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17 a 21 de Mayo de 2004 Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo. Mendoza. Argentina. Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería Estructural
SOBRE O PROJETO E A CONSTRUÇÃO DE ESTRUTURAS TENSEGRITY
Telmo Egmar Camilo Deifeld1
Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti2 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações Av. Prof. Almeida Prado, trav. 2, número 83
05508-900, São Paulo, SP-Brasil
tdeifeld@usp.br; pauletti@usp.br
RESUMO Tensegrity é, segundo Richard Buckminster Füller, o princípio estrutural pelo qual a forma da estrutura é
garantida pela interação entre uma rede contínua de cabos tracionados e um conjunto de elementos
comprimidos, isolados entre si. As estruturas tensegrity fazem parte de um grupo de estruturas que somente
são possíveis de existir a partir da aplicação de um campo equilibrado de tensões iniciais - as assim
chamadas tensoestruturas, ou estruturas retesadas. Para estas estruturas a definição da forma inicial é
uma das incógnitas do projeto estrutural.
O processo da busca de uma forma inicial equilibrada é parte de relevada importância na concepção e no
dimensionamento destas estruturas. O conhecimento deste aspecto, que diferencia significativamente as
estruturas retesadas das estruturas convencionais, não pode ser negligenciado no momento de construir. É
por este motivo que as técnicas de construir assumem papel tão importante neste sistema estrutural.
Este trabalho inicia relatando, de forma sucinta, a origem das estruturas tensegrity e discutindo sua
definição. Na seqüência apresenta-se uma breve descrição de obras já construídas segundo este princípio,
descrevendo-se os processos de montagem utilizados, discutindo-se, posteriormente a importância do
processo de busca da forma.
Propõe-se um processo para a busca da forma e uma metodologia para a simulação da montagem de
estruturas tensegrity, por meio de um elemento finito especial, cuja formulação é apresentada. Finalmente,
apresentam-se as formas equilibradas e o processo de montagem de alguns módulos tensegrity básicos,
definidos por meio da metodologia proposta.
1 Doutorando 2 Orientador
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1 Introdução
1.1 Origem das estruturas tensegrity
É difícil apontar, de forma convicta, uma obra, ou uma pessoa, como marco inicial no desenvolvimento das
estruturas tensegrity, mas com certeza Richard Buckminster Füller foi um dos grandes mentores deste
sistema estrutural. Ele afirmou que as estruturas deveriam fazer maior uso das forças normais de tração.
Convidado a ser professor em um curso de verão no Black Mountain College (Carolina do Norte, EUA), teve
Kenneth Snelson como um de seus alunos que mais se interessou pelo conceito transmitido. Snelson
desenvolveu uma série de esculturas formadas por fios contínuos separados por estroncas descontínuas,
usando o que ele denominou de “compressão flutuante”, como a esquematizada na Figura 1 (a) [1]. Em
1968, Snelson construiu uma torre medindo 18,2mx6mx6m, a qual ficou conhecida como “Needle Tower”
(Figura 1(b)), e posteriormente, em 1969, outra com 30m de altura ("Needle Tower II"). Foram estas
algumas das obras que mais divulgaram o comportamento das estruturas tensegrity. Outro marco das
estruturas tensegrity foi a escultura construída próximo a Rambouillet, na França, conhecida como
“Monument à la Forme Futile” (Figura 2) [2].
Figura 1 – X-column (uma das primeiras esculturas de
Snelson) e a Needle Tower II (extraídas de http://www.kennethsnelson.net/)
Figura 2 – Monument à la Forme Futile (extraída de [2])
Ainda que as estruturas tensegrity tenham surgido como manifestação artística, sem intenção de aplicação
na engenharia estrutural, e que uma obra tão qualificada para exemplificar o comportamento que
apresentam tenha sido relacionada com a futilidade, elas têm se mostrado como um sistema estrutural
confiável e vêm despertando o interesse de pesquisadores e projetistas. Füller parece ter percebido isto,
pois ele declarou logo no primeiro parágrafo da sua patente sobre tensegrity que o sistema tem aplicação a
estruturas especiais que com vãos livres poderiam ‘abrigar uma cidade inteira’ [3].
1.2 Conceito
O termo “tensegrity” – uma contração de “tensional integrity” – foi criado por Richard Buckminster Füller para
descrever o princípio estrutural em que a forma da estrutura é garantida pela interação entre uma rede
contínua de cabos tracionados e um conjunto de elementos comprimidos [4].
Em 1994, Motro definiu os sistemas tensegrity como estruturas espaciais reticuladas compostas por
membros retificados, barras e cabos que definem um volume estável no espaço pelo efeito do equilíbrio
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entre tração e compressão. Segundo ele, estruturas tensegrity caracterizam-se por serem: a) compostas por
elementos comprimidos (barras) e tracionados (cabos); b) estruturas articuladas; e c) auto-equilibradas [5].
Quirant, em 2001, definiu tensegrity como sistemas constituídos de elementos de forma retilínea,
reticulados, espaciais e retesados (as barras são comprimidas e os cabos tracionados) e compostos por
tensegrity simplex [6].
Outras definições podem ser encontradas na literatura, mas assim como estas, sem uniformidade no que
diz respeito ao auto-equilíbrio. No entanto, todas podem ser resumidas em duas: a definicão restrita, que
considera apenas as redes de cabos retesadas auto-equilibradas, nas quais se incluem barras rígidas
comprimidas, isoladas entre si, e a definição abrangente, na qual são consideradas também as estruturas
que transferem cargas de retesamento a um sistema de apoios, não sendo, portanto, auto-equilibradas.
A polêmica envolvendo a definição das estruturas tensegrity atinge as aplicações mais prósperas deste
sistema, os domos de cabos. Estes domos são ancorados em anéis de compressão, normalmente formados
por peça única de concreto ou por treliça de aço. Todavia a discussão é inócua, pois é possível definirmos
um anel de compressão formado por módulos tensegrity e ancorarmos nele o domo de cabos, como mostra
a Figura 3. Este arranjo, por mais que não seja tão eficaz como a solução usual – pois o anel tensegrity é
mais instável –, atende ao quesito de estrutura auto-equilibrada. Como se vê neste exemplo, a
desconsideração dos domos de cabos como estruturas tensegrity não é justificável.
XY
Z
(a) (b)
Figura 3 –(a) Domo de cabos ancorado em um anel tensegrity; (b) detalhe do anel tensegrity
Sabe-se ainda que estes sistemas são estática e cinematicamente indeterminados. Portanto, sua
concepção requer um estudo mecânico que leva o projetista a buscar os estados de retesamento e os
mecanismos infinitesimais presentes no sistema [7]. É então possível comprovar a estabilidade do estado
de tensões iniciais por um método energético que considere os mecanismos infinitesimais [8].
1.3 Obras realizadas
As obras mais relevantes já construídas com base nos sistemas tensegrity são os domos de cabos.
Também neste caso Füller foi pioneiro. Mas para ele as redes de cabos tracionados deveriam obedecer a
um critério de triangulação. Esta limitação, em muitos casos, impedia o uso efetivo deste sistema estrutural.
Geiger, em 1984, disse que a triangulação não é uma parte necessária da estrutura de cabo, pois a torna
estrutura redundante e pode induzir a um refinamento desnecessário. Ele definiu uma estrutura nova que
não é baseada na triangulação, mas que tem as mesmas propriedades . Na verdade, Geiger desejava criar
um sistema estrutural tão econômico quanto uma estrutura de membrana inflada, mas sem a necessidade
de um sistema mecânico para derreter a neve ou mesmo para inflar a estrutura. Simplificando a rede de
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cabos de Füller e fazendo um domo com perfil muito mais baixo e aerodinâmico, Geiger pôde projetar uma
estrutura auto-portante pesando pouco mais que suas estruturas pneumáticas [3,9].
Os principais domos tensegrity já construídos são as coberturas dos seguintes estádios esportivos:
• Olympic Gymnastics Arena e Olympic Fencing Arena (Seoul, South Korea – 1986) – Foram
construídos para os Jogos Asiáticos (1986) e os Jogos Olímpicos de Seul (1998), com projetos
arquitetônicos de Space Group of Korea (Gymnastics) e Dong Myeong Architects and Planners
(Fencing). Suas coberturas, com projeto e execução de David Geiger, constituem as primeiras estruturas
a utilizar o sistema tensegrity em grande escala. São dois domos circulares que têm diâmetros de
119,8m e 89,9m, respectivamente, cada qual composto por um anel de tração central e um anel
periférico de compressão, além de anéis intermediários de tração (três e dois, respectivamente). Em
ambas estruturas os anéis são concêntricos e juntamente com os cabos radiais (16), diagonais
intermediárias e mastros volantes (48 e 36, respectivamente) levam as cargas até ao anel de
compressão. Painéis de membrana cobrem a estrutura, seguindo a superfície delineada pelos cabos
radiais [9,10,11,12].
• Redbird Arena (Normal, Illinois, USA – 1988) – Construído na Illinois State University, com projeto
arquitetônico de Paul Kennon, tem como cobertura um domo de cabos tensegrity, projetada e executada
por David Geiger e David Campbell. Este foi o primeiro domo tensegrity construído em formato oval,
medindo 92,6m por 78,0m, com altura total de 24,34 m [11,12,13].
• Florida Suncoast Dome (Saint Petersburg, Florida, USA – 1989) – Construído inicialmente para a
prática de beisebol, hoje abriga competições de vários esportes. Foi renomeado duas vezes: em 1993
tornou-se ThunderDome e em 1996 passou a ser chamado de Tropicana Field. Sua cobertura é um
domo de cabos em formato circular, com diâmetro de 207,3m, também projetada e executada por Geiger
[9,10,11].
• Georgia Dome (Atlanta, Georgia, USA – 1992) – Foi construído para ser o centro das atividades dos
Jogos Olímpicos de Atlanta em 1996. Sua cobertura, o maior domo tensegrity construído até hoje, foi
projetada por Matthys P. Levy and Weidlinger Associates e construída por Wesley R. Terry, combinando
uma estrutura metálica tensegrity com painéis hiperbólicos de membranas. Em planta tem formato oval,
consistindo de duas semi-circunferências separadas por um segmento reto de 56m, medindo 240m por
193m. A rede de cabos é ancorada, nas suas extremidades, a um anel de compressão de concreto
armado. Os 52 pilares que sustentam este anel permitem que ele tenha deslocamentos radiais, de forma
a minimizar os efeitos das variações de temperatura. O ginásio tem altura total de 82,5m.
Do ponto de vista de projeto, por apresentar formato elíptico e com uma treliça central disposta na
direção longitudinal da construção, a cobertura do Georgia Dome é consideravelmente mais complicada
do que as dos domos circulares, pois as tensões não são uniformes. Por esta razão, Levy optou por
considerar a idéia inicial de Füller, que propôs uma rede de cabos baseada na triangulação [12,14,15].
• Taoyuan Sports Arena (Taoyuan, Taiwan – 1993) – Com projeto arquitetônico de H. C. Chen, tem
diâmetro de 136,2m e altura de 29,59 m. Sua cobertura foi projetada, fabricada e erigida em 14 meses.
Idealizada por Geiger, tem um vão livre de 120m [12,13,16].
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• Crown Coliseum (Fayetteville, North Carolina, USA – 1997) – Este ginásio tem uma estrutura circular,
com vão livre de 99,7m, que combina as vantagens dos domos de cabos com uma estrutura
convencional. Enquanto que todos os domos anteriores eram cobertos por membranas, este apresenta
uma cobertura metálica. Cada painel da cobertura tem quatro pontos de apoio, sendo que os painéis não
têm função estrutural, servindo apenas como vedação. São em número de três os seus anéis de tração.
O anel de compressão externo, formado por uma treliça cônica, é completamente exposto, aumentando
o impacto arquitetônico, pois esta configuração tem o aspecto de uma coroa. A diagonais mais externas
atravessam a cobertura, saindo do interior da construção, para conectar-se a parte superior da treliça
[13].
• La Plata Stadium (La Plata, Buenos Aires, Argentina – 2000) – Este estádio tem projero arquitetônico de
Roberto Ferreira y Arquitectos Associados, projeto estrutural de Weidlinger Associates e foi construído
por Astilleros Rio Santiago. A planta da cobertura deste estádio mede 238,06m por 187,48m, sendo uma
interseção de dois círculos com raio de 85,62m cujos centros distam um do outro de 48m, com. A altura
total da construção é de 65m. O domo de cabos que a constitui tem três anéis internos de tração e é
ancorado em uma treliça de aproximadamente 9m de largura e 13m de altura, apoiada no alto da
arquibancada do estádio. A forma da cobertura é definida pelos cabos que passam pelo topo dos
mastros volantes formando uma rede triangularizada, assim como no Georgia Dome. Cabos radiais que
partem do topo dos dois mastros centrais – localizados cada qual no centro de um dos círculos que
definem a forma do estádio – sustentam o anel de compressão mais interno. Cabos diagonais que
partem do topo dos mastros deste anel, juntamente com os cabos de topo, sustentam o segundo anel. O
mesmo processo se repete para o terceiro anel de compressão. Cabos dispostos em forma de diamante
partem do anel de compressão mais periférico para conectarem-se à treliça perimetral. Uma membrana
de fibra de vidro cobre a estrutura [12,17].
1.4 Métodos construtivos
Uma etapa chave no projeto de estruturas tensegrity é a definição do processo de montagem. Cada etapa
deste processo deve ser rigorosamente planejada. Uma forma de encontrar um procedimento eficiente é, a
partir de uma estrutura montada, imaginar a sua desmontagem, invertendo-se o processo na hora de
construir. Esta forma foi sugerida por Geiger para determinar o processo de montagem dos seus primeiros
domos [9]. A seguir descrevemos resumidamente dois processos de montagem. O primeiro processo foi
usado inicialmente na construção dos domos de cabos em Seul, e depois nas demais obras projetadas por
Geiger. O segundo processo foi adotado na construção do Georgia Dome, e muito provavelmente, no La
Plata Stadium.
Processo de montagem utilizado nos domos em Seoul
A montagem dos domos de cabos construídos em Seul foi executada gradualmente. Iniciou-se conectando
os cabos radiais ao anel central. Embora este conjunto pudesse ser levantado desde o chão, uma torre
central de apoio foi construída para sustentá-lo inicialmente a uma altura intermediária.
Depois de se tracionar este conjunto, os mastros que compõem o anel intermediário mais externo foram
içados e suspensos nos cabos radiais. Na seqüência, foram conectados os cabos que formam este anel e
as correspondentes diagonais, retesando-se posteriormente o conjunto.
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O mesmo procedimento foi adotado para os demais anéis intermediários até a montagem final da estrutura.
A cada etapa o anel central era içado à altura do último anel intermediário retesado.
Geiger havia pensado inicialmente em levantar de uma só vez o anel central, tracionando-se os cabos
radiais. Estimou-se que o ganho de tempo de construção que se conseguiu ao utilizar a torre central foi de
quatro semanas [9,10,11].
Figura 4 – Ilustração da montagem dos domos construídos em Seoul (adaptada de [11])
Figura 5 – Ilustração da montagem do domo do Georgia Dome (adaptada de [14] )
Processo de montagem utilizado no Georgia Dome
Até a construção do Georgia Dome, o procedimento adotado na montagem dos domos tensegrity incluía o
corte dos cabos no local da obra. Mesmo na montagem do Florida Suncoast Dome – a maior cobertura
tensegrity até então –, este processo foi utilizado. No entanto, os cabos da cobertura do Georgia Dome
foram pré-fabricados. Esta mudança melhorou o controle de qualidade, permitiu maior rapidez na execução
e propiciou uma melhor organização do canteiro de obras.
O processo de montagem também foi diferente do usado nos domos anteriores. Primeiramente a montagem
foi simulada em computador, com 20 estágios intermediários, sendo que as forças atuantes em cada
estágio foram calculadas. Foi necessária uma análise não-linear em 3D, devido aos grandes deslocamentos
que ocorreriam no processo de levantamento do domo. O deslocamento máximo sofrido por um elemento,
considerando a soma dos passos, passou de 80m.
A estrutura toda foi montada no chão e posteriormente levantada, inclusive com a treliça central. “Era como
erguer uma teia de aranha gigantesca puxando em suas extremidades”, disse Terry, “a seqüência e o
sincronismo eram críticos”. Através da tração aplicada aos cabos externos, conectados ao anel de
compressão, a rede de cabos foi erguida até sua posição final, em oito intervalos, no período de uma
semana, inclusive com a treliça central.
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O último passo seria erguer a treliça central a sua posição final. Usando-se cabos temporários presos aos
topos dos mastros do anel mais interno e içando-se a treliça em múltiplos pontos inferiores, ela foi levantada
e conectada aos cabos definitivos [14].
1.5 Processo de busca da forma
Além da definição do processo de montagem, outra fase muito importante do projeto de uma estrutura
tensegrity, que inclusive a antecede, é a determinação de sua configuração geométrica equilibrada,
conhecida como busca de forma. Pugh [18] reuniu trabalhos de Füller, Snelson [19] e Emmerich [2] sobre a
forma de estruturas tensegrity básicas, nos quais estes autores usaram, principalmente, poliedros convexos
regulares como base para encontrar novas configurações. Pugh identificou três tipos de forma padrão:
diamante, circuito e zigue-zague.
No entanto, modelos físicos e numéricos mostraram que a forma retesada de um tensegrity não é idêntica
àquela do poliedro regular e, conseqüentemente, métodos apropriados são necessários para encontrar a
configuração de equilíbrio mais simples da estrutura tensegrity. Esta diferença pode ser também
evidenciada pela simples verificação do equilíbrio nos nós.
Métodos de busca de forma para estruturas tensegrity foram estudados por muitos autores. Em 1994 Motro
et al. classificaram os métodos de busca de forma em: geométricos, analíticos e numéricos [5]. Mais
recentemente Connelly & Terrell [20], Vassart & Motro [21] e Sultan et al. [22] propuseram métodos
diferentes, mas sem a preocupação da ligação entre o proposto e o já existente. Tibert & Pellegrino [23],
fazendo uma revisão do estado da arte, os classificaram em dois grupos, cinemáticos e estáticos,
identificando as vantagens e as limitações de cada um e procurando identificar ligações entre eles.
Pela classificação de Tibert & Pellegrino, os métodos cinemáticos caracterizam-se por determinar a
geometria de uma estrutura tensegrity maximizando os comprimentos das barras ao manter constante os
comprimentos dos cabos3 enquanto que os métodos estáticos buscam uma relação entre as configurações
de equilíbrio de uma estrutura em uma topologia e as forças atuantes em seus membros. Tabela 1 mostra a
classificação proposta por estes autores.
Tabela 1– Classificação dos métodos de busca de forma para estruturas tensegrity, segundo Tibert & Pellegino [23].
Métodos cinemáticos Métodos estáticos
Soluções analíticas
Programação não-linear
Relaxação dinâmica
Soluções analíticas
Método da densidade de força
Método da energia
Redução de coordenadas
2 Uma proposta para o processo de busca da forma
Para a busca da forma equilibrada de estruturas tensegrity, Deifeld [24] e Pauletti [25] sugerem a utilização
de um elemento finito cuja principal característica é manter constante a tensão que nele atua. Um elemento
3 Alternativamente, os comprimentos das barras podem ser mantidos constantes em quando que os comprimentos dos cabos forem diminuídos até que alcancem um mínimo.
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semelhante foi proposto por Meek [26], que o denominou ‘variable initial length element’ (VIL) – de onde
adotamos a nomenclatura.
2.1 Formulação do elemento VIL
Define-se a matriz de rigidez tangente de um elemento como
t∂
=∂pku
, ( 1)
onde é p vetor das forças internas e u é o vetor dos deslocamentos deste elemento. Os nós i e j do
elemento na numeração global, correspondendo aos nós 1 e 2, respectivamente, na numeração do
elemento (Figura 6).
Considere-se então a obtenção da matriz de rigidez tangente tk deste elemento
i
j
→
ijP
→
jiP
( )e
1
2
Figura 6 – elemento finito, indicando-se a correspondência entre a numeração local do elemento e a numeração global do sistema reticulado (extraída de [25]).
O vetor das forças internas é
NN
N−⎡ ⎤
= =⎢ ⎥⎣ ⎦
vp C
v, ( 2)
onde o escalar N é esforço interno e C um operador geométrico dado pelo vetor
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
vC
v. ( 3)
Substituindo ( 2) em ( 1) obtém-se as parcelas elásticas e geométricas da matriz de rigidez tangente, tal que T
t e gN N∂ ∂⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Ck k k Cu u
. ( 4)
Considere-se primeiramente a obtenção da parcela elástica presente em ( 4), admitindo linearidade física,
ou seja:
( )rr
EAN = −l ll
. ( 5)
onde rl é o comprimento indeformado (ou de referência) do elemento, que em uma configuração inicial,
onde já se encontra sujeito a uma tração 0N , é dado por
00
r EAEA N
=+
l l . ( 6)
Tem-se, depois de algumas operações algébricas4, que
4 Dedução mais completa pode ser encontrada na referência [25]
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r
N EA∂=
∂C
u l. ( 7)
Resulta, para a parcela elástica da rigidez tangente, T
Te r
N EA∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂⎝ ⎠k C C C
u l ( 8)
onde fica ressaltada a simetria de ek .
Levando em conta a definição do operador geométrico C , tem-se, portanto,
T T
e r T T
EA ⎡ ⎤−= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
vv vvk
vv vvl ( 9)
Considere-se agora a obtenção da parcela geométrica presente em ( 4):
g N N
∂⎡ ⎤−⎢ ⎥∂ ∂= = ⎢ ⎥∂∂ ⎢ ⎥
⎢ ⎥∂⎣ ⎦
vC uk
vuu
. ( 10)
Depois de algumas operações algébricas semelhantes ao caso da parcela elástica, tem-se que
( ) ( )( ) ( )
3 3
3 3
T T
g T T
NN⎡ ⎤− − −∂ ⎢ ⎥= =
∂ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
I vv I vvCku I vv I vvl
( 11)
onde 3I é a matriz identidade de ordem 3.
Finalmente, combinando ( 9) e ( 11) em ( 4), obtém-se a matriz de rigidez do elemento de treliça
geometricamente exato:
( ) ( )( ) ( )
3 3
3 3
T TT T
t e g r T T T T
EA N ⎡ ⎤− − −⎡ ⎤− ⎢ ⎥= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
I vv I vvvv vvk k k
vv vv I vv I vvl l ( 12)
O elemento VIL é uma especialização do elemento de treliça, caracterizada por um estado de tração
constante, fisicamente correspondente, por exemplo, à ação de um acionador hidráulico ideal. Neste caso,
como a força normal não varia, tem-se e =k 0 , e a rigidez tangente resume-se à parcela gk , ou seja, a
segunda parcela da equação ( 12). Nesta equação l é o comprimento do elemento na configuração
corrente, rl o comprimento na configuração de referência, N a força normal atuando no elemento, E o
módulo de elasticidade longitudinal do material, A a seção transversal da barra, e v o vetor unitário na
direção do eixo do elemento considerado [25].
O comprimento inicial do elemento, variável, é calculado, para cada configuração de equilíbrio, reordenando
a equação ( 5), de modo a obter-se
0r E
E N=
+l l . ( 13)
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2.2 Aplicação do elemento VIL na busca da forma
Para encontrar formas equilibradas de módulos tensegrity, utilizamos o elemento VIL juntamente com os
elementos de treliça e de cabo com dois nós. Para a simulação numérica usamos o código PEFSYS [27] –
um programa de elementos finitos para análises não-lineares, estáticas e dinâmicas, de estruturas. No
procedimento de análise estática não linear este programa adota o método de Newton exato, o qual requer
a montagem da matriz de rigidez tangente da estrutura, obtida através da soma das contribuições de cada
elemento da estrutura. Para os elementos empregados, a matriz de rigidez tangente é dada pela equação
( 12).
O procedimento consiste em especificar as tensões (de tração ou compressão) que devem agir sobre um
conjunto de elementos do módulo na sua configuração de equilíbrio, e, partindo-se de uma configuração
correspondente a uma figura geométrica regular, buscar a posição de equilíbrio. Na modelagem numérica
os elementos cujas tensões foram arbitradas serão representados por elementos VIL5. A resolução do
sistema de equações que expressa o equilíbrio de forças na estrutura convergirá para a solução
correspondente ao equilíbrio da mesma.
Procedimento semelhante pode ser usado na busca da forma de uma estrutura tensegrity qualquer.
Todavia, se a configuração inicial ou as tensões não forem convenientemente arbritradas, será impossível
encontrar uma forma equilibrada, ou encontrar-se-á uma de equilíbrio indesejada [24].
A seguir apresentam-se alguns exemplos de busca de forma de tensegrity simplex. Em cada figura são
mostradas as configurações inicial e equilibrada, em perspectiva e na vista topo.
(a) configuração inicial, em
perspectiva (b) configuração equilibrada, em
perspectiva (c) configuração inicial, vista de
topo (d) configuração equilibrada,
vista de topo
Figura 7 – Prisma com base triangular
(a) configuração inicial, em
perspectiva (b) configuração equilibrada, em
perspectiva (a) configuração inicial, vista de
topo (b) configuração equilibrada,
vista de topo
Figura 8 – Prisma com base hexagonal
5 Normalmente, por simplicidade, convenciona-se que todos os elementos rígidos (barras) terão suas tensões pré-estabelecidas, ou
seja, serão simulados por elementos VIL.
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(a) configuração inicial, em
perspectiva (b) configuração equilibrada, em
perspectiva (a) configuração inicial, vista de
topo (b) configuração equilibrada,
vista de topo
Figura 9 – Monument à la Forme Futile
2.3 Aplicação do elemento VIL na montagem de estruturas tensegrity
O elemento VIL pode ser usado, também, para estudar o processo de montagem de estruturas tensegrity. A
partir de uma configuração equilibrada da estrutura, simula-se o deslocamento que a estrutura sofreria com
o afrouxamento gradual de um conjunto de cabos previamente selecionados, mantendo-se constante o
comprimento das barras. Após encontrar a posição de repouso da estrutura, pode-se estudar a sua
montagem.
Como exemplo, a Figura 10 mostra uma seqüência de montagem para o Monument à la Forme Futile. O
cabo que, na modelagem, foi gradualmente afrouxado está destacado em vermelho. Partindo-se da posição
de repouso, basta retesar este cabo para erigir a estrutura.
Figura 10 – Processo de montagem do Monument à la Forme Futile. O cabo vermelho é usado para erigir a estrutura do repouso à forma retesada final.
3 Considerações finais
Este trabalho apresenta um resumo do surgimento, das principais obras, dos métodos construtivos e da
conceituação dos sistemas de estruturas tensegrity. Argumenta-se que a discussão criada em torno da
aceitação de estruturas não auto-equilibradas dentro da definição de estruturas tensegrity é perfunctória,
pois sempre há como gerar uma estrutura tensegrity auto-equilibrada, mesmo que não seja esta a solução
mais eficiente.
No que diz respeito ao uso do elemento de comprimento inicial variável (ou VIL, 'variable initial lenght') para
a modelagem de estruturas tensegrity, pode-se afirmar que, tanto na busca da forma quanto na simulação
do processo de montagem, seu desempenho é satisfatório. No entanto, o sucesso da busca de uma forma
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equilibrada depende de fatores como a escolha adequada da configuração inicial e do conjunto de tensões
nas barras. De qualquer modo, os resultados apresentados sugerem que a simulação do processo
desmontagem por meio deste tipo de elemento é uma opção viável para a determinação do processo de
montagem das estruturas tensegrity.
4 Referências bibliográficas
[1] Letter from Kenneth Snelson to R. Motro, published in November 1990, International Journal of Space
Structures. Disponível em <http://www.grunch.net/snelson/rmoto.html>. Acesso em 12.11.2003.
[2] Emmerich, 1966 Emmerich, D. G., “Réseaux”, International Conference on Space Structures. University
of Surrey, pp. 1059-1072, 1966.
[3] Building Technologies – Graduate School of Architeture Planning and Preservation. New York. Apresenta
um resumo descritivo da construção dos estádios Olympic Gymnastics Arena e Olympic Fencing Arena
em Seul. Disponível em <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/intro.html>. Acesso em
12.11.2003.
[4] Füller, R. B., “Synergetics, Explorations in the Geometry of Thinking”. Macmillan Publishing Co. Inc., Vol.
I, pp. 372.1975.
[5] Motro, R., Belkacem, S., Vassart, N. “Form finding numerical methods for tensegrity systems”. Spatial,
Lattice and tension structures – proceeding of the IASS-ASCE International Symposium 1994, pp. 704-
713. New York, 1994.
[6] Quirant, J., Kazi-Aoual, M. N. “Systemes de tensegrite: sensibilite et etats d’autocontrainte” XV Congrès
Français de Mécanique. França, September, 2001.
[7] Pellegrino, S., Calladine, C. R. “Matrix analysis of statically and kinematically indeterminate frameworks”.
International Journal of Solids and Structures V. 26 pp. 1329-1350. 1990
[8] Vassart, N., Motro, R. “Determination of mechanism’s order for kinematically and statically indetermined
systems”. International Journal of Space Structures V. 37 pp. 3807-3839. 2000.
[9] Tuchman, J., Shin Ho-Chul, "Olympic Domes First of Their Kind", Engineering News Record, March 6,
1986, pp. 24-27. Disponível em: <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-olymp.html>.
Acesso em 15.11.2003.
[10] Geiger, D., Stefaniuk, A., and Chen, D., "The Design and Construction of Two Cable Domes for the
Korean Olympics". Shells, Membranes and Space Frames (Vol.2), Proceedings IASS Symposium,
Elsevier Appl. Science, pp. 265-272. 1986. Disponível em:
<http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-desig.html>. Acesso em 15.11.2003.
[11] Ratorfer, D., "Structural Gymnastics for the Olympics", Architectural Record, September, 1988.
Disponível em: <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-struc.html>. Acesso em
15.11.2003.
[12] International Database and Gallery of Structures. New York. Apresenta dados técnicos e imagens de
estruturas. Disponível em <http://www.structurae.net/en/structures/>. Acesso em 12.11.2003.
X X X I J O R N A D A S S U D - A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R Í A E S T R U C T U R A L
- 13 -
[13] Gossen, P., Chen, D., Mikhlin, E, "The First Rigidly Clad 'Tensegrity' Type Dome, The Crown Coliseum,
Fayetteville, North Carolina", Spatial, Structures in New and Renovation Projects of Buildings and
Construction, Volume II, Proceedings of International Congress IASS-ICSS 1998, pp., 477-484.
Disponível em: <http://www.columbia.edu/cu/gsapp/BT/DOMES/SEOUL/s-struc.html>. Acesso em
15.11.2003.
[14] Terry, W. R.. “Georgia Dome cable roof construction techniques”. Spatial, Lattice and tension structures
– proceeding of the IASS-ASCE International Symposium 1994, pp. 563-572. New York, 1994.
[15] Levy, M. P., “The Georgia Dome and beyond achieving lightweight – longspan structures”. Spatial,
Lattice and tension structures – proceeding of the IASS-ASCE International Symposium 1994, pp. 560-
562. New York, 1994.
[16] Campbell, D. M., Chen, D., Gossen, P. A., “Design Experience with Nonlinear Tension Based Systems:
Tents, Trusses and Tensegrity”. Disponível em: <http://www.geigerengineers.com>. Acesso em
15.11.2003.
[17] Lazzari, M., Vitaliani, R. V., Majowiecki, M. and Seatta, A., “Dynamic behavior of a tensegrity system
subjected to follower wind loading“. Computers and Structures V. 81 pp. 2199–2217. 2003
[18] Pugh, A.,"An Introduction To Tensegrity", ed University of California Press Berkeley.U.S.A, 1976
[19] Kennteh Snelson. New York. Apresenta textos e imagens sobre suas esculturas. Disponível em
<http://www.kennethsnelson.net>. Acesso em 18.11.2003.
[20] Connelly, R., Terrell, M., “Globally rigid symmetric tensegrities, Structural Topology”, V.21, pp. 59-78.
1995.
[21] Vassart, N., Motro, R., “Multiparametered formfinding method: application to tensegrity systems”,
International Journal of Space Structures, V.14 (2), pp. 147-154. 1999.
[22] Sultan, C., Corless, M., Skelton, R.E., “Reduced prestressability conditions for tensegrity structuresed”,
Proceedings of 40th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials
Conference, 12-15 April 1999, St Louis, MO, AIAA, 1999.
[23] Tibet, A. G., Pellegrino, S., “Review of form-finding methods for tensegrity structures”. International
Journal of Space Structures. Accepted of publication in 2001.
[24] Deifeld, T.E.C., Pauletti, R. M.O., “Um breve estudo sobre as estruturas tensegrity”. I Simpósio Nacional
sobre Tensoestruturas. São Paulo, 5-6 de maio de 2002. Anais do Simpósio. 1 CD-ROM.
[25] Pauletti, R. M. O. ”História, Análise e Projeto de Estruturas Retesadas”. Tese de Livre-Docência. Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo, 2003.
[26] Meek, J. L. “Matrix Structural Analysis”. McGraw-Hill Kogakusha, LTD. Tokyo, 1971.
[27] Pimenta, P. M., Maffei, C. E. M., Gonçalves, H. H. S. and Pauletti, R. M. O. , “A programming system
for nonlinear dynamic and static analysis of tall buildings” Computational Mechanics New Trends and
Applications. Barcelona, pp. 1-17. Spain, 1998.