Post on 30-Jan-2016
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Séries de Taylor e de Maclaurin
Definições – Série de Taylor, Série de Maclaurin
Seja f uma função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo
contendo a como um ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f em
x = a é
...)(!
)(...)(
!2
)´´())(´()()(
!
)( )(2
0
)(
nn
k
k
k
axn
afax
afaxafafax
k
af
A série de Maclaurin gerada por f é
0
)(2
)(
...,!
)0(...
!2
)0´´()0´()0(
!
)0(
k
nn
kk
xn
fx
fxffx
k
f
a série de Taylor gerada por f em x = 0.
Definição – Polinômio de Taylor de Ordem n
Seja f uma função com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., N em algum
intervalo contendo a como um ponto interior. Então, para algum inteiro n de 0
a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio
.)(!
)(...)(
!
)(...)(
!2
)´´())(´()()(
)()(2 n
nk
k
n axn
afax
k
afax
afaxafafxP
Resto de um Polinômio de Taylor
Precisamos de uma medida da precisão na aproximação do valor de uma
função f(x) por seu polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de um
resto Rn(x) definido por
)()()( xRxPxf nn
O valor absoluto )()()( xPxfxR nn é chamado de erro associado à
aproximação.
Teorema de Taylor
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um intervalo aberto I contendo a,
então para cada x em I existe um número c entre x e a tal que
),()(!
)(...)(
!2
)´´())(´()()( )(
)(2 xRax
n
afax
afaxafafxf n
nn
onde
.)()1(
)()( 1
)1(
nn
n axn
cfxR
Teorema da Estimativa do Resto
Se existirem constantes positivas M e r tais que 1)1( )( nn Mrtf para todo t
entre a e x, inclusive, então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a
desigualdade
.)!1(
)(
11
n
axrMxR
nn
n
Se essas condições forem válidas para todo n e todas as outras condições do
Teorema de Taylor forem satisfeitas por f, então a série convergirá para f(x).
Combinando Séries de Taylor
Na interseção dos seus intervalos de convergência, as séries de Taylor podem
ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os
resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é
a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a
enésima derivada de f + g é f(n)
+ g(n)
e assim por diante.
Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + cos 2x) / 2 substituindo 2x na
série de Maclaurin para cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A
série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo a termo da série para
sen x e cos x. Obtemos a série de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de
todos os termos da série de Maclaurin de sen x por x.
Séries de Fourier
1
0 .sencos2
)(n
nnL
xnb
L
xna
axf
(1)
Observe que no intervalo – L < x < L é simétrico em relação à origem. A
equação (1) é chamada de série de Fourier de f no intervalo (-L, L).
Coeficientes na Expansão em Série de Fourier
1) L
Ldx
L
xn0cos
2) L
Ldx
L
xn0sen
3)
L
L nmL
nmdx
L
xm
L
xn
,
,0coscos
4) L
Ldx
L
xm
L
xn0cossen
5)
l
L nmL
nmdx
L
xm
L
xn
,
,0sensen
Cálculo de a0
Integramos ambos os lados da equação (1) de – L a L e consideramos que as
operações para integração e somatória podem ser trocadas entre si para obter
L
Ln
L
Ln
n
L
Ln
L
Ldx
L
xnbdx
L
xnadx
adxxf
11
0 .sencos2
)(
(2)
Para todo inteiro positivo n, as duas últimas integrais do lado direito da
equação (2) são zero (fórmulas 1 e 2 na Tabela dos Coeficientes). Portanto,
.22
)( 0
00 LaL
Lxadx
adxxf
L
L
L
L
Então, obtemos a0:
L
Ldxxf
La .)(
10
Cálculo de am
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/cos( Lxm , m > 0, e
integramos o resultado de – L a L:
1
1
0
.cossen
coscos
cos2
cos)(
n
L
Ln
n
L
Ln
L
L
L
L
dxL
xm
L
xnb
dxL
xm
L
xna
dxL
xmadx
L
xmxf
(4)
A primeira integral do lado direito da equação (4) é zero (fórmula 1 na Tabela
dos coeficientes). As fórmulas 3 e 4 na Tabela reduzem ainda mais a equação
para
L
L
L
Lmm Ladx
L
xm
L
xmadx
L
xmxf .coscoscos)(
Portanto,
L
Lm dx
L
xmxf
La .cos)(
1
Cálculo de bm
Multiplicamos ambos os lados da equação (1) por )/sen( Lxm , m > 0, e
integramos o resultado de – L a L:
1
1
0
.sensen
sencos
sen2
sen)(
n
L
Ln
n
L
Ln
l
L
L
L
dxL
xm
L
xnb
dxL
xm
L
xna
dxL
xmadx
L
xmxf
Das fórmulas 2, 4 e 5 na Tabela de coeficientes, obtemos
L
L
L
Lmm Lbdx
L
xm
L
xmbdx
L
xmxf
sensensen)(
Portanto,
L
Lm dx
L
xmxf
Lb .sen)(
1 (6)
A série trigonométrica (1), cujos coeficientes a0, an, bn são determinados pelas
equações (3), (5) e (6), respectivamente (com m substituído por n), é chamada
de expansão em série de Fourier de função f no intervalo – L < x < L. As
constantes a0, an e bn são os coeficientes de Fourier de f.
Definição – Séries de Fourier
A série de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo –L < x < L é
1
0 .sencos2
)(n
nnL
xnb
L
xna
axf
L
Ldxxf
La .)(
10
L
Ln dx
L
xnxf
La .cos)(
1
L
Ln dx
L
xnxf
Lb .sen)(
1