Post on 17-Apr-2015
TE804 Eletrodinâmica Computacional
Prof. Wilson Artuzi
Capítulo 3
Elementos Simplexe
Funções de Whitney
Objetivos
• Subdivisão do domínio em elementos
• Uso de coordenadas locais do elemento
• Funções de base por elemento
• Padronização dos cálculos por elemento através de transformações afins
Polítopo-δ
• Elemento convexo definido por um conjunto finito de pontos
• δ=0 → ponto → vértice
• δ=1 → segmento de reta → aresta
• δ=2 → polígono → face
• δ=3 → poliedro → volume
Simplex-δ
• Elemento convexo definido por δ+1 pontos• δ=0 → ponto → vértice• δ=1 → segmento de reta → aresta• δ=2 → triângulo → face• δ=3 → tetraedro → volume
Coordenadas Locais
Tetraedro
Triângulo
Segmento de Reta
Integrais
Malha• Subdivisão do domínio através de elementos (simplex) não superpostos os
quais compartilham dois a dois a mesma face (δ=3), a mesma aresta (δ=2)
ou o mesmo vértice (δ=1).
• Algoritmo de Delaunay: agrupa os os pontos de uma nuvem de pontos para formar elementos simplex
• Geradores de Malha: GiD, CUBIT, MATLAB (delaunay, delaunay3)
Representação Matricial
Funções de Whitney
• 1957: propostas por Hassler Whitney.• 1974: uso no método dos elementos finitos.• 1988: uso no magnetismo, Alain Bossavit.• 1994: uso na eletrodinâmica, Jin Fa Lee.
• Funções lineares num elemento simplex.• Duas formas escalares e duas formas vetoriais.• Associadas a vértices, arestas, faces e volumes.• Definidas em coordenadas locais do elemento.
Forma-0
• Função escalar relacionada com vértices.• Potencial eletrostático.
Forma-0
Continuidade
• As funções relacionadas com o mesmo vértice são multiplicadas pelo mesmo coeficiente.
• O campo escalar é contínuo.• O valor no vértice é o valor da aproximação.
Base Covariante
• O vetor covariante é normal à superfície definida por uma coordenada constante.
Forma-1• Função vetorial relacionada com arestas.• Combinação linear dos gradientes.• Potencial magnetostático, campo elétrico.
Forma-1
Continuidade
• As funções relacionadas com a mesma aresta são multiplicadas pelo mesmo coeficiente (em módulo).
• O campo vetorial tangencial à aresta é contínuo.
• O campo vetorial normal à aresta pode ser descontínuo.
Base Contravariante
• O vetor contravariante é tangente ao caminho definido por duas coordenadas constantes.
Forma-2
• Função vetorial relacionada com faces.• Combinação linear dos rotacionais.• Densidades de fluxo.
Forma-2
Continuidade
• As funções relacionadas com a mesma face são multiplicadas pelo mesmo coeficiente (em módulo).
• O campo vetorial normal à face é contínuo.
• O campo vetorial tangencial à face pode ser descontínuo.
Forma-3• Função escalar relacionada com o volume.• Divergente.• Densidades de carga e energia.• Não há continuidade.
Resumo
Método dos Elementos Finitos
Conservação doFluxo Magnético
Conservação daCarga Elétrica
ExataFunções de Base
Sistema de Equações Lineares
ResíduoFunções de Ponderação
Mínimos Quadrados
Galerkin=