Tobias Bleninger MATEMÁTICA APLICADA I - …bleninger/arquivos/matapI/1-MatapI-Intro.pdf ·...

Tobias Bleninger

Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Departamento de Engenharia Ambiental(DEA)

www.tobias.bleninger.info

MATEMÁTICA APLICADA I

Tobias Bleninger

Informações gerais

• Disciplina: Matemática Aplicada I

TT 009, 5° semestre, 6 créditos, disciplina obrigatória, carga horária: 90h

• Professor: Tobias Bleninger

Tel.: 3361 3212, bleninger@ufpr.br

Departamento de Engenharia Ambiental (DEA)

Centro Politécnico, Bloco V, sala 9.22

• Horário aula: Segundas, Quartas e Sextas 7:30-9:10h

• Sala aula: ?, Centro Politécnico

• Consultas: Por favor, agendar por email ou telefone

• Home Page: http://people.ufpr.br/~tobias.dhs/matapI.htm

Tobias Bleninger

Avaliações

• 1 Prova P1 (sem consulta)

• 2 Exercícios de casa:

• E1 (individual)

• E2 (em grupo com apresentação oral e arguição)

• Nota N = (E1*0,3 + P1*0,7 + E2)/2

• se N ≥ 7 aprovado com nota final NF = N

se N < 4 reprovado

se 4 ≤ N < 7 prova final F

se (F+N)/2 ≥ 5 aprovado com nota final NF = (F+N)/2

se (F+N) < 5 reprovado

• Presença: se faltas maior de 25% reprovado

Tobias Bleninger

Calendário (1ª parte)

Tobias Bleninger

Calendário (2ª parte)

Tobias Bleninger

Bibliografia

• Kreyszig, E., 1999, Advanced Engineering Mathematics, Wiley &

Sons, ISBN: 0-471-15496-2

• Steven Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB, McGraw

Hill, 3rd edition, 2011

• Steven Chapra, Metodos Numéricos para Engenharia, 5a edicao,

McGraw Hill, Sao Paulo, 2008

• Nelson, L.D., 2011, Apostila de Matemática Aplicada a Engenharia,

Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR (disponível para

copiar, por favor buscar na sala do Professor)

• Mais informações e referencias online na pagina da disciplina:

http://people.ufpr.br/~tobias.dhs/matapI.htm

Tobias Bleninger

Perguntas

• Fizeram Métodos Numericos?

• Quem sabe programa (e o que)?

• Quem tem notebook ou PC?

• Qual sistema operacional?

Tobias Bleninger

Definição e objetivos

• A Matemática Aplicada cria a habilidade de

aplicar métodos matemáticos a conceitos e

modelos da engenharia ambiental.

• Serão apresentados e estudados exemplos de

aplicações e elaborados cálculos relacionados a

problemas típicos de Mecânica dos Fluidos,

Fenômenos de Transporte, nos ambientes

atmosféricas, águas superficiais e subterrâneos

e processos tecnológicos.

• A introdução e aplicação de ferramentas

computacionais acompanha muitos resoluções

de problemas matemáticas assim fazendo parte

da disciplina.

Tobias Bleninger

Porque?

• Modelos matemáticos são ferramentas que ajudam

em projetos da engenharia para determinar

características relevantes (por exemplo

velocidades, níveis, concentrações, ...).

• Especialmente antes da construção (simulação e

previsão).

• Assim, complementando estudos com modelos

reduzidos e estudos em campo.

Tobias Bleninger

1. Definir as equações governantes de um fenômeno físico para um

problema com objetivo e condições definidos.

2. Caso ideal: fenômeno não depende do problema nem do lugar da

aplicação ( soluções universais)

3. Caso comum: fenômeno não tem descrição suficiente e depende do

lugar e da aplicação ( requer calibração e verificação)

a. Calibração: modificando (forçando) parâmetros para reproduzir resultados

medidos (requer dados)

b. Verificação: testando o modelo calibrado com dados novos (mais dados)

4. Definir condições iniciais e nos contornos (dados)

a. Caso ideal: condições suficientemente conhecidos ( soluções estáveis)

b. Caso comum: condições insuficientes ( matemática/modelo pode

"explodir")

5. Cálculos podem ser bastante trabalhosos ou somente resolvido

numericamente: uso de computadores

6. Visualizações: uso de computadores

Tobias Bleninger

Exemplos dos alunos dos anos anteriores

1. Predador-presa

2. Streeter-Phelps

3. Reator e edos em geral

Tobias Bleninger

Enseada

Santos

Praia Grande 1

Praia Grande 2

Emissários da Baixada Santista

Municipality Population Collect Treatment

Santos/S.Vincete

Praia Grande

856.726

562.376

Guarujá 432.586 55 55

Fonte: Brambilla, SABESP

Exemplo 1

Tobias Bleninger

Santos Harbout, Brazil

Santos Bay, Brazil

Nov. 2003 (peak season!): 78 of 128 beaches declared „not appropriate for bathing“

outfall

Definir as equações governantes de um fenômeno físico

para um problema com objetivo e condições definidos.

Exemplo 1

Tobias Bleninger

www.tobias.bleninger.info Exemplo 1

Definir as equações governantes de um fenômeno físico

para um problema com objetivo e condições definidos.

Tobias Bleninger

Exemplo 1

Turbulent jet

h Particle

settling

Deposition

pattern

Entrainment of

Ambient fluid

Tobias Bleninger

Exemplo 1

1. Definir as equações governantes de um fenômeno físico para um

problema com objetivo e condições definidos.

• We make the rigorous assumption, to express particle motions only with terminal particle settling velocity at small particle Reynolds numbers assuming that there is no influence of other particles settling nearby: ws = gDp²/(18 )(p- l)/l (for Rep= < 1)

• Time averaged velocity field of liquid phase is superimposed by the particle settling field assuming that particles follow average fluid motions.

- centerline velocity (Neves 1998): Uc(x) = 6.20(D/x)U0.

- longitudinal velocity (Schlichting and Gersten 1997): U(r,x) = 3/(80.017)M0/(M0

0.5x)/[1+((r,x))²]² with (r,x) = 1/(8(3/)0.51/0.017r/x

- transversal velocity (Schlichting and Gersten 1997): W(r,x)=0.5(3M0/)0.5(r,x)/x[1-((r,x))²]/[1+((r,x))²]² e (r,x)= 1/(8(3/)0.51/0.017r/x

Tobias Bleninger

Analytical Model

Velocidades horizontais das particulas

• Up(x, z) = Ul(x,z) (velocidade do liquido)

Velocidades verticais das particulas

• Wp(x,z) = Wl(x, z) - ws, ws = const

gradient dx/dz, where dx = Ul(x,z)dt and dz = (Wl(x,z) - ws)dt.

∫xdx = ∫zUl/(Wl - ws)dz

(x-x0) = ∫zUl/(Wl - ws)dz

(x-x0)/Lm = ∫z/Lm Ul/(Wl - ws)dz/Lm

Ul(x,z), dx

(Wl(x,z)-ws), dz

Tobias Bleninger

Analytical Model

Tobias Bleninger

Exemplo 1

a. Calibração: modificando (forçando) parâmetros para reproduzir resultados

medidos (requer dados)

b. Verificação: testando o modelo calibrado com dados novos (mais dados)

4. Definir condições iniciais e nos contornos (dados)

a. Caso ideal: condições suficientemente conhecidos ( soluções estáveis)

b. Caso comum: condições insuficientes ( matemática/modelo pode

"explodir")

Tobias Bleninger

T. Bleninger, G. H. Jirka

Experiments

Fresh water

Excess water

Excess

valves

syringe 1,556

Headworks

Detail B

discharge pipe

Tobias Bleninger

Exemplo 1

Turbulent jet

h Particle

settling

Deposition

pattern

Entrainment of

Ambient fluid

Tobias Bleninger

Experiments

Tobias Bleninger

Experiments

Tobias Bleninger

Experiments

(xmax, 0, z)

Centreline of sedimentation

Tobias Bleninger

Dimensional Analysis

maximum deposition location xmax located on line (x, 0, z=-h), below axis of jet. xmax is independent of y and for low concentration particle-laden jets also independent of particle discharge rate N0 xmax/Lm = f(-z/Lm) where ymax = 0

xmax/Lm = 0.0992ln(-z/Lm) + 0.9305

Tobias Bleninger

maximum deposition rate of particles Nmax/N0 at xmax/Lm is independent of

geometric parameters: Nmax/N0 = C

An exception are jets having strong interactions with the ground or the surface,

which have effects we are not considering here.

Nmax/N0 = 0.0018

Tobias Bleninger

characteristic longitudinal distribution is centerline of sedimentation (x, 0, z = -h). If self-similarity is given it is Nc = f(Nmax, xc, xmax)

Nc/Nmax = f(xc/xmax)

Nc(xc)/Nmax = e^(-0.5[ln(x/xmax)/0.517]2

Tobias Bleninger

To verify self-similarity also for transversal profiles we need to find a

relation for N= f(Nc, y, y0.5). The latter parameter is chosen for the half-

width of Gaussian type particle distributions.

y0.5(x) = 0.101x, which is smaller in comparison to jet velocity half width

r0.5(x) = 0.114x

Tobias Bleninger

N/Nc = f(y/y0.5)

N/Nc = e^(-0.5y/y0.5)2

Tobias Bleninger

N/Nmax = e^(-0.5y/y0.5)2 e^(-0.5[ln(x/xmax)/0.517]2

y/y0.5(x)

x/xmax

N/Nmax

Tobias Bleninger

Analytical Model

Tobias Bleninger

Exemplo 2

Definição:

Equações diferenciais parciais (edp) são equações contendo

• duas (ou mais) variáveis independentes x e y

• a função procurada f(x,y)

• derivadas de f da ordem n

Motivação:

Problemas mais importantes na engenharia ambiental: edp2

Problemas de condução/difusão, equação do calor, de onda

Equação do calor (ec1):

0 < x < l , t > 0

l: condutividade térmica, c: calor especifico a p const., :

densidade, a: difusividade térmica

pc2),(

22 txF

Tobias Bleninger

Definição do problema

Equação do calor

0 < x < l , t > 0

22 txF

homogêneo

de valor de contorno 1

)0()0(

0 0 von Neumann

(fluxo fixo)

Dirichlet

(T fixo)

cc1: cc2:

condição inicial (ci):

Tobias Bleninger

Equação do calor homogênea:

Ilustração do problema de valor de contorno 1

Tobias Bleninger

Solução do problema de contorno 1

Observações:

falta mostrar convergencia e continuidade, mas se pode mostrar

t T(x,t) 0 com limites maiores

assim ln= -n²²/l² , n=1,2, ... são auto valores com a

auto função

²²²expsin),(

tnxnctxT

xncxu nn

Matematica!

Tobias Bleninger

T(x, t=const.)

T(x, t=0)=T0

Fonte: Hancock, 2006

Tobias Bleninger

T(x=const., t)

Fonte: Hancock, 2006

Tobias Bleninger

www.tobias.bleninger.info Equação do calor : Aplicações

Medições de temperatura numa parede em inverno (nublado).

Tar,amb = 6-10°C, Tpar,amb = 14-30°C, Tpar,int.=Tar,int = 20°C Tar,amb < Tpar não ocorre

condensação. Obs.: distribuição permanente não corresponde com medições!

Fonte: Rationeller Bauen, 1983

Tobias Bleninger

http://www.math.cornell.edu/~bterrell/

Tobias Bleninger

Modelagem da refrigeração controlada de barras de aço (trilha) no processo de produção.

Objetivo: definir condições de contorno (refrigeração controlada) e/ou condições iniciais

(produção controlada) para obter uma distribuição de temperatura equilibrada para cada

momento. Fonte: Dipl. Math. Jens Saak

Tobias Bleninger

Equação de difusão

Concentração:

Fluxo de massa:

D: difusividade molecular de A em B

Equação de difusão:

F(x,t): fonte ou sumidor (reações, transformações)

substncia

22 txF

Tcompare a

Tobias Bleninger

Dr.-Ing. Tobias Bleninger

Soluções da equação de difusão

Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento)

F(x,t) = 0

Condições iniciais C(x,0) = C0(x)

• transparente: água com Csal = 0

• colorido: água com Csal = C0

Condições de contorno:

• superfície: C(,t)= 0

• fundo: C(-,t)= C0

Solução (análogo eq. do calor)

02.08.2015

Tobias Bleninger

Soluções da equação de difusão

Mistura de fluidos com concentrações diferentes (experimento)

Tobias Bleninger

Referências

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., 1998, “Equações Diferenciais

Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, traduzido do

inglês por Horacio Macedo, LTC - Livros Técnicos e Científcos

Editora S.A., Rio de Janeiro, ISBN 85-216-1131-5

Kreyszig, E., 1999, “Advanced Engineering Mathematics”, John Wiley

& Sons, Inc., New York, ISBN 0-471-15496-2

Hancock, M. 2006, “Linear Partial Differential Equations”, MIT Open

Course Ware, Massachusetts Institute of Technology,

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-303-linear-partial-

differential-equations-fall-2006/

Robert E. Terrell, 2011, “PDE applets heat equation in 1d and 2d“,

Cornell University, Department of Mathematics,

http://www.math.cornell.edu/~bterrell/

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