Post on 01-Oct-2018
Trabalho, Potência e Energia
Quando a matéria tem energia, ela pode ser usada para realizar trabalho. Um fluido pode ter
várias formas de energia. Por exemplo: em um jato - energia cinética, em uma represa - energia
potencial, vapor aquecido – energia térmica. Trabalho é força atuando ao longo de uma
distância, quando a força é paralela à direção do movimento.
Trabalho é realizado quando o dedo pressiona a alavanca e esta se move.
Trabalho é realizado quando o pistão exerce uma força de pressão no líquido ao longo de uma
distância.
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Trabalho = força x distância
Trabalho, Potência e Energia
Outro exemplo de execução de trabalho: O vento exerce uma força nas pás, esta força produz
um torque e o trabalho é dado por:
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Trabalho = Torque x velocidade angular
Trabalho, Potência e Energia
Uma turbina é uma máquina usada para extrair energia de um fluido em movimento:
Além da máquina do slide anterior temos outros tipos de turbina:
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Turbinas Kaplan
Usada para baixas alturas de carga e altas vazões de água. A água entra radialmente no compartimento do rotor por todos
os lados, mudando a direção para o fluxo axial. Isto causa uma força de reação que movimenta a turbina.
Trabalho, Potência e Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
É usada para baixas e médias alturas de carga. Consiste de um anel externo com pás estacionárias fixas e um anel
interno com as pás que giram formando o rotor. As pás fixas controlam o fluxo de água para o rotor. A água escoa
radialmente para dentro da turbina e muda de direção enquanto passa pelo rotor. Quando passa pelas pás do rotor a
água perde pressão e velocidade . Isto causa uma força de reação que gira a turbina.
Turbina Francis
Trabalho, Potência e Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
As rodas Pelton são as preferidas quando a fonte de água tem grande altura de carga e baixa vazão. Consta de um ou
mais jatos descarregando dentro de pequenas bacias colocadas no perímetro do rotor. Usam a velocidade da água e
por este motivo são chamadas de turbinas de impulso. As turbinas Kaplan e Francis são turbinas de reação.
Turbinas Pelton
Trabalho, Potência e Energia
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Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.
Bomba de diafragma:
Ar é direcionado para a parte inferior do cilindro, levantando o pistão
e junto o diafragma. Quando o diafragma sobe, a válvula de retenção
no lado da entrada é aberta e o líquido flui para o interior da bomba.
Quando o pistão chega ao topo a cavidade da bomba é preenchida e a
bomba está pronta para a descarga.
Ar comprimido é então forçado para a parte superior da câmara do
diafragma., empurrando o diafragma para baixo e evacuando a cavidade
da bomba. Durante este movimento a válvula de retenção do lado da
saída é aberta e a bomba está pronta para outro ciclo.
Trabalho, Potência e Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.
Bomba centrífuga
Trabalho, Potência e Energia
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Por outro lado, uma bomba é um dispositivo que fornece energia ao escoamento.
Bomba de engrenagens
Trabalho, Potência e Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Trabalho e energia têm as mesmas dimensões primárias, e mesmas unidades.
Potência, que expressa uma taxa de trabalho ou energia, é definida por:
Se considerarmos a quantidade de trabalho obtida pelo produto da força pelo deslocamento, temos:
Onde V é a velocidade do corpo em movimento.
Quando um eixo gira, a quantidade de trabalho é obtida pelo produto do torque pelo deslocamento angular:
Onde w é a velocidade angular.
Uma lâmpada de 60W utiliza 60 J/s de energia elétrica.
Um atleta bem condicionado pode manter uma potência de cerca de 300W = 0,4 hp por uma hora.
Um fusca 1970 tem um motor que alcança 50 hp.
Wt
W
tempo
trabalhoP
t
0lim
FVt
xF
tempo
trabalhoP
t
0lim
Twt
T
tempo
trabalhoP
t
0lim
Equação da Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
A equação da Energia para um sistema é:
Também conhecida por Primeira Lei da Termodinâmica ou Lei da Conservação de Energia. E diz o seguinte:
A energia térmica é positiva quando é adicionada ao sistema (Calor que entra no sistema) e é negativa quando é
removida do sistema (Calor que sai do sistema). Já o trabalho é positivo quando é executado pelo sistema na
vizinhança e negativo quando trabalho é feito sobre o sistema.
dt
dEWQ
Taxa líquida de
energia térmica
que entra no
sistema
Taxa líquida em que
o sistema executa
trabalho na
vizinhança
Taxa de variação
da energia interna
do sistema
Equação da Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Para aplicar a equação da conservação de energia a um Volume de Controle, utilizamos o Teorema do Transporte de
Reynolds. Considerando a propriedade extensiva N como sendo a Energia (N = E) e a propriedade intensiva
= E/m = e, obtemos:
e = (energia cinética + energia potencial + energia interna) / (por unidade de massa).
( 1 )
SCVC
AdVededt
dWQ
ugzV
ueee pc 2
2
SCVC
AdVugzV
dugzV
dt
dWQ
22
22
VC SCsistema
AdVdtdt
dN
Guardaremos a equação anterior ( I ) e faremos agora algumas considerações sobre trabalho.
TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:
O trabalho é classificado nestas duas categorias. Como sabemos, trabalho envolve força atuando ao longo de uma
distância. Quando esta força está associada a distribuição de pressão então trata-se de trabalho de escoamento. Por
outro lado, trabalho de eixo é qualquer trabalho que não está associado a distribuição de pressão. Este segundo tipo
é normalmente realizado por (ou sobre) um eixo e é comumente associado a uma bomba ou turbina. Segundo a
convenção de sinais, trabalho da bomba é negativo e trabalho da turbina é positivo, então:
Equação da Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
btbombaturbinaeixo WWWWW
Equação da Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:
Devemos ter sempre em mente que trabalho é força vezes distância. Na figura abaixo, na seção 2, o fluido que está
dentro do Volume de Controle irá empurrar o fluido que se encontra fora do VC, na direção do escoamento. A
magnitude da força é P2A2. Durante um intervalo de tempo t, o deslocamento do fluido na seção 2 será:
x2 =V2t. Então, o trabalho realizado será:
Este trabalho, na seção 2, é positivo porque o fluido dentro do VC está realizando trabalho na vizinhança. Da mesma
forma, na seção 1:
tVAPxFW 222222
2
222
2222
02 lim
PmVA
PVAP
t
WW
t
1
1
PmW
Equação da Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
.
TRABALHO DE EIXO E TRABALHO DE ESCOAMENTO:
O trabalho de escoamento líquido para a situação da figura é dado por:
Generalizando para uma superfície de controle qualquer:
E, finalmente:
12
12
Pm
PmWWWescoamento
AdVP
WSC
escoamento
eixo
SC
eixoescoamento WAdVP
WWW
Equação da Energia
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Recuperando a equação ( I ):
Sabendo que (u + p/) corresponde à propriedade do fluido denominada entalpia específica (h), chegamos à forma
integral da equação da conservação de energia, aplicada a um volume de controle.
eixo
SC
eixoescoamento WAdVP
WWW
SCVC
AdVugzV
dugzV
dt
dWQ
22
22
SCVCSC
eixo AdVugzV
dugzV
dt
dAdV
PWQ
22
22
SCVC
eixo AdVP
ugzV
dugzV
dt
dWQ
22
22
SCVC
eixo AdVhgzV
dugzV
dt
dWQ
22
22
Equação da Energia (Escoamento em tubos)
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Partindo da forma integral da equação da conservação de energia, considerando:
a) Escoamento permanente;
b) Tubulação com uma entrada e uma saída;
c) Fluido incompressível.
(dividindo por )
Os fatores que envolvem energia térmica são agrupados em um termo que representa as perdas por atrito. hL.
O trabalho de eixo, proporcionado por bomba e turbina contribuem para o fornecimento para as alturas de carga, hT
e hB. No caso da figura, hT = 0, pois não há turbina.
SCVC
eixo AdVP
ugzV
dugzV
dt
dWQ
22
22
12
1212
2
1
2
2
22
PPmuumzzgm
VVmWWQ BT
gm
Quumhhz
g
VPz
g
VPTB
12
2
2
221
2
11
22
gm
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
221
2
11
22
Equação da Energia (Escoamento em tubos)
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
Os termos desta equação representam uma Altura de carga (head), têm dimensão primária de comprimento, e
representam um conceito de energia.
Altura de carga = (Energia ou trabalho) / (mg)
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
221
2
11
22
Equação da Energia (Escoamento em tubos)
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
221
2
11
22
Diferença de energia
mecânica entre as
seções 1 e 2
Altura de carga
fornecida por
bombas
Altura de carga
extraída por
turbinas
Perdas de carga
devido aos efeitos
viscosos
São introduzidas duas constantes 1 e 2 na equação da energia. São os fatores de correção da energia cinética.
Na figura abaixo, energia cinética é transportada através da SC nas seções 1 e 2. Para chegarmos a uma equação
para esta energia cinética, comecemos pela vazão em massa:
Para converter esta integral em taxa de energia cinética multipliquemos por (V2/2).
O fator de correção da energia cinética é dado por:
(Energia cinética real) / (unidade de tempo)
=
(Energia cinética) / (tempo) {considerando uma distribuição uniforme de velocidades}
Equação da Energia (Escoamento em tubos)
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
22
21
2
11
1
22
A
VdAVAm
AA
c
dAVdA
VVE
22
32
2
23
3
AV
dAV
A
Se a densidade do fluido for constante:
Quando o perfil de velocidades é uniformemente distribuído, = 1.
Quando o escoamento é laminar, o perfil de velocidades é parabólico e = 2.
Quando o escoamento é turbulento o perfil de velocidades é achatado e
1 (na prática =1).
Equação da Energia (Escoamento em tubos)
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
22
21
2
11
1
22
2
23
3
AV
dAV
A
dAV
V
A A
31
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)RELEMBRANDO O CÁLCULO DA MÉDIA DE UMA FUNÇÃO
CONTÍNUA:
Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos deigual amplitude Δ:
Para cada um destes subintervalos tomamos ovalor da função (X1, X2,...Xn) em seus pontosmédios (t1, t2...tn).
A área de cada coluna de altura Xj é (Xj x Δ). E asoma de todas as áreas dá um valor aproximadoda área abaixo da curva:
n
ab
dttXXb
a
n
j
j 1
dttXXn
ab b
a
n
j
j
1
dttXab
Xn
b
a
n
j
j
11
1
Média das n observações.
Então, a velocidade média em uma seção de área A é dada por:
A
VdAA
V1
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA
CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:
A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo
circular é dada por:
Velocidade média:
Ou seja, para escoamento laminar em um tubo circular a velocidade
média é a metade da velocidade na linha central (máxima).
2
0
2
1r
rVV MAX
242
2
42
2
21
2
2111
2
0
2
0
2
00
2
0
42
2
0
0 2
0
3
2
00 2
0
2
2
0
0 2
0
2
2
0
0
00
0
MAXMAX
r
MAX
rMAX
rMAX
r
MAXA
Vrr
r
V
r
rr
r
VV
drr
rr
r
Vrdr
r
r
r
VV
rdrr
rV
rVdA
AV
dAV
V
A A
31
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Equação da Energia (Escoamento em tubos)CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CORREÇÃO DA ENERGIA
CINÉTICA PARA ESCOAMENTO LAMINAR:
A distribuição de velocidades para escoamento laminar em um tubo
circular é dada por:
Cálculo do fator de correção:
Para resolver a integral, adota-se a troca de variáveis:
(e também dos limites de integração: u = 1 p/ r = 0
e u = 0 p/ r = r0)
2
0
2
1r
rVV MAX
0
0
0
0
3
2
0
2
2
0
0
3
2
0
2
32
0
0
3
32
0
3
116
212
1
211
r
r
MAX
MAX
r
A
rdrr
r
r
rdrr
rV
Vr
rdrVVr
dAV
V
A
2
0
2
1r
ru
24
18
48
82
16
1
0
4
1
0
30
1
32
0
2
0
u
duuduur
r
dA
V
V
A A
31
drr
rdu
2
0
2
Potência
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
22
21
2
11
1
22
A altura de carga da bomba (e da turbina) na equação da energia é definida como sendo a razão entre a taxa de
trabalho sendo realizada e a vazão em massa multiplicada por g:
Então:
Bombas (ou turbinas) não transmitem (ou absorvem) toda energia ao (do) escoamento devido a atrito mecânico,
dissipação viscosa e vazamentos. Estas perdas são contabilizadas no cálculo da eficiência, η, que é definida pela razão
entre a potência de saída do dispositivo e a potência que lhe foi fornecida:
Onde o termo no numerador corresponde à potencia fornecida pela bomba ao escoamento, e o termo no
denominador é a potência que foi fornecida à bomba (normalmente por meio de um eixo ligado a um motor).
gm
Wh B
B
gm
Wh T
T
BBBB QhVAhghmW TTTT QhVAhghmW
entrada
B
entrada
saidaB
W
W
P
P
Potência
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
EXEMPLO:
Um tubo de diâmetro constante de 50 cm transporta água (10º C) a uma vazão de 0,5 m3/s. Uma bomba é usada
para elevar a água de uma posição de 30m para 40m. A pressão na seção 1 é 70 kPa manométrica e a pressão na
seção 2 é de 350 kPa também manométrica. Que potência deve ser fornecida ao escoamento pela bomba? Assuma
que hL = 3 m de água e que α1 = α2 = 1.
V1 =V2
hT = 0 (não há turbina no sistema)
A altura de carga fornecida pela bomba compensa o aumento da carga de pressão, o aumento na elevação e as
perdas na tubulação.
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
22
21
2
11
1
22
mh
hzzPP
h
B
LB
5,41330409810
70000350000
1212
BBBB QhVAhghmW
kWQhW BB 2045,415,09810
Potência
Mecânica dos Fluidos - Professor Eduardo Loureiro
EXEMPLO:
Na taxa máxima de geração de eletricidade, uma pequena central hidrelétrica apresenta uma vazão de 14,1 m3/s.,
para uma diferença de cota de 61 m. A perda de carga através da entrada, tubulação e saída totaliza 1,5 m. A
eficiência combinada da turbina e do gerador é de 87%. Qual é a potência elétrica que está sendo gerada?
V1 =V2 = 0
P1 = P2 = 0
hB = 0 (não há bomba no sistema)
A altura de carga fornecida à turbina é igual à diferença de elevação da barragem menos a altura correspondente às
perdas viscosas.
Potência fornecida à turbina (Potência de entrada):
Potência elétrica gerada:
LTB hhhzg
VPz
g
VP
2
2
22
21
2
11
1
22
mh
hzh
T
LT
5,595,161
1
MWms
m
m
NQhP Tentrada 23,85,591,149810
3
3
MWPP entradasaída 16,723,887,0