigação, envolvendo a correspondência “muitos a muitos”,
também pertencentes à classe de problemas isomorfismo de medidas.
Problema 4. Um grupo de 12 meninos coleciona carrinhos. Juntos eles
têm 48 carrinhos. Considerando que todos têm a mesma quantidade, quantos
carrinhos haveria se 21 meninos colecionassem carrinhos?
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
16
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Para a realização desse problema a partir da estrutura multiplicativa,
esperávamos que o aluno realizasse a divisão entre o número de carrinhos e o
número de meninos, descobrindo a quantidade de carrinhos pertencentes a
cada menino. Em seguida, o aluno deveria realizar a multiplicação entre o
número de carrinhos pertencentes a cada menino e o novo número de meninos
requerido no problema, chegando desse modo à solução do mesmo, 84
carrinhos. Outra forma de resolução desse problema a partir da estrutura
multiplicativa seria também a partir da utilização do raciocínio proporcional. Na
tabela a seguir, apresentamos o resultado observado.
Tabela 4 – Resultados do problema 4- Instrumento 2
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 24
Não identificam a operação e acertam os
procedimentos/algoritmos usados 1
Não identificam a operação e erram os procedimentos 25
Não identificam a operação que resolve o problema, apenas
indicam uma operação, e não a desenvolvem 2
Não resolvem 1
Fonte: dados das pesquisadoras
Problema 5. Sabe-se que 15 meninos colecionam chaveiros e que juntos
têm 75 chaveiros. Considerando que todos tenham a mesma quantidade,
quantos meninos colecionariam chaveiros se juntos tivessem 90 chaveiros?
Esperávamos que a solução desse problema se desse a partir da
estrutura multiplicativa, inicialmente a partir da realização da operação de
divisão entre a quantidade de chaveiros e a quantidade de meninos, a fim de
descobrir o número de chaveiros pertencentes a cada aluno; e posteriormente
a realização da divisão entre o número total de chaveiros e o número de
chaveiros que cada aluno possui, chegando assim ao resultado de 18 meninos.
Outro caminho de resolução desse problema seria a partir da estrutura
multiplicativa, por meio da utilização do raciocínio proporcional.
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17
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Compatibilizamos as análises na tabela a seguir.
Tabela 5 – Resultados do problema 5- Instrumento 2
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 16
Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 8
Não identificam a operação e erram os procedimentos 27
Não resolvem 2
Fonte: dados das pesquisadoras
Problema 6: Um grupo de 16 meninos tem ao todo 64 bolinhas de gude.
Considerando que todos têm a mesma quantidade, quantas bolinhas haveria
se 12 meninos estivessem neste grupo?
Focando na estrutura multiplicativa, esperávamos que os alunos
realizassem inicialmente a divisão entre o número de bolinhas de gude e o
número de meninos; e, posteriormente, realizassem a multiplicação entre o
número de bolinhas de gude pertencentes a cada menino e o número de
meninos do grupo, chegando ao total de 48 bolinhas de gude. Outro caminho
de resolução desse problema com a utilização da estrutura multiplicativa seria
por meio da utilização do raciocínio proporcional. A tabela a seguir ilustra os
resultados verificados.
Tabela 6 – Resultados do problema 6- Instrumento 2
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 22
Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 2
Não identificam a operação e erram os procedimentos 27
Não resolvem 2
Fonte: dados das pesquisadoras
Problema 7: As meninas do clube “Cola e Decora” têm a mesma
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18
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
quantidade de adesivos. Se 24 meninas têm juntas 72 adesivos, quantas
meninas seriam sócias do clube se tivessem 42 adesivos?
Nesse problema esperávamos que os alunos inicialmente dividissem o
número total de adesivos pelo número de meninas para descobrir a quantidade
de adesivos pertencentes a cada menina; e, posteriormente realizando a
divisão entre o novo número de adesivos estipulado e o número de adesivos
pertencente a cada menina, chegando ao total de 14 meninas. Os resultados
observados compõem a tabela a seguir.
Tabela 7 – Resultados do problema 7 - Instrumento 2
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 14
Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 8
Não identificam a operação e erram os procedimentos 27
Não resolvem 4
Fonte: dados das pesquisadoras
Analisando o segundo instrumento, ainda pertencente ao grupo de
problemas descrito por Vergnaud (1996) como Isomorfismo de Medidas
evidenciamos que a maioria dos alunos mostrou não compreender a ideia
envolvida no problema, errando seus procedimentos e grande parte dos alunos
não conseguiu chegar ao resultado esperado. A maioria dos alunos não
compreendeu a ideia envolvida, não identificando para a resolução dos
problemas as operações de multiplicação ou divisão
Faz-se importante destacar que todos esses problemas envolviam a
apropriação do pensamento proporcional, no fundo a mesma ideia dos
problemas do Primeiro Instrumento. A dificuldade verificada deu-se
provavelmente por causa da relação “muitos a muitos”, mais complexa do que
a relação “um a muitos” envolvida no Primeiro Instrumento. Pudemos identificar
ainda maiores dificuldades nos problemas que necessitavam de procedimentos
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19
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
de divisão.
3.3 TERCEIRO INSTRUMENTO
O terceiro instrumento envolve três problemas, que contemplam a ideia
de “configuração retangular”, pertencentes à classe de problemas produto de
medidas conforme figura 3 a seguir.
Figura 3: Terceiro Instrumento de Pesquisa – Problemas de configuração
retangular
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20
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Problema 1: Em uma caixa com formato retangular cabem 96 maçãs.
Sabendo que as maçãs estão organizadas em fileiras e que em cada fileira
cabem 12 maçãs, quantas fileiras de maçãs há nessa caixa?
Neste problema, esperávamos que os alunos solucionassem-no
realizando a divisão entre o número total de maçãs que cabem na caixa e o
número de maçãs que cabem em cada fileira, chegando ao total de 8 fileiras.
Na tabela a seguir, é possível visualizar os resultados encontrados.
Tabela 8 – Resultados do problema 1 - Instrumento 3
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 20
Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 7
Não identificam a operação e acertam os
procedimentos/algoritmos utilizados 8
Não identificam a operação e erram os procedimentos 15
Fonte: dados das pesquisadoras
Problema 2: Uma caixa de ovos tem formato retangular. Os ovos estão
organizados em 6 fileiras com 8 ovos em cada fileira. Quantos ovos há nessa
caixa?
Para solucionar este problema, esperávamos que os alunos realizassem
a multiplicação entre o número de fileiras e o número de ovos contidos em
cada fileira, chegando ao total de 48 ovos. A tabela a seguir apresenta os
resultados da análise.
Tabela 9 – Resultados do problema 2 - Instrumento 3
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 39
Identificam a ideia da operação que resolve o problema, mas
não utilizam os procedimentos corretamente 5
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
21
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Não identificam a operação e erram os procedimentos 3
Indicam apenas o resultado e acertam 3
Fonte: dados das pesquisadoras
Problema 3: Numa fábrica de chocolates, os bombons estão
organizados em diferentes tipos de caixas retangulares. Cada caixa é
organizada em fileiras e colunas. Todas as fileiras têm a mesma quantidade de
bombons e todas as colunas também. Organize esses bombons em diferentes
tipos de caixas.
Neste problema, procuramos ampliar as possibilidades de resolução, em
que os alunos poderiam indicar diferentes disposições de fileiras e colunas das
caixas de bombons. Por meio do raciocínio multiplicativo, o aluno poderia
associar esta ideia às tabuadas já conhecidas, apoiando-se nestas
multiplicações para organizar os bombons. A partir dessa organização
podemos levantar a hipótese de que o aluno já possua a ideia de produto de
medidas. Os resultados observados encontram-se na tabela a seguir.
Tabela 10 – Resultados do problema 3 - Instrumento 3
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 31
Não resolvem 18
Não identificam a operação e erram os procedimentos 1
Fonte: dados das pesquisadoras
Analisando o terceiro instrumento, pertencente ao grupo de problemas
descrito por Vergnaud (2009) como Produto de Medidas, evidenciamos que a
maioria dos alunos demonstrou compreender a ideia de configuração
retangular envolvida no problema chegando ao resultado esperado.
Evidenciamos também que os menores êxitos obtidos estão
relacionados ao problema 1 que envolvia a ideia de multiplicação, o que pode
indicar a não apropriação de procedimentos requeridos na operação de divisão,
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22
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
foco dos outros dois problemas.
3.4 QUARTO INSTRUMENTO
O quarto e último instrumento envolve dois problemas que contemplam a
ideia de “combinatória”, também pertencentes à classe de problemas produto
de medidas. Para cada problema levantamos hipóteses quanto à identificação
ou não da operação que resolve o problema e aos procedimentos dos alunos
utilizados para sua resolução.
Figura 4: Quarto instrumento de Pesquisa – Problemas de combinatória
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23
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Problema 1: Uma lanchonete oferece as seguintes opções de sucos e
lanches: sucos de laranja, uva, abacaxi e morango e lanches de misto quente,
x salada, bauru.
Para solucionar este problema esperávamos que os alunos
multiplicassem a quantidade de opções de sucos pela quantidade de opções
de lanches, chegando ao total de 12 combinações possíveis. Na tabela a seguir
são apresentados os resultados observados.
Tabela 11 – Resultados do problema 1 - Instrumento 4
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 12
Não identificam a operação e acertam os
procedimentos/algoritmos utilizados 20
Não identificam a operação e erram os procedimentos 11
Indicam apenas o resultado e acertam 5
Não resolvem 1
Fonte: dados das pesquisadoras
Problema 2: João vai passar alguns dias na praia e levou 6 camisetas e
3 bermudas. Quais são as diferentes combinações que ele poderá fazer?
Neste problema, esperávamos que os alunos realizassem a
multiplicação entre o número de camisetas e o número de bermudas, chegando
ao total de 18 combinações possíveis. Os resultados verificados foram
compatibilizados na tabela a seguir.
Tabela 12 – Resultados do problema 2 - Instrumento 4
Categorias encontradas Número de
protocolos
Identificam a ideia da operação que resolve o problema e
acertam os procedimentos 21
Não identificam a operação e acertam os
procedimentos/algoritmos utilizados 10
Não identificam a operação e erram os procedimentos 16
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
24
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Indicam apenas o resultado e acertam 1
Não resolvem 1
Fonte: dados das pesquisadoras
Analisando o quarto e último instrumento, pertencente ao grupo de
problemas descrito por Vergnaud (2009) como Produto de Medidas, no que se
refere ao raciocínio combinatório, evidenciamos que grande parte dos alunos
conseguiu chegar ao resultado esperado. No entanto, observamos que os
alunos usaram não somente procedimentos multiplicativos para a resolução
dos problemas, mas também verificamos a utilização de procedimentos
próprios de resolução.
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
25
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR
Como contribuição desse estudo, elencamos algumas situações e
intervenções que podem facilitar a prática do professor:
Observação do contexto utilizado nos enunciados dos
problemas: Constatamos por meio da interação com a professora
da sala que estes contextos pertenciam a realidades dos alunos,
e isso contribuiu para o interesse dos alunos em solucioná-los,
além de facilitar a compreensão das situações envolvidas, que
tratavam de condições reais.
Leitura compartilhada e detalhamento das etapas: O professor
também pode auxiliar na compreensão dos enunciados e das
situações apresentadas por meio de um trabalho que não permita
ao aluno trabalhar apenas no campo numérico, como pudemos
visualizar em alguns protocolos, mas levar sempre em
consideração a situação que lhes é apresentada. A leitura
compartilhada e o detalhamento das etapas de um determinado
problema podem contribuir com esse trabalho.
Articulação entre operações: Um grande facilitador em relação
ao ensino destas operações se refere a um trabalho que possa
ser realizado de forma articulada entre as mesmas, para que
possam ser estabelecidas as devidas relações entre ambas, o
que também poderá contribuir com a diminuição das dificuldades
quanto aos procedimentos da divisão, em que, a partir do
momento em que o aluno o perceber sua relação com a
multiplicação, esses procedimentos poderão ser compreendidos
mais claramente.
Professor pesquisador: Cabe ao professor o papel de
pesquisador, buscando e encontrando novos caminhos através da
constante observação dos procedimentos realizados pelos
alunos, e dos indícios de compreensão revelados por eles, o que
possibilitará ao docente diagnosticar as facilidades e fragilidades,
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26
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
que propiciarão a elaboração de estratégias que envolvam
situações de aprendizagem que possam mobilizar conhecimentos
de acordo com o nível de compreensão observado.
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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Após analisarmos os dois grupos de problemas descritos por Vergnaud
(2009), isomorfismo de medidas e produto de medidas, pudemos verificar que,
apesar de nem todos os alunos já demonstrarem compreender a ideia por meio
do raciocínio multiplicativo, no geral, grande parte dos alunos conseguiu
encontrar a solução dos problemas.
Entre os que não se apropriaram dos significados do campo
multiplicativo, pudemos perceber em alguns protocolos que os alunos utilizam
os dados do enunciado do problema sem identificar a operação que resolve o
problema ou o procedimento adequado para a resolução. Isso ocorre, talvez,
pelo aluno não atribuir significado aos enunciados dos problemas que lhes são
apresentados. Acerca desse fato, podemos nos apoiar na análise realizada por
Saiz (1996), ao defender que a identificação dos procedimentos a serem
realizados depende do significado atribuído pelo aluno à situação. Percebemos
ainda que algumas vezes o aluno se preocupou em realizar um cálculo com os
números contidos no enunciado do problema, abstraindo pouco a compreensão
do significado.
Percebemos quanto às interpretações demonstradas pelos alunos que,
os mesmos conseguiram identificar a ideia de uma multiplicação ou divisão
mais facilmente em problemas de proporcionalidade simples, como os que
contemplavam as ideias “um a muitos” ou os que envolviam o significado de
configuração retangular.
Nos problemas que contemplavam a ideia de proporcionalidade
envolvendo a relação “muitos a muitos”, ficou evidente em nossas análises as
diversas interpretações equivocadas, em que a maior parte dos alunos utilizou
operações e procedimentos ineficazes para a resolução desse tipo de
problemas, demonstrando não compreender o significado dos mesmos.
Constatamos nesse tipo de problema fragilidades quanto à interpretação do
raciocínio proporcional, dificultando a resolução das situações apresentadas.
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
Quanto aos problemas que envolviam a ideia de combinatória, pudemos
encontrar interpretações distintas, em que os alunos muitas vezes utilizaram
procedimentos e esquemas pessoais para a resolução dos problemas ao invés
da operação de multiplicação ou divisão.
Essas observações nos dão indícios de que a interpretação dada pelos
alunos a estes problemas por muitas vezes não revelou a percepção da
relação entre as operações, e por algumas vezes demonstraram realizar um
trabalho puramente numérico, sem levar em conta o significado do contexto, o
que pode ter dificultado a compreensão de algumas situações apresentadas.
Acerca dessa questão, percebemos em nossos estudos que grande
parte dos alunos investigados demonstram compreender a ideia que norteia
cada uma dessas operações; fato este que pode ser considerado favorável ao
ensino e a aprendizagem das mesmas. Porém, também ficou evidente que,
além de compreender a ideia norteadora de cada operação, é necessário que
os alunos saibam identificá-las diante das mais variadas situações, como as
apresentadas em nossos instrumentos; necessidade esta que por muitas vezes
percebemos não ocorrer em nosso cenário de investigação, em que, os
mesmos alunos que em um determinado instrumento demonstraram identificar
a ideia envolvida, em outros instrumentos não conseguiam elaborar
procedimentos de resolução.
Consideramos importante também destacar a necessidade de trabalhar
as diversas possibilidades de problemas que contemplam o campo
multiplicativo, abordando os diversos grupos de problemas e ideias
multiplicativas, em que o aluno possa se deparar com diferentes situações e ter
a autonomia de posteriormente identificá-las e articulá-las diante de problemas
que envolvam cada grupo de ideias pertencente a este campo, como por
exemplo, os descritos em nossos instrumentos de investigação, elaborados
com base na categorização apresentada nos estudos de Vergnaud (2009).
Mariana Lemes de Oliveira Zaran
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Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
SAIZ, I. Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir. In: PARRA, C.; SAIZ,
I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1996. p. 156-185.
VERGNAUD, G. A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino
da matemática na escola elementar. Tradução de Maria Lucia Faria Moro.
Revisão técnica de Maria Tereza Carneiro Soares. Curitiba: Ed. Da UFPR,
2009.
VERGNAUD, G. A teoria dos campos conceituais. In: BRUN, J. Didáctica das
matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155-191.