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Transformada de Fourier (TF)

Aula Teórica – Semana 15

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Transformada de Fourier

• Os sinais podem ser divididos em categorias diferentes conforme mostra a tabela abaixo.

• Dependendo do tipo de sinal pode-se utilizar a Série ou a Transformada de Fourier para fins de análise espectral.

Tipos de Sinais

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Série de Fourier

• Utilizada na análise de sinais periódicos.• A Série de Fourier é subdividida com base na

teoria dos números complexos, em trigonométrica ou exponencial.

• A trigonométrica fornece um espectro unilateral (só frequências positivas).

• A Série Exponencial fornece um espectro bilateral (frequências positivas e negativas)

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Série de Fourier Trigonométrica (Espectro Unilateral)

• Um sinal periódico x(t) pode ser definido por uma soma de funções senoidais e cosenoidais, como mostrado abaixo.

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Série de Fourier Trigonométrica (Espectro Unilateral)

• Para sinais pares, ou seja, quando x(t)=x(-t), a série pode ser reduzida para.

• E quando o sinal é ímpar, com x(t)=-x(-t), a série pode ser reduzida a

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Série de Fourier Exponencial (Espectro Bilateral)

• Apresenta como grande vantagem o cálculo de apenas uma integral.

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Série de Fourier Exponencial (Espectro Bilateral)

• Como visto anteriormente, a função exponencial pode ser decomposta em “cos + jsen”.

• Para funções pares, a integral pode ser feita exclusivamente em função do co-seno enquanto que, para funções ímpares, pode ser feita em função do seno.

• Antes de demonstrar o cálculo de algumas séries, vamos definir a função “sinc”

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Função sinc(x)

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Exemplo 1: Obter a Série de Fourier Trigonométrica da onda quadrada de simetria ímpar e suas 7 primeiras componentes.

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Exemplo 2: Obter o espectro bilateral (Série de Fourier Exponencial) do trem de pulsos retangulares abaixo.

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Exemplo 3: • Neste exemplo é demonstrado a aplicação da Série

de Fourier a um circuito RL, o qual causará variações de amplitude e fase nas componentes, filtrando assim o sinal de entrada.

• Para isto, considere-se um circuito RL tipo série, onde R=1 e L=0,5H, sobre o qual é aplicado um sinal v(t) tipo triangular, que é definido por uma série infinita.

• Determinar i(t) e ambas as formas de onda, considerando-se apenas as 7 primeiras componentes (“n” variando de 1 a 7).

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Ex-3: Formas de Ondas. (a) Componentes senoidais de v(t) e i(t), e (b) formas finais de v(t) e i(t).

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Exercício-3: Considerações.• A corrente i(t) está atrasada em relação a

tensão v(t), confirmando que o indutor se opõe a variações de corrente.

• A corrente i(t) tem uma forma de onda mais suave, o que implica que, se a tensão de saída for obtida sobre o resistor, obter-se á um sinal com a mesma forma de onda. Neste caso o sinal de entrada terá passado por um filtro passa-baixas, enquanto que, se for obtida sobre o indutor, terá passado por um filtro passa-altas.

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Transformada de Fourier

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Transformada de Fourier

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Transformada de Fourier

• Obter as respectivas TF das funções retângulo, triângulo e impulso.

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Transformada de Fourier da função retângulo para (a) A=1, τ=1 e (b) A=1, τ=0,5.

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Transformada de Fourier da função triângulo para (a) A=1, τ=1 e (b) A=1, τ=0,5.

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