10

Capítulo

1Neste capítulo

Trigonometria em triângulos quaisquer

1. Revisãodetrigonometrianotriânguloretângulo

2.Senoecossenodeângulosobtusos

3.Leidossenos

4.Leidoscossenos

Pretende-secortarasfatiasdeumpãodeformaparafazerpequenossanduíchesconformeoesquemaaseguir.

3.Existemoutrasformasdesecolocarossanduíchesnessabandeja?Descrevaalgumasdelaseidentifiqueaquepermitecolocaramaiorquantidadedesanduíchesnessabandejasemquehajasobreposição.

Comece pelo que já sabe

Depoisdeprontospretende-secolocá-losemumabandejaretangular,detalmaneiraqueamaiorfacedecadasanduíche,ouseja,suafaceretangulardemaiorárea,fiqueemcontatocomabandeja.

1.Considerando-seaformaquesepretendecolocarossanduíchesnabandejaapresentada,dequantasmaneirasissopoderáserfeito?Façaumesquemapararepresentarcadaumadessasmaneiras.

2.Determinequaldessasmaneirasdeveserutilizadaparaquesetenhaomelhoraproveitamentodoespaço.

10 cm

2 cm10 cm 10 cm

10 cm

15cm

10cm

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1. Revisão de trigonometria nos triângulos retângulos

A seguir são apresentadas de modo conciso, e para efeito de revisão, algu-mas relações válidas para os triângulos retângulos.

Dado um triângulo retângulo ABC de hipotenusa a e catetos b e c é possí-vel escrever as seguintes relações.

Teorema de Pitágoras

O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

A

B Ca

cb a2 � b2 � c2

Relações métricas

Sendo n e m respectivamente as projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa, e h a altura relativa à hipotenusa, são válidas as seguintes relações:

A

B CH

a

m n

hc b b2 � a � n

c2 � a � mb � c � a � hh2 � m � n

Relações trigonométricas

A

B Ca

� �

cb

cateto oposto a � e

cateto adjacente a �

cateto oposto a �e

cateto adjacente a �

sen a 5 catetooposto a a

  ____________ hipotenusa 5 b __ a   sen b 5 catetooposto a b

  ____________ hipotenusa 5 c __ a  

cos a 5 catetoadjacente a a

  _____________ hipotenusa 5 c __ a   cos b 5 catetoadjacente a b

  _____________ hipotenusa 5 b __ a  

tg a 5 catetooposto a a

  ______________ catetoadjacente a a   5 b __ c   tg b 5

catetooposto a b  _____________ catetoadjacente a b   5 c __ b  

Como a e b são ângulos complementares, ou seja, a 1 b 5 90°, valem as seguintes relações:

sen a 5 cos b 5 b __ a   e sen b 5 cos a 5 c __ a  

tg a 5 1 ____ tg b   e tg b 5 1 ____ tg a  

tg a 5 sen a ______ cos a   e tg b 5

sen b ______ cos b  

Projeção ortogonal de um segmento de reta

Em um plano, considere um `ponto P e uma reta r que não passa por P. Chama-se projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r o ponto P’, que é o pé da perpendicular à reta r a partir de P.

P

P’

r

A projeção ortogonal de um segmento de reta em uma reta r é o conjunto das projeções de todos os pontos do segmento, ou seja, é um segmento.Observe que, se o segmento de reta for perpendicular à reta r, sua projeção resultará em um único ponto sobre r.

C

DA

projCDprojAB

B

r

A aplicação mais frequente da trigonometria é o cálculo da medida da projeção ortogonal.Se o segmento

___ AB  tem

comprimento k, e o ângulo formado com a sua projeção é a, pode-se demonstrar que a medida da projeção ortogonal é igual a k ? cos a.

A

k

�projAB

B

r

De fato, considerando o triângulo retângulo formado ao projetar-se o segmento

___ AB , e chamando

de a o ângulo formado pelo segmento e sua projeção, tem-se que

cos a 5 projAB ______ k    Æ

Æ projAB 5 k ? cos a

Saiba mais

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12

Trigonometria em triângulos quaisquer1

Tabela de razões trigonométricas  A tabela a seguir apresenta os valores aproximados, com quatro casas deci-

mais, do seno, do cosseno e da tangente de ângulos entre 0° e 90°.

Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg

0° 0,0000 1,0000 0,0000 46° 0,7193 0,6947 1,0355

1° 0,0175 0,9998 0,0175 47° 0,7314 0,6820 1,0724

2° 0,0349 0,9994 0,0349 48° 0,7431 0,6691 1,1106

3° 0,0523 0,9986 0,0524 49° 0,7547 0,6561 1,1504

4° 0,0698 0,9976 0,0699 50° 0,7660 0,6428 1,1918

5° 0,0872 0,9962 0,0875 51° 0,7771 0,6293 1,2349

6° 0,1045 0,9945 0,1051 52° 0,7880 0,6157 1,2799

7° 0,1219 0,9925 0,1228 53° 0,7986 0,6018 1,3270

8° 0,1392 0,9903 0,1405 54° 0,8090 0,5878 1,3764

9° 0,1564 0,9877 0,1584 55° 0,8192 0,5736 1,4281

10° 0,1736 0,9848 0,1763 56° 0,8290 0,5592 1,4826

11° 0,1908 0,9816 0,1944 57° 0,8387 0,5446 1,5399

12° 0,2079 0,9781 0,2126 58° 0,8480 0,5299 1,6003

13° 0,2250 0,9744 0,2309 59° 0,8572 0,5150 1,6643

14° 0,2419 0,9703 0,2493 60° 0,8660 0,5000 1,7321

15° 0,2588 0,9659 0,2679 61° 0,8746 0,4848 1,8040

16° 0,2756 0,9613 0,2867 62° 0,8829 0,4695 1,8807

17° 0,2924 0,9563 0,3057 63° 0,8910 0,4540 1,9626

18° 0,3090 0,9511 0,3249 64° 0,8988 0,4384 2,0503

19° 0,3256 0,9455 0,3443 65° 0,9063 0,4226 2,1445

20° 0,3420 0,9397 0,3640 66° 0,9135 0,4067 2,2460

21° 0,3584 0,9336 0,3839 67° 0,9205 0,3907 2,3559

22° 0,3746 0,9272 0,4040 68° 0,9272 0,3746 2,4751

23° 0,3907 0,9205 0,4245 69° 0,9336 0,3584 2,6051

24° 0,4067 0,9135 0,4452 70° 0,9397 0,3420 2,7475

25° 0,4226 0,9063 0,4663 71° 0,9455 0,3256 2,9042

26° 0,4384 0,8988 0,4877 72° 0,9511 0,3090 3,0777

27° 0,4540 0,8910 0,5095 73° 0,9563 0,2924 3,2709

28° 0,4695 0,8829 0,5317 74° 0,9613 0,2756 3,4874

29° 0,4848 0,8746 0,5543 75° 0,9659 0,2588 3,7321

30° 0,5000 0,8660 0,5774 76° 0,9703 0,2419 4,0108

31° 0,5150 0,8572 0,6009 77° 0,9744 0,2250 4,3315

32° 0,5299 0,8480 0,6249 78° 0,9781 0,2079 4,7046

33° 0,5446 0,8387 0,6494 79° 0,9816 0,1908 5,1446

34° 0,5592 0,8290 0,6745 80° 0,9848 0,1736 5,6713

35° 0,5736 0,8192 0,7002 81° 0,9877 0,1564 6,3138

36° 0,5878 0,8090 0,7265 82° 0,9903 0,1392 7,1154

37° 0,6018 0,7986 0,7536 83° 0,9925 0,1219 8,1443

38° 0,6157 0,7880 0,7813 84° 0,9945 0,1045 9,5144

39° 0,6293 0,7771 0,8098 85° 0,9962 0,0872 11,4301

40° 0,6428 0,7660 0,8391 86° 0,9976 0,0698 14,3007

41° 0,6561 0,7547 0,8693 87° 0,9986 0,0523 19,0811

42° 0,6691 0,7431 0,9004 88° 0,9994 0,0349 28,6363

43° 0,6820 0,7314 0,9325 89° 0,9998 0,0175 57,2900

44° 0,6947 0,7193 0,9657 90° 1,0000 0,0000 ∃

45° 0,7071 0,7071 1,0000

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13

Exercícios resolvidos

Determinar os valores de 1. x, y e z referentes às medidas do triângulo retângulo representado pela figura abaixo.

A

B C

100y x

z60 80

ResoluçãoClassificam-se os elementos do triângulo ABC.

A

B C

100y x

z60 80

Aplicando a relação métrica referente ao cate-to AC:

802 5 10 ? x Æ x 5 6 400 ______ 100 Æ x 5 64.

Como x 1 y 5 100 Æ y 5 100 2 64 Æ y 5 36.Aplicando a relação métrica referente à altura: z2 5 36 ? 64 Æ z 5 dXXXXXXX 36 ? 64 5 48, pois z . 0.Logo x 5 64, y 5 36 e z 5 48.

Uma escada de 25 dm está apoiada, na vertical, 2.em um muro, e a parte mais alta da escada está a 24 dm do chão. Deseja-se amarrar com uma cor-da o pé da escada no muro, para evitar que ela es-corregue. Qual deve ser o comprimento da corda,

sabendo que são necessários 5 dm para fazer as amarrações?

Resolução

Pode-se representar essa situação pela figura abaixo.

Pelo teorema de Pitágoras:

252 5 242 1 x2 Æ

Æ 625 5 576 1 x2 Æ

Æ 625 2 576 5 x2 Æ x2 5 49 Æ

Æ x 5 7 dm.Portanto, são necessários 7 1 5 5 12 dm de corda para amarrar o pé da escada no muro, pois x . 0.

Na figura a seguir, determinar os valores de seno, 3.cosseno e tangente para os ângulos a e b.

C

A B25 cm

� �

15 cm 20 cm

Resolução

sen a 5 catetooposto a a

  ____________ hipotenusa 5 20 ___ 25 5 4 __ 5

cos a 5 catetoadjacente a a

  _____________ hipotenusa 5 15 ___ 25 5 3 __ 5

tg a 5 catetooposto a a

  _____________ catetoadjacente a a   5 20 ___ 15 5 4 __ 3

Como a 1 b 5 90°, cos b 5 sen a 5 4 __ 5 ,

sen b 5 cos a 5 3 __ 5 e tg b 5 1 ____ tga   5 3 __ 4 .

Calcule o valor das expressões:6.

a) sen 47° 1 cos 32° _________________ cos 43° 1 sen 58° b) sen 18° 1 cos 72° ________________ sen 18°

O losango 7. ABCD da figura ao lado tem a medida da diago-nal menor igual a 4 cm. Determine o perímetro desse lo-sango, em centíme-tros, sabendo que sen 30° 5 0,5.

Exercícios propostos

Na figura abaixo, determine as medidas 4. x, y, t e z.

t4 y

x6 z

C

A

B D

2�

�

24 cm10 cm

26 cm

��

No triângulo ao lado de-5.termine os valores de seno, cosseno e tangen-te dos ângulos a e b.

24 dm 25 dm

x

cateto do ABC

cateto do ABC

altura

projeção do cateto

___ AC sobre a

hipotenusa ___

BC

projeção do cateto

___ AB sobre

a hipotenusa ___

BC

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14

Trigonometria em triângulos quaisquer1

Determine os valores das seguintes expressões:10.

a) sen 20° 1 sen 160° __________________ sen 20°

b) cos 50° 1 cos 130° __________________ cos 0°

c) sen 30° 1 sen 45° 1 sen 90° 1 sen 150° 1 sen 135°

d) cos 0° 1 cos 60° 1 cos 45° 1 cos 120° 1 cos 135°

e) (sen 135° 1 sen 45°)2 1 sen 0° 1 (sen 150° 1 sen 30°)2

__________________________________________________ sen2 45° 1 sen4 45°

f) (cos 0° 1 cos 30°)2 1 cos 135° 1 (cos 160° 1 cos 20°)2

___________________________________________ sen2 45° 1 cos2 45°

Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, quando a soma das medidas de dois ângulos for menor que 90°, isto é, (b 1 g) , 90°, a medida do outro ângulo será dada por a 5 180° 2 (b 1 g), ou seja, a . 90°. Mas, como se trata de um triângulo, 90° , a , 180°, ou seja, o ângulo a é um ângulo obtuso.

Senoecossenodeângulosobtusos

Seno Cosseno

sen x 5 sen (180° 2 x)

O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do suplemento desse ângulo.

cos x 5 2cos (180° 2 x)

O cosseno de um ângulo obtuso é oposto ao cosseno do suplemento desse ângulo.

Exemplo

O sen 120° é determinado pela relação sen x 5 sen (180° 2 x), pois 120° é um ângulo obtuso. O suplemento de 120° é dado por 180° 2 120° 5 60°.

Portanto, sen 120° 5 sen 60° 5 dXX 3

___ 2 .

Exemplo

O cos 135° é determinado pela relação cos x 5 2cos (180° 2 x), pois 135° é um ângulo obtuso. O suplemento de 135° é dado por 180° 2 135° 5 45°.

Portanto, cos 135° 5 2cos 45° 5 2 dXX 2

___ 2 .

2. Seno e cosseno de ângulos obtusos Utilizando as relações trigonométricas é possível resolver problemas que

envolvem qualquer triângulo. Quando se trabalha com triângulos que não são retângulos, porém, pode acontecer de um de seus ângulos internos ser obtuso, ou seja, a medida desse ângulo ser maior que 90°. De fato:

Seja ABC um triângulo, com ângulos internos de medidas a, b e g.Ânguloagudo

É um ângulo cuja medida está `compreendida entre 0° e 90°.

ÂnguloretoÉ um ângulo cuja medida é 90°.`

ÂnguloobtusoÉ um ângulo cuja medida `está compreendida entre 90° e 180°.

ÂnguloscomplementaresDois ângulos são `complementares se, e somente se, a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, diz-se que um é o complemento do outro.

90° � �

�

ÂngulossuplementaresDois ângulos são `suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é igual a 180o. Neste caso, diz-se que um é o suplemento do outro.

180° � �

�

Pararecordar

Exercícios propostos

Determine os valores de seno e cosseno, conforme 8.indicado, dos seguintes ângulos obtusos.

a) sen 170° d) sen 140°

b) sen 125° e) cos 145°

c) cos 175° f) cos 165°

Julgue as sentenças abaixo como verdadeiras ou 9.falsas, justificando.

a) sen 135° . sen 45° e) cos 130° , cos 50°

b) sen 170° , sen 10° f) cos 150° . sen 30°

c) sen 165° 5 sen 15° g) cos 30° . sen 60°

d) cos 120° 5 cos 60° h) sen 45° 5 cos 135°

AC

B

�

�

�

a 1 b 1 g 5 180°

ObservaçãoEssas relações serão estudadas no capítulo sobre ciclo trigonométrico.

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15

Ângulos inscritosSe, em uma mesma `circunferência, dois ângulos inscritos têm o mesmo arco correspondente, então esses ângulos são congruentes.

M

P

P

NQN

Portanto, de acordo com a figura

N >

P.

Triângulos inscritosTodo triângulo inscrito `em uma circunferência, tal que um de seus lados corresponde ao diâmetro, será um triângulo retângulo.

A

C

r O

rD

B

Na figura, os triângulos ABD e BCD são retângulos, pois um de seus lados (o lado

___ BD)

corresponde ao diâmetro da circunferência.

Para recordar

3. Lei dos senosEm geral, os problemas de geometria que envolvem triângulos estão re-

lacionados com a determinação das medidas de seus lados e ângulos.Na maioria dos casos, esses problemas poderão ser resolvidos aplican-

do a lei dos senos e a lei dos cossenos, que serão apresentadas a seguir. Nesses casos será necessário dispor de apenas uma destas três informa-

ções: três lados; dois lados e um ângulo; ou dois ângulos e um lado.

A partir do vértice B, constrói-se o diâmetro ___

BD . Dessa maneira ficam de-terminados os triângulos retângulos ABD e BCD. Observe que:

��

A >

E e

C >

D , pois são ângulos inscritos que têm o mesmo arco corres-pondente;

BD�� 5 2r, pois representa um diâmetro da circunferência.

Como

A >

E , segue que sen

E 5 sen

A 5 a ___ 2r

Æ a _____ sen

A 5 2r.

Analogamente, como

C >

D , então

sen

C 5 sen

D 5 c ___ 2r

Æ c _____ sen

C 5 2r.

Em seguida constrói-se, a partir do vértice A, o diâ metro

___ AE . Assim, determina-se o triângulo retân-

gulo ACE. Observe que:

��

B >

F , pois são ângulos inscritos que têm o mes-mo arco correspondente;

AE�� 5 2r, pois representa um diâmetro da circun-ferência.

Portanto, como

B >

F , então

sen

B 5 sen

F 5 b ___ 2r

Æ b _____ sen

B 5 2r.

Assim, fica provada a lei dos senos, que pode ser resumida pela seguinte expressão.

a _____ sen

A 5 b _____

sen

B 5 c _____

sen

C 5 2r

Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos se-nos dos ângulos opostos, e essas razões são iguais à medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo.

Teorema

DemonstraçãoConsidere um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c e ângulos

internos de medidas

A ,

B e

C , inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.

c

a

b

A

CB

O

A

B C

D

C

r O

a

cr b

A

B

A

C

D

E

A

E

O

F

r

rB

c b

CB

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Exercícios propostos

Exercícios resolvidos

x2

R

A

CBO

45°

M

N P30°60°

30 cm x

16

Trigonometria em triângulos quaisquer1

Um avião está voando a 5 000 m de altura. Um pas-17. sageiro avista o topo de dois prédios A e B a sua frente sob ângulos de depressão de 30° e de 75°, respectivamente, conforme mostra a figura. Saben-do que os prédios têm 100 m de altura, determine a distância entre esses prédios.

O triângulo 13. XYZ está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. De acordo com os dados da figu-ra, determine a medida do raio da circunferência.

Um triângulo 14. KLMestá inscrito em uma circunfe-rência de raio 4. Se L

KM 5 30°, determine a medi-

da do segmento ___

LM.

Na figura, 15. AB 5 12 cm, AC 5 9 cm e A CB 5 30°. De-

termine o seno do ângulo

B.

O quadrilátero 16. ABCD da figura é um retângulo. Sa-be-se que a medida de

___ BD é igual a 12 cm e que

A

BD5 30°. Chamando de a a medida do ângulo A ED e x a medida do segmento

___ BE, determine o va-

lor de x, quando a 5 60°.

No triângulo 18. RST abaixo determine a medida ST 5 x,

sabendo que sen 105° 5 dXX 6 1 dXX 2

________ 4 .

Investigação.19. Em dupla, deve-se construir um triângu-lo com varetas que possuam medidas iguais a 20 cm, 24 cm e 30 cm. Cada integrante deve medir um dos ân-gulos com um transferidor e em seguida utilizar essa medida para calcular a dos outros dois ângulos pela lei dos senos. Durante os cálculos, os integrantes não de-vem trocar informações. Após os cálculos, os integran-tes deverão comparar os resultados.a) Os resultados são exatamente iguais?b) Discutam quais etapas do processo de cálculo de-

vem ter contribuído para eventuais diferenças e discutam o que pode ser feito para minimizá-las.

R

X

ZY

O

60°

2 3

30°75°

A B

A

CB^

30°B

12 945° 30°

S x

2 m

T

R

D

A B

C

E

Considerar o triângulo 11. ABC inscrito na circunferên-cia de centro O. De acordo com as informações da figura, determinar o raio R da circunferência.

ResoluçãoPela lei dos senos, tem-se que AB_________

sen (A CB)

5 2R Æ

Æ dXX 2 ________ sen 45° 5 2R Æ

dXX 2 ___

dXX 2

___ 2 5 2R Æ R 5 1.

Em um triângulo 12. MNP, MN5 30 cm, M NP 5 60° e

M PN 5 30°. Determinar a medida do lado MP.

ResoluçãoDe acordo com o enunciado, tem-se a seguinte situação:

Pela lei dos senos, verifica-se que:

MN__________ sen (M

PN)

5 MP__________ sen (M

NP)

Æ 30 ________ sen 30° 5 x________ sen 60° Æ

30 ___ 1 __ 2

5 x___ dXX 3

___ 2 Æ x 5 30 dXX 3 cm.

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17

4. Lei dos cossenos O teorema de Pitágoras se mostra muito eficiente na determinação das

medidas dos lados de triângulos. Entretanto, sua utilização é limitada aos triângulos retângulos.

Será estudado a seguir outro teorema importante, chamado de lei dos cos-senos, que será utilizado com a mesma finalidade do teorema de Pitágoras, porém valerá para quaisquer triângulos. Considere para a construção de um triângulo os seguintes elementos.

Duas varetas de comprimentos �� a e b, fixadas em uma de suas extremidades (ponto O) de modo que seja possível apenas a rotação em torno desse ponto.

Um barbante, de comprimento �� c, fixado na outra extremidade de cada vareta.

��

O o ângulo entre as varetas a e b.

O quadro a seguir ilustra todas as possíveis situações para a construção de um triângulo.

a 5 90° a , 90° a . 90°

O b

ac

O b

a c

O b

a

c

Teorema de Pitágoras c2 5 a2 1 b2

Se o ângulo formado pelas varetas é igual a 90°, verifica-se que c2 é igual à soma de a2 com b2. Essa relação é verificada pelo teorema de Pitágoras.

c2 , a2 1 b2�ou�

c2 5 a2 1 b2� 2algo

Se o ângulo formado pelas varetas for

menor que 90°, ou seja, se for um ângulo

agudo, verifica-se que c2 é menor que a

soma de a2 com b2. Mas, se for subtraído um

número apropriado da soma de a2 com b2, o

valor restante poderá ser igual a c2.

c2 . a2 1 b2�ou�

c2 5 a2 1 b2� 1algo

Se o ângulo formado pelas varetas for maior

que 90°, ou seja, se for um ângulo obtuso,

verifica-se que c2 será maior que a soma de

a2 com b2. Mas, se for adicionado um número

apropriado à soma de a2 com b2, o valor

restante poderá ser igual a c2.

A seguir, será demonstrado que esse “algo” que deverá ser adicionado ou

subtraído é a expressão 2 ? a ? b ? cos

O .

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.

Teorema

A demonstração do teorema será feita em duas etapas. Na primeira etapa será considerado o caso em que o triângulo é acutângu-

lo, ou seja, quando todos os ângulos são agudos.Na segunda etapa será estudado o caso em que o triângulo é obtusângulo,

ou seja, quando o triângulo tem um ângulo obtuso.Assim, todos os triângulos possíveis serão estudados, e o resultado obtido

em cada etapa é a lei dos cossenos.

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18

Trigonometria em triângulos quaisquer1

Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo

A

BB

DC

am n

hc b

BD

b

p aq

ch

180º � BC

A

Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo acutângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as seguintes relações:

ACD : b2 5 n2 1 h2 I

ABC : c2 5 m2 1 h2 Æ h2 5 c2 2 m2 II

Substituindo a equação II em I tem-se

b2 5 n2 1 c2 2 m2 III

Da figura, sabe-se que a 5 m 1 n, então n 5 a 2 m

Substituindo na equação III obtém-se

b2 5 (a 2 m)2 1 c2 2 m2 5

5 a2 2 2am 1 m2 1 c2 2 m2 5

5 a2 2 2am 1 c2 IV

Como cos

B 5 m__ c tem-se m 5 c ? cos

B; substituindo em IV

conclui-se que

b2 5 a2 2 2 ? a ? c ? cos

B 1 c2

b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos

B

Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo obtusângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as seguintes relações:

ACD: b2 5 h2 1 q2 I

q 5 p 1 a II

Substituindo a equação II em I, tem-se

b2 5 h2 1 (p 1 a)2 Æ b2 5 h2 1 p2 1 2pa 1 a2 III

No triângulo ABD são válidas as relações:

ACD:

c2 5 h2 1 p2

cos (180° 2

B) 5 p__ c Æ

p 5 c ? cos (180° 2

B) IV

Então, substituindo as equações de IV em III, obtém-se

b2 5 c2 1 2pa 1 a2 5

5 c2 1 2 ? a?c? cos (180° 2

B) 1 a2 V

Como cos (180° 2

B) 5 2cos

B, substituindo em Vtem-se:

b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos

B

Demonstração da lei dos cossenos

De acordo com a figura abaixo, determinar o va-20. lor da medida do lado BC.

Exercício resolvido

(BC)2 5 (AB)2 1 (AC)2 2 2 ? (AB) ? (AC) ? cos (B AC) 5

5 (8)2 1 (12)2 2 2 ? (8) ? (12) ? cos (120°)

Como 120° é um ângulo obtuso, o seu cosseno é determinado por:

cos x 5 2cos (180° 2 x) Æ cos 120° 5

5 2cos (180° 2 120°) 5 2cos (60°) 5 2 1 __ 2

Substituindo o valor do cosseno de 120° na ex-pressão encontrada, conclui-se que

(BC)2 5 64 1 144 2 192 ? ( 2 1 __ 2 ) 5 304

BC 5 dXXXX 304 5 4 dXXX 19

Resolução

Como são conhecidas as medidas dos lados AB e AC e do ângulo entre eles, é possível determinar a medida de BC utilizando a lei dos cossenos. Então:

B

8 12120°

C

A

ObservaçãoPara os triângulos retângulos aplica-se a lei dos cossenos sobre o ângulo de

90°. Será mostrado nos capítulos seguintes que cos 90° é igual a zero. Assumin-do essa informação e aplicando a lei dos cossenos, verifica-se que:

c2 5 a2 1 b2 2 2 ? a ? b ? cos 90° Æ c2 5 a2 1 b2

Portanto c2 5 a2 1 b2.Note que o resultado obtido é exatamente o teorema de Pitágoras. Com isso

prova-se a veracidade da lei dos cossenos também para triângulos retângulos.

50

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19

Exercícios propostos

B

4 5�

C

A

4 3

Na figura, 26. ABCD é um quadrilátero qualquer. Utilizando os dados da figura, determine a me-dida

___ BC.

Em um triângulo 21. ABC, sabe-se que AC 5 8 cm e BC 5 6 cm. Além disso, é conhecida a medida do ângulo A

CB, que vale 60°. Nessas condições, de-

termine a medida de ___

AB.

De acordo com a figura, determine cos 22. a.

O triângulo a seguir representa um canteiro delimi-23. tado pelas ruas representadas por

___ AB,

___ BC e

___ AC.

De acordo com os dados da figura, qual é o compri-mento da rua representada por

___ AC?

O quadrilátero 24. ABCD representa uma praça na for-ma de um trapézio.

Deseja-se construir uma cerca representada pela a diagonal

___ BD. O responsável pela compra do mate-

rial se equivocou e comprou 50% de material a mais do que o necessário para a construção da cerca. Ele comprou material para quantos metros de cerca?

O quadrilátero 25. RSTV abaixo é um paralelogramo. Utilizando as informações fornecidas na figura, de-termine a medida da diagonal

___ VS.

Construa, utilizando um compasso, um triângulo 27. com lados de medidas iguais a 3 cm, 4 cm e 5 cm.

a) Indique qual é o menor ângulo desse triângulo.

b) Calcule o valor do cosseno do ângulo indicado no item anterior.

A figura representa um mapa em escala 1 : 1 000, 28. indicando três pontos em uma selva. Os lados do triângulo representam os possíveis caminhos para deslocar-se entre esses pontos. Um grupo de amigos está na posição representada pelo ponto A. Quanto eles irão percorrer para chegar à posição representada pelo ponto C, sabendo que utilizarão o caminho mais curto?

Investigação.29. Em duplas, providencie seis vare-tas com 32 cm de comprimento, um transferidor e uma régua.Um integrante da dupla deverá cortar três das varetas nos seguintes comprimentos: 20 cm, 28 cm e 32 cm. O outro integrante deverá cortar as outras três varetas nas medidas: 12 cm, 28 cm e 32 cm de comprimento. Em seguida, cada um deverá juntar suas respectivas varetas e formar um triângulo. a) Com o transferidor, meça os três ângulos inter-

nos do triângulo formado.b) Utilizando a lei dos cossenos, calcule os três ân-

gulos internos desse triângulo.c) Verifique se os resultados obtidos nos itens an-

teriores são os mesmos.d) Compare os seus resultados com os do colega

da dupla. Os triângulos formados têm ângulos em comum?

C

BA

D

60° 45°

30°8 6

3

8 3

A

x 200 m

60°B

C

100 m

BA

C

30°

4 cm

4 3 cm

A B

CD

15 m

60°

8 m

T

SR

V

8

45°

12

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20

Exercícios complementares

1 Trigonometria em triângulos quaisquer

Algumas relações em triângulos retângulos

Uma reta 30. r tangencia duas circunferências de raios 6 dm e 4 dm, nos pontos P e Q. As distân-cias entre os centros A e B é de 14 dm, como mos-tra a figura.

Lei dos senos e lei dos cossenos

Em um triângulo 35. ABC, sabe-se que os lados ___

AB e ___ BC medem, respectivamente, 4 cm e 6 cm. O ângu-

lo entre esses dois segmentos mede 35°. Determi-ne a medida do lado

___ AC.

No mapa abaixo, está representado o quarteirão 36. ABCD. Deseja-se construir um calçadão retilíneo para pedestres ligando os vértices A e C. Sabendo que AD 5 400 m, DC 5 300 m e que a medida de A

DC

é 130°, determine o comprimento desse calçadão.

Com base nessas informações, determine:a) a distância entre P e Q.b) cos B

PQ.

c) sen A QP.

O diâmetro da circunferência da figura abaixo 31. mede 5 m. O ponto O é centro da circunferência, o ponto T é o ponto de tangência e P é um ponto da circunferência. Nessas condições, determine a dis-tância PQ 5 d.

Seno e cosseno de ângulos obtusos

Calcule o valor do seno e do cosseno dos seguin-33. tes ângulos.a) 110° c) 137° e) 160°b) 105° d) 142° f) 95°

Qual é o valor da expressão abaixo?34.

sen 135° 1 cos 120° 2 sen 150° 2 cos 135° _______________________________________ cos 60° 1 cos 45° 2 sen 30°

Em um triângulo 37. ABC são conhecidas as medidas de dois de seus lados, AC 5 3 m e BC 5 4 m. Cha-mando de a o ângulo B

AC, formado pelos lados AC

e AB, responda.a) Se AB 5 3 m, calcule o valor de cos a.b) Se sen (A

BC) 5 1 __ 4 , calcule o valor de sen a.

João possui um terreno quadrangular 38. MNPQ e de-seja construir um jardim limitado pelos segmentos ___

MQ, ___

QN e ___

MN, cujas medidas estão indicadas na fi-gura, em metros. Para que seu cachorro não des-trua as suas plantas, João irá construir uma cerca em torno do jardim. Determine quantos metros de cerca João deverá construir.

Calcule, de acordo com a figura abaixo, a medida 39. do lado

___ AC e o seno do ângulo B

CA.

rQP

A

B

4 dm6 dm

14 dm

R. Nazaré Paulista

R. B R

. Leite

R. Bernarda Luis R. R

aul A

dalb

erto

R. M

e. A

ng

élic

a R

esen

de

R.L

ivi

R. Eng.

Cam

pos

de

Mario

Praça JoséAlves Nendo

DC

A B

QP d

T

6 m

O

3

6

y

B C

A

x � 1

x � 2

120°x

M

Q

N

P

4

8

A

B C60°

Na figura, as medida do triângulo 32. ABC estão dadas em centímetros. De acordo com a figura, qual é o valor de y?

Para incluir esta página no sumário, clicar + shift + command na caixa com texto transparente abaixo

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21

Os triângulos 40. ABC e DEF abaixo são semelhantes. Determine a medida do segmento

___ DE , sabendo que

as dimensões dos triângulos ABC e DEF estão na razão de 1 : 2.

Um triângulo equilátero está inscrito em uma cir-41. cunferência de raio 3. Determine a medida do lado desse triângulo.

O triângulo abaixo foi construído em uma malha 42. quadriculada, onde cada quadrado mede 1 cm de lado. Determine o cosseno do ângulo

A .

Na figura a seguir, o triângulo43.  PQR está inscrito na circunferência de centro O e raio 4. Com base nos dados da figura, determine a medida do lado

___ PQ .

No triângulo a seguir determine o valor de 44. x.

Os lados de um triângulo têm como medidas núme-45. ros inteiros consecutivos cuja soma é 15.a) Calcule a medida do maior ângulo desse triân-

gulo.b) Calcule a medida do menor ângulo desse triân-

gulo.

c) Se o seno do menor ângulo mede dXX 7

___ 4 , determine o seno do maior ângulo.

A NASA (Agência Espacial Norte-Americana) utiliza 46. braços mecânicos para ajudar nos reparos externos da espaçonave, como mostra a fotografia abaixo.

A figura abaixo esquematiza uma determinada po-sição do braço mecânico.

a) De acordo com os dados da figura, determine a distância entre os pontos A e D.

b) Mantendo fixas as posições de B, C e D, analise o que ocorre com a medida da distância entre A e D quando alteramos o ângulo A 

    B D.

Desafios de lógica

Um triângulo é formado por dez botões e está 47. apontando para cima. Mova apenas três botões para fazer o triângulo apontar para baixo.

Mexa apenas um palito para obter uma expres-48. são correta.a)

b)

A

B C

50

30°37°

D

E F30°37°

B

A

C

C

A2 m

5 m

25°20°

140°D

B

P

RQO

75°

4

45°

M

x

6 6

PN 15°15°

3P_EMM2_LA_U01_C01_008A025.indd 21 26.08.09 19:06:48

1 Trigonometria em triângulos quaisquer

Integre o aprendizado

22

Algumas grandezas da Física, para ficarem com-49.pletamente definidas, requerem três atributos: módulo, direção e sentido. Essas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. O símbolo que representa uma grandeza vetorial é chamado de

vetor. Sejam ___

› V  1 e

___ › V  2 dois vetores. A soma desses ve-

tores é um terceiro vetor chamado de vetor resul-

tante ( ___

› V  R), ou seja,

___ › V  R 5

___ › V  1 1

___ › V  2.

Para determinar o vetor resultante, utiliza-se a regra do paralelogramo, que consiste em colocar as origens dos dois vetores em um mesmo ponto e construir um paralelogramo, com segmentos paralelos a esses ve-tores. O vetor soma (ou vetor resultante) será repre-sentado pela diagonal do paralelogramo, cuja origem também coincide com a dos dois vetores.

a) Sabendo que o custo de construção da pista de cooper é de RS|| 150,00 para cada metro de com-primento da pista, determine o valor total a ser gasto nessa construção.

b) Responda sem fazer contas: se o ângulo medir 145°, o custo da pista deve ser maior ou menor que a do item anterior? Por quê?

A figura a seguir representa um balão preso por 51.meio de dois cabos, nos pontos A e C.

a) Com base nessas informações, desenhe em seu ca-derno o vetor resultante da soma dos vetores repre-sentados abaixo e determine o valor de seu módulo.

b) Forme um grupo de cinco alunos. Utilizando ve-tores de mesmo módulo do item anterior, cada um deverá representar em uma folha separada a resultante das forças para um dos seguintes ângulos: 50°, 40°, 30°, 20° e 10°. Compare os resultados. O que acontece com o comprimento das resultantes?

c) Determine os valores das resultantes e verifique se os resultados obtidos são coerentes com as conclusões do item anterior.

Em uma cidade há uma praça em forma de um cír-50.culo de centro C e raio 2 km. O prefeito mandou construir uma pista de cooper, representada na fi-gura abaixo pelo segmento

___ AB .

a) Se o ângulo formado pelos dois cabos é de 138°, determine a distância entre os pontos A e C.

b) O que aconteceria com o ângulo entre os cabos se, mantendo a distância entre os pontos A e C, fossem reduzidos seus comprimentos?

c) Se a distância entre os pontos A e C for reduzi-da, o que acontece com o valor do ângulo forma-do pelos cabos? Justifique.

Um trator ficou atolado em uma estrada de terra. 52.Para retirá-lo, foram amarradas duas cordas para que dois ônibus pudessem puxá-lo para fora da es-trada, como ilustra a figura.

a) Determine a força resultante (o vetor resultante) equivalente a essas duas forças.

b) Para desatolar o trator é necessário que a for-ça resultante seja maior do que 23 N. Conforme o esquema representado, os ônibus conseguirão desatolá-lo? Em caso negativo, forneça um novo ângulo entre as forças com que os ônibus pos-sam desatolar o trator.

c) Em que situação se obtém a melhor concentra-ção de forças? Justifique.

VRV1

V2

60°

10

8

C

135°B A

B

100 m 75 m

F1 5 10 N F2 5 10 N20°

A C

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23

C

B A�

E

D

F

�

Considere um relógio circular de ponteiros. Do cen-53.tro às extremidades, o ponteiro dos minutos mede 20 cm, e o das horas mede 10 cm.a) Determine a distância entre as extremidades

dos ponteiros quando o relógio marca 5 horas.b) Indique um horário em que a distância entre as

extremidades dos ponteiros seja de 10 dXX 3 cm.

A pirâmide regular representada abaixo tem base 54.quadrada de lado 5 dXX 2 cm e altura 12 cm.

a) Determine o cosseno de B     A C, ângulo formado

por duas arestas laterais consecutivas.b) Para que o ângulo do item anterior seja maior, o

que deve acontecer com a altura da pirâmide?

a) O que se pode aplicar para determinar as medi-das dos segmentos

___ BC  e

___ DF ?

b) Para qual intervalo de valores de b o triângulo ABC é acutângulo?

c) Na figura ao lado, tem-se uma circunferência de raio 10 e centro O. Associe os tri-ângulos representados com os triângulos ABC e DEF.

d) Qual é a medida do ângulo M 

    P N?

e) Se BC 5 x e DF 5 y, qual é o valor de x2 1 y2?

Expressãoelinguagemmatemática

1. Observe

O esquema acima mostra que, ao variar em 1 unidade a medida de um dos lados do triângulo retângulo, mantendo as medidas dos outros la-dos, obtém-se outro triângulo diferente do primeiro. Observe que hou-ve uma transformação geométrica do seguinte modo: a transformação da medida de um único lado implica na transformação do ângulo reto.

A

C

B

P

NMO 1010

4

3

5

a2 � b2 � c2

4

4

�

5

a2 ? b2 � c2

4

2�

5

a2 ? b2 � c2

Subtrai-se1 unidade

Acrescenta-se1 unidade

As figuras abaixo representam um triângulo acu-55.tângulo ABC e um triângulo obtusângulo DEF, sendo a um ângulo obtuso. Sabe-se ainda que AB 5 AC 5 ED 5 EF 5 10 e que a e b são ângulos suplementares. Com base nessas informações res-ponda às seguintes questões.

2. ReflitaSimule mentalmente outras trans- �formações geométricas no triân-gulo retângulo, sempre acrescen-tando ou subtraindo 1 unidade de apenas um de seus lados. Que relação você imagina que possa existir entre a transformação da medida do lado e a transformação do ângulo reto?A mesma transformação geomé-�trica acima pode ser interpretada também algebricamente. Como fica a sentença algébrica a2 5 b2 1 c2 após a transformação geométrica?

3. InvestigueTeste o fato geométrico acima com �outros triângulos retângulos sem-pre utilizando a simulação mental.Verifique se em todas as simula-�ções feitas por você a validade das sentenças algébricas se con-firmam.

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Estratégias e soluções

24

Quemestáfalandoaverdade?

André, Bruno e Cláudia estavam

jogando futebol quando um

deles deu um chute forte e a bola acertou a

vidraça...

Alguma das crianças está falando a verdade? Qual?

»Identificaçãoeregistrodeinformações

Considere as falas das personagens na segunda cena para responder às próximas qua-tro questões.

1. Quais possibilidades de resposta para esse problema você imagina que possam ocorrer?

2.Se o André estiver mentindo, o que se pode concluir de imediato?

3.E se o Bruno estiver mentindo, qual é a conclusão imediata?

4.Se a Cláudia estiver mentindo, isso significa que o André e o Bruno estão falando a ver-dade?

»Elaboraçãodehipóteseseestratégiasderesolução

1. Considerando suas respostas anteriores, elabore todas as hipóteses para a resposta do problema, registrando-as em seu caderno.

2.Teste as hipóteses que você elaborou, confrontando cada uma com a fala das três crian-ças na segunda cena.

3.Alguma das três crianças está falando a verdade? Quem? Justifique sua resposta.

4.Qual das três crianças chutou a bola?

»Reflexão

1. É possível obter a solução do problema utilizando outra estratégia? Descreva-a.

2.Você já conhecia problemas como este? Descreva-os.

3.Um problema semelhante a este pode ser obtido considerando um único personagem que acusa a si próprio de mentiroso, como no quadro ao lado. Nesse caso, André está mentindo ou falando a verdade?

4.A simplificação da situação apresentada tornou o problema mais simples? Justifique.

5.É possível resolvê-lo? Explique.

Resolva os problemas 1 e 8 das páginas 366 e 367.

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25

Roteiro de estudos

Considere �� x um ângulo obtuso qualquer. Para determi-nar senos e cossenos de ângulos obtusos, podem-se utilizar as seguintes relações.

sen x 5 sen (180° 2 x)cos x 5 2cos (180° 2 x)

Desafio�1 Determine o valor de x para que as seguintes expressões sejam verdadeiras:a) sen (180° 2 x) 5 cos (180° 2 x)b) |sen (180° 2 x)| 5 |cos (180° 2 x)|

Desafio�2 Coloque os valores indicados abaixo em or-

dem crescente.

Seno e cosseno de ângulos obtusos

Retome os conteúdos com os exercícios propostos 8 e 9 e com os exercícios complementares 30 a 34.Resolva o exercício 30 de Vestibular e Enem.

Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de ��um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.

Desafio�4 Considere o triângulo abaixo.

a b

c

Sabe-se que os lados do triângulo estão em centímetros e que são válidas as relações a seguir.

3 �� ? a 5 8 ? c 3 �� ? b 5 10 ? c

Qual é o valor aproximado do ângulo interno oposto ao lado que mede a centímetros?

Lei dos cossenos

Retome os conteúdos com os exercícios propostos 21 ao 29 e com os exercícios complementares 35, 37 e 38.Resolva os exercícios 21, 33 e 39 de Vestibular e Enem.

Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são ��proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e essas razões são iguais à medida do diâmetro da circunfe-rência circunscrita a esse triângulo.

A

CB

O

a

c b

A^

C^B^

R

a______ sen

A 5 b_____

sen

B 5 c_____

sen

C 5 2R

Desafio�3 Uma bijuteria é moldada na forma de uma estrela regular de quatro pontas. Para ajudar a moldar essa bijuteria, são utilizadas duas circunferências, de modo que a maior tem raio igual a 4 cm. Com base nes-sas informações e conforme a figura abaixo, determine o perímetro da estrela.

Lei dos senos

Retome os conteúdos com os exercícios propostos 13, 15, 16 e 18 e com os exercícios complementares 40 e 43.Resolva o exercício 38 de Vestibular e Enem.

30°

B a

c

b

C

A

B^

b2 5 a2 1 c2 2 2 ?a ? c ? cos B

sen 120° sen 150° sen 135° sen 100°

cos 120° cos 135° cos 150°

Para incluir esta página no sumário, clicar + shift + command na caixa com texto transparente abaixo

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