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SIMETRIA
1164 – BIOLOGIA ESTRUTURAL Aula 7 Prof. Dr. Valmir Fadel
Simetria : Sólidos cristalinos se distinguem dos demais pela existência de uma ordem repetitiva ou periódica nos elementos (átomos ou moléculas ) que o compõem. A maneira como esta repetição acontece é chamada de simetria.
Na cristalografia geométrica que veremos a seguir nos ateremos a a este aspecto de maneiras possíveis de repetição em detrimento do que está sendo repetido.
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Unidade básica de repetição:
EnantiomorfoCongruente
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Elementos de simetria: Locus geométrico em relação a qual a operação de repetição se realiza. Exemplos: eixos e espelhos.
Operações de Simetria: Operações que geram as repetições.São quatro: Rotação
ReflexãoRotoreflexão (centro de inversão)Rotoinversão
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Eixo de rotação própria
21 3
4 6
Φ=360 Φ=180 Φ=120
Φ=60Φ=90
As repetições seguem a ordem direita, direita, direita, etc e geram pares congruentes
SIMETRIA
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Eixo de rotação imprópria
As repetições seguem a ordem direita, esquerda, direita, esquerda etc e geram pares enantimorfos
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Rotoreflexão
Combinação de uma rotação própria com uma reflexão
Φ=180Φ=360
2~1
~
SIMETRIA
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Rotoinversão
Combinação de uma rotação própria centro de inversão
Φ=180Φ=360
2-1
-
SIMETRIA
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21 3 4 6
2~
1~
3~
4~
6-
6~
4-
3-2
-1-
rotação
rotoreflexão
rotoinversão
Rotoreflexão e rotoinversão geram os mesmos padrões de repetição
Centro de simetria espelho Rotoinversão de 3ª ordem Rotoinversão de 4ª ordem Rotoinversão de 6ª ordem
mesmo lado
lado inverso
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Simetria em um cubo
1 centro de simetria9 espelhos6 eixos de ordem 24 eixo de rotoinversão de ordem 33 eixos de rotação de ordem 4
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Grupo Pontual ou Classes de cristais
Um conjunto de operações de simetria não translacionais que leva a um padrão de repetição distinto é um Grupo Pontual.
Quando dos primeiros estudos de cristais, verificou-se cristais que se apresentavam morfologicamente distintos possuíam um mesmo conjunto de operações de simetria. Cristais que apresentavam mesmas operações de simetria foram classificados em Classes.
Cada uma das operações de rotação próprias e impróprias constituem um Grupo Pontual ou Classe Cristalina. Outros Grupos podem ser obtidos pela combinação destas operações.
Respeitando as características translacionais dos cristais existem 32 Grupos Pontuais ou Classes de Cristais.
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Um exemplo de um novo grupo pontual pode ser obtido pela combinação de uma rotação própria com um plano de reflexão (espelho perpendicular ao eixo de rotação. Estes novos grupos são simbolicamente representados por 1/m, 2/m, 3/m, 4/m e 6/m, mas acrescentam somente três novos grupos pois 1/m=m=2barra e 3/m=6barra.
2
m___ 4
m___ 6
m___
1m
___ 3
m___
Uma propriedade intrínseca dos grupos pontuais é que a aplicação de duas operações de simetria gera um a terceira simetria. Como visto no exemplo anterior, a aplicação de 2 operações (rotação própria e plano de reflexão) gerou uma terceira simetria (centro de inversão).
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ψ
ψψ
Outro exemplo é a colocação de um plano de reflexão paralelo ao eixo de rotação, cuja terceira simetria gerada é outro plano de reflexão paralelo ao eixo formando um ângulo entre os espelho de metade do ângulo de rotação.Obviamente o inverso também é verdadeiro: Se dois espelhos se interceptam de um ângulo ψ, uma rotação de 2ψ aparece na sua interseção.
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Assim, por exemplo, a introdução de espelhos perpendiculares (ψ=90°) gera um eixo de ordem 2 (ψ=180°) na interseção dos espelhos. 2mm 3m
4mm 6mm
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E testando todas as combinações possíveis e não repetitivas chegamos a 32 grupos, que são classificados de acordo com a mais alta ordem de rotação que possuem, em 6 SISTEMAS CRISTALINOS.
4, 4barra, 4/m, 422, 4mm, 4barra2m, 4/m2/m2/mum 4Tetragonal
3, 3barra, 32, 3m, 3barra2/m, 6, 6barra, 622, 6mm, 6barram2, 6/m, 6/m2/m2/m.
um 3 ou 6Hexagonal
23, 432, 2/m3barra, 4barra3m, 4/m3barra2/mquatro 3Cúbico
222, 2mm, mmmtrês 2Ortorrômbico
2, m, 2/mum 2Monoclínico
1, 1barra1Triclínico
ClassesSimetria mínima
CRISTAIS
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Repetição periódica – Cristais e Redes bidimensionai s
Rede (imaginário) Cristal (real)
+
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As operações de simetria e a repetição periódica li mitam as possibilidades de redes
Rede paralelograma acomoda 1 e 2
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As operações de simetria e a repetição periódica li mitam as possibilidades de redes
Rede diamante e retangular acomodam espelhos
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As operações de simetria e a repetição periódica li mitam as possibilidades de redes
Rede triangular tem um eixo 3 e a rede quadrada tem um eixo 4
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Cela unitária: Unidade que por repetição periódica constrói a rede
Unidade Assimétrica: Unidade que por aplicação das operações de simetria (grupos pontuais) e translação constrói o cristal
CRISTAIS
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A cela ‘e dita primaria quando contem somente um ponto da rede e múltipla quando contem mais de um ponto
Nas redes tridimensionaisencontramos os tipos de celas:
P – primitivaC – faces centradas (opostas)I – corpo centradoF – todas as faces centradas
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Os pontos da rede pode ser obtidos pelo deslocamento periódico dos pontos através de vetores não coplanares
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Tomando os eixos de rotação dos cristais como eixos de referência. Os três eixos mutuamente não coplanares são chamados eixos cristalográficos e comumente denotados por a, b e c, exceto se são equivalentes frente às operações de simetria, onde então são chamados de a1, a2 e a3 e os ângulos entre eles denotados por α, β e γ.
a
b
c
αβ
γ
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Assim, temos para os SISTEMAS CRISTALINOS:
c paralelo a 6 (ou 3)
a1, a2 e a3 devem ser paralelos a 4
c paralelo a 4
a, b e c devem se paralelos a 2
c paralelo a 2
não especificada
Orientação dos eixos
6
3
23
4
222
2
1
Grupo pontual de simetria mínima
Hexagonal a1 = a2 ≠ cα = β =
90º; γ = 120º Romboédrico a = b = c
α = β = γ ≠ 90º
Trigonal
a1 = a2 = a3
α = β = γ = 90ºCúbico
a1 = a2 ≠ cα = β = γ = 90º
Tetragonal
a ≠ b ≠ c ≠ aα = β = γ = 90º
Ortorrômbico
a ≠ b ≠ c ≠ aα = γ = 90º; β ≠ 90º
Monoclínico
a ≠ b ≠ c ≠ aα ≠ β ≠ γ (todos ≠ 90º)
Triclínico
Eixos e Ângulos entre os eixosSistema de cristalização
CRISTAIS
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SISTEMA TRICLÍNICO
P
SISTEMA MONOCLÍNICO
P C
AS 14 REDES DE BRAVAIS
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SISTEMA TRIGONAL
SISTEMA HEXAGONAL
P
R
SISTEMA ROMBOÉDRICO
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SISTEMA CUBICOSISTEMA TETRAGONAL
P I
P IF
CRISTAIS
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CRISTAIS
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
Planos cristalográficos
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CRISTAISPlanos cristalográficos definem as faces de um cristal
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CRISTAIS
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
Planos cristalográficos são codificados pelos índices de Miller h k l
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CRISTAIS
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
Os interceptos dos planos nos eixos cristalográficos, podem ser expressos pelas razões a/h, b/k e c/l. com h, k e l inteiros.
Os índices de Miller são obtidos pelos denominadores inteiros destas frações.
110
120
010
410140
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CRISTAISRede Recíproca
a
bc
a* = b x ca . b x c
a*
b*c*
b* = c x aa . b x c
c* = a x ba . b x c
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CRISTAISRede Recíproca
a* = b x ca . b x c
b* = c x aa . b x c
c* = a x ba . b x c
a
b
c
αβ
γ
b*
a*
c*
a*.b=0a*.c=0b*.a=0b*.c=0c*.a=0c*.b=0
a*.a=1b*.b=1b*.b=1
|a*| ∝ 1/|a||b*| ∝ 1/|b||c*| ∝ 1/|c|
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CRISTAISRede Recíproca
Seja S o vetor que descreve a posição de um ponto na rede recíproca, S(hkl)=ha* + kb* + lc* e S(hkl) é perpendicular aos planos hkl e S(hkl)=1/d onde d é a distância entre os planos hkl.
ab
120
b*a*
S(120) = a* + 2b*
S
d120