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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE INSTITUTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E FSICA
CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
UNIDADE 2
Limites de Funes Reais de Uma Varivel
Objetivos
Calcular limites de funes.
Analisar a existncia de limites. Usar a definio de limites para provar validade do resultado do clculo do limite.
Determinar a existncia ou no de assntotas verticais e/ou horizontais de funes
Aplicar os limites fundamentais no clculo de limites envolvendo funes mais complexas.
Clculo Diferencial e Integral Unidade 2 Limites de Funes de uma Varivel
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UNIDADE 2 LIMITES DE FUNES REAIS DE UMA VARIVEL
Nessa unidade sero estudados os conceitos de limites que permitem definir o comportamento de uma funo em um determinado ponto.
2.1 Definies importantes
a) Vizinhana: Chama-se vizinhana (ou entorno) de centro em a e raio ao intervalo aberto ( ) + aa , , onde 0>
Notao: ( ) ( ) { }
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Observao: No importa o que acontea com ( )xf quando x igual a a , o que interessa o comportamento de ( )xf para x perto de a .
Notao: ( ) Lxfax
=
lim l-se L o limite de ( )xf quando x se aproxima de a . O matemtico francs Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) foi a primeira pessoa a atribuir um
significado matematicamente rigoroso s frases ( )xf se aproxima arbitrariamente de L e x se aproxima de a .
Exemplo 2: Como ser o comportamento da funo ( ) 12 += xxxf quando x est cada vez mais prximo de 2?
Soluo:
1) Grfico 2) Tabela
Observe os grficos abaixo.
a)
b)
c)
d)
O que acontece com a funo ( )xf quando x se aproxima de a , mantendo-se porm ax ?
( )xf se aproxima do nmero L nos casos a), b) e c), porm no caso d) no se aproxima de nenhum nmero.
Para os casos a), b) e c) pode-se dizer que o limite de ( )xf para x tendendo a a L e escreve-se ( ) Lxf
ax=
lim .
Para o caso d), no existe o limite.
x f(x)1,0 1,0000001,5 1,7500001,9 2,710000
1,95 2,8525001,99 2,970100
1,995 2,9850251,999 2,997001
22,001 3,0030012,005 3,015025
2,01 3,0301002,05 3,1525002,1 3,3100002,5 4,750000
3 7,000000
3) Algbrico L)x(flim
ax=
L-se: limite de ( )xf quando x tende a L .
3312212
2
2
2
2==+=+
xxxlimlimxxlim
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importante salientar que no importa o que acontece quando ax = , mas sim o que acontece com ( )xf para x nas proximidades de a .
Observemos que podemos tornar f(x) to prximo de L quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente prximo de a.
A linguagem utilizada at aqui no uma linguagem matemtica, pois ao dizermos, por exemplo, x suficientemente prximo de a, no sabemos quantificar o quo prximo.
Como exprimir em linguagem matemtica a definio de limite ( ) Lxfax
=
lim ?
(1) ( )xf deve ser arbitrariamente prximo de L para todo x suficientemente prximo de a (e diferente de a ).
Como definir proximidade arbitrria? A matemtica usa smbolos para indicar essas pequenas quantidades. Os smbolos usualmente so
(epsilon) e (delta). Considere um nmero 0> , arbitrrio. Os nmeros de ( )xf so tais que ( ) + (delta) tal que Dx ,
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Exemplo 3: Como ser o comportamento da funo ( )
=
=
3,53,12
x
xxxf quando x est cada vez mais
prximo de 3?
Soluo:
tal que Dx ,
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Exemplo 5: Prove formalmente que 4lim2
2=
xx .
Soluo:
Deve-se provar que: dado qualquer 0> , existe 0> tal que Dx ,
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Existncia do limite finito
Teorema: O limite ( )xfax
lim existe e igual a L se e somente se os limites laterais ( )xfax +
lim e ( )xfax
lim
existem e tm o valor comum L .
Exemplo 7: Considere as funes ( )x
xxf = e ( ) xxg =
a) Calcule ( )xfx +0lim .
b) Calcule ( )xfx 0lim .
c) Determine, se houver, ( )xfx 0lim
.
d) Calcule ( )xgx +0lim .
e) Calcule ( )xgx 0lim .
f) Determine, se houver, ( )xgx 0lim
.
Soluo:
a) ( ) 1lim0
=+
xfx
.
b) ( ) 1lim0
=
xfx
.
c) Como ( ) ( )xfxfxx +
00
limlim , no existe ( )xfx 0lim
.
d) ( ) 0lim0
=+
xgx
.
e) ( ) 0lim0
=
xgx
.
f) Como ( ) ( ) 0limlim00
==++
xgxgxx
, existe ( )xgx 0lim
e seu valor zero.
Exerccios
E2. Prove que o limite de ( )
>
=
0,20,1
x
xxf
quando x tende a zero no existe.
E3. Dada a funo ( ) xxf = , determine, se houver:
a) ( )xfx 0lim b) ( )xf
x +0lim c) ( )xf
x 0lim
E4. Calcule o limite L , depois determine 0> tal que ( ) 01,0
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2.6 Propriedades usadas no clculo de limites
Nesta seo so mostradas as propriedades usadas no clculo de limites de funes.
Se L , M , a e k so nmeros reais e ( ) Lxfax
=
lim e ( ) Mxgax
=
lim , ento
1. Limite da soma
O limite da soma de duas funes a soma de seus limites: ( ){ } MLxgxfax
+=+
)(lim .
Demonstrao:
Seja 0> , considera-se 2
.
a) Existe 01 > tal que 10
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6. Limite da potenciao
O limite da n-sima potncia de uma funo igual n-sima potncia do limite da funo: ( )[ ] ( )[ ] nn
ax
n
axLxfxf ==
limlim , se n um inteiro positivo qualquer.
Ou ainda ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) Mxgax
xg
axLxfxf ax ==
limlimlim
7. Limite da radiciao
O limite da raiz n-sima de uma funo igual raiz n-sima do limite da funo: ( ) ( ) nn
ax
n
axLxfxf ==
limlim , se 0>L e n um inteiro positivo ou se 0L e n um inteiro positivo
mpar.
8. Limite de uma constante
O limite de uma constante a prpria constante kkax
=
lim .
9. Limite da funo identidade ( ) xxf =
O limite da funo identidade o valor de a : axax
=
lim .
10. Limite de funo polinomial
Para qualquer polinmio, ( ) nn xcxcxccxp ++++= ...2210 e a qualquer nmero real, ento ( ) ( )apxp
ax=
lim .
11. Limite de funo racional
O limite de uma funo racional ( ) ( )( )xQxP
xf = quando ax pode ser calculado por substituio,
isto , ( ) ( )( )( )( )aQaP
xQxP
xfaxax
==
limlim , desde que ( ) 0aQ .
12. Limite do logaritmo natural de uma funo
O limite do logaritmo natural de uma funo igual ao logaritmo natural do limite da funo: ( ) ( ) Lxfxf
axaxlnlimlnlnlim ==
.
Exemplo 8: Calcule os seguintes limites:
a) xxx
3lim 25
+
R: 40
b) 51lim
2
3 +
x
x
x R: 1
c) 52lim2
++
xx
Soluo: ( ) 9522lim52lim02
=++=+ +
hxhx
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d) 4lim3
+
xx
Soluo: ( ) 743lim4lim03
=+=+
hxhx
e) 1lim1
+x
x
Soluo: ( ) 011lim1lim01
=+= +
hxhx
f) 23
9lim xx
Soluo: ( ) 0699lim39lim 20
2
0=+=
hhh
hh
g) 1lim 21
++x
x
Soluo: ( ) 211lim1lim 20
2
1=++=+
+hx
hx
Exemplo 9: Considere a funo ( )
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Resposta
a) Sim, 0)1( =f b) 0)(lim1
=+
xf
x c) Sim
d) Sim, 1)1( =f e) 2)(lim1
=
xfx
f) No
2.7 Limites Infinitos
Definies:
Se os valores de ( )xf crescem indefinidamente quando x tende a a , escreve-se ( ) +=
xfax
lim . A
notao ( ) =
xfax
lim significa que para cada 0>M , existe 0> tal que Mxf >)( sempre que M , existe M1
= tal que se 21
.
Exemplo 11: Calcule os seguintes limites:
a) 4
lim4
x
x
x b) ( )23 3
1lim
xx c) ( )3lnlim
3
x
x
d) x
x
x
2
0
3lim +
e) 2
1lim2
xx
Exemplo 12: Considere a funo ( )
=
2,2
1
2,2
1
xx
xxxf , calcule ( )xf
x 2lim
.
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2.8 Limites no Infinito
Definies:
Seja uma funo f definida em todo x que pertence a algum intervalo aberto infinito, o qual se estende na direo positiva do eixo x , escreve-se ( ) Lxf
x=
+lim se dado qualquer 0> , h um correspondente
nmero positivo M tal que ( ) . Seja uma funo f definida em todo x que pertence a algum intervalo aberto infinito, o qual se
estende na direo negativa do eixo x , escreve-se ( ) Lxfx
=
lim se dado qualquer 0> , h um correspondente
nmero negativo M tal que ( )
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Observaes:
1. +=+
n
xxlim , ,...3,2,1=n
2.
=
=+=
,...5,3,1,,...6,4,2,
limn
nx n
x
3. Um polinmio comporta-se como o seu termo de maior grau quando +x ou x .
Exemplo 15: Calcule os limites: a) xxx
38lim 2 ++
b) 45 67lim xxx
2.9 Unicidade do Limite
Se ( ) Lxfax
=
lim e ( ) Mxfax
=
lim , ento ML = .
Demonstrao:
Vamos iniciar supondo que ML . Sem perda de generalidade, pode-se escrever que ML > .
Tomemos 02
>
=
ML .
a) Existe 01 > tal que 10
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2.10 Indeterminaes
So indeterminaes as substituies obtidas no clculo de limites que resultam em 00
,
, ou
nas potncias 1 , 00 , 0 .
1. Indeterminao tipo 00
Em uma funo racional quando o denominador e o numerador forem ambos nulos, fatora-se o numerador e o denominador, cancelando seus fatores comuns. Assim, podemos reduzir a frao outra, onde o numerador e o denominador no sejam mais nulos em ax = . Se isso acontecer, podemos obter o limite por substituio na frao simplificada.
Em uma funo algbrica irracional, uma maneira de encontrar o limite de uma funo para qual
a substituio direta leva a uma forma 00
usar a tcnica de racionalizao. Essa tcnica pode ser usada para
racionalizar o denominador ou o numerador.
Exemplo 16: Como o comportamento da funo 3
96)(2
+=
x
xxxf quando x se aproxima de 3?
Soluo:
Observe que esta funo no est definida em 3=x . Contudo, isto no interfere no limite, uma vez que este determina o comportamento de )(xf para valores de x prximos a 3, mas no para 3=x .
Para encontrarmos o limite desta funo quando x tende a trs, preciso simplific-la algebricamente, fatorando o numerador. Assim, temos:
1) Tabela x f (x)
2,9 -0,1 2,95 -0,05
2,995 -0,005 2,999 -0,001
3 3,001 0,001 3,005 0,005
3,05 0,05 3,1 0,1
Exemplo 17: Calcule os limites: a) 11
lim0
+ x
x
x b)
11lim
4
1
x
x
x
Soluo:
a) Observe que esta funo no est definida em 0=x . Contudo, isto no interfere no limite, uma vez
que este determina o comportamento de f para valores de x prximos a 0, mas no para x = 0. Para encontrarmos o limite desta funo quando x tende a zero, preciso simplific-la algebricamente, racionalizando o denominador.
( ) 03333
33
96
nao)(indetermi 00
396
3962
33
2
3
2
3
2
3
2
3
===
=
+
=
+
=
+
xxxx
x
x
limxlimx
xlimx
xxlim
x
xxlim
?x
xxlim)
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Assim, temos:
?x
xlimx
=
+ 110
( )( )
( )
21111011lim
11lim1111lim
1111
11lim
11lim
0
0000
=+=++=++
=
++=
+
++=
++
++
+=
+
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
Logo, 211
lim0
=
+ x
x
x.
b) 11lim
4
1
x
x
x
Nesse caso, faz-se uma mudana de variveis para facilitar os clculos. Por exemplo, 0,4 = ttx . Quando ,14 t 1t . Substituindo no limite,
( )( ) ( )
adordenooFatorandondosimplifica
ttt
t
t
t
t
t
x
x
ttttx
min
21
11lim
111lim
11lim
11lim
11lim
11214
4 4
1
4
1
=
++
=
=
=
=
Logo, 21
11lim
4
1=
x
x
x.
E8. Calcule:
a) xx
xx
x
3
2
0lim b)
11lim
31
x
x
x c)
28lim
38
x
x
x d)
ax
ax
ax
22
lim
e) 49
32lim 27
x
x
x f)
x
xx
x
+
11lim0
g) x
x
x
+ 51
53lim4
h) 4356lim 2
2
1
++ xx
xx
x
Respostas
a) 1 b) 3/2 c) 12 d) aa4 e) 56/1 f) 1 g) 0 h) 5/4
2. Indeterminao tipo
nao)(indetermi 00
11lim
0=
+ x
x
x
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Se ( )( )
=
+ xgxf
xlim , divide-se o numerador e o denominador pela maior potncia de x que aparece
no denominador.
Exemplo 18: Determine o valor dos seguintes limites:
a) 3
lim
x
x
x b)
12953lim 4
24
+
+ x
xx
x c)
7653lim
+ x
x
x d)
94293lim
2
2
++
++ xx
xx
x
Soluo:
a) 1311lim3
1lim3lim3lim
min
min=
=
=
=
=
xxx
x
x
xx
x
x
x
xxx
adordenooenumeradorosedividindo
adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelaxObserve
que o termo 3/x tende a zero quando x tende a .
b) =+
+
=
=
+
+
4
4
4
24
min
min4
24
12
953
lim12
953lim
x
x
x
xx
x
xx
x
adordenooenumeradorosedividindo
adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelax
23
12
953lim
12
953
lim4
42
44
4
44
2
4
4
=
+
+=
+
+
x
xx
xx
x
xx
x
x
x
xx.
Observe que os termos 5/x2, 9/x4, 1/x4 tendem a zero quando x tende a .
c) =
+ 76
53limx
x
x 21
63
76
53
limmin
min==
+
=
x
xx
x
x
adordenooenumeradorosedividindo
adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpela
d) =++
++
=
=
++
++
x
xx
x
xx
xx
xx
x
adordenooenumeradorosedividindo
adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelax 942
93
lim942
93lim2
2
min
min2
2
14213lim
942
93lim
942
93
lim
2
2
2
2
2
2
=
+
+=
++
++
=
++
++
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3. Indeterminao tipo
Para resolver limites do tipo ( ) ( )[ ] =
xgxfax
lim so usados artifcios algbricos para
chegar a 00
ou
.
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Exemplo 19: Resolva os limites:
a)
31 13
11lim
xxx b) ( ) ( )[ ]xgx
xcotseccoslim
0
c) ( )xxx
x+
1lim 2
Soluo.
a)
=
)1)(1(3
11lim
13
11lim 21
lg
31 xxxxxx x
eebricamentaomanipuland
x, pois aplicando BR
uma das razes de 1 x3 igual a 1, restando o polinmio x2 x 1. Sendo assim, temos
==
++
++
=
=
=
06
)1)(1(4lim
)1)(1(4lim)1)(1(
31lim)1)(1(3
11lim
2
2
1
2
2
12
2
121
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xxxx
x
xxx
b) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 020
cos1)(lim
)(cos11lim
)(cos
)(1
1lim
cotseccos1lim
cotseccoscotcot1lim
cotseccoscotseccoslim
cotseccoscotseccos
.cotseccoslimcotseccoslim
000
0
22
0
22
0
0
lg
0
==
+=
+=
+
=
+=
+
+=
+
=
+
+=
x
xsen
xsen
x
xsen
x
xsen
xgxxgxxgxg
xgxxgx
xgxxgx
xgxxgx
xxx
xxx
x
eebricamentaomanipuland
x
c)
( ) ( )( )( )
21
111
1lim1
lim1
lim
11lim
11lim
111lim1lim
22
2
min
min2
22
22
2
222
=
++
=
++
=
=
++
=
++=
++
+=
++
+++=+
xx
x
x
x
x
x
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
xxxxxxxx
xx
adordenooenumeradorosedividindo
adordenonoaparecequexdepotnciamaiorpelax
xxxx
4. Indeterminao tipo 0
Se ( ) ( )[ ] =
0lim xgxfax
, transforma-se em outras indeterminaes usando artifcios algbricos.
Exemplo 20: Calcule ( ) ( )xxsenx
seccoslim0
.
Soluo:
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( ) ( ) ( ) 1)(1lim0seccoslim
0
lg
0==
xsenxsenxxsen
x
eebricamentaomanipuland
x
E9. Calcule os limites:
a)
5213lim
++ x
x
x (R: 23 )
b)
43lim+ xx
(R:0)
c)
375lim 2
2
xx
x
x
++
(R: 35 )
d)8
3lim 24
+ x
xx
x (R: 3 )
e) 110lim 2 +
xxx
(R: + )
f) 115lim 34
23
++
++ xxx
xxx
x (R: 0)
g)352
32lim 22
+
+ xx
xx
x (R: 21 )
h) 21limxx +
(R:0)
i)
+
+ xx
1002lim (R:2)
j)532lim 2
3
+
++ x
xx
x (R: + )
k)1
lim2 + x
x
x (R:1)
l)1
lim+ x
x
x (R: + )
m) xxx
+
1lim (R:0)
n) 19
1lim+
+ x
x
x (R: 31 )
o) 32
23
452372lim
xxx
xxx
x+
+
(R: 21 )
p) 54lim
2
x
xx
x (R: + )
q) ( )xxxx
1lim 2 (R: 21 )
r) 11lim 22 +
xxx
(R:0)
s) xxxx
2123lim 2 ++
(R: + )
2.11 Teorema do Confronto
Suponha que ( ) ( ) ( )xgxfxh para qualquer x em um dado intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente quando
ax = . Suponha tambm que ( ) ( ) Lxhxgaxax
==
limlim , ento
( ) Lxfax
=
lim .
Demonstrao:
Para 0> , existem 01 > e 02 > tais que ( )
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68
Como ( ) 11 xsen , pode-se dividir por x , j que 0>x a desigualdade mantida e podemos escrever
( )xx
xsen
x
11 . Calculando os limites, ( )xx
xsen
x xxx
1limlim1lim
, chega-se a
( ) 0lim0 x
xsen
x, pelo teorema do confronto, ( ) 0lim =
x
xsen
x.
2.12 Limites Fundamentais
1. Limite fundamental: ( ) 1lim0
= x
xsen
x
Demonstrao:
Observe na figura que
rea OAP < rea do setor OAP < rea OAT
Podemos expressar as reas em termos de da seguinte forma:
rea OAP = ( ) ( )( ) ( ) sensenalturabase211
21
21
==
rea do setor OAP = ( )2
121
21 22 ==r
rea OAT = ( ) ( )( ) ( ) tgtgalturabase211
21
21
==
Logo, tgsen21
21
21
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69
Exemplo 22: Utilizando ( ) 1lim
0=
sen, calcule os limites: a) ( )
x
x
x
1coslim0
b) ( )
x
xsen
x 52lim
0
2. Limite fundamental: ( ) ex xx
=+
1
1lim0
Proposio: ex
x
x=
+
11lim , onde e o nmero irracional neperiano cujo valor aproximado 2,718281828459... .
Exemplo 23: Mostre que ( ) ex xx
=+
1
1lim0
.
Demonstrao:
Primeiramente, mostraremos que ( ) ex xx
=++
1
1lim0
.
Aplicando a mudana de varivel t
x1
= , temos que t quando + 0x . Logo,
( ) et
x
t
tx
x=
+=+
+
11lim1lim1
0.
Da mesma forma, mostra-se que ( ) ex xx
=+
1
1lim0
.
Portanto, ( ) ex xx
=+
1
1lim0
.
Exemplo 24: Calcule os limites:
a) ( ) xxx
1
31lim0
+
b) ( ) xxx
1
51lim0
c)
xx
x
1
21lim
0
d) ( )
x
x
x
101lnlim0
+
e) ( )( ) ( )xsenxsenx
1
1lim0
+
f) x
x x
+
21lim g) x
x x
211lim
+
h)
2
31lim
+
+
x
x x
x
3. Limite fundamental: ( )akx
a kx
xln1lim
0=
, 1,0 > aa
Demonstrao:
Fazendo 1= kxat , temos: 1+= ta kx . Aplicando os logaritmos neperianos:
Formas mais gerais
( ) kx
ekx x =+
1
1lim0
kx
xe
x
k=
+
1lim
Clculo Diferencial e Integral Unidade 2 Limites de Funes de uma Varivel
70
( )1lnln += ta kx ( )1lnln += takx ( )ak
tx
ln1ln
+=
Quando 0x , 0x , temos 0,0 tt e ento podemos escrever
( ) ( ) ( ) aaat
kxa
tt
t
t
ttt
a
tt
kx
xln
lim
1limln1limlnlim1lim 1ln
0
01ln0
ln1ln00
====
+
++
, j que ( ) 1lim 1ln0
=+
tt
t.
Exemplo 25: Calcule os limites:
a) x
x
x 312lim
3
0
b)
x
x
x 213lim
2
0
c)
( )
x
xa
x
13lim2
0
d)
x
ee bxax
x
0lim
E11. Calcule os seguintes limites:
a) ( )11lim 21
+ x
xsen
x R:
21
b) ( )xsenx
x 32lim
0 R:
32
c) ( )( ) ( )xsenxgx
x 33cot13coslim
0
R: 0 d) ( )2
2
0
cos1limx
x
x
R: 1
e) ( )xsenxx x
x 21lim
0
+
R: 2e
f) ( )
( )xtgxtg
x
21lim0
R: 2ln
g) 2
13lim4
2
2
x
x
x
R: 3ln4 h)
x
x
xx
+ 1
1ln1lim0
R: 1
i) ( ) ( )1211
lim 30
+ xx
xsenxsen
R: 2ln3
1 j)
( )
( )xe x
x cos
1limcos
2
pi
R: 1
k)
+
+ 1
4lnlim 22
2
x
xx
x
R: 3 l)
233lim
2
2
x
x
x R: ( )3ln
432 2
m) ( ) ( )ax
atgxtgax
lim R:
a2cos
1 n) ( )( ) ( )xxsen
xtgx cos
1lim4
pi
R: 2
o) ( ) ( )h
xsenhxsenh
+0
lim R: ( )xcos p) 2
54lim
+
+
x
x x
x
R: 91e
Lista de Exerccios Limites de Funes de uma Varivel
1. Considere o grfico da funo ( )xf
Clculo Diferencial e Integral Unidade 2 Limites de Funes de uma Varivel
71
Para cada afirmao abaixo, assinale V, se for verdadeira, ou F, se for falsa. Justifique sua resposta.
a) ( ) ( )xfax
lim no existe.
b) ( ) ( ) 3lim =
xfax
.
c) ( ) ( ) 0lim0
=
xfx
.
d) ( ) ( )xfxx 0
lim
existe em todo ponto do intervalo ( )a,0 .
2. Calcule os limites:
a) y
yy
5lim
2
5
R: 25
b) ( )3182lim0
z
z
R: 2
c) 168lim 4
3
2
v
v
v
R: 83
d) z
zzz
24lim
2
4
R: 16
e)
20
11limxxx
R: f) 23lim ++
xxx
R: 0
g) ( ) ( )mmsenm
seccoslim0
R: 1 h)
11
12lim 20 xxx
R: 1
i) 3542lim
3
+
+ yy
y
R: + j)
187125lim 2
3
+ y
yyy
R:
k) 43
19lim2
2
+
++ v
vv
v
R: 3 l) ( ) ( )( )[ ] senv
lnlnlim0
+
R: 0
m) ( )( )xxg
x seccos
cotlim0+
R: 1 n) ( )xsen
x
x+0
lim R: 1
o) xx
xx
x ee
ee
+
lim R: 1 p) ( )xsene x
x
lim R: 0
3. Suponha que ( ) 1lim0
=
xfx
e ( ) 5lim0
=
xgx
, calcule o valor de ( ) ( )( )( )3272lim
0 +
= xf
xgxfLx
. R: 47
4. Se ( ) 1
25lim
2=
x
xfx
, determine ( )xfx 2lim
. R: 3
5. Determine as assntotas dos grficos das seguintes funes:
a) ( )23
+
+=
x
xxf R: Assntota horizontal y = 1, Assntota vertical x = 2.
b) ( )4
82
=
xxf R: Assntota horizontal y = 0, Assntota vertical x = 2 e x = 2.
c) ( )8+
=
x
xxf R: Assntota horizontal y =1, Assntota vertical x = 8.
d) ( )x
xxf 1+= R: Assntota horizontal y =1, Assntota vertical x = 0.