• 1.1 Conceituação de Derivadas • 1.2 Regras Básicas de Derivação • 1.3 Derivadas de...
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Cálculo I • Prof: Wildson Cruz • Email: [email protected] • Blog: www.engenhariaestacio.wordpress.com
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1.1 Conceituação de Derivadas•
1.2 Regras Básicas de Derivação•
1.3 Derivadas de ordem superior•
1.4 A Regra da Cadeia•
1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas•
1.6 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas•
1.8 Derivação Implícita•
1.9 Equação de reta tangente e normal
Unidade I DERIVADAS
• 2.1 Taxas Relacionadas•
2.2 Máximos e Mínimos.•
2.3 Problemas de Otimização
UNIDADE II- APLICAÇÕES DE DERIVADAS
• 3.1 Integral Indefinida•
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição•
3.3 Integrais Definidas•
3.3 Teorema Fundamental do Cálculo•
3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal
UNIDADE III- INTEGRAÇÃO
• 4.1 Procedimentos Algébricos•
4.2 Integração por Partes •
4.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais•
4.4 Regra de L´Hôpital e Integrais Impróprias
Unidade IV-Técnica de Integração
• 5.1 Cálculo de Volumes por fatiamento•
5.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo•
5.3 Cálculo do Comprimento curvas planas
UNIDADE V- APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS
Introdução
• Definição de Derivada• Exercícios.
Introdução
A Derivada
Introdução
• Definição de Derivada• Exercícios.
Introdução
• O que é uma derivada?• Problema: Determinar o coeficiente angular da reta
tangente ao gráfico de uma função em um ponto P dado.
A Reta Tangentet
sx1+∆x
f(x1+∆x)
y = f(x)
∆x
x1
f(x1)P
s
A Reta Tangentet
y = f(x)
∆x
x1
f(x1)
x1+∆x
f(x1+∆x)
tA Reta Tangente
x1
f(x1)
y = f(x)
∆x
x1+∆x
f(x1+∆x)
• Coeficiente Angular da Reta Tangente:
2 1 1 1
2 1
( ) ( )s
y y f x x f xym
x x x x
1 1
0 0 0
( ) ( )lim lim limt sx x x
f x x f xym m
x x
A Reta Tangente
• Coeficiente Angular da Reta Secante:
s
∆x
2 1x x x
2 1( )y f x x
1 1( )y f x
1x
( )y f x
t
∆y
Introdução
• EX: Calcular o coeficiente angular da reta tangente à parábola y= x2 no ponto P=(x1 , y1).
f(x)= x2
x
P=(x1 , f(x1))= (x1 , (x 1) 2)
1 1
0 0 0
( ) ( )lim lim limt sx x x
f x x f xym m
x x
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
0 0
( ) ( ) 2lim limt x x
x x x x x x x xm
x x
A Reta Tangente
x1+∆xx1
f(x1)
f(x1+∆x)
21 1
1 10 0 0
2 (2 )lim lim lim(2 ) 2t x x x
x x x x x xm x x x
x x
Introdução• Exercício em sala: Calcular o coeficiente angular da reta
tangente à parábola y= 2x2 +1 no ponto P=(x1 , y1).
f(x)= 2x2 +1
x
P=(x1 , f(x1))= (x1 , 2(x 1) 2 +1)
1 1
0 0 0
( ) ( )lim lim limt sx x x
f x x f xym m
x x
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
0 0
[2( ) 1] [2( ) 1] 2( 2 ) 1 2 1lim limt x x
x x x x x x x xm
x x
2 2 2
1 1 1 110 0
2 4 2 1 2 1 (4 2 )lim lim 4t x x
x x x x x x x xm x
x x
Introdução• Exercício em sala: Calcular o coeficiente angular da reta
tangente à parábola y= 2x2 +1 no ponto P=(-1 , 3).
1 1
0 0
( ) ( ) ( 1 ) ( 1)lim limt x x
f x x f x f x fm
x x
2 2 2
0 0
[2( 1 ) 1] 3 2(( 1) 2 ) 1 3lim limt x x
x x xm
x x
2
0 0
2 4 2 2 ( 4 2 )lim lim 4t x x
x x x xm
x x
f(x)= 2x2 +1
x
P=(-1 , f(-1))= (x1 , 2(-1) 2 +1)
-1
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FASE I:Definição de Derivada
• Definição: Dada uma função real f, sua derivada f´ é a nova função cujo valor no ponto x é definido por
0lim
x
f(x + x) - f(x)f´(x) =
x
OBS: Pode ser que o domínio de f´ não esteja definida em todo domínio de f.
FASE I:• Ex1: :
, se 0 ( )
, se 0
f
x xx f x x
x x
??
0lim
x
f(0 + x) - f(0)f´(0)=
x
Tomando valores positivos para , temos:x
0 0 0
1lim lim lim
x x x
0 + x - 0 x xf´(0) = =
x x xTomando valores negativos para , temos:x
0 0 0
1lim lim lim
x x x
0 + x - 0 x xf´(0) = =
x x x
FASE I:
• Definição: Se o limite existe para x=a, então a função diz-se diferenciável em a. Uma função diferenciável é aquela que possui derivada em cada ponto do seu domínio.
• Exemplo de função diferenciável:
• Contra-exemplo de função diferenciável
2 f(x) = x f´(x) = 2x
0 0lim lim
x x
f(x) = x
f(x + x) - f(x) x + x - xf´(x) =
x x( )
( )
x x x
x x x
2 2
0 0 0
( ( ) 1 1
( ( ( 2lim lim lim
x x x
x + x) x xx x + x + x) x x + x + x) x + x + x) x
FASE I:
• Definição: Para toda função dada por y=f(x), a derivada de f chama-se taxa de variação de y com relação a x.
• Outras notações para derivada:
( );́ ; ; ( ).dy df x d
y f xdx dx dx
FASE II: Exercícios
1)Calcule a taxa de variação de f(x)= 1-x/2+x2) Calcule a derivada de f(x)=53)Dada y= x3 , usando a definição de derivada, calcule y´.
