Post on 19-Jan-2019
TEORIA DOS GRAFOSUMA APLICAÇÃO DELOGÍSTICA PARA O
ENSINO MÉDIO
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moalammmoala@fafica.br
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Breve Histórico
Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Problema das Sete Pontes – 1.736 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado)“Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo
sem passar pela mesma ponte mais de uma vez”
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Breve Histórico
Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Problema das Sete Pontes – 1.736 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado)“Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo
sem passar pela mesma ponte mais de uma vez”
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Breve Histórico
Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Problema das Sete Pontes – 1.736 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado)“Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo
sem passar pela mesma ponte mais de uma vez”
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Breve Histórico
Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Problema das Sete Pontes – 1.736 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado)“Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo
sem passar pela mesma ponte mais de uma vez”
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Impossível!!!Pelo menos um
vértice é de grau ímpar!!!
(Todos deveriam ter grau par)
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Breve Histórico
Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos
Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
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Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)
Problema das Sete Pontes – 1.736 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado)“Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo
sem passar pela mesma ponte mais de uma vez”
Todos os vértices tem grau par!!!
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Aplicações no Mundo - LogísticaEmpresa aérea Delta Air Lines
Rotas nos Estados Unidos
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Empresa aérea Azul
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Empresa aérea AzulRota: Brasília e seus destinos
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Empresa aérea AzulRota de Manaus para Fortaleza
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Empresa aérea GolRotas no Brasil
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Empresa aérea GolRota: Manaus - Fortaleza
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Empresa aérea Alliance
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Empresa aérea AllianceRota: Manaus - Fortaleza
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Mapa de CatanduvaAcesso a Bairros
Stocco
JardimEsperança
ResidencialSeb. Moraes
Colinado Sol
Aplicações no Mundo - Logística
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Centro
Engrácia
Industrial
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Mapa de CatanduvaAcesso a Bairros
Colinado Sol
ResidencialSeb. Moraes
JardimEsperança
Stocco
Aplicações no Mundo - Logística
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Centro
Engrácia
Industrial
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Rede de ComputadoresConexões
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Circuito ElétricoPlaca e Componentes
Aplicações no Mundo - Logística
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INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
1 Vértice ou Nó
Conceitos Básicos de Grafos
Arco do vértice 1 para o vértice 2211 2
1 2≠
Vértices 1 e 2 são adjacentesVértice 1 incide sobre ao vértice 2Vértice 2 é incidido pelo vértice 1Vértice 1 é predecessor do vértice 2Vértice 2 é sucessor do vértice 1
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Aresta do entre os vértice 1 e 221 21
Vértices 1 e 2 são adjacentesVértice 1 incide sobre ao vértice 2, e vice-versaVértice 1 é predecessor do vértice 2, e vice-versaVértice 2 é sucessor do vértice 1, e vice-versa
Laço1 1
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Tipos de Grafos
Conceitos Básicos de Grafos
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3G:
1
2
3
D:
21
3M:
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De um modo geral chamaremos todos de GrafosUtilizaremos Grafo ou Dígrafo para casos específicos
4 5
Grafo (Aresta)4 5
Dígrafo (Arcos)
4 5
Grafo Misto(Arcos e Arestas)
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSGrafos Isomorfos
3
4 2
1
G:
2
4 3
1
G:
21
2
1Grafo planar Grafo plano
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2
4
3
5
1
D:1
4
3
5
D:
2
4
3
5
D:
Dígrafosplanares
Dígrafo plano
(Dí)Grafo Planar: Pode ser construído sem interseção(Dí)Grafo Plano: Não tem interseção
2
4 5
1
3G:
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSSugrafos: Grafo G(A,V), subgrafo H(B ⊆ A,U ⊆ V)
2
4
1
3HG:
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1
2
4
3
5
D:3
5
1
HD:
2
4 5
1
3G:
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSSugrafos: (Atividades)Construir um subgrafo com 5 arestas(arcos)associado a cada grafo
2
4
1
3HG:
2
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1
2
4
3
5
D:3
5
1
HD:
2
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore: Grafo G(A,V) sem ciclo
1
2
3
D:G:
3
4
2
1
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4 5
56
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore: (Atividades)Construir uma árvore com os vértices dados:
1
2
4
31
2
4
3
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4
5
D:
6
8
7
4
5
G:
6
8
7
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore Geradora: A árvore geradora [T] de um grafo G(A,V) é a árvore obtida de G e que contém todos os vértices d e G.
2
4 5
1
3G:
2
4 5
1
3[TG]:
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1
2
4
3
5
D:1
2
4
3
5
[TD]:
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore Geradora de Peso Mínimo: A árvore geradora [TG] de peso mínimo de um grafo G(A,V) é a árvore geradora obtida de G cuja soma de todos os valores nas arestas (ou arcos) é o menor.
2
4 5
1
3G:
30
25
20
6
30
4
25
Poderíamos determinar todas as árvoresgerados de G (Processo de contagem) eselecionar a de menor peso:
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4 55
2
4 5
1
3[TG]:
30
25
5
4
Peso = 64 Peso = 65
2
4 5
1
3[TG]:
30
25
64
2
4 5
1
3[TG]:
30
20
5
4
Peso = 59
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSAlgoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo:1º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso;2º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se estaaresta (ou arco) formar um ciclo com as outras que já estão na árvore geradoradescarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a dalista.3º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vérticesestejam ligados.
2130
2025
Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12
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4 5
3G: 25
6
5
30
4
2
4 5
1
3[TG]:
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSAlgoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo:1º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso;2º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se estaaresta (ou arco) formar um ciclo com as outras que já estão na árvore geradoradescarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a dalista.3º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vérticesestejam ligados.
2130
2025
Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12
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4 5
3G: 25
6
5
30
4
2
4 5
1
3[TG]:
4
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSAlgoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo:1º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso;2º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se estaaresta (ou arco) formar um ciclo com as outras que já estão na árvore geradoradescarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a dalista.3º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vérticesestejam ligados.
2130
2025
Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12
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4 5
3G: 25
6
5
30
4
2
4 5
1
3[TG]:
5
4
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSAlgoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo:1º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso;2º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se estaaresta (ou arco) formar um ciclo com as outras que já estão na árvore geradoradescarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a dalista.3º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vérticesestejam ligados.
2130
2025
Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12
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Forma ciclo
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4 5
3G: 25
6
5
30
4
2
4 5
1
3[TG]:
6
5
4
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSAlgoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo:1º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso;2º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se estaaresta (ou arco) formar um ciclo com as outras que já estão na árvore geradoradescarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a dalista.3º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vérticesestejam ligados.
2130
2025
Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12
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4 5
3G: 25
6
5
30
4
2
4 5
1
3[TG]:
20
5
4
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSAlgoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo:1º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso;2º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se estaaresta (ou arco) formar um ciclo com as outras que já estão na árvore geradoradescarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a dalista.3º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vérticesestejam ligados.
2130
2025
Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12
21
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
4 5
3G: 25
6
5
30
4
2
4 5
1
3[TG]:
20
5
4
25
Note que, qualquer uma dos demais arestas que foram adicionadas à
árvore teremos a formação de um ciclo!
Peso = 54
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore Geradora de Peso Mínimo: ATIVIDADESConstruir a árvore geradora de custo mínimo para cada grafo que se segue:
2
4 5
1
3G:
5
10
7
47
5
3
6
[TG]:
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1
D:5
10
810
6
4 3
2
[TG]:
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos
Cadeia: Sequência de vértices adjacentes
1
2
3 1
2
3
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54 54
1,2,4,3,1,4,5,3
Caminho: Sequência de vértices adjacentes, acessados no sentido do arco,quando se percorre arcos.
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos
1
2
3 1
2
3
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54 54
3,1,2,4,5,1,2
Ciclo: Sequência de vértices adjacentes, onde o vértice inicial é igual a ovértice final
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos
1
2
3 1
2
3
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1,2,3,5,4,1
54 54
Circuito: Caminho, onde o vértice inicial é igual a o vértice final
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos
1
2
3 1
2
3
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
1,2,4,3,5,1
54 54
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos- ATIVIDADES1) Caminho Euleriano-Determinar um caminho euleriano, ou seja, um caminhoque passe por todas as arestas uma única vez:
1 2
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5
4 3
6
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos- ATIVIDADES2) Circuito Euleriano-Determinar um circuito euleriano, ou seja, um caminho deextremos iguais, que passe por todas as arestas uma única vez e retorna aovértice inicial:
1 2
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5
4 3
6
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos- ATIVIDADES3) Caminho Hamiltoniano-Determinar um caminho hamiltoniano, ou seja, umcaminho que passe por todas os vértices uma única vez:
5d
8
e
9a
2
1
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d aji
h7
c
6
f
g10
b
4 3
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Adjacência ou de Incidência Vértice-Vértice M(aij)
aij =1, se existir uma ligação entre os nós i e j
0, caso contrário
1 2 3 4 5
0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 2
1 1 0 0 1 31
2
3
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1 1 0 0 1 3
1 0 0 1 1 4
1 1 1 1 0 5
54Matriz simétrica
Informações guardadas em dobroIneficiente computacionalmente
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Adjacência ou de Incidência Vértice-Vértice M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de adjacência do grafos dado:
1
2
3
1 2 3 4 5
1
2
aij =1, se existir uma ligação entre os nós i e j
0, caso contrário
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54
2
3
4
5
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Adjacência ou de Incidência Vértice-Vértice M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de Incidência Vértice-Vértice do grafos dado:
1
2
3
1 2 3 4 5
1
aij =1, se existir uma ligação entre os nós i e j
0, caso contrário
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1
54
3 1
2
3
4
5
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Incidência Vértice-Aresta M(aij)
1
2
3
Não pode conter laços
K=(i,j)∈A(G) =
aik =1
ajk =1
0, caso contrário
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54
1 2 3 4 5 6 7 8
1
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Incidência Vértice-Aresta M(aij)
1
2
3
Enumeração das arestas
K=(i,j)∈A(G) =
aik =1
ajk =1
0, caso contrário
Arestas1 3
24
2
3
4
5
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54
Vé
rtice
s
6
8
75
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Incidência Vértice-Aresta M(aij)
1
2
3
1 32
4
Enumeração das arestas
K=(i,j)∈A(G) =
aik =1
ajk =1
0, caso contrário
1 0 0 1 1 1 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8
1
Arestas
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54
6
8
751
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
2
3
4
5
Vé
rtice
s
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Incidência Vértice-Aresta M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de incidência vértice-aresta
2
K=(i,j)∈A(G) =
aik =1
ajk =1
0, caso contrário
Arestas
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1
5
2
4
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
Arestas
Vé
rtice
s
1 23
4
76
5
9
10
8
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Não pode conter laços
1
2
3
K=(i,j)∈A(G) =
aik =1 (saída)
ajk =-1 (chegada)
0, caso contrário
Matriz de Incidência Vértice-Arco M(aij)
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54
1 2 3 4 5 6 7 8
1
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
Matriz de Incidência Vértice-Arco M(aij)
K=(i,j)∈A(G) =
aik =1 (saída)
ajk =-1 (chegada)
0, caso contrário
1 0 0 -1 -1 -1 0 01
2
3
Arestas1
23
4
2
3
4
5
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
-1
0
0
0
-1
0
0
1
1
-1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
-1
0
0
1
-154
Vé
rtice
s
5 6 7
8
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS
2
Matriz de Incidência Vértice-Arco M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de incidência vértice-arco
K=(i,j)∈A(G) =
aik =1 (saída)
ajk =-1 (chegada)
0, caso contrário1
2 4Arestas
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
1
54
3
23
4
5
67
8
910
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
Arestas
Vé
rtice
s
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em GrafosSeja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com n vértices.A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j,com n-1 vértices intermediários.
1
2
3
1 2 3 4 5
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 2
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54
0 0 1 0 0 2
1 0 0 0 1 3
1 0 0 0 1 4
1 1 0 0 0 5
A =
1 2 3 4 5
0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 2
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em GrafosSeja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com n vértices.A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j,com n-1 vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário.
1
2
3
Existem 2 caminhos do vértice 3 ao 2 com 2 arcos1º caminho
1 0 0 0 1 2
1 2 0 0 0 3
1 2 0 0 0 4
0 1 1 0 0 5
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
54
A2 =
1 2 3 4 5
0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 2
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em GrafosSeja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com n vértices.A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j,com n-1 vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário.
1
2
3
Existem 2 caminhos do vértice 3 ao 2 com 2 arcos2º caminho
1 0 0 0 1 2
1 2 0 0 0 3
1 2 0 0 0 4
0 1 1 0 0 5
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
54
A2 =
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em GrafosSeja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com n vértices.A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j,com n-1 vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário.
1
2
3
1 2 3 4 5
1 0 0 0 1 1
1 2 0 0 0 2
Existem 2 caminhos do vértice 4 ao 3 com 3 arcos1º caminho
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
54
1 2 0 0 0 2
0 1 2 0 0 3
0 1 2 0 0 4
1 0 1 0 1 5
A3 =
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em GrafosSeja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com n vértices.A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j,com n-1 vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário.
1
2
3
1 2 3 4 5
1 0 0 0 1 1
1 2 0 0 0 2
Existem 2 caminhos do vértice 4 ao 3 com 3 arcos2º caminho
Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: mmmoala@fafica.br
54
1 2 0 0 0 2
0 1 2 0 0 3
0 1 2 0 0 4
1 0 1 0 1 5
A3 =