Post on 22-Jan-2019
Resistencia dos Materiais I - Caderno deConsultas
Instrucoes:
Resolva as questoes com clareza e ordem. A interpretacao dos enunciados faz parte da prova. Naosendo indicado o contrario, use aproximacoes de 4 algarismos significativos, considere os pesos propriosdesprezıveis e as deformacoes elasticas proporcionais. A seguir, as especificacoes de materiais a considerar:
Aco Alumınio Bronze MadeiraPeso Especıfico (N/m2) 77× 103 27× 103 88× 103 6× 103
Modulo de Elasticidade Longitudinal (MPa) 210× 103 70× 103 100× 103 10× 103
Modulo de Elasticidade Transversal (MPa) 84× 103 28× 103 42× 103 -Coeficiente de Dilatacao Termica (oC)−1 11, 7× 10−6 23, 2× 10−6 16, 9× 10−6 -
1 Unidades de Forca e Tensao
1.1 Sistema Internacional de Unidades (SI - MKS)
Forca: Newton (N), sendo usual o quilonewton (1 kN = 103 N)
Tensao: Pascal (Pa = 1 N/m2), sendo usual o Megapascal (1 MPa = 106 Pa = 1 N/mm2)
1.2 Sistema Tecnico (Mkfs)
Forca: quilograma Forca (kgf)
Tensao: kgf/m2 ou tf/cm2 ou kgf/mm2
1.3 Conversoes
1 kgf = 9,81 N ∼ 10 N
1 kgf/cm2 = 0,0981 MPa ∼ 0,1 MPa
1 N = 0,102 kgf ∼ 0,1 kgf
1 MPa = 10,2 kgf/cm2 ∼ 10 kgf/cm2
1
2 Tracao/Compressao Simples
Observacao: nao sendo indicado o contrario, admitir as deformacoes elasticas proporcionais (valida alei de Hooke)
• E = modulo de elasticidade longitudinal
• L = comprimento inicial da barra
• A (constante) ou Ax (variavel) = area da secao sransversal
• N (constante) ou Nx (variavel) = esforco normal
• σ (constante) ou σx (variavel) = tensao normal
• ε (constante) ou εx (variavel) = deformacao longitudinal especıfica
• ∆L = deformacao longitudinal (total) da barra
2.1 Barra prismatica com esforco normal constante:
σ = NA
ε = σE= N
E×A∆L = ε× L = σ×L
E= N×L
E×A
Figura 1: Barras submetidas a tracao e compresao simples
2.2 Barra de eixo reto e secao variavel, com esforco normal variavel:
Nx =∫ x0 qx dx+ F σx = Nx
Axεx = σx
E= Nx
E×Ax∆L =
∫ L0 εxdx =
∫ L0
Nx
E×Axdx
Figura 2: Barra com eixo e esforco normal variaveis
2
Observacoes:
• Se a carga axial distribuıda for o peso proprio, entao qx = γAx (γ e o peso especıfico):
Nx = F +∫ x0 γAxdx NB = F +
∫ L0 γAxdx = F +G
Onde:
∫ x0 γAxdx e o peso do corpo ate a secao S, e
∫ L0 γAxdx e o peso total (G) do corpo.
• No caso anterior se Ax = A (constante), entao q = γA (constante), assim temos que:
Nx = F + γAx σ = FA+ γx ( Variacoes lineares com maximo em x = L )
εx = FEA
+ γxE
−→ ∆L = FLEA
+ γL2
2E= (F+G/2)L
EA
2.3 Deformacoes transversal, superficial e volumetrica:
Sejam:
• a = uma dimensao da secao transversal
• A = area da secao transversal
• V = volume da barra
• εa, εA e εV as respecivas deformacoes especıficas
• ∆a, ∆A e ∆V as respectivas deformacoes totais
Entao:
εa = −νεx e ∆a = εaaεA = εy + εz e ∆A =
∫
A εAdAεV = εx + εy + εz e ∆V =
∫
V εV dV
Para Tracao e Compressao simples, segue:
εy = εz = −νεx ∆A = −2νεxA ∆V = 1−2νE
∫ L0 Nxdx
Observacao:
• Na analise dos efeitos da variacao de temperatura, a deformacao longitudinal (nao impedida) emum barra de comprimento L, secao constante ou variavel, devido a variacao de temperatura ∆T(◦C) e igual a: ∆L = αL∆T (α = coeficiente de dilatacao termica, (◦C)−1)
3 Cisalhamento em Secoes Isoladas
• Q = esforco cortante na secao
• A = area da secao transversal
• τ = tensao tangencial (de cisalhamento) media na secao: τ = Q/A
• G = modulo de elasticidade transversal: G = E/2(1 + ν)
• γ(rad) = distorcao angular (deformacao especıfica no cisalhameno puro): γ = τ/G
3
4 Torcao em eixos de secao circular anular
r e d = raio e diametro internos n = rR= d
D(n = 0 para secao circular)
R e D = raio de diametro externos
• momento polar de inercia: J0 =πD4
32 (1− n4)
• modulo de resistencia a torcao: W0 = J0/R
• tensao maxima: τmax =TW0
= 16TπD3(1−n4)
• tensao em uma fibra distante ρ unidades de comprimento do eixo: τ = τmaxρ/R
• angulo de torcao entre duas secoes distantes L unidades de comprimento entre si, sendo o momentotorsor T constante e sendo o modulo de elasticidade transversal G:
θ =TLGJ0
=τmaxLRG
Figura 3: Secao anelar submetida a torcao
5 Torcao em tubos de paredes finas
• T = momento torsor na secao
• Am = area delimitada pela linha media
• Lm = comprimento da linha media
• f = fluxo de cisalhamento (constante ao redor da secao)
• e = espessura (constante ou variavel ao redor da secao)
• τ = tensao de cisalhamento em um ponto
• J = constante de torcao
• θ = angulo de torcao para um comprimento L
• G = modulo de elasticidade transversal
f = T2Am
τ = fe= T
2eAm
θ = TLGJ
J = 4Am2
∫ LM
0
ds
e
4
Figura 4: Linha media de uma secao transversal de um tubo de paredes finas.
6 Torque aplicado a um eixo na transmissao de potencia
• Torque: T (Nm)
• Potencia: P (1W = 1N.m/s)
• Velocidade Angular: ω (rad/s) −→ T = P/ω
• Frequencia: f (Hertz: 1Hz = 2π rad/s) −→ T = P/2πf
• Frequencia: f (rpm: 1rpm = (2π/60) rad/s) −→ T = 60P/2πf
Potencia em cavalos-vapor: 1 cv = 736 W (Watts)
Potencia em cavalos-forca: 1 hp = 746 W (Watts)
7 Tensoes em Vigas
7.1 Tensoes normais devido ao momento fletor na flexao reta (pura ou
simples)
Eixos principais de inercia da secao:- eixo-y: eixo de solicitacao (ES), intersecao entre o plano de cargas e o plano da secao.- eixo-x: linha neutra (LN), intersecao da superfıcie neutra com o plano da secao.
Sejam:
• M = momento fletor na secao
• I = momento de inercia da secao em realacao a LN
• y = ordenada de uma cama de fibras paralelas a superfıcie neutra
• σ = tensao normal nas fibras dessa camada
Figura 5: Tensoes em fibras em funcao do momento
5
Entao:σ = M
Iy Variacao Linear conforme mostra o diagrama de tensoes a seguir, para M > 0
Figura 6: Diagrama de tensoes normais devido ao momento fletor M
• As tensoes maximas em valor absoluto, que ocorrem nos extremos da secao, sao :
σs =MWs
e σi =MWi
• Onde Ws e Wi sao os modulos de resistencia a flexao (elasticas e proporcional, isto e, tensoes edeformacoes proporcionais, obedecendo a lei de Hooke) e sao determinados por:
Ws =Ids
e Wi =Idi
7.2 Tensoes de Cisalhamento
Figura 7: Tensao de cisalhamento e momento estatico em uma superfıcie AB de uma secao S, qualquer.
• Q = esforco cortante na secao
• I = momento de inercia da secao, em relacao a LN
• t = largura da secao, constante ou variavel t = t(y)
• Ms = momento estatico (1o ordem), em relacao a LN e em valor absoluto, da area Ai (inferior acamada AB) ou da area As (superior a camada AB)
6
Na camada de fibras AB, paralela a LN, de ordenada y:
• Fluxo de Cisalhamento (forca de cisalhamento lingitudinal por unidade de comprimento): f = QMs
I
• Tensao de Cisalhamento (constante na largura da secao): τ = ft= QMs
It
• Ms = MAi= |MAs | (momento estatico: Ms =
∫
A ydA = Ay)
Obs.: Ms, f e τ sao funcoes de y (−ds ≤ y ≥ di), iguais a zero no topo e na base. Ms e f sao maximosna LN, enquanto que a posicao da camada de τmax depende de t(y).
8 Baricentros e Momentos de Inercia de Superfıcies Planas
Seja uma superfıcie S de Area A e baricentro (Centro de Gravidade) G(x,y), P(x,y) um ponto genericode S, e um elemento dA em torno de P:
• Momento Estatico (1o ordem) em relacao a um eixo (eixo-x ou eixo-y):
Mx =∫
S ydA = yA e My =∫
S xdA = xA
• Momento de Inercia (2o ordem) em relacao a um eixo (eixo-x ou eixo-y):
Ix =∫
S y2dA e Iy =
∫
S x2dA
• Momento Polar de Inercia em relacao a origem J0:
J0 =∫
S r2dA =
∫
S(x2 + y2)dA = Ix + Iy
• Teorema dos eixo paralelos:
J = JCG + d2A
9 Deformacoes em Vigas - Linha Elastica da Flexao
9.1 Equacao da linha elastica
• q = q(x) = ordenada de carga
• Q = Q(x) = esforco cortante
• M = M(x) = momento fletor
• θ = θ(x) = angulo de rotacao
7
Figura 8: Equacao diferencial da linha elastica da flexao em uma secao s de abscissa x generica
• v = v(x) = flecha = ordenada da linha elasticak = 1
ρ= dθ
dx= d2v
dx2 = −MEI
−→ d3vdx3 = − Q
EIe d4v
dx4 = − qEI
• k = curvatura
• ρ = raio de curvatura (na secao s)
• E = modulo de elasticidade longitudinal
• I = momento de inercia da secao (em relacao a linha neutra)
9.2 Condicoes de apoios e articulacoes (extraıda de Hibbeler (2008))
Apoio do 10 genero de extremidade Apoio do 20 genero de extremidade
MA = 0 MA = 0vA = 0 vA = 0θA 6= 0 θA 6= 0
Apoio interno do 10 genero Apoio interno do 20 genero
vA = vB = 0 vA = vB = 0θA = θB 6= 0 θA = θB 6= 0
Apoio do 30 genero Extremidade livre
MA 6= 0 QA 6= 0 MA = 0 QA = 0vA = 0 θA = 0 vA 6= 0 θA 6= 0
Pino ou articulacao interna
M = 0 (no pino) QA = QB
vA = vB θA 6= θB
8
12 Deflexoes e Inclinacoes de Vigas
Fonte: Mecanica dos Solidos - Volume 1 - Timoshenko
Tabela 1: Deflexoes e inclinacoes de vigas engastadas embalanco (EI constante)
Caso Equacoes
v = deflexao na direcao yv′ = dv
dx= θ = inclinacao da linha elastica
vB = v(L) = deflexao na extremidade direita da vigaθB = inclinacao na extremidade direita da viga
(1)
v = qx2
24EI(6L2 − 4Lx+ x2)
θ = qx6EI
(3L2 − 3Lx+ x2)
vB = qL4
8EIθB = qL3
6EI
(2)
v = qx2
24EI(6a2 − 4ax+ x2) 0 ≤ x ≤ a
θ = qx6EI
(3a2 − 3ax+ x2) 0 ≤ x ≤ a
v = qa3
24EIθ = qa3
6EIa ≤ x ≤ L
Para x = a : v = qa4
8EIθ = qa3
6EI
vB = qa3
24EI(4L− a) θB = qa3
6EI
(3)
v = qx2
12EI(3bL+ 3ab− 2bx)
0 ≤ x ≤ a
θ = qbx2EI
(L+ a− x)0 ≤ x ≤ a
v = q24EI
(x4 − 4Lx3 + 6L2x2 + ...−4a3x+ a4) a ≤ x ≤ L
θ = q6EI
(x3 − 3Lx2 + 3L2x− a3)a ≤ x ≤ L
Para x = a : v = qa2b12EI
(3L+ a)
Para x = a : θ = qabL2EI
vB = q24EI
(3L4 − 4a3L+ a4)θB = q
6EI(L3 − a3)
(4)
v = Px2
6EI(3L− x) θ = Px
2EI(2L− x)
vB = PL3
3EIθB = PL2
2EI
(5)
v = Px2
6EI(3a− x) θ = Px
2EI(2a− x) 0 ≤ x ≤ a
v = Pa2
6EI(3x− a) θ = Pa2
2EIa ≤ x ≤ L
Para x = a : v = Pa3
3EIθ = Pa2
2EI
vB = Pa2
6EI(3L− a) θB = Pa2
2EI
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Tabela 1 – Continuacao
Caso Equacoes(6)
v = Mx2
2EIθ = Mx
EI
vB = ML2
2EIθB = ML
EI
(7)
v = q0x2
120LEI(10L3 − 10L2x+ 5Lx2 − x3)
θ = q0x24LEI
(4L3 − 6L2x+ 4Lx2 − x3)
vB = q0L4
30EIθB = q0L3
24EI
(8)
v = q0x2
120LEI(20L3 − 10L2x+ x3)
θ = q0x24LEI
(8L3 − 6L2x+ x3)
vB = 11q0L4
120EIθB = q0L3
8EI
15
Tabela 2: Deflexoes e inclinacoes de vigas simplesmenteapoiadas (EI constante)
Caso Equacoes
v = deflexao na direcao yv′ = dv
dx= θ = inclinacao da linha elastica
vC = v(L/2) = deflexao no meio do vaox1 = distancia de A ao ponto de deflexao maxima
vmax = deflexao maximaθA = angulo na extremidade esquerda da vigaθB = angulo na extremidade direita da viga
(1)v = qx
24EI(L3 − 2Lx2 + x3)
θ = q24EI
(L3 − 6Lx2 + 4x3)
vC = vmax = 5qL4
384EIθA = θB = qL3
24EI
(2)v = qx
384EI(9L3 − 24Lx2 + 16x3)
0 ≤ x ≤ L2
θ = q384EI
(9L3 − 72Lx+ 64x3)0 ≤ x ≤ L
2
v = qL384EI
(8x3 − 24Lx2 + 17L2x− L3)L2≤ x ≤ L
θ = qL384EI
(24x2 − 48Lx+ 17L2)L2≤ x ≤ L
vC = 5qL4
768EIθA = 3qL3
128EIθB = 7qL3
384EI
(3)
v = Px48EI
(3L2 − 4x2) 0 ≤ x ≤ L2
θ = P16EI
(L2 − 4x2) 0 ≤ x ≤ L2
vC = vmax = PL3
48EI
θA = θB = PL2
16EI
(4)v = Pbx
6LEI(L2 − b2 − x2) 0 ≤ x ≤ a
θ = Pb6LEI
(L2 − b2 − 3x2) 0 ≤ x ≤ a
θA = Pab(L+b)6LEI
θB = Pab(L+a)6LEI
→ Se a ≥ b, vC = Pb(3L2−4b2)48EI
→ Se a ≥ b, x1 =√
L2−b2
3e
vmax = Pb(L2−b2)3/2
9L√3EI
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Tabela 2 – Continuacao
Caso Equacoes(5)
v = qx24LEI
× ...(a4 − 4a3L+ 4a2L2 + 2a2x2 + ...−4aLx2 + Lx3) 0 ≤ x ≤ a
θ = q24LEI
× ...(a4 − 4a3L+ 4a2L2 + 6a2x2 + ...−12aLx2 + 4Lx3) 0 ≤ x ≤ a
v = qa2
24LEI(−a2L+ 4L2x+ a2x− 6Lx2 + 2x3)
a ≤ x ≤ L
θ = qa2
24LEI(4L2 + a2 − 12Lx+ 6x2)
a ≤ x ≤ L
θ = qa2
24LEI(4L2 + a2 − 12Lx+ 6x2) a ≤ x ≤ L
θa =qa2
24LEI(a2 − 4aL+ 4L2)
θB = qa2
24LEI(2L2 − a2)
(6)v = Px
6EI(3aL− 3a2 − x2) 0 ≤ x ≤ a
θ = P2EI
(aL− a2 − x2) 0 ≤ x ≤ av = Pa
6EI(3Lx− 3x2 − a2) a ≤ x ≤ L
2
θ = Pa2EI
(L− 2x) a ≤ x ≤ L2
θA = Pa(L−a)2EI
vC = vmax = Pa24EI
(3L2 − 4a2)
(7)v = Mx
6LEI(2L2 − 3Lx+ x2)
θ = M6LEI
(2L2 − 6Lx+ 3x2)
vC = ML2
16EIθA = ML
3EIθB = ML
6EI
x1 = L(
1−√33
)
e
vmax = ML2
9√3EI
(8)v = Mx
24LEI(L2 − 4x2) 0 ≤ x ≤ L
2
θ = M24LEI
(L2 − 12x2) 0 ≤ x ≤ L2
vC = 0 θA = ML24EI
θB = − ML24EI
(9)v = Mx
6LEI× ...
(6aL− 3a2 − 2L2 − x2) 0 ≤ x ≤ aθ = M
6LEI× ...
(6aL− 3a2 − 2L2 − 3x2)0 ≤ x ≤ aPara x = a : v = Ma
3LEI(3aL− 2a2 − L2)
Para x = a : θ = M3LEI
(3aL− 3a2 − L2)θA = M
6LEI(6aL− 3a2 − 2L2)
θB = M6LEI
(3a2 − L2)
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