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Caderno de Exercıcios Diego Alves Oliveira
Exercıcios Resolvidos: Taxa RelacionadaContato: diegoalvez@pop.com.br
Resolver problemas relativo a taxas relacionadas e um processo de seis passos.
1. Verifica-se os dados que o problema nos da e o que e requerido;
2. Encontra-se uma relacao geral entre os dados que apos a derivada da relacaoforneca o valor desejado;
3. Substituımos na relacao os valores que sao constantes;
4. Derivamos a relacao implicitamente;
5. Evidenciamos o resultado desejado;
6. Fazemos as substituicoes necessarias para obter a resposta.
Tambem e aconselhavel que se faca um desenho ou esquema da situacao para que seja possıvelentender melhor o problema, embora dependendo da habilidade do aluno isso possa ser dis-pensavel.
Exemplo 1:Uma pipa esta voando a uma altura de 40 m. Uma crianca esta empinado a de tal forma que
ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3 m/s. Se a linha estiver esticada, com quevelocidade a linha esta sendo “dada”, quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m?
Solucao:
10 Passo:
Dados:
y = 40 mz = 50 mdx/dt = 3 m/sdz/dt = ?
Com base no problema e nos dados fornecidos construımos um triangulo retangulo com asseguintes medidas.
40 m
x = 30 m
50 m
1
Caderno de Exercıcios Diego Alves Oliveira
Onde o valor de x foi determinado pelo teorema de Pitagoras (x2 = 502 − 402).
20 Passo:O desenho do problema sugere que a relacao entre os dados (x, y, z) e o proprio teorema de
Pitagoras.
z2 = x2 + y2
Note que se derivarmos essa relacao obteremos dz/dt. Que e o que desejamos saber.
30 Passo:
No problema a pipa se move apenas horizontalmente. Assim a altura da pipa (y) se mantemsempre constante.
z2 = x2 + 402
z2 = x2 + 1600
Ja o z (tamanho da linha), e o x (distancia horizontal entre a pipa e o menino), nao saoconstantes.
4◦ Passo:
Agora deriva-se a relacao anterior implicitamente em relacao ao tempo.
2zdz
dt= 2x
dx
dt+ 0
A derivada ocorre em relacao ao tempo pois o deslocamento da pipa em qualquer direcaopode ser descrito em funcao do tempo.
50 Passo:
Agora que evidenciamos dz/dt.
dz
dt=
2xdx
dt2z
60 Passo:
E finalmente substituımos x, y e dx/dt para obter o valor desejado.
dz
dt=
2(30)(3)
2(50)
dz
dt=
180
100
dz
dt=
9
5m/s
2
Caderno de Exercıcios Diego Alves Oliveira
Exemplo 2:
Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura e igual ao raio dabase. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razao aumenta a area da basequando a altura do monte e 4 m?
Solucao:
10 Passo:
Dados:
h = 4r = 4
dA
dte o que desejamos saber.
dV
dt= 10 m3/h
h = d/2
d
20 Passo:
Neste caso a formula capaz de fornecer o que sera pedido e a da area do circulo.
A = πr2
30 Passo:
O raio do cone varia com a altura. E a altura por sua vez tambem varia a medida que aareia e despejada, assim nao existe valores constantes na relacao A = πr2. Logo podemos pularo passo 3.
40 Passo:
dA
dt= 2πr
dr
dt
50 Passo:
O passo seguinte seria evidenciar dA/dt, mas como isto ja esta feito passamos para o passo6.
50 Passo:
3
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Como r = 4 entao:
dA
dt= 2 · 4πdr
dt
dA
dt= 8π
dr
dt
O fato interessante e que o problema nao nos da o valor de dr/dt, pelo menos nao diretamente.
Sabe-se que o volume de um cone e dado por:
V =1
3πr3
Derivando a expressao implicitamente se tem:
dV
dt=
1
3π3r2
dr
dt
dV
dt= πr2
dr
dt
dr
dt=
1
πr2dV
dt
substituindo o valor de r
dr
dt=
5
8πm2/h
Agora de posse do valor de dr/dt podemos finalizar o 6◦ passo.
dA
dt= 8π
(5
8π
)m2/h
dA
dt= 5 m2/h
Os proximos exercıcios seguem a mesma logica do passo a passo, mas por questao de economiaserao resolvidos de forma menos detalhada.
Exemplo 3:Uma escada de 6 m de comprimento esta apoiada em uma parede vertical. Se a base da
escada comeca a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade otopo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?
Solucao:
Dados:
x = 2√
5 my = 4 m
4
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z = 6 mdx/dt= 0.6 m/sdy/dt = ?
Com base nos dados construımos um triangulo com as seguintes medidas.
4 m
x = 2√
5 m
6 m
Onde x foi obtido atraves do teorema de Pitagoras.
A formula que fornecera o valor desejado sera o teorema de Pitagoras.
x2 + y2 = z2
Como a escada nao pode alterar seu comprimento entao z e constante e igual a 6.
x2 + y2 = 36
Derivando implicitamente.
2xdx
dt+ 2y
dy
dt= 0
2(2√
5m)0.6m/s+ 2(4m)dy
dt= 0
2.4√
5m2/s+ 8mdy
dt= 0
Evidenciando dy/dt
dy
dt= −0.3
√5m/s
Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo).
Exemplo 4:Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base
2 m. Se agua entra no tanque a razao de 0.001 m3/min calcule a razao em que o nıvel de aguaesta subindo quando a altura e 1 m?
Solucao:
Dados:
h = 4 mr = 2 m
dV
dt= 0.001 m3/min
5
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Queremos descobrirdh
dtquando h = 1 m.
A equacao que ira relacionar dh/dt aos dados sera:
V =1
3πr2h
Derivando implicitamente.
dV
dt=
1
3π
(2rh
dr
dt+ r2
dh
dt
)Pelo problema sabe-se que:
h
r=
4
2⇒ h = 2r
Da igualdade anterior ainda temos que:
dh
dt= 2
dr
dt⇒ dr
dt=
dh
2dt
Substituindo dr/dt = dh/2dt e tambem h = 1r em dv/dt chega-se:
dV
dt=
1
3π
(2
(h
2
)hdh
2dt+
(h
2
)2dh
dt
)
dV
dt=
1
3π
(h2
2
dh
dt+h2
4
dh
dt
)dV
dt=
1
3πdh
dt
(h2
2+h2
4
)dV
dt=
1
3πdh
dt
(3
4h2)
dV
dt= π
dh
dt
(h2
4
)4
h2π· dVdt
=dh
dt
dh
dt=
4
h2π· dVdt
Finalmente quando h = 1 m temos:
dh
dt=
4
1π· 0.001 (m/min) ' 0.00127 m/min
Exemplo 5:Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diametro varia a razao de 0.005 cm/min.
Determine a taxa a qual a area de uma das faces varia quando o diametro e 30 cm.
6
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Solucao:
Dados:
dD/dt = 0.005 cm/min
dA/dt = ?
D = 30 cm
Tomando a relacao A = πr2 que e formula para area do cırculo.
E derivando a implicitamente temos:
dA
dt= 2πr
dr
dt
Sabe-se que o diametro (D) e duas vezes o raio (D = 2r) entao:
dD
dt= 2
dr
dt⇒ 0.5
dD
dt=dr
dt
Assim:
dA
dt= 2π(D/2)
(0.5
dD
dt
)dA
dt= πD
(0.5
dD
dt
)dA
dt= 30π (0.5(0.005))
dA
dt= 0.075π (cm2/min)
Exemplo 6:Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a razao constante
2 cm/min. Qual a variacao do volume quando o raio esta com 25 cm?
Solucao:
Dados:
dr/dt = -2 cm/min
dv/dt = ?r = 25 cm.
A formula do volume da esfera e:
V =4
3πr3
Derivando implicitamente.
7
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dV
dt=
4
3π3r2
dr
dt
dV
dt= 4πr2
dr
dt
Finalmente substituindo os valores
dV
dt= 4π(25)2(−2) cm3/min
dV
dt= 5000π cm3/min
Exemplo 7:A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha conica cuja altura sempre e igual ao raio
da base. Se a altura da pilha aumenta a uma razao de 15 cm/min Determine a taxa a qual aareia esta se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm.
Solucao:
Dados:
h = r
dh/dt = 15 cm/mindv/dt = ?h = 25.
V =1
3πr2h
Derivando implicitamente.
dV
dt=
1
3π2r
dr
dth+
1
3πr2
dh
dt
Como h = r entao dr/dt = dh/dt e assim:
dV
dt=
1
3π
(2rdr
dth+ r2
dh
dt
)
dV
dt=
1
3π
(2hdh
dth+ r2
dh
dt
)
dV
dt=
1
3πdh
dt
(2h2 + h2
)
8
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dV
dt=
1
3πdh
dt3h2
dV
dt= π15(25)2
dV
dt= π15(25)2 = 9375π
dV
dt= 9375π cm3/min
Exemplo 8:Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante
de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a area englobada pela onda crescente ao final de 10segundos?
Solucao:
Dados:
dr/dt = 3 m/s
dA/dt = ?
t = 10s
A = πr2
dA
dt= 2πr
dr
dt
Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.
dA
dt= 2π(3 · 10)(3) = 180π m2/s
Exemplo 9:Um balao esferico e inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3/min. Com que
rapidez o diametro do balao estara crescendo quando o raio for de 1 m?
Solucao:
V =4
3πr3
dv
dt= 4πr2
dr
dt
9
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3 (m3/min) = 4π(1 m)2dr
dt
dr
dt=
3
4π(m/min)
Exemplo 10:
Dois carros estao se encaminhando em direcao a um cruzamento, um seguindo a direcao lestea uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direcao sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundoa qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro esta a 0.2 km docruzamento e o segundo a 0.15 km?
Solucao:
Dados:
dx/dt = 90
dy/dt = -60
dz/dt = ?
x = 0.2 Km
y = 0.15 Km
60 km/h
90 km/h
Neste caso desejamos saberdz
dtquando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.
Para isso usaremos o teorema de Pitagoras:
x2 + y2 = z2
Derivando implicitamente.
2xdx
dt+ 2y
dy
dt= 2z
dz
dt
E simplificando
10
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xdx
dt+ y
dy
dt= z
dz
dt
substituımos os valores de dx/dt e dy/dt
2x(90) + 2y(60) = 2zdz
dt
e evidenciamos o dz/dt.
dz
dt=
0.2(90) + (0.15)(−60)
z
Quando x = 0.2 e y = 0.15, z e igual 0.25 (teorema de Pitagoras). E portanto:
dz
dt= −108 Km/h
Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pitagoras dire-tamente as velocidades (que sao nada mais que vetores).
Vz =√
602 + 902 ≈ 108.167 km/h
Que e um resultado bastante proximo do calculado por meio da derivacao implıcita.
Exemplo 11:
Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam fornecidos diariamentesendo p o preco por caixa e a equacao de oferta
px− 20p− 3x+ 105 = 0
Se o fornecimento diario estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxaos precos estarao variando quando o fornecimento diario for de 5 mil caixas?
Solucao:
Queremos descobrirdp
dtquando x = 5. Derivando a expressao implicitamente chega-se a:(
xdp
dt+dx
dtp
)− 20
dp
dt− 3
dx
dt+ 0 = 0
dp
dt(x− 20) +
dx
dt(p− 3) = 0
dp
dt=−dxdt
(p− 3)
x− 20
Quando x = 5 p = 6
p(5) - 20p - 3(5) + 105 = 0
p = 6
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Portanto:
dp
dt= −0.25(6− 3)
(5− 20)= 0.05 R$
Exemplo 12:
Um aviao voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste,tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra a esquerdada projecao vertical do aviao em relacao ao solo.
Sabendo-se que a luz do holofote devera permanecer iluminado o aviao, qual devera ser avelocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distancia horizontal entre ele e aprojecao vertical do aviao for de 610 m?
Solucao:
1220 m
Queremos encontrardθ
dtquando x = 610 m.
tg θ =1220
x
sec2θdθ
dt= −1220
x2dx
dt
Substituindodx
dt= −152.4 na equacao anterior e dividindo por sec2 θ, iremos obter
dθ
dt=
185.928
x2sec2θ
Quando x = 610, tgθ = 2 e sec2 θ = 5.
dθ
dt=
185.928
6102 · 5
≈ 1
10rad/s
Exemplo 13:Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte
rasa, e 3 m na parte mais funda. Sua seccao transversal esta mostrada na figura. Se a piscinafor enchida a uma taxa de 0.1 m3/min, quao rapido estara subindo o nıvel de agua quando suaprofundidade no ponto mais profundo for de 1 m?
Solucao:
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Com base nos dados esbocamos o desenho a seguir.
byx
h 2
3
1.5 4
Area do trapezio:
A =(b+ 3)
2h
Como a piscina tem 5 m de largura entao:
V = 5A = 5(b+ 3)
2h
Pelo desenho percebemos que:
x
h=
1.5
2⇒ x = 0.75h
y
h=
4
2⇒ y = 2h
Substituindo estes valores na equacao do volume e sabendo que b = x + 3 + y
V = 5((x+ 3 + y) + 3)
2h
V = 5(x+ y + 6)
2h
V =5x+ 5y + 30
2h
V =5(0.75h) + 5(2h) + 30
2h
V =3.75h2 + 10h2 + 30h
2
V = 1.875h2 + 5h2 + 15h
Derivando implicitamente
dV
dt= 3.75h
dh
dt+ 10h
dh
dt+ 15
dh
dt
dV
dt=dh
dt(13.75h+ 15)
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Substituindo a taxa e h = 1 m.
0.1 =dh
dt(13.75(1) + 15)
dh
dt≈ 0.0035 m
Exemplo 13:Agua esta saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min
no momento em que agua esta sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanquetem 6 m de altura e seu diametro no topo e 8 m. Se o nıvel da agua esta subindo a uma taxade 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a agua esta sendo bombeadapara dentro.
Solucao:
2 m = 200 cm
600 cm
800 cm
A variacao do volume de agua e dada pela formula
dv
dt= Taxa que entra− Taxa que sai
dv
dt= Taxa que entra− 10000
Para determinar a taxa que entra devemos saber o valor de dv/dt.
V =4
3πrh
Do problema sabemos que4
r=
6
he que r =
2
3h e portanto
V =1
3π
(2h
3
)2
h =4πh3
27
que derivando implicitamente obtemos
dv
dt=
4πh2(dh/dt)
9= Taxa que entra − 10000
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm era
Taxa que entra =
(4π(200)220
9+ 10000
)cm3/min
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Exemplo 14Um corredor corre em uma trajetoria circular de raio 100 m a uma velocidade constante de
7 m/s. Um outro indivıduo esta parado a uma distancia de 200 m do centro da pista. Qual ataxa de variacao da distancia entre os dois quando esta distancia era 200 m?
Solucao:
Observe o esquema a seguir
100 m
200 mθ
x
y z
O problema e que nao sabemos exatamente a posicao dos dois corredores. Entao nao podemosusar o teorema de Pitagoras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distancia entre osdois:
z2 = x2 + y2 − xy · cosθ
Derivando implicitamente e levando em conta que x e y nao variam no tempo chega-se a:
2zdz
dt= 104 · 2(senθ)
dθ
dt
dz
dt=
104
z(senθ)
dθ
dt
dz
dt=
104
200(senθ)
dθ
dt
dz
dt= 50(senθ)
dθ
dt
Da fısica sabemos que s = rθ.
ds
dt= r
dθ
dt
7 m/s = (100 m)dθ
dt
dθ
dt= 0.07 rad/seg
sabendo que a distancia entre eles era 200 m podemos determinar o angulo θ a saber:
2002 = 1002 + 2002 − 2 · 104cosθ
cosθ =1
2
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implicando que θ = 60◦. Assim:
dz
dt= 50 · sen(60◦) · 0.07 ≈ 3.032 m/s
Exemplo 15A equacao de demanda de uma determinada camisa e 2px+ 65p− 4950 = 0, onde x centenas
de camisas sao demandadas por semana quando p for o preco unitario. Se a camisa estiver sendovendida esta semana $ 30 e o preco estiver crescendo a uma taxa de $ 0.20 por semana, ache ataxa de variacao na demanda.
Solucao:A equacao e a seguinte:
2px+ 65p− 4950 = 0
Nao ha constantes no problema, pois tanto x como p variam com o tempo. Deste modo naoha substituicoes a fazer.
Derivando a equacao implicitamente chega-se a:
2dp
dtx+ 2p
dx
dt+ 65
dp
dt= 0
Como p = 30 edp
dt= 0.2 entao:
2(0.20)x+ 2(30)dx
dt+ 65(0.20) = 0
dx
dt= −65(0.20) + 2(0.20)x
2 · 30
Para descobrir o valor de x usamos a equacao inicial.
2px+ 65p− 4950 = 0
2(30)x+ 65(30)− 4950 = 0⇒ x = 50
Portanto
dx
dt= −65(0.20) + 2(0.20)(50)
2 · 30= −0.55
Decresce a taxa de 55 camisas por semana.
Exemplo 16: Uma lampada esta pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homemcom 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5m/s:
a)qual a velocidade de crescimento da sombra?
b)com que velocidade a ponta da sombra do homem esta se movendo?
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Caderno de Exercıcios Diego Alves Oliveira
Solucao:
O problema envolve uma semelhanca de triangulos.
A D C
E
B
Onde:
AD = y
DC = x
AB = 4,5m
DE = 1,80m
dy/dt = 1,5 m/s
dx/dt = ? Item (a)
d(x + y)/dt = ? Item (b)
Da semelhanca entre os triangulos ∆ABC e ∆CDE temos que:
AC
AB=DC
DE
(x+ y)
4, 5=
x
1, 80
x
(x+ y)= 0, 4
x = 0, 4x+ 0, 4y
0, 6x = 0, 4y
Como queremos achar dx/dt, derivamos em ambos os lados em relacao ao tempo(t):
0,6(dx/dt) = 0,4(dy/dt)
dx/dt = 0,4(dy/dt)
0, 6
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dx/dt = (0, 4 · 1, 5)/0, 6
dx/dt = 1 m/s (Primeira resposta).
A velocidade com que a ponta da sombra do homem esta se movendo e a derivada da suadistancia horizontal ate a lampada em relacao ao tempo, portanto e o mesmo que derivar x + yem relacao a t.
d(x + y)/dt = dx/dt + dy/dt
d(x + y)/dt = 1,5 + 1
d(x + y)/dt = 2,5 m/s
Respostas:
(a) 1,0 m/s
(b) 2,5 m/s
Exemplo 17: Um radar da polıcia rodoviaria esta colocado atras de uma arvore que fica a12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do pontoda rodovia mais proximo do radar da polıcia, esta um telefone de emergencia. O policial mira ocanhao do radar no telefone de emergencia. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, oradar indica que a distancia entre o policial e o carro esta aumentando a uma taxa de 70 km/h.O limite de velocidade naquele trecho da rodovia e de 80km/h. O policial deve ou nao multar omotorista?
Solucao:
O problema acima e esquematizado na figura abaixo:
Radar12m
Telefone
16m
z2 = x2 + y2
Como a distancia horizontal entre a rodovia e o radar se mantem constante.
z2 = 122 + y2
z2 = 144 + y2
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Derivando implicitamente.
2zdz
dt= 0 + 2y
dy
dt
e evidenciando dy/dt
dy
dt=
2z(dz/dt)
2y
dy
dt=z(dz/dt)
y
e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.
dy
dt=
(70)(122 + 162)0.5
16= 87.5
Como o limite e de 80 Km/h e a velocidade do carro e de 87.5 km/h a nao ser que o motoristatenha uma boa desculpa ele deve ser multado.
Exemplo 18: Considere um balao meteorologico a ser lancado de um ponto a 100 metrosde distancia de uma camera de televisao montada no nıvel do chao. A medida em que o balaosobe, aumenta a distancia entre a camera e o balao e o angulo que a camera faz com o chao.
Se o balao esta subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o balao estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o balao seafasta da camera?
(b) Decorridos 5 segundos apos o lancamento, para filmar a subida do balao, com quevelocidade a camera esta girando?
Solucao de a:
Para resolver o item (a), podemos usar a funcao seno para obter uma equacao que relacionaas varaveis d (distancia horizontal entre a camera e o balao), h (distancia vertical entre o balaoe o solo) e θ (angulo da camera com a horizontal). Assim temos que:
senθ =h
z
Onde z e o comprimento da reta que liga a camera diretamente ao balao.
Fazendo a derivada da funcao e evidenciando dθ/dt
dθ
dt=
(dh/dt)z − (dz/dt)h
cos(θ)z2
Pelo teorema de Pitagoras quando d = 100 e h = 75 entao z = 125.
z =√
1002 + 752
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Caderno de Exercıcios Diego Alves Oliveira
Entao:
dθ
dt=
(6m/s)125− (dz/dt)75
cos(θ)(125)2
Pelo proprio teorema de Pitagoras e considerando que d = 100 permanece sempre fixo entao:
z2 = d2 + h2
z2 = 104 + h2
2(dz/dt) = 0 + 2(dh/dt)
(dz/dt) = 0 + (dh/dt)
Assim
dθ
dt=
(6m/s)125− (dz/dt)75
cos(θ)(125)2=
(6m/s)125− (dh/dt)75
cos(θ)(125)2
dθ
dt=
(6m/s)125− (6m/s)75
cos(θ)(125)2
dθ
dt=
750− 450
cos(θ)15625
dθ
dt=
300
cos(θ)15625
dθ
dt=
0.0192
cos(θ)
Ocorre que quando h = 75 o seno de θ e igual a:
senθ =75
125
Com essa informacao chegamos a primeira solucao.
dθ
dt=
0.0192
(75/125)= 0.032 Rad/s
Exemplo 19: Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s.Uma lampada esta localizada no chao a 20m da trajetoria (distancia ortogonal) e e mantidafocalizada na direcao do homem. Qual a velocidade de rotacao da lampada quando o homemesta a 15m do ponto do caminho mais proximo da lampada?
Solucao de a:
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Caderno de Exercıcios Diego Alves Oliveira
tgθ =x
y
Como tg(θ) =seno(θ)
cos(θ)entao tg′(θ) =
sen2(θ) + cos2(θ)
cos2(θ)dθ =
dθ
cos2(θ)
Assim:
d(θ)
cos2(θ)=dx(y)− dy(x)
y2
Pelo teorema de Pitagoras 202 = 152 + y2 que resulta em y2 = 175
Substituindo os demais valores e explicitando dθ
dθ =4(175)− 0(15)
1752cos2(θ)
dy = 0 pois, nao ha velocidade vertical por parte do homem que caminha em relacao alanterna.
dθ =4(175)− 0(15)
1752
(√175
20
)dθ ' 0.015
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