Teoria das Filas e Aplicações Celso C. Ribeiro Reinaldo Vallejos PETROBRAS Novembro 1998.

Teoria das Filas e AplicaçõesTeoria das Filas e Aplicações

Celso C. Ribeiro

Reinaldo Vallejos

PETROBRAS

Novembro 1998

ProgramaPrograma Teoria da probabilidade Variáveis aleatórias Distribuições discretas Distribuições contínuas Variáveis aleatórias conjuntas e probabilidade

condicional Teoria das filas Cadeias de Markov discretas

ProgramaPrograma

… Cadeias de Markov de tempo contínuo Lei de Little Aplicações da Lei de Little Processos de nascimento e morte Filas M/M/1 Filas M/M/C Aplicações

Teoria da probabilidadeTeoria da probabilidade

Modelagem de fenômenos aleatórios quantidades não previsíveis antecipadamente variação inerente que deve ser considerada

Permitir que o modelo tenha natureza probabilística modelo probabilístico

Experimento cujo resultado não seja previsível antecipadamente

Espaço amostral: S = {resultados possíveis} Lançamento de uma moeda: S = {cara,coroa} Lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6} Lançamento de duas moedas: Acara,

Bcoroa S = {(A,A),(A,B),(B,A),(B,B)} Vida útil de um carro: S = [0,)

Evento: subconjunto E do espaço amostral S E = {cara}, E = {coroa} E = {2,4,6}: resultado do lançamento é par E = {(A,A),(A,B)}: primeira moeda é cara E = [1,2): carro dura pelo menos um ano sem

completar o segundo

Eventos E e F Evento união: EF Evento interseção: EF Evento vazio: E e F mutuamente exclusivos: EF =

E ={cara}, F ={coroa}: ou dá cara, ou dá coroa Evento complementar: Ec = S\E

Espaço S, evento E Probabilidade P(E) do evento E:

0 P(E) 1 P(S) = 1 E1E2 = P(E1E2) = P(E1) + P(E2)

P({cara}) = P({coroa}) = 1/2 Moeda viciada, com chance duas vezes maior

de dar cara: P({cara}) = 2/3, P({coroa}) = 1/3

P({2,4,6}) = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2

P(Ec) = 1 - P(E)

1 = P(S) = P(EEc) = P(E) + P(Ec)

P(E) + P(F) = P(EF) + P(EF)

P(EF) = P(E) + P(F) - P(EF)

EF = P(EF) = P(E) + P(F) P(EFG) = P(E) + P(F) + P(G) - P(EF) - -

P(EG) - P(FG) + P(EFG)

Probabilidade condicional: probabilidade de que um determinado evento ocorra, conhecendo-se a ocorrência de outro

Dois dados são lançados e todas os 36 pares de resultados são equiprováveis. Qual é a probabilidade da soma dos dois valores ser igual a 10?

P({4,6}) + P({5,5}) + P({6,4}) = 31/36 =1/12

Sabendo-se que a primeira observação é um 4, qual é a probabilidade da soma dos dois valores ser igual a 10?

Resultados possíveis, sendo 4 o primeiro valor: (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)

Se o primeiro valor é 4, a probabilidade (condicional) de cada um destes pares é 1/6

Probabilidade dos 30 pares restantes: zero

Probabilidade da soma ser igual a 10: 1/6

Probabilidade condicional do evento E dado que o evento F ocorre:

P(E|F) = P(EF)/P(F)FE

Uma moeda é lançada 2 vezes. Qual é a probabilidade condicional de que sejam observadas duas caras, dado que pelo menos uma cara é observada?

E = {(cara,cara)} = {(A,A)} cara A

F = {(A,B),(B,A),(A,A)}

P(E|F) = P(EF)/P(F) = P({(A,A)})/ P({(A,B),(B,A),(A,A)}) = (1/4)/(3/4) = 1/3

Uma urna contém sete bolas pretas e cinco bolas brancas. Duas bolas são retiradas. Qual a probabilidade de que ambas sejam pretas, considerando-se que a primeira bola não é devolvida para a urna após ser retirada?

F = primeira é preta E = segunda é preta

P(EF) = P(E|F) P(F) = 6/117/12 = 7/22

Uma urna contém sete bolas pretas e cinco bolas brancas. Duas bolas são retiradas. Qual a probabilidade de que ambas sejam pretas, considerando-se que, neste caso, a primeira bola é devolvida para a urna após ser retirada?

F = primeira é preta E = segunda é preta

P(EF) = P(E|F) P(F) = 7/127/12 = 49/144

Cada uma de três pessoas possui uma ficha de cor diferente que é lançada em uma urna. Em seguida, cada pessoa retira aleatoriamente uma ficha da urna. Qual é a probabilidade de que ninguém recupere sua ficha original?

Idéia: calcular a probabilidade do evento complementar, isto é, de que pelo menos uma pessoa recupere sua ficha original.

Ei: i-ésima pessoa recupera sua ficha; i=1,2,3

P(Ei) = 1/3, i=1,2,3

P(EiEj) = P(Ej|Ei) P(Ei) = 1/21/3 = 1/6 ij

P(E1E2E3) = P(E3|E1E2) P(E1E2) = 1/6

P(E1E2E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - - P(E1E2) - P(E1E3) - P(E2E3) + + P(E1E2E3) = 3 1/3 - 3 1/6 + 1/6 = 2/3

P(ninguém recuperar) = 1 - 2/3 = 1/3

E e F independentes: P(EF) = P(E) P(F)

P(E|F) = P(E)

P(F|E) = P(F)

Espaço amostral S, eventos E e F

E = ES = E(FFc) = (EF) (EFc)

EF e EFc mutuamente exclusivos

P(E) = P((EF)(EFc)) =

= P(EF) + P(EFc) =

= P(E|F) P(F) + P(E|Fc) P(Fc) =

= P(E|F) P(F) + P(E|Fc) (1-P(Fc))

A primeira de duas urnas contém 2 bolas brancas e 7 bolas pretas, enquanto a segunda contém 5 brancas e 6 pretas. Uma moeda é lançada e uma bola é retirada da primeira ou da segunda urna, dependendo do resultado ter sido cara ou coroa, respectivamente. Qual é a probabilidade (condicional) de ter ocorrido uma cara, dado que a bola retirada foi branca?

Deseja-se calcular P(cara|branca)

P(cara|branca) = P(cara e branca) / P(branca) =

= P(branca|cara) P(cara) / P(branca)

P(branca) = P(branca|cara) P(cara) + + P(branca|coroa) P(coroa)

P(cara|branca) = = 2/91/2/(2/91/2+5/111/2) = 22/67

Um teste detecta com 95% de certeza uma determinada doença, quando ela está presente. Entretanto, este teste aponta “falsos positivos” em 1% das pessoas que não contraíram a doença. Sabendo-se que 0.5% da população estão contaminados por esta doença, qual é a probabilidade de que determinada pessoa tenha a doença dado que o resultado de seu teste foi positivo?

Deseja-se calcular P(doente|positivo)

P(doente|positivo) = P(doente e positivo) / / P(positivo) =

= P(positivo|doente) P(doente) / P(positivo)

P(positivo) = P(positivo|doente) P(doente) + + P(positivo|sadia) P(sadia)

P(doente|positivo) = 0.950.05/(0.950.005+0.010.995) = 95/294

Fórmula de Bayes:

eventos F1, F2, …, Fn mutuamente exclusivos

F1 F2 … Fn= S

P(E) = P(ES) = P(EF1) + … + P(EFn) =

= P(E|F1) P(F1) + … + P(E|Fn) P(Fn)

P(Fj|E) = P(EFj) / P(E) = P(E|Fj) P(Fj) / P(E)

P(Fj|E) = P(E|Fj) P(Fj) / / [P(E|F1) P(F1) + … + P(E|Fn) P(Fn)]

Sabe-se que determinada carta está em uma de três pilhas diferentes, com a mesma probabilidade. A probabilidade da carta ser encontrada examinando-se rapidamente a pilha em que ela realmente está é 20%. Suponha que a pilha 1 foi verificada, mas a carta não foi encontrada. Qual a probabilidade da carta efetivamente estar na pilha 1?

Fi: carta está na i-ésima pilha; i=1,2,3

E: carta não encontrada na pilha 1

Deseja-se calcular P(F1|E)

P(F1|E) = P(E|F1) P(F1) / / [P(E|F1)P(F1)+P(E|F2)P(F2)+P(E|F3)P(F3)]

P(F1|E) = 0.81/3 / (0.81/3 + 11/3 + 11/3)= = 0.8/2.8 = 2/7

Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias

Variável aleatória: função real definida sobre o espaço amostral soma dos valores obtidos após o lançamento de

dois dados número de caras após um certo número de

lançamentos de uma moeda tempo entre duas chegadas sucessivas a uma fila tempo de processamento de uma tarefa

Valor de uma variável aleatória (v.a.) é determinado pela saída de um experimento é possível associar probabilidades aos valores que podem ser assumidos por uma

X: v.a. definida pela soma dos valores obtidos após o lançamento de dois dados

P{X=1} = P{} = 0

P{X=2} = P{(1,1)} = 1/36

P{X=3} = P{(1,2),(2,1)} = 2/36 = 1/18 ...

Y: v.a. definida pelo número de caras observadas após dois lançamentos de uma moeda

P{Y=0} = P{(B,B)} = 1/4 Acara Bcoroa

P{Y=1} = P{(A,B),(B,A)} = 1/2

P{Y=2} = P{(B,B)} = 1/4

P{Y=0} + P{Y=1} + P{Y=2} = 1

N: v.a. definida pelo número de lançamentos de uma moeda até aparecer a primeira cara, sendo p a probabilidade de observar-se cara em cada lançamento

P{N=1} = P{A} = p

P{N=2} = P{(B,A)} = (1-p)p

P{N=3} = P{(B,B,A)} = (1-p)2p

P{N=n} = P{(B,B,…,B,A)} = (1-p)n-1p

Função de distribuição acumulada (fda) ou função de distribuição F(.) da v.a. X: F(b) = P{X b} - < b < +

F(b): probabilidade de que a v.a. X assuma um valor menor ou igual a b

Propriedades: F(b) é uma função não-decrescente de b limbF(b) = F() =1, limb-F(b) = F(-) = 0 p{a<Xb} = P{Xb} - P{Xa} = F(b) - F(a)

Variáveis aleatórias discretas: a v.a. assume um número finito ou contável de valores possíveis.

Variáveis aleatórias contínuas: a v.a. assume valores dentro de um contínuo de valores possíveis.

Variáveis aleatórias discretasVariáveis aleatórias discretas

Variáveis aleatórias discretas: a v.a. assume um número finito ou contável de valores possíveis.

Função de massa de probabilidade: p(a) = P{X=a}

Se X pode assumir os valores x1, x2,… então p(xi) > 0, i=1,2,…

p(x) = 0, outros valores de x

Função de distribuição acumulada: F(a) = p(xi)

Exemplo: p(1) = 1/2, p(2) = 1/3, p(3) = 1/6 0, a < 1,

F(a) = 1/2, 1 a < 2 5/6, 2 a < 3 1, 3 a

i=1,2,…: xi a

1 2 3a

Seja X uma v.a. discreta. Então, seu valor esperado é dado por:

)(.][Expx

Funções de variáveis aleatóriasFunções de variáveis aleatórias

g(X) função da v.a. X

Caso discreto:

Caso contínuo:

Exemplo: a,b R

E[a.X+b] = a.E[X] + b

)()()]([xpx

xpxgXgE

dxxfxgXgE )()()]([

Variância da v.a. X:

Pelo resultado anterior:

]])[E[(E][VAR 2XXX

]][E][E.2[E][VAR 22 XXXXX 22 ][E][E].[E2][E][VAR XXXXX

22 ][E][E][VAR XXX

Variância da v.a. X:

22 ][E])[(E][VAR XXX

][E][E][E][VAR 22 XXXX 2222 ][E][E][VAR XXX

)][E][(E][VAR 222 XXX ][VAR][VAR 2 XX

X e Y variáveis aleatórias independentes:

)]([E)].([E)]()([E YhXgYhXg

][VAR][VAR][VAR YXYX

Distribuições discretasDistribuições discretas

Um experimento de Bernoulli tem somente dois resultados aleatórios possíveis:

sucesso fracasso

A variável aleatória que corresponde ao experimento anterior é uma variável aleatória de Bernoulli.

A notação de uma distribuição de Bernoulli é Be(p), onde 0 p 1 é a probabilidade de obter-se sucesso.

Distribuição de BernoulliDistribuição de Bernoulli

Lançamento de uma moeda Caso obtenha-se uma cara: sucesso Caso obtenha-se uma coroa: fracasso

A direção que segue um veículo em uma bifurcação (caminho A ou B) Se segue o caminho A: sucesso Se segue o caminho B: fracasso

(o resultado deste experimento é uma v.a. somente para um observador externo, mas não para o condutor)

Distribuição de BernoulliDistribuição de BernoulliExemplosExemplos

X v.a. Be(p) (X é uma variável aleatória discreta do experimento de Bernoulli de parâmetro p).

Domínio de X: X {0, 1}

Função de massa de probabilidade: P{X = 0} = P(0) = 1 - p

P{X = 1} = P(1) = p

Os resultados possíveis deste experimento podem ser “mapeados” nos números reais, logo:

Função de distribuição acumulada:

)X()(0

xPhxFlimh

1 , 1)(

Valor esperado: pppXE 0).1(1.}[

Função de distribuição acumulada

Distribuição de BernoulliDistribuição de BernoulliGráficosGráficos

Função de massa de probabilidade

Graficos3D

Considerando as funções anteriores tem-se para Be(p):

Distribuição de BernoulliDistribuição de BernoulliParâmetrosParâmetros

VAR X p 1 p

z p z 1 1

Valor esperado

Variância

Desvio padrão

Função geradora de momento

n-ésimo momento

Um pacote de informações é enviado pelo transmissor ao receptor através de uma conexão, sendo p a probabilidade de que o pacote chegue corretamente ao receptor. info chega corretamente a R: X = 1 info não chega corretamente a R: X = 0

Distribuição de BernoulliDistribuição de BernoulliExemplo em comunicaçõesExemplo em comunicações

T Rinfo

Distribuição binomialDistribuição binomial

Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos (iid), cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p.

Se a variável de interesse Y corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n experimentos, então Y é conhecida como uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p.

Sejam X1, X2, …, Xn, onde as variáveis {Xi}, i=1,2,…,n são v.a.’s iid Be(p). Seja a v.a. Y definida por sua soma:

Y Bi(n, p)

Uma distribuição binomial de parâmetros n e p se denota Bi(n,p), onde: n é o número de experimentos de Bernoulli

independentes realizados. p é a probabilidade de obter um sucesso em

cada um dos n experimentos, 0 p 1.

Uma moeda é lançada n vezes. Se em cada lançamento se obtém cara (sucesso) com probabilidade p, qual é a probabilidade de que em 0 i n experimentos se obtenha sucesso?

Observam-se n veículos em uma bifurcação. Cada veículo segue o caminho A (sucesso) com probabilidade p. Qual é a probabilidade de que 0 i n veículos sigam o caminho A (sucesso)?

Distribuição binomialDistribuição binomialExemplosExemplos

Seja Y v.a. Bi(n,p) (Y é v.a. binomial de

parâmetros n e p), onde n N+ e 0 p 1 Domínio de X:

Y {0, 1, 2, …, n} Função de massa de probabilidade:

Função de distribuição acumulada:

niPiYP in i

0 , )1()(}{

nip ipj

0 , }{

Valor esperado:

Seja k=i-1, então E[X]=

Como então, E[X]=np

0 0)1()(

)!1()!(!

n i ip p

ni n i

( )!( )!( )( )

kn k n kn

1 111 1( )

Considerando-se as funções anteriores tem-se para Bi(n, p):

Distribuição binomialDistribuição binomialParâmetrosParâmetros

E Y np

VAR Y np 1 p

np 1 p

z p z 1 1

Valor esperado

Variância

Desvio padrão

Função geradora de momento

n-ésimo momento

Observando-se a esperança e a variância da distribuição binomial se verifica que correspondem à soma de v.a.’s iid com distribuição de Bernoulli.

A transformada Z de uma fmp corresponde à sua função geradora de momento:

; )(010

XEnPdz

dP(z zPzP

Função de massa de probabilidade Bi(10,0.7)

0 5 10y

Distribuição binomialDistribuição binomialGráficosGráficos

Y = 1.449

E[Y]=7

Graficos3D

0 2 4 6 8 10 12

Função de distribuição acumulada Bi(10,0.5)

0 2 4 6 8 10 12

00.050.1

0.150.2

0 5 10 15 20x

0 5 10 15 20

Bi (10,p)

Graficos3D

Com relação à fmp de uma binomial tem-se que: valor máximo se encontra em X = E[X] = np estritamente decrescente para X > E[X] simétrica em relação a p (e.g., p = 0.1 e p = 0.9)

Pelo teorema do limite central: a v.a. da soma infinita de experimentos independentes

(com qualquer distribuição) tende à distribuição gaussiana

n pacotes de informação são enviados pelo transmissor ao receptor através de uma conexão. A probabilidade de cada um dos pacotes chegar corretamente a R é igual a p. Qual é a probabilidade de que 0 i n pacotes de informação enviados cheguem corretamente ao receptor?

Distribuição binomialDistribuição binomialExemplo em comunicaçõesExemplo em comunicações

T Rinfon info2 info1...

n: número de pacotes enviados

p: probabilidade de cada pacote chegar corretamente

Y = i: número de pacotes enviados que chegarão corretamente, 0 i n

Y v.a. ~ Bi(n,p), n {0,1,2,3, ...}

Distribuição binomialDistribuição binomialExemplo em comunicaçõesExemplo em comunicações

T Rinfon info2 info1...

niPiYP in i

0 , )1()(}{

Vários computadores executam um mesmo algoritmo. O resultado final do algoritmo se determina por votação dos computadores, por maioria simples. Por exemplo, se o resultado de dois ou mais computadores coincide, então esse é o resultado final. Cada computador tem probabilidade de falha igual a 1-p. Para que valores de p convém escolher 1, 3 ou 5 computadores?

Distribuição binomialDistribuição binomialExemplo em tolerância a falhasExemplo em tolerância a falhas

n: número total de computadoresX: número de computadores funcionando corretamente (fornecem o resultado correto)X v.a. ~ Bi(n,p), n {1,3,5}Por exemplo: probabilidade de sucesso do sistema com n computadores (maioria proporciona o resultado correto)m = ((n-1)/2)+1: número mínimo de computadores (n ímpar) que devem dar o resultado correto para o sistema ter sucesso

Para n {1,3,5}:

Caso n = 1

Caso n = 3

Caso n = 5

Pe = (3

2) p2(1-p) +(3

Pe = p1

Pe = (5

3) p (1-p) +(5

4)p43 2(1-p) +(5

ini ppi

nmXP )1()(

Probabilidade de sucessoProbabilidade de sucesso

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Probabilidade de sucesso de cada

computador

Distribuição geométricaDistribuição geométrica

Considere n experimentos de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de êxito p

X v.a. Ge(p) representando o número de tentativas até conseguir o primeiro êxito

Função de massa de probabilidade:

Função de distribuição:

,2,...1 n pp1npnXP 1n

pp)-(1 F(n) 1-kn

Valor esperado:

Fazendo q = 1 - p:

E[X] = =

Logo, E[X]=

nn p p1

1( ) p

q( )1 2

Exemplo: lançar a moeda até o primeiro êxito Êxito = cara Fracasso = coroa

Exemplo: número de automóveis não específicos até que um siga o caminho A da bifurcação Êxito = A

Fracasso = B

Experimentos independentes

0 5 10 15 20 25

Função de distribuição

n0 5 10 15 20 25

Função de distribuição

p = 0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

p = 0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

E[X]=3,33

x=2.79

Função de massa para distintos valores de p

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

P{X=n}

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415

P{X=n}

Distribuição geométricaDistribuição geométrica P{X=n} decai mais rápidamente com n quando p

aumenta Distribuição em função de p varia com n:

para n = 1 é una reta crescente para n < 7 é crescente e logo decresce para n 7 é decrescente

Função de massa tem dois pontos degenerados: p = 0: necessárias infinitas tentativas (nunca se consegue

êxito) p = 1: êxito sempre é conseguido na primeira tentativa.

Distribuição geométricaDistribuição geométricaParâmetrosParâmetros

VAR X1 p

1 1 p e

Propriedade: falta de memóriaPropriedade: falta de memória

Elevador em um prédio de três andares

Estado #n : elevador no andar n

Sem memória: estados #1 e #3

Com memória: estado #2

Exemplo relacionado com a distribuição geométrica, duas situações equivalentes:

Distribuição geométrica caracterizada pela seguinte propriedade:

A informação de nenhum sucesso até a tentativa t é “esquecida” nos cálculos subseqüentes.

sxPt>x|tsxP

Propriedade: falta de memóriaPropriedade: falta de memória Demonstração:

tsxPtx |t sxP

txtsxPtx |t sxP

Substituindo-se

portanto

P x s t 1 p p 1 p

P x t 1 p p 1 p

i 1s+t 1

p1tx|tsxP

P x s 1 p p 1 pi s

i 1s 1

P x s t x > t P x s | propriedade de falta de memória

Protocolo Stop & WaitProtocolo Stop & Wait

Protocolo de retransmissão mais simples Idéia básica: ter certeza de que cada pacote

transmitido é recebido corretamente antes de transmitir o seguinte

Protocolo half-duplex Retransmissão devido a:

erro na recepção do pacote time-out

Protocolo Stop & WaitProtocolo Stop & Wait

Numeração de pacotes: Se ocorre time-out no transmissor, retransmite

pacote i Receptor não sabe distinguir se é uma

retransmissão do pacote i ou uma primeira transmissão do pacote i+1

Logo, necessidade de numerar os pacotes, assim como os acks/nacks

Numeração módulo 2 é suficiente

Esquema físicoEsquema físico

Definições:ti = tempo de transmissão de um pacote

tp = tempo de propagação

tout = tempo máximo de espera de um reconhecimento (ack/nack)

tproc = tempo de processamento do pacote

Diagrama temporalDiagrama temporal

Caso 2Retransmissão por erro

t proc Tx

tproc Tx

Caso 1Retransmissão por time-out

t proc Rx

Fi = transmissão do frame i

Ni = mensagem de frame i recebida com problemas

Ai = reconhecimento do frame i

+Error-M1

+Ack 1

+Ack 0

+Error

-Error+M1

-Error

+M0 -Ack

Diagrama de transição de estados

Transmissor Receptor

Q0: Transmite Mensagem 0Q1: Espera Ack 0Q2: Transmite Mensagem 1Q3: Espera Ack 1

Q0: Espera Mensagem 0Q1: Transmite Ack 0Q2: Transmite ErroQ3: Espera Mensagem 1Q4: Transmite Ack 1Q5: Transmite Erro

+ : Entradas

- : Saídas

Tabelas de transição de estadosTabelas de transição de estados

ReceptorEstado Entrada Saída Prox. Estado

Q0 Mensagem 0 Q1Q0 Mensage m1 Q2Q1 Ack 0 Q3Q2 Erro Q0Q3 Mensagem 0 Q5Q3 Mensagem 1 Q4

Q4 Ack 1 Q0Q5 Erro Q3

TransmisorEstado Entrada Saída Prox. Estado

Q0 - Mensagem 0 Q1Q1 Ack 0 - Q2Q1 Erro - Q0Q2 - Mensagem 1 Q3

Q3 Ack 1 - Q0Q3 Erro - Q2

Error: Devido a erro de bits no frame,ou erro devido a Timeout

Q0: Transmite Mensagem 0Q1: Espera Ack 0Q2: Transmite Mensagem 1Q3: Espera Ack 1

Q0: Espera Mensagem 0Q1: Transmite Ack 0Q2: Transmite ErroQ3: Espera Mensagem 1Q4: Transmite Ack 1Q5: Transmite Erro

Medidas de desempenhoMedidas de desempenho

Desempenho pode ser avaliado sob dois pontos de vista: do usuário:

menor tempo de resposta menor buffer

do sistema: máximo throughput menor memória

Espaço Tempo

Usuário Buffer tempo deresposta

Sistema Memória Throughput

Máximo throughputMáximo throughput

Transmissor sempre dispõe de pacotes para transmitir

Time-out é o menor possível

Tout = 2Tp + Tack Existem erros

Pe > 0 existem retransmissões

Definições:

Ii = i-ésima tentativa de transmitir o pacote

tT = ti + tout = ciclo de operação

p = probabilidade de receber o pacote com erro

n = número de tentativas até transmitir um pacote

pa= probabilidade de transmissão correta na n-ésima tentativa

tu = tempo utilizado nas n tentativas

E[t] = tempo médio de recepção com sucesso (1)

t Tt Tt T

I 2 I 3 I n

(1-p)p p

Diagrama de lógica temporalDiagrama de lógica temporal

F1 F1 F1 F1

1-p 1-p 1-p

p p p Errado Errado Errado Errado

Correto Correto Correto

p: probabilidade de erro no pacote

Certamente,

Por definição de valor médio

Da figura anterior:

Como n é uma v.a. com distribuição Ge(1-p):

max [ ]

Ttnt(n)(3)

(2) E[ t ] t n p nn 1

(4) p(n) p (1 p)n 1

Substituindo-se (2), (3) e (4) em (1), obtém-se:

Simplificando (4):

Por definição:

E t[ ]

n t p 1 pT

ir tap

tE )1()1(

max 1i

Throughput normalizadoThroughput normalizado

p 1 - p 1 - pp p p T

Transmissão

Transmissãoefetiva

Tempo em transmissoes efetivas

O throughput normalizado pode ser interpretado como a percentagem do tempo ocupado na transmissão efetiva de pacotes

Se o tempo para receber um ack ou um nack é desprezível, também o é o time-out:

a = 1 = (1- p)

a=1 : Rede da área locala=3 : Rede com enlaces menores a 500 Kma=10 : Rede de enlace satelital

max=F(p,a)

a=1,4a=1

max=F(p,a)p=0

Distribuição de PoissonDistribuição de Poisson

X v.a. discreta com domínio e com a seguinte função de massa de probabilidade:

X: distribuição de Poisson com parâmetro

Função de distribuição de probabilidade:

P X = i = i!

e , i 0

P X n = i!

00,020,040,060,080,1

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Distribuição de PoissonDistribuição de Poisson Função de massa de probabilidadeFunção de massa de probabilidade

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Distribuição de PoissonDistribuição de Poisson Função de distribuição de probabilidadeFunção de distribuição de probabilidade

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Fn. de distribuição

Fn. de massa

00,050,1

0,150,2

0,250,3

0,350,4

0 5 10 15 20 25 30 35 40i

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonFunção de massa de probabilidadeFunção de massa de probabilidade

Valor esperado:

E[X] =

Fazendo k = i - 1:

E[X] =

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonParâmetrosParâmetros

(t) e (e )t 1

Processo de contagemProcesso de contagem

Processo estocástico {N(t), t 0} é de contagem se N(t) representa o número total de eventos que ocorrem entre (0,t]

Por definição, N(t) satisfaz: N(t) 0 N(t) assume valores inteiros s < t N(s) N(t) s < t N(t) - N(s) = número de eventos durante o intervalo

Número de pessoas que entraram em um supermercado no intervalo de

tempo (0,t]

Número de veículos que entraram em um túnel num intervalo dado

Número de gols que um determinado jogador fez num determinado intervalo (0,t]

Incrementos independentes: processo de contagem no qual o número de eventos ocorridos em intervalos de tempos disjuntos são independentes

Exemplo: o processo de contagem no intervalo (5,10] não depende do processo de contagem em (0,5]

Incrementos independentes Incrementos independentes Número de pessoas que entraram em um supermercado num intervalo de tempo

Incrementos não-independentesIncrementos não-independentes Número de nascimentos num intervalo de tempo, quando existe controle da natalidade

Incrementos estacionários: número de eventos em (t1+s,t2+s] depende somente da amplitude do intervalo (t2-t1)

Ou seja, N(t2+s)-N(t1+s) tem a mesma distribuição que N(t2)-N(t1), onde t2 > t1 e s > 0

0 t1 t2 s+t1 s+t2

Incrementos não-estacionáriosIncrementos não-estacionários

A quantidade de ligações telefônicas é maior em determinadas horas do dia

Incrementos estacionáriosIncrementos estacionários

Número de veículos que entram em um túnel num ano

Processo de PoissonProcesso de Poisson

N(t) é um processo de Poisson se: N(t) é um processo de contagem N(0) = 0 (reset) Tem incrementos independentes e estacionários Número de eventos em qualquer intervalo

de amplitude t é distribuído como uma variável de Poisson com média t, ou seja:

0,; 1, 0,=i,!) ( e = } i=N(s)-s){N(t t -

tsitPi

0,;0,1,=i,!

)( e = } i= N(s)-s)P{N(t

Processo de PoissonProcesso de Poisson

A última condição implica em incrementos estacionários

N(t) não se refere apenas a uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson, mas sim que para cada t > 0 se tem uma v.a. com uma distribuição de Poisson de parâmetro t (dependente de t)

Esta coleção (infinita) de variáveis aleatórias é conhecida como um processo de Poisson

Processo de PoissonProcesso de PoissonTempo entre chegadasTempo entre chegadas

0 t1 t2 t3 · · · tn-1 tn

T1 T2 T3 · · · Tn

Eventos (contagem do P.P.)

Conjunto de v.a.s com distribuição Exp()

Seqüência {Tn, n=1,2,...}, onde Tn representa o tempo entre o evento (chegada) n e o evento n-1

Processo de PoissonProcesso de PoissonTempo entre chegadasTempo entre chegadas

Evento {T1 > t } significa que não aconteceu chegada alguma do processo de Poisson no intervalo (0,t]

P{T1 > t} = P{N(t) = 0} = e-t

Além disso,

P{T2>t | T1=s} = P{0 eventos em (s,s+t]} = e-t

Repetindo-se o experimento, conclui-se que Tn, n=1,2,... são v.a. exponenciais independentes e identicamente distribuídas

Teoria das Filas e Aplicações Celso C. Ribeiro Reinaldo Vallejos PETROBRAS Novembro 1998.

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