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MATEMÁTICA BÁSICA
NOTAS DE AULA
Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba
SUMÁRIO
1. FRAÇÕES........................................................................................................... 5
1.1 Adição e Subtração....................................................................................................................................... 5
1.2 Multiplicação ................................................................................................................................................ 5
1.3 Divisão .......................................................................................................................................................... 5
1.4 Número Misto .............................................................................................................................................. 5
1.5 Conversão de Número Decimais em Fração ................................................................................................. 5
1.6 TESTES .......................................................................................................................................................... 6
2. POTENCIAÇÃO ................................................................................................ 11
2.1 Regra de sinais: .......................................................................................................................................... 11
2.2 Casos Particulares: ..................................................................................................................................... 11
2.3 Propriedades .............................................................................................................................................. 11
2.4 Exercícios de sala: ....................................................................................................................................... 13
2.5 TESTES ........................................................................................................................................................ 14
3. RADICIAÇÃO .................................................................................................... 19
3.1 Propriedade dos radicais: ........................................................................................................................... 19
3.2 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES .................................................................................................................. 21
3.3 Exercícios de sala: ....................................................................................................................................... 22
3.4 TESTES: ....................................................................................................................................................... 23
4. FATORAÇÃO .................................................................................................... 29
4.1 Fator Comum .............................................................................................................................................. 29
4.2 Agrupamento ............................................................................................................................................. 29
4.3 Diferença de dois Quadrados ..................................................................................................................... 29
4.4 Trinômio Quadrado Perfeito ...................................................................................................................... 29
4.4.1 Trinômio quadrado da forma cbxax 2 ........................................................................................ 29
4.5 Principais Produtos Notáveis ...................................................................................................................... 29
4.6 Exercícios.................................................................................................................................................... 32
4.7 TESTES ........................................................................................................................................................ 36
5. PÔLINÔMIOS ................................................................................................... 39
5.1 Função Polinomial: ..................................................................................................................................... 39
5.1.1 Definição: ................................................................................................................................................... 39
5.2 Polinômio Idêntico a Zero ou Identicamente Nulo: .................................................................................... 40
5.3 Polinômios Idênticos:.................................................................................................................................. 40
5.4 Valor Numérico de um Polinômio:.............................................................................................................. 42
5.5 Adição e Subtração de Polinômios: ............................................................................................................ 43
5.5.1 Adição: ....................................................................................................................................................... 43
5.5.2 Subtração: .................................................................................................................................................. 43
5.6 Multiplicação de Polinômios: ..................................................................................................................... 44
5.7 Divisão de Polinômios: ............................................................................................................................... 45
5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes ............................................................... 45
5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: ........................................................................................ 47
5.7.3 Divisão de )(xP por )( bax , 0a ............................................................................................. 48
5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: ........................................................................................................... 49
5.8 Equações Polinomiais: ................................................................................................................................ 50
5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau: ........................................................................... 50
5.8.2 Raízes Múltiplas: ........................................................................................................................................ 50
5.8.3 Teorema das Raízes Racionais: ................................................................................................................... 51
5.9 Exercícios .................................................................................................................................................... 53
6. TRIGONOMETRIA ............................................................................................ 66
6.1 Trigonometria Básica ................................................................................................................................. 66
6.1.1 Tabelas ....................................................................................................................................................... 66
6.1.2 QUADRANTES ............................................................................................................................................. 66
6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais .................................................................................................. 66
6.2 Exercicios de Sala ....................................................................................................................................... 67
6.3 Operação com Arcos .................................................................................................................................. 73
6.3.1 Adição e Subtração: ................................................................................................................................... 73
6.3.2 Arco Duplo .................................................................................................................................................. 73
6.3.3 Arco Metade............................................................................................................................................... 73
6.3.4 Transformação em produto ....................................................................................................................... 73
7. LOGARITMOS .................................................................................................. 74
7.1 Logaritmo decimal ( base 10 ) : .................................................................................................................. 75
7.2 Logaritmo neperiano ( base e ) : ................................................................................................................ 75
7.3 Consequências da Definição: ...................................................................................................................... 75
7.4 Propriedades: ............................................................................................................................................. 75
7.5 Mudança da base a para a base b : ......................................................................................................... 76
7.6 Exercícios de Sala ....................................................................................................................................... 76
Matemática Básica Profa Paula Benevides
5
1. FRAÇÕES
1.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
3
2
2
3
8
1
3
2
4
1
1.2 MULTIPLICAÇÃO
5
3
7
2
5
2
2
1
1.3 DIVISÃO
3
2
7
5
5
2
3
=
3
2
5
1.4 NÚMERO MISTO
5
43
2
11
1.5 CONVERSÃO DE NÚMERO
DECIMAIS EM FRAÇÃO
0,32 =
1,315 =
0,2 =
Matemática Básica Profa Paula Benevides
6
1.6 TESTES
1) 16
5
8
3
4
1 é igual a:
a) 8
5
b) 16
13
c) 16
5
d) 5
8
e) n.d.a.
2) Efetuando 9
214,0
3
21
obtém:
a)3
95
b) 5
c) 3
d) 55
93
e) n.d.a.
3) (MARÍLIA) - Os fatores primos de 1008 são:
a) 1, 2, 3, 4, 7, 9
b) 1, 24, 32, 7
c) 2, 3, 7
d) 24, 32, 7
Matemática Básica Profa Paula Benevides
7
4) A fração equivalente a 16
9 que tem numerador 54 é:
a) 16
54
b) 96
54
c) 66
54
d) 116
54
e) n.d.a.
5) (PUC) – O valor da expressão 2
1
8
1
8
2 é:
a) 16
3
b) 16
5
c) 8
1
d) 4
3
e) n.d.a.
6) Efetuando-se 4
11
5
12
10
34
obtém-se:
a) 8
65
b) 5
15
c) 8
18
d) 5
13
e) 2
140
Matemática Básica Profa Paula Benevides
8
7) (FMU) - O valor de
2
11
5
1
3
2
4
3 é:
a) 120
17
b) 102
5
c) 12
10
d) 15
17
e) n.d.a.
8) Calculando-se 5
22222 encontra-se:
a) 17
11
b) 5
11
c) 17
21
d) 17
12
e) n.d.a.
9) (FMU) – Efetuando-se 10
6
3
51
6
13
tem-se:
a) 2
3
b) 6
27
c) 2
d) 12
5
e) 6
14
Matemática Básica Profa Paula Benevides
9
10) (PUC) – Uma firma gasta mensalmente 6.000 reais com material de escritório, 32
dessa quantia com serviços de terceiros e 41 dela com transporte. O gasto em reais
mensal em conjunto nesses três itens é:
a) 10.000 b) 11.500 c) 12.000 d) 15.000 e) 16.000
11) Se )]}24(31[28{24 x então o valor de x1 é igual a:
a) 0
b) 2
1
c) – 2
d) – 3
1
e) não existe
12) (BRASÍLIA) – A expressão
5
11
31
5
11
11
é equivalente a:
a) 2
3
b) 3
2
c) 3
1
d) n.d.a.
Matemática Básica Profa Paula Benevides
10
13) Resolvendo
9
7
3
42
4
3
3
2
2
1 temos resultado igual a:
a) 3
5
b) 3
1
c) 3
4
d) 3
2
e) 3
14) 3
4
3
2
5
1 é igual a:
a) 10
b) 10
1
c) 5
2
d) 2
10
e) n.d.a.
Gabarito
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 - c d c b b b b b e
1 b e a c c - - - - -
Matemática Básica Profa Paula Benevides
11
2. POTENCIAÇÃO
2.1 REGRA DE SINAIS:
25 =
( – 2 )4 = – 2 4 =
( – 2 )5 =
2.2 CASOS PARTICULARES:
30 =
110 =
2.3 PROPRIEDADES
Produto de potências de mesma base: mantém a base e somam-se os expoentes
53 22
32 xx
4523 yxyx
Divisão de potências de mesma base: mantém a base e subtrai-se os expoentes.
3
5
2
2
4
2
3
3
7
3
a
a
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12
Produto elevado a uma potência: eleva-se cada fator a essa potência.
2)2( x
5)3( xy
Potência elevada a outra potência: tem por expoente o produto dos expoentes.
32 )(x
252 ))((x
523 )2( yx
Potência de fração: eleva-se, separadamente, o numerador e o denominador à potência.
2
3
2
3
2
y
x
2
4
3
Potências de 10:
As potências de base 10 são formadas pelo algarismo 1 seguido de zeros da quantidade do número do expoente.
Se tivermos o expoente negativo, basta que coloquemos esse resultado no denominador de uma potência cujo numerador é o 1. Podemos ainda escrevê-lo na forma decimal, sendo que o número do expoente indica a quantidade de dígitos após a vírgula.
310
2102
230000
310
00012,0
Matemática Básica Profa Paula Benevides
13
Potências de ordem superior: Cuidado, potência de ordem superior é diferente de potência elevada a outra potência.
232
323
Potências de números decimais:
2)2,1(
2)13,0(
2)03,0(
2)003,0(
2)03,0(
3)2,0(
Quantas casas decimais terá 60)25,1( ?
2.4 EXERCÍCIOS DE SALA:
1) 32
2) 42
3) 2)5(
4) 3)5(
5) 322
6) 13 )2(
7) 1053 452)3(
8) 4103,2
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14
9) 4)02,0(
10) Achar a metade de 222
2.5 TESTES
1) 50 é igual a: a) 2 b) 5 c) 1 d) 0 e) n.d.a
2) 0820 )32( é igual a:
a) 528 b) 5 c) 6 d) 1 e) n.d.a
3) A expressão 0
62 3
4
12
é igual a:
a) 2 b) – 1 c) – 2 d) 3 e) ¼
4) 0,0038 pode ser representado por: a) 38 . 104 b) 3,8 . 10 –3 c) 38 . 10 – 5 d) 3,8 . 103 e) n.d.a
5) (23 . 34).(25 . 32) é igual a:
a) 815 3.2
b) 28. 36 c) 22 . 32 d) 614 e) n.d.a
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15
6) 3)5( é igual a:
a) 125 b) – 125 c) – 15 d) 15 e) n.d.a
7) 23
47
yx
yx é igual a:
a) x4y2 b) xy2 c) x10y6 d) xy e) n.d.a
8) (23)4.(24)3 é igual a: a) 224 b) 214 c) 2 d) 20 e) 2.(23)4
9) (x3y4)2 : [x (y2)3] vale: a) x4y b) x5y2 c) x3y2 d) x7y14 e) n.d.a
10) (PUC) - O valor de 4
3
10
10
é:
a) 10 – 7 b) 107 c) 10 –1 d) 101 e) n.d.a
11) 322 é igual a:
a) 26 b) 64 c) 28 d) 25 e) n.d.a
Matemática Básica Profa Paula Benevides
16
12) O valor de 0,025 dividido por 4102 é:
a) 12, 5 b) 1,25 c) 125 d) 0,125 e) n.d.a
13) (LONDRINA) – O valor da expressão
12
2
3
6
5
3
2
4
1
é:
a) 3
1
b) 9
4
c) 3
2
d) 2
3
e) 4
9
14) Simplificando )84()42( 2232 , obtém-se:
a) 54
1
b) 16
1
c) 8
3
d) 11
3
e) 5
17
15) ])3()2(2[ 346 é igual a:
a) 64 b) 32 c) 45 d) –21 e) n.d.a
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17
16) 30 2033 :)( aaa é igual a:
a) 7a
b) 7a
c) 8a
d) 8
1
a
e) 6a
17) (S.CARLOS) – A expressão 11
22
ba
ba é equivalente a:
a) ab
ba
22
b) )(
22
abab
ab
c) ba
11
d) ba
Questões abertas:
18) A expressão 18223 13:64 vale:
19) 3210 2223 x o valor de x é:
20)
2
2
15
1
5
1
3
55
vale:
Matemática Básica Profa Paula Benevides
18
21) (LONDRINA) – Se
233
2
3
3
1
3
11
x , então 27x é:
22)
4
4
3
2
2
1
27
125
3
12
vale:
23) Assinale cada questão com V ou F ( ) 0,0035 = 3,5 . 10 – 3
( ) (22)3 =28
( ) (0,2)3 = 0,008
( ) (0,2) – 3 =
8
103
( ) (-23)2 = 64
( ) 4
4
3 1x
xx
x
( ) 2 – 3 = 6
1
Gabarito
23) V – F – V – V – V – F – F
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 - C D B B B B A A B
1 B C C C E D A B 69 07
2 25 77 01
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19
3. RADICIAÇÃO
3.1 PROPRIEDADE DOS RADICAIS:
nnn baba n
n
n
b
a
b
a
n nn baba n mmn aa nnm m aa .
nmm n aa . q
p
q p aa
1) 364
2) 28
3) 33 39
4) 33
5) 12
6) 25
16
7) 12
18
8) 3
3
2
54
9) 35
10) 32 x
11) 2
7 3
12) 23 2
13) 2
2
14) 4 23
Matemática Básica Profa Paula Benevides
20
15) 6 35
16) 8 81
17) 4 25
18) 3 2
19) 3
20) 3 32
21) 22232
22) 2312
23) 2712
24) 5028182
25) 7
5
3 =
26) 3
27) 3 25
28) 2
3
5 =
29) 2
1
2 =
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21
3.2 RACIONALIZAÇÃO DE FRAÇÕES
Racionalizar um denominador irracional é fazer com que não tenha radical, nem
expoente fracionário.
Denominador monômio: y
yx
y
x Multiplica-se e divide-se por y ,
denominado fatora de racionalização.
Quando o índice é maior que 2: y
yx
p
xq pq
q p
, fator de racionalização :
q pqy
Denominador Binômio:
ba
baN
baba
baN
ba
N
2
Multiplica-se e divide-se pelo conjugado do denominador
1) 5
3
2)
x
x
3
1
3) 32
1
4) 5 3
1
x
5) 10 753
2
6) 4 35
3
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22
7) 632
1
8) 2211
1
9) 3223
5
3.3 EXERCÍCIOS DE SALA:
1) 21
3
=
2) x
x
5
3) 32
2 =
4) 3
2
5) 352
x
6) 5 32
5
7) 34 33
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23
3.4 TESTES:
Associar a cada uma das operações à direita um resultado da esquerda (01 a 05)
1) 24 3.2 a) 8
2) 62 b)
32
3) 28 c) 12
4) 9
4 d)
34
5) 25
16 e)
54
6) (FMU) – O valor da expressão 402 1652 é:
a) – 5 b) 5 c) 0
d) 4
3
e) 2
1
7) 4
81
625 é igual a:
a) 81
5
b) 3
625
c) 9
25
d) 3
5
e) 9
25
Matemática Básica Profa Paula Benevides
24
8) 832523 vale:
a) 25
b) 88
c) 22
d) 628
e) n.d.a
9) 44 555 é igual a:
a) 4 35
b) 12 25
c) 1 d) 5
e) 64 25
10) 2683 é igual a:
a) 212
b) 218 c) 36
d) 818
e) 72
11) (CEFET-PR) - 31
31
21
aaa
, a número real positivo, é o mesmo que:
a) 131
a
b) 161
a
c) a
a )1( 61
d) 131
a
12) 7 52 é equivalente a:
a) 57
2
b) 75
2
c) 122
d) 5 72
Matemática Básica Profa Paula Benevides
25
13) O valor de
1
3
3
a
aé:
a) 3 a
b) a
c) 6 a
d) 3
3a
14)
13 8
apode ser escrito:
a) 2
a
b) a
2
c) a
2
d) 2
a
15) 4 b
b
pode ser escrito:
a) 34
b
b) 43
b
c) 43
b
d) 34
b
16) xx
x
2
1
1
é igual a:
a) xx 21
b) xx 21
c) x
d) 1 e) n.d.a
Matemática Básica Profa Paula Benevides
26
17) 39
6
b
a pode ser escrito:
a) b
a
b) b
a2
c) 32ba
d) 1
18) Racionalizando 21
21
temos:
a) 322
b) 322
c) 21
d) 21
19) O valor de aaa 27121434 é:
a) a335
b) a3
c) a321
d) impossível
20) Efetuando-se 4 3 8x resulta:
a) 78
x
b) x
c) 83
x
d) 31
x
21) (CEFET-PR) – Calculando-se 4)21( , obtém-se:
a) 241 b) 9
c) 21217
d) 21712
e) 229
Matemática Básica Profa Paula Benevides
27
22) (SERGIPE) – O valor da expressão 97854 é:
a) 8
b) 73
c) 141
d) 316
23) Relacionado 35
2
temos:
a) 35
b) 35
c) 2
d) 8
24) Racionalizando 7 2
2 temos:
a) 32
b) 7 64
c) 2
27
d) 7 16
25) (LONDRINA) – O valor da expressão 1,05,2 10249 é:
a) – 83 b) – 81 c) 241 d) 243 e) 254
26) 432 equivale a:
a) 8 24
b) 4 24
c) 6 24
d) 3 192
Matemática Básica Profa Paula Benevides
28
Questões abertas:
27) O resultado de 363 24933 é:
28) (FEI) 11
32
2
11
=
29) O valor da expressão 223212
é igual a:
Gabarito
- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 - C A A B E D D C D
1 E B B C D B D C B C
2 D C B A B C B 1 0 2
Matemática Básica Profa Paula Benevides
29
4. FATORAÇÃO
4.1 FATOR COMUM
)( yxaayax
4.2 AGRUPAMENTO
))(( yxnmnynxmymx
4.3 DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
))((22 yxyxyx
4.4 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
222 )(2 bababa
e
222 )(2 bababa
4.4.1 Trinômio quadrado da forma cbxax 2
Supondo sejam 1x e 2x as raízes reais do trinômio )0(2 acbxax , então:
))(( 212 xxxxacbxax
4.5 PRINCIPAIS PRODUTOS NOTÁVEIS
a) 22))(( bababa
b) 222 2)())(( bababababa
c) 222 2)())(( bababababa
d) 32233 33)( babbaaba
e) 32233 33)( babbaaba
f) 3322 ))(( babababa
g) 3322 ))(( babababa
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30
Exemplos:
Fatorar ou simplificar as expressões abaixo:
1)
xx
xxx
3
122
23
2)
h
h 25)5( 2
3)
xx
x
2
42
2
4)
2012
652
2
xx
xx
5)
6
442
2
tt
tt
6)
y
y
y
y
11
11
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31
Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes:
7) )1025()25( 2 zz
8) 2)13()13( 22 xx
9) 2)13()22( 22 xx
10) )3()3)(3( yxxxx
11) )5(2)35()35( 22 aaa
12) 22 )4()5)(5()32( xxxx
Fatore cada uma das expressões algébricas:
13) 1212x
14) 254 2z
15) )2()2( xbxa
16) dzczbxx
17) xbxcxdcdbd
18) 169262 zz
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32
4.6 EXERCÍCIOS
1) Fatorar ou Simplificar:
a)
2
42
x
x
b)
45
232
2
xx
xx
c)
xx
xx2
3
d)
2
652
x
xx
e)
1
122
x
xx
f)
1
12x
x
g)
3
92
x
x
h)
6
342
2
xx
xx
i)
)3)(12(
)9)(43(2
22
xxx
xxx
j)
23
12
2
xx
x
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33
k)
t
t 16)4( 2
l)
43
562
2
xx
xx
m)
36
62y
y
n)
23
42
2
xx
x
o)
1
12
3
x
x
2) Simplififque as expressões:
a)
2
111
1
1
1
tt
tt
b)
xx
x
xx
x
2
4
3
92
2
2
2
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34
3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu conjugado e se possível simplifique.
a)
2
452
x
xx
b)
21
3
x
x
c) )31( x
d) )43( 2 xxx
e)
4
2
x
x
f)
t
t 5325
g)
1
1
h
h
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35
h)
4
)8(2 2
h
hh
i)
2
432
x
xx
j)
x
x 11
k) 11 22 xx
l)
21
3
x
x
m)
26
413
x
x
n)
t
abta2
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36
o)
x
x
51
53
4.7 TESTES
4) 3 2
2
35
2
é igual a:
a) 3 435
b) 3 235
c) 3 235
d) 3 435
e) 3 435
5) (FUVEST) Qual o valor da expressão 13
13
13
13
:
a) 3
b) 4 c) 3 d) 2
e) 2
6) (F.M. SANTA CASA – SP) A soma 1)12(3)12(3)12(1 23 xxx
equivale a:
a) 38x
b) 32x
c) 18 3 x
d) 2128 23 xx
e) 66128 23 xxx
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37
7) (F.G.V. – SP) A expressão 3
32322 E tem como valor:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 5
8) (UFGO) Simplificando 22
23 )(2)(
yx
xyyyx
temos:
a) yx
yx
2)(
b) 22yxyx
c) yx
d) yx
e) yx
yx
22
9) (F.G.V. – SP) Simplificando a expressão 6
223
)3(
)3()2(3)3)(2(2
x
xxxx,
obtêm-se:
a) 3)3(
)2(
x
xx
b) 3)3(
)2(
x
xx
c) 4)3(
)2(
x
xx
d) 4)3(
)2(
x
xx
e) 4)3(
)2(5
x
xx
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38
10) (MED – JUNDIAÍ) O valor numérico da expressão baabba 2233 33 para
3
3
2
23 a e
3
3
2
23 b é:
a) 293
b) 293
c) 8
d) 5.13
e) 32
Gabarito
1) Fatorar ou Simplificar:
a) 2x b) 4
2
x
x c) x1 d) 3x e) 1x f)
1
1
x g) 3x
h) 2
1
x
x i) 1x j)
2
1
x
x k) t8 l)
4
5
x
x m)
6
1
y n)
1
2
x
x
o) 1
12
x
xx
2) Simplifique as expressões; a) )1()1(
22
3
tt
t b)
x
x 52
3) Racionalize o numerador ou denominador ou ambos, multiplicando pelo seu conjugado e se possível simplifique.
a) )2)(1( xx b) )21( x c) 31
4
x
x d)
xxx
x
43
43
2
e) 2
1
x f)
5325
3
t g)
1
1
h h)
hh
h
)8(2
42
i) )2)(1( xx j) 11
1
x k)
121
2
2 xx
l) )21( x m) x
x
413
)26(4
n)
abta
b
2 o)
x
x
53
)51(1
4 5 6 7 8 9 10
A B C D C D E
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39
5. PÔLINÔMIOS
5.1 FUNÇÃO POLINOMIAL:
5.1.1 Definição:
Dados os números reais ,,,,,,121 onn
aaaaa
chamamos de polinômio na
variável x toda expressão da forma:
NnaxaxaxaxaxP nnn ,...)(01
2
2
11
0
Onde xaxaxaxa n
n
n
n 1
2
2
1
1,,,
e
0a são os termos e
121,,,, aaaa
nn
e
0a são
os coeficientes do polinômio.
Observações:
Se 0n
a , o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos nPgr )(
Se 0)( xP , não se define o grau do polinômio.
Exemplos:
1) Assinale as expressões que representam polinômios?
( ) 13 3 xx
( ) 311
xx
( ) 53 23 xx
( ) 735 xx
( ) xx 4
2) Em função das variáveis mk, ou a , determinar os graus dos seguintes
polinômio:
a. 73)( 2 xkxxP
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40
b. 46)( 23 xmxkxxP
c. xxaxaxP 3)1()1()( 232
5.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO:
É qualquer polinômio 01
2
2
11
0...)( axaxaxaxaxP nnn
em que todos
os coeficientes são nulos.
0,...,0,00)(11
aaaxP
nn e 0
0a
Notação: 0)( xP
5.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS:
Dados os polinômios 01
2
2
11
01...)( axaxaxaxaxP nnn
e
01
2
2
11
02...)( bxbxbxbxbxP nnn
, dizemos que )(1
xP é idêntico a )(2
xP se,
e somente se, 1111
,,, bababannnn
e
00ba .
Assim:
111121
,...,,)()( bababaxPxPnnnn
e 00
ba
Exemplos:
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41
1) Determinar a e b para que o polinômio abxaxaxP ).1().1()( 22 seja
identicamente nulo.
2) Determinar nm, e p para que pnxnmxnmxP ).1().3()( 2 seja
identicamente nulo.
3) Calcular os valores de m e n , de modo que )().(3 22 nmxxnmxx
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42
5.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:
O valor numérico do polinômio 01
2
2
11
01...)( axaxaxaxaxP nnn
, para
x igual a um número qualquer é: 01
2
2
1
1...)( aaaaaP n
n
n
n
.
Na prática, para obter )(P , basta substituir x por em )(xP .
Observações:
Quando 0)( P , é raiz de )(xP .
Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de 65)( 2 xxxP
Como nn ,1)1( , )1(P é a soma dos coeficientes de )(xP .
Exemplo: Se 14235)( 224 xxxxxP , então )1(P _______________ é a
soma dos coeficientes de )(xP .
)0(P é igual ao termo independente de )(xP .
Exemplo: Sendo caxaxaxxP 23)( e 7)0( P , determine a para que 1
seja raiz de )(xP .
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43
5.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:
5.5.1 Adição:
Dados os polinômios 01
2
2
11
0...)( axaxaxaxaxP nnn
e
01
2
2
11
0...)( bxbxbxbxbxQ nnn
, a soma de )(xP com )(xQ é dada por:
)()(...)()()()(0011
1
11baxbaxbaxbaxQxP n
nn
n
nn
5.5.2 Subtração:
Dados os polinômios 01
2
2
11
0...)( axaxaxaxaxP nnn
e
01
2
2
11
0...)( bxbxbxbxbxQ nnn
, a diferença entre )(xP e )(xQ é dada por:
)()(...)()()()(0011
1
11baxbaxbaxbaxQxP n
nn
n
nn
Observação:
Os polinômios )(xP e )(xQ não precisam ser necessariamente do mesmo grau.
Exemplos:
1) Dado os polinômios 873)( 23 xxxxP e 762)( 23 xxxxQ , determine
)(3)(2 xQxP
2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações:
( ) Se )(xP e )(xQ são polinômios de mesmo grau 5, então )()( xQxP tem sempre
grau 5.
( ) Se )(xP e )(xQ são polinômios de mesmo grau 3, então )()( xQxP e tem
sempre grau 3.
( ) Se )(xP tem grau 5 e )(xQ e tem grau 3, então )()( xQxP tem grau 5
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44
5.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:
O produto dos polinômios )(xP e )(xQ é o polinômio )().( xQxP , obtido
multiplicando-se cada termo de )(xP por todos os termos de )(xQ e efetuando a redução
dos termos semelhantes.
Exemplos:
1) Se 1)( 23 xxxxP e 1)( xxQ , então )().( xQxP
2) Dados 1)( 2 xxxP e baxxQ )( determine a e b para que
12)().( 23 xxxxQxP
3) Dados 1)( 3 xxP e baxxQ 2)( , determinar a e b, sendo 3)0().0( QP e
5)1( Q .
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45
5.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é
obter os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) | B(x) .
R(x) Q(x)
A(x) B(x).Q(x) + R(x) e R(x) 0 ou gr(R) < gr(B)
Observações:
A(x) é o dividendo B(x) é o divisor Q(x) é o quociente R(x) é o resto
Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B)
Exemplo:
Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de
43)( 23 xxxA por 1)( 2 xxB
5.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes
Já vimos que, na divisão A(x) por B(x):
A(x) | B(x) .
R(x) Q(x)
Temos:
)()(
)()()(
)()().()(
BgrRgr
BgrAgrQgr
xRxQxBxA
Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes
de um polinômio em uma divisão.
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46
Exemplos:
1) Determinar o quociente e o resto da divisão de 232)( 23 xxxxA por
1)( 2 xxxB
Temos:
O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:
)()()( BgrAgrQgr _________________________________
Logo:
Q(x) = _______________________________________________
Como )()( BgrRgr , sendo o divisor 1)( 2 xxxB , então )(Bgr _____ e
)(Rgr ____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________:
)(xR __________________________
Como )()()()( xRxQxBxA , podemos escrever:
Comparando ambos os membros, temos:
Logo:
)(xQ _____________________________ e )(xR ____________________
2) Determinar k , de modo que 33 kxx seja divisível por 1x
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47
3) Determinar k e m de modo que kxmxxx 234 3 seja divisível por xx 32
5.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau:
5.7.2.1 Teorema do Resto:
O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a):
P(x) = (x – a).Q(x) + R
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + R
P(a) R
5.7.2.2 Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0
P(x) = (x – a).Q(x) + 0
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + o
P(a) = 0
Exemplos:
1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de 43)( 23 kxxxxP por 2x
seja 10.
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48
2) Calcular a e b, de modo que os polinômios baxxxP 3)( 2 e
baxxxQ 2)( 3 sejam divisíveis por 1x
5.7.3 Divisão de )(xP por )( bax , 0a
Temos:
P(x) | ax + b
R Q(x)
Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante.
Fazendo a
bx em RxQbaxxP )().()( , vem:
Ra
bQb
a
ba
a
bP
Ra
bP
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49
Logo, o resto da divisão de )(xP por )( bax é
a
bPR
Exemplo:
Determinar k, de modo que 2)( 23 kxxxxP seja divisível por 12 x
5.7.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:
O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o
resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a)
Exemplos:
1) Obter o quociente e o resto da divisão de 327343)( 2345 xxxxxxP por
)1( x
Q(x)=____________________________ e R(x)=_____________________________
R (x)
Repetir o primeiro coeficiente
valor de a
Coeficiente de P(x)
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50
2) Determinar o quociente e o resto da divisão de 5252)( 34 xxxxP por )3( x .
Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos.
Q(x)=___________________________ e R(x) =________________________________
5.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS:
Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma:
0...01
2
2
1
1
axaxaxaxa n
n
n
n
Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial 0)( xP todo o número
tal que 0)( P .
5.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau:
Se 0)( xP é de grau n )1( n e tem raízes n
,...,,21
, então )(xP pode ser
decomposto em n fatores do 1o grau, sendo an (1
aan ) o fator em evidência:
))...()((...2101
2
2
1
1 nn
n
n
n
nxxxaaxaxaxaxa
5.8.2 Raízes Múltiplas:
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.
Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto
é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será
uma raiz tripla e assim sucessivamente.
Se o número for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado
raiz simples ou raiz de multiplicidade 1.
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51
Exemplos:
1) Determinar a multiplicidade das raízes 1, 2 e – 3 na equação
01244593224 23456 xxxxxx
5.8.3 Teorema das Raízes Racionais:
Dada a equação polinomial com coeficientes inteiros
0...01
2
2
1
1
axaxaxaxa n
n
n
n se o número racional
q
p(com Zp e
*Zq ,
p e q primos entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an
Exemplos:
1) Resolver a equação 064 23 xxx
Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________
Se p, é divisor de a0, então p {________________________________________}
Se q, é divisor de an, então q {________________________________________}
Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão q
p, logo:
q
p{ ______________________________________________________________ }
Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima.
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52
2) Resolver a equação 0615452 234 xxxx
Matemática Básica Profa Paula Benevides
53
5.9 EXERCÍCIOS
1) Calcule m R de modo que o polinômio 75).1().1()( 2243 xxmxmxP
seja do 1o grau em relação xa .
2) Determine m R, para que o polinômio 4).4().16()( 22 xmxmxP seja de
grau 2.
3) Calcule os valores de m, n e l para os quais
)23().25().12()( 23 lxnxmxP seja identicamente nulo.
4) Dados cxbxaxA ).1().1()( 2 e cbxaxxB 3)( 2 , calcule a, b e c para
que A(x) + B(x) 0
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54
5) Determine os valores de m, n e p, de modo que os polinômios abaixo sejam idênticos
nxpnmxxpxpnmxP )()1()()( 2341
mmxxpmxxP 25)72(2)( 232
6) Determine os valores de a, b, c e d para que o polinômio )()( 3 dxbcxa seja
idêntico ao polinômio 14156 23 xxx
7) Dado o polinômio 14)( 23 xxxxP , calcule:
a) )2(P
b) )0(
)1()1(
P
PP
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55
c)
2
12
)0(3
1
P
PP
8) Ache o polinômio )(xP do segundo grau em x, sabendo que admite 2 como raiz e
2)1( P e 4)3( P .
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56
9) Se 18313224512)( 23456 xxxxxxxP , então )15(P é igual a :
10) Dados os polinômios 32)( 231 nxmxxxP e 3)( 2
2 xxxP , se )(1 xP é
divisível por )(2 xP , então nm é igual a:
11) Dividindo um polinômio )(xP por )3( x , resulta um resto 7 e um quociente de
4x . Qual é )(xP ?
12) A divisão do polinômio )(xP por )( ax fornece quociente 1)( 23 xxxxQ e
resto 1)( aP . Sabendo-se que 15)0( P , o valor de a é:
Matemática Básica Profa Paula Benevides
57
13) Dados os polinômios mxxmxP 23)3()( 3 e
xmxmxmxQ )32()2()1()( 23 , determine )().( xQxP de modo que
1)( QPgr .
14) Sabendo-se que 43
105
14 2
xx
x
x
B
x
A, calcular A e B.
15) Se 64242
12
x
B
x
A
xx
x, então 2A + B é igual a:
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58
16) Efetue a decomposição da fração, em soma de frações com denominadores do 1o grau.
a) 65
132
xx
x
b) xxx
xx
23
416923
2
Matemática Básica Profa Paula Benevides
59
17) Um polinômio cbxaxxxP 23)( que satisfaz as condições: 0)1( P ;
0)()( xPxP , qualquer que seja x real. Qual o valor de )2(P ?
18) O resto da divisão do polinômio xxxxxxxP 392781243)( , por 1x é:
Matemática Básica Profa Paula Benevides
60
19) Dados os polinômios 5102)( 23 xxxxA , 44)( 3 xxxB , 3)( xxC e
2)( xxD , determine o valor de:
)(
)()(2)(
xC
xDxbxA
20) Determine o valor de a para que o resto da divisão do polinômio 12)( 3 xaxxP
por )3( x seja 4.
21) Qual é o número real que se deve adicionar a xxxxP 23 2)( , para se obter um
polinômio divisível por 3x ?
22) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:
a) 1325)( 234 xxxxxP por )2( x
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61
b) 12)( 23 xxxP por )1( x
c) 235)( 2 xxxP por )3( x
d) 154)( 45 xxxP por )1( x
e) 232)( 23 xxxxP por )12( x
f) 12)( 2 xxxP por )32( x
23) No esquema abaixo, foi aplicado o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule P(x):
3 a b c d e
2 - 1 1 - 2 1
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62
24) Resolver as equações algébricas abaixo:
a) 010132 23 xxx
b) 0183137 234 xxxx
c) 045 24 xx
d) 0122 23 xxx
e) 0313133 23 xxx
Matemática Básica Profa Paula Benevides
63
f) 08)2(10)4( 2 xxxx
g) xxx
xx
4
822
2
h) 06116 3456 xxxx
.
25) Determine todas as raízes da equação 0)( xP , sendo
629369)( 23
xxxxP . Sabe-se que é divisível por )3( x .
Matemática Básica Profa Paula Benevides
64
26) Uma raiz da equação 064 23 xxx é igual a soma das outras duas. As raízes dessa equação são:
27) Determine o produto das raízes da equação 06116 23 xxx
RESPOSTAS
1) 1m
2) 4m
3) 5
2;
2
1 nm e
2
3l
4) 2
1;
2
1 ba e 0c
5) 1m ; 2n e 3p
6) 1a , 3b , 2c e 2d
7) a) 329 b) - 10
c) 27
140
8) 2)( 2 xxxP
9) – 3 10) 8
11) 572 xx 12) 16
13) xxxxx 4342 2346
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65
14) A = 2 e B = 3
15) 2
3
16) 3
10
2
7)
xxa
2
4
1
32)
xxxb
17) 6)2( P
18) 6
19) 22 xx
20) 3
1
21) – 12
22) a) 443)( 23 xxxxQ e 11)( xR
b) 12)( 2 xxxQ e 0)( xR
c) 185)( xxQ e 56)( xR
d) 14)( 234 xxxxxQ e 0)( xR
e) xxxQ 22)( 2 e 2)( xR
f) 2
1)( xxQ e
4
1)( xR
23) 75472)( 234 xxxxxP
24) a) }2;1;5{
b) }3;2;1{
c) }2;1;2{
d) }1;2
1;1{
e) }3;1;3
1{
f) }2;2{
g) }2{
h) }3;2;1;0{
25)
3;3
2;
3
1
26) }1;3;2{
27) P = 6
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66
6. TRIGONOMETRIA
6.1 TRIGONOMETRIA BÁSICA
c
b
a adjacente cateto do medida
a oposto cateto do medida tg
a
c
hipotenusa da medida
a adjacente cateto do medida cos
a
b
hipotenusa da medida
a oposto cateto do medida sen
6.1.1 Tabelas
6.1.2 QUADRANTES
6.1.3 Relações Trigonométricas Fundamentais
x cotg 1 x cosecx tg 1 x sec
sen x
1 x cosec
xcos
1 x sec
xtg
1 x cotg
xcos
sen x x tg
1 cos sen
2222
22
xx
rad6
= 30°
rad4
= 45°
rad3
= 60°
rad2
= 90°
rad = 180°
30° 45° 60°
sen 21
22
23
cos 2
3 2
2 21
tg 3
3 1 3
0° 90° 180° 270° 360°
sen 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0 ∄ 0 ∄ 0
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67
6.2 EXERCICIOS DE SALA
1) Dado o triângulo retângulo da figura, calcule: a) sen
b) cos
c) tg
d) sen
e) cos
f) tg
2) Calcule a medida de x no triângulo
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68
3) Calcule a medida de x no triângulo
4) Calcule a medida de x no triângulo
5) Sabendo que 5
4cos calcule a medida de x
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69
6) Sabendo que 0,2senx e x 2°Q determine:
a) xcos b) tgx
c) xsec d) cosec x =
e) cotg x
7) Complete a tabela:
Graus
40 120 135 150 180 210
Radianos
5
10
3 3
5 12
3
20
Quadrante
1°
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70
8) Calcule o valor da expressão:
3cos.
6cos
3
sen . 4
sen y
9) Calcule o valor da expressão:
3cot.
6tg
3
cos . 4
sen y
g
10) Calcule o valor da expressão:
3sec.
6tg
3
sen y
11) Calcule o valor da expressão:
6sec.
6cosec
3
cotg . 4
tg3 y
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71
12) Provar a identidade xsenxx 442 cos12cos
13) Provar a identidade xtgxsenx cos.cotgx-1
cossecx - x sec
14) Provar a identidade xxsenxx cos.cotcsc
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72
15) Provar a identidade 12cos 244 xsenxsenx
16) tgbtgaba
tgbtga.
cotcot
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73
6.3 OPERAÇÃO COM ARCOS
6.3.1 Adição e Subtração:
senb.cosa-sena.cosbb)sen(a
cos.cos.b)sen(a
asenbbsena
sena.senbcosa.cosbb)-cos(a
sena.senb-cosa.cosbb)cos(a
tga.tgb1
tgb-tgab)-tg(a
.1b)tg(a
tgbtga
tgbtga
6.3.2 Arco Duplo
atg
tga
asena
2
22
1
2tg2a
coscos2a
2sena.cosasen2a
6.3.3 Arco Metade
cos1
cos1
2
atg
2
cos1
2
acos
2
cos1
2
asen
a
a
a
a
6.3.4 Transformação em produto
2
.2
qp-2sencosq-cosp
2cos.
2
qp2coscosqcosp
2
cos.2
q-p2sensenq-senp
2cos.
2
qp2sensenqsenp
qpsen
qp
qp
qp
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74
Gabarito: Exercício 1:
a) 0,8 b) 0,6 c) 1,33 d) 0,6 e) 0,8 f) 0,75
2) 310x
3) )13(5 x
4) 6x
5) 6,3x
Exercício 6:
a) 5
62
b) 12
6
c) 12
65
d) 5
e) 62
8) 2
9) 4
23
10) 4
3
11) 4
3
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75
7. LOGARITMOS
7.1 LOGARITMO DECIMAL ( BASE 10 ) :
nn 10loglog
Quando a base não estiver escrita, subentende-se que a base vale 10
7.2 LOGARITMO NEPERIANO ( BASE E ) :
) irracional número ( 2,71828 e
Nlog Nln e
7.3 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO:
7.4 PROPRIEDADES:
Mlog a
1 Mlog Mlog
Mlog a Mlog
)N
M(log Nlog Mlog
(MN)log Nlog Mlog
ba
1
ba
b
ba
b
bbb
bbb
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76
7.5 MUDANÇA DA BASE A PARA A BASE B :
a log
log log
b
b NNa
7.6 EXERCÍCIOS DE SALA
1) Aplicando a definição, resolva as equações :
a) 2187log3x
b) 000000001,0logx
c) 001,0logln 2 ex
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77
d) e
x1
ln1024log 2
e) 125log625
1log 55 x
f) 16log64
1log
2
4
1 x
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78
g) )001,0(loglog)9(loglog 334 x
h) 2ln15log32log3 23 23
ex
2) Resolva as equações sabendo que 301,02log
a) 02,010 x
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79
b) 52 1 x
c) 5log2 x
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80
d) 1,05 12 x
e) 20010 1 x
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81
f) 14log2
1
x
g) 12,0log.5
2log 3 x
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82
h) 22
1log
8
1log x
3) Resolver as equações :
a) 2log 2 x
b) 3)2(log 32 x
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83
c) 3)2(log 32 x
d) 18log 2 x
e) 18log 8 x
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84
f) 1loglog 42 xx
4) Calcule o valor de )82(log 22 xxy quando:
a) 0x
b) 2x
c) 4x
d) 4x
5) Calcule : 5
7663
5432 49log1log1log525log4log3log8log
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85
6) Calcule : 4
1log
1 2
210logln e
7) Resolva a equação 2loglog 333 xx
8) Resolva a equação 2
54loglog 4 xx
Matemática Básica Profa Paula Benevides
86
9) Resolva a equação xx 22 loglog
10) Resolva a equação 3log3log
32
xx xx
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87
Gabarito: Exercício 1:
a) 7x
b) 9x
c) 5x
d) 2
21x
e) 1x
f) 5x
g) impossívelx
h) 10
5524 ex
Exercício 2:
a) 699,1x
b) 322,1x
c) 699,2x
d) 215,0x
e) 301,3x
f) 796,1x
g) 146,5x
h) 699,1x
Exercício 3:
a) 10
1x
b) 0x
c) 2
3x
d) 6x
e) 8
63x
f) 4x
Exercício 4:
a) Impossível
b) Impossível
c) Impossível
d) 4
5) 30
7
6) 4
5
7) 3
1x
8) 216 xex
9) 100x
10) 3
13 xex