Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em ... · Luís Caldas de Oliveira Sinais e...

Luís Caldas de Oliveira

Sinais e Sistemas

Representação de Sinais Periódicos emSéries de Fourier

lco@ist.utl.pt

Instituto Superior Técnico

Sinais e Sistemas – p.1/39

Resumo

Resposta de SLITs a exponenciais complexas

Resumo

Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)

Resumo

Convergência da série de Fourier

Resumo

Propriedades da CFS

Resumo

Propriedades da CFS

Série de Fourier de sinais discretos (DFS)

Resumo

Propriedades da CFS

Propriedades da DFS

Resumo

Propriedades da CFS

Propriedades da DFS

A série de Fourier e os SLITs

Resumo

Propriedades da CFS

Propriedades da DFS

A série de Fourier e os SLITs

Filtragem

Objectivo

Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar asaída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinalperiódico.

Objectivo

Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar asaída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinalperiódico.Solução: vamos começar por estudar a resposta do SLITa exponenciais complexas.

Analisador de Fourier

Jean-Baptiste Fourier (1768-1830)

Tendo um conjunto completo de funções de base,qualquer função arbitrária pode ser descrito como umacombinação linear dessas funções.

Função Própria de um Sistema

p(t) será uma função própria de um sistema caracterizadopela transformação T (·) se:

T (p(t)) = P p(t)

neste caso P é o valor próprio associado à função própriap(t).

Funções Próprias dos SLITs

Os sinais exponenciais complexos são funçõespróprias dos SLITs

x(t) = est −→ y(t) =

∫ +∞

−∞

h(τ)es(t−τ)dτ = est

∫ +∞

−∞

h(τ)e−sτdτ

︸︷︷︸

ou seja:y(t) = H(s)est

em que H(s) é o valor próprio associado à função própria

Função de Transferência

H(s) =

∫ +∞

−∞

h(t)e−stdt

No caso geral, H(s) pode ser um valor complexo:

H(s) = HR(s) + jHI(s)

= |H(s)|e j∠H(s)

Soma de Exponenciais Complexas

Para analisar SLITs é útil decompor o sinal de entrada emtermos de uma soma de funções próprias:

x(t) =∑

akeskt

Neste caso, a saída poderá ser obtida através de:

y(t) =∑

akH(sk)eskt

Combinação Linear de Exponenciais

Conjunto das funções de base exponenciaiscomplexas harmonicamente relacionadas:

φk(t) = e jkω0t = e jk(2π/T )t, k ∈ �

Todas estas exponenciais têm período T (embora nãosendo o período fundamental).

A combinação linear destas exponenciais temtambém período T :

x(t) =

+∞∑

k=−∞

akejkω0t =

+∞∑

k=−∞

akejk(2π/T )t

Série de Fourier Contínua (CFS)

À representação de um sinal periódico pela combinaçãolinear de exponenciais complexas harmonicamenterelacionadas dá-se o nome de série de Fourier:

x(t) =

+∞∑

k=−∞

akejkω0t

x(t) =

+∞∑

k=−∞

akejkω0t

em que x(t) tem como período fundamental:

T0 =2π

x(t) =

+∞∑

k=−∞

akejkω0t

em que x(t) tem como período fundamental:

T0 =2π

aos pesos ak da combinação linear dá-se o nomecoeficientes de Fourier

Determinação dos Coeficientes

x(t)e− jnω0t =

+∞∑

k=−∞

akejkω0te− jnω0t

x(t)e− jnω0tdt =

+∞∑

k=−∞

akejkω0te− jnω0tdt

x(t)e− jnω0tdt =

+∞∑

k=−∞

[∫ T

e j(k−n)ω0tdt

x(t)e− jnω0tdt = anT

Série de Fourier Contínua

x(t) =

+∞∑

k=−∞

akejkω0t

x(t)e− jkω0tdt

Condições de Dirichlet

O somatório da série de Fourier converge se severificarem as seguintes condições:

Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrávelnum período:

|x(t)|dt < ∞

Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos emínimos em cada período.

|x(t)|dt < ∞

Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos emínimos em cada período.

Condição 3: x(t) tem um número finito dediscontinuidades num intervalo de tempo finito eessas discontinuidades são finitas.

James Beauchamp (1964)

Harmonic Tone Generator

Gerador de seisharmónicas comfrequência fundamental de0 a 2000 Hz.

Controlo das amplitudesdas seis harmónicas, dafrequência fundamental eda fase da segundaharmónica.

A frequência fundamentalera controlada por umteclado externo ou porgeradores que produziamvibrato e outros efeitos.

Propriedade da Linearidade

Sex(t) −−−→

ey(t) −−−→

então:Ax(t) + By(t) −−−→

CFSAak + Bbk

Propriedade do Deslocamento

x(t − t0) −−−→CFS

ake− jkω0t0

x(t)e jlω0t −−−→CFS

ak−l

x(t − t0) −−−→CFS

ake− jkω0t0

x(t)e jlω0t −−−→CFS

ak−l

O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientesda CFS. O seu módulo mantém-se inalterável.

Inversão Temporal

x(t) −−−→CFS

x(−t) −−−→CFS

Inversão Temporal

x(−t) −−−→CFS

A inversão temporal resulta na inversão da sequência doscoeficientes de Fourier.

Propriedade da Multiplicação

y(t) −−−→CFS

x(t)y(t) −−−→CFS

∑+∞l=−∞ albk−l

Propriedades do Conjugado

x∗(t) −−−→CFS

a∗−k

x∗(−t) −−−→CFS

Propriedades de Simetria

ℜ[x(t)] −−−→CFS

ake =1

2[ak + a∗−k]

jℑ[x(t)] −−−→CFS

ako =1

2[ak − a∗−k]

xe(t) =1

2[x(t) + x∗(−t)] −−−→

CFSℜ[ak]

xo(t) =1

2[x(t) − x∗(−t)] −−−→

CFSjℑ[ak]

Relação de Parseval

A relação de Parseval para sinais periódicos contínuosvale:

|x(t)|2dt =

+∞∑

k=−∞

Sequências Periódicas

x(n) é uma sequência periódica de período N:

x(n + N) = x(n)

Sequências Periódicas

x(n) é uma sequência periódica de período N:

x(n + N) = x(n)

A série de Fourier é uma soma pesada de exponenciaiscomplexas harmónicas:

x(n) =∑

akej 2π

Exponenciais Complexas Discretas

e j 2πN

(k)n = e j 2πN

(k+lN)n

Exponenciais Complexas Discretas

e j 2πN

(k)n = e j 2πN

(k+lN)n

N−1∑

e j 2πN

1 se k = mN,

0 no caso contrário.

Série de Fourier Discreta (DFS)

Análise: ak =1

N−1∑

x(n)e− j 2πN

Síntese: x(n) =

N−1∑

akej 2π

x(n) −−−−→DFS

Propriedade da Linearidade

Sex(n) −−−−→

ey(n) −−−−→

então:Ax(n) + By(n) −−−−→

DFSAak + Bbk

x(n − m) −−−−→DFS

ake− j 2π

x(n)e j 2πN

nl −−−−→DFS

ak−l

x(n − m) −−−−→DFS

ake− j 2π

x(n)e j 2πN

nl −−−−→DFS

ak−l

O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientesda DFS. O seu módulo mantém-se inalterável.

Propriedades do Conjugado

x∗(n) −−−−→DFS

a∗−k

x∗(−n) −−−−→DFS

Propriedades de Simetria

ℜ[x(n)] −−−−→DFS

ake =1

2[ak + a−k]

jℑ[x(n)] −−−−→DFS

ako =1

2[ak − a−k]

xe(n) =1

2[x(n) + x∗(−n)] −−−−→

DFSℜ[ak]

xo(n) =1

2[x(n) − x∗(−n)] −−−−→

DFSjℑ[ak]

Propriedade da Multiplicação

x(n) −−−−→DFS

y(n) −−−−→DFS

x(n)y(n) −−−−→DFS

l=<N> albk−l

Relação de Parseval

A relação de Parseval para sinais periódicos discretos:

|x(n)|2dt =∑

SLITs Contínuos

Se o sinal de entrada contínuo estiver representado naforma de uma série de Fourier, a saída de um SLIT podeser calculada por:

x(t) =

+∞∑

k=−∞

akejkω0t =⇒ y(t) =

+∞∑

k=−∞

akH( jkω0)e jkω0t

em que H( jω) é a resposta em frequência do sistemacom resposta impulsiva h(t):

H( jω) =

∫ +∞

−∞

h(t)e− jωtdt

SLITs Discretos

No caso dos SLITs discretos, se o sinal de entrada estiverrepresentado na forma de uma série de Fourier, podemosdeterminar a sua saída com:

x(n) =∑

akejkω0n =⇒ y(n) =

akH(e jkω0)e jkω0n

em que H(e jω) é a resposta em frequência do sistemacom resposta impulsiva h(n):

H(e jω) =

+∞∑

n=−∞

h(n)e− jωn

Filtragem

Tipos de filtros

Filtros de balanceamento em frequência: servempara moldar o espectro de um sinal (por exemplo, ocontrole de graves e agudos de um amplificador)

Filtragem

Tipos de filtros

Filtros de balanceamento em frequência: servempara moldar o espectro de um sinal (por exemplo, ocontrole de graves e agudos de um amplificador)

Filtros selectivos em frequência: seleccionam ouremovem componentes em frequência do sinal (porexemplo, o ruído de 50 Hz).

Filtros selectivos

� -- �

H( jω)

Passagem RejeiçãoRejeição

ωc−ωc 0

H( jω) =

1, |ω| ≤ ωc

0, |ω| > ωc

Os filtros selectivos apresentam bandas de passagem ebandas de rejeição.

Tipos de Filtros Selectivos

Passa-baixo: deixam passar as componentes comfrequência abaixo de um dado valor.

Passa-alto: deixam passar as componentes comfrequência acima de um dado valor.

Passa-banda: deixam passar as componentes comfrequência dentro de uma dada gama.

Rejeita-banda: rejeitam as componentes comfrequência dentro de uma dada gama.

Conclusões

A série de Fourier decompõe uma sequênciaperiódica numa combinação linear de exponenciaiscomplexas com frequências harmónicas.

Conclusões

As exponenciais complexas são funções próprias dosSLITs

Conclusões

Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saídade um SLIT podem ser obtidos multiplicando oscoeficientes do sinal de entrada pela resposta emfrequência do SLIT.

Conclusões

Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saídade um SLIT podem ser obtidos multiplicando oscoeficientes do sinal de entrada pela resposta emfrequência do SLIT.

Os filtros são SLITs com uma resposta em frequênciaapropriada para remoção ou alteração decomponentes em frequência do sinal de entrada.

Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.39/39

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