Post on 11-Jan-2016
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SISTEMAS ESTRUTURAIS II
Universidade Federal FluminenseDepartamento de Engenharia Civil
Sistemas Estruturais IIProfª.: Eliane Maria Lopes Carvalho
Monitora: Daniela Ribeiro da Costa Silva
OBJETIVOS
Tipos de Estruturas
número de reações de apoio=
número de equações de equilíbrio
ESTRUTURAS ISOSTÁTICASSão estruturas que apresentam as mínimas condições de
manutenção do equilíbrio estático diante da atuação de qualquer carregamento. A estrutura isostática não apresenta reserva de segurança, por isso caso ocorra o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura se tornará hipoestática.
Exemplo:
Temos:
3 Reações de Apoio → VA , VB e HB
3 Equações de Equilíbrio → ∑FH = 0, ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
As estruturas hipoestáticas são aquelas que não possuem as condições mínimas de manutenção do equilíbrio estático diante da solicitação de qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NÃO pode ser projetada, por serem inadmissíveis para as construções devido à sua INSTABILIDADE.
ESTRUTURAS HIPOESTÁTICAS
número de reações de apoio<
número de equações de equilíbrio
Exemplo:
Temos:
2 Reações de Apoio → VA e VB
3 equações de Equilíbrio → ∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
As estruturas hiperestáticas são as estruturas mais freqüentes na pratica e são as que devem preferencialmente ser utilizadas. Este tipo de estrutura possui reserva de segurança, apresentando portando condições além das necessárias para manter o equilíbrio estático. Caso haja, o rompimento de um de seus vínculos, a estrutura manterá a sua estaticidade.
É necessário impor condições de compatibilidade de deformação para obter mais equações e resolver o sistema.
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS
número de reações de apoio>
número de equações de equilíbrio
Exemplo:
Temos:
4 Reações de Apoio → VA, HA, VB e HB
3 Equações de Equilíbrio →∑FH = 0 , ∑FV = 0 e ∑Mz = 0
Solicitações em Estruturas Isostáticas
Submetidas a Diferentes Tipos de
Carregamentos
ESFORÇOS SIMPLES
P1, P2, P3, P4 → forças externas
Seja um corpo submetido a um conjunto de forças em equilíbrio:
Seção S
E D
P2 P1
P4P3
CÁLCULO DOS ESFORÇOS NA SEÇÃO S
a) Secciona-se o corpo por um plano que intercepta segundo uma seção S, dividindo-o em 2 partes: E e D.
b) Para ser possível esta divisão, preservando o equilíbrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seção S, um sistema estático equivalente ao das forças da parte retirada.
c) Aplicando as equações de equilíbrio a qualquer das duas partes, obtêm-se os esforços atuantes nas seções.
y
my
Qy
xmxQx
z
Qzmz
y
my
Qy
z
x
mx Qx
Qzmz
Seção S
E D
P2 P1
P4P3
P2
P3
E
P1
P4D
Tipos de Esforços
ESFORÇO NORMALSoma algébrica das componentes, na direção normal à seção, de
cada uma das forças atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal pode ser de dois tipos: tração ou compressão.
Tração Compressão
Convenção de Sinais:
+ -
Tração Compressão
N N N N
Conclusão: um esforço cortante Qy ou Qz, é positivo quando, calculando pelas forças situadas do lado esquerdo da seção, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, quando for calculado pelas forças situadas do lado direito da seção, tiver os sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrário, o esforço cortante será negativo.
Esforço Cortante NegativoEsforço Cortante Positivo
Esforço Cortante em Relação ao eixo z:
Esforço Cortante Positivo Esforço Cortante Negativo
+
Q
Q Q
Q
-
Esforço Cortante Negativo
Esforço Cortante Positivo
Esforço Cortante em Relação ao eixo y:
ESFORÇO CORTANTESoma vertical das componentes, sobre o plano da seção, das forças
situadas em um dos lados desta seção, na perpendicular do eixo da estrutura. O esforço cortante pode ocorrer em relação ao eixo y ou em relação ao eixo z.
Convenção de Sinais:
MOMENTO TORÇORSoma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos lados
desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o seu centro de gravidade.
Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo
Convenção de Sinais:
Momento Torçor Positivo Momento Torçor Negativo
+ -T T T T
Bordo Comprimido
Bordo Tracionado Bordo Comprimido
Bordo Tracionado
Momento Fletor Negativo
Momento Fletor em Relação ao eixo z:
Momento Fletor Positivo
Momento Fletor Negativo
Momento Fletor em relação ao eixo y:
Momento Fletor Positivo
Convenção de Sinais:
Momento Fletor Positivo Momento Fletor Negativo
+ -m m m m
Bordo Comprimido
Bordo TracionadoBordo Comprimido
Bordo Tracionado
Soma algébrica dos momentos das forças atuantes de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento fletor, um dos bordos da viga sofre tração e o outro bordo sofre compressão.
Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ocorre em torno do eixo x ou em torno do eixo y.
MOMENTO FLETOR
RESUMINDO:
No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforços simples:
a) Esforço Normal N;
b) Esforços Cortantes Qy e Qz;
c) Momento Torçor T;
d) Mementos Fletores my e mz
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE:
No caso de estruturas planas, que apresentem carregamentos atuantes apenas no seu próprio eixo, temos a atuação somente dos seguintes esforços:
- N → Esforço Normal ( seja de tração ou de compressão)
- Qy → Esforço Cortante em relação ao eixo y
- Mz → Momento Fletor em relação ao eixo z
Convenção de Sinaispara a Elaboração
de Diagramas
Esta é a convenção de sinais que devemos utilizar para elaborar os diagramas de esforços solicitantes.
Convenção Referente ao Sinal Positivo
Convenção Referente ao Sinal Negativo
Traçado de Diagramas em Viga Isostática Submetida a Carga
Concentrada
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20
gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga concentrada P.
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = P
∑MB = 0 → VA . L – P . b = 0, logo: VA = Pb/L
∑MA = 0 → VB . L – P . A = 0, logo: VB = Pa/L
Conferindo: VA +VB = Pb/L + Pa/L = P → OK
VB = Pa L
VA = Pb L
P
x
S1
y
S2
L
a b
BC
A
Cálculo dos Esforços na Seção S1:
Q1 = VA = Pb/L → constante
m1 = VA . x = Pb/L . x → Equação de uma reta
Cálculo dos Esforços na Seção S2:
Q2 = VA – P = VA – ( VA + VB) = Pb/L – (Pb/L +Pa/L) = Pb/L – Pb/L – Pa/L = - Pa/L →
cte
m2 = VA . y – P ( y – a )= Pb/L . y – P ( y – a )→ Equação de uma reta
Calculando os esforços nas seções S1 e S2:
Q2
m2
Q1
m1
VA = Pb L
x
S1A
P
x
S1
y
S2
C
A
VA = Pb L
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
+
-
Pb L
Pa L
O diagrama de esforço cortante deve ser traçado seguindo o sentido das forças atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado esquerdo, inicialmente temos:
- No ponto A, a força cortante Pb/L para cima,
- Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo.
- E finalmente, no ponto B, a força Pa/L para cima.
Observe que o diagrama de esforço cortante de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é uma constante
BA
C
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETORCálculo do Momento Fletor:
mA = 0 e mB = 0
mC esquerda= VA. a = Pb/L . a = Pba/L → Equação da reta
mC direita = VB . b = Pa/L . b = Pab/L → Equação da reta
m máx = Pab L
+
Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas é retilíneo.
Traçado de Diagramasem Viga Isostática Submetida a Carga
Uniformemente Distribuída
A B
q
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20
gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga uniformemente distribuída q.
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = q . L
∑MB = 0 → VA . L – qL . L/2 = 0, logo: VA = qL/2
∑MA = 0 → VB . L – qL . L/2 = 0, logo: VB = qL/2
Conferindo: VA +VB = qL/2 + ql/2 = qL → OK
Como não há carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada com componente horizontal, não existem reações no eixo x. Portanto,neste caso não há diagrama de esforço normal.
VA = qL 2
VB = qL 2
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
Cálculo do Esforço Cortante:
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
Traçado de Diagramas em Vigas Inclinadas Submetidas a Carga
Concentrada
Temos:
L = a² + b²
VA = VB = q . L 2Tg = b a
A
VB cos
VB sen
VA cos VA sen
VA
VBq
B
L
Apresentamos uma estrutura bi apoiada com uma viga inclinada, sendo o apoio da esquerda de 20 gênero e o da direita de 10. Colocamos ainda uma carga concentrada q atuando na viga cujo comprimento é L.
DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL
Cálculo do Esforço Normal:
N(x) = -VA . sen+ q . sen. x (equação da reta)
p/x = 0 → NA = - qL . sen 2p/x = L → NB = -qL . sen + q . sen . x 2 → NB = qL . sen 2
+
-
qL sen 2
qL sen 2
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
Cálculo do Esforço Cortante:
Q(x) = VA . cos– q . cosx (equação da reta)
p/x = 0 →QA = qL . cos 2p/x = L →QB = qL . cos– q . cos. x 2 →QB = -qL . cos 2
+
-
qL . cos 2
qL . cos 2
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR
Cálculo do Momento Fletor:
m(x) = VA. cos .x – q.cos . x . x 2m(x) = qL . cos .x – q.cos . x² 2 2
+q . cos. L² 8
Cálculo do Momento Máximo:
m máx = qL/2 . cos . L/2 – q. cos . ½ . (L/2)²
m máx = q. cosL²/4 – q. cos . L²/8 = q.cos . L²/8
Carga Triangular
P
BA
SPS
Cálculo das Reações de Apoio:
∑FV =0 → VA + VB = ½ . P . L
∑MB = 0 → VA . L – ½ . P . L . L/3 = 0, logo: VA = PL²/6L = PL/6
∑MA = 0 → VB . L – ½ . P . L . 2L/3 = 0, logo: VB = PL/3
Conferindo: VA +VB = PL/6 + PL/3 = PL/2 → OK
VA = PL 6
VB = PL 3
Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20
gênero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento é L, está submetida a uma carga triangular.
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE
VA = Pl 6
LPS = P. x
SCálculo dos Esforços na seção S:
PS/x = P/L → PS = Px/L
Cortante:
QS = VA – ½ . PS . x = PL/6 – ½ . Px/L . x
QS = PL/6 – Px²/2L → Parábola do 2º grau
PL
6
PL
3
+
-
A
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETORCálculo do Momento Fletor:
mS = PL/6 . x – ½ . PS . x . x/3 = PL/6 . x – ½ . Px/L . x . x/3
mS = PL/6 . x – PX³/6L → Parábola do 3º grau
Cálculo do Momento Máximo:
→ O momento máximo ocorre no ponto onde o cortante é nulo,
para que a seção S ocorra onde o cortante é nulo, temos:
QS = PL/6 – Px²/2L = 0 → x² = L²/3 → x = 0,577 . L
m máx = PL/6 . 0,577L – P.(0,577L)³/6L
m máx = 0,09622L² - 0,032PL²
m máx = 0,064PL²
+
m máx = 0,064PL²0,064PL²