Post on 17-Dec-2018
Transformada de Fourier em tempo
contínuo
Capítulo 1*:
*Baseado no capítulo 4 do livro texto: “Sinais e Sistemas” de Alan V. Oppenheim, 2ª edição.
Prof. Alan Petrônio PinheiroUniversidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Engenharia Elétrica
alanpetronio@ufu.br
Sinais e Sistemas 2• Eletricidade: informação x energia
Slide nº 2 de X
Representação da informação
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
visual
auditivo
elétrica
óptica
Sinais e Sistemas 2
• “Sinais são representados por uma combinação
linear de sinais básicos”
– Exponenciais complexas
• ejwt = cos(wt) +j.sin(wt)
Slide nº 3 de X
Sinais
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 4 de X
Sistemas
Re
pre
sen
taçã
o e
m f
req
uê
nci
a
Resposta em frequência – H(jw)Espectro entrada
(excitação)
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2• Fourier: série x transformada
• Série
– Só sinais periódicos
– Sinais “harmonicamente” somados
• Transformada
– Frequências infinitesimais próximas (integral).
– Sinais periódicos e aperiódicos também (classe mais ampla
de sinais, mas não a todos)
• Transformada contínua x discreta
Slide nº 5 de X
Introdução à teoria de Fourier
01
11
11
01
10
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
memória
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2• Formulação da hipótese de Fourier
“Fourier intuiu que um sinal aperiódico pode ser visto como um
sinal periódico com período infinito”
Lembrando da série de Fourier que:
Slide nº 6 de X
T1 fixo e T=4.T1
T1 fixo e T=8.T1
T1 fixo e T=16.T1
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2• Fórmulas:
Slide nº 7 de X
Análise – X(jw) Síntese – x(t)
Demonstração
Quando T→∞, w0→0
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2• Observações quanto a formulação:
– A transformada tem que ter convergência
• x(t) seja integrável
• x(t) tenha número finito de máximos e mínimos em
qualquer intervalo finito
• x(t) tenha número finito de descontinuidades e elas
devem ser finitas
Slide nº 8 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2• Calcule a TFTC dos sinais abaixo:
Observação: estes sinais são muito recorrentes!
Slide nº 9 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Resposta
Resposta
Sinal 1)
Sinal 2)
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 10 de X
Sinal 3)
Resposta
• Deste exemplo podemos já tirar uma importante propriedade da TF
( )πθ
πθθ
sensinc =
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2• 1) Linearidade
Slide nº 11 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 12 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
• 2) Deslocamento no tempo
Exemplo: qual a TFTC do sinal abaixo?
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 13 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
• 3) Convolução
Resposta impulsivaResposta em frequência
Sinais e Sistemas 2• 4) Multiplicação
Ampla aplicação quando 1 dos multiplicandos é “puro”
Slide nº 14 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
( ) ( ) ( )00
ωωπδωωπδω ++−=jP
Sinais e Sistemas 2• 5) Dualidade
Slide nº 15 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
• Outras diversas:
– A) Conjugação e simetria
– B) Diferenciação e integração
Slide nº 16 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2 – C) Mudança de escala no tempo
– D) Parseval
Slide nº 17 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 18 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 19 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 20 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 21 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
Sinais e Sistemas 2
Slide nº 22 de X
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo
• Sistemas no tempo regidos por equações como:
• Na frequência viram:
• Exemplo: considere o sistema LIT estável caracterizado pela
equação abaixo. Estime sua resposta em frequência e resposta ao
impulso unitário
Sistemas caracterizados por equações
diferenciais
( ) ( )
==
=M
kk
k
k
N
kk
k
kdt
txdb
dt
tyda
00
( ) ( ) ( )ωωω jXjHjY = ( )( )( )ω
ωω
jX
jYjH =
( ) ( )( )
( )( )tx
dt
tdxty
dt
tdy
dt
tyd234
2
2
+=++
Sinais e Sistemas 2
Ver seção “capítulo 1” da “lista 1” disponível no site da
disciplina.
Slide nº 23 de X
Exercícios
• Representação informação
• Sinais
• Sistemas
• Introdução à teoria Fourier
• Teoria preliminar
• Formulação
• Fórmulas
• Exemplos sinais importantes
• Propriedades
• Linearidade
• Deslocamento tempo
• Convolução
• Multiplicação
• Dualidade
• Outras
• Tabelas
• Sist. Caracterizados por eq.
diferenciais
• Exercícios
Capítulo 1:
Transf. de Fourier em
tempo contínuo