No decorrer da vida existem dezenas de sítios onde encontramos parábolas, podemos até nem reparar nelas mas estão lá.

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Ao lançar um objeto (dardo, pedra, bola) tentando alcançar a maior distância possível, tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola.

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Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Os pontos de interseção com o eixo Ox (se existirem)

Para resolvê-la, utilizamos a fórmula de Bhaskara :

em que,

Se > 0 , temos duas reízes reais distintas.

Se < 0 , não temos raízes reais. Se = 0 , temos duas raízes reais e iguais.

x =

2

> 0

a > 0 a < 0

= 0

a > 0 a < 0

< 0

a > 0 a < 0

Denominam-se zeros ou raízes de uma função de 2° grau os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0

As raízes da função nada mais é onde a parábola corta no eixo do x.

Vértice da parábola V (Xv, Yv)

Xv =

Yv =

O domínio da função é IR (real). D= IR O conjunto imagem da função é aquele

formado pelas ordenadas de todos os pontos do gráfico. Essas ordenadas são todos os números reais do Y do vértice.

Im= {y Є IR / y ≥ }

Mínimo : Se a > 0, yv = é o valor mínimo da função

Im= {y Є IR / y ≥ }

Máximo: Se a < 0, yv = é o valor máximo da função

Im= {y Є IR / y ≤ }

Para se estudar o sinal da função do 2º grau deve-se adotar o procedimento:

Determinam-se as raízes da função. Marcam-se as raízes em uma reta (caso

existam). Analisa-se a concavidade da parábola. Faz-se o estudo do sinal.

EXEMPLO: Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6. x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função) (marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se a

concavidade da parábola) (faz-se o estudo do sinal) f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 f(x) < 0, para 2 < x < 3

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

O gráfico das Funções Quadráticas:

O gráfico de uma função quadrática, f(x)=ax2+bx+c, com a diferente de 0, é uma curva chamada parábola. Ao construir um gráfico de uma função quadrática f(x)=ax2+bx+c, notaremos sempre que:

a>0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (U) a<0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

 

Exercícios: Dada a função f(x) = 3x2 -7x + 2, determine:c) Os zeros da função.d) O vértice da parábola.e) Desenhe o gráfico.f) O Domínio e Imagem.g) O valor de máximo e de mínimo.h) Estude o sinal da função.