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Trabalho individual de Matemática A 11.º Ano
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO /SOLUÇÕES (AULA NÃO PRESENCIAL 3)
ATUALIZADO EM 17 DE ABRIL 2020
1. Considere π π
,
− 2 2
: ( )tan − =2 2 5 . Determine o valor exato de ( )π
cos cos
− − −
3
2.
RESOLUÇÃO:
1º 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 −3𝜋
2) − 𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼
2º 2𝑡𝑎𝑛(−𝛼) = 2√5 ⇔ −𝑡𝑎𝑛𝛼 =2√5
2⇔ 𝑡𝑎𝑛𝛼 = −√5
3º Através da fórmula trigonométrica 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼 =1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
tem-se, 1 + (−√5)2
=1
𝑐𝑜𝑠2𝛼⇔ 6 =
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼⇔ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =
1
6⇔ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = ±
√6
6⇒⏟
𝛼∈]−𝜋
2,𝜋
2 ]
𝑐𝑜𝑠𝛼 =√6
6
4º Através da fórmula trigonométrica 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼⇔ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 × 𝑡𝑎𝑛𝛼
tem-se, 𝑠𝑖𝑛𝛼 =√6
6× (−√5) ⇔ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −
√30
6.
5º Assim, −𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 =√30
6−
√6
6=
√30−√6
6.
Resposta: √30−√6
6
2. Considere o intervalo π π
,
7 5
6 3. Qual das seguintes equações não tem solução neste intervalo?
(A) cos x = −1
2 (B) sin x = −
1
2 (C) cos x = −
9
10 (D) sin x = −
9
10
Resposta: Opção (C)
3. Seja f a função definida em π π
, − 2 2
por ( )sin cos
cos
x xf x
x
+ +=1
.
Qual é o valor exato de
π
π
f
f
−
3
3
?
(A) +3 3 (B) −3 3 (C) 3 3 (D) +2 3
Resposta: Opção (D)
4. Considere a função real de variável real definida por:
( )( )
sin se
cos se
x x xf x
x x
+ =
0
2 0
4.1. Resolva a condição ( )f x x x= − 1
02
RESOLUÇÃO:
⇔ 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 −1
2⇔ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −
1
2⇔ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 (−
𝜋
6) ⇔
⇔ (𝑥 = −𝜋
6+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = 𝜋 +
𝜋
6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⇔ (𝑥 = −
𝜋
6+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =
7𝜋
6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍
Assim, (𝑥 = −𝜋
6+ 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =
7𝜋
6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 > 0
Resposta:
4.2. Determine os valores de x tais que ( )π π
03 3
f x f x
= −
.
RESOLUÇÃO:
⇔ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) =𝜋
3+ 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
3) −
𝜋
3⇔ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) =
√3
2⇔ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
6) ⇔
⇔ 2𝑥 = ±𝜋
6+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 ⇔ 𝑥 = ±
𝜋
12+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
Resposta: (𝑥 = ±𝜋
12+ 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ≤ 0 ⇔ 𝑥 =
𝜋
12+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 − ∨ 𝑥 = −
𝜋
12+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍0
−
5. Determine, caso existam, os valores de π , πx 2 , tais que:
tanx
− =
12 2 02
RESOLUÇÃO:
⇔ 𝑡𝑎𝑛 (𝑥
2) =
2√3
2⇔ 𝑡𝑎𝑛 (
𝑥
2) = √3 ⇔
𝑥
2=
𝜋
3+ 𝑘𝜋 ⇔ 𝑥 =
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
Resposta: { }
6. Resolva, em IR, cada uma das seguintes equações:
6.1. ( )sin x =2 3 3 6
RESOLUÇÃO:
⇔ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) =√6
2√3⇔ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) =
√2
2⇔ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
4) ⇔
⇔ (3𝑥 =𝜋
4+ 2𝑘𝜋 ∨ 3𝑥 = 𝜋 −
𝜋
4+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⇔ (𝑥 =
𝜋
12+
2
3𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =
𝜋
4+
2
3𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍
( )f x x x= − 1
02
( )π π
03 3
f x f x
= −
tanx
− =
12 2 02
( )sin x =2 3 3 6
6.2. cos cosx
x
= − 3
RESOLUÇÃO:
⇔ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥
3) = 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝑥) ⇔
𝑥
3= 𝜋 − 𝑥 + 2𝑘𝜋 ∨
𝑥
3= −(𝜋 − 𝑥) + 2𝑘𝜋 ⇔
⇔𝑥
3+ 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨
𝑥
3− 𝑥 = −𝜋 + 2𝑘𝜋 ⇔
4𝑥
3= 𝜋 + 2𝑘𝜋 ∨ −
2𝑥
3= −𝜋 + 2𝑘𝜋 ⇔
⇔ (𝑥 =3𝜋
4+
3
2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =
3
2𝜋 − 3𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝐼𝑅
7. Determine, usando intervalos de números reais, os valores de m para os quais é possível a
condição: π
sin , πm
−
=
2 9
7 2
RESOLUÇÃO:
0 <𝑚2−9
7< 1 ⇔ 0 < 𝑚2 − 9 < 7 ⇔ 𝑚2 − 9 > 0 ∧ 𝑚2 − 9 < 7
Cálculos auxiliares:
𝑚2 − 9 = 0 ⇔ 𝑚 = ±3
𝑚2 − 9 > 0 ⇔ 𝑚 ∈ ]−∞, −3[ ∪ ]3, +∞[
𝑚2 − 16 = 0 ⇔ 𝑚 = ±4
𝑚2 − 16 < 0 ⇔ 𝑚 ∈ ]−4, 4[
Depois de efetuar a interseção dos dois conjuntos …
Resposta: 4 ,33 ,4 −−m
8. Prove a seguinte igualdade para tal que cos 0 e sin 0 .
RESOLUÇÃO:
( )( ) ( )
( ) ( )
tan2
tan1
cos
sin2
tan1
sin2
tan1cos
cossin2
tan1cos
cossin2
cos
sin1cos
cossin2
1sincos
cossin2
sincossincos
cossin2
sincos
22222
2
2
2
22222244
−=
−=
−=
−=
=
−
=−
=+−
=−
9. Considere as funções f e g, ambas de domínio IR, definidas por:
( ) ( )cos cos e sinf x x x g x x= − =2 2
Determine todas as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e de g, quando estão
representados no mesmo referencial.
cos cosx
x
= − 3
cos sin tan
sin cos tan
− −=
4 4 21
2 2
RESOLUÇÃO:
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇔ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ⇔ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ⇔ 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0
⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =1±√1−4×2×(−1)
2×2⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
1±√9
4⇔ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 ∨ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
1
2⇔
⇔ 𝑥 = 2𝑘𝜋 ∨ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
3) ⇔ (𝑥 = 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥 = ±
2𝜋
3+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍
10. A equação 022 2 =+ xsen para ,−x tem:
(A) Uma solução.
(B) Duas soluções.
(C) Quatro soluções.
(D) Nenhuma das opções anteriores está correta.
Resposta: Opção (D)
11. Considere a função h definida em IR, por ( )π
sinh x x
= + +
3 6 23
.
11.1. Determine o contradomínio da função h. Resposta: 𝐷′ = [−3,9]
11.2. Determine os zeros de h pertencentes ao intervalo π , π− .
RESOLUÇÃO:
3 + 6𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 +𝜋
3) = 0 ⟺ 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥 +
𝜋
3) = −
1
2
⟺ (2𝑥 +𝜋
3= −
𝜋
6+ 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥 +
𝜋
3= 𝜋 +
𝜋
6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⟺
⟺ (2𝑥 = −𝜋
3−
𝜋
6+ 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥 = −
𝜋
3+
7𝜋
6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⟺
⟺ (2𝑥 = −𝜋
2+ 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥 =
5𝜋
6+ 2𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍 ⟺ (𝑥 = −
𝜋
4+ 𝑘𝜋 ∨ 𝑥 =
5𝜋
12+ 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍
Atribuindo valores inteiros a k … ( 𝑘 = 0, 𝑘 = −1 e 𝑘 = 1)
Resposta:
−−4
3 ;
12
5 ;
4 ;
12
7
11.3. Calcule o valor exato de π π
h h − + −
5
6 24. Resposta: 23336 ++
RESOLUÇÃO:
ℎ (−5𝜋
6) + ℎ (−
𝜋
24) = 3 + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−
5𝜋
6) +
𝜋
3] + 3 + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−
𝜋
24) +
𝜋
3] =
= 6 + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−5𝜋
6) +
𝜋
3] + 6𝑠𝑖𝑛 [2 × (−
𝜋
24) +
𝜋
3] = 6 + 6𝑠𝑖𝑛 (−
5𝜋
3+
𝜋
3) + 6𝑠𝑖𝑛 (−
𝜋
12+
𝜋
3)
= 6 + 6𝑠𝑖𝑛 (−4𝜋
3) + 6𝑠𝑖𝑛 (
3𝜋
12) = 6 + 6𝑠𝑖𝑛 (−𝜋 −
𝜋
3) + 6𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
4) = 6 + 6 (
√3
2) + 6 (
√2
2) =
= 6 + 3√3 + 3√2
12. Em IR, a equação 2sin =x
(A) admite a solução x=0
(B) admite a solução x=1
(C) admite a solução x=360
(D) é impossível
Resposta: Opção (D)
13. Considere a sucessão ( )nu definida por 3 5
2n
n nu
n
− += .
13.1. Determine a ordem do termo da sucessão ( )nu que é igual a 11
8 .
RESOLUÇÃO:
nnnnnnnnn
nnu
n−=+−=+−=+−=
+−= 541154122
8
1153
8
11
2
53
8
11
Elevando ambos os membros ao quadrado,
( ) 4 202
5761608016801654 222
2
−==
==−−=+=+ nnnnnnnnn
Resposta: Como INn então n=20 e, assim, 8
11 é o termo de ordem 20 da sucessão.
13.2. Calcule o valor de lim nu .
Resposta: 2
3
14. Considere a sucessão ( )nw definida por 1
3
2
n
n nw
+= , para todo o n .
14.1. Prove que a sucessão ( )nw é uma progressão geométrica.
Resposta: ( )n
w é uma progressão geométrica de razão 2
3
14.2. Defina ( )nw por recorrência.
Resposta:
=
=
+INn
ww
w
n
n,
2
3
4
3
1
1
14.3. Calcule 1002
1000
w
w
Resposta: 9
4
15. Considere a sucessão definida por:
1
1
2
,4
nn
w
ww n+
= −
=
Determine lim nS e interprete o valor obtido, sendo nS a soma dos n primeiros termos da sucessão
( )nw .
RESOLUÇÃO:
Como 𝑤𝑛+1
𝑤𝑛=
𝑤𝑛4
𝑤𝑛=
1
4∈ 𝐼𝑅, a sucessão é uma progressão geométrica de razão
1
4.
=𝑤1
1−𝑟=
−2
1−1
4
= −2 ×4
3= −
8
3
Resposta: 3
8−
16. Seja ( )na a sucessão cujo termo geral é dado pela área de cada um dos quadrados que se obtém
como mostra a figura ao lado. O lado do quadrado inicial é igual a
4 unidades. O lado de cada quadrado é metade do quadrado
anterior. A soma das áreas de todos os quadrados é:
(A) 4
1 (B)
3
64 (C) 8 (D) 32
Resposta: Opção (B)
17. Numa progressão aritmética com quinze termos, o oitavo termo é igual a 12.
A soma dos quinze termos é igual a:
(A) 180 (B) 12 (C) 15 (D) 90
lim nS
Resposta: Opção (A)
18. Calcule o limite da sucessão cujo termo geral se indica, identificando o tipo de indeterminações
encontradas.
18.1. ( )2 5
4
3
5nu n n n
n n= + −
+ Resposta: -∞
18.2.
2 4 5n
n nu
n
+ += Resposta: 1
18.3. 24 2 3 2nu n n n= + − − Resposta:
2
1
19. A figura representa parte do gráfico de um9a função g e domínio IR.
Considere a sucessão de termo geral un = 2 + 1
1−𝑛 .
Qual é o valor do lim [g(un)]?
(A) 2 (B) – 3 (C) + (D) não existe
Resposta: Opção (B)
20. Considere uma sucessão ( )nw tal que lim nw = −
Qual das seguintes expressões não pode ser uma expressão do termo geral de nw ?
(A)
2
3
n n
n
+
− (B) 1 2n− (C) 2 n−− (D) 2n−
Resposta: Opção (C)
21. Considere as sucessões ( )n
a e ( )n
b tais que: 1
13
+
−=
n
na
n e nnb
n214 2 −−=
21.1. Determine a menor das ordens a partir da qual os termos da sucessão ( )n
a pertencem à vizinhança )3(025,0
V
RESOLUÇÃO:
+
−−−−
+
−− 025,0
1
3313025,03
1
13025,03)3(
025,0
n
nn
n
naVa
nn.
y
x 2
2
-3
0
1591601025,01
4025,0
1
4+
+
+
− nn
nn
Resposta: A menor ordem é a 160.
21.2. Mostre que a sucessão ( )n
a é crescente.
RESOLUÇÃO:
( )
( )( ) ( )( )INn
nnnn
nnnn
n
n
n
naa
nn
++=
++
+−−++=
+
−−
+
−+=−
+ ,0
12
4
12
253253
1
13
2
113 22
1 dado que
4 é um número positivo e que (n+1)(n+2) é, também, sempre positivo qualquer que seja o valor de n
natural.
Assim a sucessão ( )n
a é crescente pois INnaann
−+
,01
21.3. Prove, por definição, que 3lim =n
a .
RESOLUÇÃO:
Seja + IR qualquer
144
11
4
1
43
1
133 −+
+
+
−−
+
−−
nn
nnn
na
n
Considerando 14
−
pINp tem-se que − 3,n
apnINn .
Logo 3lim =n
a .
21.4. Calcule n
blim .
RESOLUÇÃO:
( ) ( )( )( )
( )( )
=+−
−−=
+−
+−−−=−−−
nn
nn
nn
nnnnnn
214
414lim
214
214214lim214lim
2
22
2
2
22)(2
( ) ( ) ( )0
1
2
1
214
1lim
214
414lim
22
22
=+
−=
+++
−=
+−
−=
+−
−−=
nnnn
nn
22. Seja 𝑢𝑛 = 2 +1
𝑛. De uma certa função f, sabe-se que 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑢𝑛) = +∞.
Em qual das seguintes opções pode estar representada parte da função f?
Resposta: Opção (C)
23. Considere a função real de variável real, definida por: f(x) = 123
52
+
+−
x
x.
Resolva analiticamente as seguintes questões.
23.1.Determine a, b, c e d, de modo que f (x) = b + cdx
a
−.
RESOLUÇÃO:
−2𝑥 + 52𝑥 + 8
13 −
3𝑥 + 122
3
f(x) = 123
52
+
+−
x
x⇔ 𝑓(𝑥) = −
2
3+
13
3𝑥+12
Resposta:𝑎 = 13; 𝑏 = −2
3; 𝑐 = −12 e 𝑑 = 3
23.1. Calcule o domínio e o contradomínio da função.
Resposta:𝐷𝑓 = 𝐼𝑅\{−4} e 𝐷𝑓´ = 𝐼𝑅\ {−
2
3}
23.2. Resolve, em IR, a inequação seguinte: 483
2)(
2 −
xxf .
RESOLUÇÃO:
⇔−2𝑥 + 5
3(𝑥 + 4)−
2
3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)≤ 0 ⇔
(−2𝑥 + 5)(𝑥 − 4) − 2
3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)≤ 0 ⇔
−2𝑥2 + 13𝑥 − 22
3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4)≤ 0
Cálculos auxiliares:
Zeros do numerador:
−2𝑥2 + 13𝑥 − 22 = 0 ⇔ 𝑥 =−13±√169−4×(−2)×(−22)
−4⇔ 𝑥 =
−13±√−7
−4 Condição impossível em IR. O numerador da
fração não tem zeros. O seu sinal é sempre negativo.
Zeros do denominador:
3(𝑥 − 4)(𝑥 + 4) = 0 ⇔ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = −4
Tabela de sinais:
x −∞ -4 4 +∞
−2𝑥2 + 13𝑥 − 22 - - - - -
3 + + + + +
(𝑥 − 4) - - - 0 +
(𝑥 + 4) - 0 + + +
−𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 − 𝟐𝟐
𝟑(𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟒)
- n.d. + n.d. -
Resposta: 𝑥 ∈ ]−∞, −4[ ∪ ]4, +∞[
24. Seja f uma função de domínio IR. Sabe-se que 3 é um zero da função f.
Seja g a função definida por g (x) = f (x – 1) + 4 para qualquer número real x.
Qual dos seguintes pontos pertence garantidamente ao gráfico da função g?
(A) ( )4,2 (B) ( )7,1 (C) ( )8,4 (D) ( )4,4
Resposta: Opção (D)
25. Considere as funções reais de variável real, definidas por:
xxf 332)( −−= e ( )22
43
+
−=
x
xxg .
RESOLUÇÃO:
25.1.Cálculos auxiliares: 3 − 3𝑥 ≥ 0 ⇔ −3𝑥 ≥ −3 ⇔ 𝑥 ≤ 1
Resposta: 𝐷𝑓 = ]−∞, 1] e 𝐷𝑔 = 𝐼𝑅\{−1}
25.1.1. 1)( −=xf ⇔ 2 − √3 − 3𝑥 = −1 ⇔ √3 − 3𝑥 = 3
Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado,
3 − 3𝑥 = 9 ⇔ 𝑥 = −2
Efetuar a verificação: √3 − 3(−2) = 3 obtém-se 3=3 Proposição verdadeira.
𝑆 = {−2}
25.1.2. ( ) 1xg ⇔3−4𝑥
2𝑥+2≤ 1 ⇔
3−4𝑥
2𝑥+2− 1 ≤ 0 ⇔
3−4𝑥−2𝑥−2
2𝑥+2≤ 0 ⇔
−6𝑥+1
2𝑥+2≤ 0
Zeros do numerador: −6𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥 =1
6
Zeros do denominador: 2𝑥 + 2 = 0 ⇔ 𝑥 = −1
Tabela de sinais:
x −∞ -1 1
6
+∞
−6𝑥 + 1 + + + 0 -
2𝑥 + 2 - 0 + + + −6𝑥 + 1
2𝑥 + 2
- n.d. + 0 -
Resposta: 𝑥 ∈ ]−∞, −1[ ∪ [1
6, +∞[
26. Qual é o valor de 2
2
5
32lim
x
xx −
−+→
?
(A) 5
2− (B)
5
3 (C) -∞ (D) +∞
Resposta: Opção (B)
Resposta: Opção (D)
28. Calcula cada um dos seguintes limites.
28.1. 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝟒+𝟓𝒙𝟒
−𝟐𝒙𝟒−𝟖𝒙=⏞
(∞
∞)
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝟓𝒙𝟒
−𝟐𝒙𝟒 = 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
𝟓
−𝟐= −
𝟓
𝟐
28.2. 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏
𝒙𝟑−𝟕𝒙−𝟔
𝒙+𝟏=⏞
(𝟎
𝟎)
𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏
(𝒙+𝟏)(𝒙𝟐−𝒙−𝟔)
𝒙+𝟏= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→−𝟏(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔) = (−𝟏)𝟐 − (−𝟏) − 𝟔 = −𝟒
Cálculos auxiliares:
27.
−1 1 0 −7↓ −1 11 −1 −6
−66
0 = 𝑅
28.3. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏+
𝟏−𝟒𝒙
𝟏−𝒙𝟐 =𝟏−𝟒
𝟏−(𝟏+)𝟐 =−𝟑
𝟎− = +∞
28.4. 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
(−𝒙𝟑 + 𝒙𝟑 + 𝟓) =⏞(−∞+∞)
𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
(−𝒙𝟑) = − 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞
(𝒙𝟑) = − ∞
28.5.𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏
𝒙𝟓−𝟏
𝒙𝟐−𝟏=⏞
(𝟎
𝟎)
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏
(𝒙−𝟏)(𝒙𝟐−𝒙−𝟔)
(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟏)= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(𝒙−𝟏)(𝒙𝟒+𝒙𝟑+𝒙𝟐+𝒙+𝟏)
(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟏)= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙𝟒+𝒙𝟑+𝒙𝟐+𝒙+𝟏
𝒙+𝟏=
𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+𝟏
𝟏+𝟏=
𝟓
𝟐
Cálculos auxiliares:
1 1 0 0↓ 1 11 1 1
011
011
−11
0 = 𝑅
28.6. Atenção ao domínio…
𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 − 2 ≥ 0 ∧ 𝑥2 − 2𝑥 > 0} = [2, +∞[⋂(]−∞, 0[⋃]2, +∞[) = ]2, +∞[
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
√𝒙 − 𝟐
√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙= 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
√𝒙 − 𝟐
√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=⏞
(𝟎𝟎)
√𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐
𝒙 − 𝟐
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙= √𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝒙 − 𝟐
𝒙(𝒙 − 𝟐)= √𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝟏
𝒙= √
𝟏
𝟐=
√𝟐
𝟐