Post on 11-Jan-2016
description
Progressoes aritmeticas
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Sumario
1 Progressoes aritmeticas 3
1.1 Progressoes aritmeticas de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Soma dos termos de uma P.A de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Deslocando as condicoes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Progressoes e series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Progressao aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2
Capıtulo 1
Progressoes aritmeticas
Definicao 1 (Operador diferenca). Dada uma funcao f : R → R definimos o operador
∆ que leva uma funcao f : R → R em uma funcao ∆f : R → R dada por
∆f(x) := f(x+ 1)− f(x).
Definicao 2 (Potencias de ∆). Definimos
∆0f(x) = f(x)
∆n+1f(x) = ∆nf(x+ 1)−∆nf(x)
para n natural.
Definicao 3 (Operador E.). Dado h ∈ R definimos o operador Eh que leva funcoes
f : R → R em uma funcao EhfR → R, dada por
Ehf(x) = f(x+ h).
Observe que ∆f(x) = f(x+ 1)− f(x) entao escrevemos ∆ = E − 1.
Definicao 4 (Potencia fatorial ). Definimos a potencia fatorial de passo h e expoente n
e base x como
x(n,h) =n−1∏k=0
(x− kh)
com n ∈ N , x, h ∈ R .
3
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 4
Com n = 0 usamos o produto vazio
x(0,h) =−1∏k=0
(x− kh) = 1.
Usaremos em especial o caso de h = 1
x(n,1) =n−1∏k=0
(x− k).
Corolario 1 (Interpolacao de Newton). Vamos deduzir informalmente a formula de in-
terpolacao de Newton, que permite escreve uma sequencia como soma das suas diferencas.
De ∆ = E − 1 tem-se ∆ + 1 = E, elevando a n, tem-se
En = (∆ + 1)n =n∑
k=0
(n
k
)∆k
aplicando em f(0) tem-se
Enf(0) = f(n) =n∑
k=0
(n
k
)∆kf(0).
Definicao 5 (Coeficiente binomial). Definimos o coeficiente binomial
(x
k
)da seguinte
maneira (x
k
)=
x(k,1)
k!
para k natural e x real ou complexo.
Definicao 6 (Somatorio indefinido). Um somatorio indefinido de g(x) e uma funcao f(x)
tal que ∆f(x) = g(x), nesse caso escrevemos∑x
g(x) = f(x)
nesse caso vale
b∑x=a
g(x) = f(b+ 1)− f(a) = f(x)
∣∣∣∣b+1
a
.
Propriedade 1. Vale a propriedade∑x
x(n,1) =x(n+1,1)
n+ 1.
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 5
1.1 Progressoes aritmeticas de ordem p
Definicao 7 (Progressao aritmetica de ordem p.). Uma progressao aritmetica de ordem
p , p ∈ N , e uma sequencia f(n) onde tem-se ∆pf(n) = r = 0 ∀n ∈ N . Podemos
mostrarque isso implica que f(n) e um polinomio de grau p em n, e aplicando mais uma
vez o operador diferenca em ambos lados, temos que ∆p+1f(n) = 0 e assim temos uma
recorrencia de ordem p+ 1
f(n+ p+ 1) =
p∑k=0
(p+ 1
k
)(−1)p−kf(n+ k)
logo precisamos de p+ 1 condicoes iniciais.
Neste texto tomaremos como primeiro termo da progressao o termo f(0) e nao f(1)
isso e feito pois simplificar as formulas gerais. Se forem dadas p + 1 condicoes iniciais
f(0), . . . , f(p) isto e f(k) com k variando de 0 ate p.
Se a definicao
Propriedade 2 (Formula geral de uma P.A de ordem p.). A formula geral de uma P.A
de ordem p e
f(n) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0)
que e um polinomio de grau p em n.
Demonstracao.
Podemos achar a formula geral usando a interpolacao. Sabemos que f(n) pode ser
escrito como
f(n) =n∑
k=0
(n
k
)∆kf(0)
como sabemos que os termos a partir de ∆p+1f(0) sao todos zero, se temos n > p, n ∈ N ,
escrevemos
f(n) =n∑
k=0
(n
k
)∆kf(0) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0) +
n∑k=p+1
(n
k
)∆kf(0)
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 6
onde o segundo membro sempre se anula, pois temos termos com coeficiente ∆sf(0) com
s > p e esses termos sao todos nulos entao temos
f(n) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0)
. Se n < p nao ha problemas em escrever
f(n) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0)
pois podemos abrir o somatorio
f(n) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0) =
n∑k=0
(n
k
)∆kf(0) +
p∑k=n+1
(n
k
)∆kf(0)
onde o segundo somatorio e zero, pois temos termos da forma
(n
k
)=
n(k,1)
k!que sao zero
pra k natural maior que n, por propriedade de potencias fatoriais, tendo que o menor
valor de k no somatorio a direita e n + 1 que ja e maior que n, logo o segundo termo e
zero. Agora se p = n, podemos escrever
f(n) =n∑
k=0
(n
k
)∆kf(0) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0)
entao em todos casos, podemos escrever
f(n) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0).
Como temos que ∆pf(0) = r uma constante diferente de zero, temos abrindo o limite
superior do somatorio
f(n) =
p−1∑k=0
(n
k
)∆kf(0) +
(n
p
)∆pf(0) =
p−1∑k=0
(n
k
)∆kf(0) +
n(p,1)
p!r
onde n(p,1) e um polinomio de grau p em n . O grau dos termos que ficaram dentro
do somatorio sao todo menores que p, logo nao pode haver termo que anule o termo de
coeficiente np. Podemos tomar entao como formula geral o polinomio de grau p em n
f(n) =
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0).
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 7
Corolario 2 (P.A de ordem zero.). Uma P.A de ordem zero e uma sequencia (xn) que
satisfaz ∆0xn = xn = c = 0 para alguma constante c, entao progressoes aritmeticas de
ordem zero sao constantes nao nulas.
Nao definimos a ordem de uma sequencia nula xn = 0, assim como nao definimos grau
para o polinomio nulo 0.
Propriedade 3. Se sao dadas as p+1 condicoes iniciais f(k) com k variando de 0 ate p,
temos o polinomio solucao .
Demonstracao. Basta mostrar que vamos ter os coeficientes do polinomio que sao
os termos ∆kf(0) com k variando de 0 ate p. Temos que ∆kf(0) = (E − 1)kf(0) =k∑
s=0
(k
s
)(−1)k−sEsf(0) =
k∑s=0
(k
s
)(−1)k−sf(s) essa relacao diz que para ter ∆kf(0) pre-
cisamos dos termos f(s) com s variando de 0 ate k, como temos f(s) de s = 0 ate s = p,
isso implica que temos ∆kf(0) de k = 0 ate k = p.
Propriedade 4. f e uma progressao aritmetica de ordem p ⇔ f(n) e de grau p em n.
Demonstracao. ⇒). Ja mostramos que se f e uma progressao aritmetica de ordem
p entao f(n) e de grau p em n no resultado anterior.
⇐). Suponha que
f(n) =
p∑k=0
aknk
com ap = 0, fica como o exercıcio para o leitor provar que
∆pf(n) = ap.p! = 0 ∀n ∈ N
portanto f(n) e uma P.A de ordem p.
Propriedade 5. Seja f(n) uma progressao aritmetica de ordem l entao vale a propriedade
∆l−1f(n)−∆l−1f(p)
n− p= c.
Demonstracao. Temos
f(n) =l∑
k=0
(n
k
)ck, ∆l−1f(n) =
l∑k=0
∆l−1
(n
k
)ck =
l∑k=0
(n
k − l + 1
)ck = cl−1 + n.cl
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 8
assim ∆l−1f(p) = cl−1 + p.cl e temos ∆l−1f(n) − ∆l−1f(p) = cl−1 + n.cl − cl−1 − p.cl =
cl(n− p)
logo vale∆l−1f(n)−∆l−1f(p)
n− p= c.
1.1.1 Soma dos termos de uma P.A de ordem p
Propriedade 6. Seja f uma P.A de ordem p, entao a soma dos seus termos e dada por
b∑n=a
f(n) =
p∑k=0
((b+ 1
k + 1
)−(
a
k + 1
))∆kf(0)
em especialb∑
n=0
f(n) =
p∑k=0
(b+ 1
k + 1
)∆kf(0).
Demonstracao.
Vamos calcular o somatorio indefinido
∑n
f(n) =∑n
p∑k=0
(n
k
)∆kf(0) =
p∑k=0
∑n
(n
k
)∆kf(0)
como temos∑n
(n
k
)=
∑ n(k,1)
k!=
n(k+1,1)
(k + 1)(k)!=
n(k+1,1)
(k + 1)!=
(n
k + 1
), temos
∑n
f(n) =
p∑k=0
(n
k + 1
)∆kf(0)
aplicando limites temos
b∑n=a
f(n) =
p∑k=0
(n
k + 1
)∣∣∣∣b+1
a
∆kf(0)
em especial se a = 0b∑
n=0
f(n) =
p∑k=0
(n
k + 1
)∣∣∣∣b+1
0
∆kf(0)
temos que (n
k + 1
)∣∣∣∣b+1
0
=
(b+ 1
k + 1
)−(
0
k + 1
)=
(b+ 1
k + 1
)ficamos com
b∑n=0
f(n) =
p∑k=0
(b+ 1
k + 1
)∆kf(0).
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 9
1.1.2 Deslocando as condicoes iniciais
Se quisermos comecar a progressao a partir de g(1) e nao de f(0), tomamos g(1) = f(0)
e g(n+ 1) = f(n) para todo n assim ficamos com g(n) = f(n− 1)
g(n) = f(n− 1) =
p∑k=0
(n− 1
k
)∆kg(1).
g(n) =
p∑k=0
(n− 1
k
)∆kg(1)
Se quisermos comecar a progressao a partir de h(n0) = f(0), basta tomar h(n+n0) =
f(n) assim ficamos com h(n) = f(n− n0)
h(n) = f(n− n0) =
p∑k=0
(n− n0
k
)∆kh(n0).
h(n) =
p∑k=0
(n− n0
k
)∆kh(n0).
[?] [?]
1.2 Progressoes e series
Vejamos alguns problemas de progressoes aritmeticas e series.
Exemplo 1. Calcule o valor para o qual converge a serie, sabendo que o denominador
da seguinte soma esta em P.A de ordem 2
1
10+
1
18+
1
28. . .
Sendo de ordem 2, tomamos as diferencas
10 18 28
8 10
2
e comecamos com k = 0,
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 10
logo a sequencia se escreve como
f(k) = 10 + 8(k) + 2(k)(k − 1)
2= 10 + 8k + k2 − k = 10 + 7k + k2
procuramos fatorar a expressao, 10 + 7k + k2 = (k + 2)(k + 5), entao a serie e
∞∑k=0
1
(k + 2)(k + 5)=
∞∑k=2
1
(k)(k + 3)=
∞∑k=1
1
(k)(k + 3)− 1
4
a ultima serie tem valor conhecido que eH3
3= 11/18 logo a serie tem valor 11/18−1
4=
13
36.
Foi usado o resultado∞∑k=1
1
(k)(k + p)=
Hp
p
onde Hp e o p-esimo numero harmonico, se p natural
Hp =
p∑k=1
1
k.
1.3 Progressao aritmetica
Definicao 8 (Progressao aritmetica-P.A). Progressao aritmetica e a sequencia (an) que
satisfaz a equacao de diferenca
∆a(n) = r
onde r e um real qualquer, nesse caso podendo ser nulo .Temos na progressao aritmetica
a(n+ 1)− a(n) = r, a diferenca entre termos consecutivos e uma constante, chamada de
razao da progressao aritmetica. O numero n em a(n) e chamado de ındice da sequencia e
a(n) de n-esimo termo. Podemos simbolizar tanto o n-esimo termo tanto por an quanto
por a(n).
Com nossa definicao uma P.A engloba as progressoes aritmeticas de ordem 1, onde
∆an = r = 0 e progressoes aritmeticas de ordem 0 onde ∆an = 0.
Corolario 3. Numa P.A vale a identidade
r(n− p) = a(n)− a(p),
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 11
pois aplicando o somatorio na definicao temos
n−1∑k=p
∆a(k) =n−1∑k=p
r = r(n− p) = a(n)− a(p),
tomando p = 1 segue
a(n)− a(1) = r(n− 1) =⇒ a(n) = a(1) + (n− 1)r
a(n) = a(1) + (n− 1)r
que e a expressao geral da P.A em funcao do primeiro termo a1.
Corolario 4 (Condicao de alinhamento). Da identidade
r(n− p) = a(n)− a(p)
se n = p podemos escrever
r =a(n)− a(p)
n− p.
Tomando dois outros termos de indices distintos a(s) e a(t), vale que
a(s)− a(t)
s− t= r =
a(n)− a(p)
n− p
se a(n) = a(p) vale tambem
a(s)− a(t)
a(n)− a(p)=
s− t
n− p
, isto e,a(s)− a(t)
a(n)− a(p)e sempre um numero racional nessas condicoes.
Exemplo 2. Alguns exemplos de progressoes aritmeticas.
a1 = 0, r = 3
(0, 3, 6, 9...)
a1 = −2, r = 5
(−2, 3, 8, 13, 18, ...)
a1 = 7, r = −1
(7, 6, 5, 4, 3, ...)
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 12
Soma de termos da progressao aritmetica
c∑k=b
ak =c∑
k=b
a1 + (k − 1).r = a1
c∑k=b
k(0,1) + r
c∑b
(k − 1) = a1.k + r(k − 1)(2,1)
2
∣∣∣∣ c+1
b
= a1k + r
(k − 1
2
)∣∣∣∣ c+1
b
= a1
(k
1
)+ r
(k − 1
2
)∣∣∣∣ c+1
b
Se tomarmos o limite b = 1 e c = n
a1
(k
1
)+ r
(k − 1
2
)∣∣∣∣ n+1
1
= a1
(n+ 1
1
)+ r
(n
2
)− a1
(1
1
)= a1
(n
1
)+ r
(n
2
)=
= a1n+n(n− 1)
2r.
como temos an = a1 + (n− 1).r, na formula soma colocando n em evidencia
n
(a1 +
(n− 1)
2
)= n
(a1 + a1 + (n− 1)
2
)= n
(a1 + an
2
)
Metodo de Gauss
No capıtulo de Definicoes, falamos sobre um metodo de achar a soma dos primeiros
n numeros naturais, agora usando apenas as propriedades de somatorio vamos deduzir o
mesmo resultado, queremos mostrar que
n∑k=0
k =n(n+ 1)
2
apenas manipulando o somatorio, pela propriedade de mudanca de ordem temos
n∑k=0
k =n∑
k=0
n− k =n∑
k=0
n−n∑
k=0
k = nn∑
k=0
1−n∑
k=0
k = n(n+ 1)−n∑
k=0
k
assimn∑
k=0
k = n(n+ 1)−n∑
k=0
k
implicando
2n∑
k=0
k = n(n+ 1)
en∑
k=0
k =n(n+ 1)
2
CAPITULO 1. PROGRESSOES ARITMETICAS 13
Propriedade 7. Se an+ b admite valores naturais para todo n natural, entao a e b sao
naturais.
Demonstracao. b e natural pois a0 + b = b e natural. Se a = 0 entao a e natural,
temos tambem que a+b e natural e 2a+b tambem. Ainda 2a+b > a+b , 2a+b−a−b = a
que e natural.
Propriedade 8. Sejam os naturais divididos em p progressoes aritmeticas cujos conjuntos
dos seus termos sao disjuntos, sejam rk|nk=1 as razoes dessas p progressoes aritmeticas,
entaop−1∑k=0
1
rk= 1.
Demonstracao.(nao consegui resolver, mostrar que a(n, k) = pn + k) Seja v um
numero natural, pela divisao euclidiana por p ele se escreve da forma v = pn + k com
0 ≤ k ≤ p− 1
Exemplo 3. Podem√2,√3 e
√5 serem termos de uma mesma progressao aritmetica?
Suponha que sim, entao temos an =√2, ap =
√3 e ar =
√5, deve valer a condicao de
alinhamento, logo
√2−
√3√
3−√5= c ⇒
√2−
√3 = c
√3− c
√5 ⇒
√2 + c
√5 = (c+ 1)︸ ︷︷ ︸
t
√3 ⇒
√2 + c
√5 = t
√3
elevando ao quadrado ambos membros tem-se (com u = t2.3)
2 + 2√10c+ 5 = u ⇒
√10 =
v
2c
comov
2ce racional e
√10 e irracional, chegamos num absurdo.