A EXPERIÊNCIA EM UMA EMPRESA METALÚRGICA DE ATIVIDADES PESADAS
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1 Introdução
As chapas de concreto armado são elementos estruturais de suma importância nas
construções pesadas, onde aparecem nas obras do metrô, usinas hidrelétricas e
termelétricas, usinas nucleares, pisos de plataformas offshore. Estas obras são
importantes, devido à carência dos sistemas de transportes de massa de elevada
eficiência e baixo impacto no sistema viário, como o metrô e, dada a estagnação do
sistema energético no Brasil, onde o risco de blecautes é iminente, havendo a
necessidade da construção de novas usinas; a procura pelo petróleo no fundo dos
mares é cada vez mais freqüente, o que implica na construção das plataformas
offshore em águas cada vez mais profundas. Infelizmente, a literatura sobre as
chapas de concreto armado no Brasil é muito escassa, apesar da sua posição de
destaque nas principais obras de infra-estrutura.
Dentre os vários métodos analíticos que abordam as chapas de concreto armado,
existem dois que são principais: o Método de Baumann e o Modified Compression
Field Theory.
Este trabalho tem como principais objetivos:
Mostrar que o Método de Baumann com algumas implementações, leva a
resultados a favor da segurança, quando comparados com o MCFT e que, a
sua utilização é mais atraente, dada a sua simplicidade;
Desmistificar o MCFT, cuja literatura existente é muito obscura, mostrando a
dedução da sua formulação, bem como suas aplicações práticas, utilizando-
se planilhas do Excel;
Apresentar formulações para a aplicação de armaduras de compressão
utilizando-se o Método de Baumann, uma vez que a literatura existente é
muito pobre;
No capítulo 2 são apresentadas as deduções das expressões analíticas do Método
de Baumann e do MCFT, onde no primeiro incorpora-se a curva tensão-deformação
do concreto armado fissurado proposta por Michael P. Collins e Frank J. Vecchio,
que são os autores do Modified Compression Field Theory. No capítulo 3 são feitas
comparações entre as formulações analíticas de ambos os métodos, com os
resultados de modelos físicos ensaiados.
2
Posteriormente são efetuadas comparações de modelos hipotéticos com os dois
métodos, implementando-se no Método de Baumann a curva tensão-deformação do
concreto da norma NBR 6118:2003 com a adição da função de amolecimento do
concreto proposta por Collins e Vecchio, visando à obediência ao critério de
resistência do concreto da norma brasileira. Os capítulos 4 e 5 abordam a utilização
de armaduras de compressão, enquanto que os capítulos 6 e 7 apresentam a
discussão dos resultados e as conclusões do presente trabalho.
As chapas de concreto armado são estruturas laminares planas, com carregamento
no próprio plano e estão presentes nas construções pesadas, podendo-se citar além
dos exemplos mencionados anteriormente, as almas das vigas de concreto armado,
as paredes estruturais de edificações, conforme mostrado nas figuras 1.1 e 1.2.
Figura 1.1 – viga de concreto armado (Fonte: ACI Structural Journal /July-August 2006, p.614)
Além do comportamento de placa, este está também presente nas cascas, podendo
ser identificado como comportamento de membrana.
3
Figura 1.2 – estruturas laminares onde está presente o comportamento de membrana
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.219)
As tensões que atuam nas chapas são as duas tensões normais σx e σy e a tensão
tangencial τxy, e as respectivas deformações εx, εy e γxy, obtidas a partir de soluções
da Teoria da Elasticidade, utilizando-se por exemplo o Método dos Elementos
Finitos.
É possível considerar-se a não linearidade física do concreto com o auxílio de
programas baseados no Método dos Elementos Finitos, tais como o Vector e o
Diana.
Define-se como elemento de chapa um trecho na qual as tensões são uniformes, ou
seja, não variam ao longo da sua extensão, conforme figuras 1.3 e 1.4.
4
Figura 1.3 – elemento de concreto armado fissurado
(Fonte: ACI Structural Journal /January-February 1989, p.27)
Figura 1.4 – círculo de Mohr das deformações médias (entre fissuras)
(Fonte: ACI Structural Journal /January-February 1989, p.27)
Ao se aplicar um carregamento de forma gradual numa chapa de concreto armado,
inicialmente não ocorre fissuração, pois a tensão principal no concreto não excede a
sua resistência à tração. Quando o carregamento atinge um determinado estágio,
onde a resistência à tração no concreto é ultrapassada, aparecem as fissuras e as
armaduras ficam mais solicitadas. A direção das fissuras é aproximadamente
perpendicular à direção da tensão principal de tração. À medida que o carregamento
é aumentado surgem novas fissuras, as inicialmente formadas tornam-se menos
proeminentes e a direção das fissuras pode ser alterada. O carregamento é
aumentado até que a chapa entra em colapso, quando ocorre a ruptura do concreto
5
e/ou a deformação plástica excessiva das armaduras, caracterizando o Estado
Limite Último, conforme mostrado na figura 1.5.
Conforme recomendação do CEB-FIP Model Code 1990 página 189, a situação
desejada para o projeto é que se atinja o ELU com ambas as armaduras
escoadas, e com a tensão de compressão no concreto abaixo da sua resistência.
Quando uma das duas armaduras não é necessária, o ELU deve ser atingido com o
escoamento da armadura de tração.
Figura 1.5 – chapa de concreto após ruptura
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.227)
6
2 Dimensionamento de elementos de chapa
A melhor posição da armadura é aquela em que as barras são dispostas
paralelamente à direção das tensões principais de tração, uma vez que elas
interceptam as fissuras perpendicularmente e absorvem diretamente os esforços de
tração do concreto.
Entretanto no caso das chapas de concreto armado, dificilmente as armaduras
coincidem com as direções das tensões principais, o que torna o seu
dimensionamento não tão óbvio.
2.1 Método de Baumann
2.1.1 Hipóteses básicas
As hipóteses de cálculo segundo Leonhardt e Monnig (1978) são:
a) as fissuras são paralelas, aproximadamente retilíneas e com espaçamento
constante.
b) é desprezada a resistência à tração no concreto.
c) não se considera a resistência ao cisalhamento nas fissuras devido ao
engrenamento dos agregados.
d) despreza-se a resistência ao cisalhamento nas fissuras devido ao efeito de
pino das armaduras.
e) as armaduras estão em regime elástico.
7
2.1.2 Equilíbrio
Considerando-se um elemento de chapa com uma armadura em malha ortogonal
localizada no seu plano médio, submetido a um carregamento por unidade de
comprimento, constituído por duas cargas longitudinais nx e ny, paralelas aos eixos x
e y respectivamente, e carga transversal nxy, conforme ilustra a figura 2.1, efetuando-
se o equilíbrio das forças do trecho do elemento de chapa hachurado, conforme
ilustra a figura 2.2 e fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a
zero vem:
Figura 2.1 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido a carregamento de tração e
cisalhamento
8
Figura 2.2 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras, com as
forças envolvidas
0cos..cos. =−+ θθθ sxxyx nsennn
coscos θθθ .senn.n.n syxsx +=
θ.tgnnn xyxsx += (2.1)
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo y igual a zero vem:
0cos =−+ θθθ .senn.n.senn syxyy
.n.senn.senn xyysy θθθ cos+=
θg.nnn xyysy cot+= (2.2)
Considerando-se agora o equilíbrio do trecho do elemento de chapa perpendicular à
direção das fissuras, conforme ilustram as figuras 2.3 e 2.4.
9
Figura 2.3 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido ao carregamento de tração e
cisalhamento
Figura 2.4 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção das fissuras, com
as forças envolvidas
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a zero vem:
0.1..cos.. =−++− θθθθ sennsennnsenn csxxyx
θθθθ sennnsennsenn sxxyxc .cos... ++−=
sxxyxc ngnnn ++−= θcot.
Substituindo-se θ.tgnnn xyxsx += (2.1) na expressão anterior vem:
θθ .tgnngnnn xyxxyxc +++−= cot.
θθ .tgngnn xyxyc ++= cot.
10
][ θθ gtgnn xyc cot. += (2.3)
Pela figura nc foi tomado >0 quando de compressão
hnc
c =σ (2.4)
2.1.3 Compatibilidade das deformações
Figura 2.5 – deformada do trecho do elemento de chapa com uma face paralela às fissuras
Da figura 2.5 segue-se:
A’C’2 = A’D2 + DC’2 → DC’2 = A’C’2 - A’D2
B’C’2 = DC’2 + DB’2 → DC’2 = B’C’2 - B’D2
Portanto A’C’2 - A’D2 = B’C’2 - B’D2
( ) ( ) ( ) ( )24222422 1.1.1.cos1.cos csxcsy sensen εθεθεθεθ −−+=−−+
( ) ( ) ( )( )24
222422
21.
21.21.cos21.cos
cc
sxsxccsysy
sen
sen
εεθ
εεθεεθεεθ
+−−
−++=+−−++
Desprezando os termos ε2 em comparação com os termos ε vem:
11
( ) ( ) ( ) ( )csxcsy sensen εθεθεθεθ 21.21.21.cos21.cos 4242 −−+=−−+
θεθθεθθεθθεθ 44224422 .2.2cos.2coscos.2cos sensensensen csxcsy +−+=+−+
θεθεθεθθθθθε 44244222 cos.2.2.2coscoscos.2 ccsxsy sensensensen −++−+−=
Dividindo-se ambos os lados da equação por cos2θ vem:
θεθθεθεθθθθε 22222222 cos.2..2.2.cos12 ccsxsy tgsentgtgsentg −++−+−=
( ) θεθθεθεθθθε 2222222 cos.2..2.21cos1.2 ccsxsy tgsentgsentg −++−+−=
θεθθεθεθθθε 2222222 cos.2..2.21coscos.2 ccsxsy tgsentgtg −++−+=
θεθθεθεθθε 222222 cos.2..2.21cos2 ccsxsy tgsentgsen −++−+=
θεθθεθεε 2222 cos.2..2.22 ccsxsy tgsentg −+=
θεθθεθεε 2222 cos.... ccsxsy tgsentg −+=
( ) θεθθεθεε 2222 cos..cos1.. ccsxsy tgtg −−+=
θεθεθεθεε 2222 cos.... cccsxsy sentgtg −−+=
( )θθεθεθεε 2222 cos... +−+= sentgtg ccsxsy
ccsxsy tgtg εθεθεε −+= 22 ..
sx
c
sx
c
sx
sy tgtgεε
θεε
θεε
−+= 22 .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= θ
εε
εε
θεε 22 cot.1. gtg
sx
c
sx
c
sx
sy
( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= θ
εε
θε
)ε 22 cot1.1. gtgsx
c
sx
sy (2.5)
O dimensionamento econômico implica que para se ter o máximo aproveitamento
das armaduras, ambas devem estar escoadas e, portanto, a expressão (2.5) resulta:
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= θ
εε
θ 22 cot1.1.1 gtgsx
c
12
Observa-se que a expressão anterior é atendida para θ = 45°, ficando independente
da relação sx
c
εε
, não importando como o concreto e armadura se deformam.
Uma outra conseqüência da utilização do ângulo θ = 45° é que se obtém o menor
esforço de compressão no concreto a partir da expressão [ ]θθ gtgnn xyc cot. +=
(2.3).
13
2.1.4 Análise das deformações principais - Círculo de Mohr
Tomando-se um elemento de chapa de concreto armado submetido ao
carregamento conforme ilustra a figura 2.6, observa-se que a deformada do mesmo
ocorre conforme mostrado na figura 2.7. Seja εx a deformação longitudinal paralela
ao eixo x , εy a deformação longitudinal paralela ao eixo y, γxy a distorção no plano
xy, ε1 e ε2 as deformações longitudinais principais, conforme ilustra a figura 2.8.
Figura 2.6 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido ao carregamento
de tração e cisalhamento
Figura 2.7 – deformada do elemento de chapa
14
Figura 2.8 – elemento de chapa fissurado com as deformações longitudinais paralelas aos eixos x e
y e, as principais
As deformações podem ser representadas pelo Círculo de Mohr, conforme
demonstrado por Timoshenko e Goodier (1970, p.24).
Representa-se as deformações longitudinais εx e εy no eixo horizontal e a metade da
distorção γxy/2 no eixo vertical, conforme a figura 2.9:
Figura 2.9 – círculo de Mohr das deformações
Os valores de εx e εy são positivos para deformações de tração e negativos para as
de compressão; o valor de γxy/2 é positivo quando a tensão de cisalhamento gira o
15
plano de corte no sentido horário e negativo, quando gira no sentido anti-horário,
conforme ilustra a figura 2.10.
Figura 2.10 – convenção do sinal da metade da distorção do trecho do elemento de chapa
θ é positivo quando o ângulo entre o eixo vertical y e a direção de ε2 girar no sentido
anti-horário, e é negativo quando girar no sentido horário, conforme ilustra a figura
2.11.
Figura 2.11 – convenção do sinal do ângulo entre o eixo vertical y e a direção de ε2 do trecho do
elemento de chapa
Da figura 2.9 vem:
2
2εε
γ
θ−
−=x
xy
tg (2.6)
( 2.2
εεθ )γ−−= x
xy tg (2.7)
yx
xy
yx
xy
tgεε
γεε
γ
θ−
−=−
−=
2
22 (2.8)
16
2.2
2yxxy tg
εεθ
γ −−= (2.9)
Troca-se o sinal de 2xyγ
no plano onde ocorre yε .
( ) 22
1 242 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
+= xyyxyx γεεεε
ε (2.10)
( ) 22
2 242 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−−
+= xyyxyx γεεεε
ε (2.11)
ou
θεεεε
ε2cos.221
yxyx −+
+= (2.12)
θεεεε
ε2cos.222
yxyx −−
+= (2.13)
Somando-se as duas expressões acima vem:
yx εεεε +=+ 21 (2.14)
Da expressão (2.14) 12 εεεε −+=→ yx (2.15)
Substituindo-se ε2 na expressão (2.7) vem:
( )[ ]1.2
εεεεθγ
−+−−= yxxxy tg
( yxy tg εεθ )γ
−−= 1.2
(2.16)
θεεεεε 2cos.22
2121 −+
+=x (2.17)
θεεεεε 2cos.22
2121 −−
+=y (2.18)
Analisando-se as deformações principais para o caso onde ambas as armaduras
estão escoadas, assumindo-se inicialmente que ambas as deformações εx e εy
sejam iguais a εo, onde εo é a deformação de escoamento da armadura,
17
considerando-se εx=εy=εo=2‰ e a deformação ε2 = -1‰, conforme ilustra a figura
2.12 e, substituindo-se os valores na expressão (2.14) vem:
‰2‰2‰11 +=−ε
‰51 =ε
Para a determinação do ângulo θ utiliza-se a expressão (2.8):
0‰2‰22 xyxytg
γγθ −=
−−=
°= 902θ
°= 45θ
Figura 2.12 – círculo de Mohr das deformações com deformação imposta ε0=εx=εy
Aumentando-se a deformação εx, mantendo-se εy=εo=2‰ e ε2 = -1‰, conforme
ilustra a figura 2.13, substituindo-se εy e ε2 na expressão (2.14) e adotando-se θ=30°
para a determinação de εx vem:
‰2‰11 +=− xεε
‰31 += xεε
Substituindo-se na expressão (2.12):
°−
++
=+60cos.2‰2
2‰2‰3 xx
xεε
ε
18
‰22
‰2‰3 −++
=+ xx
x εε
ε
( ) ( ‰2.2‰2‰3.2 −+ )+=+ xxx εεε
‰4.2‰2‰6.2 −++=+ xxx εεε
‰8=xε
‰11‰3‰8‰31 =+=+= xεε
Figura 2.13 – círculo de Mohr das deformações com deformação imposta ε0<εx
Aumentando-se ainda mais a deformação εx, mantendo-se εy=εo=2‰ e ε2 = -1‰,
substituindo-se εy e ε2 na expressão (2.14) e adotando-se θ=20° para a
determinação de εx vem:
‰2‰11 +=− xεε
‰31 += xεε
Substituindo-se na expressão (2.12):
°−
++
=+40cos.2‰2
2‰2‰3 xx
xεε
ε
( ) ( ) ‰240cos‰240cos‰32 −+°+=°+ xxx ε.ε.ε.
‰240cos.‰2.40cos40cos.‰6.40cos.2 −+°+°=°+° xxx εεε
19
‰240cos.‰4.40cos −°−=−° xx εε
( ) ‰240cos.‰4.140cos −°−=−° xε
140cos‰240cos.‰4
−°−°−
=xε
‰65,21=xε
‰65,24‰3‰65,21‰31 =+=+= xεε
Para ângulos θ maiores do que 45° o raciocínio é análogo, porém, mantém-se
εx=εo=2‰ e ε2 = -1‰ e aumenta-se a deformação εy, conforme ilustra a figura 2.14.
Figura 2.14 – círculo de Mohr das deformações com deformação imposta ε0<εy
Representando-se os valores num gráfico, onde o eixo vertical contém a relação
ε1/εo e o eixo horizontal o ângulo θ vem:
20
0
2
4
6
8
10
12
14
0 20 40 60 8
θ (°)
ε1/ε
0
0
Figura 2.15 – gráfico ε1/εo em função de θ
Observa-se prontamente da figura 2.15 que, para os casos onde ambas as
armaduras estão tracionadas e atingiram o patamar de escoamento, a menor
deformação principal de tração ε1 ocorre para θ=45°, quando as deformações εx e εy
são iguais a εo.
2.1.5 Equações simplificadas
Substituindo-se portanto θ = 45° nas equações (2.1), (2.2) e (2.3) vem:
xyxsx nnn += (2.19)
xyxsy nnn += (2.20)
xyc nn .2= (2.21)
21
Para valores negativos de nxy, o ângulo θ é negativo conforme ilustra a figura 2.16 e,
substituindo-se θ=-45° e nxy com o sinal negativo nas equações (2.1), (2.2) e (2.3)
chega-se às mesmas expressões anteriores.
Figura 2.16 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido ao carregamento
de tração e cisalhamento com nxy < 0
Portanto as expressões (2.19) a (2.21) independem do sinal de nxy e obtém-se as
seguintes expressões simplificadas:
xyxsx nnn += (2.22)
xyysy nnn += (2.23)
xyc nn .2= (2.24)
2.1.6 Equações constitutivas
2.1.6.1 Aço
dyxssx fE ≤= εσ . (2.25)
dyyssy fE ≤= εσ . (2.26)
22
2.1.6.2 Concreto
Para a relação tensão versus deformação do concreto fissurado, será utilizada a
formulação proposta por Frank J. Vecchio e Michael P. Collins, oriunda do ensaio de
30 painéis de concreto armado, submetidos a diversos carregamentos no próprio
plano, uniformemente distribuídos de cisalhamento e força normal. Foi observado
que o concreto fissurado, submetido a altas deformações de tração na direção
normal à de compressão, é mais mole e fraco do que o concreto no ensaio padrão
do cilindro, conforme ilustra a figura 2.17.
A tensão principal de compressão no concreto f2, segundo Vecchio e Collins (1986,
p.224), foi observada como uma função das duas deformações principais: a
deformação principal de compressão ε2 e a deformação principal de tração ε1.
A relação sugerida é
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
222
max22 ''.2.
cc
ffεε
εε
(2.27)
onde cc
cxma fff '
'.34,08,0'
12 ≤
−=
εε (2.28)
A representação gráfica da expressão (2.27) é mostrada na figura 2.19.
ε’c é a deformação na qual o concreto num ensaio de cilindro alcança a tensão de
pico f’c.
Deve-se observar que, como ε’c é um valor negativo, usualmente –2‰, o acréscimo
de ε1 irá reduzir f2max, conforme ilustra a figura 2.18.
Substituindo-se ε’c por -0,002 na expressão (2.28), vem:
cc
xma fff '002,0.34,08,0
'
12 ≤
−−=
ε
cc
xma fff '.1708,0
'
12 ≤
+=
ε (2.29)
23
Figura 2.17 – relação tensão-deformação para o concreto fissurado na compressão
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.225)
Figura 2.18 – relação para a máxima tensão de compressão
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.225)
24
Figura 2.19 – correlação dos dados do teste para o concreto fissurado na compressão
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.225)
Figura 2.20 – representação tridimensional da relação tensão-deformação da compressão
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.225)
Uma vez conhecidas as deformações principais ε1 e ε2, existe apenas um único valor
da tensão no concreto f2, que na ruptura deve ser igual a σc, conforme pode ser
facilmente observado no gráfico f2 em função de ε1 e ε2, ilustrado na figura 2.20. A
25
inversa não é verdadeira, pois conhecida a tensão no concreto σc , que na ruptura
deve ser igual a f2, existem infinitos pares de valores ε1 e ε2, que satisfazem às
equações constitutivas do concreto. Desta forma o cálculo das deformações deve se
iterativo, conforme será exposto no item 3.1.
Para as aplicações no dimensionamento neste trabalho, o valor de f’c será
substituído por 0,85fcd.
2.1.7 Dimensionamento
2.1.7.1 Armaduras
sx
sxsx
na
σ= (2.30)
sy
sysy
na
σ= (2.31)
Como critério de armadura mínima pode-se utilizar a armadura de pele da norma
NBR 6118:2003, onde a mínima armadura lateral em cada face deve ser 0,10% da
seção de concreto e composta por barras de alta aderência com espaçamento
máximo de 20cm.
2.1.7.2 Concreto
A verificação da tensão no concreto será feita pela seguinte expressão:
max2fhnc
c ≤=σ (2.4)
Nas aplicações esse limite f2max foi comparado com o valor de fcd1 proposto pelo CEB
para o concreto não fissurado
26
cdck
cd fff .250
1.85,01 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −= (2.32)
(Nas chapas poderia ser 0,85fcd, uma vez que a distribuição de σc é uniforme em h, o
que nas cascas não é verdade)
O limite f2max foi comparado com o valor de fcd2 proposto pelo CEB para o concreto
fissurado
cdck
cd fff .250
1.60,02 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −= (2.33)
2.1.8 Casos de dimensionamento
2.1.8.1 Caso I) Ambas armaduras tracionadas
Aplicam-se as expressões (2.1) a (2.3)
2.1.8.2 Caso II) nx < 0 e │nx│ > │nxy│ → nsx = 0
Figura 2.21 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras, com as
forças envolvidas, quando não é necessária armadura paralela ao eixo x
Substituindo-se nsx=0 na equação (2.1) vem:
θ.tgnn xyx +=0
27
xxy ntgn −=θ.
xy
x
nntg −=θ (2.34)
Substituindo-se tgθ na equação (2.2) vem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
x
xyxyysy n
n.nnn
x
xyysy n
nnn
2
−= (2.35)
Substituindo-se tgθ na equação (2.3) segue:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+
−=
x
xy
xy
xxyc n
nnnnn .
x
xyxc n
nnn
2
−−= (2.36)
2.1.8.3 Caso III) ny < 0 e │ny│ > │nxy│ → nsy = 0
Figura 2.22 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras, com as
forças envolvidas, quando não é necessária armadura paralela ao eixo y
Substituindo-se nsy=0 na equação (2.2) vem:
θg.nn xyy cot0 +=
yxy ng.n −=θcot
28
xy
y
nn
g −=θcot (2.37)
Substituindo-se cotgθ na equação (2.1) segue:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=
y
xyxyxsx n
n.nnn
y
xyxsx n
nnn
2
−= (2.38)
Substituindo-se cotgθ na equação (2.3) vem:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
xy
y
y
xyxyc n
nnn
nn .
y
xyyc n
nnn
2
−−= (2.39)
2.1.8.4 Caso IV) nx < 0 , ny < 0 e nx.ny ≥ nxy2
Figura 2.23 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção das fissuras, com
as forças envolvidas, quando não é necessária nenhuma armadura
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a zero vem:
0.cos..1. =−+− θθθ sennnsenn xxyc
29
0cos.
=+− xxy
c nsen
nn
θθ
xxyc ngnn −= θcot.
xcxy nngn +=θcot.
xy
xc
nnng +
=θcot (2.40)
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo y igual a zero vem:
0.cos.cos.1. =−+ θθθ sennnn xyyc
0cos
.=−+
θθsenn
nn xyyc
θtgnnn xyyc .+−=
xc
xyxyyc nn
nnnn
++−= .
xc
xyyc nn
nnn
++−=
2
( ) ( ) 2.. xyyxccxc nnnnnnn ++−=+
22 ... xyyxcycxc nnnnnnnn +−−=+
0... 22 =−+++ xyyxcycxc nnnnnnnn
( ) 0.. 22 =−+++ xyyxyxcc nnnnnnn
( ) ( )22 ..4 xyyxyx nnnnn −−+=∆
222 .4..4..2 xyyxyyxx nnnnnnn +−++=∆
222 .4..2 xyyyxx nnnnn ++−=∆
( ) 22 .4 xyyx nnn +−=∆
( ) ( )2
.4 22xyyxyx
c
nnnnnn
+−±+−=
( ) 22
42 xyyxyx
c nnnnn
n +−
±+
−= (2.41)
30
2.2 Modified Compression Field Theory (MCFT)
Fazer a previsão da resposta de um elemento de chapa de concreto armado não é
tão fácil como pode aparentar; ao sofrer um determinado carregamento, novas
fissuras podem surgir, as pré-existentes podem se propagar ou fechar, e os esforços
serão resistidos por um sistema estrutural composto por peças do concreto unidas
pelas armaduras. As tensões nas barras das armaduras sofrerão variações ao longo
do seu comprimento e serão maiores junto às fissuras. As peças de concreto serão
circundadas pelas fissuras capazes de transmitir cisalhamento na região das
mesmas, mas sem capacidade de transmitir tração; entretanto tensões de tração
poderão existir entre as fissuras, conforme foi constatado por Vecchio e Collins
(1986, p.219).
Contrariando as hipóteses de Baumann, as quais desprezam a tensão de
cisalhamento e tração no concreto bem como o cisalhamento nas armaduras, no
MCFT é considerada entre duas fissuras consecutivas, uma tensão de tração no
concreto denominada f1, enquanto que na fissura é levada em conta uma tensão de
cisalhamento no concreto denominada vci, conforme ilustra a figura 2.25.
2.2.1 Hipóteses básicas
a) as deformações do elemento fazem com que os lados permaneçam retilíneos
e paralelos.
b) para cada estado de deformação existe apenas um correspondente estado de
tensão.
c) as tensões e deformações podem ser consideradas em termos de valores
médios.
d) as armaduras longitudinal e transversal estão distribuídas uniformemente
sobre o elemento.
e) a direção das tensões principais e das deformações principais é coincidente.
f) é desprezado o efeito de pino nas armaduras.
31
Seja um elemento de chapa submetido às tensões normais fx e fy, paralelas aos
eixos x e y, e à tensão tangencial v, conforme ilustra a figura 2.24.
Figura 2.24 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido a tensões de tração e
cisalhamento
Figura 2.25 – transmissão da tensão de cisalhamento na fissura devido ao engrenamento dos
agregados do concreto (Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.226)
32
Figura 2.26 – elemento de chapa de concreto fissurado submetido a tensões
de tração e cisalhamento (Adaptado do ACI Structural Journal /March-April 1986, p.226)
2.2.2 Equilíbrio das tensões médias
Efetua-se o equilíbrio de forças para o trecho da chapa situado abaixo da seção 1-1,
que está compreendida entre duas fissuras consecutivas, conforme ilustram as
figuras 2.26 e 2.27.
Figura 2.27 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras na seção
1-1 (entre fissuras)
33
Deve-se lembrar que f1 é uma tensão média à tração no concreto, avaliada
considerando um trecho contendo várias fissuras, conforme mostrado na figura 2.28.
Figura 2.28 –Tensão média de tração no concreto fissurado
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.225)
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a zero vem:
0'..1.'..'.cos.'.. 1 =++−− θθθθ senhfsenAfhvhsenf sxsxx
0'.'..'cos.'. 1 =++−− θθθθ senfsenh
Afvsenf sxsxx
0'.'..'cos.'. 1 =++−− θθρθθ senfsenfvsenf xsxx
'cos.'.'..'. 1 θθθρθ vsenfsenfsenf xsxx −+=
'cot.. 1 θρ gvfff sxxx −+= (2.42)
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo y igual a zero vem:
0'cos..1.'cos..'..'.cos. 1 =++−− θθθθ hfAfhsenvhf sysyy
0'cos.'cos..'.'cos. 1 =++−− θθθθ fh
Afsenvf sy
syy
0'cos.'cos..'.'cos. 1 =++−− θθρθθ ffsenvf ysyy
'.'cos.'cos..'cos. 1 θθθρθ senvfff ysyy −+=
'.. 1 θρ tgvfff syyy −+= (2.43)
Representa-se o círculo de Mohr para as tensões no concreto, conforme ilustrado na
figura 2.29.
34
Figura 2.29 – círculo de Mohr das tensões médias (entre fissuras) do elemento de chapa de concreto
fissurado
Observa-se do círculo de Mohr da figura 2.29 que '
'.21 θθ
tgvtgvff +=−
Como na convenção do MCFT a tensão de compressão no concreto é positiva, da
expressão anterior resulta que '
'.21 θθ
tgvtgvff +=+
'cot.'.21 θθ gvtgvff +=+
( )'cot'.21 θθ gtgvff +=+
'cot'21
θθ gtgffv
++
= (2.44)
35
2.2.3 Equilíbrio das tensões na fissura
Efetua-se agora o equilíbrio de forças para o trecho da chapa compreendido abaixo
da seção 2-2, que está situada na fissura, conforme ilustram as figuras 2.26 e 2.30.
Figura 2.30 – trecho do elemento de chapa com uma face paralela à direção das fissuras na seção
2-2 (na fissura)
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a zero vem:
0'cos..1.'..'.cos.'.. =−+−− θθθθ hvsenAfhvhsenf cisxsxcrx
0'cos.'..'cos.'. =−+−− θθθθ cisx
sxcrx vsenh
Afvsenf
0'cos.'..'cos.'. =−+−− θθρθθ cixsxcrx vsenfvsenf
'cos.'cos.'.'.. θθθθρ cixxsxcr vvsenfsenf ++=
'cot.'cot.. θθρ gvgvff cixxsxcr ++=
x
cixsxcr
gvgvffρ
θθ 'cot.'cot. ++= (2.45)
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo y igual a zero vem:
0'..1.'cos..'..'.cos. =++−− θθθθ senhvAfhsenvhf cisysycry
36
0'.'cos..'.'cos. =++−− θθθθ senvh
Afsenvf ci
sysycry
0'.'cos..'.'cos. =++−− θθρθθ senvfsenvf ciysycry
'.'.'cos.'cos.. θθθθρ senvsenvff ciyysycr −+=
'.'.. θθρ tgvtgvff ciyysycr −+=
y
ciysycr
tgvtgvff
ρθθ '.'. −+
= (2.46)
Substituindo-se a expressão 'cot.. 1 θρ gvfff sxxx −+= (2.42)
na x
cixsxcr
gvgvffρ
θθ 'cot.'cot. ++= (2.45) vem:
x
cisxxsxcr
gvgvgvfffρ
θθθρ 'cot.'cot.'cot.. 1 ++−+=
x
cisxxsxcr
gvfffρ
θρ 'cot.. 1 ++=
'cot... 1 θρρ gvfff cisxxxsxcr ++= (2.47)
Substituindo-se a expressão '.. 1 θρ tgvfff syyy −+= (2.43) na
y
ciysycr
tgvtgvff
ρθθ '.'. −+
= (2.46) vem:
y
cisyysycr
tgvtgvtgvfff
ρθθθρ '.'.'.. 1 −+−+
=
y
cisyysycr
tgvfff
ρθρ '.. 1 −+
=
'... 1 θρρ tgvfff cisyyysycr −+= (2.48)
37
Figura 2.31 – O MCFT para elementos de chapa
(Fonte: ACI Structural Journal /March-April 1986, p.229)
38
2.2.4 Condições de compatibilidade das deformações médias
Analisando-se o círculo de Mohr para as deformações, observa-se da figura 2.32
que:
Figura 2.32 – círculo de Mohr das tensões médias (entre fissuras) do elemento de chapa de concreto
fissurado
2
' 2
xy
xtgγ
εεθ
−=
'22
θεεγ
tgxxy −
= (2.49)
2
2'εε
γ
θ−
=y
xy
tg
2
2
''εε
θεε
θ−
−
=y
x
tgtg
( )2
2
'.'
εεθεε
θ−
−=
y
x
tgtg
39
2
22 'εεεε
θ−−
=y
xtg (2.50)
Na convenção do MCFT, o sinal de ε2 é positivo quando de compressão, e portanto
a expressão (2.50) resulta:
2
22 'εεεε
θ++
=y
xtg (2.51)
Da mesma forma a expressão (2.49) resulta '2
2
θεεγ
tgxxy +
= e portanto
( ) 'cot..2 2 θεεγ gxxy += (2.52)
A coordenada do centro do círculo é 22
21 yx εεεε +=
+ , resultando 21 εεεε −+= yx
Na convenção do MCFT segue-se que:
21 εεεε ++= yx (2.53)
Da expressão anterior vem que 21 εεεε −−= xy
Substituindo-se εy na expressão (2.51) segue-se que:
221
22 'εεεε
εεθ
+−−+
=x
xtg
x
xtgεεεε
θ−+
=1
22 '
( ) 212 '. εεεεθ +=− xxtg
22
12 '.'. εεεθεθ +=− xxtgtg
2122 '.'. εεθεθε −=+ tgtg xx
'1'.
221
2
θεεθε
tgtg
x +−
= (2.54)
40
2.2.5 Abertura das fissuras
Figura 2.33 – elemento de concreto fissurado com a distância entre as fissuras
1' .εθsw = (2.55)
yx sssen
s'cos'
1' θθθ
+= (2.56)
x
sxxs
ρφ
.6,3= (2.57)
y
syys
ρφ
.6,3= (2.58)
Por simplicidade, a exemplo do que fazem Collins e Vecchio, sx e sy serão tomados
como os espaçamentos das barras paralelas ao eixo x e y respectivamente.
2.2.6 Relações tensão-deformação
2.2.6.1 Aço
yxxssx fEf ≤= ε. (2.59)
yyyssy fEf ≤= ε. (2.60)
41
2.2.6.2 Concreto
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
22
12 ''
.2..1708,0
'
cc
cffεε
εε
ε (2.61)
onde cc ff '
.1708,0'
1
≤+ ε
11 .5001
'.33,0ε+
= cff (2.62)
( é uma tensão média do concreto compreendendo um trecho com várias fissuras) 1f
No dimensionamento foi utilizada a expressão 1
1 .5001.33,0
.4,1
1ε+
= ckff (2.62a)
A tensão de tração no concreto ocorre entre as fissuras, e nessas fissuras ela cai
a zero, acontecendo portanto uma transferência desta tensão de tração para as
armaduras. Desta forma as tensões nas armaduras aumentam nas fissuras e fica
limitada por elas.
1f
1f
Para a determinação da limitação de , toma-se as expressões (2.47) e (2.48) 1f
'cot... 1 θρρ gvfff cisxxxsxcr ++= (2.47)
'... 1 θρρ tgvfff cisyyysycr −+= (2.48)
Multiplica-se ambos os lados da expressão (2.47) por e da (2.48) por ' '2θsen cos2 θ
⎪⎩
⎪⎨⎧
−+=
++=
'cos'..'cos.'cos..'cos..
'cos'..'.'..'..2
122
21
22
θθθθρθρ
θθθθρθρ
senvfff
senvsenfsenfsenf
cisyyysycr
cisxxxsxcr
Somando-se as duas expressões acima vem:
12222
. 'cos..'..'cos..'. ffsenffsenf ysyxsxysycrxsxcr ++=+ θρθρθρθρ
'cos..'..'cos..'. 2222.1 θρθρθρθρ ysyxsxysycrxsxcr fsenffsenff −−+=
( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ sysycrysxsxcrx ffsenfff −+−= (2.63)
Como as tensões e devem ser no máximo iguais às suas respectivas
tensões de escoamento, a expressão anterior resulta:
sxcrf sycrf
42
( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ syyyysxyxx ffsenfff −+−≤ (2.64)
O fato da condição acima não ser atendida implica que as armaduras são
insuficientes e é necessário o acréscimo delas.
2.2.7 Tensão de cisalhamento e deformações na fissura
A tensão de cisalhamento na fissura deve obedecer à inequação abaixo, onde as
unidades são MPa e mm:
16.2431,0
'.18,0
++
≤
g
cci
aw
fv (2.65)
No dimensionamento foi utilizada a expressão
16.2431,0
.18,0.
4,11
++
≤
g
ckci
aw
fv (2.65a)
Observa-se que esta expressão torna o valor de indeterminado; como as tensões
nas armaduras na fissura ficam limitadas pelo escoamento, adotou-se para a
tensão .
civ
sycrf
yyf
Tomando-se a expressão y
ciysycr
tgvtgvff
ρθθ '.'. −+
= (2.46)
e igualando-se com vem: yyf
y
ciyyy
tgvtgvff
ρθθ '.'. −+
=
'.'.. θθρ tgvtgvff ciyyyy −+=
yyyyci ftgvftgv ρθθ .'.'. −+=
( ) 0'cot.. ≥+−= vgffv yyyyci θρ (2.66)
Este critério foi utilizado quando publicado o MCFT (1986), e referia-se a um caso
muito particular onde a armadura paralela ao eixo y é mais fraca do que a paralela
ao eixo x, porém era compatível com os painéis ensaiados na época.
43
Posteriormente, com o advento do DSFM (2000) , passou-se a calcular no MCFT as
deformações e tensões nas armaduras na fissura, bem como a tensão de
cisalhamento , sendo que este procedimento cobre todos os casos. civ
Conhecidas as deformações médias, determina-se os valores na fissura, onde
a deformação 2ε mantém-se constante e 1ε sofre um acréscimo de cr1ε∆ .
Utilizando-se a expressão'1
'.2
212
θεεθε
tgtg
x +−
= (2.54), calcula-se a deformação na
fissura ( )
'1'.
2211
2
θεεεθ
εtg
tg crxcr +
−∆+= (2.67)
Da expressão 21 εεεε ++= yx (2.53) vem:
( ) ( ) 211211 εεεεεεεεεε −−∆+=→++=∆+ xcrcrycrycrxcrcr (2.68)
Com as deformações na fissura, determinam-se as tensões
yxxcrsxcr fEf ≤= ε. (2.69)
yyycrsycr fEf ≤= ε. (2.70)
Com a expressão ( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ sysycrysxsxcrx ffsenfff −+−= (2.63)
onde conhece-se , que depende da deformação média 1f 1ε , determina-se cr1ε∆
que a satisfaça.
Para o cálculo de , utiliza-se as expressões (2.47) e (2.48): civ
'cot... 1 θρρ gvfff cisxxxsxcr ++= (2.47)
'... 1 θρρ tgvfff cisyyysycr −+= (2.48)
Multiplica-se ambos os lados da expressão (2.47) por 'cos'. θθsen e da (2.48) por
'cos'. θθsen− :
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−−=−
++=
'.'cos'..'cos'...'cos'...
'cos.'cos'..'cos'...'cos'...2
1
21
θθθθθρθθρ
θθθθθρθθρ
senvsenfsenfsenf
vsenfsenfsenf
cisyyysycr
cisxxxsxcr
Somando-se as duas expressões anteriores vem:
cisyysxxysycrxsxcr vsenfsenfsenfsenf +−=− 'cos'...'cos'...'cos'...'cos'... θθρθθρθθρθθρ
'cos'...'cos'...'cos'....'cos'... θθρθθρθθρθθρ senfsenfsenfsenfv ysyysycrxsxxsxcrci +−−=
( ) ( ) 'cos'...'cos'... θθρθθρ senffsenffv sysycrysxsxcrxci −−−= (2.71)
44
O valor de vci deve respeitar o limite da expressão (2.65); caso isto não aconteça,
será necessário aumentar as armaduras.
45
3 Comparação com os resultados de modelos físicos
Fazendo-se a comparação entre os resultados de modelos físicos e a formulação
analítica (Baumann e MCFT), parte-se do carregamento último do ensaio e
determina-se analiticamente as deformações, comparando-as com os resultados do
ensaio. A determinação analítica das deformações a partir do carregamento é um
processo iterativo, onde arbitra-se a máxima deformação principal e o ângulo de
inclinação das fissuras, sendo que o processo termina quando atinge-se o equilíbrio
entre os esforços internos e os externos.
Vecchio e Collins fizeram ensaios em 30 elementos de concreto armado submetidos
a carregamentos no próprio plano. A maioria dos ensaios foram conduzidos com
carregamento de cisalhamento puro, alguns elementos foram submetidos à
compressão uniaxial, compressão biaxial combinada com cisalhamento e tração
biaxial combinada com cisalhamento.
Os elementos ensaiados eram quadrados com 890mm de lado e 70mm de
espessura. Eles foram armados com duas camadas de malha de fios de aço
soldados, com os fios paralelos aos lados dos elementos. A malha de aço tinha
espaçamento de 50mm, sendo que o aço utilizado foi laminado a quente, e mostrou
resposta dúctil. A tabela 3.1 contém as características dos elementos ensaiados e os
resultados experimentais.
São analisados alguns casos mais significativos, onde utilizam-se as expressões
(2.1) a (2.3) de Baumann e as expressões (2.42) a (2.71) do MCFT.
46
Tabela 3.1: Características dos modelos
47
3.1 Determinação analítica das deformações a partir do carregamento
3.1.1 Roteiro de cálculo para utilizar o Método de Baumann
Este procedimento é válido quando são conhecidas as armaduras.
Para utilizar as expressões (2.1) a (2.3) de Baumann (válidas para os casos I,II e III),
efetuar os procedimentos:
a) arbitrar ε1 e θ
b) calcular nsx e nsy a partir das expressões
θ.tgnnn xyxsx += (2.1)
θg.nnn xyysy cot+= (2.2)
c) calcular nc a partir da expressão [ ]θθ gtgnn xyc cot. += (2.3)
d) determinar f2max da expressão cc
xma fff '.1708,0
'
12 ≤
+=
ε (2.29)
e) calcular f2 a partir da expressão max2fhnc
c ≤=σ (2.4)
f) calcular max2
2
ff
g) determinar ε2 a partir da expressão ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
222
max22 ''.2.
cc
ffεε
εε
(2.27)
onde ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
max2
22 11.'
ff
cεε , que é uma das raízes da equação do 2° grau; a
outra raiz ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
max2
211.'f
fcε é desprezada, pois o valor máximo para ε2 é ε’c.
h) calcular εx e εy a partir das expressões
θεεεεε 2cos.22
2121 −+
+=x (2.17)
θεεεεε 2cos.22
2121 −−
+=y (2.18)
48
i) determinar 2xyγ
da expressão ( 2.2
εεθ )γ−−= x
xy tg (2.7)
j) calcular σsx e σsy a partir das expressões
ydxssx fE ≤= εσ . (2.25)
ydyssy fE ≤= εσ . (2.26)
k) determinar nsx e nsy a partir das expressões sx
sxsx
na
σ= (2.30) e
sy
sysy
na
σ= (2.31) e comparar com os valores do passo b)
l) calcular nx e ny utilizando-se os valores de nsx e nsy do item k) a partir das
expressões
θ.tgnnn xyxsx += (2.1)
θg.nnn xyysy cot+= (2.2)
e comparar com os valores previamente conhecidos.
3.1.2 Roteiro de cálculo para utilizar o MCFT
Para utilizar as expressões do MCFT, efetuar os procedimentos:
a) arbitrar ε1 e θ’
b) calcular sθ' a partir da expressão
yx sssen
s'cos'
1' θθθ
+= (2.56)
c) calcular w da expressão 1' .εθsw = (2.55)
d) determinar f1 a partir da expressão 1
1 .5001'.33,0ε+
= cff (2.62)
e) calcular vcimax da expressão
16.2431,0
'.18,0
++
≤
g
cci
aw
fv (2.65)
49
f) determinar f2 da expressão 'cot'
21
θθ gtgffv
++
= (2.44)
g) calcular f2max da expressão cc ff '
.1708,0'
1
≤+ ε
i) calcular max2
2
ff
j) determinar ε2 da expressão ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
22
12 ''
.2..1708,0
'
cc
cffεε
εε
ε (2.61)
k) calcular εx utilizando-se a expressão '1
'.2
212
θεεθε
tgtg
x +−
= (2.54)
l) determinar εy da expressão 21 εεεε ++= yx (2.53)
m) calcular γxy a partir a expressão ( ) 'cot..2 2 θεεγ gxxy += (2.52)
n) determinar fsx e fsy utilizando-se as expressões yxxssx fEf ≤= ε. (2.59)
e yyyssy fEf ≤= ε. (2.60)
o) verificar a condição:
( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ syyyysxyxx ffsenfff −+−≤ (2.64)
p) determinar fx e fy a partir das expressões 'cot.. 1 θρ gvfff sxxx −+= (2.42)
e '.. 1 θρ tgvfff syyy −+= (2.43)
utilizando-se fsx e fsy do passo n) e comparar com os valores previamente
conhecidos.
q) arbitrar ∆ε1cr
r) determinar εxcr da expressão ( )
'1'.
2211
2
θεεεθ
εtg
tg crxcr +
−∆+= (2.67)
s) calcular εycr da expressão ( ) 211 εεεεε −−∆+= xcrcrycr (2.68)
t) calcular fsxcr e fsycr das expressões yxxcrsxcr fEf ≤= ε. (2.69)
e yyycrsycr fEf ≤= ε. (2.70)
u) determinar f1 da expressão ( ) ( ) 'cos..'. 22.1 θρθρ sysycrysxsxcrx ffsenfff −+−=
(2.63) comparando com o valor previamente conhecido do passo d)
v) calcular ( ) ( ) 'cos'...'cos'... θθρθθρ senffsenffv sysycrysxsxcrxci −−−= (2.71)
50
e comparar com vcimax do passo e)
3.1.3 Resumo da análise dos painéis
Os painéis analisados são: PV1, PV5, PV7, PV11, PV21, PV22, PV23, PV25, PV26,
PV28 e PV30, sendo que os resultados detalhados constam no Apêndice A.
Notas:
Nota 1: apesar do sinal da deformação de compressão ser positivo conforme a
convenção do MCFT, nesta tabela os valores aparecem com o sinal negativo.
Nota 2: os carregamentos dos painéis PV23 e PV25 são cisalhamento com
compressão, do PV28 é cisalhamento com tração e dos demais painéis é
cisalhamento puro.
Nota 3: as deformações do ensaio são médias.
Nota 4: As tensões nas armaduras sxσ e syσ obtidas por Baumann e pelo MCFT
são tensões nas fissuras, ao passo que as do ensaio são médias (entre fissuras)
Nota 5: as tensões de ensaio no concreto cσ foram calculadas a partir das
deformações experimentais 1ε e 2ε , utilizando-se a curva tensão-deformação do
concreto proposta por Vecchio e Collins.
51
Painel Situação εyx (‰) εyy (‰) εx (‰) εy (‰) ε1 (‰) ε2 (‰) RupturaEnsaio 2,093 2,392 5,541 -1,056 RupturaBaumann 2,160 2,245 5,673 -1,268 do cantoMCFT 2,163 2,242 5,476 -1,070Ensaio 2,366 2,454 5,570 -0,750Baumann 2,729 2,729 6,300 -0,843MCFT 2,728 2,728 6,133 -0,677Ensaio 1,812 1,834 4,521 -0,875Baumann 1,812 1,812 4,772 -1,149MCFT 1,812 1,812 4,600 -0,976Ensaio 1,432 2,652 5,670 -1,586 EscoamentoBaumann 1,095 1,854 4,104 -1,154 da armaduraMCFT 1,086 1,288 3,178 -0,804Ensaio 1,287 5,162 7,907 -1,458 EscoamentoBaumann 1,714 3,686 6,760 -1,360 da armaduraMCFT 1,680 2,179 4,565 -0,706Ensaio 1,309 1,820 4,189 -1,060Baumann 1,660 1,850 5,167 -1,657MCFT 1,670 1,838 4,729 -1,221Ensaio 0,888 1,085 4,633 -2,660 ConcretoBaumann 1,439 1,439 4,433 -1,554MCFT 1,439 1,439 4,060 -1,182Ensaio 0,288 0,377 3,311 -2,646 ConcretoBaumann 0,753 0,753 2,858 -1,352MCFT 0,753 0,753 2,507 -1,001Ensaio 1,259 2,558 4,824 -1,007 EscoamentoBaumann 1,665 2,672 5,647 -1,310 da armaduraMCFT 1,633 2,281 4,884 -0,940Ensaio 2,116 1,955 6,503 -2,432 ConcretoBaumann 2,037 2,037 5,668 -1,595MCFT 2,037 2,037 5,265 -1,192Ensaio 1,061 2,136 4,318 -1,121 RupturaBaumann 1,517 2,175 4,954 -1,262 do cantoMCFT 1,546 2,134 4,682 -1,002
PV30 2,081 2,248
PV28 2,300 2,300
PV26 2,171 2,205
PV25 2,219 2,219
PV23 2,467 2,467
PV22 2,181 2,000
PV21 2,181 1,438
PV11 1,119 1,119
Tabela 3.2 - Quadro comparativo das deformações
PV1 2,300 2,300
PV5 2,957 2,957
PV7 2,157 2,157
52
Painel Situação σyx σyy σsx (MPa) σsy (MPa) σc (MPa) RupturaEnsaio 439,5 483,0 14,5 RupturaBaumann 453,6 471,5 16,0 do cantoMCFT 454,4 470,9 15,3Ensaio 496,8 515,4 8,3Baumann 573,0 573,0 8,5MCFT 572,9 572,9 7,8Ensaio 380,5 385,1 11,4Baumann 380,4 380,4 13,6MCFT 380,5 380,5 12,9Ensaio 235,0 235,0 7,5 EscoamentoBaumann 230,0 235,0 7,2 da armaduraMCFT 228,1 235,0 6,5Ensaio 270,3 302,0 8,8 EscoamentoBaumann 360,0 302,0 10,4 da armaduraMCFT 352,8 302,0 9,5Ensaio 274,9 382,2 10,1Baumann 348,6 388,4 12,1MCFT 350,7 386,0 11,5Ensaio 186,5 227,9 11,5 ConcretoBaumann 302,2 302,2 17,7MCFT 302,2 302,2 17,0Ensaio 60,5 79,2 11,0 ConcretoBaumann 158,1 158,1 18,2MCFT 158,1 158,1 17,4Ensaio 264,4 463,0 10,2 EscoamentoBaumann 349,7 463,0 10,9 da armaduraMCFT 349,2 463,0 10,3Ensaio 444,4 410,6 9,2 ConcretoBaumann 427,7 427,7 11,6MCFT 427,7 427,7 11,0Ensaio 222,8 448,6 10,4 RupturaBaumann 318,7 456,7 10,3 do cantoMCFT 324,6 448,2 9,7
Tabela 3.3 - Quadro comparativo das tensões
PV1
PV11
PV5
PV7
483
621
453
235
PV21
PV22
466 466
PV23
PV25
302
420
518 518
PV30
PV26
PV28
483
621
453
235
458
458
456 463
483 483
437 472
53
Tensão aço x
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
700,0
0,0 200,0 400,0 600,0
ensaio
anal
ítico Ensaio
BaumannMCFT
Figura 3.1 – gráfico da tensão analítica σsx em função da tensão do ensaio σsx
54
Tensão aço y
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
700,0
0,0 200,0 400,0 600,0
ensaio
anal
ítico Ensaio
BaumannMCFT
Figura 3.2 – gráfico da tensão analítica σsy em função da tensão do ensaio σsy
55
tensão concreto
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
0,0 10,0 20,0
ensaio
anal
ítico Ensaio
BaumannMCFT
Figura 3.3 – gráfico da tensão analítica σc em função da tensão do ensaio σc
56
3.2 Considerações sobre a curva tensão-deformação do concreto
Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação do concreto
(Fonte: NBR 6118:2003, p.24)
Desenvolvendo-se a expressão da relação tensão-deformação do concreto no ELU
da NBR 6118:2003 vem:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
2
‰211..85,0 c
cdc fε
σ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−−=
2
‰2‰2.211..85,0 cc
cdc fεε
σ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+−=
2
‰2‰2.211..85,0 cc
cdc fεε
σ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
‰2‰2.2..85,0 cc
cdc fεε
σ
Analisando-se a expressão da relação tensão-deformação do concreto fissurado
proposta por Vecchio e Collins:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
22
12 ''
.2..1708,0
'
cc
cffεε
εε
ε (2.61)
57
onde cc ff '
.1708,0'
1
≤+ ε
.
Observa-se que quando ‰176,11 ≤ε , a expressão (2.61) resulta
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
222
2 ''.2.'
cccff
εε
εε
, que assume uma forma semelhante com a expressão
da norma brasileira.
O fck é a resistência característica do concreto da norma NBR 6118:2003, oriunda de
um universo de valores de ensaio que seguem uma distribuição de Gauss, com
confiabilidade de 95%, onde no máximo 5% dos resultados ensaiados apresentam
resistência inferior ao valor especificado.
O f’c é a resistência característica do concreto da norma ACI 318, porém tem um
critério diferente da norma brasileira, conforme exposto no artigo “Qual a diferença
entre a fck e a f’c do ACI?” de Augusto Carlos de Vasconcelos e Salvador E.
Giammusso, resultando num número pouco maior do que o fck (f’c≈1,10fck).
Para o atendimento da norma NBR 6118:2003 referente às condições de segurança,
os esforços resistentes de cálculo devem ser superiores ou pelo menos iguais aos
esforços solicitantes de cálculo, ou seja, deve ser respeitada a condição:
Rd ≥ Sd
No estado limite último, a distribuição das tensões no concreto se faz de acordo com
o diagrama parábola-retângulo com a tensão de pico igual a 0,85fcd, conforme a
figura 3.4, onde c
ckcd
ff
γ= , onde cγ é o coeficiente de ponderação da resistência do
concreto.
Para o atendimento da NBR 6118:2003 no aspecto segurança e critério de
resistência, para as aplicações no dimensionamento, neste trabalho o valor de f’c
será substituído por 0,85fcd e, as ações serão provenientes das solicitações de
cálculo.
Portanto, é perfeitamente razoável a utilização da expressão (2.61) para a curva
tensão-deformação do concreto, substituindo-se f’c por 0,85fcd.
58
3.3 Comparação entre o Método de Baumann e o MCFT para o
dimensionamento de modelos hipotéticos
Serão dimensionados alguns modelos hipotéticos pelo Método de Baumann
fazendos-se a verificação pelo MCFT, comparando ambos os processos. Serão
adotados para os modelos: concreto com fck=25 MPa, armadura CA50 e espessura
dos painéis de 12cm.
59
3.3.1 Painel A (caso I – tração nas armaduras nas duas direções)
Baumann
mkNnnn xyxsx /550300250 =+=+=
mkNnnn xyysy /470300170 =+=+=
mcmn
asx
sxsx /65,12
5015,1.550 2===
σ
mcmn
asy
sysy /81,10
5015,1.470 2===
σ
mkNnn xyc /600300.2.2 ===
MPaff
f cdck
cd 64,986,17.250251.60,0.
2501.60,02 =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
MPafMPamkNhn
cdc
c 64,95/500012,0
6002
2 =<====σ
MPafc 42,9max2 =<σ
‰07,2=xε , ‰07,2=yε , °= 45θ
1221 εεεεεεεε −+=→+=+ yxyx
60
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
11
1
222
12 ''
.2.1708,0'
''.2.
.1708,0'
c
yx
c
yxc
cc
c fffε
εεεε
εεεεε
εεε
ε
‰770,4‰2
‰07,2‰07,2‰2
‰07,2‰07,2.2..1708,0
18,155 1
211
12 =→
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+== εεε
εf
‰63,0‰77,4‰07,2‰07,22 −=−+=ε
MPax
ff c 42,9‰77,41708,0
18,151708,0'
1max2 =
+=
+=
ε
Baumann
nx (kN/m) 250 250,00170,00
550,00470,00
0,53
ny (kN/m) 170nxy (kN/m) 300h (m) 0,12asx (cm2/m) 12,65asy (cm2/m) 10,81fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 4,771θ (°) 45,000θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 550,00nsy (kN/m) 470,00nc (kN/m) 600,00f2 max (MPa) 9,42f2 max (MPa) 9,42f2 (MPa) 5,00f2/f2 maxε2 (‰) -0,630εx (‰) 2,071εy (‰) 2,071γxy/2 (‰) 2,700σsx (MPa) 434,82σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) 434,82σsy (MPa) 434,78
61
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 2,083 2,0831,417
0,481,25
0,45
fy (MPa) 1,417v (MPa) 2,5ρx 0,01054ρy 0,00901fyx (MPa) 434,78fyy (MPa) 434,78sx (mm) 100sy (mm) 100f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) 2ag (mm) 19ε1 (‰) 4,186θ' (°) 45,15θ' (rad) 0,7880sθ' 70,71w (mm) 0,30f1 (MPa) 0,482f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 4,52f2max (MPa) 10,04f2max (MPa) 10,04f2/f2maxε2 (‰) 0,517εx (‰) 1,847εy (‰) 1,822γxy (‰) 4,703fsx (MPa) 387,86fsx (MPa) 387,86fsy (MPa) 382,69fsy (MPa) 382,69∆ε1cr (‰) 0,498εxcr (‰) 2,097εycr (‰) 2,070fsxcr (MPa) 440,43fsxcr (MPa) 434,78fsycr (MPa) 434,71fsycr (MPa) 434,71f1 (MPa) 0,482vci (MPa) 0,01
62
3.3.2 Painel B (Caso II - tração na armadura na direção do eixo y)
(nx < 0 e │nx│ > │nxy│ → nsx = 0)
Baumann
°=→−
−=−= 71,51300380 θθ
xy
x
nntg
mkNn
nnn
x
xyysy /8,406
380300170
22
=−
−=−=
0=sxa
mcmn
asy
sysy /36,9
5015,1.8,406 2===
σ
( ) mkNn
nnn
x
xyxc /8,616
380300380
22
=−
−−−=−−=
MPafMPamkNhn
cdc
c 64,914,5/514012,0
8,6162
2 =<====σ
MPafc 61,10max2 =<σ
‰07,2=yε , °= 71,51θ
°−
++
=−
++
=42,103cos.2‰07,2
2‰07,2
2cos.221xxyxyx εε
θεεεε
ε
63
°−
−+
=−
−+
=42,103cos.2‰07,2
2‰07,2
2cos.222xxyxyx εε
θεεεε
ε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=→
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
22
1
222
12 ‰2‰2
.2..1708,0
18,1514,5''
.2..1708,0
' εεεε
εεε
ε cc
cff
‰078,1=→ xε , ‰711,31 =ε , ‰563,02 −=ε
MPaf
f c 61,10‰711,3.1708,0
18,151708,0'
1max2 =
+=
+=
ε
Baumann
nx (kN/m) -380 -380,00170,07
0,00406,91
0,48
ny (kN/m) 170nxy (kN/m) 300h (m) 0,12asx (cm2/m) 0asy (cm2/m) 9,36fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 3,712θ (°) 51,710θ (rad) 0,9025nsx (kN/m) 0,00nsy (kN/m) 406,84nc (kN/m) 616,84f2 max (MPa) 10,61f2 max (MPa) 10,61f2 (MPa) 5,14f2/f2 maxε2 (‰) -0,564εx (‰) 1,078εy (‰) 2,070γxy/2 (‰) 2,080σsx (MPa) 226,32σsx (MPa) 226,32σsy (MPa) 434,73σsy (MPa) 434,73
64
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) -3,167 -3,1671,417
0,591,26
0,39
fy (MPa) 1,417v (MPa) 2,5ρx 0ρy 0,0078fyx (MPa) 434,78fyy (MPa) 434,78sx (mm) 1,00E+99sy (mm) 100f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) 2ag (mm) 19ε1 (‰) 2,438θ' (°) 33,85θ' (rad) 0,5908sθ' 120,41w (mm) 0,29f1 (MPa) 0,560f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 4,84f2max (MPa) 12,50f2max (MPa) 12,50f2/f2maxε2 (‰) 0,435εx (‰) 0,457εy (‰) 1,547γxy (‰) 2,658fsx (MPa) 95,87fsx (MPa) 95,87fsy (MPa) 324,80fsy (MPa) 324,80∆ε1cr (‰) 0,719εxcr (‰) 0,680εycr (‰) 2,043fsxcr (MPa) 142,72fsxcr (MPa) 142,72fsycr (MPa) 428,94fsycr (MPa) 428,94f1 (MPa) 0,560vci (MPa) -0,38
65
3.3.3 Painel C (Caso III - tração na armadura na direção do eixo x)
(ny < 0 e │ny│ > │nxy│ → nsy = 0)
Baumann
°=→−
−=−= 759,27300570cot θθ
xy
y
nn
g
mkNn
nnn
y
xyxsx /9,537
570300380
22
=−
−=−=
mcmn
asx
sxsx /37,12
5015,1.9,537 2===
σ
0=sya
( ) mkNn
nnn
y
xyyc /9,727
570300570
22
=−
−−−=−−=
MPafMPamkNhn
cdc
c 64,907,6/606612,0
9,7272
2 =<====σ
MPafc 88,11max2 =<σ
‰07,2=xε , °= 759,27θ
°
−+
+=
−+
+=
517,55cos.2‰07,2
2‰07,2
2cos.221yyyxyx εε
θεεεε
ε
°
−−
+=
−−
+=
517,55cos.2‰07,2
2‰07,2
2cos.222yyyxyx εε
θεεεε
ε
66
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+=→
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
22
1
222
12 ‰2‰2
.2..1708,0
18,1507,6''
.2..1708,0
' εεεε
εεε
ε cc
cff
‰139,0=→ yε , ‰810,21 =ε , ‰601,02 −=ε
MPaf
f c 88,11‰810,2.1708,0
18,151708,0'
1max2 =
+=
+=
ε
Baumann
nx (kN/m) 380 379,93-570,01
537,820,00
0,51
ny (kN/m) -570nxy (kN/m) 300h (m) 0,12asx (cm2/m) 12,37asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 2,811θ (°) 27,758θ (rad) 0,4845nsx (kN/m) 537,89nsy (kN/m) 0,01nc (kN/m) 727,90f2 max (MPa) 11,88f2 max (MPa) 11,88f2 (MPa) 6,07f2/f2 maxε2 (‰) -0,601εx (‰) 2,071εy (‰) 0,139γxy/2 (‰) 1,406σsx (MPa) 434,89σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) 29,23σsy (MPa) 29,23
67
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 3,167 3,167-4,750
0,581,34
0,46
fy (MPa) -4,75v (MPa) 2,5ρx 0,01031ρy 0fyx (MPa) 434,78fyy (MPa) 434,78sx (mm) 100sy (mm) 1,00E+99f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) 2ag (mm) 19ε1 (‰) 2,242θ' (°) 64,84θ' (rad) 1,1317sθ' 110,48w (mm) 0,25f1 (MPa) 0,572f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 5,92f2max (MPa) 12,85f2max (MPa) 12,85f2/f2maxε2 (‰) 0,532εx (‰) 1,741εy (‰) -0,030γxy (‰) 2,135fsx (MPa) 365,54fsx (MPa) 365,54fsy (MPa) -6,36fsy (MPa) -6,36∆ε1cr (‰) 0,393εxcr (‰) 2,063εycr (‰) 0,041fsxcr (MPa) 433,15fsxcr (MPa) 433,15fsycr (MPa) 8,56fsycr (MPa) 8,56f1 (MPa) 0,571vci (MPa) 0,27
68
Painel Situação εyx (‰) εyy (‰) εx (‰) εy (‰) ε1 (‰) ε2 (‰)
Baumann 2,071 2,071 4,771 -0,630MCFT 2,097 2,070 4,684 -0,517Baumann 1,078 2,070 3,712 -0,564MCFT 0,680 2,043 3,157 -0,435Baumann 2,071 0,139 2,811 -0,601MCFT 2,063 0,041 2,635 -0,532
B 2,070 2,070
C 2,070 2,070
Tabela 3.4 - Quadro comparativo das deformações
A 2,070 2,070
Painel Situação σyx σyy σsx (MPa) σsy (MPa) σc (MPa)
Baumann 434,8 434,8 5,0MCFT 434,8 434,7 4,5Baumann 0,0 434,7 5,1MCFT 0,0 428,9 4,8Baumann 434,8 0,0 6,1MCFT 433,2 0,0 5,9
Tabela 3.5 - Quadro comparativo das tensões
A
B
C
434,8
434,8
434,8
434,8
434,8
434,8
69
4 Estudo da armadura de compressão no caso III
Serão estudados alguns painéis hipotéticos utilizando apenas o Método de
Baumann, onde ny < 0 e │ny│ > │nxy│. Todos os painéis têm espessura de 12cm,
armadura CA50 e concreto fck=25 MPa. No caso III é necessária apenas a armadura
paralela ao eixo x.
Definindo-se a solicitação de cisalhamento puro que esgote o concreto:
mkNxfhnfhn
cdccdc
c /8,1156964012,0. 22 ==≤→≤=σ
Utilizando a expressão (2.24), mkNn
nnn cxyxyc /4,578
28,1156
2.2 ===→=
mkNnxy /4,578max =∴
Consideram-se os seguintes carregamentos transversais:
mkNnn xyxy /120.2,0 max ≅=
mkNnn xyxy /350.6,0 max ≅=
mkNnn xyxy /550.95,0 max ≅=
Para cada , determina-se em que a tensão no concreto é superior a e
igual a . Depois aumenta-se limitando a tensão no concreto em e,
estuda-se a utilização da armadura paralela ao eixo y.
xyn yn 2cdf
max2f yn max2f
70
4.1 Painel D
°=→−
−=−= 427,41201550cot θθ
xy
y
nn
g
mkNn
nnn
y
xyxsx /3,329
1550120320
22
=−
−=−=
mcmn
asx
sxsx /57,7
5015,1.3,329 2===
σ
0=sya
( ) mkNn
nnn
y
xyyc /3,1559
15501201550
22
=−
−−−=−−=
MPafMPamkNhn
cdc
c 64,999,12/1299412,0
3,15592
2 =>====σ e max2fc ≅σ
71
ny (kN/m) 1550nxy (kN/m) 120h (m) 0,12asx (cm2/m) 7,57asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 2,166θ (°) 4,427θ (rad) 0,0773nsx (kN/m) 329,29nsy (kN/m) 3099,99nc (kN/m) 1559,28f2 max (MPa) 12,99f2 max (MPa) 12,99f2 (MPa) 12,99f2/f2 maxε2 (‰) -1,994εx (‰) 2,141εy (‰) -1,969γxy/2 (‰) 0,320σsx (MPa) 449,66σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) -413,50σsy (MPa) -413,50
Baumann
nx (kN/m) 320 319,84-1549,99
329,130,00
1,00
Aumentando-se o valor de , a deformação yn 2ε mantém-se em -2‰. Da expressão
(2.17), θεεεεε 2cos.22
2121 −+
+=x . Substituindo-se 22 −=ε ‰ vem:
θεεε 2cos.2
‰22
‰2 11 ++
−=x
( ) θεεε 2cos.‰2‰2.2 11 ++−=x
θθεεε 2cos.‰22cos.‰2.2 11 ++−=x
( ) θεθε 2cos.‰2‰2.22cos1.1 −+=+ x
θθε
ε2cos1
2cos.‰2‰2.21 +
−+= x (4.1)
Fazendo-se e igualando com a expressão (2.3) hfn xmac .2= [ ]θθ gtgnn xyc cot. +=
vem:
72
[ ]θθ gtgnhf xyxma cot..2 +=
Da expressão (2.28), cc
xma fff '.1708,0
'
12 ≤
+=
ε
Substituindo-se 1ε e vem: max2f
[ θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+] (4.2)
Uma vez fixado xε , extrai-se da expressão (4.2) o ângulo θ .
Com o valor de θ , verifica-se se 1ε da expressão (4.1) é maior do que 1,176‰.
Caso contrário, a expressão (4.2) resulta [ ]θθ gtgnhf xyc cot..' += (4.3)
Com θ extraído da expressão (4.2) ou (4.3), calcula-se 1ε da expressão (4.1).
Determina-se yε da expressão yx εεεε +=+ 21 (2.15)
Com as deformações xε e yε calcula-se xσ e yσ .
Determina-se e das expressões sxn syn θ.tgnnn xyxsx += (2.1) e
θg.nnn xyysy cot+= (2.2) e finalmente as armaduras necessárias.
4.2 Painel E
Adotando-se mkNny /23001550.5,1 ≅=
73
Fixando-se xε em ‰07,2=yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtg cot.120
2cos12cos.‰2‰2‰07,2.2.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+380,4cot.120
2cos12cos.‰2‰14,6.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰094,276,8cos1
2‰.cos8,76-2‰‰07,2.22cos1
2cos.‰2‰2.21 >=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰976,12,07‰2‰-‰094,221 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 8,434=σ
( ) MPay 415‰976,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /2,32938,4.120320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /3,73338,4cot.1202300cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /9,157538,4cot38,4.120cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /57,748,432,329 2==
mcmasy /67,175,413,733 2=
−−
=
74
mcmaaa sysxstotal /24,2567,1757,7 2=+=+=
Fixando-se xε em ‰55,1.75,0 =yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtg cot.120
2cos12cos.‰2‰2‰55,1.2.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+039,4cot.120
2cos12cos.‰2‰1,5.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰568,1078,8cos1
82‰.cos8,07-2‰‰55,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 >=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰982,11,55‰2‰-‰568,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 5,325‰55,1210000. ==σ
( ) MPay 2,416‰982,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /5,328039,4.120320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /5,600039,4cot.1202300cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /9,1707039,4cot039,4.120cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /09,1055,325,328 2==
mcmasy /43,1462,41
5,600 2=−−
=
mcmaaa sysxstotal /52,2443,1409,10 2=+=+=
Fixando-se xε em ‰04,1.50,0 =yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
75
[ ]θθ
θθ
gtgx
cot.120
2cos12cos.‰2‰2‰04,12.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+705,3cot.120
2cos12cos.‰2‰08,4.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰053,141,7cos1
2‰.cos7,41-2‰‰04,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 <=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
As expressões acima não são válidas, pois ‰176,11 <ε
[ ]θθ gtgnhf xyc cot..' +=
[ ] °=→+= 785,3cot.12012,0.15180 θθθ gtg
‰053,157,7cos1
2‰.cos7,57-2‰‰04,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 =
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰987,11,04‰2‰-‰053,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 4,218‰04,1210000. ==σ
( ) MPay 3,417‰987,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /9,327785,3.120320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /1,486785,3cot.1202300cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /8,1821785,3cot785,3.120cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /01,1584,21
9,327 2==
mcmasy /65,1173,41
1,486 2=−−
=
mcmaaa sysxstotal /66,2665,1101,15 2=+=+=
Pode-se observar das expressões (4.1) a (4.3) que, uma vez fixado xε , as
deformações dependem exclusivamente do carregamento transversal . Portanto
para alterações de , ocorre somente uma variação linear no valor de sendo
dispensável a adoção de outros valores de .
xyn
yn syn
yn
76
4.3 Painel F
°=→−
−=−= 634,133501443cot θθ
xy
y
nn
g
mkNn
nnn
y
xyxsx /9,404
1443350320
22
=−
−=−=
mcmn
asx
sxsx /31,9
5015,1.9,404 2===
σ
0=sya
( ) mkNn
nnn
y
xyyc /9,1527
14433501443
22
=−
−−−=−−=
MPafMPamkNhn
cdc
c 64,973,12/1273312,0
9,15272
2 =>====σ e max2fc ≅σ
77
ny (kN/m) -1443nxy (kN/m) 350h (m) 0,12asx (cm2/m) 9,31asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 2,307θ (°) 13,634θ (rad) 0,2380nsx (kN/m) 404,89nsy (kN/m) -0,02nc (kN/m) 1527,87f2 max (MPa) 12,73f2 max (MPa) 12,73f2 (MPa) 12,73f2/f2 maxε2 (‰) -1,986εx (‰) 2,068εy (‰) -1,748γxy/2 (‰) 0,984σsx (MPa) 434,37σsx (MPa) 434,37σsy (MPa) -367,04σsy (MPa) -367,04
Baumann
nx (kN/m) 320 319,51-1442,98
404,400,00
1,00
78
4.4 Painel G
Adotando-se mKNny /21601443.5,1 ≅=
Fixando-se xε em ‰07,2=yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtg cot.350
2cos12cos.‰2‰2‰07,2.2.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+639,13cot.350
2cos12cos.‰2‰14,6.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰310,2278,27cos1
782‰.cos27,2-2‰‰07,2.22cos1
2cos.‰2‰2.21 >=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰760,12,07‰2‰-‰310,221 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 8,434=σ
( ) MPay 6,369‰760,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /9,404639,13.350320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /6,717639,13cot.3502160cot −=°+−=+= θ
79
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /4,1527639,13cot639,13.350cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /31,948,439,404 2==
mcmasy /42,1996,36
6,717 2=−−
=
mcmaaa sysxstotal /73,2842,1931,9 2=+=+=
Fixando-se xε em ‰55,1.75,0 =yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtgx
cot.350
2cos12cos.‰2‰2‰55,12.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+415,12cot.350
2cos12cos.‰2‰1,5.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰722,183,24cos1
32‰.cos24,8-2‰‰55,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 >=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰828,11,55‰2‰-‰722,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 5,325‰55,1210000. ==σ
( ) MPay 9,383‰828,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /397415,12.350320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /1,570415,12cot.3502160cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /09,1667415,12cot415,12.350cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /20,1255,32
397 2==
mcmasy /85,1439,38
1,570 2=−−
=
mcmAAa sysxstotal /05,2785,1420,12 2=+=+=
80
Fixando-se xε em ‰04,1.50,0 =yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtgx
cot.350
2cos12cos.‰2‰2‰04,12.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+268,11cot.350
2cos12cos.‰2‰08,4.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰161,1536,22cos1
362‰.cos22,5-2‰‰04,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 <=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
As expressões acima não são válidas, pois ‰176,11 <ε
[ ]θθ gtgnhf xyc cot..' +=
[ ] °=→+= 300,11cot.35012,0.15180 θθθ gtg
‰161,16,22cos1
2‰.cos22,6-2‰‰04,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 =
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰879,11,04‰2‰-‰161,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 4,218‰04,1210000. ==σ
( ) MPay 6,394‰879,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /0,3903,11.350320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /4,4083,11cot.3502160cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /5,18213,11cot3,11.350cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /86,1784,21
390 2==
mcmasy /35,1046,39
4,408 2=−−
=
mcmaaa sysxstotal /21,2835,1086,17 2=+=+=
81
4.5 Painel H
°=→−
−=−= 565,265501100cot θθ
xy
y
nn
g
mkNn
nnn
y
xyxsx /0,595
1100550320
22
=−
−=−=
mcmn
asx
sxsx /69,13
5015,1.595 2===
σ
0=sya
( ) mkNn
nnn
y
xyyc /0,1375
11005501100
22
=−
−−−=−−=
MPafMPamkNhn
cdc
c 64,946,11/1145812,0
13752
2 =>====σ e max2fc ≅σ
82
ny (kN/m) -1100nxy (kN/m) 550h (m) 0,12asx (cm2/m) 13,69asy (cm2/m) 0fyx (kN/cm2) 434,78fyy (kN/cm2) 434,78f'c (MPa) 15,18ε'c (‰) -2ε1 (‰) 3,087θ (°) 26,565θ (rad) 0,4636nsx (kN/m) 595,00nsy (kN/m) 0,00nc (kN/m) 1375,00f2 max (MPa) 11,46f2 max (MPa) 11,46f2 (MPa) 11,46f2/f2 maxε2 (‰) -1,995εx (‰) 2,071εy (‰) -0,979γxy/2 (‰) 2,033σsx (MPa) 434,83σsx (MPa) 434,78σsy (MPa) -205,51σsy (MPa) -205,51
Baumann
nx (kN/m) 320 320,21-1100,00
595,210,00
1,00
83
4.6 Painel I
Adotando-se mkNny /16501100.5,1 ≅=
Fixando-se xε em ‰07,2=yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtg cot.550
2cos12cos.‰2‰2‰07,2.2.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+569,26cot.550
2cos12cos.‰2‰14,6.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰088,3138,53cos1
382‰.cos53,1-2‰‰07,2.22cos1
2cos.‰2‰2.21 >=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰982,02,07‰2‰-‰088,321 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 8,434=σ
( ) MPay 2,206‰982,0.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /0,595569,26.550320 =°+=+= θ
84
mkNgg.nnn xyysy /2,550569,26cot.5501650cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /9,1374569,26cot569,26.550cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /68,1348,43
595 2==
mcmasy /68,2662,202,550 2=
−−
=
mcmaaa sysxstotal /36,4068,2668,13 2=+=+=
Fixando-se xε em ‰55,1.75,0 =yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtg cot.550
2cos12cos.‰2‰2‰55,1.2.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+373,22cot.550
2cos12cos.‰2‰1,5.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰151,2746,44cos1
462‰.cos44,7-2‰‰55,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 >=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰399,11,55‰2‰-‰151,221 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 5,325‰55,1210000. ==σ
( ) MPay 8,293‰399,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /4,546373,22.550320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /8,313373,22cot.5501650cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /6,1562373,22cot373,22.550cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /79,1655,32
4,546 2==
mcmasy /68,1038,298,313 2=
−−
=
mcmaaa sysxstotal /47,2768,1079,16 2=+=+=
85
Fixando-se xε em ‰04,1.50,0 =yxε vem:
[ ]θθ
θθε
gtgnhfxy
x
c cot.
2cos12cos.‰2‰2.2.1708,0
.'+=
+−+
+
[ ]θθ
θθ
gtg cot.550
2cos12cos.‰2‰2‰04,1.2.1708,0
12,0.15180+=
+−+
+
[ ] °=→+=
+−
+486,19cot.550
2cos12cos.‰2‰08,4.1708,0
12,0.15180 θθθ
θθ
gtg
1,176‰‰421,1972,38cos1
722‰.cos38,9-2‰‰04,1.22cos1
2cos.‰2‰2.21 >=
°+°+
=+
−+=
θθε
ε x
‰619,11,04‰2‰-‰421,121 −=→+=→+=+ yyyx εεεεεε
MPax 4,218‰04,1210000. ==σ
( ) MPay 0,340‰619,1.210000 −=−=σ
mkNtg.tgnnn xyxsx /6,514486,19.550320 =°+=+= θ
mkNgg.nnn xyysy /6,95486,19cot.5501650cot −=°+−=+= θ
[ ] [ ] mkNgtggtgnn xyc /0,1749486,19cot486,19.550cot. =°+°=+= θθ
mcmasx /56,2384,21
6,514 2==
mcmasy /81,234
6,95 2=−
−=
mcmaaa sysxstotal /37,2681,256,23 2=+=+=
86
Painel εx (‰) εy (‰) ε1 (‰) ε2 (‰) nc (KN/m) asx asy astotal
2,07 -1,976 2,094 -2,000 1576 7,57 17,67 25,241,55 -1,982 1,568 -2,000 1708 10,09 14,43 24,521,04 -1,987 1,053 -2,000 1861 15,01 11,65 26,662,07 -1,760 2,310 -2,000 1527 9,31 19,42 28,731,55 -1,828 1,722 -2,000 1667 12,20 14,85 27,051,04 -1,879 1,161 -2,000 1826 17,86 10,35 28,212,07 -0,982 3,088 -2,000 1375 13,68 26,68 40,361,55 -1,399 2,151 -2,000 1563 16,79 10,68 27,471,04 -1,619 1,421 -2,000 1749 23,56 2,81 26,37
Tabela 4.1 - Comparação das deformações e das armaduras
E
G
I
Painel E
010
2030
0 1 2 3
def.x
As
(cm
2/m
)
AsxAsyAs total
Figura 4.1 – Gráfico das armaduras em função da deformação εx para o painel E
Painel G
010203040
0 1 2 3
def. x
As
(cm
2/m
)
AsxAsyAs total
Figura 4.2 – Gráfico das armaduras em função da deformação εx para o painel G
87
Painel I
020
4060
0 1 2 3
def. xA
s (c
m2/
m)
AsxAsyAs total
Figura 4.3 – Gráfico das armaduras em função da deformação εx para o painel I
Painel E
15001600170018001900
0 1 2 3
def. x
nc (K
N/m
)
Figura 4.4 – Gráfico do esforço nc em função da deformação εx para o painel E
Painel G
15001600170018001900
0 1 2 3
def. x
nc (K
N/m
)
Figura 4.5 – Gráfico do esforço nc em função da deformação εx para o painel G
88
Painel I
0500
100015002000
0 1 2 3
def. xnc
(KN/
m)
Figura 4.6 – Gráfico do esforço nc em função da deformação εx para o painel I
89
5 Estudo da armadura de compressão no caso IV
5.1 Equilíbrio
O caso IV ocorre quando ambas as forças são de compressão, nx<0 ,ny<0 e
nx.ny≥nxy2, não sendo necessária armadura de tração. Nesta situação serão
instaladas armaduras, onde efetua-se o equilíbrio das forças num trecho do
elemento de chapa, onde um dos lados é paralelo a um dos planos principais,
conforme ilustra a figura 5.1.
Figura 5.1 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção de ε2
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a zero vem:
0..cos.. =−++− θθθθ sennsennnsenn csxxyx
θθθθ sennnsennsenn sxxyxc .cos... ++−=
sxxyxc ngnnn ++−= θcot.
θgnnnn xyxsxc cot.+−= (5.1)
xy
sxxc
nnnng −+
=θcot (5.2)
90
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo y igual a zero vem:
0cos.cos..cos. =+−− θθθθ csyxyy nnsennn
θθθθ cos..cos.cos. syxyyc nsennnn ++−=
θtgnnnn xyysyc .+−= (5.3)
sxxc
xyxyysyc nnn
nnnnn
−++−= .
sxxc
xyysyc nnn
nnnn
−++−=
2
( ) ( ) ( ) 2... xyysxxcsysxxccsxxc nnnnnnnnnnnnn +−+−−+=−+
22 ........ xyysxyxcysysxsyxcsycsxcxc nnnnnnnnnnnnnnnnnn ++−−−+=−+
0........ 22 =−−+++−−−+ xyysxyxcysysxsyxcsycsxcxc nnnnnnnnnnnnnnnnnn
( ) 0..... 22 =−−++−−+−+ xyysxyxsysxsyxcsyysxxc nnnnnnnnnnnnnnn
( ) ( )[ ] ( )22 .....4 xyysxyxsysxsyxsyysxx nnnnnnnnnnnnn −−++−−−+−=∆
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 .4..4..2 xysyysxxsyysyysxxsxx nnnnnnnnnnnnn +−−−−+−−+−=∆
( ) ( )( ) ( ) 222 .4..2 xysyysyysxxsxx nnnnnnnnn +−+−−−−=∆
( ) ( )[ ] 22 .4 xysyysxx nnnnn +−−−=∆
( ) ( ) ( )[ ]2
.4 22xysyysxxsyysxx
c
nnnnnnnnnn
+−−−±−+−−=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 22
42 xysyysxxsyysxx
c nnnnnnnnn
n +−−−
±−+−
−= (5.4)
Observa-se que esta expressão é semelhante à (2.4.1), onde no lugar de e de ,
aparecem os termos e
xn yn
sxx nn − syy nn − respectivamente.
( ) 22
42 xyyxyx
c nnnnn
n +−
±+
−= (2.41)
A expressão (5.4) consta no Bulletin d’ Information n° 223, na página 182.
91
Entretanto enquanto que na expressão (2.41), depende exclusivamente do
carregamento aplicado, na equação (5.4) depende dos esforços nas armaduras que
não se conhece, pois não são conhecidas as deformações.
cn
Portanto é mais interessante utilizar outra expressão que seja mais fácil de operar
para a obtenção de . cn
Efetuando-se o equilíbrio das forças no trecho do elemento de chapa, onde um dos
lados é paralelo ao outro plano principal, conforme ilustra a figura 5.2, vem:
Figura 5.2 – trecho do elemento de chapa com uma face perpendicular à direção de ε1
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo x igual a zero vem:
0cos.'cos.cos.. =+−+ θθθθ csxxxy nnnsenn
θθθθ sennnnn xycxsx .cos.'cos.cos. ++=
θtgnnnn xycxsx .' ++= (5.5)
Fazendo-se a somatória das forças na direção do eixo y igual a zero vem:
0.'.cos.. =+−+ θθθθ sennsennnsenn csyxyy
θθθθ cos..'.. xycysy nsennsennsenn ++=
θgnnnn xycysy cot.' ++= (5.6)
Substituindo-se (5.5) em (5.1) vem:
92
θθ gnntgnnnn xyxxycxc cot..' +−++=
θθ gntgnnn xyxycc cot..' ++=
( )θθ gtgnnn xycc cot.' ++= (5.7)
Analogamente, substituindo-se (5.6) em (5.3) chega-se à mesma expressão anterior.
5.2 Painel J
Será estudado um painel hipotético utilizando apenas o Método de Baumann, onde
nx < 0, ny < 0 e nx.ny > nxy2, em que a tensão no concreto é igual a .
O painel tem espessura de 12cm, armadura CA50 e concreto f
cdff .85,0max2 =
ck=25 MPa.
( ) ( ) 22
22
8354
70012002
700120042
+−−−
±−−
−=+−
±+
−= xyyxyx
c nnnnn
n
62,871950 ±=cn
mkNnc /6,1821=
mkNn c /4,78' =
93
°=→−
=+
= 33,53835
12006,1821cot θθxy
xc
nnng
cdc
c fMPamkNhn
.85,018,15/1518012,0
6,1821 2 =====σ
MPafc 18,15max2 ==σ
MPamkNh
n cc 65,0/653
12,04,78'
' 2 ====σ
‰043,018,1565,011.‰211.'
max2
11 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
ff
cεε
‰218,1518,1511.‰211.'
max2
22 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
ff
cεε
°+−
+−−
=−
++
= 66,106cos.2
2‰‰043,02
‰2‰043,02cos.22
2121 θεεεεε x
‰302,1−=xε
°+−
−−−
=−
−+
= 66,106cos.2
2‰‰043,02
‰2‰043,02cos.22
2121 θεεεε
ε y
‰741,0−=yε
0== sysx aa
Aumentando-se o valor de e , a deformação xn yn 2ε mantém-se em -2‰. Uma vez
fixado θ , calcula-se a partir da expressão cn hfhfn cc .'.max2 == . Conhecido o valor
de , determina-se utilizando-se a expressão cn cn' ( )θθ gtgnnn xycc cot.' ++= (5.7) e
em seguida, 1'
' fh
n cc ==σ . Com o valor de c'σ ,calcula-se a deformação 1ε , que é de
compressão, a partir da expressão ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
max2
11 11.'
ff
cεε .
A partir de 1ε , 2ε e θ , calcula-se θεεεεε 2cos.22
2121 −+
+=x (2.17) e
θεεεεε 2cos.22
2121 −−
+=y (2.18) e determina-se sxσ e syσ .
94
Por fim, calculam-se os esforços nas armaduras com as expressões
θtgnnnn xycxsx .' ++= (5.5) e θgnnnn xycysy cot.' ++= (5.6) e as respectivas
armaduras.
5.3 Painel K
Considerando-se o carregamento do painel J, e serão aumentados em 50℅. xn yn
mkNnx /18005,1.1200 −=−=
mkNnx /10505,1.700 −≅=−=
Fixando-se °= 33,53θ , vem:
mkNnc /6,1821=
mkNn c /4,78' =
‰043,01 −=ε
‰22 −=ε
‰302,1−=xε
‰741,0−=yε
( ) -273,4MPa‰302,1.210000 =−=sxσ
95
( ) -155,6MPa‰741,0.210000 =−=syσ
mkNtgtgnnnn xycxsx /60033,53.8354,781800.' −=°++−=++= θ
mkNggnnnn xycysy /35033,53cot.8354,781050cot.' −=°++−=++= θ
mcmasx /95,2134,27
600 2=−−
=
mcmasy /49,2256,15
350 2=−−
=
mcmaaa sysxstotal /44,4449,2295,21 2=+=+=
Fixando-se °= 49θ , vem:
( ) ( )°+°+=→++= 49cot49.835'6,1821cot.' gtgngtgnnn cxycc θθ
( ) mkNgtgn c /2,13549cot49.8356,1821' =°+°−=
MPamkNh
n cc 13,1/1127
12,02,135'
' 2 ====σ
‰076,018,15
13,111.‰211.'max2
11 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
ff
cεε
‰172,198cos.2
2‰‰076,02
2‰-‰076,02cos.22
2121 −=°+−
+−
=−
++
= θεεεεε x
‰904,098cos.2
2‰‰076,02
2‰-‰076,02cos.22
2121 −=°+−
−−
=−
−+
= θεεεεε y
( ) -246,1MPa‰172,1.210000 =−=sxσ
( ) -189,8MPa‰904,0.210000 =−=syσ
mkNtgtgnnnn xycxsx /2,70449.8352,1351800.' −=°++−=++= θ
mkNggnnnn xycysy /9,18849cot.8352,1351050cot.' −=°++−=++= θ
mcmasx /61,2861,242,704 2=
−−
=
mcmasy /95,998,189,188 2=
−−
=
mcmaaa sysxstotal /56,3895,961,28 2=+=+=
Fixando-se °= 45θ , vem:
96
( ) ( )°+°+=→++= 45cot45.835'6,1821cot.' gtgngtgnnn cxycc θθ
( ) mkNgtgn c /6,15145cot45.8356,1821' =°+°−=
MPamkNh
n cc 26,1/1263
12,06,151'
' 2 ====σ
‰085,018,1526,111.‰211.'
max2
11 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
ff
cεε
‰043,190cos.2
2‰‰085,02
2‰-‰085,02cos.22
2121 −=°+−
+−
=−
++
= θεεεεε x
‰043,190cos.2
2‰‰085,02
2‰-‰085,02cos.22
2121 −=°+−
−−
=−
−+
= θεεεεε y
( ) -219,0MPa‰043,1.210000 =−== sysx σσ
mkNtgtgnnnn xycxsx /4,81345.8356,1511800.' −=°++−=++= θ
mkNggnnnn xycysy /4,6345cot.8356,1511050cot.' −=°++−=++= θ
mcmasx /14,379,214,813 2=
−−
=
mcmasy /89,29,214,63 2=
−−
=
mcmaaa sysxstotal /03,4089,214,37 2=+=+=
97
Painel ε1 (‰) ε2 (‰) εx (‰) εy (‰) θ (‰) nc (KN/m) Asx Asy Astotal
-0,043 -2,000 -1,302 -0,741 53,330 1821,6 21,95 22,49 44,44-0,076 -2,000 -1,172 -0,904 49,000 1821,6 28,61 9,95 38,56-0,085 -2,000 -1,043 -1,043 45,000 1821,6 37,14 2,89 40,03
Tabela 5.1 - Quadro comparativo das deformações e armaduras
K
Painel K
020
4060
40,000 45,000 50,000 55,000
ângulo (°)
As
(cm
2/m
)
AsxAsyAs total
Figura 5.3 – Gráfico das armaduras em função do ângulo θ para o painel K
98
6 Discussão dos resultados
Verifica-se que as tensões de compressão no concreto obtidas através de Baumann
são maiores que as do MCFT, e em geral maiores do que as experimentais.
Pelo fato de desconsiderar a resistência à tração do concreto entre fissuras, as
deformações na direção perpendicular às fissuras ficam superestimadas, conduzindo
a valores de resistência à compressão, na direção paralela às fissuras, a favor da
segurança.
Nos painéis PV23 e PV25 foi necessário aumentar o f´c em 41% para o primeiro e
30% para o segundo, uma vez que as tensões no concreto σc resultaram acima da
curva tensão-deformação; as deformações ε2 medidas no ensaio resultaram 33% e
47% acima de ε’c, para os painéis PV23 e PV25 respectivamente. Para estes painéis
houve ruptura do concreto e, o que se espera é que a tensão de ruptura seja
superior a f´c , que é a resistência característica do concreto segundo o ACI 318 e, a
deformação de ruptura ε2 seja superior a ε’c, o que de fato ocorreu. Em virtude da
necessidade do aumento do f´c, houve uma incoerência entre as deformações e
tensões do ensaio e os resultados analíticos para os painéis PV23 e PV25.
Nos painéis PV21, PV22 e PV28 também foi necessário aumentar o f´c em
aproximadamente 10% , já que as tensões no concreto σc resultaram acima da
curva tensão-deformação. Entretanto houve uma distorção entre as deformações do
ensaio e os resultados analíticos somente para o painel PV28.
As tensões experimentais médias medidas nas armaduras deveriam ser sempre
menores do que os valores obtidos analiticamente na região das fissuras, o que nem
sempre ocorreu, provavelmente devido à baixa contribuição da resistência à tração
do concreto na situação de ruptura, onde há intensa fissuração dos painéis.
Comparando-se Baumann com o MCFT, observa-se que em geral há um
alinhamento entre as tensões e deformações nas armaduras nas fissuras, havendo
pouca diferença entre ambos.
À semelhança do que aconteceu com as tensões, as deformações experimentais
deveriam ser sempre menores do que as obtidas por Baumann e o MCFT.
99
Em particular para os painéis PV11 e PV21, as deformações médias experimentais
medidas nas armaduras para a situação de ruptura se mostraram bastante
superiores às obtidas analiticamente pelo Baumann e o MCFT.
Esta diferença na previsão dos modelos pode ter ocorrido porque algumas das suas
hipóteses básicas foram violadas, tais como a coincidência entre a direção das
deformações e tensões principais. As deformações εy atingiram 2,37 e 3,59 vezes as
respectivas deformações de escoamento das armaduras.
Para corrigir as deficiências do MCFT devido à presença de grandes deformações
nas armaduras, Vecchio implementou o DSFM com modificações nas hipóteses em
relação às adotadas no primeiro. Neste trabalho não foi abordado o DSFM, uma vez
que para o dimensionamento não é interessante ter deformações nas armaduras
superiores às do início do patamar do escoamento, que podem levar à uma
fissuração exagerada.
De uma maneira geral pode-se afirmar que tanto o Método de Baumann quanto o
MCFT conduzem à resultados bastante satisfatórios, quando comparados com os
resultados de modelos físicos, nos casos onde as deformações nas armaduras
situam-se abaixo das deformações do início do patamar de escoamento e, nos
casos onde a deformação do concreto está abaixo de ε’c. Os painéis PV1, PV5, PV7,
PV22, PV26, PV30 apresentaram resultados bastante satisfatórios.
100
7 Conclusões
Apesar das hipóteses simplificadoras, o método de Baumann respeita as condições
de equilíbrio e compatibilidade de deformações e apresenta resultados bastante
satisfatórios para efeito de dimensionamento.
Utilizou-se neste método a curva tensão-deformação da norma NBR 6118 com a
função de amolecimento do concreto, proposta por Vecchio e Collins, ficando
totalmente dispensável a comparação da resistência do concreto com fcd2, já que a
curva leva em conta o amolecimento do concreto com a variação da deformação
principal de tração.
O Método de Baumann permite o dimensionamento ao se fixar o ângulo θ de
inclinação das fissuras tal que, a partir de um determinado carregamento ou
solicitações obtidas de uma análise estrutural em regime elástico, determinam-se
facilmente as armaduras. Já ao passo que o MCFT é um método de verificação,
onde a partir de um determinado arranjo de armaduras obtêm-se as tensões e
deformações de forma iterativa.
O Método de Baumann, ao superestimar as deformações, se mostra menos realista
na representação do concreto armado fissurado.
O método de Baumann fica completo com a inclusão da utilização das armaduras de
compressão nos casos III e IV. Numa primeira análise para o caso III, é interessante
dimensionar a armadura de tração com a tensão de escoamento, pois desta maneira
é esperada uma ruptura avisada e o problema fica determinado.
Entretanto pode-se admitir uma tensão inferior à de escoamento, ficando esta
determinada a partir de um critério que minimize o consumo total de armadura ou,
maximize a capacidade resistente da diagonal comprimida.
Com relação à utilização das armaduras de compressão no caso IV, como critério de
dimensionamento adota-se dentre as várias possibilidades para o ângulo de
inclinação das direções principais aquele que minimiza o consumo da armadura.
Para os casos III e IV, o ponto que minimiza a armadura total foi determinado por
tentativas, ficando como sugestão para trabalhos futuros a determinação da
expressão analítica para o dimensionamento econômico.
101
Por fim, este trabalho traz uma importante contribuição na utilização das armaduras
de compressão, especialmente no caso III, onde não há nenhuma literatura a
respeito deste assunto e, também no caso IV, pois a única literatura existente não
mostra a aplicação prática.
102
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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VECCHIO, F.J. Mechanics of Reinforced Concrete Course Syllabus, University of
Sao Paulo, March 2008.
104
APÊNDICE A – Resultados detalhados dos modelos físicos
Painel PV1
105
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 561,4h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 11,76fyx (kN/cm2) 483fyy (kN/cm2) 483f'c (MPa) 34,5ε'c (‰) -2,2ε1 (‰) 5,673θ (°) 45,353θ (rad) 0,7916nsx (kN/m) 568,36nsy (kN/m) 554,52nc (kN/m) 1122,89f2 max (MPa) 19,55f2 max (MPa) 19,55f2 (MPa) 16,04f2/f2 maxε2 (‰) -1,268εx (‰) 2,160εy (‰) 2,245γxy/2 (‰) 3,470σsx (MPa) 453,59σsx (MPa) 453,59σsy (MPa) 471,54σsy (MPa) 471,54
Baumann
nx (kN/m) 0 -0,020,01
568,34554,54
0,82
106
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,0010,000
1,102,09
0,74
fy (MPa) 0v (MPa) 8,02ρx 0,0179ρy 0,0168fyx (MPa) 483fyy (MPa) 483sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 34,5ε'c (‰) 2,2ag (mm) 6ε1 (‰) 5,065θ' (°) 44,656θ' (rad) 0,7794sθ' 35,36w (mm) 0,18f1 (MPa) 0,748f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 15,29f2max (MPa) 20,77f2max (MPa) 20,77f2/f2maxε2 (‰) 1,070εx (‰) 1,961εy (‰) 2,034γxy (‰) 6,135fsx (MPa) 411,71fsx (MPa) 411,71fsy (MPa) 427,18fsy (MPa) 427,18∆ε1cr (‰) 0,411εxcr (‰) 2,164εycr (‰) 2,242fsxcr (MPa) 454,35fsxcr (MPa) 454,35fsycr (MPa) 470,85fsycr (MPa) 470,85f1 (MPa) 0,748vci (MPa) 0,01
107
Painel PV5
Baumann
nx (kN/m) 0 0,010,01
296,81296,81
0,56
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 296,8h (m) 0,07asx (cm2/m) 5,18asy (cm2/m) 5,18fyx (kN/cm2) 621fyy (kN/cm2) 621f'c (MPa) 28,3ε'c (‰) -2,5ε1 (‰) 6,300θ (°) 45,000θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 296,80nsy (kN/m) 296,80nc (kN/m) 593,60f2 max (MPa) 15,13f2 max (MPa) 15,13f2 (MPa) 8,48f2/f2 maxε2 (‰) -0,843εx (‰) 2,729εy (‰) 2,729γxy/2 (‰) 3,571σsx (MPa) 573,00σsx (MPa) 573,00σsy (MPa) 573,00σsy (MPa) 573,00
108
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,0000,000
1,021,87
0,47
fy (MPa) 0v (MPa) 4,24ρx 0,0074ρy 0,0074fyx (MPa) 621fyy (MPa) 621sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 28,3ε'c (‰) 2,5ag (mm) 6ε1 (‰) 5,272θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,19f1 (MPa) 0,669f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 7,81f2max (MPa) 16,68f2max (MPa) 16,68f2/f2maxε2 (‰) 0,677εx (‰) 2,298εy (‰) 2,298γxy (‰) 5,949fsx (MPa) 482,49fsx (MPa) 482,49fsy (MPa) 482,49fsy (MPa) 482,49∆ε1cr (‰) 0,861εxcr (‰) 2,728εycr (‰) 2,728fsxcr (MPa) 572,90fsxcr (MPa) 572,90fsycr (MPa) 572,90fsycr (MPa) 572,90f1 (MPa) 0,669vci (MPa) 0,00
109
Painel PV7
Baumann
nx (kN/m) 0 -0,02-0,02
476,68476,68
0,71
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 476,7h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 453fyy (kN/cm2) 453f'c (MPa) 31ε'c (‰) -2,5ε1 (‰) 4,772θ (°) 45,000θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 476,70nsy (kN/m) 476,70nc (kN/m) 953,40f2 max (MPa) 19,24f2 max (MPa) 19,24f2 (MPa) 13,62f2/f2 maxε2 (‰) -1,149εx (‰) 1,812εy (‰) 1,812γxy/2 (‰) 2,960σsx (MPa) 380,43σsx (MPa) 380,43σsy (MPa) 380,43σsy (MPa) 380,43
110
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,0010,001
2,052,12
0,63
fy (MPa) 0v (MPa) 6,81ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 453fyy (MPa) 453sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 31ε'c (‰) 2,5ag (mm) 6ε1 (‰) 4,201θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,15f1 (MPa) 0,750f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 12,87f2max (MPa) 20,47f2max (MPa) 20,47f2/f2maxε2 (‰) 0,976εx (‰) 1,612εy (‰) 1,612γxy (‰) 5,177fsx (MPa) 338,58fsx (MPa) 338,58fsy (MPa) 338,58fsy (MPa) 338,58∆ε1cr (‰) 0,399εxcr (‰) 1,812εycr (‰) 1,812fsxcr (MPa) 380,47fsxcr (MPa) 380,47fsycr (MPa) 380,47fsycr (MPa) 380,47f1 (MPa) 0,750vci (MPa) 0,00
111
Painel PV11
Baumann
nx (kN/m) 0 0,030,01
288,22215,50
0,69
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 249,2h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 9,17fyx (kN/cm2) 235fyy (kN/cm2) 235f'c (MPa) 15,6ε'c (‰) -2,6ε1 (‰) 4,104θ (°) 49,150θ (rad) 0,8578nsx (kN/m) 288,19nsy (kN/m) 215,48nc (kN/m) 503,68f2 max (MPa) 10,42f2 max (MPa) 10,42f2 (MPa) 7,20f2/f2 maxε2 (‰) -1,154εx (‰) 1,095εy (‰) 1,854γxy/2 (‰) 2,602σsx (MPa) 230,02σsx (MPa) 230,02σsy (MPa) 389,43σsy (MPa) 235,00
112
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,0000,000
0,661,72
0,52
fy (MPa) 0v (MPa) 3,56ρx 0,0179ρy 0,0131fyx (MPa) 235fyy (MPa) 235sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 15,6ε'c (‰) 2,6ag (mm) 6ε1 (‰) 2,649θ' (°) 43,55θ' (rad) 0,7601sθ' 35,37w (mm) 0,09f1 (MPa) 0,606f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 6,52f2max (MPa) 12,48f2max (MPa) 12,48f2/f2maxε2 (‰) 0,804εx (‰) 0,835εy (‰) 1,010γxy (‰) 3,449fsx (MPa) 175,38fsx (MPa) 175,38fsy (MPa) 212,07fsy (MPa) 212,07∆ε1cr (‰) 0,529εxcr (‰) 1,086εycr (‰) 1,288fsxcr (MPa) 228,12fsxcr (MPa) 228,12fsycr (MPa) 270,43fsycr (MPa) 235,00f1 (MPa) 0,606vci (MPa) 0,32
113
Painel PV21
Baumann
nx (kN/m) 0 0,02-0,01
451,10274,82
0,94
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 352,1h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 9,1fyx (kN/cm2) 458fyy (kN/cm2) 302f'c (MPa) 21,5ε'c (‰) -1,8ε1 (‰) 6,760θ (°) 52,026θ (rad) 0,9080nsx (kN/m) 451,09nsy (kN/m) 274,83nc (kN/m) 725,92f2 max (MPa) 11,03f2 max (MPa) 11,03f2 (MPa) 10,37f2/f2 maxε2 (‰) -1,360εx (‰) 1,714εy (‰) 3,686γxy/2 (‰) 3,938σsx (MPa) 360,02σsx (MPa) 360,02σsy (MPa) 774,03σsy (MPa) 302,00
114
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,000-0,001
1,501,84
0,63
fy (MPa) 0v (MPa) 5,03ρx 0,0179ρy 0,0130fyx (MPa) 458fyy (MPa) 302sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 21,5ε'c (‰) 1,8ag (mm) 6ε1 (‰) 3,725θ' (°) 42,28θ' (rad) 0,7379sθ' 35,40w (mm) 0,13f1 (MPa) 0,647f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 9,46f2max (MPa) 15,00f2max (MPa) 15,00f2/f2maxε2 (‰) 0,706εx (‰) 1,300εy (‰) 1,720γxy (‰) 4,411fsx (MPa) 272,90fsx (MPa) 272,90fsy (MPa) 361,11fsy (MPa) 302,00∆ε1cr (‰) 0,840εxcr (‰) 1,680εycr (‰) 2,179fsxcr (MPa) 352,74fsxcr (MPa) 352,74fsycr (MPa) 457,68fsycr (MPa) 302,00f1 (MPa) 0,647vci (MPa) 0,71
Nota: f’c do ensaio =19,5 MPa; f’c adotado =21,5 MPa (para não ocorrer compressão
excessiva do concreto)
115
Painel PV22
Baumann
nx (kN/m) 0 -0,02-0,01
436,84413,26
0,97
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 424,9h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 10,64fyx (kN/cm2) 458fyy (kN/cm2) 420f'c (MPa) 21ε'c (‰) -2ε1 (‰) 5,167θ (°) 45,795θ (rad) 0,7993nsx (kN/m) 436,86nsy (kN/m) 413,27nc (kN/m) 850,13f2 max (MPa) 12,51f2 max (MPa) 12,51f2 (MPa) 12,14f2/f2 maxε2 (‰) -1,657εx (‰) 1,660εy (‰) 1,850γxy/2 (‰) 3,411σsx (MPa) 348,63σsx (MPa) 348,63σsy (MPa) 388,40σsy (MPa) 388,40
116
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,001-0,001
1,811,72
0,85
fy (MPa) 0v (MPa) 6,07ρx 0,0179ρy 0,0152fyx (MPa) 458fyy (MPa) 420sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 21ε'c (‰) 2ag (mm) 6ε1 (‰) 4,377θ' (°) 44,19θ' (rad) 0,7713sθ' 35,36w (mm) 0,15f1 (MPa) 0,610f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 11,53f2max (MPa) 13,60f2max (MPa) 13,60f2/f2maxε2 (‰) 1,221εx (‰) 1,499εy (‰) 1,657γxy (‰) 5,595fsx (MPa) 314,80fsx (MPa) 314,80fsy (MPa) 348,04fsy (MPa) 348,04∆ε1cr (‰) 0,352εxcr (‰) 1,670εycr (‰) 1,838fsxcr (MPa) 350,72fsxcr (MPa) 350,72fsycr (MPa) 386,04fsycr (MPa) 386,04f1 (MPa) 0,609vci (MPa) 0,03
Nota: f’c do ensaio =19,6 MPa; f’c adotado =21,0 MPa (para não ocorrer compressão
excessiva do concreto)
117
Painel PV23
Baumann
nx (kN/m) -242,2 -242,19-242,19
378,71378,71
0,95
ny (kN/m) -242,2nxy (kN/m) 620,9h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 518fyy (kN/cm2) 518f'c (MPa) 29ε'c (‰) -2ε1 (‰) 4,433θ (°) 45,00θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 378,70nsy (kN/m) 378,70nc (kN/m) 1241,80f2 max (MPa) 18,67f2 max (MPa) 18,67f2 (MPa) 17,74f2/f2 maxε2 (‰) -1,554εx (‰) 1,439εy (‰) 1,439γxy/2 (‰) 2,994σsx (MPa) 302,24σsx (MPa) 302,24σsy (MPa) 302,24σsy (MPa) 302,24
118
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) -3,46 -3,460-3,460
4,622,15
0,83
fy (MPa) -3,46v (MPa) 8,87ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 518fyy (MPa) 518sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 29ε'c (‰) 2ag (mm) 6ε1 (‰) 3,659θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,13f1 (MPa) 0,755f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 16,98f2max (MPa) 20,39f2max (MPa) 20,39f2/f2maxε2 (‰) 1,182εx (‰) 1,238εy (‰) 1,238γxy (‰) 4,841fsx (MPa) 260,05fsx (MPa) 260,05fsy (MPa) 260,05fsy (MPa) 260,05∆ε1cr (‰) 0,401εxcr (‰) 1,439εycr (‰) 1,439fsxcr (MPa) 302,16fsxcr (MPa) 302,16fsycr (MPa) 302,16fsycr (MPa) 302,16f1 (MPa) 0,754vci (MPa) 0,00
Nota: f’c do ensaio =20,5 MPa; f’c adotado =29,0 MPa (para não ocorrer compressão
excessiva do concreto)
119
Painel PV25
Baumann
nx (kN/m) -440,3 -440,32-440,32
198,08198,08
0,94
ny (kN/m) -440,3nxy (kN/m) 638,4h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 466fyy (kN/cm2) 466f'c (MPa) 25ε'c (‰) -1,8ε1 (‰) 2,858θ (°) 45,00θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 198,10nsy (kN/m) 198,10nc (kN/m) 1276,80f2 max (MPa) 19,44f2 max (MPa) 19,44f2 (MPa) 18,24f2/f2 maxε2 (‰) -1,352εx (‰) 0,753εy (‰) 0,753γxy/2 (‰) 2,105σsx (MPa) 158,09σsx (MPa) 158,09σsy (MPa) 158,09σsy (MPa) 158,09
120
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) -6,29 -6,289-6,289
6,332,31
0,80
fy (MPa) -6,29v (MPa) 9,12ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 466fyy (MPa) 466sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 25ε'c (‰) 1,8ag (mm) 6ε1 (‰) 2,072θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,07f1 (MPa) 0,818f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 17,42f2max (MPa) 21,70f2max (MPa) 21,70f2/f2maxε2 (‰) 1,001εx (‰) 0,535εy (‰) 0,535γxy (‰) 3,073fsx (MPa) 112,45fsx (MPa) 112,45fsy (MPa) 112,45fsy (MPa) 112,45∆ε1cr (‰) 0,435εxcr (‰) 0,753εycr (‰) 0,753fsxcr (MPa) 158,12fsxcr (MPa) 158,12fsycr (MPa) 158,12fsycr (MPa) 158,12f1 (MPa) 0,818vci (MPa) 0,00
Nota: f’c do ensaio =19,2 MPa; f’c adotado =25,0 MPa (para não ocorrer compressão
excessiva do concreto)
121
Painel PV26
Baumann
nx (kN/m) 0 0,000,01
438,13327,34
0,90
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 378,7h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 7,07fyx (kN/cm2) 456fyy (kN/cm2) 463f'c (MPa) 21,3ε'c (‰) -1,9ε1 (‰) 5,647θ (°) 49,161θ (rad) 0,8580nsx (kN/m) 438,12nsy (kN/m) 327,34nc (kN/m) 765,46f2 max (MPa) 12,10f2 max (MPa) 12,10f2 (MPa) 10,94f2/f2 maxε2 (‰) -1,310εx (‰) 1,665εy (‰) 2,672γxy/2 (‰) 3,442σsx (MPa) 349,66σsx (MPa) 349,66σsy (MPa) 561,12σsy (MPa) 463,00
122
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,0000,000
1,471,73
0,74
fy (MPa) 0v (MPa) 5,41ρx 0,0179ρy 0,0101fyx (MPa) 456fyy (MPa) 463sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 21,3ε'c (‰) 1,9ag (mm) 6ε1 (‰) 4,381θ' (°) 41,95θ' (rad) 0,7322sθ' 35,41w (mm) 0,16f1 (MPa) 0,614f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 10,27f2max (MPa) 13,79f2max (MPa) 13,79f2/f2maxε2 (‰) 0,940εx (‰) 1,438εy (‰) 2,003γxy (‰) 5,291fsx (MPa) 301,95fsx (MPa) 301,95fsy (MPa) 420,69fsy (MPa) 420,69∆ε1cr (‰) 0,503εxcr (‰) 1,663εycr (‰) 2,281fsxcr (MPa) 349,15fsxcr (MPa) 349,15fsycr (MPa) 479,11fsycr (MPa) 463,00f1 (MPa) 0,614vci (MPa) 0,21
123
Painel PV28
Baumann
nx (kN/m) 129,9 129,92129,92
535,92535,92
0,97
ny (kN/m) 129,9nxy (kN/m) 406h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 12,53fyx (kN/cm2) 483fyy (kN/cm2) 483f'c (MPa) 21ε'c (‰) -1,9ε1 (‰) 5,668θ (°) 45,00θ (rad) 0,7854nsx (kN/m) 535,90nsy (kN/m) 535,90nc (kN/m) 812,00f2 max (MPa) 11,91f2 max (MPa) 11,91f2 (MPa) 11,60f2/f2 maxε2 (‰) -1,595εx (‰) 2,037εy (‰) 2,037γxy/2 (‰) 3,631σsx (MPa) 427,71σsx (MPa) 427,71σsy (MPa) 427,71σsy (MPa) 427,71
124
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 1,856 1,8551,855
1,581,65
0,86
fy (MPa) 1,856v (MPa) 5,8ρx 0,0179ρy 0,0179fyx (MPa) 483fyy (MPa) 483sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 21ε'c (‰) 1,9ag (mm) 6ε1 (‰) 4,952θ' (°) 45θ' (rad) 0,7854sθ' 35,36w (mm) 0,18f1 (MPa) 0,588f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 11,01f2max (MPa) 12,79f2max (MPa) 12,79f2/f2maxε2 (‰) 1,192εx (‰) 1,880εy (‰) 1,880γxy (‰) 6,144fsx (MPa) 394,84fsx (MPa) 394,84fsy (MPa) 394,84fsy (MPa) 394,84∆ε1cr (‰) 0,313εxcr (‰) 2,037εycr (‰) 2,037fsxcr (MPa) 427,71fsxcr (MPa) 427,71fsycr (MPa) 427,71fsycr (MPa) 427,71f1 (MPa) 0,588vci (MPa) 0,00
Nota: f’c do ensaio =19,0 MPa; f’c adotado =21,0 MPa (para não ocorrer compressão
excessiva do concreto)
125
Painel PV30
Baumann
nx (kN/m) 0 -0,04-0,02
399,29322,91
0,89
ny (kN/m) 0nxy (kN/m) 359,1h (m) 0,07asx (cm2/m) 12,53asy (cm2/m) 7,07fyx (kN/cm2) 437fyy (kN/cm2) 472f'c (MPa) 19,1ε'c (‰) -1,9ε1 (‰) 4,954θ (°) 48,036θ (rad) 0,8384nsx (kN/m) 399,33nsy (kN/m) 322,93nc (kN/m) 722,25f2 max (MPa) 11,63f2 max (MPa) 11,63f2 (MPa) 10,32f2/f2 maxε2 (‰) -1,262εx (‰) 1,517εy (‰) 2,175γxy/2 (‰) 3,090σsx (MPa) 318,66σsx (MPa) 318,66σsy (MPa) 456,73σsy (MPa) 456,73
126
Modified Compression Field Theory
fx (MPa) 0 0,0000,000
1,621,66
0,78
fy (MPa) 0v (MPa) 5,13ρx 0,0179ρy 0,0101fyx (MPa) 437fyy (MPa) 472sx (mm) 50sy (mm) 50f'c (MPa) 19,1ε'c (‰) 1,9ag (mm) 6ε1 (‰) 4,264θ' (°) 42,029θ' (rad) 0,7335sθ' 35,40w (mm) 0,15f1 (MPa) 0,586f1 max(MPa)vci max(MPa)f2 (MPa) 9,73f2max (MPa) 12,53f2max (MPa) 12,53f2/f2maxε2 (‰) 1,002εx (‰) 1,358εy (‰) 1,903γxy (‰) 5,238fsx (MPa) 285,24fsx (MPa) 285,24fsy (MPa) 399,73fsy (MPa) 399,73∆ε1cr (‰) 0,418εxcr (‰) 1,546εycr (‰) 2,134fsxcr (MPa) 324,59fsxcr (MPa) 324,59fsycr (MPa) 448,16fsycr (MPa) 448,16f1 (MPa) 0,586vci (MPa) 0,11