Post on 31-May-2020
Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /out./2018
Avaliação_________________________________________ Professor _________________________________
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Teste 1
Grupo I
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção
correta.
1. Quatro raparigas e cinco rapazes vão dispor-se lado a lado para tirar uma fotografia.
De quantas maneiras o podem fazer, de tal modo que os três jovens do meio sejam todos
rapazes?
(A) 4320 (B) 7200 (C) 43 200 (D) 72 000
2. 𝐴1000 9999!
+ 𝐶1001000 é igual a:
(A) 𝐶1011000 (B) 𝐶1011001 (C) 𝐶9001001 (D) 𝐶9011001
3. Considera a linha do triângulo de Pascal que tem vinte elementos.
Qual é a soma dos primeiros dez elementos dessa linha?
(A) 29 (B) 210 (C) 218 (D) 219
4. Um dos termos do desenvolvimento de (𝑥 + 2)8 é um monómio da forma 𝑎𝑥5 .
Qual é o valor de 𝑎 ?
(A) 56 (B) 112 (C) 336 (D) 448
5. Seja 𝐴 = {1, 2, 3} e seja 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} . Quantas funções injetivas de 𝐴 em 𝐵
existem em que a imagem de 1 é diferente de 1 e a imagem de 2 é diferente de 2?
(A) 299 (B) 399 (C) 499 (D) 599
Grupo II
Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares,
explica os raciocínios e justifica as conclusões.
1. Seja 𝐴 o conjunto de todos os números naturais com seis algarismos que se podem formar
com os algarismos de 1 a 9, inclusive.
a) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm os algarismos todos diferentes?
b) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm exatamente dois algarismos 8?
c) Quantos são os elementos de 𝐴 que têm exatamente dois algarismos iguais, sendo os
restantes algarismos todos diferentes?
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2. Na figura está representado um octaedro regular [𝐴𝐵𝐶𝐴𝐴𝐴] .
Apresenta os resultados das seguintes alíneas na forma de
fração irredutível.
a) Escolhendo ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a
probabilidade de a reta por eles definida não estar contida
no plano 𝐴𝐵𝐶 ?
b) Escolhendo ao acaso três vértices do octaedro, qual é a
probabilidade de o plano por eles definido ser
perpendicular ao plano 𝐴𝐵𝐶 ?
c) O António e o Sérgio pensaram, cada um deles, numa das letras que representam os
vértices do octaedro.
Qual é a probabilidade de que pelo menos um deles tenha pensado numa vogal?
3. Seja Ω o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 ⊂ Ω e 𝐵 ⊂ Ω) . Sabe-se que 𝑃(𝐴) =712 e que 𝑃(𝐵) =
12 . a) Justifica que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 não são incompatíveis.
b) Determina 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) , admitindo que 𝑃(𝐵 | 𝐴) =13 . Apresenta o resultado na forma de
fração irredutível.
4. Num encontro desportivo, participam atletas de vários países, entre os quais Portugal. Sabe-se
que:
• 90% dos atletas participantes no encontro são portugueses ou do sexo masculino;
• metade dos atletas estrangeiros são do sexo feminino.
Escolhido ao acaso um atleta participante no encontro, qual é a probabilidade de ser estrangeiro?
Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
5. Algumas cartas do naipe de espadas e algumas cartas do naipe de copas foram introduzidas
num saco. Ao acaso, extraem-se duas cartas do saco, uma após a outra, não repondo a
primeira carta extraída.
Considera os seguintes acontecimentos: 𝐴 : «a primeira carta extraída é de espadas»; 𝐵 : «a segunda carta extraída é de espadas».
Sabe-se que 𝑃(𝐴) =38 e que 𝑃(𝐵 | 𝐴) =
13 .
Repõem-se as duas cartas extraídas no saco. Em seguida, tiram-se, sucessivamente e ao acaso,
as cartas do saco e dispõem-se numa mesa, umas ao lado das outras, pela ordem de saída.
Qual é a probabilidade de as cartas de pelo menos um dos naipes ficarem juntas? Apresenta a
tua resposta arredondada às milésimas.
FIM
Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /nov./2018
Avaliação_________________________________________ Professor _________________________________
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Teste 2
Grupo I
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção
correta.
1. Seja (𝑢𝑛) a sucessão de termo geral 𝑢𝑛 = ∑ 𝑘𝑛𝑘=1 . Qual é o valor de lim 𝑛2𝑢𝑛 ?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) +∞
2. Seja 𝑓 uma função diferenciável no intervalo [−3, 0] tal que:
• 𝑓(0) = 2
• ∀𝑥 ∈ [−3, 0], 𝑓′(𝑥) ∈ [−5, −2] O teorema de Lagrange, aplicado à função 𝑓 em [−3, 0] , permite concluir que 𝑓(−3) não
pode ser igual a:
(A) 7 (B) 9 (C) 14 (D) 16
3. Considera os vértices de um hexágono regular. Escolhem-se ao acaso dois desses vértices. Qual é
a probabilidade de a reta definida por esses vértices passar no centro do hexágono?
(A) 12 (B)
13 (C) 14 (D)
15
4. Considera a linha do triângulo de Pascal em que o maior elemento é 𝐶3𝑛 . Quantos números
naturais, múltiplos de 10, é possível escrever colocando, lado a lado, todos os algarismos dos
elementos dessa linha?
(A) 1260 (B) 3780 (C) 163 296 (D) 362 880
5. Quatro rapazes e quatro raparigas entram numa carruagem de comboio onde existem seis
lugares sentados ainda não ocupados. De quantas maneiras podem ocupar esses seis lugares
supondo que fica uma rapariga e um rapaz em pé?
(A) 576 (B) 1440 (C) 11 520 (D) 20 160
Grupo II
Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares,
explica os raciocínios e justifica as conclusões.
1. Considera a sucessão (𝑣𝑛) definida por 𝑣𝑛 = ∑ 1−2√𝑛𝑛+𝑘𝑛𝑘=1 e seja (𝑢𝑛) uma sucessão tal que ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 ≤ 1 .
Justifica que a sucessão (𝑢𝑛) não é convergente.
2. Seja 𝑓 a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 + 1 .
a) Considere a função ℎ definida por ℎ(𝑥) = 𝑥 − 𝑓(𝑥) . Estuda a função ℎ quanto à
monotonia e quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico. Na tua resposta,
apresenta:
• os intervalos em que a função é crescente e os intervalos em que é decrescente;
• os extremos relativos, caso existam;
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• os intervalos em que a concavidade do gráfico está voltada para cima, os intervalos em
que a concavidade do gráfico está voltada para baixo e as coordenadas dos pontos de
inflexão que eventualmente existam.
b) Considera a função 𝑔 , de domínio ℝ ∖ [−1, 0] , definida por:
𝑔(𝑥) = { 𝑓(𝑥)+ 2𝑥2− 1 se 𝑥 < −12𝑥√𝑥2+ 1 − 1 se 𝑥 > 0
Mostra que existem exatamente três assíntotas ao gráfico da função 𝑔 : uma assíntota
vertical, uma assíntota oblíqua e uma assíntota horizontal.
3. Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções diferenciáveis em ℝ . Sabe-se que:
• a reta de equação 𝑦 = 3𝑥 + 5 é tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto de abcissa −1;
• ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑔(𝑥) = 𝑓3(𝑥)𝑥2+ 1 .
Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função 𝑔 no ponto de abcissa −1.
4. Seja 𝑓 uma função de domínio ℝ , duas vezes diferenciável. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais,
com 𝑎 < 𝑏 . Sabe-se que:
• 𝑓′(𝑎) × 𝑓′(𝑏) < 0
• ∀𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[, 𝑓′′(𝑥) > 0
Justifica que a função 𝑓 atinge um e um só extremo no intervalo ]𝑎, 𝑏[ e indica se é máximo
ou é mínimo.
5. Considera o seguinte jogo que consiste no lançamento simultâneo de dois dados cúbicos,
equilibrados, com as faces numeradas de 1 a 6, sendo um dado verde e outro branco.
A pontuação obtida num lançamento é a soma dos pontos das faces que ficam voltadas para
cima.
O jogo vai ser disputado pela Maria e pelo António. Suponhamos que a Maria é a primeira a
lançar os dados. Caso queiram, poderão repetir o lançamento dos dois dados, mas a
pontuação obtida no segundo lançamento substitui a obtida no primeiro. Vence quem obtiver
a maior pontuação. Se as pontuações obtidas foram iguais, é declarado empate.
Apresenta as respostas aos itens seguintes na forma de fração irredutível.
a) Admite que a Maria faz o segundo lançamento se e só se obtiver menos de 7 pontos no
primeiro lançamento. Qual é a probabilidade de a Maria obter 7 pontos na sua jogada?
b) Admite que a Maria faz apenas um lançamento dos dados. Qual é a probabilidade de obter
7 pontos se o número da face voltada para cima no dado verde for superior ao número da
face voltada para cima no dado branco?
c) A estratégia do António é fazer o segundo lançamento se e só se a pontuação que obtém
no primeiro lançamento não for superior à obtida pela Maria na sua jogada.
Admite que a Maria obteve 3 pontos na sua jogada. Qual é a probabilidade de o António
perder o jogo?
FIM
Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /jan./2019
Avaliação_________________________________________ Professor _________________________________
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Teste 3
Grupo I
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção
correta.
1. Seja 𝑎 um número real maior do que 1.
Seja 𝑏 = log𝑎(18) e seja 𝑐 = log𝑎(2) .
Qual é o valor de 𝑎𝑏−𝑐2 ?
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12
2. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais maiores do que 1 tais que log𝑏(𝑎) = 4 .
Qual é o valor de log𝑎(𝑎𝑏2) ?
(A) 1 2 (B)
3 4 (C) 5 4 (D)
3 2
3. Para um certo número real 𝑘 , tem-se lim �1 +𝑘4𝑛�𝑛+1 = √𝑒 .
Qual é o valor de 𝑘 ?
(A) 3 2 (B) 2 (C)
5 2 (D) 3
4. Qual é o valor de lim𝑥→0 𝑒𝑥−1(𝑒𝑥−1)𝑥2−𝑥 ?
(A) −𝑒 (B) − 1 𝑒 (C) 1 𝑒 (D) 𝑒
5. O código de um cofre é uma sequência de cinco algarismos diferentes de 0.
O João não sabe o código, mas sabe que este contém dois algarismos ímpares diferentes e três
algarismos pares, dos quais dois são iguais.
O João vai tentar abrir o cofre.
Qual é a probabilidade (valor arredondado às centésimas de milésimas) de o João o conseguir,
com uma única tentativa?
(A) 0,000 12 (B) 0,000 13 (C) 0,000 14 (D) 0,000 15
Grupo II
Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares,
explica os raciocínios e justifica as conclusões.
1. Como sabes, 1910 foi o ano da implantação da República em Portugal.
Admite que a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, 𝑡 anos após o
início de 1910, é dada aproximadamente por:
𝑝(𝑡) =11,742
1 + 1,06𝑒−0,022𝑡 (𝑡 ≥ 0)
a) De acordo com este modelo, em que ano é que a população de Portugal Continental atingiu
dez milhões de habitantes?
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b) Desde o instante 𝑡 = 0 até um certo instante 𝑡 = 𝑎 , a população de Portugal Continental
aumentou, em média, 50 000 habitantes por ano. Determina, recorrendo às capacidades
gráficas da calculadora, o valor de 𝑎 .
Na tua resposta:
• equaciona o problema;
• reproduz, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora
que te permite(m) resolver a equação;
• apresenta o valor de 𝑎 arredondado às unidades.
2. Seja 𝑓 a função de domínio ℝ definida por: 𝑓(𝑥) = �2𝑒𝑥−1 − 𝑥 + 3 se 𝑥 ≤ 1 ln(4𝑥−3) 𝑥−1 se 𝑥 > 1
a) Justifica que a função 𝑓 é contínua.
b) Estuda a função 𝑓 quanto às assíntotas ao seu gráfico.
c) Estuda, quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, a restrição da
função 𝑓 ao intervalo ]−∞, 1] .
3. Para cada número real 𝑘 , seja 𝑔 a função de domínio �− 1 2 , +∞� definida por:
𝑔(𝑥) = 𝑘 + 𝑥 + 2
2ln(2𝑥 + 1) − ln(5)
a) Determina o conjunto dos valores de 𝑘 para os quais o teorema de Bolzano-Cauchy, aplicado
no intervalo [0, 2] , garante a existência de pelo menos um zero da função 𝑔 em ]0, 2[ .
b) Considera 𝑘 = 0 . Estuda a função 𝑔 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e
quanto à existência de pontos de inflexão.
4. Seja 𝐸 o espaço amostral associado a uma experiência aleatória.
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois acontecimentos (𝐴 ⊂ 𝐸 e 𝐵 ⊂ 𝐸).
Sabe-se que 𝑃(𝐵) ≠ 1 e que 𝐴 e 𝐵 são acontecimentos equiprováveis.
Prova que 𝑃�𝐴|𝐵� − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐵|𝐴) .
5. Seja 𝑓 a função de domínio ℝ+ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑝 log𝑞(𝑥)
(𝑝 designa um número real positivo e 𝑞 designa um número real maior do que 1).
Seja 𝑎 um número real positivo. Seja 𝐴 o ponto do gráfico de 𝑓 cuja abcissa é 𝑎 e seja 𝑟 a
reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto 𝐴 .
Sejam 𝐵 e 𝐶 os pontos de interseção da reta 𝑟 com os eixos das ordenadas e das abcissas,
respetivamente. Sabe-se que o ponto 𝐵 tem ordenada positiva.
Seja 𝐷 o ponto de coordenadas (𝑎, 0) .
Determina o valor de 𝑎 , sabendo que o triângulo [𝐴𝐶𝐷] é isósceles e que o triângulo [𝐵𝐶𝐷]
é retângulo.
FIM
Nome ___________________________________________ N.o _____ Turma ______ Data ____ /mar./2019
Avaliação_________________________________________ Professor _________________________________
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Teste 4
Grupo I
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada um deles, escolhe a única opção
correta.
1. Na figura está representada parte de uma parábola cujo vértice
pertence ao quarto quadrante.
Esta parábola é o gráfico de uma função 𝑓 de domínio ℝ .
Qual das expressões seguintes designa um número positivo?
(A) 𝑓′(0) + 𝑓(0) × 𝑓′′(0) (B) 𝑓(0) + 𝑓′(0) × 𝑓′′(0)
(C) [𝑓′′(0) + 𝑓(0)] × 𝑓′(0) (D) [𝑓′(0) − 𝑓(0)] × 𝑓′′(0)
2. Seja 𝑎 um número real maior do que 1 . Qual é o valor de log𝑎(9) + 2 log𝑎(4)
log𝑎(24) − log𝑎(2) ?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
3. Na figura está representado o triângulo [𝐴𝐴𝐴] .
Sabe-se que:
• 𝐴𝐴 = 4
• 𝐴𝐴 = 6
• 𝐴𝐴�𝐴 = α
• 𝐴�̂�𝐴 = 2α
Qual é o valor de cos (2α) ?
(A) 1
6 (B)
1
7 (C)
1
8 (D)
1
9
4. Seja 𝑏 um número real positivo menor do que 1 .
Seja 𝑆 o conjunto das soluções da equação sen2 𝑥 = 𝑏 que pertencem ao intervalo �0,9𝜋2 � .
Escolhem-se ao acaso dois elementos de 𝑆 .
Qual é a probabilidade de ambos pertencerem ao intervalo �5𝜋2 , 4𝜋� ?
(A) 1
6 (B)
1
8 (C)
1
10 (D)
1
12
5. Num clube desportivo, há tantos praticantes de andebol como de basquetebol.
Um terço dos praticantes de basquetebol pratica andebol.
Metade dos atletas do clube não pratica andebol nem basquetebol.
Escolhe-se ao acaso um atleta desse clube. Qual é a probabilidade de ele praticar andebol?
(A) 0,25 (B) 0,3 (C) 0,35 (D) 0,4
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Grupo II
Na resposta a cada um dos cinco itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que efetuares,
explica os raciocínios e justifica as conclusões.
1. Na figura está representada a circunferência trigonométrica.
Considera que um ponto 𝑃 se desloca sobre a
circunferência, no segundo quadrante.
Para cada posição do ponto 𝑃 , seja:
• 𝑄 a projeção ortogonal de 𝑃 sobre o eixo 𝑂𝑥 ;
• 𝑅 o ponto de interseção da reta 𝑂𝑃 com a reta de
equação 𝑥 = 1 ;
• α a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que
tem por lado origem o semieixo positivo 𝑂𝑥 e por
lado extremidade a semirreta �̇�𝑃 �𝛼 ∈ � 𝜋
2 ,𝜋� � .
Seja 𝑆 o ponto de coordenadas (1, 0) .
Determina o valor de α para o qual a área do triângulo [𝑂𝑅𝑆] é dupla da área do
triângulo [𝑂𝑃𝑄] .
2. Considera a função 𝑓 , de domínio �− 𝜋
3 ,
𝜋
2 � , definida por 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑒√3𝑥 cos𝑥 .
a) Mostra que 𝑓′(𝑥) = 𝑒√3𝑥 sen𝑥 − √3𝑒√3𝑥 cos𝑥 e estuda a função 𝑓 quanto à monotonia e
quanto à existência de extremos relativos.
b) Seja 𝐴 o ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo 𝑂𝑂 .
Seja 𝑟 a reta tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto 𝐴 .
Seja 𝐴 o ponto de interseção da reta 𝑟 com o eixo 𝑂𝑥 .
Determina a amplitude (em radianos) do ângulo 𝑂𝐴𝐴 .
3. Seja ℎ a função, de domínio ]−∞,𝜋[ , definida por:
ℎ(𝑥) =
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧3𝑥 + 2 +
ln (1 − 𝑥)𝑥1
sen (2𝑥)𝑥(1 + cos𝑥)
se 𝑥 < 0
se 𝑥 = 0
se 0 < 𝑥 < 𝜋
a) Justifica que a função ℎ é contínua para 𝑥 = 0 .
b) Estuda a função ℎ quanto às assíntotas ao seu gráfico.
c) Justifica que ∃ 𝑐 ∈ � 𝜋
3 ,
𝜋
2 � ∶ ℎ(𝑐) =
1
𝜋 .
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4. A Terra descreve uma órbita elítica em torno do Sol.
Na figura está representado um esquema dessa
órbita, em que se assinala o periélio, o ponto da
órbita mais próximo do Sol.
Na figura está também assinalado um ângulo de
amplitude 𝑥 radianos (𝑥 ∈ [0, 2𝜋[ ) . Este ângulo
tem o seu vértice no Sol, o lado origem passa no
periélio e o lado extremidade passa na Terra.
Sabe-se que:
• 𝑥 verifica a relação 2𝜋𝜋
365,24 = 𝑥 − 0,017 sen𝑥 , em que 𝑡 é o tempo, em dias, que decorre
desde a passagem da Terra pelo periélio até ao instante em que atinge a posição
correspondente ao ângulo 𝑥 ;
• a distância 𝑑 , em milhões de quilómetros, da Terra ao Sol, é dada, em função de 𝑥 , por 𝑑 = 149,6
1 + 0,017cos𝑥 .
Determina a distância a que a Terra se encontra do Sol, 200 dias depois de ter passado pelo
periélio.
Apresenta o resultado em milhões de quilómetros, arredondado às décimas. Nos valores
intermédios, utiliza, no mínimo, quatro casas decimais.
Nota: a resolução deste item envolve uma equação que deve ser resolvida com recurso às
capacidades gráficas da calculadora; na tua resposta, apresenta, num referencial, o(s)
gráfico(s) visualizado(s), devidamente identificado(s).
5. Seja 𝑓 a função, de domínio �0, 𝜋
2 � , definida por 𝑓(𝑥) = cos𝑥 .
Considera que um ponto 𝑃 se move ao longo do gráfico de 𝑓 . Para cada posição do ponto 𝑃 ,
sejam 𝑟 e 𝑠 as retas que passam por 𝑃 e são paralelas aos eixos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑂 , respetivamente.
Seja 𝑔 a função que à abcissa 𝑥 do ponto 𝑃 faz corresponder a área da região limitada pelos
eixos coordenados e pelas retas 𝑟 e 𝑠 .
Mostra que a função 𝑔 tem máximo
FIM
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Teste 1
Soluções
Grupo I
1. (C)
2. (D)
3. (C)
4. (D)
5. (B)
Grupo II
1.
a) 60 480
b) 61 440
c) 226 800
2.
a) 3 5
b) 2 5
c) 5 9
3.
a) Ao cuidado do aluno.
b) 8 9
4. 1 5
5. 0,002
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Teste 2
Soluções
Grupo I
1. (C)
2. (A)
3. (D)
4. (B)
5. (C)
Grupo II
1. Dado que, para qualquer número natural n ,1 2 n− designa um número negativo, tem-se,
para qualquer número natural k entre 1 e n ,1 2 1 2n nn k n n− −≤+ +
. Assim, pode concluir-se
que
1
1 2 1 2,n
k
n nn n
n k n n=
− −∀ ∈ ≤ ×+ +∑ .
Tem-se: 1 2 1 2
lim lim2
n nn
n n
− −× = = −∞ +
Portanto, por comparação, conclui-se que lim nv = −∞ e, ainda por comparação, também se
conclui que lim nu = −∞ , pois , 1n nn u v∀ ∈ ≤ + . Trata-se, portanto, de uma sucessão
divergente.
2.
a) A função h é decrescente em ] ],0−∞ e em 2,3 +∞
e é crescente em 2
0,3
.
A função atinge um mínimo relativo igual a 1− em 0 e atinge um máximo relativo igual a 2327
−
em 23
.
O gráfico da função h tem a concavidade voltada para cima em 1,3
−∞ e tem a concavidade
voltada para baixo em 1,3 +∞
; ( )1 253 27
h = − e, portanto, o ponto de coordenadas
( )1 25,3 27− é ponto de inflexão do gráfico da função h .
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b) A reta de equação 0x = é assíntota vertical ao gráfico da função g .
A reta de equação 1y x= − é assíntota oblíqua ao gráfico da função g , em −∞ .
A reta de equação 2y = é assíntota horizontal ao gráfico da função g , em +∞ .
3. 22 26y x= +
4. Dado que a função f ′ é contínua em (pois f é duas vezes diferenciável), então é contínua
em [ ],a b . Como ( ) ( ) 0f a f b′ ′× < , o corolário do teorema de Bolzano-Cauchy permite
concluir que a função f ′ tem pelo menos um zero em ] [,a b . Esse zero é único, pois, dado que
] [, , ( ) 0x a b f x′′∀ ∈ > , a função f ′ é estritamente crescente em ] [,a b .
Portanto, a função f não pode atingir mais do que um extremo em ] [,a b , pois, sendo
diferenciável, se atinge um extremo num ponto, então a derivada é nula nesse ponto.
Seja c o único zero de f ′ em ] [,a b .
Tem-se ( ) 0f c′ = e ( ) 0f c′′ > , de onde se conclui que a função f atinge um mínimo em c .
5.
a) 1772
b) 15
c)
1432
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Teste 3
Soluções
Grupo I
1. (A)
2. (D)
3. (B)
4. (B)
5. (C)
Grupo II
1.
a) Em 1992.
b) 92
2.
a)
2 Fotocopiável © Texto | 𝐌∀𝐓 12
b)
c)
3.
a)
b)
4.
Fotocopiável © Texto | 𝐌∀𝐓 12 3
5.
Fotocopiável © Texto | 𝐌∀𝐓 12 1
Teste 4
Soluções
Grupo I
Grupo II
2 Fotocopiável © Texto | 𝐌∀𝐓 12