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Sistemas lineares

4251

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Sistemas lineares

A tabela abaixo mostra a classificação dos quatro candidatos a um emprego: Paulo, Carla, Sara e Ana. Haviam apenas três vagas.

Port. Mat. Inf. Pontos Resultado

Carla 8 6 3 47 Classif.

Paulo 6 7 5 43 Classif.

Sara 4 8 9 41 Classif.

Ana 4 9 8 40 Desclassif.

(17)

(18)

(21)

(21)

4251

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Sistemas lineares

Ana utilizou seus conhecimentos de matemática e imaginou os seguintes pesos.

Português: x; Matemática: y; Informática: z

8x + 6y + 3z = 47 → Carlos

6x + 7y + 5z = 43 → Paulo

4x + 8y + 9z = 41 → Sara

4x + 9y + 8z = 40 → Ana

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As equações que Ana obteve têm muitas coisas em comum. Vamos analisar por exemplo a equação

Equações Lineares

4x + 9y + 8z = 40

É uma equação de 1º grau.

– Os três termos do 1º membro são de 1º grau.

– O termo do segundo membro é de grau zero

(independe de qualquer variável).

Uma equação desse tipo é chamada de equação

linear.

4251

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Equações lineares

De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são

constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis

reais, uma equação linear é do tipo.

a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b

x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;

a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;

b é o termo independente;

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Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos.

Equações lineares

x, y e z são as incógnitas;

4, 9 e 8 são os coeficientes;

40 é o termo independente;

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Equações lineares

Para refletir.

analise o grau das equações abaixo. analise o grau das equações abaixo.

Nenhuma das quatro é linear. Por quê?Nenhuma das quatro é linear. Por quê?

x2 + 3y = 5;

xy – 3y + z = 12;

√x + y + z = 1;

2x – 1y

= 0

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Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40

Soluções de uma equação linear

x = 1y = 4z = 0

4.1 + 9.4 + 8.0 = 40 (Verdadeira)

x = 3y = 2z = 1

4.3 + 9.2 + 8.1 ≠ 40 (falsa)

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Soluções de uma equação linear

Solução de uma equação linear é toda seqüência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.

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Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, –3, 4) é solução da equação linear 2x + ay – z = 4.

Exemplo

Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos

2.1 + a.(–3) – 4 = 4

→ 2 –3a – 4 = 4

→ –3a = 6 → a = –2

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1ª. Equação: 2x = 8

Número de soluções de uma equação linear

2x = 8 → x = 4

Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.

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2ª. Equação: 0x = 3

Número de soluções de uma equação linear

Não existe número real que, multiplicado por 0,

resulte 3. Logo, a equação não têm solução.

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3ª. Equação: x + 3y = 8

Número de soluções de uma equação linear

Nessa equação o valor de uma incógnita depende

do valor da outra (x = 8 – 3y).

y = 3 → x = 8 – 3.3 → x = –1 → (–1, 3)

y = 2 → x = 8 – 3.2 → x = 2 → (2, 2)

y = 1 → x = 8 – 3.1 → x = 5 → (5, 1)

Essa equação tem infinitas soluções.

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Uma equação linear em que o termo independente é 0 (zero) é chamada equação linear homogênea?

Equação homogênea

2x – y = 0 → é uma equação linear homogênea

x + y – 5 = 0 → Não é equação linear homogênea→ x + y = 5

→ Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0.

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Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula?

Equação nula

0x + 0y + 0z = 0 → é uma equação linear nula

→ Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas.

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Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que

Equação impossível ou incompatível

todos os coeficientes são iguais a 0.

o termo independente é diferente de 0.

0x + 0y = 3 → é uma equação linear impossível

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Equação com variáveis naturais

Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas.

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Tenho uma nota de 50 reais, e quero trocá-la por notas de 10 reais e 5 reais. Preciso de pelo menos uma de cada tipo. De quantas formas posso receber o troco?

Exemplo

x, número de notas de 10 reais e y, número de notas de 5 reais.

10x + 5y = 50 → 2x + y = 10

x = 1 → y = 8

x = 2 → y = 6

x = 3 → y = 4

x = 4 → y = 2

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Sistemas lineares

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Sistemas lineares

Um conjunto formado apenas por equações lineares é chamado de sistema linear.

x + 2y = 3 Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).x – y = 5

2x – y +z – t = 0 Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).

x – 2y + t = 0

3x + y – 2z = 0

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Sistemas lineares

Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial.

2x + y = 3

x – 2y = 0

5x + y = 0

2 1

1 –2

5 1

A =x

YX =

3

0

1

B =

Matriz dos coeficientes

Matriz das incógnitas

Matriz dos termos independentes

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Sistemas lineares

Veja a representação matricial do sistema abaixo.

2x + y = 3

x – 2y = 0

5x + y = 0

2 1

1 –2

5 1

A.X = B →x

Y.

3

0

1

=

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Soluções de um sistema linear

Se uma seqüência é solução de todas as equações de um sistema, dizemos que ela é uma solução do sistema.

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No sistema linear

Exemplos

x + y = 5

2x – y = 1

(2, 3) é solução →2 + 3 = 5 (V)

2.2 – 3 = 1 (V)

(3, 2) não é solução →3 + 2 = 5 (V)

2.2 – 3 = 1 (F)

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Calcular a e b, para que a sequência (3, 1) seja solução do sistema linear

Exemplos

x + ay = 1

ax – y = b + 3

Vamos fazer x = 3 e y = 1 nas duas equações.

1ª equação: 3 + a.1 = 1 → a = –2

2ª equação: –2.3 – 1 = b + 3

→ –7 = b + 3 → b = –10

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Soluções de um sistema linear homogêneo

Num sistema linear homogêneo, todas as equações são homogêneas. Por isso admite a solução trivial, a sequência (0, 0, 0, ..., 0).

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O sistema linear abaixo é homogêneo.

Exemplos

x – 2y = 0

–3x + 6y = 0

(0, 0) é solução →0 – 2.0 = 0 (V)

–3.0 + 6.0 = 0 (V)

(2, 1) também é solução →

2 – 2.1 = 0 (V)

–3.2 + 6.1 = 0 (V)

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Número de soluções de um sistema linear

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Número de soluções de um sistema linear

x – 3y = 4

–2x + 6y = 3

Na 1.ª equação, x = 4 + 3y. Subst. na 2.ª equação,

–2(4 + 3y ) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3

→ 0y = 11

Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado sistema impossível (SI).

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Número de soluções de um sistema linear

x – 3y = 4

–2x + 6y = 3

Veja a análise geométrica do sistema

x

y

O

r1

r2

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Número de soluções de um sistema linear

3x – y = 5

x + y = 7

Na 1.ª equação, y = 3x – 5. Subst. na 2.ª equação,

x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12

Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é chamado sistema possível e determinado (SPD).

→ x = 3

→ y = 3.3 – 5 → y = 4

Solução (3, 4)

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Número de soluções de um sistema linear

Veja a análise geométrica do sistema

3x – y = 5

x + y = 7

x

y

O

r1

r2

3

4

4251

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Número de soluções de um sistema linear

x – 2y = –5

–2x + 4y = 10

Na 1.ª equação, x = 2y – 5. Subst. na 2.ª equação,

–2(2y – 5) + 4y = 10 → –4y + 10 + 4y = 10

Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é chamado sistema possível e indeterminado (SPI).

→ 0y = 0

4251

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Número de soluções de um sistema linear

Veja a análise geométrica do sistema

x – 2y = –5

–2x + 4y = 10

x

y

O

r1≡ r2

4251

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Número de soluções de um sistema linear

Sistema linear (S)

Tem solução?Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)

Quantas?Apenas uma

Determinado (SPD)

Infinitas

Indeterminado (SPI)

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Sistemas escalonados

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Sistemas Escalonados

Observe os sistemas lineares abaixo.

2x + 5y = 4

0x – 3y = 6

2x – 3y + z – 5t = 3

0x + 5y – z + 3t = 1

0x + 0y + 0z – t = 2

Sistemas que aparecem dessa forma são chamados de sistemas escalonados

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Os sistemas a seguir são escalonados. Analisar se eles são possíveis ou impossíveis.

Exemplos

a)

x – 2y + z = 3

0x + y – z = 2

0x + 0y + 0z = 3

a)

2x – y + z = 3

0x + y – 3z = 1

0x + 0y + 0z = 0

→ Sistema impossível (SI)

→ Sistema possível (SP)

4251

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Da análise dos sistemas vistos, tiramos as seguintes regras:

Regras – sistemas escalonados

Regra 1

Em um sistema escalonado, as equações nulas devem ser eliminadas, já que influenciam na resolução do sistema.

Regra 2

Um sistema escalonado é impossível só quando apresenta uma equação impossível; caso contrário o sistema é possível.

4251

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Exemplos

O sistema abaixo é escalonado e possível. Resolvê-lo e verificar se ele é determinado ou indeterminado.

x – y + z = 4

0x + y – z = 2

0x + 0y + 3z = 3

Número de equações (3) é igual ao número de incógnitas (3) → SPD

3.ª equação: 3z = 3 → z = 1

2.ª equação: y – z = 2 → y – 1 = 2 → y = 3

1.ª equação: x – y + z = 4 → x – 3 + 1 = 4

→ x = 6

→ Solução (6, 3, 1)

4251

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Exemplos

O sistema a seguir também é escalonado e possível. Resolvê-lo e analisar se ele é determinado ou indeterminado.

x – y + z = 3

0x + y – 2z = 3

0x + 0y + 0z = 0

A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada.

x – y + z = 3

0x + y – 2z = 3

O número de equações restantes (2) é menor que o número de incógnitas (3) → SPI

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Exemplos

x – y + z = 3

0x + y – 2z = 3 Incógnita livre: z

Incógnita livre: z = k

2.ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3 → y = 2k + 3

1.ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3

→ x – 2k – 3 + k = 3 → x = k + 6

Solução geral:

(k + 6, 2k + 3, k)

k = 1 → (7, 5, 1)k = –1 → (5, 1, –1)

...

4251

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Da análise dos dois últimos problemas, tiramos a seguinte regra:

Regras – sistemas escalonados

Regra 3

De um sistema possível, retiram-se as equações nulas. Se m é o número de equações restantes e n é o número de incógnitas, o sistema é

→ determinado, se m = n.→ indeterminado, se m < n.

4251

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Discussão de um sistema escalonado

Existe alguma equação do tipo impossível

Sim

Impossível (SI)

Não

Possível (SP)

m = n?

Determinado (SPD)

m < n?

Indeterminado (SPI)

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Sistemas com coeficientes paramétricos

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Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema

Exemplo

x – 2y + z = 3

0x + y – 5z = 7

0x + 0y + mz = n – 1

O sistema está escalonado. Para discuti-lo, vamos analisar as três hipóteses possíveis, a partir da última equação.

4251

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Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema

Exemplo

x – 2y + z = 3

0x + y – 5z = 7

0x + 0y + mz = n – 1

Sistema impossível (SI)

m = 0

n – 1 ≠ 0→

m = 0

n ≠ 1

A última equação deve ser impossível.

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Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema

Exemplo

x – 2y + z = 3

0x + y – 5z = 7

0x + 0y + mz = n – 1

Sistema possível e determinado (SPD)

m ≠ 0

n deve ser um número real qualquer.

Número de equações igual ao de incógnitas.

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Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema

Exemplo

x – 2y + z = 3

0x + y – 5z = 7

0x + 0y + mz = n – 1

Sistema possível e indeterminado (SPI)

m = 0

n – 1 = 0

A última equação deverá ser nula.

→m = 0

n = 1

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Escalonamento de sistemas

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Permite transformar um sistema linear qualquer em outro equivalente (de mesma solução), porém na forma escalonada.

São feitas transformações no sistema linear, baseadas em alguns princípios de equivalência de sistemas.

Método de eliminação de Gauss

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Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes.

Sistemas equivalentes

2x + y = 5

x – y = 1e

x + y = 3

3x + y = 7

Ambos os sistemas são possíveis e determinados.

A solução é a sequência (2, 1).

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Princípios de equivalência de sistemas

1.º Princípio

Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema.

2.º Princípio

Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por uma constante não-nula.

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Princípios de equivalência de sistemas

3.º Princípio

Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real não-nula.

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Escalonar o sistema linear

Exemplo

y – z = 5

4x + y + z = 15

–x – y + 8z = 0

y – z = 5

4x + y + z = 15

–x – y + 8z = 0 4 . E3

y – z = 5

4x + y + z = 15

–4x – 4y + 32z = 0 E3 + E1

y – z = 5

4x + y + z = 15

–3y + 33z = 15

4251

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Escalonar o sistema linear

Exemplo

E3 +3.E2

y – z = 5

4x + y + z = 15

–3y + 33z = 15

y – z = 5

4x + y + z = 15

30z = 30

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Matriz completa de um sistema

A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz completa do sistema. Veja

x – 2y + 3z = 1

2y + z = 7

–x + z = 5

1x – 2y + 3z = 1

0x + 2y + 1z = 7

–1x + 0y + 1z = 5

1 –2 3 1

0 2 1 7

–1 0 1 5

Matriz completa:

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Escalonamento pela matriz completa

Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5

x + 3y = 1

3x – y = 4

2 –1 5

1 3 1

3 –1 4

1 3 1

2 –1 5

3 –1 4

-2

4–13

3–70

131 -3

1–100

3–70

131

10

7

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0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5

x + 3y = 1

3x – y = 4

1–100

3–70

131

10

7 7–700

30–700

131

-1

–2300

30–700

131 A matriz está escalonada.A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 → SI

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1

2x + y – 3z = 5

x – 4y + 6z = –2

1 –1 1 1

2 1 –3 5

1 –4 6 –2

L2 – 2L1 →

5

–5

1

–3–30

330

1–11

L3 – L1 →

5

–5

1

–3–30

330

1–11

L3 + L2 → 0

–5

1

000

330

1–11

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Prof. Jorge

Escalonamento pela matriz completa

Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1

2x + y – 3z = 5

x – 4y + 6z = –2

0

–5

1

000

330

1–11 A matriz está escalonada.A última linha representa a equação 0x + 0y + 0z = 0 → SPI

x – y + z = 1

3y – 5z = 3

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

x – y + z = 1

3y – 5z = 3Incógnita livre: z = k

2.ª equação: 3y – 5z = 3 → 3y – 5k = 3

→ y =3 + 5k

3

1.ª equação: x – y + z = 1 → x = y – z + 1

→ x =

3 + 5k

3– k + 1 → x

=

2k + 6

3

Solução geral:2k + 6

3

3 + 5k

3, k,

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5

3x + ay = b

1 –2 5

3 a b L2 – 3L1 → b – 15a + 60

5–21

Sistema impossível (SI)

a + 6 = 0

b – 15 ≠ 0→

a = –6

b ≠ 15

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5

3x + ay = b

1 –2 5

3 a b L2 – 3L1 → b – 15a + 60

5–21

Sistema possível e determinado (SPD)

a + 6 ≠ 0 → a ≠ –6

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5

3x + ay = b

1 –2 5

3 a b L2 – 3L1 → b – 15a + 60

5–21

Sistema possível e indeterminado (SPI)

a + 6 = 0

b – 15 = 0→

a = –6

b = 15

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Discutir, em função do parâmetro m, o sistema

x + my = 1

mx + y = 1

1 m 1

m 1 1 mL1 – L2 → m – 1m2 – 10

1m1

Sistema impossível (SI)

m2 – 1 = 0

m – 1 ≠ 0→

m = ±1

m ≠ 1→ m = –1

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Discutir, em função do parâmetro m, o sistema

x + my = 1

mx + y = 1

1 m 1

m 1 1 mL1 – L2 → m – 1m2 – 10

1m1

Sistema possível e determinado (SPD)

m2 – 1 ≠ 0 → m ≠ ± 1

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Discutir, em função do parâmetro m, o sistema

x + my = 1

mx + y = 1

1 m 1

m 1 1 mL1 – L2 → m – 1m2 – 10

1m1

Sistema possível e indeterminado (SPI)

m2 – 1 = 0

m – 1 = 0→

m = ±1

m = 1→ m = 1

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Discutir, em função do parâmetro k, o sistema homogêneo 2x – y + z = 0

x + y – 3z = 0

x + 4y + kz = 0

2 –1 1 0

2 1 –3 0

1 4 K 0

2L2 – L1 →

k + 3

–7

1

030

030

0–12

L3 – L2 →

k + 3

–7

1

030

030

0–12

L3 – L2 → k + 10

–7

1

000

030

0–12

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Prof. Jorge

Escalonamento pela matriz completa

Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0

x + y – 3z = 0

x + 4y + kz = 0

k+10

–7

1

000

030

0–12

Sistema possível e determinado (SPD)

k + 10 ≠ 0 → k ≠ 10

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Escalonamento pela matriz completa

Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0

x + y – 3z = 0

x + 4y + kz = 0

k+10

–7

1

000

030

0–12

Sistema possível e indeterminado (SPI)

k + 10 = 0 → k = 10

42510011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Regra de Cramer

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Regra de Cramer

Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes. (Gabriel Cramer 1750)

A Regra de Cramer é indicada para sistemas possíveis e determinados, com número de equações igual ao número de incógnitas.

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Regra de Cramer

Suponhamos o sistema linear abaixo com duas equações e duas incógnitas. a1x + b1y = m

a2x +b2y = na1 a2

b1 b2

= = a1.b2 – a2.b1

m a2

n b2

x = = m.b2 – a2.n

a1 m

b1 ny = = a1.n – m.b1

→ x =

x

→ y =

y

4251

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

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Exemplo

Resolver pela regra de Cramer o sistema

3x + y = 5

5x – 2y = 12

3 1

5 –2 = = 3.(–2) – 1.5

5 1

12 –2x = = 5.(–2) – 1.12

3 5

5 12y = = 3.12 – 5.5

= –11

= –22

= 11

→ x =

–22

–11

→ y =

11

–11

= 2

= –1