DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADAINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

03 DE MAIO DE 2017

TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

MOMENTO 11

Humberto José Bortolossi

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

Universidade Federal Fluminense1

AQUECIMENTO

• O que é conceito definição? O que é conceito imagem?

Bingolbali e Monaghan (2008):

Conceito definição é a forma de palavras/símbolos usadospelos professores/notas de aula/livros para definir um conceitomatemático.

Conceito imagem é a estrutura cognitiva total associada comum conceito na mente de um indivíduo. Ela inclui imagensmentais, processos e propriedades associadas como tambémsequências de palavras e símbolos. Ela é uma entidadedinâmica que desenvolve de forma diferente de estudante paraestudante por meio de experiências múltiplas.

AQUECIMENTO

AQUECIMENTO

AQUECIMENTO

História do Pedro Malagutti da UFSCar

AQUECIMENTO

Vinner e Hershkowitz (1980)

AQUECIMENTO

0.9 0.99999999... 1

AQUECIMENTO

Bills e Tall (1998): definições precisam se tornar operacionais paraum indivíduo, isto é, um estudante deveria ser capaz de “focar naspropriedades necessárias para fazer deduções lógicas apropriadas emdemonstrações”.

1 1 113 3 44Por que 2 2 2 ?

AQUECIMENTO

32 é 2 vezes 2 vezes ... 3 vezes ...

AQUECIMENTO

O que é um gráfico de uma função real?

(Só conceito imagem, sem conceito definição)

AQUECIMENTO

• Poincaré (1908):

O que é uma boa definição? Para o filósofo ou o cientista, é umadefinição a qual se aplica a todos os objetos que serão definidos esomente a eles; é aquela que satisfaz as regras da lógica. Mas, emeducação, não é isto; é aquela que pode ser entendida pelosalunos.

• Cornu (1981):

Na atividade matemática, noções matemáticas não são usadasapenas de acordo com suas definições formais, mas também pormeio de representações mentais as quais podem diferir de pessoapara pessoa. Estes ‘modelos individuais’ são elaborados a partirde ‘modelos espontâneos’ … que interferem com a definiçãomatemática.

RESUMO ANALÍTICO:“ADVANCED MATHEMATICAL THINKING: SOME PME

PERSPECTIVES” por Guershon Harel, Annie Selden e John Selden

OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

MARCAÇÕES

• Questão (PME, 1980): Matemática da Escola Básica que leva àMatemática Universitária e a maneira de pensar dosmatemáticos.

• Significado inicial para “Advanced Mathematical Thinking”:Matemática Axiomática Formal baseada em axiomas edefinições.

• “Avançado” é o pensamento, a Matemática ou ambos? O que épensamento matemático?

• Tópicos-chaves: (a) distinção entre conceito imagem/conceitodefinição; (b) o papel das definições e o ato de definir; (c) oprocesso-objeto e os proceptos de aquisição/construção doconceito.

MARCAÇÕES

• Cada pessoa tem um esquema ou um conjunto de exemplos pararepresentar e identificar cada conceito que ele/ela conhece.

• Uma maneira de enriquecer os conceitos imagens do estudante éajudá-lo a adquirir a habilidade de visualizar conceitosmatemáticos.

• Processos visuais × processos analíticos: os alunos preferem oúltimo e, em geral, existe o senso comum que processos visuaissão inferiores aos processos analíticos/algébricos.

• Dois modos de se lidar com definições formais: (1) dandosignificado por meio de considerações em exemplos(frequentemente visuais) [referencial] ou (2) extraindosignificado por meio de manipulação e reflexão da própriadefinição [sintática].

MARCAÇÕES

• O papel das definições e do ato de se definir: (a) a distinçãoentre definições matemáticas e definições do dia-a-dia;(b) a interrelação dialética entre definir e provar; (c) definircomo uma maneira de organizar.

• Existe diferença entre a definição de um dicionário e a definiçãomatemática?

• Freudenthal (1973): duas maneiras de se definir, a saber,(a) por meio de uma definição descritiva (a posteriori) que“descreve um objeto conhecido destacando algumas de suaspropriedades características” (o conceito já é conhecido mas sóé definido posteriormente); (2) por meio de uma definiçãoconstrutiva que modela “novos objetos a partir de objetosconhecidos”.

MARCAÇÕES

EXEMPLO DE DEFINIÇÃO DESCRITIVA

O que é um losango?(definições econômicas, definições incompletas)

(de Villiers, 1998)

EXEMPLO DE DEFINIÇÃO CONSTRUTIVA

Um número irracional é um número real que não é

racional.

MARCAÇÕES

• Propriedades desejáveis de uma definição: (1) existência (umexemplo deve existir); (2) consistente (não contraditória);(3) não ambígua; (4) logicamente equivalente a outrasdefinições do mesmo conceito; (5) hierárquica (dependersomente de termos definidos anteriormente); (6) invariantes pormudanças de representação. Adicionalmente: definições devem(7) cumprir o propósito para o qual foram inventadas; (8) serembem definidas (não depender de representantes); (9) estaremenunciadas de forma usável. Embora não haja consenso,definições deveriam ser: mínimas (sem condições supérfluas);(11) elegantes e (12) facilmente compreendidas por estudantes.

MARCAÇÕES

• Lakatos (1961): existe uma interlocução entre a formação de umconceito, a construção de uma definição e prova.

• Lakatos (1961) e Ouvrier-Buffet (2004): definições-zero (ver aatividade de definição de uma “thingummy”) e definiçõesgeradas por uma prova.

• Como é usualmente difícil para os estudantes apreciarem aprecisão e a economia de uma prova formal, também é difícilque eles experimentem dificuldades análogas com definições,sejam elas descritivas ou construtivas. Exemplo: Vinner (1977)descobriu que metade dos calouros da Universidade daCalifórnia em Berkeley identificaram três identidades sobrepotências como definições em oposição a teoremas ou axiomas.

MARCAÇÕES

• Ashghari (2004) e Freudenthal (1983): definições “foraminventadas para organizar fenômenos ... do mundo concretocomo também da matemática”.

• Além de definir, existem outras práticas matemáticas que sãofrequentemente consideradas avançadas: visualizar, representar,generalizar, abstrair, sintetizar, axiomatizar, simbolizar,algoritmizar e provar.

• Além de entender definições matemáticas formais e usá-las ematividades, existem outras maneiras de conhecer um conceito:por meio da comparação de várias definições equivalentes; pormeio da conversão entre suas (múltiplas) representações (Duval,1999) e por meio do estabelecimento de conexões com outrosconceitos.

MARCAÇÕES

• Visão de um conceito: operacional (processo, ação) e estrutural(objeto). Exemplo: a função f: A → B como uma transformação× como um subconjunto especial de A × B.

• Sfard (1987, p. 163): a maioria das noções matemáticas foramconcebidas operacionalmente antes que suas definições erepresentações estruturais fossem formuladas (o conceito decorrespondência de Dirichlet e de pares ordenados de Bourbakipara funções levou cerca de 300 anos). Conjectura: o “processode aprendizagem deve seguir o mesmo caminho”.

MARCAÇÕES

• Sfard (1991): a formação de uma concepção estrutural é longa edividida em três estágios, a saber, interiorização, condensação ereificação.

• Exemplo de funções: manipulações algébricas com váriasfunções (interiorização); pensar em funções como um todo semprecisar entrar em detalhes: funções em termos de entrada esaída (condensação); pensar em funções como objetos: espaçosvetoriais de funções, por exemplo (reificação).

• Sfard (1989, 1992): dois princípios pedagógicos: (a) novosconceitos não deveriam ser introduzidos de forma estrutural; (b)uma abordagem estrutural não deve ser adotada enquantoo estudante não precisar dela. Nota: no ensino universitárioa abordagem é predominantemente estrutural.

MARCAÇÕES

• Dubinsky e colaboradores: teoria APOS (Action, Process,Object, Schema): Ação, Processo, Objeto, Esquema (quatrotipos de concepções mentais).

• Exemplo: a função y = f(x) = x2 + 1.Ação: dado um valor para x, primeiro elevamos ao quadrado para depois somar1 para obter o valor de y.

Processo: f como processo que transforma entradas (valores para x) em saídas(valores para y).

Objeto: f como uma elemento, por exemplo, do espaço vetorial das funçõesreais.

Esquema: construção mental individual que conecta ações e processos, emanalogia a conceito imagem.

MARCAÇÕES

• Dubinsky e colaboradores: teoria APOS (Action, Process,Object, Schema): Ação, Processo, Objeto, Esquema (quatrotipos de concepções mentais).

• Exemplo: a função y = f(x) = x2 + 1.Ação: dado um valor para x, primeiro elevamos ao quadrado para depois somar1 para obter o valor de y.

Processo: f como processo que transforma entradas (valores para x) em saídas(valores para y).

Objeto: f como uma elemento, por exemplo, do espaço vetorial das funçõesreais.

Esquema: construção mental individual que conecta ações e processos, emanalogia a conceito imagem.

MARCAÇÕES

• O que há de comum entre as visões operacional (processo) eestrutural (objeto) de um conceito? Resposta dada porDubinsky: o simbolismo matemático.

• Proceito: amálgama entre processo e objeto.

• Exemplo: a simbologia 5 + 9 representa, ao mesmo tempo, oprocesso de adição como também o objeto soma (o resultado daoperação).

• Gray e Tall (1994): um proceito elementar é um processo queproduz um objeto matemático e um símbolo que representatanto processo quando objeto. Um proceito consiste de umacoleção de proceitos elementares que tem o mesmo objeto.

MARCAÇÕES

• Outra definição: um proceito é um constructo cognitivo no qualo símbolo age como um elemento pivô, mudando o foco noprocesso de calcular e manipular para um conceito que pode serpensado como uma entidade manipulável.

MARCAÇÕES

• Tall et al. (2001, p. 97):

O movimento da matemática elementar para a matemáticaavançada requer uma reconstrução significante no pensamento.... um redirecionamento completo no foco da existência deobjetos e símbolos percebidos representando ações em objetospara novas teorias baseadas nas propriedades específicas deestruturas matemáticas definidas anteriormente ... Imagens sãoúteis, até mesmo são essenciais, para sugerir que tipos dedefinições serão mais úteis ou quais teoremas provas. Contudo,a qualidade essencial que faz o pensamento matemáticoavançado diferente da matemática elementar é a introdução dedefinições e provas formais.

MARCAÇÕES

• Misfeldt (2003): cinco funções da escrita na prática dosmatemáticos, a saber, (1) para experimentar com ideias e verconexões, frequentemente em uma escrita não linear usandoprincipalmente notação simbólica; (2) para investigar maisprofundamente e precisamente de modo linear para verificardetalhes usando uma combinação de linguagem natural enotação simbólica; (3) para registrar informação e ideiaslinearmente em um documento para acesso posterior; (4) paracomunicar ideias desenvolvidas com colegas; (5) para produzirum artigo final para publicação.

MARCAÇÕES

• Schoenfeld e sua estrutura para a resolução de problemas(1985): (a) recursos (habilidades, intuições, fatos eprocedimentos sobre o domínio do problema); (b) heurística(desenhar figuras, introduzir notação, reformular o problema,pensar de trás para frente); (c) controle (atos metacognitivoscomo planejamento, monitoramento e avaliação de progresso);(d) sistemas de crenças (sobre si, sobre o tópico e a matemáticaque influencia o comportamento).

MARCAÇÕES

• Outra estrutura para a resolução de problemas: (a) orientação(dar sentido, organizar, construir uma representação pessoal doproblema); (b) planejamento (conjecturar, imaginar, avaliar); (c)executar (construir, calcular); (d) checar (verificar, tomardecisões).

RESUMO ANALÍTICO

6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO:A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma sínteseobjetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dezlinhas no máximo.

7. OBJETIVOS DO TRABALHO:Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com umverbo.

10. CONCLUSÕES DO AUTOR:Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva eimparcial as conclusões do autor.

RESUMO ANALÍTICO

11. COMENTÁRIOS DO RELATOR:Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é ahora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância ediscordância! Indique também se o texto que você analisou trouxealgum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ouatitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.

RESUMO ANALÍTICO:“A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO

AVANÇADO: O CASO DO CONCEITO DE SUCESSÃO” por António Domingos

OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

MARCAÇÕES

• Na construção do pensamento matemático avançado, asdefinições surgem como a primeira ferramenta disponível para asua construção.

• Pressupostos usados por muitos autores e livros: Os conceitos são principalmente adquiridos por meio das suas definições.

Os alunos devem usar as definições para resolver problemas e provarteoremas quando necessário do ponto de vista matemático.

Definições devem ser mínimas, isto é, não devem conter partes que podemser inferidas de outras partes de definições.

É desejável que as definições sejam elegantes, é o caso da definição demódulo de x que fica mais elegante se se representar por |x|.

Definições são arbitrárias. Definir corresponde a dar um nome e podem serfeitas várias formulações.

MARCAÇÕES

• Na procura de uma abordagem que melhor possa traduzir aforma como estes conceitos devem ser investigados, Vinnerrecorre às noções de conceito imagem e de conceito definição.O termo conceito imagem é assim usado para descrever aestrutura cognitiva total que é associada ao conceito e que incluitodas as imagens mentais, propriedades que lhe estão associadase processos. Ele é construído ao longo dos anos através deexperiências de todas as espécies, mudando quando osindivíduos são confrontados com novos estímulos. Por conceitodefinição entende-se a definição verbal que explica o conceitode modo exato e de uma forma não circular (Vinner, 1983).

MARCAÇÕES

MARCAÇÕES

MARCAÇÕES

MARCAÇÕES

MARCAÇÕES

MARCAÇÕES

• Recomendações didáticas de Vienner (1991): evitar, aos alunos, conflitos cognitivos desnecessários;

iniciar os conflitos cognitivos apenas quando for necessário motivar osalunos para um estado intelectual mais elevado.

• A importância do simbolismo na transição do pensamentoprocessual para o pensamento conceptual:

MARCAÇÕES

• O papel dos símbolos: de uma forma simples eles servem deconexão entre pensar o símbolo como um conceito (como umnúmero) ou como um processo (como contar). Isto permite-nospensar sobre os símbolos como entidades manipuláveis parafazer Matemática.

MARCAÇÕES

• Proceito (procept): conjunto de conceito e processorepresentados pelo mesmo símbolo. Um proceito elementar serápois uma amálgama de três componentes: um processo queproduz um objeto matemático, e um símbolo que representa aomesmo tempo o processo e o objeto.

• Extensão da definição: Um proceito consiste numa coleção deproceitos elementares que têm o mesmo objeto.

MARCAÇÕES

• Teoria APOS (Action-Process-Object-Schema): As ações são transformações mentais ou físicas de objetos para obter outros objetos.

Quando o indivíduo reflete sobre uma ação deve começar a estabelecer um controleconsciente sobre ela, podendo dizer-se que a ação foi interiorizada e passou a ser umprocesso.

Um processo é a transformação de um objeto (ou objetos) cuja característicaimportante é o controle da transformação pelo indivíduo, no sentido em que ele écapaz de descrever, ou refletir sobre todos os passos da transformação sem ter que osrealizar. Com a reflexão do indivíduo sobre o ato de transformar processos, estescomeçam a tornar-se objetos.

Um objeto é construído através do capsular (encapsulation) de um processo. Estacapsulação é alcançada quando o indivíduo está atento à totalidade do processo,percebe que transformações podem agir sobre ele e é capaz de construir taistransformações. Os objetos podem ser descapsulados para obter os processos dosquais eles provêm.

Um esquema é uma coleção coerente de ações, processos, objetos e outros esquemasque estão de alguma forma ligados e permitem suportar a resolução de um dadoproblema. A expansão dos esquemas pode ser representada por uma espiral de ações,processos e objetos.

MARCAÇÕES

• Segundo Dubinsky (1991), a Teoria APOS serve não só paradescrever a construção dos vários conceitos matemáticos comopode sugerir explicações de algumas das dificuldades que osalunos têm com muitos destes conceitos ou mesmo influenciarna elaboração dos currículos.

• Decomposição genética: os esquemas são decompostos emtermos de ações, processos e objetos, com o objetivo deconfrontar o aluno com o ciclo da teoria descrito acima e assimmelhorar a compreensão do conceito.

MARCAÇÕES

RESUMO ANALÍTICO

6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO:A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma sínteseobjetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dezlinhas no máximo.

7. OBJETIVOS DO TRABALHO:Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com umverbo.

10. CONCLUSÕES DO AUTOR:Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva eimparcial as conclusões do autor.

RESUMO ANALÍTICO

11. COMENTÁRIOS DO RELATOR:Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é ahora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância ediscordância! Indique também se o texto que você analisou trouxealgum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ouatitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.