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UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO
CLÁUDIA CRISTINA SOARES DE CARVALHO
O DESIGN DE UM AMBIENTE DIGITAL E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA A FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS E PROVAS NA
EDUCAÇÃO BÁSICA
SÃO PAULO
2014
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CLÁUDIA CRISTINA SOARES DE CARVALHO
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O DESIGN DE UM AMBIENTE DIGITAL E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA A FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS E PROVAS NA
EDUCAÇÃO BÁSICA
Tese de Doutorado, orientada pela Dra. Siobhan Victoria Healy, co-orientada pelo Dr. Stephen Hegedus, apresentada à comissão avaliadora da Universidade Anhanguera de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do título de Doutor em Educação Matemática.
SÃO PAULO
2014
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CLÁUDIA CRISTINA SOARES DE CARVALHO
O DESIGN DE UM AMBIENTE DIGITAL E SUAS CONTRIBUIÇÕES PARA O PROCESSO DE FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS E PROVAS NA EDUCAÇÃO BÁSICA
TESE DE DOUTORADO APRESENTADA À UNIVERSIDADE ANHANGUERA DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA PARCIAL PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE DOUTOR EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
BANCA EXAMINADORA
Situação: Aprovada
Biblioteca
Bibliotecário (a): ___________________________________________________________
Assinatura: ___________________________________________ Data: ____/ ____/ _____
São Paulo, 12 de fevereiro de 2014.
5
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
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AGRADECIMENTOS
É com muita satisfação que concluo mais uma etapa da minha vida
acadêmica. Foram muitos desafios e conquistas, muitas horas de leitura e escrita,
muita abdicação e dedicação. É a realização de um sonho e posso dizer, com toda
precisão, que tudo valeu a pena!
Muitas pessoas foram fundamentais para que eu conseguisse seguir em
frente nesta caminhada. Sinto-me feliz em poder destinar um espaço neste texto para
registrar meus profundos agradecimentos àqueles que, direta ou indiretamente,
contribuíram para meu sucesso. Quero sinceramente agradecer,
Aos meus familiares e amigos, por apoiarem minhas escolhas de vida; por
me incentivarem a não desistir dos meus objetivos; pela compreensão toda vez que
eu perdi confraternizações, aniversários, casamentos, batizados etc.; pelas reuniões
de despedida e de retorno; por celebrarem minhas conquistas ao meu lado.
À minha orientadora querida, Dra. Lulu Healy, por estar sempre presente com
palavras genialmente doces e “puxões de orelha” oportunos; pelos encontros virtuais
e presenciais, pela dedicação na leitura deste texto e por me dar um Norte toda vez
que eu tentei seguir por trilhas não muito promissoras.
Ao meu caro co-orientador, Dr. Stephen Hegedus, por ter paciência e apoiar
todas as minhas tentativas de comunicação fora da minha língua materna; pelas
tardes de orientação às quintas-feiras no Kaput Center; pelos encontros mais do que
científicos na Pour Farm Tavern; pelas contribuições para meu quadro teórico e
análise de dados.
À Dra. Janete Boliete Frant, ao Dr. Ruy César Pietropaolo e ao Dr. Marcelo
Borba, por avaliarem minha pesquisa com todo cuidado e atenção; pelos comentários
e sugestões que engrandeceram este trabalho.
À Dra. Tânia Campos, por me incentivar a cruzar as fronteiras deste Brasil,
sair da minha zona de conforto e crescer; pela defesa da qualidade de nosso programa
de pós-graduação; por ser um exemplo de força.
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Aos professores e funcionários do Programa de Pós Graduação em
Educação Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo, pela dedicação,
empenho, sabedoria e cumplicidade.
Aos estudantes e professores do Programa Observatório da Educação,
participantes deste estudo, por disponibilizarem um tempo valioso de suas rotinas e
contribuírem com dados e informações de suma importância para o desenvolvimento
do meu trabalho.
À Capes, por todo incentivo financeiro durante o curso e pela oportunidade
de realizar o doutorado sanduíche no exterior.
No final desta caminhada, sinto-me na obrigação de tomar emprestadas as
palavras de Sir Isaac Newton (1643-1727): seu eu enxerguei mais longe foi porque
subi no ombro de gigantes.
Muito Obrigada!
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RESUMO
Nesta pesquisa, descrevo o desenvolvimento de um ambiente digital, nomeado de
Consecutivo, cujo intuito é fomentar a formulação de conjecturas e provas conceituais,
no domínio da Teoria dos Números discutida na educação básica. Apresento os
resultados da aplicação deste ambiente com um grupo pequeno de estudantes do 9º
ano do ensino fundamental e com um grupo maior de estudantes do 2º ano do ensino
médio. Os dados coletados foram utilizados para responder a duas questões de
pesquisa: com os recursos disponíveis no ambiente, como são as provas produzidas
pelos estudantes em termos de representações, conceitos matemáticos e estrutura
do argumento? E, como as provas produzidas são mediadas pelas ferramentas do
ambiente e pelas interações sociais?
Utilizo uma concepção de prova mais flexível do que aquela geralmente presente no
universo matemático. Neste contexto, a prova é uma explicação logicamente
conectada a respeito de uma conjectura, a qual convence o aprendiz e seus pares.
Este estudo segue alguns pressupostos do Design-Based Research, uma
metodologia de pesquisa qualitativa que prevê ciclos iterativos de design, aplicação,
análise e redesign. Para a análise de dados, utilizo um processo de codificação das
produções escritas, falas e ações dos participantes.
Os resultados da pesquisa apontam que os participantes conseguiram realizar
explorações e formular conjecturas com bastante facilidade utilizando as ferramentas
do ambiente. Foram capazes de produzir provas conceituais e utilizaram, com mais
frequência, a língua materna para registrar seus argumentos. As justificativas
produzidas tiveram origem em ações empíricas, mas, em muitas ocasiões, superaram
os limites do empirismo devido (1) às propriedades que os participantes perceberam
ao observar as diversas representações da interface do ambiente, (2) ao
aparecimento de conhecimentos familiares e (3) às instigações e questionamentos
provenientes das interações sociais.
Palavras-chave: Argumentação, Prova, Teoria dos Números, Design, Tecnologias
Digitais.
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ABSTRACT
In this research, I describe the development of a digital environment, Consecutivo,
whose objective is to foster the creation of conjectures and conceptual proofs related
to the domain of the number theory in school mathematics. I also present the results
of the interactions of a small group of middle school students and a larger group of
high school students, both from Brazil. I used the gathered data to answer two research
questions: (1) with the resources available in the environment, how are the proofs
produced by the students in terms of representations, mathematical concepts and
argumentation structure? (2) How are the students’ proofs mediated by the
environment tools and the social interactions?
In this study, I used a conception of proof more flexible than that one usually applied
in the mathematical field, with proof treated as a logically connected explanation about
a conjecture, which convinces the learner and their peers. This study drew from the
research principles associated with Design-Based Research, a qualitative research
methodology that encompasses iterative cycles of design, implementation, analysis
and redesign. In the data analysis, I used a process of codification of students’ written
answers, speech and actions.
Overall, students were able to explore and formulate conjectures quite easily using the
tools of the environment. They were able to produce conceptual proofs using,
frequently, their natural language. Their justifications originated from empirical actions,
but on many occasions, these justifications exceeded the limits of empiricism because
of (1) the properties they noticed by observing multiple representations in the
environment interface, (2) the emergence of familiar knowledge and (3) the issues and
questions arising from social interactions.
Keywords: Argumentation, Proof, Number Theory, Design, Digital Technologies
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RÉSUMÉ
Dans cette recherche, je décris le développement d'un environnement numérique,
appelé consécutif dont le but est de promouvoir la formulation de conjectures et des
preuves conceptuels dans le domaine de la théorie des nombres discutée dans
l'éducation de base. Je présente également les résultats de l'application de cet
environnement avec un petit groupe d'élèves de la 9e année de l'école élémentaire
(plutôt collègue) et un plus grand groupe d'étudiants de la 2ème année du secondaire.
Les données recueillies ont été utilisées pour répondre à deux questions de recherche
: avec les ressources disponibles dans l'environnement, comment sont les preuves
produites par les étudiants en termes de représentations, des concepts
mathématiques et de structure de l'argument ? Et, comment les éléments de preuve
sont-ils médiés par l'environnement et les outils par les interactions sociales ?
J'ai utilisé dans cette étude une conception plus souple de la preuve à celle
généralement utilisée dans l'univers mathématique. Selon moi, la preuve est reliée
logiquement à une conjecture à laquelle convaincre l'apprenant et ses pairs. Cette
étude a suivi un peu la recherche des Design-Based Research, une méthodologie de
recherche qualitative qui fournit des cycles itératifs de conception, de mise en œuvre,
d'analyse et de refonte. Pour l'analyse des données, un processus de codification des
productions écrites, discours et actions des participants a été utilisé.
Dans l'ensemble, les élèves ont pu effectuer des explorations et de formuler des
conjectures assez facilement en utilisant les outils de l'environnement. Ils étaient
capables de produire des preuves conceptuel et utilisé plus souvent, la langue
maternelle pour enregistrer leurs arguments. Les justifications produites provenaient
des actions empiriques, mais à plusieurs reprises, ont dépassé les limites de
l'empirisme dû (1) aux propriétés que les participants ont perçu en observant les
différentes représentations de l'interface de l'environnement, (2) à l'émergence de
connaissances familières (3) aux instigations et les questionnements soulevés par les
interactions sociales.
Mots-clés : Arguments, Preuve, Théorie des Nombres, Technologies numérique.
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: INTERFACE DO SIMCALC (MORENO-ARMELLA E HEGEDUS, 2009, P. 515). .................................................... 40
FIGURA 2: INTERFACE DO CABRI-GÉOMÈTRE. ................................................................................................................... 40
FIGURA 3: EXEMPLO COTIDIANO DA ESTRUTURA FINA DE UM ARGUMENTO SEGUNDO TOULMIN (2003). .................................... 53
FIGURA 4: EXEMPLO DA ESTRUTURA FINA INICIAL DE UM ARGUMENTO NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. ..................... 54
FIGURA 5: EXEMPLO DA ESTRUTURA FINA DE UM ARGUMENTO COM QUALIFICADOR E RÉPLICA NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA. ................................................................................................................................................. 55
FIGURA 6: REPRESENTAÇÃO FIGURAL DA SOMA DE UM NÚMERO PAR COM UM NÚMERO ÍMPAR. ................................................ 56
FIGURA 7: EXEMPLO DA ESTRUTURA FINA DE UM ARGUMENTO COM REFORÇO NO CONTEXTO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. ........... 57
FIGURA 8: TIPOS DE PROVA SEGUNDO BALACHEFF (1988). ................................................................................................ 62
FIGURA 9: ESTRUTURA DE UMA DEMONSTRAÇÃO. ESQUEMA ELABORADO POR MIM A PARTIR DE DUVAL E EGRET (1989) .............. 68
FIGURA 10: TAREFA DE ORGANIZAÇÃO DEDUTIVA - ESQUEMA DE REDE. (ALMOULOUD, 2003, P. 137) .................................. 76
FIGURA 11: TAREFA DE ORGANIZAÇÃO DEDUTIVA - TEXTO. (ALMOULOUD, 2003, P. 138) ................................................... 77
FIGURA 12: PROVA BASEADA NA ABORDAGEM PRODUÇÃO DE EVIDÊNCIAS – DESCOBERTA DE PADRÕES – CONFERÊNCIA DE
RESULTADOS. (HEALY E HOYLES, 2000, P. 410).................................................................................................. 79
FIGURA 13: ESQUEMA DA METODOLOGIA BASEADA NO DESIGN. ........................................................................................ 85
FIGURA 14: FASES DESTA PESQUISA. .............................................................................................................................. 86
FIGURA 15: DISPOSIÇÃO DA CÂMERA NO PRIMEIRO TESTE DO CONSECUTIVO ......................................................................... 89
FIGURA 16: DISPOSIÇÃO DAS DUPLAS PARTICIPANTES NO TERCEIRO TESTE DO CONSECUTIVO..................................................... 92
FIGURA 17: INTERFACE DO IMAGINE .............................................................................................................................. 98
FIGURA 18: INTERFACE DA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO. ......................................................................................... 99
FIGURA 19: BARRAS DE ROLAGEM ............................................................................................................................... 100
FIGURA 20: BARRA DE ROLAGEM E RETA NUMÉRICA ...................................................................................................... 101
FIGURA 21: BARRA DE ROLAGEM E RETA NUMÉRICA ...................................................................................................... 101
FIGURA 22: SOMA E PRODUTO ................................................................................................................................... 101
FIGURA 23: PRODUTO DE CONSECUTIVOS COM MUITOS DÍGITOS ....................................................................................... 102
FIGURA 24: BOTÕES DE REPRESENTAÇÃO ..................................................................................................................... 103
FIGURA 25: FATORAÇÃO............................................................................................................................................ 103
FIGURA 26: RESTO ................................................................................................................................................... 104
FIGURA 27: ALGÉBRICO ............................................................................................................................................. 104
FIGURA 28: SOMA TARTARUGA (A) ............................................................................................................................. 105
FIGURA 29: SOMA TARTARUGA (B) ............................................................................................................................. 106
FIGURA 30: PRODUTO RETANGULAR (A) ....................................................................................................................... 106
FIGURA 31: PRODUTO RETANGULAR (B) ....................................................................................................................... 107
FIGURA 32: PAINEL DE INFORMAÇÃO ........................................................................................................................... 108
FIGURA 33: PAINEL DE TAREFAS .................................................................................................................................. 108
FIGURA 34: TAREFAS EXPLORATÓRIAS .......................................................................................................................... 109
12
FIGURA 35: TAREFAS DE PROVA .................................................................................................................................. 110
FIGURA 36: DIFERENTES TIPOS DE PROVA PARA A QUESTÃO "VOCÊ PODE DIZER QUE A SOMA DE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS
SEMPRE VAI DAR ÍMPAR?". ............................................................................................................................... 111
FIGURA 37: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 1. ............................................................................... 113
FIGURA 38: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 2. ............................................................................... 114
FIGURA 39: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 4. ............................................................................... 114
FIGURA 40: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 5 QUANDO NÃO HÁ DIVISIBILIDADE. ................................... 115
FIGURA 41: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 5 QUANDO HÁ DIVISIBILIDADE. .......................................... 116
FIGURA 42: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 6. ............................................................................... 117
FIGURA 43: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 7. ............................................................................... 118
FIGURA 44: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 8. ............................................................................... 119
FIGURA 45: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 9. ............................................................................... 120
FIGURA 46: RESOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA EXPLORATÓRIA 10. ............................................................................. 121
FIGURA 47: SOLUÇÃO ESPERADA PARA A TAREFA DE PROVA 1. ......................................................................................... 123
FIGURA 48: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA DE PROVA 10. ...................................................................................... 124
FIGURA 49: EXEMPLOS DE PERGUNTAS DO QUESTIONÁRIO DE OPINIÃO. CONSIDERAÇÕES DO PARTICIPANTE G, DA DUPLA G&N. ... 132
FIGURA 50: OPINIÃO DO PARTICIPANTE Y SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA...................................................................... 133
FIGURA 51: OPINIÃO DO PROFESSOR R SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. ........................................................................ 133
FIGURA 52: OPINIÃO DO PARTICIPANTE B SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. .................................................................... 134
FIGURA 53: OPINIÃO DA PARTICIPANTE L, DA DUPLA L&M, SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. ............................................. 134
FIGURA 54: OPINIÃO DO PARTICIPANTE GU SOBRE A INTERFACE DO PROGRAMA. .................................................................. 134
FIGURA 55: OPINIÃO DO PROFESSOR R A RESPEITO DA NECESSIDADE DE TRABALHO CONCEITUAL PRÉVIO PARA A REALIZAÇÃO DAS
TAREFAS E INTERPRETAÇÃO DAS REPRESENTAÇÕES. ................................................................................................ 137
FIGURA 56: OPINIÃO DA PARTICIPANTE B, DA DUPLA B&G, SOBRE O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS PROVAR. ................... 140
FIGURA 57: OPINIÃO DO ESTUDANTE B, PARTICIPANTE DO TERCEIRO TESTE, SOBRE O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS PROVAR. .......... 140
FIGURA 58: OPINIÃO DA PROFESSORA C SOBRE O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS ORGANIZAR. ........................................ 141
FIGURA 59: TELA INICIAL DA VERSÃO DO CONSECUTIVO UTILIZADA NO TESTE EM PEQUENA ESCALA. ......................................... 142
FIGURA 60: TELA INICIAL DO CONSECUTIVO APÓS O PRIMEIRO REDESIGN. ........................................................................... 143
FIGURA 61: PAINEL DE TAREFAS NA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO. ........................................................................... 144
FIGURA 62: PAINEL DE TAREFAS NA SEGUNDA VERSÃO DO CONSECUTIVO. ........................................................................... 144
FIGURA 63: INTERFACE DAS TAREFAS ANTES DO REDESIGN. ............................................................................................... 145
FIGURA 64: INTERFACE DAS TAREFAS APÓS O REDESIGN. .................................................................................................. 145
FIGURA 65: VÍDEO DE AJUDA PARA O PAINEL FATORAÇÃO. ............................................................................................... 146
FIGURA 66: PAINEL RESTO APÓS O PRIMEIRO REDESIGN. .................................................................................................. 146
FIGURA 67: PAINEL SOMA ANIMAL ............................................................................................................................. 147
FIGURA 68: BOTÕES DE TAREFAS APÓS O PRIMEIRO REDESIGN. .......................................................................................... 149
FIGURA 69: PAINEL DAS TAREFAS CONJECTURAR E TCONJ 1. ............................................................................................ 152
FIGURA 70: PAINEL DAS TAREFAS PROVAR E TPRO 1. ..................................................................................................... 153
13
FIGURA 71: TAREFA ORGANIZAR 1. ............................................................................................................................. 155
FIGURA 72: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 1. ...................................................................................... 155
FIGURA 73: TAREFA ORGANIZAR 2. ............................................................................................................................. 156
FIGURA 74: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 2. ...................................................................................... 156
FIGURA 75: TAREFA ORGANIZAR 3. ............................................................................................................................. 157
FIGURA 76: RESPOSTAS ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 3. ..................................................................................... 157
FIGURA 77: TAREFA ORGANIZAR 4. ............................................................................................................................. 158
FIGURA 78: RESPOSTA ESPERADA PARA A TAREFA ORGANIZAR 4. ....................................................................................... 158
FIGURA 79: EXEMPLO DE ANÁLISE REALIZADA NAS PRODUÇÕES ESCRITAS DOS ESTUDANTES. ANÁLISE DA TAREFA DE PROVA 2, DO
TERCEIRO TESTE, DA DUPLA G&D. ...................................................................................................................... 163
FIGURA 80: TRANSCRIÇÃO DAS FALAS DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORATÓRIA 1, NO PRIMEIRO TESTE. ................................ 165
FIGURA 81: PROTOCOLO COM AS INTERAÇÕES DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORATÓRIA 1, NO PRIMEIRO TESTE...................... 166
FIGURA 82: VOLUME DE INTERAÇÃO ENTRE OS PARTICIPANTES, PESQUISADORA E TECNOLOGIA. .............................................. 167
FIGURA 83: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 1, NO PRIMEIRO TESTE. ....................................... 168
FIGURA 84: ESTRUTURA DO ARGUMENTO DA DUPLA B&G NA TAREFA DE PROVA 4, NO PRIMEIRO TESTE. ................................. 170
FIGURA 85: RESPOSTA DA DUPLA R&Y PARA A TAREFA EXPLORAR 1. ................................................................................. 173
FIGURA 86: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................ 174
FIGURA 87: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................ 174
FIGURA 88: RESPOSTA DA DUPLA L&G PARA A TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................. 174
FIGURA 89: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORAR 7...................................................................................... 175
FIGURA 90: INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 7. ................................................................................... 176
FIGURA 91: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA EXPLORAR 10. .............................................................................. 177
FIGURA 92: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA EXPLORAR 10. .............................................................................. 177
FIGURA 93: RESPOSTA DA DUPLA R&Y PARA A TAREFA EXPLORAR 10. ............................................................................... 177
FIGURA 94: INTERAÇÕES DA DUPLA G&N NA TAREFA EXPLORAR 10. ................................................................................. 178
FIGURA 95: COMPARAÇÃO ENTRE REPRESENTAÇÃO NO PAINEL FATORAÇÃO E A RESPOSTA DA DUPLA M&Y PARA A TAREFA EXPLORAR 9. ... 179
FIGURA 96: RESPOSTA DA DUPLA M&C PARA A TAREFA EXPLORAR 11............................................................................... 180
FIGURA 97: INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 11. ................................................................................. 181
FIGURA 98: INTERAÇÕES DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORAR 3. ................................................................................... 183
FIGURA 99: INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 5. ................................................................................... 185
FIGURA 100: INTERAÇÕES DA DUPLA B&G NA TAREFA EXPLORAR 5. ................................................................................. 187
FIGURA 101: PROTOCOLO COM AS INTERAÇÕES DA DUPLA L&M NA TAREFA EXPLORAR 9, NO TERCEIRO TESTE. ......................... 190
FIGURA 102: RESPOSTA DA DUPLA G&D PARA TAREFA DE PROVA 4. ................................................................................. 195
FIGURA 103: RESPOSTA DA DUPLA A&D PARA A TAREFA DE PROVA 4................................................................................ 196
FIGURA 104: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA DE PROVA 4. ............................................................................... 196
FIGURA 105: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA ORGANIZAR 2. ................................................................................ 198
FIGURA 106: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA CONJECTURAR 2.......................................................................... 202
FIGURA 107: RESPOSTA DA DUPLA A&D PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 202
14
FIGURA 108: RESPOSTA DA DUPLA M&Y PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. ........................................................................ 203
FIGURA 109: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA CONJECTURAR 1.......................................................................... 206
FIGURA 110: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA CONJECTURAR 1. ......................................................................... 206
FIGURA 111: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA CONJECTURAR 4. GRIFO ADICIONADO PELA PESQUISADORA. ................ 207
FIGURA 112: RESPOSTA DA DUPLA M&C PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. GRIFO ADICIONADO PELA PESQUISADORA. ................ 209
FIGURA 113: RESPOSTA DA DUPLA G&D PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 210
FIGURA 114: PAINEL ALGÉBRICO NA TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................................... 210
FIGURA 115: RESPOSTA DA DUPLA M&Y PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. GRIFO ADICIONADO PELA PESQUISADORA. ................ 210
FIGURA 116: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA CONJECTURAR 2.......................................................................... 211
FIGURA 117: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 211
FIGURA 118: RESPOSTA DA DUPLA L&P PARA TAREFA CONJECTURAR 3. ............................................................................ 213
FIGURA 119: RESPOSTA DA DUPLA M&C PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. ........................................................................ 213
FIGURA 120: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 4........................................................... 217
FIGURA 121: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 1........................................................... 219
FIGURA 122: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA CONJECTURAR 3. ............................................................................. 221
FIGURA 123: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 2. ............................................................................. 227
FIGURA 124: INTERAÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA CONJECTURAR 4. ............................................................................. 227
FIGURA 125: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA CONJECTURAR 2. ............................................................................. 228
FIGURA 126: ESTRUTURA DO ARGUMENTO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 1. ..................................................... 230
FIGURA 127: ESTRUTURA DO ARGUMENTO DA DUPLA G&N NA TAREFA CONJECTURAR 4. ..................................................... 232
FIGURA 128: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 1, COM COMENTÁRIOS A RESPEITO DA ESTRUTURA DO
ARGUMENTO. ................................................................................................................................................. 233
FIGURA 129: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA CONJECTURAR 2 COM COMENTÁRIOS A RESPEITO DA ESTRUTURA DO
ARGUMENTO. ................................................................................................................................................. 234
FIGURA 130: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA CONJECTURAR 2, COM COMENTÁRIOS A RESPEITO DA ESTRUTURA DO
ARGUMENTO. ................................................................................................................................................. 235
FIGURA 131: RESPOSTA DA DUPLA G&D PARA A TAREFA PROVAR 10. ............................................................................... 239
FIGURA 132: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................................................................. 240
FIGURA 133: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA PROVAR 1. ................................................................................. 242
FIGURA 134: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA PROVAR 1. ................................................................................. 242
FIGURA 135: ESTRATÉGIA UTILIZADA PELAS DUPLAS G&N E B&G PARA RESOLVER A TAREFA PROVAR 1. .................................. 243
FIGURA 136: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA PROVAR 2. ................................................................................. 244
FIGURA 137: RESPOSTA DA DUPLA B&D PARA A TAREFA CONJECTURAR 2. ......................................................................... 245
FIGURA 138: RESPOSTA DA DUPLA B&D PARA A TAREFA PROVAR 3. ................................................................................. 246
FIGURA 139: RESPOSTA DA DUPLA H&C PARA A TAREFA CONJECTURAR 3. ......................................................................... 246
FIGURA 140: RESPOSTA DA DUPLA H&C PARA A TAREFA PROVAR 4. ................................................................................. 247
FIGURA 141: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA PROVAR 5. ................................................................................. 247
FIGURA 142: INTERAÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 3. ..................................................................................... 248
15
FIGURA 143: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 3. ..................................................................................... 248
FIGURA 144: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA PROVAR 6. ................................................................................. 249
FIGURA 145: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA PROVAR 6. ................................................................................. 249
FIGURA 146: RESPOSTA DA DUPLA G&N PARA A TAREFA PROVAR 7. ................................................................................. 250
FIGURA 147: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA PROVAR 7. ..................................................................................... 251
FIGURA 148: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA PROVAR 8. ..................................................................................... 252
FIGURA 149: RESPOSTA DA DUPLA B&G PARA A TAREFA PROVAR 8. ................................................................................. 253
FIGURA 150: RESPOSTA DA DUPLA H&C PARA A TAREFA PROVAR 8. ................................................................................. 253
FIGURA 151: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................................................................. 254
FIGURA 152: PAINEL PRODUTO RETANGULAR DURANTE A RESOLUÇÃO DA TAREFA PROVAR 9 PELA DUPLA G&N E B&G. ............ 254
FIGURA 153: INTERAÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 9. ..................................................................................... 255
FIGURA 154: RESPOSTA DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 9. ...................................................................................... 256
FIGURA 155: RESPOSTA DA DUPLA O&V PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................................................................. 256
FIGURA 156: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 10. ................................................................................... 258
FIGURA 157: RESPOSTA DA DUPLA L&M PARA A TAREFA PROVAR 10. ............................................................................... 258
FIGURA 158: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 1, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 264
FIGURA 159: DINAMISMO DA BARRA DE ROLAGEM E EXECUTABILIDADE DA SOMA NA TAREFA PROVAR 1 COM A DUPLA G&N....... 265
FIGURA 160: REPRESENTAÇÃO DA RETA NUMÉRICA MEDIANDO AS RESPOSTAS DE G&N NA TAREFA PROVAR 1. ......................... 266
FIGURA 161: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 9, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 267
FIGURA 162: DINAMISMO DAS BARRAS DE ROLAGEM E A EXECUTABILIDADE DO PRODUTO NA TAREFA PROVAR 9 DA DUPLA L&M. 267
FIGURA 163: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 4, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 269
FIGURA 164: DINAMISMO DAS BARRAS ROLAGEM E PERCEPÇÃO DE INVARIÂNCIAS NA TAREFA PROVAR 4 DA DUPLA L&M. .......... 270
FIGURA 165: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 8, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 271
FIGURA 166: DINAMISMO DAS BARRAS DE ROLAGEM E REFUTAÇÕES NA TAREFA PROVAR 8 DA DUPLA G&N. ............................ 272
FIGURA 167: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA PROVAR 8, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. 273
FIGURA 168: ORGANOGRAMA DA TAREFA PROVAR 9 DA DUPLA B&G, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. ............. 274
FIGURA 169: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL PRODUTO RETANGULAR NA TAREFA PROVAR 9 DA DUPLA B&G. .............................. 274
FIGURA 170: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL PRODUTO RETANGULAR SUGERIDA PARA A TAREFA PROVAR 9. ................................ 275
FIGURA 171: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 6, COM DISCUSSÕES SOBRE O PAPEL DA TECNOLOGIA. ......... 276
FIGURA 172: RETA NUMÉRICA MEDIANDO AS GARANTIAS E REFORÇOS FORMULADOS PELO PARTICIPANTE N NA TAREFA PROVAR 6. .......... 276
FIGURA 173: RETA NUMÉRICA MEDIANDO AS GARANTIAS E REFORÇOS FORMULADOS PELO PARTICIPANTE G NA TAREFA PROVAR 6. .......... 277
FIGURA 174: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 10, COM DISCUSSÕES SOBRE O PAPEL DA TECNOLOGIA. ....... 278
FIGURA 175: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL TARTARUGA MEDIANDO A FORMULAÇÃO DE GARANTIAS E REFORÇOS DA PARTICIPANTE L NA TAREFA
PROVAR 10. ........................................................................................................................................................... 278
FIGURA 176: ORGANOGRAMA DE AÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR, COM DESTAQUE PARA OS PRINCÍPIOS DE DESIGN. ... 280
FIGURA 177: REPRESENTAÇÃO DO PAINEL FATORAÇÃO MEDIANDO A FORMULAÇÃO DE GARANTIAS E REFORÇOS DA DUPLA G&N NA
TAREFA PROVAR 9. ......................................................................................................................................... 280
FIGURA 178: INTERAÇÃO DA DUPLA B&G NA TAREFA PROVAR 1. ..................................................................................... 284
16
FIGURA 179: INTERAÇÃO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 9. ..................................................................................... 284
FIGURA 180: INTERAÇÃO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 2. ..................................................................................... 285
FIGURA 181: OBSERVAÇÕES E INTERPRETAÇÕES A RESPEITO DAS SEQUÊNCIAS DE ARGUMENTOS. ............................................. 286
FIGURA 182: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 2. ...................................................... 291
FIGURA 183: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA G&N NA TAREFA PROVAR 9. ...................................................... 292
FIGURA 184: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 10. .................................................... 294
FIGURA 185: ESTRUTURA FINA DO ARGUMENTO DA DUPLA L&M NA TAREFA PROVAR 9. ...................................................... 295
17
LISTA DE TABELAS
TABELA 1: TIPOS DE REPRESENTAÇÕES USADAS NA MATEMÁTICA POR DUVAL (2003, P. 14) ................................................... 28
TABELA 2: UNIDADES DE ANÁLISE .................................................................................................................................. 95
TABELA 3: FREQUÊNCIA COM QUE OS ESTUDANTES PARTICIPANTES MENCIONARAM AS REPRESENTAÇÕES DISPONÍVEIS NO
CONSECUTIVO NO QUESITO GOSTO E UTILIDADE. .................................................................................................. 135
TABELA 4: FREQUÊNCIA COM QUE OS PROFESSORES PARTICIPANTES MENCIONARAM AS REPRESENTAÇÕES DISPONÍVEIS NO
CONSECUTIVO NO QUESITO UTILIDADE PARA CONJECTURAR E UTILIDADE PARA PROVAR. .............................................. 136
TABELA 5: FREQUÊNCIA COM QUE OS PROFESSORES PARTICIPANTES AVALIARAM AS POTENCIALIDADES DAS REPRESENTAÇÕES
DISPONÍVEIS NO CONSECUTIVO DE ACORDO COM OS ITENS DE LIKERT. ....................................................................... 137
TABELA 6: FREQUÊNCIA COM QUE OS PARTICIPANTES CLASSIFICARAM A CLAREZA DO ENUNCIADO DAS TAREFAS SEGUNDO OS ITENS DE
LIKERT. ......................................................................................................................................................... 138
TABELA 7: FREQUÊNCIA COM QUE OS PARTICIPANTES CLASSIFICARAM O NÍVEL DE DIFICULDADE DAS TAREFAS SEGUNDO OS ITENS DE
LIKERT. ......................................................................................................................................................... 139
TABELA 8: FREQUÊNCIA COM QUE OS PARTICIPANTES CLASSIFICARAM A IMPORTÂNCIA DAS TAREFAS EXPLORAR E ORGANIZAR PARA A
REALIZAÇÃO DE OUTRAS TAREFAS SEGUNDO OS ITENS DE LIKERT. .............................................................................. 141
TABELA 9: LISTA SIMPLIFICADA DOS OBJETIVOS DAS TAREFAS EXPLORAR. ............................................................................ 172
TABELA 10: TEMPO (SEGUNDOS) DESPENDIDO POR CADA DUPLA NA RESOLUÇÃO DAS TAREFAS EXPLORAR E VOLUME DAS INTERAÇÕES
OCORRIDAS. ................................................................................................................................................... 189
TABELA 11: QUANTIDADE DE TAREFAS EXPLORAR EM QUE OS MOTIVOS DAS DISCUSSÕES OCORRERAM LEVANDO-SE EM CONSIDERAÇÃO
AS INTERAÇÕES DE CADA DUPLA VÍDEO-GRAVADA. ................................................................................................. 190
TABELA 12: QUANTIDADE DE TAREFAS EXPLORAR EM QUE OS MOTIVOS DAS INTERVENÇÕES DA PESQUISADORA OCORRERAM
LEVANDO-SE EM CONSIDERAÇÃO AS INTERAÇÕES DE CADA DUPLA VÍDEO-GRAVADA. ..................................................... 191
TABELA 13: OBJETIVOS DAS TAREFAS ORGANIZAR E A RELAÇÃO ACERTOS/PARTICIPANTES. ..................................................... 194
TABELA 14: OPINIÃO DOS PARTICIPANTES A RESPEITO DAS TAREFAS DE ORGANIZAÇÃO. ......................................................... 195
TABELA 15: TEMPO DE RESOLUÇÃO, VOLUME E MOTIVO DAS INTERAÇÕES DA DUPLA L&M DURANTE AS TAREFAS ORGANIZAR. ..... 197
TABELA 16: LISTA SIMPLIFICADA DOS OBJETIVOS DAS TAREFAS CONJECTURAR. ..................................................................... 200
TABELA 17: TIPOS DE REPRESENTAÇÕES USADOS PARA RESPONDER ÀS TAREFAS CONJECTURAR E A QUANTIDADE DE TAREFAS COM QUE
ELAS APARECERAM EM CADA TESTE. .................................................................................................................... 202
TABELA 18: CONJECTURAS E ARGUMENTOS ESCRITOS FORMULADOS PELOS PARTICIPANTES NA TAREFA CONJECTURAR 2. ............. 208
TABELA 19: CONJECTURAS E ARGUMENTOS ESCRITOS FORMULADOS PELOS PARTICIPANTES NA TAREFA CONJECTURAR 3. ............. 212
TABELA 20: TEMPO (SEGUNDOS) DESPENDIDO POR CADA DUPLA NA RESOLUÇÃO DAS TAREFAS CONJECTURAR E VOLUME DAS
INTERAÇÕES OCORRIDAS. .................................................................................................................................. 215
TABELA 21: QUANTIDADE DE TAREFAS CONJECTURAR EM QUE OS MOTIVOS DAS INTERAÇÕES OCORRERAM EM CADA DUPLA VÍDEO-
GRAVADA. ..................................................................................................................................................... 216
TABELA 22: DUPLAS PARTICIPANTES QUE FORMULARAM UMA OU MAIS CONJECTURAS DURANTE A RESOLUÇÃO DAS TAREFAS
CONJECTURAR E A QUANTIDADE DE TAREFAS EM QUE FORAM FORMULADAS UMA OU MAIS CONJECTURAS. ....................... 220
TABELA 23: FREQUÊNCIA DAS AÇÕES QUE ANTECEDERAM A FORMULAÇÃO DE CONJECTURAS EM CADA TAREFA CONJECTURAR. ..... 221
18
TABELA 24: CONJECTURAS FORMULADAS E RAZÕES PARA SEREM DESCARTADAS OU MANTIDAS. ............................................... 223
TABELA 25: INTERPRETAÇÃO DOS PARTICIPANTES PARA A QUESTÃO "EXPLIQUE POR QUE A REGULARIDADE OCORRE" E OS ARGUMENTOS
APRESENTADOS............................................................................................................................................... 226
TABELA 26: SEQUÊNCIA EM QUE CADA UM DOS ELEMENTOS DE UM ARGUMENTO FOI PROFERIDO PELOS PARTICIPANTES DURANTE A
RESOLUÇÃO DAS TAREFAS CONJECTURAR. ............................................................................................................ 230
TABELA 27: RECURSOS UTILIZADOS PELOS PARTICIPANTES PARA A GERAÇÃO DE DADOS NAS TAREFAS CONJECTURAR E A FREQUÊNCIA DE
TAREFAS EM QUE TAIS RECURSOS FORAM UTILIZADOS POR CADA DUPLA. .................................................................... 231
TABELA 28: FATORES QUE MEDIARAM AS GARANTIAS PROPOSTAS PELOS PARTICIPANTES NAS TAREFAS CONJECTURAR E A FREQUÊNCIA
DE TAREFAS QUE APRESENTARAM GARANTIAS MEDIADAS POR TAIS FATORES. .............................................................. 232
TABELA 29: OBJETIVOS DAS TAREFAS PROVAR, EM QUE TESTE ELAS FORAM APLICADAS E A RELAÇÃO ACERTO/PARTICIPANTES EM CADA
TAREFA. ........................................................................................................................................................ 238
TABELA 30: FREQUÊNCIA DE REPOSTAS SATISFATÓRIAS, PARCIALMENTE SATISFATÓRIAS, INSATISFATÓRIAS E EM BRANCO POR TESTE.
................................................................................................................................................................... 240
TABELA 31: TIPOS DE REPRESENTAÇÕES USADOS PARA RESPONDER ÀS TAREFAS PROVAR E SUAS FREQUÊNCIAS EM CADA TESTE. .... 241
TABELA 32: TEMPO (SEGUNDOS) DESPENDIDO POR CADA DUPLA NA RESOLUÇÃO DAS TAREFAS PROVAR E VOLUME DAS INTERAÇÕES
OCORRIDAS. ................................................................................................................................................... 260
TABELA 33: MOTIVOS DAS INTERAÇÕES ENTRE OS PARTICIPANTES E A QUANTIDADE DE TAREFAS PROVAR EM QUE OS MESMOS
OCORRERAM. ................................................................................................................................................. 261
TABELA 34: MOTIVOS DAS INTERVENÇÕES DA PESQUISA E A QUANTIDADE DE TAREFAS PROVAR EM QUE OS MESMOS OCORRERAM.262
TABELA 35: AÇÕES DOS PARTICIPANTES MEDIADAS PELOS DADOS GERADOS COM O DINAMISMO BARRAS DE ROLAGEM E A
EXECUTABILIDADE DAS RESPOSTAS DO PROGRAMA E A QUANTIDADE DE TAREFAS PROVAR EM QUE ESTAS AÇÕES OCORRERAM.
................................................................................................................................................................... 268
TABELA 36: SEQUÊNCIA EM QUE CADA UM DOS ELEMENTOS DE UM ARGUMENTO FOI PROFERIDO PELOS PARTICIPANTES DURANTE A
RESOLUÇÃO DAS TAREFAS PROVAR. .................................................................................................................... 282
TABELA 37: LISTA DE TAREFAS QUE APRESENTAM REFORÇOS ANTES E DEPOIS DO ESTABELECIMENTO DE CONCLUSÕES. ................. 287
TABELA 38: RECURSOS UTILIZADOS PELOS PARTICIPANTES PARA A GERAÇÃO DE DADOS NAS TAREFAS PROVAR E A QUANTIDADE DE
TAREFAS EM QUE TAIS RECURSOS FORAM UTILIZADOS. ............................................................................................ 288
TABELA 39: FATORES QUE MEDIARAM AS GARANTIAS PROPOSTAS PELOS PARTICIPANTES NAS TAREFAS PROVAR E A QUANTIDADE DE
TAREFAS QUE APRESENTARAM GARANTIAS MEDIADAS POR TAIS FATORES. ................................................................... 289
TABELA 40: CONCEITOS E PROPRIEDADES QUE FIZERAM PARTE DOS REFORÇOS FORMULADOS PELOS PARTICIPANTES NAS TAREFAS
PROVAR E A QUANTIDADE DE TAREFAS EM QUE OS MESMOS FORAM APRESENTADOS. ................................................... 293
TABELA 41: TAREFAS PROVAR CONTENDO ARGUMENTOS COM REFORÇOS E/OU COM APELO A ARGUMENTOS FORMULADOS EM
OUTRAS TAREFAS. ........................................................................................................................................... 296
TABELA 42: LISTA DAS TAREFAS PROVAR CONTENDO QUALIFICADORES E RÉPLICAS NO ARGUMENTO E OS MOTIVOS QUE MEDIARAM A
FORMULAÇÃO DOS MESMOS. ............................................................................................................................ 297
19
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 22
1. MEDIAÇÃO SIMBÓLICA, TECNOLÓGICA E SOCIAL E A APRENDIZAGEM DE
MATEMÁTICA ........................................................................................................... 25
1.1 As representações dos conceitos matemáticos ..................................................... 26
1.2 As tecnologias digitais ........................................................................................... 30
1.3 As interações sociais ............................................................................................. 44
2. ARGUMENTAÇÃO, PROVA E DEMONSTRAÇÃO ........................................... 48
2.1 Argumentação ....................................................................................................... 48
2.2 A estrutura do argumento segundo Toulmin .......................................................... 51
2.3 Prova ou demonstração? ....................................................................................... 58
2.4 Prova ou argumentação? ....................................................................................... 65
2.5 O que estudantes sabem sobre prova? ................................................................. 71
2.6 Interpretações e implicações da literatura .............................................................. 74
2.7 Objetivos e questões de pesquisa ......................................................................... 81
3. O DESIGN DA PESQUISA, OS PARTICIPANTES E A COLETA DE DADOS .. 85
3.1 Teste em escala reduzida ...................................................................................... 87
3.2 Teste com professores .......................................................................................... 90
3.3 Teste em ambiente autêntico ................................................................................. 91
3.4 O conjunto de dados .............................................................................................. 93
4. O DESIGN DA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO ................................ 97
4.1 A interface ............................................................................................................. 97
4.2 As tarefas ............................................................................................................ 110
4.2.1 Tarefas Exploratórias ............................................................................................................ 112
4.2.2 Tarefas de Prova ................................................................................................................... 121
5. A OPINIÃO DOS PARTICIPANTES E O REDESIGN DO CONSECUTIVO .... 130
5.1 A opinião dos participantes .................................................................................. 131
5.2 Mudanças na interface ........................................................................................ 142
20
5.3 Mudanças nas representações ............................................................................ 145
5.4 Mudanças nas tarefas ......................................................................................... 149
5.5 Sugestão de redesign para futuras aplicações .................................................... 159
6. A METODOLOGIA DE ANÁLISE DE DADOS ................................................. 162
6.1 A análise das produções escritas dos participantes ............................................. 162
6.2 A análise das interações vídeo-gravadas ............................................................ 165
7. AS TAREFAS EXPLORAR .............................................................................. 171
7.1 As representações utilizadas nas respostas escritas ........................................... 173
7.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do Consecutivo ....... 178
7.3 O desenvolvimento das Tarefas Explorar e o papel do Consecutivo ................... 182
7.4 As interações sociais nas Tarefas Explorar ......................................................... 188
7.5 Considerações sobre as Tarefas Explorar ........................................................... 192
8. AS TAREFAS ORGANIZAR ............................................................................. 194
9. AS TAREFAS CONJECTURAR ....................................................................... 200
9.1 As representações utilizadas nas respostas escritas ........................................... 201
9.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do Consecutivo ....... 205
9.3 As interações sociais nas Tarefas Conjecturar .................................................... 215
9.4 O desenvolvimento das Tarefas Conjecturar e o papel do Consecutivo .............. 218
9.4.1 A criação, o descarte e a manutenção de conjecturas .......................................................... 219
9.4.2 Os argumentos que mostram a origem da conjectura e os argumentos que estendem a
conjectura para vários casos ...................................................................................................................... 224
9.5 A estrutura dos argumentos que suportaram as conjecturas ............................... 229
9.6 Considerações sobre as Tarefas Conjecturar ...................................................... 236
10. AS TAREFAS PROVAR ................................................................................ 238
10.1 As representações utilizadas nas respostas escritas ........................................... 239
10.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do Consecutivo ....... 242
10.3 As interações sociais nas Tarefas Provar ............................................................ 259
10.4 O desenvolvimento das Tarefas Provar e o papel do Consecutivo ...................... 262
10.4.1 Dinamismo e executabilidade para gerar dados ................................................................... 263
10.4.2 Co-ação e interações sociais para refutar ............................................................................. 269
21
10.4.3 Representações e navegabilidade para conferir conjecturas, formular garantias e reforços. 275
10.5 A estrutura dos argumentos nas Tarefas Provar .................................................. 281
10.6 Considerações sobre as Tarefas Provar .............................................................. 298
11. CONCLUSÕES ............................................................................................. 301
11.1 Provas conceituais e em língua natural ............................................................... 302
11.2 Provas empíricas, mas não ingênuas .................................................................. 304
11.3 Os papéis do Consecutivo e das interações sociais ............................................ 305
11.4 Limitações e sugestões para pesquisas futuras ................................................... 308
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ 311
ANEXOS ................................................................................................................. 320
I) Questionário de opinião aplicado no primeiro teste.............................................. 320
II) Questionário de opinião aplicado no segundo teste ............................................. 322
III) Questionário de opinião aplicado no terceiro teste............................................... 326
IV) Transcrição das falas da dupla B&G na TExp 7 ................................................... 329
V) Quadro com os enunciados das tarefas propostas aos estudantes ..................... 332
22
INTRODUÇÃO
Há algum tempo li o livro O gene da Matemática de Keith Devlin. Nele, o autor
argumenta que a Matemática é muito mais do que o estudo de números e equações;
para ele, a Matemática é a ciência dos padrões e todos nós temos condições de
compreendê-la.
Enquanto lia tal obra, questionava-me sobre o quanto daquela imagem da
Matemática compartilhamos com nossos estudantes da educação básica: eles
entendem a Matemática como a ciência a qual se preocupa com o estudo das
regularidades nos números, gráficos, movimentos, nas formas e equações?
Reconhecem padrões e regularidades e, mais do que isso, sabem descrevê-los em
uma linguagem familiar? São capazes de explicar por que uma regularidade ocorre
(ou não) sempre? Compreendem que qualquer pessoa pode notar padrões, descrevê-
los e explicá-los, ou seja, que eles podem fazer Matemática?
Não tenho respostas claras para essas perguntas, nem posso dizer que as
mesmas motivaram o desenvolvimento desta pesquisa, todavia, de alguma forma, vou
abordá-las neste estudo.
Fiz questão de mencionar o livro de Devlin, pois, quando o li, tive a sensação
de que não estava sozinha com meus pensamentos. Eu sempre pensei que existia
uma espécie de “linha matemática imaginária” a qual passava por todas as coisas do
mundo; sei que é uma visão um tanto romântica, no entanto, de certa forma, ao ler tal
obra, observei que essa linha comum é a das regularidades e dos padrões. Mais do
que isto, notei que esta investigação poderia contribuir para tornar presente esse
ponto de vista no universo escolar.
Nesta pesquisa, relato como desenvolvi um ambiente computacional,
nomeado de Consecutivo, com o intuito de fomentar a percepção de regularidades,
formulação de conjecturas e justificativas formais entre os estudantes da educação
básica. Além disso, com base nas interações de dois grupos de estudantes, apresento
minhas reflexões sobre o processo de criação de conjecturas e provas, destaco o
23
papel das representações dos conceitos matemáticos, da tecnologia e das interações
sociais.
Visando uma abordagem mais objetiva, organizei a fundamentação teórica
deste estudo em duas grandes seções. Cada uma delas foi escrita de modo a destacar
os resultados de pesquisas acerca de meu tema de interesse e os principais conceitos,
ideias e hipóteses norteadores do design do Consecutivo, da coleta e da análise de
dados. Na primeira seção, a qual corresponde ao Capítulo 1, reflito a respeito do
ensino e aprendizagem de matemática, destaco o papel mediador das múltiplas
representações de conceitos, da tecnologia e das interações sociais. Na segunda, a
qual corresponde ao Capítulo 2, apresento uma discussão sobre argumentação e
prova, destaco as diferentes concepções em torno dessas ideias no universo das
pesquisas em Educação Matemática. Mais do que isso, ofereço minhas definições e
expresso minhas reflexões, na tentativa de trazer à tona elementos para a retomada
do ensino de provas na escola, nas mais diversas áreas da matemática. Ao final deste
capítulo, apresento meus objetivos e questões de pesquisa.
O terceiro capítulo apresenta uma descrição panorâmica da metodologia
utilizada no plano de pesquisa e na coleta de dados. Nele, destaco a ideia de Design-
Based Research, uma metodologia a qual valoriza ciclos iterativos de design,
intervenção e análise de dados.
Os capítulos quatro e cinco demonstram o processo de design do
Consecutivo. Neles, mostro todos os elementos da interface do ambiente e justifico
minhas escolhas com fragmentos da revisão de literatura e do quadro teórico,
discutidos nos capítulos 1 e 2. No capítulo cinco, especialmente, é possível ter acesso
a todo o processo de redesign do Consecutivo em virtude da análise das opiniões de
professores e estudantes da educação básica.
Do capítulo seis ao capítulo dez há o enfoque na análise das interações dos
participantes quando os mesmos lidaram com o Consecutivo. Neste ponto do texto,
descrevo as principais ações e reações dos estudantes ao utilizarem o ambiente
computacional para (1) explorar possíveis regularidades na soma e no produto de
números consecutivos, (2) transformar estas regularidades em conjecturas e (3)
explicar porque estas conjecturas fazem sentido e são válidas sempre.
24
Por fim, o capítulo décimo primeiro insere minhas conclusões; nele, destaco
as respostas para as questões da pesquisa e as possíveis relações entre o design do
Consecutivo e as interações dos participantes.
25
1. MEDIAÇÃO SIMBÓLICA, TECNOLÓGICA E SOCIAL E A APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
O universo acadêmico é repleto de explicações sobre como as pessoas
aprendem, adquirem conhecimento e se desenvolvem. Algumas dessas explicações
se disseminaram mundo a fora e passaram a fazer parte do repertório utilizado por
muitos pesquisadores da Educação Matemática. Eu, por exemplo, aceito as ideias
Vygotskyanas sobre desenvolvimento humano, ensino e aprendizagem. Para mim, o
desenvolvimento mental humano “resulta da interação dialética do homem e seu meio
sociocultural; ao mesmo tempo em que o ser humano transforma o seu meio para
atender suas necessidades básicas, transforma-se a si mesmo” (REGO, 1995, p. 41).
Seguindo os pressupostos Vygotskyanos, acredito que a ação do homem
sobre o mundo é mediada por instrumentos e signos. De acordo com Rego (1995),
com o auxílio de instrumentos, o homem pode provocar mudanças no seu ambiente
externo e ampliar as possibilidades de intervenção na natureza e, com o auxílio dos
signos, pode expandir sua capacidade de atenção, memória e acúmulo de informação.
No contexto da atividade matemática, são exemplos de signos os algarismos
arábicos, as operações fundamentais, as expressões algébricas, os gráficos, as
palavras da nossa língua materna e qualquer outra representação que esteja
mediando à compreensão e à resolução das situações pertinentes a esta área do
conhecimento.
As representações dos conceitos matemáticos formam um sistema simbólico
amalgamado, de tal forma, que símbolos e conceitos caminham juntos, tornando
complexa e, talvez impossível, a distinção entre eles. Neste contexto simbólico, torna-
se imprescindível o uso de instrumentos como o papel, o lápis, a calculadora, o
computador, os materiais para a construção e manipulação de formas geométricas,
entre outros.
Quando estamos considerando o processo de desenvolvimento do aprendiz,
além da mediação dos signos e dos instrumentos, devemos considerar o papel da
mediação social. Segundo Vygotsky (1991), o nível de desenvolvimento de uma
26
criança não pode ser associado somente às coisas que ela consegue realizar de forma
independente. Para se estabelecer o nível de desenvolvimento de um aprendiz,
devemos considerar também as atividades as quais a criança não consegue realizar
sozinha, mas consegue realizar com a ajuda de um companheiro mais capaz. Este
companheiro pode ser um professor, um colega, os pais do aprendiz, qualquer outra
pessoa e, numa visão mais atual, até mesmo o computador. O que hoje uma criança
só consegue fazer com a ajuda do outro, amanhã fará parte do conjunto de coisas que
ela pode realizar de forma autônoma. Com isso, as interações com o outro mais capaz
contribuem para um ciclo contínuo de aprendizagem e desenvolvimento humano.
O papel dos signos, dos instrumentos, e da mediação social no processo de
ensino e aprendizagem é um tema de destaque nas pesquisas em Educação
Matemática. Os resultados destas pesquisas têm servido de parâmetro para o
desenvolvimento e a utilização de diversos materiais didáticos para o ensino de
matemática. Por este motivo, levando-se em consideração minhas intenções de
pesquisa, pareceu-me salutar destacar o papel das representações dos conceitos
matemáticos, das tecnologias digitais e das interações sociais no âmbito da pesquisa.
As próximas subseções são dedicadas a uma discussão mais aprofundada sobre
estes aspectos.
1.1 As representações dos conceitos matemáticos
Grande parte dos conceitos matemáticos não está presente fisicamente no
mundo real e sua existência depende significativamente de representações que foram
desenvolvidas pela humanidade ao longo dos tempos. Conceitos como o de número,
de equação e de função, por exemplo, somente adquirem materialidade porque existe
uma gama de símbolos capazes de representá-los e o significado dos mesmos vem
sendo difundido culturalmente desde sua criação.
Com uma abordagem mais cognitivista, Kaput (1989) afirma que as
representações matemáticas podem ser associadas aos mundos físico e mental,
fazendo com que a Matemática se torne um instrumento de pensamento. Neste
contexto, tal pesquisador afirma que o significado de um conceito A pode ser dado por
uma referência gráfica B e, quando isso ocorre, pode-se dizer que A se refere a B.
27
Esta associação entre A e B incide no mundo das ideias e no mundo físico, mesmo
que na prática seja muito difícil separar representação simbólica e mental.
Kaput (1989) discute a ideia de Sistema de Representação, segundo o qual o
mesmo existe quando o conceito A tem uma sintaxe e há uma regra bem definida de
correspondência, coordenando-a com a estrutura B. Para ilustrar, o autor apresenta
um sistema de representação de ideias algébricas composto por três notações: (1)
E2, correspondente às equações de duas variáveis na sua forma algébrica; (2) G2,
aos possíveis gráficos cartesianos associados a uma equação de duas variáveis; e
(3) T2, às tabelas com duas colunas associadas às variáveis de uma equação. Para
Kaput (1989) esse conjunto de notações está associado a um campo de referência,
no caso o sistema B2 das relações binárias de números reais, e que, por isso, forma
um sistema de representação.
Kaput (1989) chama de translação o ato de mudar de notação dentro de um
mesmo sistema de representação. Ele ainda afirma que diferenças nas notações
afetam a aprendizagem dos conceitos matemáticos. Tabelas, por exemplo,
apresentam amostras discretas e finitas, enquanto gráficos apresentam amostras
contínuas e infinitas. As equações, por sua vez, incorporam relações quantitativas
entre duas variáveis de maneira explícita e compacta, o que é difícil verificar em
tabelas e gráficos.
Segundo Kaput (1989), a compreensão em matemática depende de quatro
fatores: (1) da translação entre sistemas de representações matemáticos; (2) da
translação entre sistemas de representações matemáticos e não-matemáticos; (3) do
ensino de padrões e sintaxes por meio de transformações e operações sobre as
notações de um sistema de representação particular; e (4) da construção de entidades
mentais por meio da reificação das ações, procedimentos e conceitos em objetos
fenomenológicos que podem servir de base para novas ações.
Duval (2003) também enfatiza a importância das representações na
caracterização da Matemática como ciência e no processo de ensino e aprendizagem
da mesma. Para designar os diferentes tipos de representações utilizadas em
matemática, propõe a noção de “registro”. Segundo o pesquisador, há quatro tipos de
registros requeridos na atividade matemática, destacados na Tabela 1.
28
Tabela 1: Tipos de Representações usadas na Matemática por Duval (2003, p. 14)
Representação Discursiva Representação não-discursiva
Registros multifuncionais
Língua natural
Associações verbais (conceituais)
Formas de raciocinar: argumentação e dedução.
Figuras geométricas planas ou em perspectiva que exijam apreensão operatória e/ou construção com instrumentos.
Registros monofuncionais
Sistemas de escrita: numérica, algébrica e simbólica.
Cálculo.
Gráficos cartesianos que exijam mudança de sistema de coordenadas, interpolação e/ou extrapolação.
Segundo Duval (2003), as representações podem ser transformadas em
outras por meio de tratamentos ou de conversões. Os tratamentos são as mudanças
de representação ocorridas dentro de um mesmo sistema. As conversões são as
mudanças de representação envolvendo uso de sistemas diferentes.
Ao resolver uma equação quadrática, por exemplo, um aluno geralmente faz
diversas modificações nas representações que escreve no papel. Apesar dessas
mudanças, o registro permanece algébrico do início ao fim da resolução. Neste caso,
diz-se que tratamentos foram realizados. Entretanto, o aluno realiza uma conversão
ao representar graficamente uma função quadrática, apresentada inicialmente em sua
forma algébrica.
Para Duval (2003), a compreensão em matemática está associada à
coordenação de ao menos dois registros de representação, uma vez que
representações diferentes disponibilizam conteúdos diferentes sobre o mesmo objeto
matemático. Muitas dificuldades dos alunos ao lidarem com conceitos matemáticos
podem estar atreladas às formas de representações dos mesmos. De acordo com o
autor, os fracassos e bloqueios dos alunos nos diferentes níveis de ensino aumentam
consideravelmente cada vez que uma mudança de registro é requerida. Se estas
mudanças envolvem conversões não-congruentes de representações, os bloqueios
se tornam mais fortes.
Para tratar da importância das representações ainda tem-se o trabalho de
Ainsworth (1999), cuja abordagem está centrada na utilização de atividades as quais
utilizem e articulem múltiplas representações para determinado conceito. Para ela,
este tipo de atividade auxilia na aprendizagem matemática, pois: (1) as múltiplas
representações podem se complementar em termos de informações, uma vez que é
29
possível utilizar representações diferentes para aspectos diferentes de certo conceito,
ou ainda, utilizar representações diferentes que possuam similaridades parciais do
mesmo conceito; (2) num ambiente com múltiplas representações, o aprendiz pode
escolher trabalhar com uma representação que seja de sua preferência. Além disso,
quando é dada ao estudante uma elevada quantidade de tarefas para resolver, as
diferentes representações e/ou a combinação entre as mesmas pode contribuir com
a melhora do desempenho do aprendiz ao resolver tais tarefas; (3) o uso de múltiplas
representações na aprendizagem pode servir para limitar possíveis interpretações e
enganos com o uso de outra; e (4) as múltiplas representações podem proporcionar
ao aprendiz a oportunidade de abstrair, generalizar ou relacionar características das
diferentes representações.
Consequentemente, quando aos estudantes são dadas as oportunidades de usar MRE, eles podem ser capazes de compensar qualquer dificuldade associada com uma estratégia ou representação particular comutando para outra1 (AINSWORTH, 1999, p. 137).
Utilizar ambientes com múltiplas representações para o ensino de
Matemática também apresenta alguns reveses. Ainsworth (1999) argumenta que a
translação é a fonte de maior dificuldade dos alunos, enquanto trabalham neste tipo
de ambiente. Ainsworth et. al. (1997) apontam que os estudantes devem aprender a
respeito de cada uma das representações presentes no ambiente. Além disso, é
necessário que o estudante compreenda a relação entre cada representação e o
conceito a que ela se refere, bem como, compreender a relação das representações
entre si.
Apesar de serem publicações temporalmente distantes, é possível perceber
semelhanças nos trabalhos de Kaput (1989), Ainsworth (1999) e Duval (2003).
Primeiramente, os três pesquisadores destacam a Matemática de outras ciências
devido ao caráter representacional de seus conceitos. Todos eles admitem que as
diversas representações matemáticas formam sistemas os quais podem sofrer
modificações: translações para Kaput (1989) e Ainsworth (1999) e conversões para
Duval (2003). Todos consideram que a compreensão de um conceito matemático está
1 Tradução minha para: Consequently, where learners are given the opportunity to use MERs, they may be able to
compensate for any weaknesses associated with one particular strategy and representation by switching to another.
30
relacionada à possibilidade de utilização e modificação de suas representações. Por
fim, os três pesquisadores admitem que estas modificações representacionais podem
trazer dificuldades no processo de aprendizagem.
Tendo em vista uma sociedade tecnológica a qual automatiza cada vez mais
a realização de tarefas, Kaput (1989), Ainsworth (1999) e Kaput e Schorr (2007)
argumentam que o uso de computadores pode ser um instrumento com potencial de
oferecer um ambiente dinâmico para o trabalho com múltiplas representações. Por
esta razão, a próxima subseção foi destinada a uma discussão do papel mediador das
tecnologias digitais no ensino de matemática, com destaque para as potencialidades
do computador.
1.2 As tecnologias digitais
Desde a década de 80, as principais ferramentas tecnológicas digitais têm
feito parte do dia-a-dia de muitas escolas brasileiras. Hoje em dia, os recursos não se
limitam às calculadoras e computadores. Temos lousas digitais, sensores, internet,
redes sem fio e diversos equipamentos portáteis, tais como celulares e tablets.
Particularmente para o ensino de matemática, segundo Kaput (1989), o
computador tem um papel de destaque, pois pode (1) realizar cálculos e
procedimentos custosos; (2) capturar e generalizar ações repetitivas, (3) oferecer
respostas às ações realizadas sobre representações estruturadas, (4) suportar
ligações dinâmicas entre notações novas e velhas, (5) suportar novas ações sobre
velhas notações, (6) suportar a geração de novas notações dinâmicas, incluindo
notações que revelem a estrutura de processos de maneira explicitamente inovadora,
e (7) suportar simulações dinamicamente manipuláveis de fenômenos com conteúdo
quantitativo.
O computador ainda pode fazer o papel do “outro mais capaz” e contribuir
para que o aprendiz possa realizar ações que antes não poderia realizar sozinho
(HEALY e KYNIGOS, 2010). Além disso, na visão de Borba e Penteado (2003), o
computador é mais uma mídia que modifica a ação do sujeito no mundo e reorganiza
a maneira do mesmo construir conhecimento. Para estes pesquisadores,
31
Ela [a informática] é uma nova extensão da memória, com diferenças qualitativas em relação às outras tecnologias da inteligência e permite que a linearidade de raciocínios seja desafiada por modos de pensar, baseados na simulação, na experimentação e em uma “nova linguagem” que envolve escrita, oralidade, imagens e comunicação instantânea (BORBA e PENTEADO, 2003, p. 48).
Kaput e Schorr (2007) afirmam que a ferramenta computacional permitiu a
evolução da maneira com que representamos os conhecimentos matemáticos, do
estático para o dinâmico, de tal modo que, muitas vezes, parecemos estar lidando
com novos conceitos e não apenas com os velhos mascarados por uma
representação diferente.
De forma importante, considerados juntos, as estratégias representacionais não são meramente uma série de funcionalidades de um software suportando algumas atividades curriculares, mas equivalem a uma reconstituição de ideias-chave2 (KAPUT e SCHORR, 2007, p. 35).
De acordo com Kaput (1989), o potencial dos ambientes computacionais
renova e aumenta o lado empírico da matemática e as formas indutivas de
aprendizagem. Isto ocorre porque os meios eletrônicos possuem a capacidade de
suportar a interação entre usuário e imagem, interação esta que medeia a construção
de representações cognitivas diferentes daquelas obtidas, quando se trabalha no meio
estático. Além disso, estes meios possuem a capacidade de assumir uma
característica representacional plástica a qual suporta várias notações e as ligações
entre elas. Estas formas de tecnologia podem fazer velhos procedimentos terem
novos significados em novas notações, novos procedimentos serem possíveis em
velhas notações e novas notações e procedimentos podem ser criados.
Segundo Kaput e Schorr (2007), o uso de computadores como ferramenta
para representar ideias matemáticas será difundido e fará parte do ambiente escolar,
acadêmico e social. Eles afirmam que esta integração do meio computacional ocorrerá
de três formas distintas. Na primeira, veremos as mesmas representações dos
conceitos matemáticos, utilizadas no ambiente do papel e lápis, sendo realizadas no
2 Tradução minha para: Importantly, taken together, the representational strategies are not merely a series of
software functionalities supporting some curriculum activities, but amount to a reconstitution of the key ideas.
32
ambiente computacional. Neste caso, não haverá mudanças na representação dos
conceitos e sim no meio em que essas representações se tornam disponíveis. Na
segunda, veremos os computadores serem utilizados para tornar possível a
reconstrução de conceitos e/ou teorias que foram criadas no meio estático. É o caso
dos softwares Cabri-Géomètre e do Logo, os quais permitem a reconstrução da
geometria Euclidiana e do software SimCalc, o qual permite a recontrução da relação
entre a Matemática do Movimento e o Cálculo Diferencial e Integral. Na terceira,
veremos os computadores fazerem parte da infraestutura que possibilita a criação de
novas teorias e sistemas de conhecimentos. Acredito que estamos caminhando
lentamente para este terceiro caso.
As potencialidades do computador para o ensino fizeram com que diversos
softwares e sequências de ensino fossem elaborados por pesquisadores em
Educação Matemática nas últimas três décadas. É possível observar que estes
recursos vêm sendo desenvolvidos com base em diversos princípios retirados da
literatura da área, conhecidos como princípios de design.
A palavra “princípio” possui diversos significados na língua portuguesa e
inglesa3. Os dicionários Aurélio e Webster apontam que “princípio” pode ser entendido
como “início”, ou ainda, como “uma regra de conduta baseada na moral e nos bons
costumes”. Quando se fala em princípio de design, a palavra “princípio” se refere a
uma lei abrangente ou afirmação generalizada, norteadora do trabalho de um
pesquisador ou cientista. No contexto do desenvolvimento do Consecutivo, os
princípios de design correspondem às hipóteses, retiradas da literatura em Educação
Matemática, as quais guiaram o desenvolvimento da interface e das tarefas do
ambiente.
Nas últimas décadas, os ambientes digitais, que contribuem para o processo
de ensino e aprendizagem de matemática, têm sido desenvolvidos com base nos
seguintes princípios: (1) fidelidade matemática, pedagógica e cognitiva, (2) múltiplas
representações, (3) dinamismo, (4) executabilidade, (5) navegabilidade, (6) suporte
ao estudante, (7) construção, (8) simulação e (9) conectividade. Os seis primeiros
itens desta lista, em alguma medida, fizeram parte do projeto do Consecutivo. A
seguir, eu apresento cada um deles com mais profundidade.
3 Principle em inglês.
33
Fidelidade matemática, pedagógica e cognitiva
As tecnologias digitais, que contribuem para o processo de ensino e
aprendizagem de matemática, devem ser confiáveis. Isto quer dizer que softwares
educacionais e calculadoras, por exemplo, devem representar com acuracidade os
fenômenos os quais se propõem a descrever. O grau com o qual esta acuracidade é
projetada nestes dispositivos digitais é conhecido na literatura por fidelidade
matemática (ZBIEK et. al., 2007).
Segundo Bos (2009), uma ferramenta digital possui baixa fidelidade
matemática quando os conceitos matemáticos representados em sua interface são
demasiadamente simples ou complicados e levam a enganos e a confusões. Por outro
lado, uma alta fidelidade matemática pode ser alcançada quando o ambiente possui
representações matemáticas acuradas, as quais aparecem numa sequência, que faz
sentido ao aprendiz e podem ser facilmente manipuladas pelo mesmo.
Estendendo a ideia de fidelidade, Bos (2009) cita fidelidade pedagógica e
cognitiva. Neste contexto, uma ferramenta digital possui alto grau de fidelidade
pedagógica, quando encoraja a participação ativa dos estudantes, é apropriada para
a atividade matemática que se deseja desenvolver em sala de aula e é fácil de lidar,
exigindo pouco ou nenhum treinamento prévio do estudante.
A fidelidade cognitiva, por sua vez, é alcançada quando essas ferramentas
podem ser usadas para construir, desconstruir, testar e revisar padrões e estruturas
matemáticas. Zbiek et. al. (2007) afirmam que ferramentas com alto grau de fidelidade
cognitiva podem trazer para pesquisador um vislumbre do pensamento do aprendiz.
Múltiplas representações
A aprendizagem matemática está relacionada com a capacidade de
representar conceitos e saber transitar pelas diferentes representações dos mesmos
(DUVAL, 2003; KAPUT, 1989). Como as ferramentas digitais mais atuais têm grande
potencial gráfico e computacional, elas pouco a pouco se mostraram poderosos meios
34
pelos quais os aprendizes podem visualizar, acessar, manipular, transitar, operar e
refletir sobre as representações matemáticas.
O potencial representacional das ferramentas digitais tem sido utilizado por
diversos pesquisadores em educação matemática, seja para desenvolver novos
ambientes ou para utilizar aqueles já existentes na tentativa de modificar
positivamente o processo de ensino e aprendizagem. Vejamos alguns exemplos.
Hoyles et. al. (2002) apresentaram o Mathsticks, um ambiente que incentiva
o aprendiz a relacionar a representação figural e algébrica de sequências formadas
por palitos. Segundo tais, o ambiente foi desenhado para que a ação de formar
padrões com palitos na tela do computador correspondesse àquela que o aprendiz
realizaria na prática, mas que pudesse ser estendida com o uso de uma regra
algébrica na linguagem Logo. Hoyles et. al (2002) afirmaram que,
Nossos resultados nos convenceram do poder do micromundo Mathsticks e seu podencial para a aprendizagem. Nossa conclusão foi que a interação entre as ações dos aprendizes e as diferentes representações de relacionamentos matemáticos subjacentes ao micromundo foram cruciais para a aprendizagem do estudante4 (HOYLES et. al., 2002, p. 8).
Kaput (2003) e Kaput e Schorr (2007) discutem o desenvolvimento e
implementação do SimCalc, um ambiente que tem como proposta engajar o aprendiz
no estudo da matemática da mudança e da variação, promovendo uma interação do
mesmo com representações geométricas, gráficas, algébricas e simulações.
Healy e Kynigos (2010) apresentaram a musiCALcolorida, uma calculadora
que oferece representações numéricas, musicais e coloridas para os resultados das
operações fundamentais. De acordo com os pesquisadores, aprendizes que
interagem com este ambiente podem experimentar a ideia de número usando
diferentes sentidos, o que faz desta calculadora uma ferramenta também compatível
com o trabalho com pessoas cegas.
Grande parte dos pesquisadores, os quais trabalham com ambientes digitais
com apelo às múltiplas representações, salientam que esse tipo de ambiente medeia
4 Tradução minha para: Our findings convinced us of the power of the Mathsticks microworld and its potential for
learning. Our conclusion was that it was the interplay between learners' actions and the different representations of
the mathematical relationships embedded in the microworld that was crucial to our students’ learning.
35
de forma positiva o processo de ensino e aprendizagem de matemática. Segundo
Dubinsky e Tall (1991), o uso de computadores pode favorecer a aprendizagem de
ideias abstratas, uma vez que elas adquirem materialidade na tela, podem ser
acessadas e manipuladas pelo aprendiz. Para Moreno-Armella e Sriraman (2010) os
computadores aumentam a capacidade expressiva dos estudantes porque eles
podem tirar vantagem de suas capacidades de comunicar ideias que são impossíveis
de serem comunicadas devido falta de uma linguagem matemática bem desenvolvida5
(p. 225).
Por outro lado, de acordo com Ainsworth (1999) e Duval (2003), o trabalho
com diferentes representações de conceitos matemáticos pode trazer complicações,
principalmente pelo fato do aprendiz necessitar lidar com regras e princípios para
transitar entre elas. Os resultados de Borba (1994) e Lavy (2007) ilustram estas
dificuldades.
Borba (1994) descreve uma situação em que um estudante do ensino médio
trabalha com um problema no software Function Probe, o qual permite a visualização
gráfica, algébrica e tabular de funções com duas variáveis. No caso discutido pelo
pesquisador, o estudante em questão encontra discrepâncias entre as ações
realizadas sobre as expressões algébricas e as consequências observadas no gráfico.
Neste caso, o estudante queria transladar uma curva cinco unidades para a direita,
entretanto percebeu que este movimento somente ocorreria se ele acrescentasse o
número -5 à expressão algébrica da curva. Isto causou certa tensão no estudante,
uma vez que, em suas experiências anteriores, os movimentos para a direita estavam
associados com variações numéricas positivas. Borba (1994) relata que esta
discrepância fez com que o estudante procurasse por explicações mais
esclarecedoras para tal fenômeno, explicações estas que foram além das interações
com o software utilizado.
Lavy (2007) aplicou um problema de geometria para dois grupos de
estudantes de graduação em computação, visando comparar suas performances. O
primeiro grupo manipulou o problema usando o ambiente Microworld Project-Builder,
que visa o relacionamento de representações geométricas e representações na
5 Tradução minha para: They enhance the expressive capacity of students as they can profit from the computers'
facilities to communicate ideas that are impossible to communicate due to the lack of a sufficiently developed
mathematical language.
36
linguagem Logo. O segundo grupo manipulou o mesmo problema com o uso de papel
e lápis. Se comparado com o grupo que realizou a atividade usando papel e lápis, o
primeiro grupo teve desempenho inferior. Cinquenta por cento dos estudantes do
primeiro grupo apresentaram soluções coerentes, enquanto 64% do segundo grupo
realizaram o mesmo trabalho. O movimento da tartaruga na tela foi apontado como
elemento que trouxe distração aos estudantes. Eles afirmaram que a versão
computadorizada do problema não facilitou o processo de resolução porque as
informações importantes “boiavam” no meio das outras.
Acredito que o trabalho com múltiplas representações tem potencialidades e
fraquezas em qualquer meio, seja ele o digital ou o papel e lápis. Entretanto, o
crescente número de pesquisas evolvendo ambientes digitais os quais contemplam
múltiplas representações me faz concluir que o uso de computadores traz
contribuições importantes para o processo de ensino e aprendizagem da matemática,
principalmente pelo fato de, nesse meio, ser possível conectar múltiplas
representações de um conceito, de modo que elas se modifiquem dinamicamente de
forma sincronizada. Para mim, é o dinamismo que coloca o meio digital em destaque
e faz do computador uma poderosa ferramenta para um trabalho significativo
envolvendo múltiplas representações.
Dinamismo
As potencialidades das ferramentas digitais vão além da possibilidade de
representar conceitos matemáticos. Os recursos mais atuais são capazes de suportar
um ambiente em que todas as representações estão dinamicamente conectadas. Isto
quer dizer que o aprendiz pode interagir com uma representação mudando seus
parâmetros e perceber que as modificações numa representação provocam
mudanças em todas outras de tal forma que, ao observar as variações, seja possível
perceber relacionamentos e propriedades. Sobre as ferramentas digitais Hoyles e
Noss (2009) afirmam que,
Esta propriedade de ser dinâmica é bastante diferente daquele senso de dinâmico que caracteriza os diagramas animados, por exemplo. O fator chave é a mudança entre dinâmico (enquanto arrasta) e estático (parando quando
37
relacionamentos parecem evidentes) e que isto é crucial no controle dos aprendizes – então eles podem parar, refletir, voltar e testar à luz das respostas provenientes de uma imagem gráfica6 (HOYLES e NOSS, 2009, p.
4).
Uma das características das ferramentas digitais dinâmicas é a presença de
hot spots em sua interface. Hot spots são pontos no meio digital os quais permitem o
movimento de uma representação sem que suas características originais sejam
deformadas (MORENO-ARMELLA e HEGEDUS, 2009). Eles também são chamados
de dragging tools por alguns pesquisadores da educação matemática (SINCLAIR e
ROBUTTI, 2013; MARIOTTI, 2012; HOYLES e NOSS, 2009). No software Cabri-
Géomètre, por exemplo, quando construímos um triângulo na tela do computador,
podemos movimentar quaisquer vértices, obtendo novas formas triangulares. Neste
caso, os vértices seriam os hot spots da representação, pois por meio deles a
modificamos sem que ela perca suas propriedades fundamentais (no Cabri, o triângulo
continua triângulo independentemente do movimento que fazemos).
Os hot spots não estão somente presentes nos ambientes de geometria
dinâmica, como o Cabri-Géomètre. Nos Computer Algebra Systems (CAS), os hot
spots frequentemente tomam a forma de uma barra de rolagem que, quando
movimentada, modifica automaticamente o corpo de uma expressão algébrica e seus
possíveis valores (HEID, THOMAS e ZBIEK, 2013).
O dinamismo das ferramentas digitais também auxilia no processo de criação
de conjecturas e provas. Mariotti (2012) discute os resultados de uma pesquisa de
longo prazo, realizada com estudantes italianos com idades entre 15 e 18 anos. No
contexto deste estudo, os participantes tinham que produzir uma figura específica no
Cabri-Géomètre que fosse resistente ao movimento, escrever os procedimentos
realizados para obtê-la e explicar por que a construção poderia ser considerada
robusta. Os estudantes trabalharam em pares e eram entrevistados pela pesquisadora
à medida que interagiam com ambiente de geometria dinâmica. As análises desse
estudo revelaram que os significados os quais emergiram com as atividades podem
ser relacionados aos significados matemáticos de uma afirmação condicional que
6 Tradução minha para: Notice too that this property of being dynamic is quite different from the sense of dynamic
that characterises, say, animated diagrams. The key factor is the interplay between dynamic (while dragging) and
static (stop when some relationship seems evident) and that this is crucially in the control of learners - so they can
pause, reflect, go back and test in the light of feedback from the graphical image.
38
expressa dependência lógica entre a premissa e a conclusão no contexto da
geometria.
O uso simultâneo de várias potencialidades das ferramentas digitais também
parece ser uma das possibilidades para fomentar um trabalho em sala de aula que
privilegie a exploração de situações matemáticas, a formulação de conjecturas e a
criação de provas para as mesmas. Sinclair e Robutti (2013) salientam que as
dragging tools, quando associadas com as ferramentas de medição nos ambientes de
geometria dinâmica, criam situações em que os aprendizes podem explorar ideias,
formulando conjecturas por meio da percepção de invariâncias e, além disso, oferecer
provas às conjecturas criadas, abstraindo propriedades quando analisam o
movimento contínuo das medidas aferidas.
As ferramentas de medição e de cálculo, as quais muitas vezes existem nos
ambiente digitais, também possuem potencialidades importantes que contribuem para
o processo de ensino e aprendizagem de matemática. Uma destas características é a
executabilidade, a qual é discutida com mais profundidade a seguir.
Executabilidade
Muitas tecnologias digitais possuem ferramentas de medição, cálculo
numérico e algébrico. Tais ferramentas também sofrem influência do dinamismo e, por
isso, fornecem executabilidade aos resultados. Isto quer dizer que os movimentos
realizados sobre um hot spot alteram sincronizadamente representações gráficas,
algébricas, numéricas e figurais. No Cabri-Géomètre, por exemplo, é possível medir
segmentos, ângulos, áreas e realizar operações fundamentais cujos resultados se
alteram sincronizadamente com os movimentos que realizamos sobre as formas
geométricas que estão na tela. Com SimCalc é possível simular movimentos no plano,
modificando o tempo, o deslocamento e a velociadade dos objetos. Alguns CAS
oferecem a possibilidade de modificar a forma algébrica de uma função (fatorando-a,
por exemplo), resolvem equações da mais diversas e apresentam recursos gráficos e
figurais para representar estas variações.
Alguns pesquisadores apontam os prós e os contras do uso de ferramentas
digitais que possuem processamento numérico e algébrico. De forma geral, eles
39
admitem que o trabalho simbólico, voltado à utilização de técnicas e procedimentos
no ambiente do papel e lápis, pode contribuir para que o aprendiz compreenda como
representar ideias matemáticas e transitar entre elas, no entanto, reconhecem que os
ambientes digitais, quando aliviam a necessidade de cálculos extensos, são capazes
de fazer com que os aprendizes mantenham foco nas relações entre os objetos
matemáticos pela observação de variâncias e invariâncias (KAPUT, 1992; HOYLES e
NOSS, 2009).
Os ambientes dinâmicos, por meio da executabilidade das representações,
também podem auxiliar os estudantes a gerenciar um grande número de dados
realísticos mais facilmente do que no ambiente com papel e lápis. Devido à rapidez
das respostas, quando se altera um aspecto da situação na tela do computador, o
ambiente possibilita ao estudante uma visão ampliada de um fenômeno enquanto ele
ocorre, o que permite a percepção e exploração de relações entre objetos
matemáticos, elaboração de conclusões e a extensão das mesmas para uma família
de casos (SACRISTÁN et. al., 2010).
Ao discutirem as potencialidades da executabilidade, Moreno-Armella e
Hegedus (2009) introduzem a ideia de co-ação. Para eles, o dinamismo e a
executabilidade proporcionam ao aprendiz uma interação diferenciada com o
ambiente em que realiza a atividade matemática. Neste contexto, o ambiente reage
às ações do aprendiz e esta reação muitas vezes serve de inspiração para novas
ações. Os ciclos de ação – reação – ação podem contribuir significativamente para a
aprendizagem e trazer novos significados para ideias matemáticas complexas. Ao
movimentar hot spots, observar e analisar os resultados na tela, o estudante se
prepara para novos movimentos e observações na tentativa de revelar ou descartar
uma regularidade. O estudante guia o ambiente e é guiado por ele.
Navegabilidade
Com o aumento do poder de visualização e processamento dos
computadores, a interface dos ambientes digitais para o ensino de matemática tem
apresentado múltiplas representações de conceitos e oferecido uma diversidade de
ferramentas para que o aprendiz interaja com estas representações. Na interface do
40
SimCalc, por exemplo, podemos ver uma grande área de trabalho composta por
diversas janelas. Em cada janela, o estudante encontra uma representação diferente
para o movimento de um determinado objeto (Figura 1). Ao estudante é permitido
manter uma ou mais janelas abertas simultaneamente, permitindo assim a navegação
entre as representações. A interface inicial do Cabri-Géomètre possui menos
elementos. O que podemos ver é um grande espaço em branco para que o aprendiz
construa e explore formas geométricas. Acima desta área, há uma longa barra de
botões e uma barra de menus. Ao pressionar cada botão, o aprendiz observa e acessa
uma lista com várias ações que podem ser realizadas. Com um simples movimento
do mouse, ele navega pelas opções oferecidas na tela (Figura 2).
Figura 1: Interface do SimCalc (MORENO-
ARMELLA e HEGEDUS, 2009, p. 515).
Figura 2: Interface do Cabri-Géomètre.
A ação de “passear” pelas representações e ferramentas na tela do
computador recebe o nome de “navegação”. Para Hegedus e Moreno-Armella (2010),
a navegabilidade dos ambientes digitais para o ensino de matemática é uma das
características que o torna dinâmico.
Uma boa navegabilidade também depende de fatores estruturais e estéticos.
Burgos (2009) discute esta ideia e apresenta uma série de sugestões para melhorar
a navegação num sistema ou numa página na internet. Dentre elas estão a presença
de (1) menus no topo da janela (ou página), (2) menus para a navegação lateral à
esquerda e à direita, (3) barras de botões, (4) links para outras janelas (ou páginas)
entre outros.
41
Um ambiente digital que possui uma boa navegabilidade tem o potencial de
ser facilmente manipulado pelo aprendiz, o que vai ao encontro do princípio da
fidelidade pedagógica. Além disso, quando se trata de um ambiente com múltiplas
representações para conceitos matemáticos, a boa navegabilidade pode incentivar o
estudante a procurar num conjunto de representações as explicações para os
fenômenos e propriedades percebidos com suas explorações.
Suporte ao estudante
A ideia de dar suporte às ações do aprendiz é proveniente da perspectiva
Vygostskyana, mais precisamente da ideia de Zona de Desenvolvimento Proximal
(ZDP). Nesta linha de pensamento, acredita-se que, quando existe o auxílio de uma
pessoa ou de um instrumento, o indíviduo é capaz de realizar ações que ele não
conseguiria realizar por conta própria; todavia, como auxiliar estudantes quando as
ações dos mesmos são realizadas no meio digital?
No âmbito do ensino e aprendizagem de matemática com tecnologias, o
suporte dado ao aprendiz, para que ele consiga progredir em suas ações, é gerado
por diversas fontes. Este suporte pode estar (1) na própria interação do indivíduo com
as representações e ferramentas do ambiente, (2) em links ou mensagens, colocados
na interface estrategicamente para fornecer “dicas” aos estudantes, (3) no texto e na
organização das tarefas e problemas propostos, (4) na interação entre estudantes e
na (5) interação entre o indivíduo e o professor.
Há ainda a possibilidade de um suporte inteligente, como retratam Noss et. al.
(2012). Estes pesquisadores desenvolveram um ambiente digital cujo objetivo é
engajar os estudantes no reconhecimento e algebrização de padrões figurais, o
eXpresser. Neste ambiente, os aprendizes realizam suas ações em computadores
ligados a um servidor. Com uma interface diferente daquela utilizada pelos alunos, o
professor consegue ter acesso a esquemas os quais mostram o desempenho de seus
estudantes nas tarefas realizadas no meio digital. Com a análise destas informações,
o professor pode decidir qual é o melhor momento de intervir e dar suporte a quem
precisa.
42
Nesta mesma linha de pensamento, Hoyles (2012) argumenta que,
atualmente, um dos maiores desafios do desenvolvimento de ambientes digitais é a
criação de suporte inteligente que dê liberdade suficiente para os estudantes
construirem suas próprias ideias, mas que sejam capazes de gerar respostas
adequadas que auxiliem os estudantes a alcançarem seus objetivos.
Outros princípios: Construção, Simulação e Conectividade
Os seis princípios anteriores foram discutidos com mais produndidade porque
foram aqueles que guiaram o desenvolvimento do Consecutivo. Entretanto, outros três
princípios de design frequentemente são discutidos na literatura em educação
matemática. São eles: a construção, a simulação e a conectividade.
O princípio da construção é proveniente da ideia de Micromundo, introduzida
na literatura da área pelo pesquisador Seymour Papert. Para Papert (1986), o
micromundo deve ser um ambiente onde o aprendiz (1) interage com conceitos de
forma simples e acessível e (2) tem a possibilidade de criar jogos, atividades, artes
etc. que tornem relevante o trabalho no micromundo e possibilitem o desenvolvimento
de conceitos necessários dentro da experiência neste mundo.
Segundo Hoyles et. al. (2002), para que uma ferramenta digital seja
considerada um micromundo ela precisa permitir que as pessoas (1) explorem e
aprendam a partir do que elas recebem de resposta do computador no retorno de suas
explorações e (2) tenham a possibilidade de criar novos objetos neste mundo e
modificá-los usando programação.
O SuperLogo é um exemplo de micromundo, pois é um ambiente digital que
dá ao aprendiz a oportunidade de explorar conceitos geométricos com a utilização de
comandos pré-estabelecidos pelo programa e outros criados pelos próprios
estudantes no curso de suas interações. O Cabri-Géomètre também pode ser
considerado um micromundo, uma vez que os aprendizes podem acrescentar novos
botões à interface por meio das ferramentas de macro construção. É a possibilidade
de moldar o ambiente digital a sua vontade que caracteriza o princípio da construção.
43
Alguns ambientes digitais são desenhados para que os aprendizes possam
realizar simulações de fenômenos reais na tela computador. Este é o caso do
SimCalc, que permite a simulação e exploração das ideias de deslocamento,
velocidade e taxa de variação.
As ferramentas digitais também podem ser conectadas entre si de modo a
formarem uma rede e, quando esta faceta é incorporada à dinâmica das atividades
matemáticas, podemos vislumbrar outras formas de ensino e aprendizagem. Com
Noss et. al. (2012), mostrei anteriormente que a conectividade traz a tona novas
formas de suporte aos alunos. A conectividade também pode modificar a dinâmica
das discussões em sala de aula, uma vez que ela contribui para que as produções de
um estudante sejam compartilhadas em tempo real para outros integrantes do grupo.
Hegedus e Moreno-Armella (2009a) enfatizam que esta discussão compartilhada,
promovida pela conectividade, leva os estudantes a estabelecer uma relação pessoal
com o objeto matemático trabalhado.
As ferramentas de conectividade têm o potencial de favorecer o
compartilhamento de ideias e a interação professor-estudante e estudante-estudante,
porém, tais interações não são dependentes do uso de tecnologias digitais. A troca de
ideias entre estudantes e o suporte dado ao aprendiz pelo professor são atividades
que estão presentes no dia a dia escolar há muito tempo e vêm sendo cada vez mais
valorizadas pelos documentos curriculares e pesquisas na área da educação. No caso
dos PCN (BRASIL, 1998), a valorização da troca de experiência entre pares é uma
sugestão discutida dentre os conteúdos atitudinais e dentre as indicações para o
processo de ensino de matemática.
Como um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação adulto/criança. A confrontação daquilo que cada criança pensa com o que pensam seus colegas, seu professor e demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem significativa, principalmente por pressupor a necessidade de formulação de argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e a de comprová-los (convencendo, questionando) (BRASIL, 1998, p. 31).
Na próxima subseção, discuto um pouco mais sobre a importância das
interações sociais no ambiente escolar, mais precisamente no contexto do ensino e
aprendizagem de matemática.
44
1.3 As interações sociais
O papel do plano social no nosso aprendizado e desenvolvimento tem sido
discutido no âmbito da pesquisa em educação, principalmente após a publicação dos
trabalhos de Vygotsky. Desde então, o universo acadêmico procura estudar temas
que vão do papel da cultura sobre as práticas matemáticas de certo grupo até a
contribuição das interações aluno-aluno e professor-aluno no processo de ensino e
aprendizagem.
Vygotsky (1991) descreve a importância das interações sociais para a
formação de conceitos e para o desenvolvimento humano quando discute as ideias
de internalização e de zona de desenvolvimento proximal.
Segundo o pesquisador, o ser humano apreende conceitos, ações e
processos porque interage com as pessoas de sua cultura de modo a reconstruir
internamente aquilo que, a princípio, foi vivenciado socialmente. Para ele,
Um processo interpessoal é transformado num processo intrapessoal. Todas as funções no desenvolvimento da criança aparecem duas vezes: primeiro, no nível social e, depois, no nível individual; primeiro, entre as pessoas (interpsicológica), e, depois, no interior da criança (intrapsicológico) (VYGOTSKY, 1991, p. 41).
Além disso, na concepção de Vygotsky (1991), interagir com outras pessoas
de seu grupo pode contribuir para que o aprendiz realize atividades que sozinho ele
não realizaria. Desta forma, a interação social oferece a possibilidade de o aprendiz
trabalhar em sua zona de desenvolvimento proximal, despertando diversos processos
internos que somente estão em operação na presença de seus companheiros.
Muitos pesquisadores salientam o papel das interações sociais no
compartilhamento de ideias e conceitos de forma coletiva na sala de aula. Neste
contexto, os aprendizes são colocados para agir, refletir e argumentar em atividades
matemáticas e o professor atua fomentando e mediando as discussões. Para ilustrar
esta posição, destaco cinco estudos, dois deles estão relacionados ao uso de
tecnologias digitais no ensino de matemática. Os outros três, abordam de forma mais
45
geral o papel das interações sociais para promover situações em que há intensa
criação de conjecturas, argumentos, justificativas e explicações.
Hegedus e Moreno-Armella (2009a) analisaram ambientes em que o
compartilhamento de ideias e conceitos ocorria por meio da manipulação de softwares
dinâmicos associados com novos recursos digitais que permitem a conectividade e
comunicação (rede wireless e projetor). Eles analisaram diversos casos em que
estudantes do ensino médio (high school) utilizavam o software SimCalc e
disponibilizavam suas produções para que toda a turma pudesse opinar e questionar.
Os pesquisadores apontaram que neste tipo de interação,
Os estudantes se identificam com os objetos ou com atributos matemáticos dos objetos e incorporam ideias matemáticas as suas expressões pessoais7 (HEGEDUS e MORENO-ARMELLA, 2009a, p. 22).
Mariotti (2009) analisou o papel do professor no processo de ensino e
aprendizagem com ambientes de geometria dinâmica. Ela descreveu um experimento
realizado com estudantes italianos do ensino médio (10ª série) em que os mesmos
utilizavam o software Cabri-Géomètre para realizar tarefas individuais e coletivas,
envolvendo o conceito de função. Neste contexto, o professor atuava como um
mediador. Como resultado do experimento, Mariotti (2009) notou quatro formas de
intervenção do professor: (1) pedir para os estudantes voltarem numa tarefa, (2) pedir
para que eles foquem em certo aspecto do software e de seu uso, (3) solicitar uma
síntese de ideias, e (4) oferecer uma síntese. Para a pesquisadora, o primeiro e o
segundo tipo de intervenção trazem à tona o potencial semiótico do ambiente e são
usados para promover a internalização. O terceiro e o quarto estão conectados com
a necessidade de alcançar as metas educacionais propostas para o conceito
abordado.
Reid e Zack (2009) propuseram suas reflexões a respeito do ensino e
aprendizagem de prova com base numa ampla revisão de literatura. Os
pesquisadores identificaram alguns aspectos do ensino que parecem ser importantes
para o sucesso na criação de provas por estudantes. Um deles é a possibilidade de
7 Tradução minha para: In essence, students identify themselves with the object, or the mathematical attributes of
the object, thus embodying the mathematical idea as a personal expression.
46
deixar para os aprendizes a responsabilidade de criar critérios para classificar uma
prova como válida. A ideia é que, por meio da interação entre pares, os estudantes
possam negociar o nível de aceitação de justificativas e explicações. Outro aspecto é
a expectativa de comunicação. Neste caso, o processo de prova culminaria na
apresentação de justificativas para a turma toda, o que fomentaria o processo de
organização e reorganização de argumentos.
[...] eles podiam comunicar seus argumentos para seus pares e, de acordo com regras sociais, eles deviam ser cuidadosos na maneira de criar seus raciocínios; eles deveriam ser capazes de explicá-lo de forma clara e deveriam estar dispostos a formular seus raciocínios se suas expressões do mesmo não estivessem satisfatórias8 (REID e ZACK, 2009, p. 146).
Mello e Brito (2010) investigaram as relações entre argumentação,
metacognição e o desempenho na resolução de problemas envolvendo divisão. Os
pesquisadores utilizaram uma abordagem em que dois grupos de estudantes do 5º
ano do ensino fundamental foram submetidos a dois tipos diferentes de intervenção,
pré-teste e pós-teste. Em um dos grupos a argumentação foi utilizada como estratégia
para guiar a resolução de problemas. Os pesquisadores perceberam diferenças
significativas no pós-teste do grupo que passou pela intervenção diferenciada e
concluíram que a argumentação em situações de interação social promove melhoras
no desempenho dos estudantes no que tange à resolução de problemas de divisão.
Ellis (2011) trabalhou com situações envolvendo equações quadráticas junto
a um grupo de estudantes do ensino fundamental com a intenção de compreender
como as ações e interações entre aprendizes e professores podem atuar em conjunto
para fomentar generalizações. Ela percebeu sete tipos de ações que podem promover
generalizações. Dentre as mais notáveis estão (1) o engajamento de aprendizes na
generalização pública de ideias e (2) o encorajamento entre pares para justificar e
oferecer clarificações. Ellis (2011) ressaltou que a generalização é um processo amplo
que pode evoluir por meio de atos colaborativos.
8 Tradução minha para: Because they had to communicate their arguments to their peers and according to
social expectations, they had to be careful in how they formulate their reasoning, they had to be able to explain it clearly, and they had to be willing to formulate their reasoning if their expression of it was not satisfactory.
47
É possível perceber que os estudos supracitados enxergam as interações
sociais como atos em que há a troca de ideias e experiências entre estudantes e
professores. De forma geral, estes estudos preconizam o aluno como centro da
atividade e propõem o professor como um gerenciador de ações que pode, ou não,
contar com as tecnologias digitais. Nestes ambientes de interação social, a
argumentação é vista como uma exposição de explicações e justificativas que partem
dos aprendizes e dos professores. Esta ideia de argumentação tem sido estendida e
formalizada na literatura da nossa área. Esta formalização é parte do tema que discuto
na próxima seção.
48
2. ARGUMENTAÇÃO, PROVA E DEMONSTRAÇÃO
A literatura em Educação Matemática oferece significados bastante
diferenciados para as palavras argumentação, prova e demonstração. De acordo com
Balacheff (2004), essa variedade ultrapassa os limites da semântica e por vezes
interfere na compreensão de resultados de pesquisa, nas possíveis conexões e
compartilhamentos entre eles.
Levando-se em consideração esta diversidade, nesta seção, apresento e
discuto os significados os quais construí para as ideias de argumentação, prova e
demonstração por intermédio da revisão de literatura nesta área. Mais do que isso,
minha intenção é (1) abordar em que medida estas ideias podem se assemelhar e se
diferenciar, (2) discutir as implicações destas variações para o ensino e aprendizagem
de matemática e (3) apresentar os principais conceitos os quais serão utilizados na
interpretação dos dados da pesquisa.
2.1 Argumentação
Em nossa vida cotidiana nos deparamos com diversas situações as quais
temos de sustentar um ponto de vista, explicando porque concordamos ou
discordamos de algo, ou ainda, porque achamos que determinada ideia é verdadeira
ou falsa. Este tipo de situação parece natural a nós, seres humanos, como uma
consequência da vida social na qual estamos inseridos desde que nascemos.
Dependendo do assunto e do contexto, leva-se tempo para formularmos uma
linha de raciocínio para explicar porque concordamos ou discordamos de algo, para
coletarmos evidências de que uma ideia é verdadeira ou falsa, ou ainda, para
convencermos outras pessoas da plausibilidade das nossas afirmações. Na área da
saúde pública, por exemplo, precisou-se de décadas para que a população mundial
concordasse que o cigarro faz mal à saúde e para que os níveis de consumo
diminuíssem significativamente. Na matemática, mais de 300 anos de estudo foram
necessários para que o último teorema de Fermat (1601 – 1665) fosse demonstrado.
49
Na área da educação, ainda estão abertas as discussões sobre a pertinência do uso
de tecnologias no ensino de matemática. Estes são só alguns exemplos de como nós
estamos dispostos a despender demasiado tempo com o que, nesta pesquisa,
chamarei de argumentação.
Assim como em Douek (2006, p. 169), vejo a ideia de argumentação
associada ao processo que produz um discurso9 logicamente conectado, não
necessariamente dedutivo, sobre um determinado assunto.
Neste contexto, é possível dizer de maneira sucinta que a argumentação é
um discurso composto de argumentos. Aqui, um argumento é visto como uma razão
ou um conjunto de razões oferecidas a favor ou contra determinada ideia, afirmação,
sugestão ou opinião. Tais razões podem ser explicitadas de forma oral, gestual,
escrita, contendo informações numéricas, simbólicas, gráficas, figurais, etc.
Em resumo, uma “argumentação” consiste de um ou mais “argumentos” logicamente conectados e a natureza discursiva da argumentação não exclui a referência a argumentos não-discursivos, por exemplo, visual ou gestual10 (DOUEK, 2006, p. 169).
Para garantir maior fluência no texto e coerência com minhas perspectivas de
ensino e aprendizagem, uso a palavra argumentação para me referir a este discurso
logicamente conectado e a expressão processo de argumentação para me referir ao
caminho que leva ao mesmo. Para mim, este processo consiste num emaranhado de
motivações, objetivos, conceitos, passos, procedimentos, julgamentos, afirmações,
refutações e resultados.
Balacheff (1999) afirma que “no processo de argumentação há uma dupla
atividade de persuasão e validação”. Eu concordo em partes com esta afirmação. Se
pensarmos, por exemplo, em um advogado tentando defender os interesses de um
cliente, teremos o processo de argumentação voltado à construção de um discurso
logicamente conectado o qual persuade os espectadores e valida uma tese. Em
contrapartida, se pensarmos numa sala de aula em que há alunos discutindo as
9 A ideia de discurso apresentada é aquela compartilhada pelo senso comum: discurso seria uma discussão escrita
e/ou falada a respeito de um determinado assunto. 10 Tradução minha para: In brief, an “argumentation” consists of one or more logically connected “arguments”, and
the discoursive nature of argumentation does not exclude the reference to non-discoursive (for instance, visual or
gestural) arguments.
50
possíveis soluções de um problema, teremos o processo de argumentação voltado
para a produção de um discurso logicamente conectado o qual não necessariamente
valida uma ideia, mas a explica; e que não necessariamente convence o outro, mas
deixa para ele novas possibilidades de explicação para determinada questão11. Em
resumo, vejo que nem sempre o objetivo do processo de argumentação é convencer
ou validar. É possível que a intenção seja sustentar uma ideia, dar explicações e
compartilhar opiniões. Na mesma linha de pensamento temos Toulmin (2003), que
explica,
Hoje argumentos são produzidos para uma variedade de fins. Nem todo argumento é proferido na defesa formal de uma afirmação explicitada. [...] Poderia, eu acho, ser argumentado que esta seria na verdade a principal função dos argumentos, e que as outras funções que os argumentos têm para nós são secundárias e parasitárias em relação a esse uso justificatório
primário12 (TOULMIN, 2003, p. 12).
Mesmo que o objetivo do processo de argumentação seja convencer o outro,
o convencimento pode não fazer parte dos resultados desse processo. Se levarmos
em consideração o processo de argumentação entre duas pessoas, podemos ter
como resultado (1) a manutenção das ideias iniciais de ambas as partes, (2) a
manutenção das ideias iniciais de uma das partes e, consequentemente, o
convencimento da outra, (3) a mudança das ideias iniciais de ambas as partes, o que
implica a formação de uma nova ideia pela integração/interação dos argumentos em
questão. O convencimento tem uma componente objetiva que é baseada no
fundamento dos argumentos em questão, mas também tem uma componente pessoal
e social relacionada à maneira como as partes aceitam esses argumentos. Por razões
como estas, prefiro dizer que no processo de argumentação há uma intensa exposição
de ideias, pontos de vista e opiniões, cujo objetivo pode ser sustentar, compreender,
explicar, persuadir, convencer e/ou validar. Entretanto, a sustentação, compreensão,
explicação, persuasão, convencimento e validação podem não ser necessariamente
um dos resultados deste processo.
11 Um exemplo do processo de argumentação em sala de aula pode ser conferido em Hunter (2007). 12 Tradução minha para: Now arguments are produced for a variety of purposes. Not every argument is set out in
formal defense on an outright assertion. […] It could, I think, be argued that this was in fact the primary function of
arguments, and that the other functions which arguments have for us, are in sense secondary, and parasitic upon
this primary justificatory use.
51
O processo de argumentação faz parte do nosso contexto familiar e escolar
e, mais amplamente, está presente no mundo acadêmico e científico. Ele se
estabelece nas salas de aula toda vez que uma afirmação precisa ser justificada pelo
aluno ou pelo professor. Nas aulas de matemática, por exemplo, não basta que o
aluno aponte a resposta para uma dada questão. É preciso que ele apresente um
discurso logicamente conectado que mostre como esta resposta foi alcançada. Neste
contexto, o processo de elaboração de justificativas é visto como um processo de
argumentação.
Nas aulas de matemática o processo de argumentação assume uma posição
de extrema valia que vai além da elaboração de justificativas para questões rotineiras.
Neste cenário, este processo pode fazer com que estudantes tragam à tona
conjecturas dos mais diversos campos da matemática e, mais do que isso, a
necessidade de compreendê-las, explicá-las e validá-las.
Os argumentos proferidos por uma pessoa também podem ser analisados e
interpretados de um ponto de vista estrutural, o que nos ajudaria a compreender as
origens das ideias que compõem as explicações e justificativas. A próxima seção
deste texto é destinada a uma discussão mais aprofundada sobre esta análise da
estrutura do argumento.
2.2 A estrutura do argumento segundo Toulmin
A partir de meados da década de 50, Stephen Toulmin publicou uma série de
trabalhos cujo interesse era trazer diferentes perspectivas a respeito das ideias de
razão, lógica formal, ética e moral, defendendo que alguns aspectos do raciocínio e
da argumentação são dependentes do contexto em que a pessoa está inserida e que
outros aspectos são invariantes a esse contexto. Esta nova perspectiva fez com que
sua obra fosse chamada de “anti-lógica” por muitos filósofos contemporâneos.
O trabalho de maior repercussão de Toulmin é o livro “O uso dos argumentos”,
publicado pela primeira vez em 1958. Nele, o filósofo defende que a argumentação
tem um caráter justificatório e aponta que a principal função dos argumentos é o
estabelecimento de conclusões convincentes. Foi nas ideias apresentadas em “O uso
52
dos argumentos” que busquei um modelo para analisar o conteúdo dos argumentos
elaborados pelos participantes desta pesquisa.
Para Toulmin (2003) uma argumentação é um conjunto de razões e
justificativas enunciadas para sustentar determinada afirmação. A argumentação
possui uma estrutura “grossa” composta de diversos parágrafos conectados de modo
a formar um todo coerente e uma estrutura “fina” que somente é percebida quando
quebramos a argumentação em afirmações individuais, os argumentos, que carregam
fragmentos da ideia central que se pretende defender.
De acordo com Toulmin (2003), a estrutura fina do argumento é composta
pelos seguintes elementos: Dados, Garantias, Suportes, Qualificadores, Réplicas e
Conclusão. Para melhor explicar o que são esses elementos, eu apresentarei dois
exemplos. O primeiro deles foi retirado do próprio livro de Toulmin (2003). O segundo
é uma produção minha, realizada na tentativa de aplicar estes elementos ao contexto
desta pesquisa.
Vamos imaginar que eu tenha um colega chamado Harry e que eu esteja
tentando defender a ideia de que Harry é britânico. Para sustentar esta ideia, posso
recorrer a alguns dados, que conheço a respeito de Harry, como, por exemplo, o fato
dele ter nascido nas Bermudas. Entretanto, o fato de Harry ter nascido nas Bermudas
pode ser insuficiente para que um interlocutor qualquer compreenda porque Harry é
britânico. Neste caso, posso apresentar afirmações mais gerais na tentativa de
garantir a conexão entre o fato de Harry ter nascido nas Bermudas e a conclusão de
que ele é britânico. Posso dizer que uma pessoa nascida nas Bermudas sempre é
considerada britânica.
Mesmo apresentando uma garantia que conecta os fatos sobre Harry com a
ideia de que ele é britânico, é possível que o interlocutor ainda peça maiores
explicações sobre a validade das garantias as quais apresentei: por que alguém que
nasce nas Bermudas é considerado britânico? Nesta situação, posso apresentar um
suporte, ou seja, uma ideia que dá autoridade à garantia que eu proferi. Posso dizer
que existe uma lei parlamentar a qual determina a nacionalidade das pessoas que
nascem em colônias britânicas. Sendo Harry um cidadão nascido nas Bermudas e
esta uma colônia britânica, é possível dizer que Harry é britânico.
53
A discussão sobre a nacionalidade de Harry pode continuar se o interlocutor
insistir e dizer que Harry pode ter mudado de nacionalidade por questões políticas e
ideológicas. Neste caso, a conclusão de que Harry é britânico fica enfraquecida pela
possibilidade de outros fatores interferirem em sua nacionalidade. Estes fatores são
chamados de réplicas e eles me levam a colocar o qualificador “provável” na ideia que
eu estou defendendo: é provável que Harry seja britânico.
O esquema a seguir (Figura 3) sintetiza as discussões sobre a nacionalidade
de Harry, destacando os elementos do argumento, assim como proposto por Toulmin
(2003, p. 97).
Figura 3: Exemplo cotidiano da estrutura fina de um argumento segundo Toulmin (2003).
Toulmin (2003) defende que a estrutura fina de todo argumento possui pelo
menos dados, garantias e conclusões. Os reforços, os qualificadores e as réplicas
aparecem apenas quando “a força” das garantias é desafiada. Ele ainda salienta que
esta estrutura é invariante, ou seja, ela é independente do contexto e do campo de
atuação em que os locutores e interlocutores estão inseridos. Toulmin (2003)
acrescenta que, apesar da estrutura do argumento ser invariante, sua validade é
Harry nasceu nas Bermudas.
Harry é britânico.
Dado Conclusão
Uma pessoa que nasce
nas Bermudas é sempre
considerada britânica.
Existe uma lei parlamentar que trata da
nacionalidade das pessoas que nascem
em colônias britânicas.
A menos que ele tenha
mudado de nacionalidade
por questões políticas.
Provável
Garantia
Reforço
Réplica
Qualificador
54
dependente, ou seja, a aceitação das garantias e dos reforços depende do contexto e
do campo de atuação dos locutores e interlocutores.
Para discutir a questão da invariância e da dependência dos elementos de um
argumento, apresento um exemplo no contexto da Educação Matemática.
Vamos imaginar que duas estudantes, Ana e Bianca, estejam trabalhando
juntas para responder à seguinte questão: explique por que a soma de um número
par com um número ímpar dá sempre um número ímpar. Vamos imaginar ainda que
Ana e Bianca, até o presente momento, jamais haviam pensado que “par + ímpar =
ímpar”. Suponha que a dupla comece a resolução fazendo explorações pontuais,
percebendo que a conclusão faz sentido, uma vez que 2+5=7, 10+11=21, 26+3=29,
etc. Neste ponto, é possível esquematizar a estrutura fina do argumento das
estudantes de acordo com o que expressado na Figura 4.
Figura 4: Exemplo da estrutura fina inicial de um argumento no contexto da Educação Matemática.
Até agora, o argumento de Ana e Bianca parece coerente. Mas, ele é válido?
Ele é válido dentro do contexto da aula de matemática? Se você fosse uma das
estudantes, você ficaria satisfeita com este argumento? E se fosse o professor?
Vamos imaginar que Ana e Bianca tenham percebido que os dados coletados
não foram suficientes para sustentar a conclusão em questão, uma vez que os
números naturais são infinitos (Figura 5). Neste momento, a garantia apresentada
perde força e qualificadores e réplicas começam a fazer parte da conclusão: é
provável que a soma de um número par com um número ímpar seja ímpar uma vez
2+5=7
10+11=21
26+3=29
Par + ímpar = ímpar
Dois é par e cinco é ímpar. Ao
somar 2 com 5 obtém-se 7, que é
ímpar. O mesmo ocorre com 10 e
11, 26 e 3, entre outros.
55
que os números são infinitos e pode haver um caso em que esta conclusão não
funcione.
E agora, o argumento de Ana e Bianca pode ser considerado válido no
contexto da aula de matemática? O fato de levar em consideração as limitações da
garantia apresentada torna este argumento aceitável no contexto escolar? E no
contexto de um matemático?
Figura 5: Exemplo da estrutura fina de um argumento com qualificador e réplica no contexto da
Educação Matemática.
Vejo como positivo o fato das estudantes perceberem que o argumento
formulado possui certas limitações, mas, como professora, gostaria que as estudantes
não ficassem satisfeitas com a garantia apresentada e que as mesmas se engajassem
na procura de explicações as quais reforçassem tal garantia. Gostaria que Ana e
Bianca pensassem na estrutura de um número par e de um número ímpar de modo a
formular uma explicação mais robusta.
Ana e Bianca poderiam acrescentar novos dados pensando, por exemplo, que
um número é par quando é possível formar duplas com a quantidade que ele
representa e que um número é ímpar quando se formam todas as duplas possíveis
com a quantidade em questão e ainda tem-se um elemento de sobra. Com estes
dados em jogo, a dupla poderia explicar de forma figural porque ao somarmos diversas
duplas contendo um número par e um número ímpar obtemos sempre um número
ímpar como resposta (Figura 6).
2+5=7
10+11=21
26+3=29
Par + ímpar = ímpar
Dois é par e cinco é ímpar. Ao somar 2
com 5 obtém-se 7, que é ímpar. O
mesmo ocorre com 10 e 11, 26 e 3,
entre outros.
A menos que exista um
exemplo em que esta
conclusão não se aplique.
Provável
56
Figura 6: Representação figural da soma de um número par com um número ímpar.
Esta representação figural poderia ser considerada um reforço à garantia
apresentada inicialmente. Neste caso, o reforço poderia até mesmo eliminar as
incertezas em torno da garantia, o que tornaria a réplica desnecessária. Neste
contexto, o qualificador ainda poderia ser alterado de “provável” para “é certo que”,
como pode ser observado na Figura 7.
É possível que um interlocutor mais exigente, mesmo com a apresentação de
reforços para as garantias, ainda não fique satisfeito com o argumento de Ana e
Bianca apresentado na Figura 7. Isto porque, no contexto matemático, as justificativas
para conclusões generalizadoras geralmente contêm uma linguagem mais formal,
apelando para representações algébricas, e não figurais. Além disso, as nossas
estudantes fictícias começaram sua produção apresentando garantias baseadas em
explorações pontuais, o que costuma ser evitado neste contexto. Entretanto,
observando o argumento como um todo, a produção não parece suficientemente
razoável para o ambiente escolar? Como professor, não gostaria que seus estudantes
apresentassem justificativas baseadas em dados, garantias e suportes e que eles
colocassem qualificadores em suas conclusões toda vez que elas possuíssem certas
limitações? Certamente estas são questões sobre as quais devemos refletir se
quisermos trazer a prova de volta ao ambiente escolar de modo significativo.
57
Figura 7: Exemplo da estrutura fina de um argumento com reforço no contexto da Educação
Matemática.
As ideias de Toulmin (2003) parecem pertinentes ao escopo desta pesquisa
por diversas razões. Primeiramente, a estrutura do argumento proposta pelo
pesquisador leva em consideração que argumentos podem fazer sentido e serem
coerentes mesmo que sejam baseados em dados empíricos13. Neste contexto, a
coerência emerge da proposição de garantias que conectam os dados às conclusões.
Além disso, as ideias de Toulmin (2003) evidenciam que a validade de um argumento
é uma questão dependente do contexto em que o mesmo é apresentado, o que nos
permite repensar a ideia de argumentação no contexto escolar. Finalmente, a
estrutura proposta pelo pesquisador pode ser utilizada como uma ferramenta para a
análise dos argumentos dos participantes desta pesquisa, auxiliando a revelar o
conteúdo dos dados, garantias e reforços apresentados pelos mesmos, e a
compreender o papel da tecnologia na construção de cada um destes elementos.
13 Neste caso, empírico é qualidade das ações e informações matemáticas baseadas em casos específicos,
manipulações concretas e pontuais.
2+5=7
10+11=21
26+3=29
é par.
é ímpar.
Par + ímpar = ímpar
Dois é par e cinco é ímpar. Ao somar 2
com 5 obtém-se 7, que é ímpar. O
mesmo ocorre com 10 e 11, 26 e 3,
entre outros.
É certo que
Um número é par quando é possível formar duplas com a quantidade (pontos
pretos) e um número é ímpar quando sobra uma unidade após formarmos todas
as duplas possíveis (pontos vermelhos). Ao juntar par com ímpar sempre
sobrará uma unidade sem dupla. Portanto, o resultado será ímpar.
58
Nas próximas seções, aprofundo um pouco mais as ideias de argumentação,
prova e demonstração no contexto da Educação Matemática. Minha intenção é
oferecer uma perspectiva sobre como estes termos são concebidos na literatura,
revelar os resultados de pesquisas mais pertinentes ao escopo deste estudo e
apresentar as concepções que eu construí acerca do tema.
2.3 Prova ou demonstração?
Usamos o verbo provar no nosso dia-a-dia para nos referirmos à ação de
providenciar evidências de que uma afirmação é verdadeira (ou falsa). Neste contexto,
a palavra prova pode ser usada para representar o produto final da ação de provar,
ou ainda, cada uma das evidências coletadas neste processo. Ainda é possível usar
o verbo provar no sentido de testar, experimentar: provar uma roupa ou uma fruta é o
mesmo que experimentá-las, testá-las. Provar e prova não são palavras específicas
do universo matemático, mas possuem um significado muito especial dentro dele.
De um ponto de vista clássico, derivado principalmente dos trabalhos de
Euclides (325 a.C. - 265 a.C.) e Hilbert (1862 – 1943), provar é a ação que valida (ou
não), por meio de um encadeamento dedutivo, o conteúdo de uma conjectura. Neste
caso, a prova seria o produto final desta ação, apresentado formalmente, fazendo uso
de simbologia e terminologia específica desta ciência. Entretanto, em Lakatos (1978)
é possível compreender que, no universo matemático, provar é uma ação complexa,
não-linear, movida por ciclos de refutações, reorganização de argumentos e
reformulação de conjecturas. Hanna (2000) ainda salienta que, para matemáticos, a
prova é mais do que um instrumento de validação. A prova é imprescindível para trazer
compreensão.
Ficou claro para mim que uma prova, válida em termos formais, na verdade se torna convincente e legítima para um matemático somente quanto ela leva a uma real compreensão matemática14 (HANNA, 2000, p. 7).
14 Tradução minha para: It became clear to me that a proof, valid as it might be in terms of formal derivation, actually
becomes both convincing and legitimate to a mathematician only when it leads to real mathematical understanding.
59
Uma vez que a prova é de extrema importância para a matemática como
ciência, sua presença nas salas de aula tornou-se inevitável. Segundo Pires (2006),
em meados dos anos 70-80, imbuídos das ideias do Movimento da Matemática
Moderna no Brasil, professores de matemática e livros didáticos priorizavam
excessivamente explicações rigorosas em Geometria, de uma forma que o aluno tinha
dificuldades de atribuir sentido a elas. Entre as décadas de 80-90 e início dos anos
2000, presenciou-se um abandono das provas no ensino e o começo de uma
valorização a explicações empíricas, negligenciando-se o trabalho com justificativas
mais formais e de cunho algébrico. Esta trajetória de abandono ocorreu de forma
similar em outros países, como afirma Reid e Knipping (2010),
Nos anos imediatamente seguintes à generalizada rejeição à Matemática Moderna nos anos 70, uma variedade de abordagens para prova surgiu. [...] Não é surpresa que a abordagem de não ensinar prova adotada pelo movimento de volta às bases não resultou em mais estudantes compreendendo a ideia de prova15 (p. 216).
O abandono do ensino das provas ficou evidente no cenário educacional de
tal modo que documentos curriculares como os PCN (Brasil, 1998) e NCTM16 (2000)
passaram a abordar explicitamente a importância do processo de prova no ensino de
matemática. Paralelamente a isto, o número de pesquisas em Educação Matemática,
relativas ao ensino e aprendizagem de prova, aumentou consideravelmente no
cenário internacional de tal forma que obter uma visão panorâmica a respeito desta
temática tem ficado cada vez mais complicado. Todo este movimento de revalorização
das provas no ensino e aprendizagem de matemática tem trazido à tona concepções
e abordagens mais flexíveis para o trabalho em sala de aula.
De acordo com Reid e Knipping (2010), pesquisadores em Educação
Matemática possuem visões diversificadas, e por vezes conflitantes, do que é uma
prova. Neste universo, a ideia de prova pode ser vista principalmente como: (1) um
conceito, (2) um texto, (3) um objeto, (4) um processo, (5) um discurso ou (6) um
raciocínio. Reid e Knipping (2010) afirmam que a visão do que é uma prova e de seu
15 Tradução minha para: In the years immediately following the generally rejection of the New Math in the 1970s a
variety of approaches were taken to proof. […] It is not surprising that the approach of not teaching proof adopted
by the back-to-the-basis movement did not result in more students coming to understand proof. 16 National Council of Teacher of Mathematics.
60
papel no ensino depende do paradigma filosófico em que cada pesquisador trabalha.
Eles notaram, por exemplo, que pesquisadores sócio-construtivistas são mais
suscetíveis de usar a palavra prova para se referir a um raciocínio ou discurso e têm
uma visão mais flexível da mesma no que tange ao uso de deduções e de
simbolismos.
Balacheff (1982), por exemplo, considera explicação um discurso que visa
clarificar o caráter de verdade de uma proposição ou de um resultado. Neste contexto,
prova seria uma explicação aceita por certa comunidade e demonstração seria uma
prova particular, aceita pela comunidade matemática, constituída a partir de uma
sequência de enunciados, organizados com certas regras. A demonstração seria um
tipo privilegiado de prova, a qual envolve uma prática que permite comunicação e
evolução dentro da comunidade matemática.
Duval e Egret (1989) e Duval (2006), por outro lado, falam apenas de
demonstração. Nestes estudos, a demonstração está relacionada ao jogo de
substituições de afirmações por meio de raciocínios lógicos válidos e uso de
simbologia específica, tais como implicações e conectores.
Demonstrar consiste, por conseguinte, de um ponto de vista cognitivo, em transformar um enunciado (ou vários) dado inicialmente num enunciado-resultado por meio de uma ou várias substituições. Quando várias substituições são necessárias, algumas às vezes devem ser efetuadas “em paralelo” e em outras vezes sucessivamente17 (DUVAL e EGRET, 1989, p. 30).
Na literatura dos países de língua inglesa é possível encontrar alusões à ideia
de prova, prova formal ou prova matemática, tendo as duas últimas mais ligadas à
definição de demonstração discutida anteriormente. Em Lai et. al. (2012) temos um
exemplo,
Por prova matemática, nós seguiremos o matemático Griffihs (2000) que define prova matemática como “uma linha formal e lógica de raciocínio que
17 Tradução minha para: Démontrer consiste donc, d'un point de vue cognitif, à tranformer un énoncé donné au
départ (ou plusieurs) en un énoncé-résultat par une ou plusieurs substitutions. Lorsque plusieurs substitutions sont
nécessaires, certaines doivent parfois être effectuées "en parrallèle" et d'autres successivement.
61
começa com um conjunto de axiomas e se move de passos lógicos para uma conclusão18” (LAI, et. al., 2012, p. 47)”.
Independente da definição adotada pelo pesquisador e do paradigma em que
o mesmo trabalha, vejo nesta variedade de definições uma tentativa de trazer a prova
de volta à sala de aula, de uma forma mais pertinente ao ensino de matemática, mais
acessível e significativa ao estudante. A distinção entre as ideias de prova e
demonstração ou entre prova e prova formal parece-me razoável dentro da
perspectiva do ensino e aprendizagem de matemática na educação básica, uma vez
que abre a possibilidade de um trabalho mais flexível, voltado à heurística, em que
explorações de conceitos levam a conjecturas que precisam ser explicadas e
validadas com os recursos que os estudantes possuem. Ideias como prova situada
(MORENO-ARMELLA e SRIRAMAN, 2005) e tipos de prova (BALACHEFF, 1988), por
exemplo, emergiram no cenário da Educação Matemática a partir das tentativas de se
compreender como estudantes lidam com as provas em situações de exploração,
conjectura, explicação e validação.
Moreno-Armela e Sriraman (2005) discutem a ideia de prova no contexto das
atividades realizadas em ambientes de geometria dinâmica. Neste contexto, os
pesquisadores notaram que, quando os estudantes não conseguem invalidar uma
conjectura arrastando os objetos na tela do computador, essa conjectura passa a ser
vista por eles com um teorema expresso pelas ferramentas e facilitado pelo ambiente.
O que permite a passagem de conjectura ao teorema é chamado de prova situada
pelos pesquisadores.
Ao analisar as justificativas elaboradas por alunos com idades entre 13 e 14
anos, para uma conjectura envolvendo a quantidade de diagonais de um polígono,
Balacheff (1988) observou a presença de provas pragmáticas e conceituais.
As provas pragmáticas eram aquelas baseadas em ações empíricas
realizadas sobre casos específicos. As observações do pesquisador revelaram três
tipos de provas pragmáticas: (1) o empirismo ingênuo, (2) o experimento crucial e (3)
o exemplo genérico. Foram classificadas como empirismo ingênuo as justificativas
18 Tradução minha para: By mathematical proof, we follow the mathematician Griffiths (2000) who defined
mathematical proof as “a formal and logical line of reasoning that begins with a set of axioms and moves through
logical steps to a conclusion”.
62
baseadas em poucos casos particulares. As tentativas de validar uma propriedade,
usando casos específicos e especiais, como verificar uma conjectura sobre diagonais
num polígono irregular com muitos lados, foram chamadas de experimento crucial.
Os casos em que valores específicos foram trabalhados pelo aluno de modo a revelar
um padrão ou uma relação entre eles foram chamados de exemplo genérico. O
genérico é um tipo de prova especial no contexto escolar, pois pode mostrar que o
aluno compreende o entrelace das propriedades matemáticas e a importância de seu
uso nas justificativas. Ela pode representar o ponto de partida para a redação de
provas conceituais (Ver Figura 8).
Figura 8: Tipos de Prova segundo Balacheff (1988).
As provas conceituais foram aquelas baseadas em propriedades matemáticas
e raciocínio dedutivo. A demonstração é um tipo de prova conceitual; porém, Balacheff
(1988) notou que muitos alunos apresentavam provas conceituais às propriedades
matemáticas usando mais a linguagem natural do que a linguagem algébrica. Este
tipo de prova foi chamado de experimento de pensamento.
Para Balacheff (1988), estes tipos de prova formam uma hierarquia em que
um tipo específico depende de quanta generalidade e conceitualização do
conhecimento estão envolvidos. O pesquisador ainda concluiu que analisar a escrita
de uma prova não é o suficiente para determinar em que nível de generalidade está o
autor da mesma. É preciso, além disso, conhecer o processo de produção desta
prova. Por meio das provas produzidas, Balacheff (1988) também observou uma
quebra entre os dois primeiros tipos e os dois últimos. Nos dois primeiros, as provas
63
foram baseadas na ação direta do aluno sobre as proposições. Nos dois últimos,
houve por uma tomada de consciência da generalidade da prova e uma tentativa de
mostrar isso na escrita da mesma.
Sobre os níveis de prova, Healy (2000a) acrescenta que a distinção entre uma
prova pragmática e uma prova conceitual nem sempre é muito clara, principalmente
quando os argumentos dos estudantes são baseados em exemplos genéricos e casos
especiais. A pesquisadora afirma que, quando os estudantes estão trabalhando em
ambientes digitais como o Cabri Géomètre e o Logo, eles constroem objetos
matemáticos com a finalidade de obter informações a partir das quais eles podem
extrair propriedades. Nestes casos, as ações empíricas se constituem como meios
fundamentais para a construção de provas baseadas em conceitos, o que indicaria a
necessidade de repensar, por exemplo, a distinção entre prova pragmática e prova
conceitual.
A ideia de prova que construí por meio da revisão de literatura contempla em
grande parte as discussões anteriores. Vejo a prova como um tipo especial de
argumentação.
Considerar a prova como um tipo especial de argumentação implica pensar
que a prova possui certas características as quais fazem com que ela seja parte do
conjunto de coisas as quais denominamos argumentação. Além disso, implica dizer
que, dentro deste conjunto, existem coisas que são argumentação e prova ao mesmo
tempo e coisas que são argumentação, mas que não são prova. Neste sentido, para
mim, o que faz a prova ser uma argumentação é o fato de ela ser um discurso
logicamente conectado acerca de uma ideia. O que faz a prova ser um tipo especial
de argumentação é o fato de ela estar relacionada com a explicação e validação de
uma conjectura. Assim como em Reid e Knipping (2010), vejo a conjectura como uma
afirmação generalizadora que requer verificações adicionais (p. 91-92).
Sendo assim, nesta pesquisa, a prova será considerada,
Um discurso logicamente conectado resultante de um processo complexo que
visa compreender, explicar e validar uma conjectura.
64
Vejo a prova também de um ponto de vista mais flexível no que tange ao
convencimento, ao formalismo e ao uso de raciocínio lógico. Por isso, a ideia de tipos
de prova de Balacheff (1988) vai ao encontro da perspectiva que eu tenho aceitado.
Assim sendo, vou constantemente fazer alusão aos termos empirismo ingênuo,
experimento crucial, exemplo genérico, experimento de pensamento e demonstração
para me referir aos diversos tipos de prova que podem ser construídos levando-se em
consideração uma variação do seu potencial de convencimento, formalização e
raciocínio lógico.
Considerando o convencimento como dimensão19, acredito que a prova seja
um discurso que convence, pelo menos, a pessoa que a elabora. No que tange ao
formalismo e ao raciocínio lógico, uma prova pode conter argumentos em língua
natural, numéricos, algébricos, figurais e gráficos e, além disso, pode ser embasada
por raciocínio indutivo, dedutivo, abdutivo, analogias, etc. Neste contexto, a
demonstração, ou prova formal, seria um discurso que convence os membros da
comunidade matemática, dotado de algebrismos e formalismos simbólicos e baseado
principalmente no raciocínio dedutivo. Em contrapartida, o empirismo ingênuo seria
um discurso que visa estender uma conjectura para vários casos por meio de
exemplos específicos, convence um ou mais estudantes e é baseado principalmente
no raciocínio indutivo.
É possível considerar outras dimensões para a prova. Hanna (2012), por
exemplo, discute o comprimento e largura de uma prova. O comprimento de uma
prova seria a quantidade de passos e argumentos utilizados na elaboração da mesma.
Já a largura, corresponderia à quantidade de ideias necessárias para ler,
compreender e redigir uma prova. Se pensarmos nos diversos papéis que a prova
pode desempenhar no processo de ensino e aprendizagem da matemática, outras
dimensões ainda podem ser consideradas. Hanna (2000) argumenta que, neste
processo, uma prova pode levar à: verificação (da verdade de uma afirmação),
explicação (porque é verdade), sistematização (organização das informações num
sistema dedutivo), descoberta (a prova pode levar a novos resultados), comunicação
(transmissão de conhecimento matemático), construção (de teorias empíricas),
19 Uso a palavra dimensão aqui para me referir a uma das extensões de uma ideia ou conceito.
65
exploração (do significado ou das consequências de uma afirmação) e incorporação
(de novos conhecimentos).
Em síntese, nesta pesquisa considero a prova como um tipo especial de
argumentação voltada à explicação, compreensão e validação de conjecturas. Isto
implica considerar a prova como um discurso logicamente conectado, constituído de
argumentos, proveniente de um complexo processo com dimensões cognitivas,
pessoais e sociais.
A relação entre argumentação e prova é bastante discutida nas pesquisas em
Educação Matemática. Por vezes esta relação é controversa, tendo, de um lado,
pesquisadores que aceitam intersecções positivas entre ambas as ideias e, de outro,
pesquisadores que veem implicações negativas ao considerar a argumentação no
processo de prova. Na próxima seção, discuto esta literatura com mais detalhes.
2.4 Prova ou argumentação?
Garuti et. al. (1996) consideram a argumentação um processo que é
fundamental para a formulação de conjecturas. Eles afirmam que,
Durante a produção de conjecturas, o estudante progressivamente elabora sua afirmação por meio de uma intensa atividade argumentativa funcionalmente entrelaçando com a justificativa da plausibilidade de suas escolhas. Durante o estágio seguinte de provar a afirmação, o estudante relaciona este processo de maneira coerente, organizando algumas de suas justificativas (argumentos) produzidas durante a construção da afirmação de acordo com uma cadeia lógica20 (GARUTI et. al., 1996, s/p).
Analisando as ideias de Garuti et. al. (1996), é possível perceber que o
processo de argumentação e o processo de prova funcionam de maneira
independente. O processo de argumentação é fundamental para a formulação de
20 Tradução minha para: During the production of the conjecture, the student progressively works out his/her
statement through an intense activity functionally intermingling with the justification of the plausibility of his/her
choice. During the subsequent statement proving stage, the student links up with this process in a coherent way,
organizing some of the justifications (arguments) produced during the construction of the statement according to a
logical chain.
66
conjecturas e de argumentos para suportá-las. Ele é ponto de partida para o processo
de prova, o qual consistiria em organizar tais argumentos numa cadeia lógica.
A concepção de Garuti et. al. (1996) é, em alguns aspectos, diferente da ideia
de processo de argumentação e prova que estou propondo nesta pesquisa. Primeiro
porque, para aceitar a concepção de tais pesquisadores, é preciso aceitar que “uma
fase de formulação de conjecturas” existe, antecede e auxilia o processo de prova.
Acredito que é possível pensar em situações em que esta fase existe e antecede o
processo de prova.
A própria pesquisa de Garuti et. al. (1996) fornece um exemplo interessante
disso. Entretanto, temos casos históricos na matemática de estudiosos tentando
provar conjecturas as quais não foram criadas por eles, o que exigiu a formulação de
novos argumentos, uma vez que os argumentos já existentes não foram suficientes
para demonstrá-la em dado momento. Ainda é possível pensar numa situação em sala
de aula em que o professor pede que os alunos investiguem a plausibilidade de dada
conjectura, o que culminaria num processo de argumentação posterior à proposição
da mesma.
Além disso, o modo como Garuti et. al. (1996) separam o processo de
argumentação do processo de prova dá a entender que este último consiste em um
jogo de organização de argumentos dependente do primeiro em termos de conteúdo,
mas independente em termos de forma uma vez que a “cadeia lógica” é apenas
formada durante o último processo. Concordo que uma conjectura pode ser formulada
a partir de um processo de argumentação. Entretanto, não vejo que os argumentos
criados neste processo sejam logicamente desconectados, uma vez que a conjectura
é a expressão de tal conexão.
Partindo do pressuposto de que há uma fase de formulação de conjecturas
que antecede e auxilia no processo de prova, Garuti et. al. (1996) discutem a
continuidade cognitiva (ou unidade cognitiva) entre argumentação e prova. A ideia de
continuidade cognitiva está ligada ao fato de que os argumentos que vêm à tona na
fase de conjectura são geralmente usados na fase de prova para suportar as
afirmações em jogo. Neste contexto, Pedemonte (2000) afirma que a continuidade
cognitiva ocorre em relação aos conteúdos matemáticos presentes na fase de
argumentação e de prova, mas nem sempre ocorre em relação aos raciocínios lógicos
empregados para conectar ideias em cada uma delas, principalmente quando na fase
67
de argumentação se usa raciocínio abdutivo e na de prova, raciocínio dedutivo. Boero
(1999) ainda acrescenta nesta discussão a importância de se pensar em tarefas em
que a exploração dinâmica seja natural para os estudantes, o que permitiria que a
continuidade ocorresse suavemente.
No outro lado desta discussão estão Duval e Egret (1989) e Duval (2006),
que não acreditam em continuidade cognitiva entre argumentação e prova. Em ambos
os estudos, a argumentação é vista como um discurso relativo às práticas sociais e
cotidianas. A prova é vista como um discurso matemático, o que fica evidenciado pelo
uso da palavra demonstração nos textos destes pesquisadores. Neste contexto,
haveria uma ruptura cognitiva entre argumentação e prova.
Duval (2006) argumenta que a natureza dos erros cometidos pelos estudantes
na produção de provas leva à conclusão de que eles não compreendem como uma
demonstração funciona. O pesquisador aponta que esta compreensão está ligada à
consciência, por parte dos estudantes, dos significados semânticos, epistêmicos e
lógicos das proposições em jogo e, ainda, à consciência dos diferentes processos de
organização do discurso. Tal consciência pouco é evidenciada em situações que
valorizam a heurística e que se relacionam com a argumentação realizada
socialmente na vida cotidiana.
Duval (2006) acredita que a reorganização dos conteúdos matemáticos
revelados na argumentação não ocorre de forma espontânea. Esta reorganização
requer que os estudantes saibam diferenciar as ideias de hipótese, premissa,
conclusão, axioma, argumento etc., bem como saibam organizar várias propriedades
numa dedução e várias deduções numa demonstração.
Para Duval e Egret (1989), a demonstração é um discurso matemático que
possui uma estrutura superficial, similar à estrutura de uma argumentação em língua
natural, em que os enunciados se acumulam, e uma estrutura profunda, similar à
atividade de cálculo, em que os enunciados são substituídos por outros em função de
regras conhecidas.
A organização dedutiva e argumentação constituem dois tipos de funcionamento opostos do discurso. A passagem da argumentação, que é a
68
forma mais natural de raciocínio, à demonstração exige uma mudança de atitude intelectual completa21 (DUVAL e EGRET, 1989, p. 30).
Para Duval e Egret (1989), o estudante somente se torna consciente da
estrutura profunda da demonstração quando esta é representada de forma não-
discursiva, como elaboração de organogramas e esquemas de rede, articulada a
formas de expressão em língua natural.
Figura 9: Estrutura de uma demonstração. Esquema elaborado por mim a partir de Duval e Egret
(1989)
Analisando os estudos de Garuti et. al. (1996), Boero (1999), Pedemonte
(2000), Duval e Egret (1989) e Duval (2006) é inviável dizer que a ideia de
continuidade cognitiva entre argumentação e prova é oposta a ideia de ruptura
cognitiva, uma vez que os pesquisadores têm concepções diferentes sobre tais
assuntos. Nos três primeiros estudos citados, argumentação e prova foram tratadas
como processos. Além disso, a ideia de unidade cognitiva foi aceita somente quando
se considerou o conteúdo matemático dos argumentos em situações em que a
argumentação promove a formulação de conjecturas.
Em Duval e Egret (1989) e Duval (2006) a prova é vista de maneira muito
particular, como uma demonstração no sentido de Balacheff (1982). Além disso,
21 Tradução minha para: Organisation déductive et argumentation constituent donc deux types de fonctionnement
opposés du discours. Le passage de l’argumentation, qui est est la forme la plus naturelle de raisonnement, à la
démonstration exige donc un changement d’attitude intellectuelle complet.
69
demonstração e argumentação são discursos que diferem pela organização dedutiva
do primeiro e o caráter social e linguístico do segundo.
Sobre a questão da unidade cognitiva entre argumentação e prova, Balacheff
(1999) salienta que as situações de interação social, por um lado, devolvem ao
estudante a responsabilidade da elaboração de conjecturas e, por outro, dificultam a
construção de uma problemática matemática da prova. Com isso, o pesquisador
argumenta,
Como conclusão deste estudo, a partir da perspectiva do ensino e aprendizagem, eu não chego a suportar nem a ideia de continuidade nem de ruptura entre argumentação e prova matemática (ou prova em matemática), mas a proposição do reconhecimento da existência de uma relação que é complexa e é parte do significado de ambas: argumentação constitui um obstáculo epistemológico para a aprendizagem da prova matemática e mais geralmente da prova em matemática22 (BALACHEFF, 1999).
As discussões sobre a relação entre argumentação e prova me levaram a
refletir sobre a questão da continuidade e da ruptura cognitiva dentro das concepções
assumidas nesta pesquisa. Aqui, o processo de prova é visto como um tipo especial
de processo de argumentação porque em ambos os casos há a construção de um
discurso logicamente conectado cuja intenção é suportar, explicar e/ou validar ideias
e opiniões. Neste sentido, é possível falar que os processos de argumentação e prova
compartilham motivações, intenções, ações e objetivos. O que torna o processo de
prova específico é (1) a referência a uma conjectura matemática, (2) a necessidade
de validação dessa conjectura e (2) a estrutura do discurso, que pode variar em termos
de convencimento, formalismos e uso do raciocínio lógico. Dentro desta perspectiva,
não faz sentido falar em continuidade ou ruptura cognitiva entre argumentação e
prova, uma vez que prova é um tipo de argumentação. Faz sentido falar de
continuidades e rupturas dentro do processo de prova, levando-se em conta as
características do grau de convencimento, do formalismo, e do raciocínio lógico
empregado. Assim, poderíamos questionar em que medida há continuidades e
22 Tradução minha para: At the conclusion of this short essay, from the perspective of teaching and learning, I arrive
at supporting neither the thesis od continuity nor that of a rupture between argumentation and mathematical proof
(or proof in mathematics), but at proposing the recognition of the existence of a relationship which is complex and
is part of the meaning of both: argumentation constitutes an epistemological obstacle to the learning of mathematical
proof, and more generally of proof in mathematics.
70
rupturas do empirismo ingênuo para o exemplo genérico, ou ainda, do experimento
de pensamento para demonstração. Para responder tais questionamentos, é
importante que se compreenda como o processo de prova ocorre, por exemplo, em
sala de aula quando se assume uma concepção similar àquela adotada neste estudo.
Nesta direção aponto os estudos de Knipping (2003) e Reid e Knipping (2010).
Knipping (2003) e Reid e Knipping (2010) apresentaram os resultados de um
estudo com estudantes alemães, franceses e canadenses, entre 13 e 15 anos, em
que se procurou identificar diferenças nos processos de argumentação que ocorrem
nas salas de aula durante uma atividade de prova envolvendo o Teorema de
Pitágoras. Os pesquisadores relataram diferentes estruturas no fluxo de ideias durante
as argumentações. Eles notaram, por exemplo, que em alguns grupos argumentos
paralelos eram fornecidos no começo do processo e eram afunilados numa conclusão.
Em outros grupos, determinada conclusão aparecia repetidas vezes em argumentos
paralelos, sendo discutida por várias vezes de diferentes formas. Eles ainda notaram
argumentações em que os participantes coletavam uma gama de dados para suportar
diversas conclusões relacionadas à ideia central que se desejava explicar.
Knipping (2003) ainda salienta que mais pesquisas nesta área são
necessárias uma vez que foi percebido que os discursos produzidos pelos estudantes
não somente diferiram no tipo de argumentos usados, mas também na sua estrutura
global e na passagem de um argumento para outro (p. 9).
Embora Knipping (2003) clame por mais pesquisas as quais tentem
compreender como os argumentos são produzidos e utilizados no processo de prova
pelos estudantes, muito já se foi discutido nesta área. Nas últimas duas décadas
diversos estudos foram conduzidos na tentativa de compreender (1) a visão de
matemáticos, professores e estudantes sobre o que é uma prova, (2) como alunos
dos mais diversos níveis provam conjecturas matemáticas, (3) que dificuldades eles
enfrentam, (4) até que ponto as provas que eles produzem podem ser consideradas
demonstrações, (5) as abordagens de prova sugeridas por professores e livros
didáticos e suas implicações, e muito mais. O objetivo da próxima seção é justamente
este: apresentar e discutir resultados de pesquisa, relevantes para este estudo,
relativos ao processo de ensino e aprendizagem de provas.
71
2.5 O que estudantes sabem sobre prova?
Enquanto fazia a revisão de literatura para estabelecer minha concepção de
argumentação e prova, vários questionamentos vieram a minha cabeça, tais como:
prova é algo passível de ser ensinado da mesma forma que ensinamos frações,
equações e conceitos geométricos? Se sim, existe alguma metodologia para seu
ensino? Em que idade as pessoas devem aprender o que é uma prova? Quando
podemos dizer que alguém sabe o que uma prova é? Se não, se prova é algo que não
pode ser ensinado, como alguém aprende a provar? Existe alguma forma de torná-la
algo ensinável? Durante esta fase de questionamentos, tentei me lembrar como eu
aprendi a provar, em que circunstâncias e com que idade.
Lembrei que durante toda minha fase como estudante da educação básica,
nas aulas de matemática, meus professores exigiam que todos os alunos redigissem
respostas completas para os exercícios propostos. Não bastava colocar somente um
número na resposta. Tinha que explicar como se chegou nela. Neste sentido, vejo que
desde cedo a aula de matemática se configurou como um ambiente para que eu e
meus colegas argumentassem. Entretanto, eu não me recordo de, durante a educação
básica, ter engajado num processo de argumentação sobre uma determinada
conjectura matemática, criada ou não por mim.
Meu primeiro contato com a ideia de conjectura, demonstração e teorema
ocorreu quando eu estava cursando matemática em uma universidade. Eu estava na
aula de fundamentos da álgebra e minha professora demonstrava na lousa diversos
teoremas relativos à teoria dos números. Recordo-me de conseguir acompanhar as
explicações, mas de ter dificuldades de escrever minhas próprias provas. Aprendi a
demonstrar observando o que minha professora produzia, comparando o que meus
amigos escreviam com o que eu escrevia, e comparando como a professora avaliava
o trabalho deles e o meu trabalho. Hoje, eu não sei dizer se minha professora tinha a
intenção de nos ensinar como se demonstra teoremas ou não, ou se isso foi uma
consequência do seu método de ensinar álgebra. O que eu sei é que, naquela época,
descobri o que era uma demonstração porque eu estava inserida num ambiente em
que elas eram usadas para explicar porque certas ideias da álgebra eram o que eram.
72
Já faz 13 anos que eu passei por esta experiência e sempre me questiono se
alguma coisa mudou nas salas de aula. O fato é que a história do ensino de provas
no Brasil e no mundo é repleta de altos e baixos. Há relatos23 de momentos em que
provas rigorosas foram apresentadas para os alunos da educação básica,
principalmente em Geometria, de tal modo que a compreensão das mesmas se
tornava muito difícil devido ao excesso de formalismo utilizado. Há relatos também de
abandono total das provas no ensino de matemática. E, ainda, relatos de um ensino
voltado à exploração de conceitos e justificativas mais acessíveis aos estudantes.
No Brasil, em 1998, foram publicados os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN), um documento que visa clarificar os objetivos da educação básica no país nas
mais diversas áreas do conhecimento escolar. Os PCN contam com um volume
especial para a matemática e nele temos alusão à importância dos processos de
argumentação e prova no ensino,
Se por um lado a prática da argumentação tem como contexto natural o plano das discussões, na qual se podem defender diferentes pontos de vista, por outro ela também pode ser um caminho que conduz à demonstração. Assim, é desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode- se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas (BRASIL, 1998, p. 71-72).
Não é possível dizer que a publicação dos PCN impulsionou um trabalho com
provas e demonstrações nas salas de aula. Ainda não há evidências para sustentar
esta afirmação. Entretanto, por conta das exigências do Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD), algumas mudanças já podem ser percebidas neste tipo de material.
Pais (2010) notou uma mudança na abordagem dos livros didáticos das séries finais
do ensino fundamental constatando a presença de argumentações em geometria, mas
demasiada valorização a conclusões derivadas do empirismo. Além disso, o
pesquisador percebeu uma relação entre a argumentação e a resolução de problemas
e um aumento da indução como estratégia de validação. Carvalho (2007) constatou
que os livros didáticos do primeiro ano do ensino médio apresentam justificativas
23 Pires (2006) e Reid e Knipping (2010) apresentam discussões mais aprofundadas dos altos e baixos ocorridos
no ensino de provas, respectivamente, no Brasil e no mundo.
73
formais e informais às propriedades abordadas no campo algébrico, mas poucos
propõem atividades para que os alunos, por si próprios, se engajem no processo de
elaboração de provas e demonstrações.
A importância do processo de prova no ensino de matemática também gerou
interesse nos pesquisadores brasileiros da Educação Matemática nestes últimos
anos. Diversos estudos foram conduzidos nesta área na tentativa de (1) conhecer as
concepções de estudantes e professores a respeito do que é uma prova, (2)
compreender os entraves da utilização de uma abordagem voltada ao ensino de
provas por professores, e (3) descrever as provas produzidas pelos alunos da
educação básica e do ensino superior em termos das representações, generalidade e
raciocínios utilizados.
Jahn e Healy (2008) mapearam as concepções sobre prova dos alunos da
educação básica entre 14-16 anos de escolas do Estado de São Paulo. Este
mapeamento revelou principalmente um baixo desempenho dos estudantes na
elaboração de provas para conjecturas geométricas e algébricas. Leandro (2010), que
participou do projeto das pesquisadoras, constatou que, para questões envolvendo os
conceitos de fatorial, múltiplos e divisores, os acertos dos participantes foram
diminuindo à medida que a possibilidade de realizar cálculos ficava inviável. A análise
dimensional realizada apontou dois grupos de alunos: aqueles que utilizam o cálculo
como principal estratégia para justificar suas afirmações e aqueles que utilizam
propriedades. Estes últimos apareceram em menor quantidade. Piccelli e Bittar (2010)
realizaram um experimento com alunos do ensino médio no contexto da geometria
dinâmica e encontraram resultados similares. Grande parte das provas apresentadas
pelos participantes ficou ao nível do empirismo ingênuo. As pesquisadoras apontaram
que o exemplo genérico e o experimento crucial somente vieram à tona com a
intervenção do professor ou quando alunos passaram a ficar mais familiarizados com
a tarefa.
Freitas (2004) e Sales e Pais (2010) analisaram o processo de prova nos anos
iniciais do curso de Licenciatura em Matemática. Freitas (2004) notou que muitos
estudantes apelaram para o empirismo ingênuo como forma de argumentação.
Entretanto, o pesquisador observou a presença considerável de experimentos de
pensamento redigidos em língua natural e algebricamente. Sales e Pais (2010)
obtiveram resultados semelhantes. Ambos os estudos afirmaram que grande parte
74
das provas apresentadas pelos participantes não estava no formato aceito pela
comunidade matemática, mas tinham grande potencial de progredir.
A partir de Reid e Knipping (2010) é possível perceber que os resultados das
pesquisas internacionais no que tange a aprendizagem de prova são muito parecidos
com os resultados brasileiros. De acordo com os pesquisadores, os estudos
internacionais revelam que muitos estudantes (1) aceitam exemplos como forma de
validação, (2) não aceitam provas dedutivas como forma de validação, (3) não aceitam
contraexemplos como refutação, (4) aceitam provas dedutivas falhas como forma de
validação, (5) aceitam argumentos sem coerência lógica, (6) oferecem argumentos
empíricos como prova e (7) não conseguiriam redigir provas consistentes com os
padrões da comunidade matemática.
Os resultados de pesquisas discutidos anteriormente nos fornecem uma ideia
de como anda a aprendizagem dos estudantes no que concerne o processo de prova.
De modo geral, é possível perceber que o desempenho dos mesmos é bastante
limitado no que tange à compreensão e elaboração de provas na matemática. Esses
resultados podem ser interpretados e explicados por diferentes pontos de vista. Um
deles é considerar que grande parte deste desempenho pobre está relacionada à
formação e concepção de professores (PIETROPAOLO, 2005; PIETROPAOLO et. al.,
2009; ALMOULOUD e FUSCO, 2010). Há ainda a possibilidade de assumir que o
processo de prova se constitui dentro das práticas sociais que dependem de um
intenso jogo de negociação de significados e contratos didáticos que ocorrem
raramente em sala de aula (BALACHEFF, 1999). Além disso, é possível acreditar em
dificuldades cognitivas relativas à aprendizagem de prova ou na presença de
obstáculos epistemológicos acerca do tema (DUVAL e EGRET, 1989; BALACHEFF,
1999; DUVAL, 2006). Na próxima seção, discuto com mais detalhes estas
interpretações, os avanços na área e as implicações para pesquisas futuras.
2.6 Interpretações e implicações da literatura
A história do ensino de matemática no Brasil e no mundo nos mostra que o
trabalho com provas e demonstrações pode ocorrer em dois extremos, do excesso de
formalismo ao excesso de empirismo, e que ambos não são capazes de promover
75
resultados significativos no que tange à compreensão dos estudantes a respeito do
que é uma prova e como é possível elaborá-la. Entretanto, o ínfimo desempenho de
nossos estudantes acerca do tema é explicado de diversas maneiras dentro da
literatura em Educação Matemática. Estas explicações vão além de apontar fatores
históricos para justificar nossa situação atual.
Pietropaolo et. al. (2009) analisaram a concepção de professores e
pesquisadores sobre a necessidade de implementação de provas e demonstrações
na educação básica. Os pesquisadores constataram que os professores pouco
utilizam demonstrações em suas aulas por acreditarem que este é um discurso
acessível para poucos alunos. Em contrapartida, quando se fala da prova de uma
maneira mais flexível em termos de formalismos, os mesmos participantes admitem a
possiblidade de um trabalho frutífero em sala de aula. Na mesma linha de pesquisa,
Almouloud e Fusco (2010) analisaram depoimentos de professores da educação
básica do estado de São Paulo e constataram que os mesmos trabalham pouco com
demonstrações ao ensinarem equações quadráticas porque (1) não querem assustar
os alunos uma vez que os mesmos não têm base para entendê-las, (2) não possuem
familiaridade com o ensino de demonstrações e (3) o livro didático não dá suporte a
esse ensino. Ambos os estudos apontam a necessidade de se trabalhar a questão do
ensino das provas e demonstrações nos cursos de formação inicial e continuada de
professores levando-se em conta uma perspectiva mais flexível.
Balacheff (1999) aponta a existência de um contrato didático natural nas salas
de aula da educação básica em que o professor assume a garantia da legitimidade e
validade epistemológica do conceito que está sendo construído de tal forma que o
estudante é privado de um acesso autêntico à problemática da verdade e da prova. O
pesquisador acredita que as dificuldades de ensino e aprendizagem de prova estão
relacionadas a este contrato e que a superação dessas dificuldades reside na
devolução ao estudante da responsabilidade matemática de suas produções, o que
poderia ocorrer por meio de situações de interação social promovidas em sala de aula.
Nesta mesma direção, Küchemann (2008) aponta que as dificuldades relativas à
prova estão relacionadas à falta de oportunidade dos estudantes engajarem num
processo de procura à estrutura inerente à determinada conjectura em sala de aula.
Reid e Zack (2009) apontam sugestões e afirmam que três características podem ser
combinadas a fim de favorecer o processo de prova: (1) colocar os estudantes numa
76
situação de formulação de conjecturas, (2) deixar para eles a responsabilidade de
formular um critério para avaliar as próprias respostas e as dos colegas, (3) colocar a
comunicação dos resultados como uma das metas do processo.
Para Duval (2006) e Duval e Egret (1989) as dificuldades de aprendizagem de
demonstrações estão relacionadas aos processos cognitivos demandados na sua
formulação. Os pesquisadores acreditam que, para provar, os estudantes precisam
estar conscientes dos diferentes significados das proposições usadas na dedução, e
ainda, estar conscientes dos diferentes processos de organização exigidos na
elaboração de uma prova: agrupar argumentos para formar uma cadeia dedutiva e
agrupar cadeias dedutivas para formar uma prova. Para a superação destas
dificuldades, ambos os estudos sugerem o uso de tarefas em sala de aula em que a
representação não-discursiva da prova seja intercalada com representações em
língua natural. Dois exemplos desse tipo de tarefas podem ser encontrados em
Almouloud (2003, p. 137-138).
No primeiro exemplo, a tarefa exige que o aluno complete, escrevendo sobre
as setas teoremas já conhecidos por ele, um esquema de rede que representa a prova
de uma propriedade sobre quadriláteros.
Figura 10: Tarefa de organização dedutiva - Esquema de rede. (ALMOULOUD, 2003, p. 137)
No segundo exemplo, a tarefa exige que o aluno organize um texto que
representa a prova da mesma propriedade sobre quadriláteros que foi organizada na
forma de rede anteriormente.
77
Figura 11: Tarefa de organização dedutiva - Texto. (ALMOULOUD, 2003, p. 138)
É possível notar que a proposição das duas tarefas aos alunos visa à
conversão de registros não-discursivos (rede) em registros discursivos em língua
natural (texto) como sugerem Duval e Egret (1989). Duval (2006) ainda acrescenta
que os estudantes somente serão capazes de tomar consciência da organização do
discurso de uma demonstração quando os mesmos realizarem tais tarefas de forma
independente do trabalho heurístico voltado à exploração de propriedades. Neste
contexto, as tarefas que envolvem argumentação social devem ser realizadas
separadamente das tarefas de organização dedutiva.
Na mesma linha das dificuldades cognitivas, Reid (2012) argumenta que o
processo de produção de demonstrações é marcado por um sentimento de
necessidade (feeling of necessity). O sentimento de necessidade também é apontado
por Duval (2006) como um dos pré-requisitos para demonstrar. Este sentimento está
relacionado à necessidade que temos de explicar situações e fenômenos com
argumentos não baseados na visualização e em acordos sociais. Ele é importante
para o convencimento, uma vez que neste contexto as conclusões somente são
78
alcançadas por meio de raciocínios baseados em afirmações anteriores das quais já
temos certeza da validade.
Tabela 1: Dificuldades dos estudantes no processo de prova: causas, sugestões e autores das
sugestões.
Causas Sugestões Pesquisadores
Professores pouco promovem
atividades que favoreçam o
processo de prova na sala de
aula.
Inserir novas abordagens para o
ensino de provas nos cursos de
formação de professores.
Pietropaolo (2005)
Pietropaolo et. al. (2009)
Almouloud e Fusco (2010)
O contrato didático mais comum
em sala de aula tem o professor
como legitimador do
conhecimento.
Mudança no contrato didático
de modo a deixar que os alunos
sejam responsáveis pela
formulação e validação de
conjecturas em situações de
interação social.
Garuti et. al. (1996)
Balacheff (1999)
Boero (1999)
Küchemann (2008)
Reid e Zack (2009)
Dificuldades cognitivas inerentes
ao processo de prova:
(1) O estudante precisa estar
consciente da organização
dedutiva do discurso.
Propor tarefas em que
representações não-discursivas
sejam intercaladas com
representações em língua
natural.
Duval e Egret (1989)
Duval (2006)
(2) O estudante precisa do
sentimento de necessidade.
Propor atividades em que o
raciocínio dedutivo seja a
melhor maneira de suportar e
explicar uma ideia ou opinião.
Duval (2006)
Reid (2012)
A tabela 1 apresenta de forma resumida as possíveis causas para as
dificuldades dos alunos em compreender e elaborar provas na matemática, as
sugestões apontadas na literatura para a superação destas dificuldades, e os autores
das respectivas sugestões.
Além das explicações para as dificuldades dos estudantes em compreender
e redigir provas, ainda existe a possiblidade de reinterpretações dos resultados de
pesquisa. Para o fato da maioria dos estudantes somente produzir provas empíricas,
por exemplo, o estudo de Healy e Hoyles (2000) mostrou que grande parte dos
participantes que construíram provas empíricas foi capaz de valorizar provas
baseadas em argumentos genéricos e explicativos. Eles reconheceram que os
argumentos construídos por eles não receberiam uma boa avaliação do professor.
Apesar de notarem o poder dos argumentos algébricos, os participantes afirmaram
79
que os exemplos particulares são meios poderosos de obter a convicção da verdade
de uma afirmação, principalmente quando ela não é familiar.
Healy e Hoyles (2000) ainda afirmam que, embora as provas dos estudantes
tenham sido pautadas em argumentos empíricos, muitos alunos apresentaram em
suas soluções a estrutura: produção de evidências – descoberta de padrões –
conferência de resultados (figura 5). As pesquisadoras argumentam que esta
abordagem está presente nas indicações curriculares que as escolas inglesas devem
seguir. Com isso, os resultados deste estudo indicaram que o currículo estava
influenciando a maneira dos estudantes apresentar suas provas.
Figura 12: Prova baseada na abordagem produção de evidências – descoberta de padrões –
conferência de resultados. (HEALY e HOYLES, 2000, p. 410)
Outro resultado que pode ser reinterpretado é o fato dos estudantes
precisarem de exemplos empíricos para confirmar uma conjectura mesmo depois de
ela ter sido provada de forma genérica. Uma das explicações para tal atitude é dizer
que os alunos não compreendem o poder generalizador de uma prova. Entretanto,
Küchemann e Hoyles (2009) perceberam que, em muitos casos, os alunos recorrem
a testes numéricos após uma prova para conferir a validade da estrutura do argumento
o qual eles construíram e para aumentar a confiança nas suas produções. Hanna
(2000) ainda afirma que para muitos estudantes o papel da prova tem o mesmo
significado que para os cientistas experimentais, como os físicos. Para estes, a prova
precisa ser acrescida de exemplos práticos para ter sentido. Neste contexto, o desafio
para os educadores seria levar os estudantes a mesclarem dedução e
experimentação, relacionando matemática e o mundo real.
80
Como foi discutido, muito já se foi estudado a respeito dos processos de
argumentação e prova no Brasil e fora dele. Entretanto, ainda existem muitas questões
para serem respondidas, principalmente questões que visam complementar os
resultados já divulgados na literatura. A seguir, eu apontarei algumas dessas questões
no intuito de fomentar discussões acerca da temática. Eu não pretendo responder a
todas elas nesta pesquisa, mas reconheço que muitas me serviram como inspiração
pra o design deste estudo.
Sabemos, por exemplo, que o baixo desempenho dos alunos no processo de
prova pode estar relacionado à falta de situações em sala de aula que engajem os
estudantes no mesmo. A ínfima presença deste tipo de situação também está atrelada
ao fato dos professores não se sentirem preparados para lidar com o processo de
ensino de provas na escola. Porém, ainda faltam estudos que visem esclarecer o que
exatamente deve ser abordado nos cursos de formação de professores para garantir
que o processo de prova faça parte da rotina escolar.
Outro aspecto que ainda precisa ser mais bem estudado é até que ponto as
situações de interação social ajudam ou não os estudantes a produzirem provas. Em
que medida este tipo de situação favorece ou enfraquece a construção de um
sentimento de necessidade que leva os estudantes a preferirem explicações
baseadas no raciocínio dedutivo ao invés daquelas baseadas em casos específicos?
Além disso, se considerarmos uma perspectiva mais flexível no ensino, valorizando
situações de exploração e formulação de conjecturas, que tipo de prova os alunos
serão capazes de produzir? Em que medida estas provas vão se aproximar ou se
distanciar das demonstrações?
Ainda não está claro o papel que a tecnologia digital pode ter no processo de
ensino e aprendizagem de provas. Alguns estudos consideram que ambientes de
geometria dinâmica, tais como o Cabri Géomètre II e o Geogebra, possuem grande
potencial para encorajar os alunos a explorar e provar porque eles favorecem a rápida
proposição e teste de conjecturas (HANNA, 2000) ou porque eles podem mediar o
significado da conjectura e das afirmações condicionais no contexto da geometria
(MARIOTTI, 2012). Entretanto, ainda não está claro em que medida as visualizações
promovidas por tais recursos podem trazer à tona a necessidade de explicações
pautadas no raciocínio dedutivo, uma vez que é possível ficar convencido pelo
dinamismo da tela do computador.
81
Os ambientes computacionais têm sido o palcos de muitos estudos
relacionados ao processo de ensino e aprendizagem de matemática por darem
dinamismo às já existentes representações de conceitos e por oferecem novos meios
de representá-los. Porém, ainda temos poucos estudos que mostram como estas
novas representações levam à formulação de novos tipos de argumentos e novas
maneiras de provar conjecturas nas salas de aula.
É possível notar que grande parte dos estudos envolvendo o processo de
prova na educação foi realizada no contexto da geometria ou da geometria dinâmica
(BALACHEFF, (1982), DE VILLIERS, (2001), GARUTI et. al. (1996), KNIPPING
(2003), MARIOTTI (2012), MORENO-ARMELLA e SRIRAMAN (2005), PAIS (2010) e
SALES e PAIS, (2010)). Estes contextos geralmente são classificados como frutíferos
devido ao grande potencial para a realização de provas baseadas no raciocínio
dedutivo; porém, restringir a abordagem das provas a contextos geométricos pode dar
aos estudantes a falsa impressão de que esse tipo de discurso não é necessário em
outras áreas da matemática. Vejo que ainda faltam estudos no campo da educação
matemática voltados para a elaboração de sequências de ensino as quais relacionem
o processo de provas com tópicos relacionados à Teoria dos Números, Funções,
Trigonometria, Probabilidade, etc.
Pensando em muitas das limitações das pesquisas envolvendo o ensino e
aprendizagem de provas e o uso de tecnologias no ensino de matemática, construí
minhas questões de pesquisa e vislumbrei uma metodologia para respondê-las. Nas
próximas seções deste texto, apresento estas questões e esclareço como eu decidi
abordá-las.
2.7 Objetivos e questões de pesquisa
Ao sintetizar as reflexões apresentadas nos dois primeiros capítulos desta
tese, foi possível constatar que o ensino de provas na escola é importante por
caracterizar o “fazer matemática” e distinguir esta ciência das outras. A prática de
justificar afirmações com provas pode trazer compreensão aos alunos a respeito dos
conceitos envolvidos em sua atividade e, além disso, pode ser uma oportunidade para
o trabalho com a exploração, a observação sistemática e a formulação de conjecturas.
82
Apesar da importância do ensino das provas, encontrei evidências de seu
abandono em sala de aula, principalmente em contextos fora da Geometria (PIRES,
2006; PAIS, 2010). Este abandono pode estar relacionado a diversos fatores. Um
deles é a dificuldade de compreensão, por parte dos alunos, da linguagem algébrica
e da estrutura formal da prova, pelo fato da mesma necessitar de representações que
vão além da linguagem natural, tão familiar ao aprendiz. Em contrapartida, encontrei
também evidências de que o uso de computadores, atrelado a tarefas específicas,
envolvendo o uso de múltiplas representações de conceitos, pode ser um recurso o
qual contribui para a superação de dificuldades associadas à aprendizagem de
conceitos algébricos (KIERAN e YERUSHALMY, 2004).
Diante destas considerações, planejei a criação e a utilização de um ambiente
computacional, o Consecutivo, o qual proporcionasse aos estudantes da educação
básica a exploração de propriedades relativas à Teoria dos Números, a formulação
de conjecturas e a elaboração de suas respectivas justificativas formais. Um ambiente
que valorize a interação, a troca de ideias entre os estudantes, que seja permeado
por recursos tecnológicos e por tarefas adequadas pode contribuir positivamente para
o processo de formulação de conjecturas e justificativas formais. Além disso, acredito
que um ambiente como este também possa fomentar o retorno das provas como uma
prática significativa em sala de aula.
Sendo assim, eu norteei minhas ações nesta pesquisa a fim de alcançar três
objetivos centrais:
(1) Desenvolver um ambiente computacional o qual proporcione ao aluno
da educação básica uma interação com propriedades relativas à Teoria dos Números.
(2) Desenvolver uma sequência de tarefas, para serem realizadas pelos
alunos neste ambiente computacional, que tenham como finalidade a exploração,
formulação de conjecturas e elaboração de justificativas formais para tais
propriedades.
(3) Aplicar as tarefas elaboradas na sala de aula para verificar em que
medida a interface do ambiente computacional desenvolvido contribui com o processo
de elaboração de justificativas formais.
83
O Capítulo 4 desta tese é destinado à discussão dos objetivos 1 e 2. Nesta
seção, descrevo o desenvolvimento do Consecutivo24 e das tarefas que fazem parte
do ambiente. Além disso, no capítulo subsequente, apresento as modificações
ocorridas na interface do programa e no texto das tarefas em função da observação
das interações dos participantes.
O terceiro objetivo é abordado em diversas seções deste texto. Uma breve
descrição da aplicação do ambiente com estudantes e professores é feita no Capítulo
3. A análise mais aprofundada das interações dos participantes com o Consecutivo é
realizada nos Capítulos 7 a 10. Esta análise teve como meta responder à seguinte
questão de pesquisa:
Com os recursos disponíveis no ambiente digital, qual é a natureza das
provas criadas pelos estudantes?
Determinar a natureza das provas dos estudantes implica mostrar como elas
foram apresentadas em termos de forma e conteúdo e evidenciar qual o processo que
as trouxe à tona. Desta maneira, duas questões de pesquisa auxiliares foram
elaboradas:
Como são as provas dos participantes em termos de conhecimento
matemático, representações e estrutura argumentativa?
Como as provas foram mediadas pela interação entre os estudantes, as
intervenções do pesquisador, a tecnologia e a tarefa?
Para responder a estas questões auxiliares, optei por uma metodologia
qualitativa na qual analisei as respostas escritas dos estudantes em conjunto com as
interações capturadas pela câmera enquanto eles realizavam as tarefas. Os detalhes
24 Vale ressaltar que Consecutivo é o nome do ambiente digital que eu construí e apliquei durante este doutorado.
84
da metodologia empregada na coleta e na análise dos dados da pesquisa serão
abordados nos Capítulos 3 e 6, respectivamente.
85
3. O DESIGN DA PESQUISA, OS PARTICIPANTES E A COLETA DE DADOS
Após revisão bibliográfica, percebi que a metodologia da pesquisa baseada
no design (DBR)25, ou simplesmente o experimento de design, vinha ao encontro dos
objetivos discutidos no Capítulo 2.7, uma vez que ela pode ajudar a criar e estender o
conhecimento sobre como desenvolver, implementar e sustentar ambientes de
aprendizagem inovadores (DBRC26, 2003, p. 05).
Segundo o DBRC (2003), a DBR tem como premissa a criação de ambientes
de aprendizagem, cujos objetivos estão interligados ao desenvolvimento de teorias.
Estas teorias são constituídas e testadas no desenvolvimento da própria pesquisa.
Segundo Cobb et. al (2003), a DBR possui uma natureza altamente intervencionista e
seu principal objetivo é melhorar o design inicial por meio de testes e revisões de
conjecturas.
Figura 13: Esquema da Metodologia Baseada no Design.
Na DBR, a pesquisa se desenvolve por meio de ciclos contínuos de design,
implementação, análise e redesign de ambientes de aprendizagem. Ela precisa
25 Nas pesquisas internacionais, a metodologia de pesquisa baseada no design é conhecida como Design-Based
Research, ou simplesmente DBR. Eu manterei a sigla em inglês para que haja um fácil reconhecimento pela
comunidade científica da metodologia empregada nesta tese. 26 Design-Based Research Collective.
86
explicar como estes ambientes funcionam em situações autênticas e de que modo a
análise dos resultados das implementações podem fazer emergir avanços nas teorias
existentes sobre ensino e aprendizagem, ou ainda, promover o surgimento de novas
hipóteses, conjecturas e teorias. O esquema da Figura 13 exemplifica a dinâmica da
metodologia baseada no design.
Seguindo os pressupostos da DBR, esta pesquisa foi realizada em cinco
fases, como mostra a Figura 14.
Figura 14: Fases desta pesquisa.
A primeira fase contemplou todo o desenvolvimento da interface e das tarefas
do Consecutivo. Toda discussão a respeito desta etapa é apresentada no Capítulo 4.
Com a interface do ambiente concluída, parti para uma etapa de testes com
poucos alunos e professores. Estes testes visaram principalmente o aprimoramento
das ferramentas disponibilizadas, a reparação de problemas de ordem computacional
e a reestruturação das tarefas, caso houvesse necessidade.
Após os devidos ajustes e modificações, o Consecutivo foi testado numa sala
de aula de uma escola pública e os dados coletados em todas as etapas foram
analisados a fim de responder minhas questões de pesquisa. A descrição de toda esta
etapa encontra-se nos Capítulos 7 a 10.
De acordo com Balacheff (1999) e Hunter (2007) ambientes de interação
social que oferecem ao estudante a possibilidade de argumentar podem aumentar a
qualidade de suas justificativas e explicações matemáticas. Além disso, Toulmin
Fase 1: Criação
do Consecutivo
Fase 2: Teste em
escala reduzida,
análise e redesign
Fase 4: Teste em
ambiente
autêntico Fase 5: Análise de todas
as interações e
sugestões para
aplicações futuras.
Fase 3: Testes
com professores,
análise e redesign
87
(2003) e Hollebrands et. al. (2010) afirmam que numa argumentação, quando uma
conjectura é declamada por alguém e desafiada por outrem, há uma intensa fase de
produção de justificativas para suportá-la. Estas discussões me fizeram perceber que
para impulsionar e estimular o debate, a proposição de conjecturas e a formulação de
argumentos entre os estudantes, o mais interessante seria que os mesmos
trabalhassem em duplas ou em grupos enquanto estivessem lidando com o ambiente.
Por este motivo, todos os testes do Consecutivo foram realizados com duplas ou trios
de estudantes, de tal modo que a responsabilidade da formulação de conjecturas e
justificativas ficou para eles.
A seguir, discuto de forma sintetizada as principais características de cada
teste que realizei com o Consecutivo. Minha intenção é mostrar os principais objetivos
de cada um, bem como descrever a metodologia utilizada para a coleta de dados e as
principais interações que ocorreram em cada encontro.
3.1 Teste em escala reduzida
O primeiro teste com o Consecutivo teve como objetivos: (1) verificar em que
medida a interface do programa era acessível e de fácil manipulação pelo estudante,
(2) observar e descrever as possíveis dificuldades e facilidades de compreensão das
representações de conceitos matemáticos e das tarefas oferecidas pelo programa, (3)
detectar problemas na interface, nas representações e no texto da tarefas, e (4) coletar
dados para a análise qualitativa que visava compreender o processo de formulação
de conjecturas e justificativas formais com o Consecutivo.
O teste foi realizado com quatro estudantes do 9º ano do Ensino Fundamental
de uma escola privada localizada na cidade de Santos/SP. A escola escolhida era a
mesma em que eu trabalhava na época do teste. Esta escolha deveu-se a alguns
fatores que vinham ao encontro das necessidades da pesquisa: (1) por trabalhar na
escola, eu já sabia que a mesma possuía salas de trabalho com computadores
disponíveis, (2) a reação do diretor da escola foi extremamente positiva com relação
à proposta da pesquisa e à requisição da escola como participante, (3) eu já conhecia
os estudantes, o que poderia favorecer a interação e participação ativa dos mesmos
nas atividades.
88
Como eu já conhecia os alunos da escola, selecionei seis deles, baseando-
me em seus desempenhos e desenvoltura nas aulas de matemática. Selecionei três
meninas e três meninos. Três participantes possuíam excelente desempenho em
matemática e os outros três, desempenho mediano. Os seis alunos selecionados
foram convidados por mim para participar do teste. Quatro deles aceitaram o convite.
Esses quatro apresentaram suas disponibilidades de horário extra classe e,
baseando-me nelas, formei duas duplas, uma dupla de meninos e uma dupla de
meninas, as quais eu chamo, respectivamente, de G&N e B&G.
De forma geral, os participantes do primeiro teste eram alunos dedicados na
escola. Eles estudavam uns com os outros, na mesma instituição, desde os primeiros
anos das suas vidas escolares. Eles eram falantes, participativos e, geralmente, não
se sentiam acanhados em apresentar suas ideias na frente das outras pessoas do
grupo. Estas características foram fundamentais durante o primeiro teste do
Consecutivo, considerando os objetivos que delineei para esta etapa.
Os meninos da dupla G&N realizaram as atividades do teste no dia 22 de
março de 2012. Eles precisaram de duas horas para completar todas as tarefas
presentes na interface do programa. Trabalharam em dupla no mesmo computador,
mas redigiram suas respostas em papéis separados.
As meninas da dupla B&G participaram do teste nos dias 23 e 30 de março
de 2012. Cada encontro teve duração de uma hora e meia. Neste caso, dois encontros
foram necessários, pois as participantes precisaram de mais tempo para completar as
atividades solicitadas. As estudantes trabalharam em dupla no mesmo computador e
redigiram sua solução num único papel, pois a participante B estava com uma lesão
nas mãos e não podia escrever.
Ambas as duplas tiveram suas interações vídeo-gravadas durante toda a
atividade. A câmera foi posicionada de forma a capturar as discussões dos
participantes e suas ações na tela do computador (Figura 15).
89
Figura 15: Disposição da câmera no primeiro teste do Consecutivo
Assim que os participantes chegaram à sala onde a atividade se realizaria,
expliquei a proposta da pesquisa resumidamente e enfatizei que gostaria que eles
tentassem resolver as tarefas e observar o funcionamento do programa a fim de
oferecer críticas e sugestões.
Cada dupla recebeu folhas de sulfite com espaços específicos para redigir as
respostas das tarefas as quais apareceriam na tela do computador. Além disso, ao
final da atividade, cada participante respondeu a um questionário de opinião sobre o
Consecutivo (Anexo I).
Durante o primeiro teste, atuei como observadora, pesquisadora e professora.
Minhas intervenções ocorriam quando os participantes apresentavam
questionamentos e dúvidas, ou ainda, ao perceber que os participantes estavam
“bloqueados” numa das tarefas e precisavam de poucas explicações auxiliares.
De forma geral, os participantes se empenharam em responder às tarefas
propostas e se mantiveram comprometidos até o final do teste. Eu não observei
dificuldades dos participantes em acessar e manusear as ferramentas disponíveis na
interface. No começo das interações, ambas as duplas estavam bastante motivadas
e as tarefas iniciais foram realizadas com muita facilidade, como já era esperado. Esta
motivação diminuiu um pouco, quando as tarefas começaram a ficar mais complexas.
No desenrolar da atividade, ambas as duplas fizeram muitos questionamentos
sobre as representações e sobre os objetivos das tarefas, principalmente aquelas em
que se exigia uma justificativa mais formal. Ao final das interações, as duplas
preencheram um questionário de opinião. Neste questionário, todos os participantes
tiveram a oportunidade de apresentar críticas e sugestões sobre cada ferramenta e
cada tarefa realizada. Por muitas vezes, eles afirmaram ter gostado do programa e
90
das ferramentas da interface. Eles também se mostraram contentes por terem
participado de uma pesquisa científica.
3.2 Teste com professores
O segundo teste do Consecutivo teve como objetivos: (1) capturar a opinião
de professores a respeito da pertinência e do grau de dificuldade das ferramentas e
tarefas presentes no Consecutivo, (2) detectar problemas na interface, nas
representações e no texto da tarefas, uma vez que o programa havia sido aprimorado
desde o primeiro teste, e (3) obter sugestões para a melhoria do ambiente.
O teste foi realizado com dez professores da educação básica de escolas
públicas que participavam de um curso de formação continuada organizado por
pesquisadores da Universidade Anhanguera de São Paulo27. As interações ocorreram
nas dependências de uma das unidades da Diretoria de Ensino da cidade de São
Paulo, no dia 14 de junho de 2012.
Iniciei o encontro com os professores apresentando-me e apresentando o
contexto em que o Consecutivo foi desenvolvido. Mostrei o programa a todos e
expliquei que gostaria que o mesmo fosse avaliado pelo grupo e que esperava críticas
e sugestões. Para auxiliar a avaliação, entreguei a cada participante um questionário
de opinião o qual poderia ser preenchido conforme o mesmo fosse manipulando a
interface (Anexo II).
As interações do grupo foram vídeo-gravadas por uma câmera posicionada
de modo a capturar as ações do grupo como um todo. Durante todo o encontro,
participei como observadora. Fiz também intervenções toda vez que um participante
apresentava uma dúvida com relação ao programa ou à pergunta no questionário de
avaliação.
De modo geral, os professores foram solícitos e se empenharam em atender à
proposta do encontro. Ao analisar os vídeos, percebi que os professores se dividiram
implicitamente em dois grupos: (1) aqueles que se dedicaram a responder o que era
27 Os professores faziam parte do Programa Observatório da Educação, financiado pela Capes, organizado por
docentes e pesquisadores da Universidade Anhanguera de São Paulo e sediado na Diretoria de Ensino da cidade
de São Paulo.
91
pedido no questionário de avaliação, analisando as tarefas, a interface e apresentando
sugestões como um avaliador externo, (2) aqueles que tentaram responder as tarefas
do programa, como se fossem alunos, para depois avaliá-lo.
Os professores deste segundo grupo se envolveram em diversas discussões
coletivas a respeito das possíveis soluções das tarefas. Eles chegaram a propor
conjecturas e provas a respeito do conteúdo das mesmas. Uma discussão particular
surgiu a respeito da relação entre a paridade da soma de números consecutivos e a
quantidade de parcelas nesta soma. Duas professoras, por exemplo, conjecturaram
em voz alta que a soma de uma sequência de consecutivos daria par, sempre que a
quantidade de parcelas fosse par e que a soma daria ímpar, sempre que a quantidade
de parcelas fosse ímpar. Imediatamente, outro professor interrompeu a discussão
fornecendo contraexemplos gerados pela interação dele com o Consecutivo (com dois
consecutivos a soma é ímpar). As professoras refletiram sobre os contraexemplos
apresentados e encontraram seus próprios contraexemplos (a soma de seis números
consecutivos é sempre ser ímpar).
É possível dizer que o programa teve uma avaliação positiva dos professores.
Eles identificaram alguns problemas na interface e no texto das tarefas e ofereceram
diversas sugestões para a melhoria do ambiente. Uma professora, por exemplo, notou
que em algumas ocasiões um traço bem comprido era desenhado incorretamente num
dos painéis de representação. Outro professor notou que os vídeos de ajuda não
tinham imagem, somente som. Muitos professores comentaram que seria interessante
fazer uma revisão sobre fatoração e divisibilidade com os alunos antes de utilizar o
programa em sala de aula, alegando que as tarefas e representações exigiam certos
pré-requisitos por parte dos estudantes.
3.3 Teste em ambiente autêntico
O terceiro, e último teste do Consecutivo, teve como objetivos (1) observar e
descrever as possíveis dificuldades e facilidades de compreensão das representações
de conceitos matemáticos e das tarefas oferecidas pelo programa, e (2) coletar dados
para a análise qualitativa que visava compreender o processo de formulação de
conjecturas e justificativas formais com ambiente.
92
O teste ocorreu numa escola pública da cidade de São Paulo, com 29
estudantes do 2º ano do Ensino Médio. A escola escolhida está situada nas
proximidades da Universidade Anhanguera de São Paulo e alguns discentes da
universidade são também docentes desta instituição, o que favoreceu o contato com
a direção e a aceitação para a participação na pesquisa.
As interações ocorreram no horário de uma das aulas de matemática da
turma, na sala de informática da escola, no dia 10 de agosto de 2012. Neste encontro,
os alunos formaram por si mesmos 13 duplas e um trio. A professora de matemática
da turma esteve presente durante toda a interação e atuou como auxiliar,
respondendo a questionamentos e dúvidas dos participantes. Logo no início da
sessão, eu me apresentei e descrevi o contexto da pesquisa, enfatizando aos
estudantes que eles seriam participantes que colaborariam com o desenvolvimento
do Consecutivo. Durante esta conversa inicial, solicitei uma dupla voluntária para que
eu pudesse vídeo-gravar as interações da mesma. Os participantes ficaram bastante
acanhados neste momento, mas uma dupla, com uma menina e um menino, se
apresentou como voluntária. Esta dupla eu chamarei de L&M ao longo do texto. Eu
posicionei duas câmeras na sala. Uma delas capturou imagens da dupla voluntária e
a outra capturou imagens do grupo como um todo (Figura 16).
Figura 16: Disposição das duplas participantes no terceiro teste do Consecutivo.
Cada dupla recebeu folhas específicas para registrar as respostas das tarefas
propostas. Além disso, cada estudante recebeu um questionário de opinião para
oferecer críticas e sugestões para a melhoria do programa (Anexo III). Ao final do
encontro, uma discussão coletiva foi realizada com o grupo a fim de coletar as
impressões dos participantes a respeito da interface e das tarefas.
93
Durante as interações, atuei como observadora, pesquisadora e auxiliar.
Como observadora e pesquisadora, fiz diversas anotações a respeito do
desenvolvimento da atividade. Como auxiliar, respondi a questionamentos e dúvidas
dos participantes.
Como eu não conhecia os participantes, entrevistei brevemente a professora
da turma no mesmo dia do encontro. Ela me informou que os alunos apresentavam
ótimo desempenho na escola, principalmente em matemática. Ela atribuiu este
interesse dos estudantes ao fato de os mesmos fazerem parte do curso técnico de
análise de sistemas na própria escola. Este curso é bastante disputado e tem a
tendência de captar bons alunos todos os anos, durante o processo seletivo.
Durante o encontro, os participantes se mostraram bastante interessados no
programa. Eles se empenharam em realizar as tarefas, redigindo respostas claras e
completas. Muitos deles trocavam ideias a respeito do conteúdo das representações
e se ajudavam entre si na busca por ideias e soluções. Alguns participantes me
chamaram várias vezes para oferecer sugestões, inclusive a respeito de como criar
novas ferramentas para a interface. A sessão teve duração de 100 minutos, o
equivalente a duas aulas de matemática que eles teriam no dia. Este tempo pareceu
insuficiente, uma vez que algumas duplas alegaram não ter completado todas as
tarefas presentes no programa.
3.4 O conjunto de dados
Depois dessa fase de testes e redesign da interface e das tarefas, passei a
ter um conjunto de dados composto por (1) repostas escritas de duas duplas de
estudantes do Ensino Fundamental e 14 duplas de estudantes do Ensino Médio, (2)
interações vídeo-gravadas de duas duplas de estudantes do Ensino Fundamental e
uma dupla de estudantes do Ensino Médio, (3) interações vídeo-gravadas de uma sala
de aula de estudantes do Ensino Médio, (4) interações vídeo-gravadas de professores
de matemática da educação básica, (5) questionário de opinião de estudantes e
professores, e (6) minhas anotações enquanto observadora em cada teste.
Os dados coletados foram organizados em duas etapas. A primeira etapa
ocorreu ao final de cada coleta e visava buscar elementos para o redesign do
94
ambiente. Neste momento, lidei apenas com minhas anotações, com as respostas dos
participantes nos questionários de opinião e com alguns elementos dos vídeos
coletados. Uma descrição mais aprofundada de como estas informações
influenciaram o redesign do ambiente consta do Capítulo 5.
A segunda etapa ocorreu depois do último teste do ambiente e visava a busca
por elementos para responder minhas questões de pesquisa. Esta fase foi bem mais
longa que a anterior e exigiu que eu adotasse diversos procedimentos e critérios de
organização e análise de dados.
Comecei a segunda etapa revendo os vídeos das interações das três duplas
de estudantes. Neste momento, transcrevi todas as falas de cada um dos participantes
destas duplas.Meu próximo passo foi assistir aos vídeos das interações do grupo de
estudantes como um todo no terceiro teste e às interações dos dez professores
participantes. Neste caso, não foi possível transcrever as falas de todos, uma vez que
as câmeras forneciam apenas uma visão geral do ambiente. Entretanto, eu assisti às
gravações tentando observar macro características, tais como a motivação do grupo,
a agitação dos participantes, o número de solicitações de ajuda, o envolvimento do
grupo com as tarefas propostas etc. Eu criei pequenos protocolos para cada vídeo
assistido, os quais continham a descrição dos principais acontecimentos, minhas
impressões e opiniões.
Nesta segunda etapa, eu também organizei e analisei as respostas escritas
das tarefas propostas no ambiente redigidas pelas duplas participantes no primeiro e
terceiro testes, bem como todas as respostas dos questionários de opinião.
Para facilitar o processo de análise na segunda etapa, dividi meu conjunto de
dados em pequenas unidades. Cada unidade correspondia ao par formado por uma
dupla de estudantes e sua respectiva resposta para uma tarefa específica (dupla;
tarefa). Assim, são exemplos de unidades a dupla B&G com a Tarefa Exploratória 1,
ou ainda, a dupla L&M com a Tarefa de Organização 3. Todas as unidades continham
dados provenientes das respostas escritas dos participantes e dos questionários de
opinião e, algumas delas, também contavam com informações provenientes dos
vídeos.
95
Tabela 2: Unidades de Análise
Teste Nível Dupla Tarefas
Realizadas
Respostas
Escritas
Vídeo Opinião Unidades
1º EF B&G 24 X X X 24
1º EF G&N 24 X X X 24
3º EM L&M 18 X X X 18
3º EM A&D 18 X X 18
3º EM B&D 18 X X 18
3º EM G&D 18 X X 18
3º EM G&Ni 18 X X 18
3º EM H&C 18 X X 18
3º EM L&P 18 X X 18
3º EM L&G 18 X X 18
3º EM M&V 18 X X 18
3º EM M&Y 18 X X 18
3º EM M&C 18 X X 18
3º EM M&S&M 18 X X 18
3º EM O&V 18 X X 18
3º EM R&Y 18 X X 18
300 300
Na Tabela 2, pode-se observar de forma resumida as características de cada
unidade. É possível perceber que este processo de organização dos dados levou à
formação de 300 unidades de análise. Ao longo deste texto, denomino estas unidades
de análise de “caso”28. O leitor notará que, por muitas vezes, eu me refiro ao caso da
dupla B&G na Tarefa Provar 2, ao caso da dupla L&M na Tarefa Explorar 4, e assim
por diante.
Cabe ressaltar que, nesta segunda etapa, eu priorizei as respostas dos
estudantes e as interações dos mesmos com o Consecutivo devido à natureza das
minhas questões de pesquisa. Por este motivo, as minhas anotações durante os
testes e os dados dos vídeos e dos questionários dos professores participantes não
foram mencionados na Tabela 2; entretanto, devo reconhecer que estas informações
28 Estou usando a palavra “caso” no senso comum. Aqui, caso é uma situação específica, uma ocorrência. Não há
relação com a ideia de “estudo de caso” discutida na literatura em educação matemática.
96
foram utilizadas com frequência como fonte de triangulação. Uma descrição mais
aprofundada da metodologia que eu utilizei para analisar estas unidades é proposta
no Capítulo 6.
97
4. O DESIGN DA PRIMEIRA VERSÃO DO CONSECUTIVO
Neste capítulo, dissertarei a respeito do desenvolvimento da interface do
Consecutivo e das tarefas presentes no ambiente. Minha intenção é fazer uma
apresentação detalhada do programa, destacando, dessa forma, as principais
ferramentas as quais foram colocadas à disposição dos estudantes, bem como
explicar a presença das mesmas com elementos da revisão de literatura.
Além da discussão sobre o desenvolvimento da interface, apresento a
sequência de tarefas que foram elaboradas com a intenção de fomentar o processo
de prova com o auxílio do Consecutivo. Discuto também porque estas tarefas
pareceram pertinentes ao escopo desta pesquisa.
4.1 A interface
O Consecutivo é um ambiente computacional, desenvolvido por mim a partir
do software Imagine. O Imagine é considerado um Ambiente de Desenvolvimento
Integrado (ADI), ou seja, é um programa de computador, baseado numa linguagem
de programação específica, que permite ao usuário o desenvolvimento de outros
programas de computador. Em síntese, é possível criar outros programas e
aplicativos, usando o Imagine desde que se conheça a Linguagem Logo de
Programação.
Segundo Russi & Charão (2011) os ADI são muito usados como ferramenta
para ensinar uma linguagem de programação aos estudantes de cursos superiores
ligados à computação; entretanto, nesta pesquisa, não utilizei o Imagine para ensinar
a Linguagem Logo para estudantes. O software foi usado apenas para o
desenvolvimento do Consecutivo.
É possível utilizar o Imagine para realizar tarefas simples, como construir
polígonos com a tartaruga, e tarefas complexas, como construir outro software. Por
98
permitir a construção de novas ferramentas pelo usuário, o Imagine pode ser
considerado um micromundo nos moldes de Papert (1986).
A interface do Imagine é simples e organizada. Assim que o programa é
iniciado, o usuário se depara com uma página em branco. Na parte superior da janela
é possível observar uma barra de menus e uma barra de botões (Figura 17).
Figura 17: Interface do Imagine
O Imagine permite ao usuário salvar seus trabalhos na forma de projeto ou de
aplicativo; quando um trabalho é salvo na forma de projeto é possível modificá-lo
posteriormente, acrescentando ou retirando elementos da página. Quando o trabalho
é salvo na forma de aplicativo, ele se transforma num programa de computador o qual
funciona independentemente do Imagine.
O Imagine não é um software livre. Por este motivo, a elaboração da interface
do Consecutivo foi desenvolvida nas dependências da Universidade Anhanguera de
São Paulo a qual possui licenças para a utilização do mesmo. Para que os testes do
Consecutivo fossem realizados por estudantes e professores fora das dependências
da Universidade, o Consecutivo foi salvo na forma de aplicativo, o que fez seu uso
não depender da instalação do Imagine.
99
Figura 18: Interface da primeira versão do Consecutivo.
Na Figura 18, podemos observar a interface da primeira versão do
Consecutivo com o destaque para nove componentes:
(1) Uma reta numérica com um retângulo envolvendo uma sequência de
números consecutivos.
(2) Uma barra de rolagem a qual possibilita a escolha da quantidade de
números consecutivos. É possível escolher entre dois e dez números consecutivos.
(3) Uma barra de rolagem a qual possibilita a escolha do primeiro número a
compor a sequência de números consecutivos. É possível escolher entre 0 e 50.
(4) Um campo apresentando a soma dos números consecutivos escolhidos.
(5) Um campo apresentando o produto dos números consecutivos escolhidos.
(6) Uma barra de botões. Cada um dos botões dá acesso à visualização do
valor da soma e do produto dos números consecutivos escolhidos com outra
representação a qual poderá ser numérica, algébrica ou figural.
(7) Um painel que mostra a representação da soma e/ou do produto dos
números consecutivos na forma escolhida pelo aprendiz.
(8) Um botão que dá acesso a informações a respeito da representação
escolhida.
100
(9) Um painel onde aparecem tarefas a serem realizadas pelos estudantes.
Nesta versão, as tarefas elaboradas foram distribuídas em duas seções: Tarefas
Exploratórias e Tarefas de Prova. É possível aparecer no painel, por exemplo, uma
tarefa que solicite ao estudante a prova de que a soma de três números consecutivos
é divisível por três ou de que o produto de dois números consecutivos é um número
par.
Os primeiros elementos construídos na página do Imagine durante o
desenvolvimento do Consecutivo foram as barras de rolagem 2 e 3 (Figura 19), as
quais permitem ao usuário escolher, respectivamente, a quantidade de números
consecutivos que se deseja selecionar na reta e o primeiro número desta sequência.
Ao lado esquerdo de cada uma destas barras é possível observar uma caixa de texto,
indicando o valor em que elas se encontram, entre o mínimo e o máximo estabelecidos
por mim. Abaixo de cada barra, há uma caixa de texto, indicando a função das
mesmas.
Figura 19: Barras de Rolagem
Quando se coloca uma barra de rolagem na página do Imagine, podemos
decidir o comprimento e a largura da mesma e definir o valor mínimo e máximo que
ela alcançará. Levando-se em consideração as dimensões da página do Imagine, que
inicialmente está configurada em 800 x 500 unidades29, e a quantidade de elementos
que se colocaria nessa página, estabeleci as dimensões de cada barra em 100 x 20
unidades.
Os limites das barras de rolagem 2 e 3 foram estabelecidos, pois levei em
consideração outros componentes da página do Consecutivo: a reta numérica, o valor
da soma e do produto dos números consecutivos.
Grande parte dos elementos gráficos construídos na página do Imagine são
desenhados por “tartarugas” as quais obedecem a comandos na Linguagem Logo.
29 O Imagine possui um sistema de unidades próprio baseado nas distâncias entre os pixels da tela.
101
Para a construção da reta numérica do Consecutivo foram usadas duas “tartarugas”.
Uma delas foi responsável por desenhar a reta numérica na tela. A outra foi
responsável por desenhar o retângulo que envolve a sequência de números
consecutivos (Figura 20 e Figura 21).
Figura 20: Barra de Rolagem e Reta
Numérica
Figura 21: Barra de Rolagem e Reta Numérica
A reta numérica e o retângulo que a envolve foram programados para mudar
de tamanho, conforme os valores estabelecidos nas barras de rolagem 2 e 3. Devido
à página do Imagine possuir largura máxima de 800 unidades, limitei o comprimento
da reta em quatro unidades a mais do que a quantidade de números consecutivos
escolhidos na barra de rolagem 2. Esta limitação física fez com a barra de rolagem 2
contemplasse no máximo dez números consecutivos.
Ao lado direito das barras de rolagem 2 e 3, foram inseridas caixas de texto
apresentando o valor da soma e do produto dos números consecutivos selecionados
na reta numérica. Estas caixas de texto receberam rótulos para que o usuário pudesse
compreender o que significavam aqueles números na página (Figura 22).
Figura 22: Soma e Produto
102
Há uma grande gama de comandos Logo ligados às operações matemáticas.
Há comandos Logo para somar, subtrair, multiplicar, dividir, obter a potência e a raiz
de números reais; porém, quando o resultado destas operações é um número com
mais de nove dígitos, o Imagine apresenta uma solução na forma de notação
científica. Isto foi um problema a ser superado, durante o desenvolvimento do
Consecutivo, pois grande parte dos valores que representa o produto dos números
consecutivos possuía mais de nove dígitos (Figura 23). Assim sendo, pensando no
princípio da fidelidade pedagógica, desenvolvi novos algoritmos para a realização de
operações matemáticas para que os resultados das mesmas nunca aparecessem na
forma de notação científica, o que supostamente dificultaria a compreensão do
aprendiz a respeito das propriedades do produto de números consecutivos. Com os
novos algoritmos, os resultados passaram a ter muitos dígitos, o que me fez
estabelecer um limite entre 0 e 50 para os valores do primeiro número da sequência
de consecutivos, na barra de rolagem 3, como mostra a Figura 23.
Figura 23: Produto de consecutivos com muitos dígitos
Ao seguir os princípios do dinamismo e da executabilidade, construí as barras
de rolagem 2 e 3 de modo que as mesmas agissem como hot spots. Desta forma,
qualquer movimento realizado sobre estas barras altera de forma sincronizada a reta
numérica e todas as representações da soma e do produto dos números consecutivos.
Levando-se em consideração o princípio das múltiplas representações de
conceitos matemáticos, desenvolvi cinco botões os quais dão acesso a cinco painéis,
cada um contendo uma representação diferente para a sequência de consecutivos,
sua soma e produto (Figura 24).
103
Figura 24: Botões de Representação
Por meio do botão Fatoração é possível acessar um painel contendo a forma
fatorada de cada número da sequência de consecutivos selecionada na reta numérica
(Figura 25).
Figura 25: Fatoração
Com o botão Resto, acessa-se um painel contendo cada um dos números
consecutivos na forma D = dQ + R, em que D representa o dividendo, d representa o
divisor, Q o quociente e R o resto da divisão de D por d. Neste painel, há uma barra
de rolagem a qual permite ao estudante modificar o valor do divisor d (Figura 26).
104
Figura 26: Resto
A partir do botão Algébrico, podemos acessar um painel contendo uma
representação algébrica para cada número consecutivo da sequência selecionada na
reta numérica (Figura 27).
Figura 27: Algébrico
Ao acionar o botão Soma Tartaruga, o estudante visualiza um painel com uma
quantidade de tartarugas dispostas de forma retangular. A quantidade de tartarugas
presentes no retângulo é um número menor ou igual à soma dos números
105
consecutivos. Quando a quantidade de tartarugas no retângulo é menor que a soma
dos números consecutivos, é possível ver uma fila de “mini tartarugas” ao lado do
retângulo. A quantidade de “mini tartarugas” é equivalente ao valor necessário para
que a quantidade de tartarugas dentro do retângulo se torne igual à soma dos números
consecutivos.
O estudante pode alterar a quantidade de tartarugas presentes na altura do
retângulo. Por este motivo, a representação retangular pode ser associada à operação
de divisão, uma vez que o estudante pode definir em quantas “filas de tartaruga”
deseja dividir a soma dos números consecutivos. Desta maneira, a largura do
retângulo representaria o quociente e as “mini tartarugas” representariam o resto
dessa divisão (Figura 28).
Figura 28: Soma Tartaruga (a)
Ao levarmos em consideração o princípio da fidelidade matemática e a
limitação espacial da página do Imagine, quando a soma dos números consecutivos
ultrapassa 100, a representação retangular é alterada colocando-se reticências entre
as filas de tartarugas formadas (Figura 29).
106
Figura 29: Soma Tartaruga (b)
Por fim, com o botão Produto Retangular, o estudante visualiza um painel com
um retângulo cuja área é um valor menor ou igual ao produto dos números
consecutivos selecionados. Quando a área do retângulo é menor que o produto dos
números consecutivos, é possível observar uma mensagem ao lado do retângulo
mostrando a diferença entre o produto e área (Figura 30).
Figura 30: Produto Retangular (a)
107
Quando a área é igual ao produto, observa-se outra mensagem atestando a
igualdade entre os valores (Figura 31). Pelo fato do estudante poder alterar a medida
da altura do retângulo, esta representação retangular pode ser associada à operação
de divisão. Neste contexto, a largura do retângulo representaria o quociente e as
mensagens que aparecem próximas ao retângulo indicariam o resto da divisão do
valor do produto dos números consecutivos pela medida da altura.
Figura 31: Produto Retangular (b)
Considerando o princípio do suporte ao aprendiz, disponibilizei, em todos os
painéis de representação, um botão de informação para que o estudante pudesse
sanar eventuais dúvidas durante a realização das tarefas (Figura 32). Minha intenção
foi a de tentar reduzir as possíveis intervenções do professor, uma vez que muitos
questionamentos sobre as representações poderiam ser esclarecidos coma a leitura
de um texto de suporte.
O botão informação não pode ser considerado uma “ajuda inteligente” nos
moldes de Noss et. al. (2012). Em Noss et. al. (2012), as informações de ajuda
apareciam na tela do computador de forma automática, de acordo com as dificuldades
dos estudantes capturadas pelo programa durante as interações. No Consecutivo,
esta ajuda está disponível na tela e somente é acionada se o aluno pressionar o botão
108
informação. O texto apresentado na tela é padrão e não se modifica de acordo com
as necessidades do estudante.
Figura 32: Painel de Informação
O último elemento inserido na página do Consecutivo foi um painel contendo
dois botões que dão acesso às tarefas a serem realizadas pelo estudante. A princípio,
foram elaborados dois tipos de tarefa: as Tarefas Exploratórias e as Tarefas de Prova
(Figura 33).
Figura 33: Painel de Tarefas
O primeiro botão dá acesso a um painel contendo dez tarefas cuja finalidade
é fazer com que os estudantes conheçam as potencialidades de cada elemento
presente na página do Consecutivo, o que é coerente com o princípio da fidelidade
pedagógica e do suporte ao aprendiz. É possível mudar de tarefa movimentando uma
barra de rolagem colocada do lado direito do painel (Figura 34).
109
Figura 34: Tarefas Exploratórias
A inserção das Tarefas Exploratórias no ambiente se deu devido a três razões:
(1) fazer emergir os conceitos de números consecutivos, múltiplos, divisores e
fatoração, (2) familiarizar o estudante com as representações disponíveis na tela, (3)
minimizar o problema da translação das representações apontado por Ainsworth
(1999).
O segundo botão dá acesso a um painel contendo 14 Tarefas de Prova. A
princípio, considerei como Tarefas de Provas aquelas cuja finalidade é fazer com que
os estudantes formulem conjecturas a respeito da soma e do produto de números
consecutivos e as justifiquem usando propriedades matemáticas. A classificação
destas tarefas sofreu alterações ao longo da pesquisa. Estas alterações são
discutidas no Capítulo 5.
Ao acionar o botão das Tarefas de Prova, o estudante se depara com um
painel contendo o enunciado da mesma. Ao lado direito do enunciado existe uma barra
de rolagem a qual permite alterar o número da tarefa (Figura 35).
110
Figura 35: Tarefas de Prova
Considerando-se o princípio da fidelidade pedagógica, a organização das
Tarefas de Prova foi pensada de modo que pudessem contribuir para a construção de
provas conceituais (baseadas em propriedades matemáticas) por parte dos
estudantes. Eu esperava que estas propriedades emergissem da interação dos
estudantes com as diversas representações disponíveis no Consecutivo. A seguir,
apresento uma descrição detalhadas destas tarefas.
4.2 As tarefas
Quando comecei a pensar sobre meu interesse de pesquisa para o doutorado,
como todo iniciante, eu tinha em mente o desejo de contribuir de forma singular com
o campo de conhecimentos constituído na Educação Matemática. A decisão de
desenhar o Consecutivo parecia atender a esta necessidade por diversas razões. A
razão mais significativa vinha das conclusões as quais delineei a partir da revisão de
literatura acerca do tema argumentação e prova no ensino. O desenvolvimento do
Consecutivo está muito relacionado ao fato de eu ter percebido, principalmente, que
faltam pesquisas que (1) sugiram sequências de ensino as quais devolviam ao
aprendiz a responsabilidade de elaborar conjecturas e provas, (2) sugiram sequências
de ensino as quais favoreciam o processo de prova em outras áreas fora da
111
Geometria, (3) promovam uma compreensão mais ampla a respeito do papel das
tecnologias digitais nesse processo e (4) contribuam com a compreensão de como
argumentos e justificativas são desenvolvidos por estudantes em ambientes em que
a prova é vista de uma forma mais flexível.
A ideia de elaborar um ambiente computacional para o trabalho com as
propriedades dos números consecutivos se deveu a dois fatores. O primeiro deles se
refere ao fato de que as provas, envolvendo a soma e o produto de consecutivos,
podem ser elaboradas com conceitos os quais geralmente são bastante familiares ao
aprendiz, tais como as ideia e paridade, fatoração e divisibilidade (KÜCHEMANN,
2008). O segundo fator tem relação com a posição destas ideias no currículo
brasileiro. Segundo os PCN (BRASIL, 1998), os conceitos de números consecutivos,
paridade, fatoração e divisibilidade devem ser abordados no terceiro ciclo do ensino
fundamental, quando os estudantes possuem entre 11 e 12 anos.
As conjecturas, envolvendo números consecutivos, podem ser provadas com
diferentes níveis de generalidade, o que torna o trabalho passível de ser realizado no
ensino fundamental, no ensino médio e no ensino superior. A questão “você pode
dizer que a soma de dois números consecutivos vai dar sempre ímpar?”, por exemplo,
pode ser respondida por meio de empirismo ingênuo, experimento crucial,
experimento de pensamento etc. (Figura 36).
Figura 36: Diferentes tipos de prova para a questão "você pode dizer que a soma de dois números
consecutivos sempre vai dar ímpar?".
Uma vez que o contexto dos números consecutivos pareceu-me frutífero e
que os conceitos de par, ímpar, múltiplo, divisor, divisibilidade, fator e fatoração podem
ser relacionados a fim de embasar as provas das conjecturas nesta área, passei a
112
construir um ambiente computacional com ferramentas e tarefas as quais
representassem tais conceitos de forma direta e indireta (com enunciados e
representações familiares e não-familiares aos estudantes).
Como já o foi mencionado, as tarefas propostas aos aprendizes no primeiro
teste do Consecutivo foram divididas em dois grupos: Tarefas Exploratórias e Tarefas
de Prova. As Tarefas Exploratórias foram inseridas no ambiente na tentativa de
minimizar o problema da translação entre as representações. Além disso, elas tinham
o objetivo de proporcionar ao aprendiz um conhecimento a respeito da potencialidade
das ferramentas presentes ambiente. As Tarefas Exploratórias são tarefas simples,
de resposta rápida, que permitem a ambientação com a interface do programa. As
Tarefas de Prova foram inseridas no ambiente para que o aprendiz pudesse elaborar
conjecturas e justificativas usando como base as respostas do computador no curso
de sua interação. Uma discussão mais aprofundada destas tarefas será realizada nas
próximas duas subseções.
4.2.1 Tarefas Exploratórias
As Tarefas Exploratórias 1, 2, 3 e 4 foram elaboradas para que o aprendiz
percebesse uma conexão entre os valores das barras de rolagem 2 e 3 com a soma
e o produto dos números consecutivos destacados na reta numérica.
TExp 1: Qual é a soma de oito números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 17?
TExp 2: Qual é o produto de cinco números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 30?
TExp 3: Qual é o primeiro número de uma sequência de cinco números consecutivos cuja soma é 110?
TExp 4: Qual é o primeiro número de uma sequência de quatro números consecutivos cujo produto é
73.440?
Eu esperava que a Tarefa 1 fosse realizada com mais cuidado pelo fato de
ser a primeira solicitada aos estudantes no ambiente. Para desencorajar o cálculo
mental e encorajar o uso dos recursos do Consecutivo, o enunciado pedia a soma dos
valores de uma sequência de oitos números consecutivos, iniciada por 17. De acordo
113
com a proposta da tarefa e com o conjunto de rótulos que foram colocados nas
ferramentas da interface do ambiente, eu esperava que os alunos percebessem que
deveriam posicionar a barra de rolagem 2 no número 8, indicando a tomada de oito
números consecutivos, e a barra de rolagem 3 na posição 17, indicando que a
sequência de números consecutivos deveria ser iniciada por 17. A partir do
posicionamento correto dos valores nas barras de rolagem, eu esperava que os
estudantes observassem o valor da soma e anotassem o mesmo em seu papel (Figura
37).
Figura 37: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 1.
A Tarefa Exploratória 2 era similar à tarefa 1. Entretanto, eu esperava que os
estudantes posicionassem os valores corretos na barra de rolagem e observassem o
resultado do produto dos números consecutivos (Figura 38).
Ao tentar promover o trabalho com a inversão do procedimento realizado nas
Tarefas Exploratórias 1 e 2, nas Tarefas 3 e 4, dei aos estudantes a quantidade de
números consecutivos, os valores da soma e do produto e pedi aos mesmos que
encontrassem o primeiro número da sequência de números consecutivos. Eu
esperava que os alunos posicionassem a barra de rolagem 2 no número indicado no
enunciado e movimentassem a barra de rolagem 3 até que fosse encontrado na caixa
de texto da soma ou do produto o resultado almejado (Figura 39).
114
Figura 38: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 2.
Figura 39: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 4.
As Tarefas 5 a 10 foram propostas aos aprendizes para que os mesmos
pudessem compreender o funcionamento de cada botão presente da barra de botões.
Estas tarefas também exigiam conhecimentos sobre fatoração, decomposição em
fatores primos e divisibilidade, o que serviria como uma espécie de “aquecimento”
para os conceitos presentes nas Tarefas de Prova.
A Tarefa 5 foi proposta para contribuir com a compreensão do funcionamento
do botão Soma Tartaruga. Este botão oferece uma representação retangular e
pictórica para a soma dos números consecutivos.
115
TExp 5: Use o botão SOMA TARTARUGA e escreva uma sequência de quatro números consecutivos
cuja soma seja um número divisível por seis.
Eu esperava que os alunos realizassem os seguintes procedimentos para
resolver a Tarefa Exploratória 5: (1) posicionassem a barra de rolagem 2 no número
4, uma vez que no enunciado foi solicitado o agrupamento de quatro números
consecutivos; (2) acionassem o botão Soma Tartaruga na barra de botões; (3) lessem
o conteúdo do botão de informação para se ambientar com a representação do painel;
(4) posicionassem a barra de rolagem do painel no número 6, para que as tartarugas
ficassem dispostas na tela em seis filas; (5) manipulassem a barra de rolagem 3 para
alterar os valores da soma; (6) observassem no painel Soma Tartaruga que algumas
vezes não é possível fazer seis filas exatas com a quantidade de tartarugas da soma,
o que poderia ser visualizado observando-se pequenas tartarugas que se formavam
ao lado do retângulo; (7) escrevessem uma sequência de números consecutivos que
estava associada a uma soma divisível por seis, ou seja, uma soma que pode ser
configurada num retângulo com seis filas de tartarugas completas (Figura 40 e Figura
41).
Figura 40: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 5 quando não há divisibilidade.
116
Figura 41: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 5 quando há divisibilidade.
A intenção da Tarefa 6 era promover a compreensão das funcionalidades do
botão Produto Retangular. Este botão oferece uma representação retangular para o
produto dos números consecutivos.
TExp 6: Uso botão PRODUTO RETANGULAR e escreva uma sequência de três números consecutivos
cujo produto seja um número divisível por 4.
Eu esperava que os alunos realizassem os seguintes procedimentos para
resolver a Tarefa Exploratória 6: (1) posicionassem a barra de rolagem 2 no número
3, uma vez que no enunciado foi solicitado o agrupamento de três números
consecutivos; (2) acionassem o botão Produto Retangular na barra de botões; (3)
lessem o conteúdo do botão de informação para se ambientar com a representação
do painel; (4) posicionassem a barra de rolagem do painel no número 4, para que a
altura do retângulo ficasse com quatro unidades; (5) manipulassem a barra de rolagem
3 para alterar os valores do produto; (6) observassem a mensagem que aparece no
painel Produto Retangular para constatar se o produto é ou não divisível por quatro;
(7) escrevessem uma sequência de números consecutivos que estava associada a
117
um produto divisível por quatro, o que poderia ser constatado com um retângulo cuja
área fosse igual ao produto (Figura 42).
Figura 42: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 6.
A Tarefa 7 teve como objetivo incentivar o estudante a utilizar o botão Resto.
TExp 7: Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando os
respectivos restos das divisões efetuadas formarão uma sequência de números consecutivos? Para
isso, use o botão RESTO.
Eu esperava que os alunos realizassem os seguintes procedimentos para
resolver a Tarefa Exploratória 7: (1) posicionassem a barra de rolagem 2 no número
7, uma vez que no enunciado foi solicitado o agrupamento de sete números
consecutivos; (2) acionassem o botão Resto na barra de botões; (3) lessem o
conteúdo do botão de informação para se ambientar com a representação do painel;
(4) posicionassem a barra de rolagem do painel no número 7, para que cada um dos
números consecutivos fosse dividido por sete; (5) manipulassem a barra de rolagem
3 para alterar a sequência de números consecutivos que aparece na tela; (6)
observassem o resto de cada divisão, verificando que os restos podem varia de 0 a 6,
mas nem sempre numa ordem crescente; (7) escrevessem uma sequência de
118
números consecutivos que satisfizesse as condições do enunciado, o que poderia ser
realizado movimentando-se a barra de rolagem 3 até que uma sequência com restos
crescentes fosse visualizada no painel.
Figura 43: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 7.
No enunciado da Tarefa 7 foi usada a palavra “quando” na intenção de fazer
com que o aluno, ao modificar os valores na tela, percebesse que toda vez que a
sequência de números consecutivos inicia com um múltiplo de sete, a sequência de
restos, na divisão de cada número por sete, também é uma sequência de números
consecutivos; entretanto, acredito que esta conclusão somente será obtida se os
alunos se engajarem em um processo de observação sistemática durante a realização
da tarefa. Caso contrário, minha expectativa é que os estudantes apresentem como
resposta apenas um caso particular em que as condições do enunciado da tarefa são
satisfeitas (Figura 43).
As Tarefas 8 e 9 tinham como objetivo fazer com que o participante usasse o
botão Fatoração.
TExp 8: Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada do produto de uma sequência de
seis números consecutivos iniciada pelo número quatro.
119
TExp 9: Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada produto entre 4, 5 e 6. Faça o
mesmo com os números 9, 10 e 11. Repita com os números 20, 21 e 22. Agora responda: Quais
números aparecem na fatoração dos três produtos?
Eu esperava que os alunos realizassem os seguintes procedimentos para
resolver a Tarefa 8: (1) posicionassem a barra de rolagem 2 no número 6, uma vez
que no enunciado foi solicitado o agrupamento de seis números consecutivos; (2)
posicionassem a barra de rolagem 3 no número 4, já que o enunciado indicava que
sequência de números consecutivos deveria ser iniciada com quatro; (3) acionassem
o botão Fatoração na barra de botões; (4) lessem o conteúdo do botão de informação
para se ambientar com a representação do painel; (5) observassem a forma fatorada
de cada número consecutivo; (6) redigissem a resposta levando em consideração que
a forma fatorada do produto corresponde ao produto das formas fatoradas de cada
número. Eu acredito que seja possível que os alunos escrevam sua resposta na forma
reduzida, usando potenciação, ou na forma completa, colocando cada fator na
quantidade em que eles aparecem em cada representação (Figura 44).
Figura 44: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 8.
Para a questão 9, eu esperava que os alunos posicionassem a barra de
rolagem 2 no número 3 e movimentassem a barra de rolagem 3 até encontrar as
sequências solicitadas no enunciado. Depois disso, eu estimava que, para cada
sequência, os estudantes observassem atentamente a fatoração, tentando verificar se
120
havia algum fator também presente nas outras. Por fim, minha expectativa era que os
alunos percebessem que os fatores 2, 3 e 5 sempre se repetem nos casos observados
(Figura 45).
Figura 45: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 9.
As questões 7 e 9 exigiam dos estudantes mais do que o uso imediato dos
recursos do Consecutivo. Eram tarefas as quais requeriam a observação sistemática
de resultados a fim de se encontrar similaridades entre eles. Estas tarefas foram
inseridas no conjunto de Tarefas Exploratórias como forma de preparação para a
realização das Tarefas de Prova.
Por fim, a Tarefa 10 foi proposta para que o estudante pudesse utilizar o botão
Algébrico.
TExp 10: Use o botão ALGÉBRICO para representar de forma genérica a soma de cinco números
consecutivos.
Para esta tarefa, eu esperava que os alunos realizassem os seguintes
procedimentos: (1) posicionar a barra de rolagem 2 no número 5, uma vez que o
enunciado sugeria o agrupamento de cinco números consecutivos; (2) acionar o botão
Algébrico na barra de botões; (3) acionar o botão de informação; (4) movimentar a
barra de rolagem 3 para alterar o primeiro número da sequência de números
121
consecutivos observando de que maneira as representações algébricas mudam; (5)
redigir uma resposta que represente a soma das representações algébricas. Acredito
que a resposta pode ser dada na forma reduzida, somando-se os termos semelhantes,
ou na forma desenvolvida, considerando cada representação algébrica como parcela
de uma adição (Figura 46).
Figura 46: Resolução esperada para a Tarefa Exploratória 10.
Como as Tarefas Exploratórias visavam à ambientação do aluno com os
recursos do programa, não foram propostas questões que solicitassem, a princípio, a
coordenação de mais do que um botão de representação. Tarefas mais complexas,
que poderiam exigir do aluno a articulação entre duas ou mais representações, fazem
parte do próximo conjunto: as Tarefas de Prova.
4.2.2 Tarefas de Prova
O objetivo das Tarefas de Prova foi o de fazer com que os aprendizes, ao
manusearem o Consecutivo, se engajassem no processo de formulação de
conjecturas e elaboração de provas conceituais para as mesmas. Acredito que o
dinamismo e a executabilidade é capaz de promover um ambiente frutífero para
observações sistemáticas e percepção de padrões e que as interações com as
122
múltiplas representações podem encorajar o aprendiz a procurar por explicações para
os fenômenos matemáticos observados.
Estão presentes, na primeira versão do Consecutivo, quatorze Tarefas de
Prova. Algumas delas possuem objetivos similares. Por este motivo, é possível formar
quatro grupos de tarefas. O primeiro grupo de tarefas incentiva o aluno a se envolver
num processo de observações sistemáticas, formulação de conjecturas e produção
de justificativas. O segundo grupo exige que o aprendiz verifique a validade de
conjecturas propostas de forma direta ou indireta no enunciado. O terceiro grupo
solicita aos alunos o uso de conjecturas anteriores para validar ou refutar resultados.
Por fim, o último grupo de tarefas de prova envolve os estudantes com enunciados do
tipo “prove que”.
A seguir, eu apresento cada Tarefa de Prova proposta levando em
consideração os grupos mencionados no parágrafo anterior. A numeração das tarefas
é a mesma que foi proposta aos participantes do primeiro teste do ambiente.
As Tarefas 1, 2, 8 e 10 formam o primeiro grupo de tarefas.
TPro 1: Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com a
soma desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma
regularidade, explique por que ela ocorre.
TPro 2: Investigue a soma de quatro números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades
nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.
TPro 8: Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com o
produto desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre
alguma regularidade, explique por que ela ocorre.
TPro 10: Investigue o produto de três números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades
nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.
Para as tarefas deste grupo, esperava-se que os alunos usassem os
movimentos das barras de rolagem 2 e 3, a reta numérica e as caixas de texto da
soma e do produto para fazerem observações sistemáticas. A associação destas
observações com os conhecimentos aritméticos e algébricos dos alunos poderia ser
o ponto de partida para a formulação de diversas conjecturas. Para a primeira tarefa
123
de prova, por exemplo, eu esperava que os alunos facilmente percebessem que a
soma de dois números consecutivos é sempre um número ímpar.
Eu almejava que o processo de elaboração de justificativas para as
conjecturas formuladas fosse baseado nas representações disponíveis no ambiente.
Como justificativa para o fato da soma de dois números consecutivos ser sempre
ímpar, o estudante poderia, por exemplo, usar a representação disponível no botão
Algébrico de modo a mostrar que essa soma é da forma 2n+1. Entretanto, o estudo
de Healy e Hoyles (2000) mostrou que alunos preferem justificativas que não sejam
algébricas. Por isso, eu esperava que, para este grupo de tarefas, os argumentos dos
alunos fossem pautados em justificativas derivadas do uso de outras representações.
No caso da conjectura em questão, uma das possibilidades seria usar como
justificativa o fato de sempre sobrar uma tartaruginha no painel Soma Tartaruga
quando se dispõe as tartarugas em duas filas (Figura 47).
Figura 47: Solução esperada para a Tarefa de Prova 1.
Os argumentos, baseados nas observações do painel Soma Tartaruga,
podem servir de base para provas pragmáticas do tipo exemplo genérico, uma vez
que revelam ao aluno a estrutura de um número ímpar de forma pictográfica: duas
filas de tartarugas mais uma tartaruga pequena.
124
Para a Tarefa de Prova 10, o aluno poderia conjecturar, por exemplo, que o
produto de três números consecutivos é sempre divisível por três. Para escrever uma
justificativa para este fato, o aprendiz poderia observar a fatoração da sequência de
números consecutivos e constatar a presença do fator 3 em todas elas; entretanto, os
estudos de Zazkis e Campbell (1996) mostraram que estudantes possuem
dificuldades de relacionar a fatoração em números primos com a noção de
divisibilidade; portanto, eu acredito que os mesmos utilizarão uma forma alternativa
para provar que o produto de três números consecutivos é divisível por três. Uma
possibilidade é utilizar os resultados obtidos com a representação disponibilizada no
painel do Produto Retangular, mostrando que, quando se tem três números
consecutivos, o produto deles corresponde a área de um retângulo de altura 3 que
aparece no painel (Figura 48).
Figura 48: Resposta esperada para a Tarefa de Prova 10.
As Tarefas 3, 6, 7, 11 e 12 formam o segundo grupo de tarefas e tiveram o
propósito de engajar os estudantes na análise de conjecturas a respeito da soma e do
produto de números consecutivos, as quais foram propostas de forma direta ou
indireta nos enunciados.
Para o segundo grupo de tarefas, eu esperava que os alunos não tivessem
dificuldades em verificar a validade das conjecturas presentes nos enunciados e que,
125
para essa verificação, utilizassem o dinamismo da mudança de valores da reta
numérica, da soma e do produto proporcionado pelos movimentos nas barras de
rolagem 2 e 3.
TPro 3: O que podemos afirmar a respeito da soma de 9 números consecutivos?
a. A soma é sempre um número par.
b. A soma é sempre um número ímpar.
c. A soma às vezes é um número par. Ela é par quando...
TPro 6: Você concorda que a soma de três números consecutivos é sempre divisível por 3? Como você
convenceria seu colega se isso fosse verdade?
TPro 7: Joãozinho estava procurando números consecutivos cuja soma fosse um número par. Depois
de algumas observações, ele concluiu que para obtermos um resultado par devemos somar uma
quantidade par de números consecutivos. Por exemplo, somando 4 números consecutivos (3 + 4 + 5 +
6) e 12 números consecutivos (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13) o resultado é um
número par.
Pedrinho ouviu a ideia de Joãozinho e concordou com ele. Além disso, acrescentou que se tivermos
uma quantidade ímpar de números consecutivos a soma seria um número ímpar. Veja que a soma de
8 + 9 + 10 dá 27, que é um número ímpar.
Maria ouviu as ideias de Joãozinho e Pedrinho e discordou delas. Por quê?
TPro 11: O que podemos afirmar a respeito do produto de três números consecutivos?
a. O produto é sempre divisível por 4.
b. O produto nunca é divisível por 4.
c. O produto às vezes é divisível por 4. Ele é divisível quando ...
Tarefa 12: Joãozinho fez algumas observações e percebeu que:
O resultado de 4x5x6x7 é divisível por 24.
O resultado de 10x11x12x13 é divisível por 24.
O resultado de 21x22x23x24 é divisível por 24.
Após essas observações ele concluiu que o produto de quatro números consecutivos é sempre divisível
por 24. Joãozinho está correto? Por quê?
Para o processo de elaboração de justificativas, eu esperava, novamente, que
os alunos fizessem uso de argumentos que não fossem algébricos e/ou que não
126
relacionem a divisibilidade com a fatoração em primos; entretanto, eu almejava que,
com o uso constante do software, os alunos fossem capazes de articular as
representações disponíveis nos painéis, navegando por elas, de tal forma que uma
delas pudesse confirmar a validade da conjectura e a outra pudesse dar subsídios
para a elaboração de uma justificativa mais formal. Um exemplo disso pode ser visto
na Tarefa de Prova 6, em que é pedido ao aprendiz que verifique se a soma de três
números consecutivos é sempre divisível por três. Para a verificação da validade desta
propriedade, o aluno pode usar o painel Soma Tartaruga de modo a visualizar que
sempre é possível dividi-las num retângulo com três filas. Para elaborar uma
justificativa mais robusta, o aluno pode utilizar o painel Algébrico de modo a visualizar
que a soma de três números consecutivos é da forma 3n + 3, que é divisível por três.
As tarefas 5, 9 e 14 formam o terceiro grupo de tarefas e foram propostas na
intenção de verificar se os estudantes usam suas conjecturas já formuladas e
justificadas em questões anteriores para validar ou não um novo resultado ou suportar
uma nova conclusão.
TPro 5: É possível encontrar quatro números consecutivos cuja soma seja
a. 82?
b. 37?
c. 44?
Justifique suas escolhas.
TPro 9: É possível encontrar dois números consecutivos cujo produto seja,
a. 23?
b. 52?
c. 156?
Justifique suas escolhas.
TPro 14: É sempre possível encontrar um número que divida o produto de uma sequência de números
consecutivos? Justifique.
A Tarefa de Prova 5 está relacionada com a conjectura formulada na Tarefa
2 a respeito da regularidade encontrada na soma de quatro números consecutivos.
Eu esperava que, na Tarefa 2, o aluno percebesse que a soma de quatro números
127
consecutivos é sempre um número par. Por causa desta constatação, eu almejava
que o aluno argumentasse, na Tarefa 5, que não é possível encontrar o número 37
como soma, uma vez que ele é ímpar. Além disso, eu esperava que o aluno
percebesse que o número 44 também não pode representar a soma de quatro
números consecutivos, uma vez que essa soma dá um número par, mas não dá todos
os números pares. Isto poderia ser constatado pelos alunos por meio da observação
de que a sequência das somas de quatro números consecutivos inicia com 6 e
aumenta de 4 em 4.
A Tarefa de Prova 9 está relacionada com a conjectura formulada na Tarefa
8 a respeito do produto de dois números consecutivos. Eu esperava que, na Tarefa 8,
o aluno percebesse que o produto de dois números consecutivos é sempre par. Por
causa disso, almejava-se que, na Tarefa 9, o aluno argumentasse que não é possível
obter 23 como produto de dois números consecutivos, uma vez que é ímpar. Além
disso, o aprendiz poderia constatar que 52, apesar de ser par, não é o produto de dois
números consecutivos, pois a sequência de produtos segue um padrão que não
comporta o número 52.
A Tarefa de Prova 14 está relacionada com as conjecturas formuladas nas
tarefas 8, 10 e 12. Como já foi dito, eu esperava que, na Tarefa 8, o aluno percebesse
que o produto de dois números consecutivos é sempre divisível por dois. Já na Tarefa
10, minha expectativa era que o aprendiz constatasse que o produto de três números
consecutivos é sempre divisível por seis. Na tarefa 12, eu esperava a verificação de
que o produto de quatro números consecutivos é sempre divisível por 24. Com a
observação dos resultados das Tarefas 8, 10 e 12, o aprendiz poderia concluir que há
sempre um número que divide o produto de uma sequência de números consecutivos.
Esta conclusão poderia ser corroborada com a Tarefa de Prova 13, a qual solicitava a
prova de que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120. De fato,
eu almejava que, com o auxílio do painel Fatoração, o aluno pudesse ir mais além e
conjecturasse que o produto de n números consecutivos é sempre divisível pelo
fatorial de n.
O estudo de Jahn e Healy (2008) mostrou que estudantes brasileiros do
estado de São Paulo apresentaram resultados sofríveis ao lidarem com tarefas que
exijam a prova de uma conjectura. Além disso, o estudo de Healy e Hoyles (2000)
mostrou que uma considerável parcela de alunos ingleses acredita que uma prova
128
serve para atestar a validade de uma afirmação. Em contrapartida, De Villiers (2001)
propõe que a prova matemática deve ter outras funções além da verificação, tal como,
explicar por que uma afirmação é verdadeira. Baseando-se nos resultados destes
estudos, as tarefas do tipo “prove que”, Tarefas 4 e 13, foram propostas no
Consecutivo para verificar qual era o significado que os alunos atribuiriam a este tipo
de situação. Além disso, elas foram propostas com o intuito de aproximar os
estudantes dos enunciados mais comuns referentes às tarefas que envolvem a
demonstração de uma conjectura.
TPro 4: Prove que a soma de oito números consecutivos é um número par.
TPro 13: Prove que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120.
Levando-se em consideração o abandono do ensino de provas e
demonstrações nas escolas brasileiras, eu esperava que os alunos tivessem dúvidas
a respeito do que deve ser feito numa tarefa que começa com a expressão “prove
que”; entretanto, como provar é um termo usado no cotidiano da nossa sociedade
para representar a atividade de juntar evidências para mostrar que algo é falso ou
verdadeiro, eu também esperava que o aluno, ao ler a tarefa, procurasse justificativas,
empíricas ou não, para atestar a veracidade ou a falsidade das afirmações contidas
nas tarefas. É pouco provável que estas justificativas sejam pautadas em argumentos
algébricos, visto que o estudo de Healy e Hoyles (2000) mostrou que o mais comum
entre estudantes são argumentos empíricos; entretanto, as representações contidas
no Consecutivo dão subsídios, por meio do painel Algébrico, para o aprendiz
constatar, na Tarefa 4, que a soma de oito números consecutivos é da forma 8n+28,
que é divisível por dois, ou ainda, na tarefa 13, justificar que o produto de cinco
números consecutivos é divisível por 120 porque 2x2x2x3x5 aparece na fatoração de
todos eles.
Na próxima seção, discuto como algumas das características da interface e
das tarefas propostas no Consecutivo foram redesenhadas devido às respostas que
eu obtive dos participantes durante os testes do ambiente. Além disso, eu também
apresento algumas sugestões para possíveis versões futuras do Consecutivo, as
129
quais não foram incorporadas ao programa devido a limitações de tempo para a
conclusão deste estudo.
130
5. A OPINIÃO DOS PARTICIPANTES E O REDESIGN DO CONSECUTIVO
Durante o teste em pequena escala e o teste com professores, solicitei aos
participantes que apontassem problemas e sugestões para o programa. De forma
geral, todos eles se preocuparam em realizar as tarefas e, também, ficar atentos a
possíveis erros e desvantagens da interface. Expressaram suas sugestões de forma
oral, falando para as câmeras, e de forma escrita, nos questionários de opinião.
As minhas observações e as sugestões oferecidas pela minha orientadora e
pelos membros da banca avaliadora desta pesquisa no exame de qualificação
também serviram como fonte de informação a respeito dos pontos fortes e fracos do
Consecutivo.
A análise das interações dos participantes e as diversas sugestões que recebi
impulsionaram uma série de mudanças e adequações no Consecutivo. Tais
mudanças culminaram no desenvolvimento da segunda versão do ambiente, a qual
foi utilizada pelos participantes no último teste, aquele realizado em ambiente
autêntico.
A seguir, apresento uma síntese da opinião dos participantes a respeito do
Consecutivo. Descrevo também as modificações realizadas no programa em virtude
dessas sugestões e das minhas observações. Abordo o redesign da interface e das
ferramentas e destaco a nova página inicial do programa. Em seguida, discuto as
modificações realizadas nas representações, evidenciando e justificando aquelas que
foram retiradas. Por fim, considero as mudanças nas tarefas propostas, destacando
as que foram retiradas, substituídas e reorganizadas. Além disso, apresento também
uma seção com as minhas ideias para um futuro redesign. Tais ideias vieram à tona
com a análise dos dados e das sugestões provenientes do teste no ambiente
autêntico. O objetivo é propor modificações para uma aplicação no futuro ou para a
disponibilização do programa na internet.
131
5.1 A opinião dos participantes
Como já foi mencionado no Capítulo 3, nos três testes realizados com o
Consecutivo, os participantes responderam a um questionário de opinião. Minha
intenção era receber críticas e sugestões a respeito das ferramentas, das
representações e das tarefas disponíveis na interface. Mais do que isso, eu queria
“transformar” essas críticas e sugestões em melhorias para o ambiente.
Dois grupos de estudantes da educação básica e um grupo de professores
responderam ao questionário de opinião. De forma geral, nos questionários propostos
aos estudantes, procurei saber se os mesmos acharam as tarefas fáceis ou difíceis
de serem resolvidas, se a interface parecia atrativa ou apresentou problemas, se as
representações foram fáceis de compreender e se elas foram úteis para a resolução
das tarefas. Com professores, minha intenção foi saber se os mesmos consideraram
o programa passível de ser incorporado às suas práticas em sala de aula e se o
conteúdo das tarefas e representações era adequado a um estudante da educação
básica.
Os questionários respondidos pelos participantes não foram os mesmos em
cada teste. Havia questões comuns nos três testes, mas de um teste para outro, em
virtude de mudanças na interface do programa, o questionário também foi
reelaborado.
No teste em pequena escala e no teste com professores, como havia poucos
participantes, consegui obter questionários completamente preenchidos de todos. No
teste em ambiente autêntico, as interações ocorreram no horário regular de aula. Os
estudantes conseguiram completar as tarefas, mas levaram o questionário para
responder em casa. Assim sendo, muitos questionários não retornaram ou retornaram
de forma incompleta.
O questionário foi composto por dois tipos de perguntas: (1) fechadas com
itens de Likert30 e (2) abertas, solicitando uma opinião pessoal. A Figura 49 apresenta
um exemplo de pergunta de cada tipo.
30 Num questionário, os itens Likert são aqueles que medem o nível de concordância ou não concordância a uma
dada afirmação. Eu utilizei quatro itens nas questões propostas visando classificar respostas dos participantes em
positiva ou negativa.
132
Figura 49: Exemplos de perguntas do questionário de opinião. Considerações do participante G, da
dupla G&N.
Não apresento estatísticas rigorosas dos dados coletados com os
questionários de opinião, pois minha intenção com os mesmos não era testar alguma
hipótese e sim obter elementos para o redesign do ambiente. Prefiro apresentar as
considerações as quais se destacaram mais, ou porque foram comuns aos três testes
ou porque revelaram detalhes de aspectos específicos do ambiente. Minha
apresentação leva em consideração as opiniões dos participantes em três dimensões
do Consecutivo: (1) a interface, (2) as representações e (3) as tarefas
A interface
Grande parte dos participantes de todos os testes considerou a interface do
Consecutivo com boa aparência e afirmou que foi fácil lidar com a mesma. Entretanto,
alguns problemas foram detectados e apontados. Para ilustrar, veja a Figura 49 com
a resposta dada pelo participante G, da dupla G&N, nas duas primeiras questões.
133
Em todos os testes houve participantes com dificuldades de manusear as
barras de rolagem para a escolha da quantidade de consecutivos e para a escolha do
primeiro número da sequência. O maior problema apontado foi o fato deles não
conseguirem selecionar um número específico nas barras (Figura 49 e Figura 50).
Dois professores notaram que o painel de tarefas desaparecia da tela toda
vez que algum painel de representação era acionado. Eles apontaram que, por muitas
vezes, era difícil lembrar dos objetivos das tarefas enquanto lidavam com as
representações (Figura 51). Este aspecto foi melhorado e, na versão utilizada no
terceiro teste, o painel de tarefas e o painel de representação passaram a ficar na tela
ao mesmo tempo; entretanto, no caso do painel Tartaruga, os painéis se sobrepunham
e, alguns participantes do terceiro teste apontaram este detalhe no questionário de
opinião (Figura 52).
Figura 50: Opinião do participante Y sobre a interface do programa.
Figura 51: Opinião do professor R sobre a interface do programa.
134
Figura 52: Opinião do participante B sobre a interface do programa.
Um professor e dois participantes do terceiro teste também apontaram que o
ícone de seta usado para fechar os painéis causava certa confusão, pois dava a
impressão que deveria ser utilizado para passar para a próxima tarefa e não para
fechar o painel (Figura 53).
Figura 53: Opinião da participante L, da dupla L&M, sobre a interface do programa.
Figura 54: Opinião do participante Gu sobre a interface do programa.
Alguns estudantes do terceiro teste acharam que a interface do programa
precisava ter um aspecto mais moderno. Estes participantes gostaram de usar o
programa e não tiveram dificuldades com as tarefas, mas apontaram que uma
interface mais moderna poderia ser mais atrativa (Figura 54).
135
De forma geral, considero a avaliação feita pelos participantes positiva com
relação à interface do Consecutivo. Grande parte dos participantes se simpatizou com
as ferramentas do programa. Além disso, muitos deles se engajaram em realizar as
tarefas e apontar problemas e sugestões. Eles fizeram o papel de usuário do ambiente
e, também, de avaliadores. Percebi que grande parte deles se preocupou em apontar
aspectos positivos e negativos, justamente porque sabiam da importância de suas
opiniões para o redesign.
As representações
Nos questionários de opinião respondidos pelos estudantes coloquei duas
questões sobre as representações disponíveis no Consecutivo. Uma delas tinha como
propósito saber qual foi a representação que o participante mais gostou. A outra,
visava saber qual das representações foi mais útil para a resolução das tarefas. Os
participantes podiam escolher mais de uma representação se quisessem. A Tabela 3
sintetiza os resultados obtidos em ambas as questões.
Tabela 3: Frequência com que os estudantes participantes mencionaram as representações
disponíveis no Consecutivo no quesito Gosto e Utilidade.
Quesito Teste Fatoração Resto Algébrico P. Retangular Tartaruga
Gosto 1º: Peq. Escala 3 1 1 4 2
3º: Autêntico 9 2 4 --- 9
Total 12 3 5 4 11
Utilidade
1º: Peq. Escala 3 0 0 3 1
3º: Autêntico 15 6 13 --- 1
Total 18 6 13 3 2
É possível perceber que muitos participantes destacaram as representações
do painel Fatoração e do painel Tartaruga como aquelas que mais gostaram. Isto já
era esperado, uma vez que a fatoração é bastante estudada na escola e que a
representação das Tartarugas era muito diferente daquelas que eles usualmente
interagem nas aulas de matemática. Além disso, o fato de conter ícones de animais
136
pareceu ser um fator que fez os participantes se simpatizarem com esta representação
em particular.
No quesito utilidade, a representação que mais se destacou foi a do painel
Fatoração. Acredito que isto tem relação com o fato dos participantes terem
constatado o potencial desta representação para explicar regularidades na
divisibilidade do produto de números consecutivos.
Nos questionários de opinião respondidos pelos professores, coloquei
também duas questões sobre as representações disponíveis no Consecutivo. Uma
das questões pedia que o professor apontasse a ferramenta que mais ajudaria o aluno
na formulação de conjecturas. A outra solicitava que o professor apontasse a
ferramenta que mais ajudaria o aluno a redigir provas para as conjecturas formuladas.
A Tabela 4 sintetiza os resultados obtidos em ambas as questões.
Tabela 4: Frequência com que os professores participantes mencionaram as representações
disponíveis no Consecutivo no quesito Utilidade para Conjecturar e Utilidade para Provar.
Quesito Reta Numérica Fatoração Resto Algébrico Tartarugas
Úteis para conjecturar 8 1 1 2 2
Úteis para provar 6 3 1 2 2
É possível notar que, na opinião dos professores, a reta numérica é uma
representação com grande utilidade para a formulação de conjecturas e provas. A
fatoração também se destacou quando o professor avaliou a importância da
representação para a formulação de justificativas mais formais.
Solicitei também que o professor respondesse a mais três questões, fechadas
e com itens de Likert, visando saber em que medida as representações disponíveis
engajam o estudante no raciocínio dedutivo, auxiliam na formulação de conjecturas e
provas. A Tabela 5 sintetiza os resultados obtidos nestas questões.
É possível notar que, de forma geral, os professores avaliaram positivamente
o potencial do Consecutivo em fomentar a dedução e auxiliar no processo de
conjectura e prova; entretanto, muitos deles complementaram suas respostas
apontando necessidade de trabalhar com certos conceitos antes da utilização do
137
software em sala de aula. Um exemplo disso pode ser observado na Figura 55, a qual
apresenta a opinião de um professor neste sentido.
Tabela 5: Frequência com que os professores participantes avaliaram as potencialidades das
representações disponíveis no Consecutivo de acordo com os itens de Likert.
Quesito Muito Parcialmente Pouco Nada
Ajudam na dedução 8 2 0 0
Ajudam a conjecturar 6 2 2 0
Ajudam a provar 6 1 3 0
Figura 55: Opinião do professor R a respeito da necessidade de trabalho conceitual prévio para a
realização das tarefas e interpretação das representações.
Muitos professores também apontaram a necessidade de pré-requisitos para
que o aluno resolvesse as tarefas propostas. Discuto estas considerações a seguir.
As tarefas
Diversas questões foram propostas aos estudantes e aos professores visando
à avaliação das tarefas disponíveis no Consecutivo. Esta avaliação contemplou três
dimensões: (1) a clareza do enunciado, (2) o nível de dificuldade e o (3) auxílio para
resolver outras tarefas. A Tabela 6, a Tabela 7 e a Tabela 8 sintetizam as respostas
dadas nestas questões.
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Tabela 6: Frequência com que os participantes classificaram a clareza do enunciado das tarefas
segundo os itens de Likert.
Tarefa31 Teste Muito Parcialmente Pouco Nada
Explorar 1º: Peq. Escala 3 1 0 0
2º: Professores 8 2 0 0
3º: Autêntico 13 10 0 0
Total 24 13 0 0
Conjecturar32 1º: Peq. Escala --- --- --- ---
2º: Professores 6 4 0 0
3º: Autêntico 8 13 2 0
Total 14 17 2 0
Organizar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---
2º: Professores 10 0 0 0
3º: Autêntico 11 8 2 0
Total 21 8 2 0
Provar 1º: Peq. Escala 1 3 0 0
2º: Professores 9 1 0 0
3º: Autêntico 13 7 1 0
Total 23 11 1 0
De forma geral, é possível notar que a clareza dos enunciados de todos os
tipos de tarefas propostas foi avaliada positivamente pelos participantes da pesquisa,
uma vez que a maioria deles apontou que esses enunciados eram muito ou
parcialmente claros; entretanto, algumas sugestões pontuais apareceram. A
participante B, da dupla B&G, no primeiro teste, argumentou que o enunciado de
algumas questões estava muito longo. Ela afirmou que, como estudante, enunciados
muito grandes fazem com que ela perca a vontade de realizar a tarefa. Outra sugestão
foi dada por uma professora do segundo teste. Ela afirmou que a palavra
“regularidade”, bastante usada nas Tarefas Conjecturar, poderia não ser
31 De um teste para o outro as tarefas sofreram diversas modificações. Estas modificações serão discutidas nas
próximas seções. Nas tabelas apresentadas, já é possível perceber que outros tipos de tarefas surgiram depois
do primeiro teste: as Tarefas Conjecturar e as Tarefas Organizar. 32 As questões referentes às Tarefas Conjecturar e Organizar não constavam no questionário respondido pelos
participantes do teste em pequena escala.
139
compreendida pelo aluno da educação básica. Ela sugeriu que eu colocasse a palavra
“padrão” no lugar de “regularidade”.
Tabela 7: Frequência com que os participantes classificaram o nível de dificuldade das tarefas
segundo os itens de Likert.
Tarefa Teste Muito Parcialmente Pouco Nada
Explorar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---
2º: Professores 0 5 1 4
3º: Autêntico 0 3 6 14
Total 0 8 7 18
Conjecturar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---
2º: Professores 0 2 8 0
3º: Autêntico 0 6 12 4
Total 0 8 20 4
Organizar 1º: Peq. Escala --- --- --- ---
2º: Professores 1 8 0 1
3º: Autêntico 2 4 7 7
Total 3 12 7 8
Provar 1º: Peq. Escala 0 2 2 0
2º: Professores 0 5 2 3
3º: Autêntico 1 9 5 5
Total 1 16 9 8
Com relação ao nível de dificuldade das tarefas, as opiniões dos participantes
se dividem. De forma geral, as Tarefas Explorar e as Tarefas Conjecturar foram
avaliadas como sendo pouco ou nada difíceis, o que representa uma reação positiva
dos participantes; entretanto, as Tarefas Organizar e Provar tiveram 50% de
avaliações positivas (pouco ou nada difíceis) e 50% de avaliações negativas
(parcialmente ou muito difíceis). Alguns argumentos dados pelos participantes
justificam estas posições.
140
Figura 56: Opinião da participante B, da dupla B&G, sobre o nível de dificuldade das Tarefas Provar.
Os estudantes participantes do primeiro teste apontaram que as Tarefas
Provar começaram bem fáceis, mas mudaram rapidamente de complexidade. Muitos
disseram que a partir da sexta questão já não conseguiam resolver as tarefas com
tanta facilidade (Figura 56).
Os estudantes participantes do terceiro teste, por sua vez, apontaram que as
primeiras tarefas realizadas exigiam que eles usassem bastante as ferramentas do
ambiente, mas que as Tarefas Provar exigiam muito mais o uso do raciocínio lógico
(Figura 57).
Figura 57: Opinião do estudante B, participante do terceiro teste, sobre o nível de dificuldade das
Tarefas Provar.
Os professores participantes apontaram que as questões do ambiente tinham
um nível de dificuldade crescente e que, para responder algumas delas, os estudantes
precisariam de alguns pré-requisitos (Figura 58).
Coloquei as Tarefas Explorar no ambiente do Consecutivo com o objetivo de
fazer com que o participante compreendesse o funcionamento do ambiente. Elas eram
questões bem simples e de resposta imediata. Por causa disso, eu propus uma
questão para avaliar em que medida estas tarefas cumpriram meus objetivos. Eu
também coloquei as Tarefas Organizar no ambiente, na tentativa de fomentar a
construção de provas baseadas em argumentos conceituais. Assim sendo, propus
uma questão para que os participantes avaliassem em que medida meus objetivos
foram alcançados. A Tabela 8 apresenta estes resultados.
141
Figura 58: Opinião da professora C sobre o nível de dificuldade das Tarefas Organizar.
De forma geral, é possível notar que os participantes consideraram que as
Tarefas Explorar auxiliam parcialmente ou muito a compreensão da interface e das
ferramentas do programa, o que se configura como uma avaliação positiva; entretanto,
os estudantes participantes do terceiro teste possuíram opinião divididas com relação
à importância das Tarefas Organizar. Doze deles apresentaram opiniões positivas
neste quesito, enquanto nove apresentaram opinião negativa. Acredito que estas
opiniões estejam relacionadas aos resultados anteriores, os quais apontaram que os
mesmos participantes encontraram dificuldades em realizar tais tarefas.
Tabela 8: Frequência com que os participantes classificaram a importância das Tarefas Explorar e
Organizar para a realização de outras tarefas segundo os itens de Likert.
Tarefa Teste Muito Parcialmente Pouco Nada
Tarefas
explorar
ajudam a
compreender
o programa
1º: Peq. Escala 3 1 0 0
2º: Professores 5 5 0 0
3º: Autêntico 13 10 0 0
Total 19 16 0 0
Tarefas
Organizar
ajudam a
provar
1º: Peq. Escala --- --- --- ---
2º: Professores 6 3 1 0
3º: Autêntico 4 8 7 1
Total 10 11 8 1
As opiniões dos participantes foram importantes para o redesign do
Consecutivo. As mudanças realizadas no ambiente em virtude destes resultados são
discutidas nas próximas seções.
142
5.2 Mudanças na interface
Na versão do ambiente utilizada no teste em pequena escala, assim que o
participante iniciava o Consecutivo, abria-se para ele uma janela de 800 x 500
unidades contendo: (1) um painel comprido com barras de rolagem e botões de
representações, (2) um painel curto com botões de tarefas, (3) uma reta numérica com
o destaque de uma sequência de três números consecutivos iniciada pelo 11, e (4)
um painel apresentando a fatoração dos números destacados na reta numérica
(Figura 59).
A primeira mudança na interface do ambiente foi a retirada do painel
Fatoração da janela inicial. Na nova interface, este painel poderá ser acessado pelo
aluno somente depois do clique sobre o botão Fatoração. Esta mudança teve como
objetivo diminuir o número de elementos gráficos da tela inicial do ambiente,
fornecendo uma página com menos distrativos.
Figura 59: Tela inicial da versão do Consecutivo utilizada no teste em pequena escala.
Outro fator que contribuiu para a retirada do painel Fatoração da janela inicial
do Consecutivo foi o fato de eu ter notado que esta foi a representação mais utilizada
pelos estudantes, durante o primeiro teste com o ambiente. Acredito que a grande
143
utilização do botão fatoração pelos alunos possa estar ligada ao fato do painel
Fatoração estar sempre disponível na janela inicial do programa e não ao fato dela
ser relevante para a resolução dos problemas propostos. Nesse sentido, para evitar
qualquer tipo de sugestão ao participante a respeito da representação matemática
mais adequada a ser utilizada durante a realização das tarefas, a janela inicial do
ambiente passou a ter como elemento gráfico apenas a reta numérica.
A página do Consecutivo teve seu comprimento aumentado. Na nova versão
do ambiente, a página passou a ter dimensões de 1000 x 500 unidades. Este aumento
permitiu que o painel contendo as tarefas pudesse ser colocado ao lado do painel
contendo os botões de representações, o que proporcionou mais espaço para a
visualização da reta numérica, dos enunciados e das representações disponíveis
(Figura 60).
Com as mudanças na interface, a nova página inicial do Consecutivo passa a
ser composta por (1) um painel contendo as barras de rolagem e os botões de
representações, (2) um painel contendo os botões de tarefas e (3) uma reta numérica
com destaque para os números 0 e 1, que são os dois primeiros números naturais
consecutivos.
Figura 60: Tela inicial do Consecutivo após o primeiro redesign.
O layout do painel de tarefas também foi alterado. Na primeira versão, o
participante navegava pelas tarefas propostas, manuseando uma barra de rolagem
colocada a sua direita (Figura 61). Na nova versão, esta barra de rolagem foi
144
substituída por um conjunto de botões, o que proporciona a identificação da tarefa que
o participante está realizando, bem como do número total de tarefas propostas
naquele painel (Figura 62).
Figura 61: Painel de tarefas na primeira
versão do Consecutivo.
Figura 62: Painel de tarefas na segunda
versão do Consecutivo.
Durante o teste com professores, alguns participantes tentaram responder às
tarefas no próprio programa, num espaço em branco abaixo do enunciado; entretanto,
esta era uma operação não suportada pelo ambiente. Por isso, muitos professores
sugeriram que eu colocasse uma pequena frase na parte inferior de cada painel de
tarefas, indicando ao estudante que as respostas deveriam ser redigidas no papel. A
sugestão foi acatada e, não somente as tarefas, mas outros elementos da interface
passaram a ter frases como estas, na tentativa de auxiliar o aprendiz e evitar a
realização de operações não suportadas pelo programa (Figura 62).
Durante a interação dos participantes do primeiro teste com as Tarefas
Exploratórias, foi possível notar que os mesmos realizavam diversas releituras dos
enunciados das tarefas. A princípio pensei que esta era uma estratégia usada pelos
participantes para responder às tarefas corretamente; entretanto, com o andamento
das interações, foi possível perceber que os alunos reliam o enunciado várias vezes
porque esqueciam o conteúdo da pergunta que eles precisavam responder.
Analisando a situação com cuidado, notei que o texto das tarefas desaparecia da tela
toda vez que um painel de representação era acionado pelo estudante. Uma vez que
o texto não aparecia mais na tela, os participantes esqueciam-se do que a tarefa
tratava. Isto também foi apontado pelos professores que avaliaram o programa. Um
simples redesign na interface foi realizado de modo que os painéis de representação
145
e as tarefas ficassem na tela ao mesmo tempo, podendo ser escondidos por escolha
do participante (Figura 63 e Figura 64).
Figura 63: Interface das tarefas antes do
redesign.
Figura 64: Interface das tarefas após o redesign.
Algumas mudanças foram realizadas na interface em virtude da retirada ou
acréscimo de representações e tarefas. Estas mudanças são discutidas nas próximas
seções.
5.3 Mudanças nas representações
A análise dos dados coletados no primeiro teste mostrou que as
representações disponibilizadas nos painéis foram pouco utilizadas pelos alunos
como fonte conceitual para a elaboração de justificativas. Uma das explicações
possíveis para isso reside no fato de que é necessário que os alunos aprendam o
significado destas representações e as relacionem com conceitos matemáticos
(AINSWORTH et. al., 1997).
Na intenção de mostrar aos alunos como as representações “funcionam”, o
conteúdo do botão de informação, que foi pouco usado, foi alterado. Na nova versão
do ambiente, ao acionar o botão informação, o participante encontra um vídeo que
mostra as ações de um aluno hipotético, utilizando determinada ferramenta para
resolver um problema (Figura 65).
146
Figura 65: Vídeo de ajuda para o painel Fatoração.
As participantes da dupla B&G deram várias sugestões de melhorias para a
interface do ambiente enquanto trabalhavam no mesmo. Uma delas veio à tona
enquanto a dupla manuseava o painel Resto. As meninas afirmaram que não
entenderam a representação do painel porque não relacionaram o que visualizavam
na tela com o que elas faziam tradicionalmente na divisão de dois números naturais.
Elas sugeriram que eu colocasse no painel a expressão Dividendo = Divisor x
Quociente + Resto, para que fosse mais fácil fazer a correspondência entre o valor
visualizado e o que ele representa. Esta sugestão pareceu plausível e foi prontamente
atendida (Figura 66).
Figura 66: Painel Resto após o primeiro redesign.
147
Figura 67: Painel Soma Animal
Notei também que as representações figurais fizeram pouco sentido dentro
das tarefas propostas, uma vez serviram apenas para a conferência da divisibilidade
da soma e do produto por um número qualquer. O painel do Produto Retangular, por
148
exemplo, foi evitado por quase todos os participantes durante o primeiro teste. O
painel Soma Tartaruga foi mais acessado, mas não por conta de suas potencialidades
matemáticas, e sim por causa dos ícones das tartaruguinhas que “encantaram” os
aprendizes. Isto pode ser constatado na fala da estudante G que, no fim da atividade,
verbalizou: “o que eu mais gostei foi das tartarugas”. Por estas razões, as
representações figurais disponíveis no Consecutivo passaram por reformulações.
As interações da dupla B&G com o painel Produto retangular mostraram que
as estudantes tiveram dificuldades de compreender a utilidade desta representação
para a resolução de muitas tarefas e que as mesmas só permaneceram dispostas a
compreendê-la quando eu fazia alguma intervenção; analisando com cuidado as
potencialidades desta representação, percebi que ela favorecia a checagem da
divisibilidade do produto de uma sequência de números consecutivos por outro
número natural; entretanto, a representação não explicava por que tal divisibilidade
acontecia. Mais do que isso, notei que as representações de outro painel, o da
Fatoração, poderiam ser usadas para ambos os propósitos: checar a divisibilidade do
produto e explicar por que ela é possível. Com base nestas observações, optei pela
retirada do Painel Produto Retangular da interface do Consecutivo.
O painel Soma Tartaruga teve sua aparência modificada e passou a ser
chamado de Soma Animal; entretanto, foi mantida a potencialidade de fazer o aluno
verificar se a soma de uma sequência de números consecutivos é divisível por certo
número natural. Decidi manter o painel Tartaruga pois percebi que as figuras das
tartarugas e o movimento das mesmas passaram uma imagem mais “sensível” da
Matemática ao participante e o motivou a “tentar” compreender a representação
disponível na tela e fazer relações entre ela e a tarefa.
Na intenção de promover uma maior interação dos alunos com a
representação do painel Tartaruga, coloquei à disposição do participante a
possibilidade de modificar a forma da tartaruga para uma aranha ou um cachorro, bem
como de movimentar essas formas na tela com o uso do mouse. Além disso, mais
uma representação figural foi disponibilizada ao aluno. No painel Soma Tartaruga era
possível apenas visualizar a soma dos números consecutivos de forma retangular.
Depois das modificações, o estudante tem acesso a uma representação figural na
forma de sequência consecutiva e pode transformá-la numa representação figural
retangular, caso seja de seu interesse. Para transformar a representação figural
149
consecutiva em representação figural retangular basta movimentar uma barra de
rolagem no canto superior direito do painel, escolhendo o número de filas em que se
deseja dispor os animais na tela (Figura 67).
Com a mudança nas representações, algumas tarefas precisaram ser criadas,
retiradas ou repensadas. Este é o tema da próxima seção.
5.4 Mudanças nas tarefas
Na primeira versão do Consecutivo, foram propostas aos alunos dez Tarefas
Exploratórias e 14 Tarefas de Prova, em um total de 24 tarefas (ver seções 4.2.1 e
4.2.2). As Tarefas Exploratórias tinham a finalidade de familiarizar o participante com
o ambiente e as tarefas de prova tinham como premissa engajar o aprendiz num
processo de formulação e validação formal de conjecturas; entretanto, as análises
iniciais e as modificações realizadas nas representações apontaram para a
necessidade de mudança na quantidade e complexidade das tarefas propostas,
principalmente com relação às tarefas de prova.
Figura 68: Botões de tarefas após o primeiro redesign.
Primeiramente, notei que foi solicitada a resolução de um número grande de
tarefas as quais aumentavam de complexidade rapidamente, o que fez, por muitas
vezes, os participantes se sentirem cansados e desanimados. Devido a isto, as
Tarefas Exploratórias e de Prova, propostas inicialmente, foram subdividas em três
grupos: (1) Tarefas Explorar, (2) Tarefas Conjecturar e (3) Tarefas Provar. Para
fomentar o processo de justificativas formais com argumentos baseados em
conceitos, propriedades e dedução, criei um novo grupo de tarefas: as Tarefas
Organizar. A Figura 68 mostra a barra de tarefas disponível na tela após esta
reorganização.
150
As Tarefas Explorar
Das dez Tarefas Exploratórias propostas na primeira versão do Consecutivo,
três foram eliminadas, restando sete. Na nova versão, estas sete questões fizeram
parte do grupo de tarefas do botão Explorar.
Da lista de tarefas utilizada no primeiro teste, discutidas na seção 4.2.1, foram
eliminadas as Tarefas Exploratórias 2, 3 e 8 por serem similares a outras tarefas
solicitadas ao longo da lista. A Tarefa 3, por exemplo, tinha objetivo similar à Tarefa
4: encontrar o primeiro número de uma sequência de consecutivos.
A ordem de muitos enunciados foi trocada e alguns de seus dados foram
alterados. É o caso dos enunciados das tarefas 5 e 6, os quais foram modificados
visando desencorajar o cálculo mental por parte dos alunos.
A Tarefa 5 passou por uma reformulação, pois, as interações dos participantes
no primeiro teste revelaram que os mesmos não usaram o painel das Tartarugas para
obter a resposta do enunciado porque preferiram apelar para o cálculo mental para
conferir a divisibilidade da soma. Na nova versão do programa, tentei colocar um valor
maior para que os participantes encontrassem mais dificuldades de conferir a
divisibilidade mentalmente e apelassem para o uso do painel para responder a tarefa.
Ao invés de checar a divisibilidade por 4, pedi que os participantes checassem a
divisibilidade por 9.
A Tarefa 6 foi retirada do Consecutivo por fazer alusão ao uso das
representações do Painel Produto Retangular, o qual também foi retirado do programa
por razões que foram explicadas na seção 5.3.
A seguir tem-se o quadro com os novos enunciados das Tarefas Explorar
realizadas pelos estudantes do terceiro teste.
TExp 1: Qual é a soma de oito números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 17?
TExp 2: Qual é o primeiro número de uma sequência de quatro números consecutivos cujo
produto é 73.440?
151
TExp 3: Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada produto entre 4, 5 e 6.
Faça o mesmo com os números 9, 10 e 11. Repita com os números 20, 21 e 22. Agora
responda: Quais números aparecem na fatoração dos três produtos?
TExp 4: Uso botão FATORAÇÃO e escreva uma sequência de três números consecutivos
cujo produto seja um número divisível por 13.
TExp 5: Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando
os respectivos restos das divisões efetuadas formarão uma sequência de números
consecutivos? Para isso, use o botão RESTO.
TExp 6: Use o botão ALGÉBRICO para representar de forma genérica a soma de cinco
números consecutivos.
TExp 7: Use o botão SOMA ANIMAL e escreva uma sequência de quatro números
consecutivos cuja soma seja um número divisível por 9.
As Tarefas Conjecturar e Provar
Ao observar cautelosamente o enunciado das Tarefas de Prova e retomar a
análise das interações dos participantes no primeiro teste, verifiquei que era preciso
reduzir o número de tarefas propostas e dividi-las em dois grupos: as Tarefas
Conjecturar e as Tarefas Provar.
A redução de tarefas se deveu a dois fatores. Primeiramente, notei que os
participantes do primeiro teste ficaram cansados e enfadados quando estavam
próximos de responder à décima Tarefa de Prova. Eles reclamaram bastante e
passaram a ler rapidamente os enunciados. A qualidade das respostas não caiu
porque eu estava constantemente instigando as discussões entre eles. Isto me fez
perceber a existência de um “limite pedagógico” para a quantidade de questões
propostas. Este limite pareceu estar por volta de 7 e 10 Tarefas de Prova, para uma
sessão de 100 minutos (2 aulas). Além disso, notei também que algumas tarefas
fizeram os participantes interagir mais entre si e buscar na interface do programa
esclarecimentos para seus questionamentos. Por isso, decidi retirar as Tarefas de
Prova 3, 4, 11, 13 e 14, e decidi reposicionar e reescrever as demais tarefas.
As Tarefas de Prova 2, 7 e 8 foram reclassificadas e passaram a fazer parte
do grupo das Tarefas Conjecturar (Figura 69). Isto porque, ao analisar o texto do
152
enunciado, percebi que a exploração e a formulação de conjecturas e hipóteses eram
bastante incentivadas. Estas questões tinham propósitos semelhantes e
questionavam o aprendiz sobre as regularidades e padrões percebidos em
determinada situação. Minhas expectativas para as ações dos estudantes nestas
questões continuam as mesmas e já foram discutidas na seção 4.2.2.
Figura 69: Painel das Tarefas Conjecturar e TConj 1.
O quadro a seguir apresenta o enunciado das Tarefas Conjecturar, realizadas
pelos participantes do terceiro teste do Consecutivo.
TConj 1: Investigue a soma de quatro números consecutivos. Você percebeu algum padrão
nos resultados? Caso encontra um padrão, explique por que ele ocorre.
TConj 2: Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos
com o produto desses números. Você percebeu algum padrão nos resultados? Caso encontra
um padrão, explique por que ele ocorre.
TConj 3: Joãozinho estava procurando números consecutivos cuja soma fosse um número
par. Depois de algumas observações, ele concluiu que para obter um resultado par deve-se
soma uma quantidade par de números consecutivos. Por exemplo, somando 12 números
consecutivos (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13) o resultado é um número par. Pedrinho
ouviu a ideia de Joãozinho e concordou com ele. Além disso, acrescentou que com uma
quantidade ímpar de números consecutivos a soma será um número ímpar. Veja que a soma
8+9+10 dá 27, que é um número ímpar. Maria ouviu as ideias de Joãozinho e Pedrinho e
discordou delas. Porquê?
153
As Tarefas de Prova 5, 6, 9 e 12 também foram reclassificadas e passaram a
fazer parte do grupo das Tarefas Provar. Estas questões estimulam a prova por meio
de contraexemplos e possuem uma relação direta com as Tarefas Conjecturar (Figura
70). Apesar de não ter uma ordem estabelecida para a resolução das questões,
esperava que os participantes resolvessem as Tarefas Conjecturar antes de resolver
as Tarefas Provar. Se isto ocorresse, eles poderiam estabelecer uma relação entre as
tarefas e utilizar os argumentos construídos em uma para suportar suas justificativas
em outra. Desta forma, eles poderiam redigir seus argumentos de forma dedutiva,
fazendo alusão às propriedades que eles já descobriram (compare a Figura 69 e a
Figura 70).
Figura 70: Painel das Tarefas Provar e TPro 1.
O quadro a seguir apresenta o enunciado das Tarefas Conjecturar, realizadas
pelos participantes do terceiro teste do Consecutivo.
TPro 1: É possível encontrar quatro números consecutivos cuja soma seja: a) 82? b) 37? c)
44? Justifique suas escolhas.
TPro 2: Você concorda que a soma de três números consecutivos é sempre divisível por 3?
Como você convenceria seu colega se isso fosse verdade?
TPro 3: É possível encontrar dois números consecutivos cujo produto seja: a) 23? b) 52? c)
156? Justifique suas escolhas.
TPro 4: Joãozinho fez algumas observações e percebeu que:
154
1. O resultado de 4x5x6x7 é divisível por 24.
2. O resultado de 10x11x12x13 é divisível por 24.
3. O resultado de 22x22x23x24 é divisível por 24.
Após essas observações, ele concluiu que o produto de quatro números consecutivos é
sempre divisível por 24. Joãozinho está correto? Por quê?
Para incentivar a formulação de argumentos conceituais, algébricos e
dedutivos, transformei as Tarefas de Prova 1 e 10 em três Tarefas Organizar. Além
disso, criei ainda mais uma tarefa deste tipo incluindo argumentos figurais e em língua
natural. A seguir, discuto melhor este grupo.
As Tarefas Organizar
Uma das razões que me fez pensar no desenvolvimento do Consecutivo foi a
necessidade de se fomentar a produção de provas conceituais no âmbito da
matemática escolar. De acordo com a análise dos resultados, os participantes do
primeiro teste foram capazes de produzir este tipo de prova, como será abordado no
Capítulo 10; entretanto, em nenhuma das produções destes participantes, pude
encontrar provas conceituais baseadas em argumentos algébricos e em raciocínios
dedutivos. Estas observações me trouxeram o seguinte questionamento: como o
Consecutivo pode se tornar um ambiente capaz de promover o engajamento do
estudante da educação básica na produção de uma prova conceitual, algébrica e
dedutiva? Uma resposta para esta pergunta foi encontrada no estudo de Duval e Egret
(1989), já discutido na seção 2.6.
Duval e Egret (1989) argumentam que a aprendizagem das provas depende
da realização de atividades específicas que revelem a estrutura dedutiva das mesmas
por meio da relação entre registros não discursivos em forma de rede e registros
discursivos em língua natural. Pensando nestas considerações, desenvolvi um grupo
de quatro tarefas em que os estudantes devem organizar os argumentos de uma
conjectura já provada de duas maneiras: na forma de texto e na forma de esquemas
de rede.
155
Ao contrário das outras tarefas, as Tarefas Organizar deveriam ser
respondidas no computador. Para isso, era esperado que os estudantes arrastassem
os argumentos que apareciam na tela de modo a organizá-los dedutivamente na forma
de texto ou de rede (Figura 71 e Figura 72).
Figura 71: Tarefa Organizar 1.
Figura 72: Resposta esperada para a Tarefa Organizar 1.
As Tarefas Organizar 1 e 2 se referiam à mesma conjectura. Eram dois tipos
de argumentos distintos que justificavam o fato da soma de dois números
consecutivos ser sempre um número ímpar. Na primeira tarefa, há uma mistura de
argumentos algébricos e em língua natural. Os argumentos são escritos numa
linguagem mais simples e fazem alusão às representações figurais que podem
156
aparecer na tela do Consecutivo. O objetivo é fazer com que o aprendiz organize os
argumentos em forma de texto (Figura 71 e Figura 72). Na segunda tarefa, também
há uma mistura de argumentos algébricos e em língua natural, mas com uma escrita
mais formal. O objetivo é fazer com que os participantes organizem os argumentos
em forma de rede (Figura 73 e Figura 74).
Figura 73: Tarefa Organizar 2.
Figura 74: Resposta esperada para a Tarefa Organizar 2.
A terceira Tarefa Organizar se referia a uma conjectura a respeito da soma de
cinco números consecutivos. Os argumentos foram apresentados com
representações figurais e em língua natural. A ideia era mostrar ao aprendiz que
argumentos baseados nas representações do painel Tartaruga também poderiam
ajudar na explicação de um padrão ou regularidade. O objetivo era organizar todos os
argumentos na forma de rede (Figura 75 e Figura 76).
157
Figura 75: Tarefa Organizar 3.
Figura 76: Respostas esperada para a Tarefa Organizar 3.
A quarta Tarefa Organizar apresentava argumentos para mostrar que o
produto de três números consecutivos é sempre divisível por três. Estes argumentos
possuem representações numéricas e em língua natural. Além disso, eles fazem
alusão às propriedades da fatoração e divisibilidade de números naturais. O objetivo
é escrever um argumento que possua estrutura de texto e de rede ao mesmo tempo
(Figura 77 e Figura 78).
Para fins de coleta de dados, solicitei aos participantes que registrassem
sucintamente suas respostas no papel depois de finalizarem a solução no
computador.
Disponibilizei também na interface o botão Ok para que os participantes
pudessem avaliar se a organização feita por eles estava coerente. Graças a presença
do botão Ok, esperava que as duplas ou apresentassem no papel as respostas já
previstas para cada tarefa, caso recebessem uma resposta positiva do computador,
158
ou não apresentassem resposta alguma, caso não recebessem uma resposta positiva
do computador. Apesar deste direcionamento para uma apresentação final
semelhante, esperava que as respostas do botão Ok fomentassem discussões sobre
a lógica da posição dos argumentos e que estas tarefas, de modo geral,
influenciassem a estrutura e o conteúdo das respostas dos estudantes nas Tarefas de
Prova, as quais seriam realizadas subsequentemente.
Figura 77: Tarefa Organizar 4.
Figura 78: Resposta esperada para a Tarefa organizar 4.
As interações dos participantes do terceiro teste ao realizarem as Tarefas
Organizar são discutidas no Capítulo 8; entretanto, a análise destas interações e
opiniões dos estudantes me fizeram pensar em diversas modificações para futuras
aplicações. Estas modificações são discutidas a seguir.
159
5.5 Sugestão de redesign para futuras aplicações
As duplas participantes do terceiro teste também apresentaram muitas
sugestões interessantes as quais possuem o potencial de serem incorporadas na
próxima versão do Consecutivo.
A participante L, por exemplo, notou que o ícone usado para fechar as janelas
do programa tinha o formato de uma seta, diferentemente do ícone mais tradicional
na forma de X. Este parece ser um detalhe superficial, mas por muitas vezes a
participante pressionou o ícone na forma de seta na intenção de mudar de tarefa, mas
teve como resultado o fechamento da tela (Figura 53). A substituição do ícone de seta
pareceu-me uma sugestão valiosa e passível de ser incorporada na interface
futuramente.
Muitos participantes relataram dificuldades em movimentar as barras de
rolagem a fim de escolher um número específico (Figura 50). Por exemplo, alguns
participantes queriam que a sequência de números consecutivos começasse com 17,
mas tinham bastante dificuldade de utilizar as barras de rolagem até conseguir o valor
desejado. Uma solução para este problema foi dada pelos próprios participantes. Eles
sugeriram que eu acrescentasse duas setas ao lado das barras de rolagem, uma à
direita, para aumentar os valores de um em um, e outra à esquerda, para diminuir os
valores. Esta sugestão parece bem sensata e é passível de ser realizada numa
próxima versão.
Alguns problemas na interface e no funcionamento do Consecutivo somente
apareceram quando tentei utilizar o programa em computadores com sistemas
operacionais diferentes. Os vídeos de ajuda, inseridos no ambiente para mostrar ao
aprendiz as potencialidades de uma determinada representação, funcionaram apenas
no sistema Windows XP, mas não funcionaram nos sistemas Windows Vista, Windows
7 e Windows 8. Este foi um problema causado pela falta de atualização e
modernização do Imagine, software o qual usei para construir o Consecutivo. Uma
solução mais imediata para este problema seria a substituição dos vídeos por outro
material de apoio, por exemplo, uma história em quadrinhos. Uma solução, a longo
prazo, seria reprogramar o Consecutivo com outro software, quem sabe até em uma
160
versão mais moderna a qual possa ser usada na internet e em aparelhos portáteis,
como tablets e celulares.
Depois da análise das conjecturas, dos argumentos e do processo que deu
origem aos mesmos, percebi que algumas mudanças nas representações disponíveis
no Consecutivo e nas tarefas propostas seriam importantes para fomentar o
engajamento dos participantes num processo de prova conceitual, ou seja, provas
baseadas em propriedades matemáticas.
Notei, por exemplo, que os painéis de representação contribuíram
minimamente para o processo de formulação de conjecturas e argumentos baseados
em propriedades matemáticas. Acredito que, para incentivar o uso destes painéis,
seria necessária a proposição de tarefas envolvendo valores fora do alcance dos
limites das barras de rolagem restringindo, consequentemente, o apelo ao cálculo
mental e aos argumentos empíricos.
Percebi também que os participantes do terceiro teste não formularam
conjecturas e argumentos baseados em representações figurais. Uma explicação para
isto pode estar no fato de eu ter reduzido o número de Tarefas Exploratórias, o que
fez as duplas terem menos tempo de interagir com as potencialidades deste tipo de
representação. Para fomentar a formulação de conjecturas e argumentos baseados
em representações figurais, pretendo inserir tarefas em que os participantes precisem
necessariamente utilizar o painel Soma Animal. Uma das possibilidades seria
restringir o acesso às outras representações enquanto o participante tenta resolver a
tarefa proposta.
Os vídeos com as interações da dupla L&M e os vídeos com as interações da
turma do terceiro teste como um todo indicaram que algumas características das
Tarefas Organizar precisam ser modificadas. Na Tarefa Organizar 3, por exemplo, o
participante M não recebeu uma resposta positiva do computador, pois não havia
centralizado corretamente os argumentos dentro dos retângulos na rede. Para evitar
este tipo de situação, é possível fazer com que o programa faça a centralização
automática dos argumentos, toda vez que o participante aproximá-los da área
desejada.
Com a análise das interações dos participantes, foi possível perceber que a
troca de posição de alguns argumentos pode fazer com que a prova continue
161
coerente. Por exemplo, na Tarefa Organizar 3 (Figura 76), os dois últimos argumentos
podem ser invertidos sem que a lógica da explicação seja comprometida. Por este
motivo, é possível modificar a interface das Tarefas Organizar de forma que mais de
uma solução apresente uma resposta positiva do computador.
As diferentes interpretações em torno da frase “explique por que a
regularidade ocorre” no enunciado também indicam a necessidade de redesign das
tarefas. Em muitos casos, depois de lerem o enunciado, os participantes se engajaram
em um processo de explicar porque a regularidade veio à tona e não num processo
de explicar porque a regularidade é válida sempre. Uma sugestão seria modificar o
texto da tarefa inserindo a palavra “sempre”. Outra opção seria pedir que os
participantes explicassem como eles convenceriam uma pessoa da validade da
regularidade observada.
Tenho interesse em disponibilizar o Consecutivo para a comunidade escolar.
Uma ideia seria compartilhá-lo na Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED), no
site http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.php. Outra ideia é disponibilizá-lo no site do
Projeto Rumo à Educação Matemática Inclusiva da Universidade Anhanguera de São
Paulo, http://www.matematicainclusiva.net.br/index.php. Para isso, entretanto, a
princípio, eu modificaria aspectos discutidos anteriormente nesta seção e, também,
escreveria um material de apoio para professores e estudantes que quisessem utilizar
o programa.
Na próxima seção, discuto a metodologia utilizada para analisar as respostas
escritas e as interações entre os participantes.
162
6. A METODOLOGIA DE ANÁLISE DE DADOS
Nos dois testes realizados com estudantes, coletei as respostas escritas de
todos os participantes e vídeo-gravei as interações de três duplas, duas no primeiro e
uma no terceiro teste. Esses dados foram analisados com o propósito de responder
minha questão de pesquisa, ou seja, de compreender a natureza das provas
elaboradas pelos estudantes ao interagirem com o Consecutivo.
O processo de análise dos dados passou por várias etapas e levou em
consideração vários aspectos das produções dos estudantes, tais como (1) as
representações e os conceitos matemáticos utilizados nas respostas escritas, (2) as
sequências de ações realizadas no Consecutivo as quais culminaram na redação de
uma conjectura e de uma prova, (3) a forma como as interações sociais mediaram a
formulação de conjecturas e justificativas e (4) a estrutura da argumentação dos
participantes.
Neste capítulo, apresento, em duas seções, a metodologia utilizada para
analisar as produções dos estudantes. Na primeira, discuto o processo de análise das
respostas escritas dos participantes. Na segunda, mostro como analisei as interações
das três duplas vídeo-gravadas.
6.1 A análise das produções escritas dos participantes
O processo de análise das respostas escritas dos participantes foi realizado
em duas etapas. Na primeira, apenas li e digitalizei todas as produções dos
estudantes. Na segunda, codifiquei essas produções escritas, seguindo os
pressupostos de Saldana (2009). De acordo com este pesquisador,
Codificar é uma ação cujo objetivo é encontrar padrões nos dados. Encontrar vários códigos iguais é natural, uma vez que há padrões repetitivos nas
163
questões humanas, e é deliberativo porque encontrar padrões é a meta da codificação33 (SALDANA, 2009, p. 5).
Analisei as produções escritas dos estudantes com três objetivos: (1) verificar
quais foram as representações utilizadas para redigir suas respostas, (2) saber quais
conceitos matemáticos foram empregados, (3) buscar evidências da mediação do
Consecutivo nestas produções.
Neste processo, servi-me de uma forma de codificação chamada de “código
provisório” (SALDANA, 2009). Utilizar o código provisório consiste em associar as
informações contidas em seus dados com uma lista de palavras retiradas da literatura
da sua área. No caso deste estudo, enquanto lia as respostas escritas dos
participantes, associava as representações que via com aquelas mencionadas em
Duval (2003), a saber: figural, gráfica, numérica, algébrica e em língua natural.
Associava também o conteúdo matemático com aqueles que trabalhamos nas salas
de aula da educação básica, tais como divisibilidade, fatoração, soma algébrica,
números primos, entre outros.
Figura 79: Exemplo de análise realizada nas produções escritas dos estudantes. Análise da Tarefa de
Prova 2, do terceiro teste, da dupla G&D.
Segundo Saldana (2009), “toda codificação é um julgamento, uma vez que
traz nossa subjetividade, personalidade, predisposições e caprichos” (p. 7). Desta
forma, ao analisar os dados escritos, procurei evidências da influência do Consecutivo
nas respostas dos estudantes. Ao encontrar alguma, eu a destacava e escrevia minha
interpretação. Esta interpretação se configurou como conjectura de pesquisa, a qual
33 Tradução minha para: Coding is an action whose objective is to find patterns in the data. Find several same
codes is natural since there are repetitive patterns of action in human affairs, and deliberative because find pattern
is the goal of coding.
164
eu poderia ou não confirmar ao assistir as interações das duplas vídeo-gravadas e ao
observar os questionários de opinião.
Para ilustrar o processo de análise das respostas escritas dos participantes,
apresento a Figura 79. Nesta imagem é possível observar a codificação empregada
na análise da resposta da dupla G&D para a Tarefa de Prova 2 proposta no terceiro
teste.
Pela Figura 79, é possível notar que a dupla G&D utilizou argumentos
algébricos e em língua natural para representar suas ideias. O conteúdo matemático
da resposta mostrou que estes participantes estavam familiarizados com a soma e a
fatoração de termos algébricos e com a divisão de expressões algébricas por um
número real. A explicação fornecida pelo par era esperada, uma vez que a interface
de Consecutivo possui representações algébricas. Acredito que os participantes
interagiram com as representações algébricas na tela e criaram suas justificativas
mediados pelos resultados desta representação. Uma evidência desta interação é a
resposta da dupla no questionário de opinião. Duas perguntas deste questionário
foram sobre o uso dos painéis de representação no Consecutivo. A primeira pergunta
exigia que os estudantes identificassem a representação que eles mais gostaram de
lidar. A segunda, solicitava que os mesmos identificassem a representação mais útil
para a resolução das tarefas. A dupla G&D selecionou o item “Algébrica" como
resposta para ambas as perguntas.
A análise das produções escritas me forneceu alguns elementos para
responder minha questão de pesquisa, revelando principalmente como são as provas
dos estudantes em termos de conhecimento matemático, das representações
empregadas e da influência da mediação tecnológica; entretanto, estas produções me
mostraram pouco sobre o processo de formulação de conjecturas e provas.
Observando apenas as respostas escritas ficou muito difícil saber como as interações
sociais contribuíram nesses processos, bem como saber em que momentos o uso do
Consecutivo foi mais significativo. Para revelar estes aspectos, analisei as interações
das três duplas vídeo-gravadas. A metodologia utilizada nesta análise é discutida na
próxima seção.
165
6.2 A análise das interações vídeo-gravadas
A análise das interações das três duplas vídeo-gravadas ocorreu em várias
etapas e teve como propósitos (1) trazer à tona possíveis padrões nas ações dos
estudantes ao resolverem as tarefas propostas no Consecutivo, (2) descrever a
estrutura dos argumentos empregados pelos estudantes para criar conjecturas e
provas e (3) revelar como as interações sociais e como a tecnologia contribuíram para
a formulação de conjecturas e provas.
Figura 80: Transcrição das falas da dupla B&G na Tarefa Exploratória 1, no primeiro teste.
166
Na primeira etapa de análise, assisti a todos os vídeos coletados e transcrevi34
as falas dos participantes. A Figura 80 apresenta um trecho da transcrição das falas
da dupla B&G ao resolver a Tarefa Exploratória 1, proposta no primeiro teste. É
possível notar que cada fala da transcrição é precedida pelo tempo em que ela
ocorreu. Desta forma, é possível saber que as participantes despenderam pouco mais
de um minuto para resolver a primeira tarefa proposta a elas. Pelo conteúdo da
conversa, é possível notar que, a princípio, elas não sabiam como começar a
atividade, mas com poucas observações, ações e discussões, elas chegaram à
resposta esperada para a questão.
Depois da transcrição, criei pequenos relatórios destacando, entre colchetes,
as ações mais relevantes dos participantes ao resolver cada uma das tarefas
propostas. A Figura 81 mostra o relatório criado para as interações da dupla B&G ao
resolver a Tarefa Exploratória 1, proposta no primeiro teste.
Figura 81: Protocolo com as interações da dupla B&G na Tarefa Exploratória 1, no primeiro teste.
Para determinar como as interações sociais mediaram as produções dos
participantes, eu analisei os vídeos de cada dupla, tentando revelar quais foram os
fatores que motivaram as discussões entre os participantes e quais foram os fatores
34 Eu utilizei o software Inqscribe para fazer as transcrições. Com este programa é possível temporalizar as
interações dos participantes criando links entre as falas dos mesmos e o tempo em que elas foram proferidas.
167
que motivaram minhas intervenções. Para isso, toda vez que eu observava uma
conversa entre os mesmos numa determinada tarefa, eu escrevia no meu relatório o
motivo de tal conversa, por exemplo, “dúvida no enunciado da questão”, “ideia para
resolver a tarefas”, “opinião contrária à do outro colega” etc. Fiz também um
procedimento semelhante toda vez que observava alguma intervenção de minha
parte.
Visando descobrir qual tarefa proposta motivou mais discussões entre os
participantes, determinei o tempo que cada dupla utilizou para resolver cada questão
e, também, determinei o volume de interações em cada tarefa.
Figura 82: Volume de Interação entre os participantes, pesquisadora e tecnologia.
Para determinar o tempo que cada dupla utilizou para resolver cada tarefa,
utilizei apenas as marcas temporais que já estavam na transcrição de suas falas. Para
determinar o volume de interações em cada tarefa, enquanto eu assistia aos vídeos,
eu atribuía o valor 1 para as tarefas em que poucas interações ocorreram entre os
participantes, o valor 2 para as tarefas em que as interações ocorreram de forma
moderada e o valor 3 para as tarefas em que as interações ocorreram de forma
intensa. Observando a Figura 82, é possível compreender o critério usado para
decidir se ocorreram poucas, moderadas ou intensas interações entre os
participantes.
Pouca Interação: relações
unilaterais entre estudantes, estudante e
tecnologia e/ou estudante e pesquisadora.
Moderada Interação:
relações unilaterais frequentes e relações bilaterais raras entre
estudantes, estudante e tecnologia e/ou estudante e
pesquisadora.
Intensa Interação:
relações unilaterais e bilaterais frequentes entre estudantes, estudante e
tecnologia e/ou estudante e pesquisadora.
168
Para as tarefas que envolviam a formulação de conjecturas e provas, realizei
ainda mais dois procedimentos. Primeiramente, transformei os protocolos dessas
tarefas em esquemas gráficos contendo as ações realizadas pelas duplas na
sequência em que elas ocorreram. Em cada ação, destaquei os elementos da
interface do Consecutivo que foram usados e as conjecturas e/ou justificativas
formuladas. Denominei estes esquemas de organogramas de ação. Na Figura 83, é
possível observar o organograma de ação da dupla G&N para a Tarefa Provar 1,
proposta no primeiro teste.
Figura 83: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 1, no primeiro teste.
Minha intenção ao criar os organogramas de ação foi a de observar a
existência de padrões no processo de formulação de conjecturas e provas com o
Consecutivo. Nestes organogramas, cada retângulo com borda preta indica uma ação
realizada pelos participantes. Os retângulos com borda laranja indicam as ferramentas
do Consecutivo as quais foram utilizadas para realizar determinada ação. Os
169
retângulos com bordas vermelhas mostram as conjecturas e justificativas
apresentadas pelos participantes, bem como as estratégias mais relevantes utilizadas
por eles em um determinado momento da tarefa. Os retângulos com borda verde
indicam minhas interpretações em determinado momento.
Para saber como as ferramentas disponíveis na interface e as interações
sociais mediaram o processo de formulação de conjecturas e provas, eu ainda
observei as discussões dos estudantes, tentando identificar quais dados, garantias,
reforços, qualificadores e réplicas foram utilizados para suportar a principal conclusão
de cada tarefa. Depois desta identificação, construí um esquema similar ao proposto
por Toulmin (2003) para cada tarefa realizada por cada uma das três duplas vídeo-
gravadas. Nestes esquemas, eu desenhei retângulos com bordas nas cores azul,
vermelha, preta, laranja e verde para representar, respectivamente, os dados, as
garantias, os reforços, os qualificadores/réplicas e as conclusões. Os retângulos com
borda contínua representam informações explícitas nas falas ou nas ações dos
participantes no computador. Os retângulos com bordas pontilhadas representam
inferências feitas por mim com base num conjunto de ações e falas dos participantes.
Ao construir os esquemas com a estrutura dos argumentos, notei que os
mesmos me permitiam saber “quais” informações os participantes utilizaram para
suportar suas conclusões, mas não me permitiam saber “quando” cada uma delas
veio à tona. Para adicionar certa temporalidade aos argumentos, coloquei um número
ao lado de cada informação expressa nos retângulos dos esquemas. Este número
representa o momento em que cada afirmação foi proferida ou acionada pela dupla.
Assim, por exemplo, a afirmação de número 2 veio à tona depois da afirmação de
número 1. Quando uma informação foi considerada implícita, eu a marquei apenas a
letra “i”. Acrescentei também um quadro na parte inferior do esquema destacando a
ordem com que cada elemento veio à tona e minhas interpretações. Na Figura 84, é
possível observar o esquema que eu construí para o argumento central apresentado
pela dupla B&G na Tarefa de Prova 4, no primeiro teste.
170
Figura 84: Estrutura do argumento da dupla B&G na Tarefa de Prova 4, no primeiro teste.
Para não me “perder” no processo de análise de dados, eu decidi que seria
mais produtivo separá-lo de acordo com o tipo de tarefa proposta ao participante
durante os testes com o Consecutivo. Desta forma, analisei primeiramente os dados
das Tarefas Explorar. Depois, analisei os dados das Tarefas Organizar, Conjecturar e
Provar, respectivamente. Por fim, considerei os principais resultados obtidos com a
análise de cada tipo de tarefa e verifiquei possíveis conexões e relacionamentos entre
eles. Uma discussão detalhada sobre cada uma destas etapas é apresentada nos
próximos capítulos.
(1) A soma de 8
consecutivos é par.
(2) Na tela, várias sequências
diferentes com 8 consecutivos
na reta numérica.
(4) A sequência tem 8
consecutivos.
(3) Quando temos uma quantidade par
de consecutivos, dá para somar par com
par e ímpar com ímpar (Falso).
(6i) Par + Par = Par
Ímpar + Ímpar = Par
Par + Ímpar = Ímpar
(5) 8 é um número par, quando a
quantidade de consecutivos é par a
soma é par (Falso).
(7) A menos que as garantias estejam erradas.
(I) Provável
C D G D Q G R
Tarefa: Informações do
enunciado e opinião da dupla
mediaram a conclusão e a
coleta dos primeiros dados.
Tarefa e mediação social: Informações do
enunciado, conclusões de outras tarefas e
discussões entre as participantes mediaram as
garantias e reforços.
Dados
Conclusão
Garantias
Reforços
Qualificador
Réplica
171
7. AS TAREFAS EXPLORAR
O Consecutivo é um ambiente digital dinâmico que contém múltiplas
representações para a sequência de números consecutivos, sua soma e produto.
Nesse ambiente, as Tarefas Explorar foram desenhadas para ter respostas rápidas e
simples e tinham como objetivo permitir aos estudantes a familiarização com a
interface do programa, com as potencialidades das ferramentas e com a utilização das
diferentes representações disponíveis.
As Tarefas Explorar também tinham como objetivo minimizar problemas
relacionados à translação entre as representações. Nesse sentido, a proposição
dessas tarefas levou em consideração o fato de que a quantidade de diferentes
representações disponibilizadas no ambiente, ao invés de promover aprendizado,
poderia fomentar confusões no raciocínio do aluno, uma vez que a tomada de
consciência das relações entre as representações não é imediata para o aprendiz
(Ainsworth et. al., 1997).
Neste capítulo, apresento minhas interpretações a respeito das interações e
das produções dos participantes nas Tarefas Explorar. Para que o leitor não se perca
nas explicações, apresento a Tabela 9. Nesta tabela, é possível verificar que, para
fins de análise, as Tarefas Explorar foram reorganizadas com uma numeração
diferente daquela proposta aos participantes nos testes. Por causa disso, inseri na
tabela uma coluna com os objetivos essenciais de cada tarefa e duas colunas para
verificar em que teste cada uma foi proposta. Cabe ressaltar que a descrição
detalhada dos objetivos das Tarefas Explorar já foi realizada nas seções 4.2.1 e 5.4.
Também é possível obter um resumo com os enunciados de todas as tarefas no Anexo
V.
Acrescentei também na Tabela 9 uma coluna com a relação “duplas que
acertaram/duplas que realizaram a tarefa”. Observando essa coluna, é possível
perceber que a maioria das duplas apresentou as respostas esperadas para quase
todas as Tarefas Explorar realizadas. Poucos erros foram encontrados. Esses erros
são discutidos e interpretados nas próximas seções.
172
Tabela 9: Lista simplificada dos objetivos das Tarefas Explorar.
TExp Objetivos Nº da tarefa
no 1º teste
Nº da tarefa
no 3º teste
Acertos/Quant.
de duplas
1 Movimentar as barras de rolagem e obter a
soma de uma sequência de consecutivos.
TExp 1 TExp 1 15/16
2 Movimentar as barras de rolagem e obter o
produto de uma sequência de consecutivos.
TExp 2 --- 2/2
3 Movimentar as barras de rolagem e obter o
primeiro número da sequência, dada a soma.
TExp 3 --- 2/2
4 Movimentar as barras de rolagem e obter o
primeiro número da sequência, dado o
produto.
TExp 4 TExp 2 16/16
5 Utilizar o Painel das Tartarugas e obter uma
sequência de números consecutivos
obedecendo a um critério de divisibilidade
para a soma.
TExp 5 TExp 7 16/16
6 Utilizar o Painel do Produto Retangular e
obter uma sequência de números
consecutivos obedecendo a um critério de
divisibilidade para o produto.
TExp 6 --- 2/2
7 Utilizar o Painel Resto e encontrar uma
regularidade para os restos de cada um dos
números de uma sequência de consecutivos.
TExp 7 TExp 5 16/16
8 Utilizar o Painel Fatoração e obter a forma
fatorada do produto de números
consecutivos.
TExp 8 --- 2/2
9 Usar o Painel Fatoração e obter os fatores
comuns dos produtos de três consecutivos.
TExp 9 TExp 3 14/16
10 Utilizar o Painel Algébrico e obter uma
expressão algébrica para soma de uma
sequência de números consecutivos.
TExp 10 TExp 6 12/16
11 Utilizar o Painel Fatoração e obter uma
sequência de consecutivos obedecendo a
certo critério de divisibilidade.
--- TExp 4 14/14
Nas próximas seções, discuto as representações empregadas pelos
participantes na redação de suas respostas, das estratégias e conceitos utilizados por
eles na solução das tarefas, dos papéis da tecnologia e da mediação social. Por fim,
apresentarei algumas conclusões, contrastando minhas pretensões ao propor as
Tarefas Explorar com os resultados observados.
173
7.1 As representações utilizadas nas respostas escritas
Nove das 11 Tarefas Explorar (excetuando-se as tarefas sete e dez) exigiam
que os participantes apresentassem como resposta uma sequência de números
consecutivos ou um número natural que poderia representar a soma, o produto ou
primeiro elemento da sequência. Para escrever tais respostas no papel, os alunos
preferiram representações numéricas, curtas e objetivas, o que já era esperado. Para
a Tarefa Explorar 1, por exemplo, a maioria das duplas observadas apenas escreveu
no papel o número 164. Somente uma dupla apresentou uma resposta escrita
contendo cálculos (Figura 85), o que indica que, neste caso, os participantes
prefeririam usar uma estratégia mais familiar para realizar a tarefa ou quiseram checar
se as respostas oferecidas pelo software eram confiáveis.
Figura 85: Resposta da dupla R&Y para a Tarefa Explorar 1.
A sétima Tarefa Explorar, que tratava dos restos das divisões dos números de
uma sequência de sete consecutivos, exigia que os estudantes tentassem extrair uma
regra geral de suas observações. Isto foi realizado por 15 das 16 duplas observadas.
Nestes 15 casos, os participantes preferiram redigir no papel representações em
língua natural. Muitos deles escreveram: “quando o primeiro número da sequência for
um múltiplo de 7” (Figura 86).
Na Tarefa 7, apenas uma dupla apresentou uma resposta numérica que
descrevia uma sequência particular de números consecutivos em que a regra
funcionava (Figura 87) e uma das 15 duplas mencionadas completou sua resposta
com uma expressão algébrica (Figura 88).
174
Figura 86: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Explorar 7.
Figura 87: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Explorar 7.
Figura 88: Resposta da dupla L&G para a Tarefa Explorar 7.
A análise dos vídeos revelou que a palavra “quando”, presente no enunciado,
parece ter levado os participantes a uma tentativa de resolução genérica. Os vídeos
também mostraram que a formulação dessa resposta genérica teve origem em ações
diferentes em cada dupla.
Para a dupla B&G, a regra geral originou-se em testes realizados com
diversas sequências de números consecutivos, mediados pelas representações do
painel Resto e pelas interações entre as participantes e a pesquisadora. A Figura 89
ilustra esta situação. Ela é uma adaptação35 das transcrições das falas da dupla B&G
ao resolver a Tarefa 7.
35 Para que o leitor possa compreender a medida em que estas adaptações se assemelham ao que ocorreu na
interação, eu apresento no Anexo IV com a transcrição completa das falas da dupla B&G ao resolver a Tarefa
Explorar 7.
175
Figura 89: Interação da dupla B&G na Tarefa Explorar 7.
Para a dupla L&M, a regra geral teve origem em estratégias e conceitos sobre
divisibilidade familiares a estudante L. Tais estratégias levaram a participante a ter um
insight sobre a solução da questão; no entanto, esse insight não foi suficiente para
convencer o outro integrante da dupla. Somente depois de manipular as barras de
rolagem e verificar os outputs na tela, M se convenceu de que a colega estava correta
(Figura 90).
Se você escolher 7 números
consecutivos e dividir cada
um deles por 7...
Onde divide
por 7? Veja no botão
Informação.
Quando os
quocientes são
iguais a dois.
Os restos são quase
consecutivos. Muda
mais um pouco.
Na pergunta está
pedindo “quando”
os restos são
consecutivos.
Sempre? Há
outros casos? Quando todos os
quocientes são
iguais.
176
Figura 90: Interações da dupla L&M na Tarefa Explorar 7.
A décima Tarefa Explorar exigia que o participante escrevesse uma expressão
algébrica para representar a soma de cinco números consecutivos. Das 16 duplas,
dez redigiram uma resposta algébrica simplificada: 5n + 10. Duas duplas
apresentaram uma resposta algébrica expandida (Figura 91) e quatro duplas
apresentaram uma resposta algébrica que representava apenas a sequência de
números consecutivos e não sua soma (Figura 92). O fato de a maioria dos
participantes ter redigido uma resposta algébrica curta e as observações realizadas
nos vídeos sugerissem que a simplificação de expressões algébricas é uma estratégia
familiar ao estudante, provavelmente por conta do currículo escolar.
Início
Participantes leem o
enunciado da tarefa.
Eu acho que o primeiro
número tem que ser
múltiplo de 7.
?
L tem um insight.
M aciona o
painel Resto e
coloca 7
números
consecutivos
na barra de
rolagem a
M modifica o
primeiro
número da
sequência para
um múltiplo de
7.
L pede que o
divisor também
seja alterado
para 7.
M faz um teste
com outro
múltiplo de 7 e
se convence.
177
Figura 91: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Explorar 10.
Ainda na Tarefa 10, os vídeos mostraram que as respostas redigidas pelas
duas duplas B&G e G&N, no primeiro teste, foram mediadas pelas representações do
painel Algébrico e pela discussão entre os participantes e a pesquisadora (Figura 94);
porém na dupla L&M, no terceiro teste, pouca interação ocorreu entre os estudantes
o que acarretou na escrita de uma resposta parcialmente correta (Figura 92).
Figura 92: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Explorar 10.
Figura 93: Resposta da dupla R&Y para a Tarefa Explorar 10.
De modo geral, independente da representação utilizada, a maioria das
respostas dos participantes, nas Tarefas Explorar, foi curta e objetiva, contendo não
mais de uma sentença. Nenhuma das fichas de respostas devolvidas pelas duplas
apresentou indícios de soluções parciais ou paralelas, como, por exemplo, rasuras de
cálculos realizados no canto da página. Somente uma dupla, na primeira tarefa,
apresentou uma resposta em que cálculos foram feitos explicitamente (Ver Figura 85).
Ao analisar outras respostas desta dupla, percebi que foi uma estratégia utilizada
apenas na primeira tarefa. De todas as respostas dadas pelas duplas em geral,
apenas três foram classificadas como incorretas (Figura 93, por exemplo) e quatro
classificadas como parcialmente correta (Figura 92, por exemplo).
178
Figura 94: Interações da dupla G&N na Tarefa Explorar 10.
A pouca quantidade de erros cometidos, as representações curtas e objetivas,
a rapidez com que as Tarefas Explorar foram respondidas me levaram a concluir que
os participantes lidaram facilmente com as ferramentas básicas disponibilizadas na
tela do Consecutivo. Além disso, eles foram capazes de manusear as barras de
rolagem para controlar os outputs da soma e do produto na tela do computador e esse
controle contribuiu para que os mesmos resolvessem as tarefas propostas.
7.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do
Consecutivo
O enunciado das Tarefas Explorar explicitamente mencionava termos como:
números consecutivos, soma, produto, fatoração, divisibilidade e soma algébrica. Por
isso, era necessário que os participantes tivessem ao menos uma ideia superficial a
respeito dos mesmos. Não era necessária extrema destreza com cálculos mentais,
nem a memorização de propriedades relativas à teoria dos números, uma vez que o
Participantes
colocam 5 na
quantidade de
números
consecutivos e
modificam o valor do
primeiro número.
Participantes
continuam
modificando o valor
do primeiro número e
observam que as
expressões
algébricas não se
alteram.
Acho que devemos
juntar as expressões.
Participantes escrevem
resposta curta: 5n + 10 e
expandida: n+(n+1)+(n+2)+
(n+3)+(n+4)
179
Consecutivo foi programado para executar as operações e apresentar representações
que dariam suporte ao participante para a conferência da fatoração e da divisibilidade.
Durante a resolução das Tarefas Explorar, nenhum dos participantes pediu
explicações a respeito do conceito de números consecutivos, soma e produto. Os
vídeos também mostraram que esses conceitos não foram motivos de discussão entre
os participantes das três duplas filmadas. Isto mostra que tais conceitos são familiares
aos participantes, provavelmente pelo fato de estarem presentes no currículo escolar
abordado no Ensino Fundamental.
O conceito de fatoração também pareceu familiar aos participantes. As tarefas
8, 9 e 11 faziam menção direta à ideia de fatoração. Além de compreender as
representações do painel, que mostrava a forma fatorada de cada um dos números
de uma sequência de consecutivos, os participantes foram capazes de utilizá-las para
escrever a forma fatorada do produto dos números consecutivos e representar esse
resultado de forma reduzida, agrupando uma sequência de fatores iguais numa
potência (Figura 95). Estas observações sugerem que os estudantes usam estratégias
e conceitos familiares para a interpretação das representações dos painéis e para a
resolução das tarefas.
Figura 95: Comparação entre representação no painel Fatoração e a resposta da dupla M&Y para a
Tarefa Explorar 9.
O conceito de divisibilidade esteve explicitamente presente nas tarefas 5, 6, 7
e 11. Os participantes não tiveram dificuldades em lidar com o mesmo e, por muitas
vezes, mostraram ter conhecimentos específicos dentro deste domínio. A participante
L, por exemplo, utilizou uma propriedade da divisibilidade por 9 na resolução da Tarefa
180
5: se a soma dos algarismos for divisível por 9, o número será divisível por 9. A
participante B, na resolução da Tarefa 9, afirmou que todo número par é divisível por
2 e que, como dois é um número primo, nenhum outro número par poderia ser. A
destreza em dividir mentalmente também foi observada nos participantes. O estudante
G, por exemplo, na resolução da Tarefa 5, afirmou que 60 era divisível por 4 sem fazer
nenhum teste no computador ou no papel.
A Tarefa 11 exigia implicitamente que os alunos relacionassem os conceitos
de fatoração e divisibilidade. O enunciado desta tarefa dizia: Escreva uma sequência
de números consecutivos cujo produto seja um número divisível por 13. Das 14 duplas
que responderam esta tarefa, 12 apresentaram como resposta uma sequência
contendo o número 13 (Figura 96).
Figura 96: Resposta da dupla M&C para a Tarefa Explorar 11.
O fato de a maioria das respostas apresentar uma sequência de consecutivos
contendo o número 13 indica que os participantes conseguiram relacionar a ideia de
multiplicação com a ideia de divisibilidade: Se 𝑛 = 13 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏, a e b inteiros, então n é
divisível por 13. A análise dos vídeos mostrou que esta relação veio à tona de forma
espontânea, como uma consequência da interação entre os participantes. Para ilustrar
essa situação, apresento a Figura 97 que contém um esquema com a transcrição
adaptada das interações entre os participantes da dupla L&M.
Ainda na Tarefa 11, duas duplas apresentaram como resposta uma sequência
que não continha o número 13, mas continha um múltiplo dele como, por exemplo, a
sequência 25, 26 e 27. Isto sugere que, para estes estudantes, a presença do número
13 na fatoração dos elementos da sequência levaria a uma resposta que atendesse
às condições do enunciado. Essa solução pode ser uma evidência de que a relação
entre fatoração e divisibilidade é familiar para tais participantes: Se 13 é um fator de
n, então n é divisível por 13.
181
Figura 97: Interações da dupla L&M na Tarefa Explorar 11.
A Tarefa 10 solicitava explicitamente que os estudantes escrevessem uma
expressão algébrica para a soma dos elementos de uma sequência de cinco números
consecutivos. No painel algébrico, era possível visualizar uma representação
algébrica para cada elemento da sequência; todavia, a soma algébrica desses
elementos deveria ser representada pelos participantes. Esperava que as discussões
realizadas entre os mesmos, atreladas ao uso de estratégias familiares para este tipo
de situação, contribuíssem para o sucesso na tarefa (um esquema pode ser visto na
Figura 94). As respostas escritas mostraram que 12 das 16 duplas (ver Tabela 9) a
responderam corretamente. Isso é uma evidência de que grande parte dos
participantes estava familiarizada com a ideia de soma algébrica.
Use o botão fatoração e escreva
uma sequência...
Tem que ser divisível por treze. Ele tem que estar na sequência. Tem que estar aparecendo aqui (L aponta
para a reta). Coloca qualquer coisa que tenha
13.
Ah! Entendi. É só colocar 11, 12 e o 13 vai aparecer.
M coloca 3 números consecutivos na reta e
modifica o primeiro número da sequência usando as
barras de rolagem.
182
Na próxima seção, focalizo as interações das três duplas vídeo-gravadas com
o propósito de descrever o processo o qual levou à resolução das Tarefas Explorar.
Nessa descrição, destacarei o papel mediador das ferramentas e representações do
Consecutivo.
7.3 O desenvolvimento das Tarefas Explorar e o papel do
Consecutivo
As tarefas 1 a 4 tinham objetivos muito similares. No que diz respeito ao uso
do software, a intenção era fazer com que os participantes movimentassem as barras
de rolagem que controlam a quantidade de números consecutivos e o primeiro número
da sequência percebendo, ao mesmo tempo, como esse movimento controla os
valores da soma, do produto e as representações presentes nos painéis. O tempo de
interação com o programa e a natureza das respostas escritas (numéricas e curtas)
indicaram que estas tarefas foram de fácil compreensão e realização, como previsto.
Os alunos manipularam as barras de rolagem com destreza e associaram os dados
do enunciado com os rótulos da interface. O uso dos recursos do programa ficou
restrito ao manuseio das barras de rolagem, dos movimentos da soma, do produto e
da reta, mas isto também era esperado para estas quatro tarefas iniciais.
A análise dos vídeos mostrou que os participantes desenvolvem estratégias
para resolver as tarefas usando como base os outputs da soma e do produto na tela
do programa. Durante a realização da Tarefa 3, por exemplo, a participante G, da
dupla B&G, apresentou sugestões para a colega de como a tarefa deveria ser
resolvida. Para isso, G levou em consideração as ações realizadas na tarefa anterior
e que ainda tinham os resultados preservados na tela do computador. A seguir,
apresento um esquema adaptado da transcrição da interação entre as participantes
(Figura 98). Foi possível notar que a tarefa foi realizada com extrema rapidez, em
aproximadamente 20 segundos, e que o insight de G foi essencial na resolução.
183
Figura 98: Interações da dupla B&G na Tarefa Explorar 3.
As Tarefas Explorar 5 a 11 foram propostas tendo em vista que os alunos
explorassem as características e potencialidades das diversas representações
disponíveis nos painéis de representação, bem como trouxessem à tona conceitos de
múltiplos, divisores, divisibilidade, restos, fatoração e soma algébrica.
O fato de o enunciado das tarefas 5 a 11 possuir indicações explícitas para o
uso dos painéis de representação fez com que todas as duplas acionassem os
mesmos; contudo, nem sempre este acionamento indicou o uso efetivo da
representação contida nos painéis para a resolução das tarefas.
Nas tarefas 5, 6 e 11, por exemplo, por muitas vezes, as duplas controlaram
os outputs da soma e do produto por meio da movimentação das barras de rolagem
de modo que fosse possível escolher valores cuja divisibilidade pudesse ser conferida
por meio de cálculo mental. Isto ficou evidente nas falas do aluno G durante a
resolução da Tarefa 6:
[00:05:53.29] G: Produto retangular... escreva três números...
[00:06:06.09] G: Produto dividido por quatro.
[00:06:07.22] G: Vai nos primeiros números pra eu ver. Às vezes é mais fácil.
Informação preservada a
tela devido à resolução da
tarefa 2
Qual é o primeiro número de uma sequência de 5
consecutivos cuja soma é 110?
Ah, é só procurar a soma
110. É menos que 30. A
gente sabe disso porque
o 30 dá 160 (aponta para
a tela). Ou seja, pra dar
110 na soma tem que ter
menos de 30.
184
As palavras de G podem também ser vistas como uma evidência de que os
participantes desenvolvem estratégias de resolução pautadas no controle dos
hotspots disponíveis no programa de modo a favorecer o uso de conceitos com os
quais eles já estão familiarizados. Neste caso, o participante controlou as barras de
rolagem de modo que a sequência de números consecutivos começasse com os
primeiros números naturais, o que geraria produtos cuja divisibilidade por quatro seria
fácil de verificar por meio de cálculo mental. Esta estratégia inibiu o uso dos painéis
de representação como fonte para a resolução de algumas tarefas.
Os vídeos mostraram que a estratégia de cálculo mental, discutida
anteriormente, nem sempre levou os participantes à resposta da tarefa. Nestes casos,
as limitações dessa estratégia fizeram com que os estudantes acessassem os painéis
de representação e compreendessem seu conteúdo. Isto ficou evidenciado pelos
acessos ao botão Informação e pela necessidade de minhas intervenções para
explicar detalhes das representações. A seguir, apresento um trecho da transcrição
da interação entre as participantes B&G, representando um momento em que o botão
Informação foi acionado na tentativa de compreender a representação do painel
Produto Retangular durante a realização da Tarefa 6.
[00:08:04.12] G: Use o produto retangular e escreva uma sequência de três números
consecutivos cujo produto seja um número divisível por 4 (participantes lendo o
enunciado da tarefa 6).
[00:08:10.15] G: Ah, essa é fácil.
[00:08:11.22] B: Pera aí.
[00:08:16.15] G: É quatro números ou três?
[00:08:18.18] B: Quatro. Três.
[00:08:22.19] B: Três.
[00:08:29.10] G: Clica no Izinho36 senão a gente não vai saber.
A estratégia de cálculo mental também não inibiu o acesso ao painel de
representações quando os participantes tiveram curiosidade para compreender o
conteúdo do mesmo. Isto pode ser evidenciado principalmente na Tarefa 5, que
envolvia o uso do Painel das Tartarugas. A dupla L&M, por exemplo, respondeu a
36 As participantes B&G chamavam de Izinho o botão Informação.
185
tarefa com um insight da participante L, mas, mesmo assim, acionou o painel das
Tartarugas para tentar compreender a dinâmica das representações (Figura 99).
Figura 99: Interações da dupla L&M na Tarefa Explorar 5.
Nas tarefas 7 a 10, os painéis de representações foram mais utilizados como
fonte para a resolução das tarefas. Tais tarefas exigiam que os participantes
pensassem nos restos de algumas divisões, na forma fatorada do produto de uma
sequência de números consecutivos e na forma algébrica da soma de uma sequência
de números consecutivos. Os participantes encontraram mais dificuldades de utilizar
estratégias baseadas em cálculo mental para esses conceitos, o que parece justificar
o intenso uso dos painéis de representações.
Para as tarefas 7 a 10, a utilização do Consecutivo pelos participantes foi além
da manipulação das barras de rolagem para controlar os valores da soma e do
produto. Nessas tarefas, o controle das barras de rolagem começou a ficar associado
com as mudanças ocorridas nas representações dos painéis. A observação dessas
Escreva uma sequência de 4 consecutivos cuja soma seja
divisível por 9 (lendo).
Para o número ser
divisível por 9 a soma
dos algarismos deve
ser múltiplo de 9.
18 dá certo, 1 + 8 = 9. Agora,
aciona o botão da Soma.
Organiza em 9. Entendeu? São duas filas de 9
sem sobra.
Estudantes organizam as barras
186
mudanças serviu como fonte de inspiração para os participantes formularem suas
respostas (Ver Figura 94) e desempenhou um papel no convencimento da validade
de seus próprios insights ou dos insights do colega (Ver Figura 90).
Durante a análise dos vídeos, algumas situações chamaram minha atenção
por envolverem confusões realizadas pelos participantes, o que poderia indicar a
necessidade de redesign, ou ainda, uma limitação do ambiente pelo fato do mesmo
conter múltiplas representações.
A Tarefa 2, por exemplo, pedia que os participantes olhassem para o produto
dos números consecutivos, entretanto a dupla B&G apresentou como resposta a
soma. Este pareceu um descuido isolado, mas pode ter sido causado pelo excesso
de informações na tela ou pela característica do enunciado da tarefa, que era muito
parecido com o enunciado da questão anterior que exigia a soma dos números
consecutivos. Algo parecido ocorreu na Tarefa 5, em que os participantes de uma das
duplas estavam olhando para pontos diferentes da tela enquanto discutiam a mesma
ideia.
Outra confusão ocorreu durante a resolução da Tarefa 4. Esta tarefa tinha
uma lógica inversa à tarefa anterior e a dupla L&M tentou realizar uma ação inversa
também, o que não era suportado pelo programa. A dupla tentou digitar valores para
o produto, esperando que o computador modificasse o valor do primeiro número e a
quantidade de números consecutivos nas barras de rolagem. Como suas ações não
deram resultado, os participantes acionaram cada um dos painéis de representação
para tentar resolver a tarefa; no entanto, o acionamento dos botões de representação
pela dupla não levou ao uso efetivo destas ferramentas para a resolução da tarefa.
O enunciado também foi motivo de confusão em algumas tarefas por causa
da complexidade do texto, da natureza das representações nos painéis, ou ainda, por
erros de digitação no conteúdo do mesmo. Estas confusões se fizeram notar por meio
das tentativas de acionamento do botão Informação pelos participantes e da
necessidade de minhas intervenções para dar explicações paralelas sobre o objetivo
da tarefa.
O botão Informação foi inserido na interface de cada painel na tentativa de
auxiliar o estudante quando o mesmo tivesse dificuldade de compreender o significado
das representações. Na versão do Consecutivo utilizada no primeiro teste, o conteúdo
187
das informações foi apresentado de forma escrita aos alunos. Na versão do terceiro
teste, o conteúdo foi apresentado na forma escrita e na forma de vídeo.
Figura 100: Interações da dupla B&G na Tarefa Explorar 5.
Ambas as duplas participantes do primeiro teste utilizaram o botão Informação
por diferentes razões, por sugestão minha, por sugestão de um colega, ou por livre e
espontânea vontade. A dupla B&G, por exemplo, acionou o botão Informação pela
primeira vez enquanto resolvia a Tarefa 5, por sugestão minha, para compreender a
representação do painel das Tartarugas. Depois disso, as participantes passaram a
acionar o botão espontaneamente, toda vez que não compreendiam como a
representação do painel poderia ajudar na resolução da tarefa proposta. Na dupla
G&N, o primeiro acionamento ocorreu durante a resolução da Tarefa 6,
espontaneamente, para compreender a representação do painel, e muitas vezes
depois, da mesma forma. A dupla L&M, diferentemente, não acionou o botão
Informação nenhuma vez durante a resolução das Tarefas Explorar; porém, a análise
dos vídeos que gravavam a dinâmica da classe como um todo mostrou que diversas
duplas participantes do terceiro teste acessaram o botão Informação quando
Vocês entenderam as tartaruguinhas, aquelas
pequenas que sobraram?
Sim. As pequenininhas são
os números ½ ou 7,5.
A quantidade de
tartarugas dentro
do retângulo é
próxima ao valor
da soma.
Então, as tartaruguinhas
completam a soma.
E se a soma for
divisível por 6
teremos um
retângulo completo.
188
apresentaram dificuldades em compreender as representações dos painéis ou o
conteúdo do enunciado.
As instruções presentes no botão Informação nem sempre foram suficientes
para esclarecer as dúvidas dos estudantes. Isto ficou evidenciado com a necessidade
de minhas intervenções em alguns casos. Para ilustrar esta situação, apresento a
Figura 100 que contém um esquema com a transcrição adaptada das interações entre
os participantes da dupla B&G na Tarefa 5. O trecho em questão ilustra também a
capacidade dos participantes em compreender as representações dos painéis quando
interagem uns com os outros ou com a pesquisadora.
As interações entre os participantes e entre a pesquisadora e os participantes
contribuíram também para o processo de resolução das Tarefas Explorar. Na próxima
seção discuto o papel da mediação social nesse processo.
7.4 As interações sociais nas Tarefas Explorar
Em todos os testes realizados com o Consecutivo, os participantes
trabalharam em duplas na frente de um computador. Esta não foi uma escolha
ingênua. O Consecutivo foi desenhado na intenção de promover a elaboração de
conjecturas, bem como a formulação de provas para as mesmas. Ambientes
mediados por interações sociais podem potencializar o alcance destes objetivos37.
Assim que os participantes começaram a resolver as Tarefas Explorar, notei
que cada um deles assumia papeis diferentes no decorrer das interações. Por
exemplo, assim que cada tarefa iniciava, um dos participantes assumia o controle do
mouse e o outro, quase que imediatamente, passava a dar instruções de como as
barras de rolagem deveriam ser posicionadas para atender às exigências do
enunciado da tarefa. O controle do mouse trocava de mãos nos momentos em que o
participante observador queria conferir algo que o colega realizou ou quando o mesmo
queria realizar outras ações que não foram compreendidas pelo colega enquanto as
instruções foram passadas. Este ciclo “Manipulação – Observação – Troca de papeis
37 Veja Garuti et. al. (1996), Balacheff, (1999) e Lakatos, (1976) para mais detalhes.
189
– Teste” gerou uma série de discussões entre os participantes e contribuiu
significativamente para que as Tarefas Explorar fossem resolvidas.
Com a Tabela 10 é possível verificar quanto tempo (em segundos) foi
despendido por cada dupla para resolver cada uma das Tarefas Explorar. As cores
Vermelha, Amarela e Verde representam o volume de interações em cada tarefa,
respectivamente, Pouca, Moderada e Intensa.
Tabela 10: Tempo (segundos) despendido por cada dupla na resolução das Tarefas Explorar e
Volume das Interações ocorridas.
Dupla TEx 1 TEx 2 TEx 3 TEx 4 TEx 5 TEx 6 TEx 7 TEx 8 TEx 9 TEx 10 TEx 11
G&N 7 29 56 17 78 31 81 91 38 56 ---
B&G 74 33 21 34 199 280 303 154 100 85 ---
L&M 75 --- --- 136 221 --- 149 --- 386 40 99
É possível perceber que o volume de interações cresceu38 conforme as tarefas
foram realizadas, com três exceções apenas. Uma das explicações para este
crescimento no volume das interações está no fato de que, a partir do item 5, as tarefas
passaram a exigir que os participantes acionassem os botões de representação; isso
gerou discussões sobre o significados das mesmas, bem como a necessidade de
intervenção da minha parte. É curioso notar que a Tarefa 5 teve intensa interação para
as três duplas analisadas. Vale lembrar que esta tarefa envolvia o uso do painel das
Tartarugas, cuja representação se mostrou atrativa pelo seu aspecto figural. A dupla
L&M despendeu 386 segundos para responder a Tarefa 9. Este foi o maior tempo
aferido para a solução de uma Tarefa Explorar; no entanto, este caso está associado
a um volume intenso de interação, o que explica em parte o tempo excessivo. Por
outro lado, a dupla G&N despendeu apenas 7 segundos para responder à primeira
tarefa. Em tal caso, houve pouca interação entre os participantes.
A análise dos vídeos apontou três fatores como os principais
desencadeadores das discussões entre os participantes: (1) a negociação entre os
38 A título de curiosidade, a relação entre o tempo dispendido pelas duplas na resolução das Tarefas Explorar e o
volume de interações ocorridas é estatisticamente significante. Quanto maior o volume de interação, maior o
tempo gasto pelos participantes (r = .65, p < .001). Aproximadamente 43% da variância nos tempos são explicadas
pela variância do volume das interações, o que representa um moderado effect size.
190
integrantes da dupla sobre como posicionar corretamente as barras de rolagem e
acionar o painel solicitado no enunciado da tarefa, (2) dúvidas a respeito do conteúdo
do enunciado e das representações dos painéis e (3) tentativas de explicar uma ideia
para a resolução da tarefa. A medida com que estes fatores ocorreram nas interações
de cada dupla vídeo-gravada está na Tabela 11.
Tabela 11: Quantidade de Tarefas Explorar em que os motivos das discussões ocorreram levando-se
em consideração as interações de cada dupla vídeo-gravada.
Quantidade de Tarefas Explorar
Código Motivo da discussão B&G G&N L&M Total
1 Negociação posição das barras/painel 8 6 5 19
2 Dúvida no enunciado e representação 3 3 3 9
3 Tentativa de explicar uma ideia 7 4 4 15
A Tabela 11 mostra que grande parte das discussões entre os participantes
estava relacionada à necessidade dos mesmos lidarem como a interface do
Consecutivo, discutindo como as barras de rolagem e as ferramentas disponíveis
deveriam ser utilizadas, ou ainda, discutindo o significado das representações dos
painéis e dos enunciados. A tentativa de explicar uma ideia também teve destaque
como fator desencadeador de discussões.
O trecho apresentado na Figura 101 foi extraído de um dos relatórios de
observação redigidos por mim para descrever as interações ocorridas durante a
resolução da Tarefa 9 pela dupla L&M. Com a leitura deste trecho, é possível perceber
que os três fatores presentes na Tabela 11 podem ocorrer durante a resolução da
mesma tarefa.
Figura 101: Protocolo com as interações da dupla L&M na Tarefa Explorar 9, no terceiro teste.
191
As minhas intervenções contribuíram para aumentar o volume das interações
ocorridas em cada tarefa. A análise dos vídeos apontou quatro fatores os quais
favoreceram a ocorrência de intervenções de minha parte: (1) Dificuldades dos
participantes em compreender o objetivo da tarefa ou o texto do enunciado, (2)
necessidade de explicar conceitos matemáticos, (3) necessidade de explicar a
utilidade das representações dos painéis e (4) necessidade de instigar os participantes
para que eles pudessem relacionar o conteúdo das representações aos objetivos da
tarefa. Analisei as interações de cada dupla em cada tarefa, com isso, foi possível
estabelecer em que medida estes fatores ocorreram. A Tabela 12 apresenta os
resultados destas observações.
Tabela 12: Quantidade de Tarefas Explorar em que os motivos das intervenções da pesquisadora
ocorreram levando-se em consideração as interações de cada dupla vídeo-gravada.
Quantidade de Tarefas Explorar
Código Fator B&G G&N L&M Total
0 Sem intervenção 3 10 5 18
1 Dificuldades com a tarefa 3 - 1 4
2 Explicação de conceitos 1 - - 1
3 Explicação da representação 4 - - 4
4 Instigação 1 - 1 2
Em 18 dos 27 casos analisados, não houve necessidade de intervenção de
minha parte, o que reforça a ideia de que a interface do Consecutivo foi de fácil
assimilação por parte dos participantes. Grande parte das intervenções ocorreu com
a dupla B&G para que fosse explicado o significado das representações dos painéis,
o que justifica a interação intensa, ocorrida a partir da resolução da quinta tarefa (ver
Tabela 10). Não houve nenhuma intervenção minha para a dupla G&N, por exemplo.
Isto pode explicar porque esta dupla teve apenas um momento de interação intensa
durante a resolução de uma única tarefa (ver Tabela 10). A dupla L&M contou com
minhas intervenções em apenas dois momentos, nas tarefas 9 e 11, isso sugere que
outros motivos influenciaram a intensa interação entre os participantes nas tarefas 4,
5 e 7 (ver Tabela 10 e Tabela 11).
Ao observar os resultados da análise do papel da mediação social no processo
de resolução das Tarefas Explorar, posso ter uma ideia das possíveis interações que
192
ocorreriam em sala de aula, caso o Consecutivo fosse utilizado. É possível ver que os
estudantes conversam bastante entre si para tentar compreender as ferramentas da
interface e resolver as tarefas propostas. Eles têm uma postura “desbravadora”, pois
exploram cada botão e cada painel de várias maneiras. Quando dificuldades surgem,
eles tomam atitudes variadas, tais como (1) chamar o professor, (2) pressionar o botão
informação, (3) navegar pelas ferramentas e pelos painéis de representação e (4)
apelar para estratégias de resolução mais familiares. De forma geral, eles são bem
sucedidos ao resolver as primeiras tarefas propostas.
Para finalizar minhas discussões sobre as Tarefas Explorar, na próxima seção,
apresento alguns parágrafos descrevendo aquilo que eu percebi ser comum nas
interações observadas neste tipo de tarefa.
7.5 Considerações sobre as Tarefas Explorar
Como relatado anteriormente, dois fatores justificaram a presença das Tarefas
Explorar na interface do Consecutivo: (1) tornar as ferramentas do programa familiar
aos estudantes e (2) reduzir os problemas enfrentados pelos estudantes com a
translação entre as representações. Estes objetivos foram alcançados parcialmente.
A análise das respostas escritas e das interações vídeo-gravadas mostraram
que os participantes manusearam com destreza as barras de rolagem de modo a
controlar os outputs da soma e do produto. Neste sentido é possível dizer que os
estudantes se familiarizaram com a interface do Consecutivo e aprenderam a lidar
com as ferramentas do ambiente.
Por outro lado, os participantes utilizaram pouco os painéis de representação
como fonte de resolução para as tarefas. Para resolver as tarefas propostas, os
estudantes deram preferência a estratégias e a conceitos com os quais já estavam
habituados a lidar rotineiramente. Os painéis de representação do Consecutivo foram
somente usados como fonte para a resolução das tarefas quando a complexidade das
mesmas limitou as possibilidades de uso destas estratégias rotineiras.
Algumas dificuldades dos participantes em lidar com o Consecutivo foram
identificadas. Em grande parte dos casos, essas dificuldades estavam atreladas à
193
compreensão do enunciado da tarefa, à compreensão de uma específica
representação, ou ainda, ao fato do ambiente possuir múltiplas representações para
os números consecutivos, sua soma e seu produto. A complexidade da representação
e da conexão entre várias representações também pode ser apontada como uma
razão para os estudantes preferirem o uso de conceitos e estratégias familiares como
fonte para a resolução da tarefa.
A análise das interações vídeo-gravadas mostrou que as representações do
Consecutivo têm o potencial de servir como fonte na resolução das tarefas propostas;
entretanto, este potencial está atrelado à natureza da tarefa e às interações sociais
entre os participantes e entre as duplas e a pesquisadora.
Estas considerações trazem implicações para um futuro redesign do ambiente,
principalmente, no que se refere à criação de tarefas específicas para promover o
desenvolvimento de estratégias relacionadas às representações. Tais tarefas
precisam limitar o uso do cálculo mental pelos estudantes e, mais do que isso, ter sua
resolução extremamente relacionada às representações disponibilizada e às relações
entre elas.
Neste contexto, vislumbra-se a necessidade de criação de tarefas as quais
relacionem a fatoração do produto de números consecutivos com a divisibilidade
desse produto por um número natural, o qual limite as ações do aluno dentro das
ferramentas presentes na interface. Além disso, tarefas que relacionem a soma dos
números consecutivos com a divisibilidade dessa soma por um número natural, o qual
propicie o uso efetivo do painel das Tartarugas, uma vez que essa representação
despertou o interesse dos participantes.
No próximo capítulo, apresento os principais resultados da análise realizada
sobre as Tarefas Organizar.
194
8. AS TAREFAS ORGANIZAR
As Tarefas Organizar tinham o propósito de fornecer aos estudantes exemplos
de argumentos mais formais, baseados nas representações presentes na interface do
Consecutivo, bem como engajá-los num processo de organização dedutiva de ideias.
Foram propostas quatro tarefas deste tipo aos participantes do terceiro teste. Uma
lista simplificada dos objetivos de cada uma delas e a frequência de acertos pode ser
conferida na Tabela 13. Vale ressaltar que os objetivos deste tipo de tarefa já foram
discutidos de forma detalhada na seção 5.4.
Tabela 13: Objetivos das Tarefas Organizar e a relação acertos/participantes.
TOrg Objetivo Acertos/ participantes
1 Organizar num texto os argumentos a respeito da soma de dois números consecutivos.
12/14
2 Organizar numa rede os argumentos a respeito da soma de dois números consecutivos.
11/14
3 Organizar numa rede os argumentos a respeito da soma de cinco números consecutivos.
11/14
4 Organizar numa rede os argumentos a respeito do produto de três números consecutivos.
10/14
Das 14 duplas participantes do terceiro teste, dez apresentaram respostas
escritas para as quatro Tarefas Organizar propostas, uma dupla apresentou resposta
para três tarefas, uma dupla apresentou resposta para apenas uma tarefa e duas
duplas não responderam nenhuma delas. Ao analisar os vídeos os quais mostram a
interação da turma como um todo, foi possível perceber que três duplas não
completaram as Tarefas de Organizar pois chegaram atrasadas à aula e lhes faltou
tempo para concluir a atividade.
Como esperado, todas as respostas escritas dos participantes
corresponderam àquelas previstas por mim, o que ratifica a ideia de que o output do
botão Ok influenciou suas produções.
A Tabela 14 apresenta de forma resumida as opiniões dos estudantes a
respeito das Tarefas Organizar. É possível notar que grande parte dos participantes
195
apontou que o enunciado das tarefas foi de fácil compreensão e não houve
dificuldades maiores em lidar com elas.
Tabela 14: Opinião dos participantes a respeito das Tarefas de Organização39.
Enunciado Claro? Tarefa Difícil? Tarefa ajudou a provar?
Muito 11 2 4
Parcialmente 8 4 8
Pouco 2 8 7
Nada - 7 1
Apesar de oito participantes terem apontado que as Tarefas Organizar
ajudaram minimamente nas Tarefas Provar, ao analisar as provas produzidas pelos
mesmos, notei possíveis conexões. As duplas G&D, A&D e B&D, por exemplo,
apresentaram uma prova com argumentos baseados na ideia de fatoração na Tarefa
Provar 4 (Figura 102, Figura 103 e Figura 104). Estes argumentos são extremamente
parecidos com aqueles presentes na Tarefa Organizar 4 (Figura 72). Além destas
duplas, outras duas também apresentaram respostas similares.
Figura 102: Resposta da dupla G&D para Tarefa de prova 4.
39 Vinte e três dos 29 participantes do terceiro teste responderam ao questionário de opinião. Entretanto, alguns
questionários respondidos apresentaram questões em branco.
196
Figura 103: Resposta da dupla A&D para a Tarefa de Prova 4.
Figura 104: Resposta da dupla B&G para a Tarefa de Prova 4.
As interações da dupla L&M me forneceu informações para compreender o
processo de solução das Tarefas Organizar, verificando como as ferramentas do
Consecutivo e as interações sociais contribuíram para as soluções apresentadas.
Com a análise dos vídeos foi possível perceber que os participantes
resolveram as Tarefas Organizar com bastante cuidado, tentando posicionar os
argumentos de forma coerente na tela do computador.
A Tabela 15 apresenta de forma resumida o tempo despendido pela dupla
L&M na realização de cada tarefa, o volume de interações e os motivos os quais
levaram os participantes a discutir ideias entre si. Não houve dificuldades por parte
desta dupla em manusear as ferramentas do programa para resolver estas tarefas.
De forma geral, eles levaram pouco tempo para resolvê-las e grande parte das
interações ocorreu por conta do conteúdo dos argumentos e não por conta de
197
problemas relacionados ao uso da interface. Além disso, não houve necessidade de
intervenção da pesquisadora em momento algum.
Tabela 15: Tempo de resolução, volume e motivo das interações da dupla L&M durante as Tarefas Organizar.
TOrg Tempo (s) Volume de interações Motivo das interações
1 190 Moderado Discussão sobre testes realizados com as barras de rolagem e painel Soma Animal.
2 380 Intenso Instruções para o posicionamento dos argumentos e discussão sobre a maneira correta de conectá-los.
3 124 Pouco Explicação sobre o posicionamento dos argumentos.
4 67 Pouco Discussão de argumentos adicionais.
A primeira Tarefa Organizar pedia que o participante organizasse na forma de
texto os argumentos oferecidos para validar a ideia de que a soma de dois números
consecutivos é sempre um número ímpar. Estes argumentos faziam referência à
forma algébrica do número ímpar e à representação do painel Soma Animal (Figura
72). A dupla L&M rapidamente organizou os argumentos de forma coerente. Depois
da leitura do texto já organizado, a participante L começou a fazer testes
movimentando as barras de rolagem e observando simultaneamente as
representações do painel Soma Animal. É possível interpretar que estes testes foram
realizados com a intenção de compreender o conteúdo dos argumentos oferecidos,
uma vez que eles eram baseados nas representações do painel Soma Animal, o qual
não é tão familiar ao estudante.
Durante a resolução da Tarefa Organizar 2, a dupla deveria organizar na
forma de rede os argumentos oferecidos para a ideia de que a soma de dois números
consecutivos é sempre ímpar. Cabe ressaltar que a conjectura era a mesma da tarefa
anterior, mas os argumentos tinham uma estrutura diferente. Nesta tarefa, os
argumentos se referiam somente à forma algébrica do número ímpar e a linguagem
do texto era mais formal. Os participantes organizaram rapidamente os argumentos
na forma de rede. Apesar de o controle do mouse estar com o participante M, a
organização dos argumentos ocorreu por meio de um processo de negociação entre
eles. Depois da organização, o botão OK foi pressionado e a dupla não recebeu uma
198
resposta positiva do computador. Imediatamente depois da resposta do computador,
o participante M trocou a posição de dois argumentos. Pressionou novamente o botão
Ok e obteve uma resposta positiva. A participante L não compreendeu porque o colega
trocou os dois argumentos e ambos começaram uma discussão a respeito da
coerência da resposta do computador. Nesta discussão, M justifica a troca dizendo ter
se baseado em certos termos que apareceram no texto do argumento, como a palavra
“logo”. Isto indica que a troca dos argumentos foi intencional e teve como ponto de
partida a resposta do botão Ok. A Figura 105 ilustra esta interação.
Figura 105: Interação da dupla L&M na Tarefa Organizar 2.
A terceira e a quarta Tarefas Organizar foram respondidas com muita rapidez
pelos participantes. A Tarefa 3, por exemplo, continha o maior número de argumentos
a serem organizados na forma de rede e, mesmo assim, os participantes lidaram muito
bem com a interface. Além disso, na Tarefa 4, imediatamente depois da leitura do
enunciado, o participante M ofereceu novos argumentos para complementar àqueles
disponíveis na tela. O trecho da transcrição das interações da dupla, mostrado a
seguir, ilustra esta ação.
[00:11:08.08] L: (Lê o enunciado da quarta tarefa de organização)
M troca a posição de
dois argumentos.
Por que você mudou a posição?
Porque eu
vi escrito
“logo”
Mas isso não está
certo porque deveria
terminar dizendo que
a+b é ímpar.
199
[00:11:19.26] M: Ah, porque quando o número é divisível por seis, tem que ser por
dois e por três. Por serem três números, um deles vai ser par e outro vai ser múltiplo
de três.
Em síntese, as discussões anteriores me fizeram perceber que, durante a
resolução das Tarefas Organizar, a dupla (1) fez testes com as barras de rolagem e
com as representações do painel Soma Animal para compreender e verificar a
plausibilidade dos argumentos presentes na tela, (2) discutiu a coerência dos
argumentos dentro da organização em rede e (3) apresentou argumentos
suplementares àqueles já disponíveis na tarefa.
Depois da análise de todas as respostas escritas e das interações vídeo
gravadas da dupla L&M, é possível dizer que os participantes lidaram com as Tarefas
Organizar com certa facilidade. Eles compreenderam a proposta das atividades,
utilizaram as ferramentas do software para compreender os argumentos
apresentados, recorreram a recursos textuais, enquanto resolviam as tarefas e
forneceram novos argumentos e explicações para algumas conjecturas propostas.
A presença do botão Ok direcionou as ações dos participantes para a
apresentação de respostas já esperadas; todavia, ele também promoveu discussões
a respeito da coerência da posição dos argumentos no texto.
Foi possível perceber certa influência das Tarefas Organizar nas provas
elaboradas pelos participantes em questões posteriores. Isto ficou evidente
principalmente nas tarefas que envolviam a ideia de divisibilidade e fatoração.
Nos próximos capítulos, apresento uma discussão a respeito das interações
dos participantes nas Tarefas Conjecturar e Provar.
200
9. AS TAREFAS CONJECTURAR
Apesar de as tarefas propostas aos estudantes participantes do primeiro e do
terceiro teste do Consecutivo terem enunciados similares, por vezes idênticos, de um
teste para outro, devido ao redesign do ambiente, algumas delas apareciam para o
participante em painéis diferentes com o título de Tarefas de Prova, Tarefas Provar
ou Tarefas Conjecturar. Esta mudança visou principalmente tornar a interação do
estudante menos cansativa e mais produtiva, como foi discutido nas seções 4.2.2 e
5.4.
Para fins de análise, todavia, reavaliei os objetivos de cada tarefa proposta,
tentando evidenciar quando uma tarefa fomentava a produção de conjecturas e
quando ela fomentava a produção de justificativas. Depois desta reavaliação, foram
consideradas como Tarefas Conjecturar aquelas as quais exigiam que o estudante
identificasse uma regularidade e explicasse por que a mesma ocorria. Foram
classificadas como Tarefas Provar as questões em que uma conjectura foi oferecida
ao estudante, de forma explícita ou implícita, para que ele concordasse, discordasse,
ou apresentasse uma justificativa sobre sua validade.
Tabela 16: Lista simplificada dos objetivos das Tarefas Conjecturar.
TConj Objetivos Nº da tarefa
no 1º teste
Nº da tarefa
no 3º teste
Acertos/quant.
de duplas
1 Conjecturar a respeito da soma de dois
números consecutivos e explicar por que a
conjectura ocorre.
TPro 1 TOrg 1 e 2 2/2
2 Conjecturar a respeito da soma de quatro
números consecutivos e explicar por que a
conjectura ocorre.
TPro 2 TConj 1 16/16
3 Conjecturar a respeito do produto de dois
números consecutivos e explicar por que a
conjectura ocorre.
TPro 8 TConj 2 16/16
4 Conjecturar a respeito do produto de três
números consecutivos e explicar por que a
conjectura ocorre.
TPro 10 TOrg 4 2/2
A Tabela 16 apresenta os objetivos das quatro tarefas que considerei como
Tarefas Conjecturar depois da minha reavaliação. Além disso, com a tabela é possível
201
visualizar como estas tarefas apareceram para o estudante no primeiro e no terceiro
teste do Consecutivo e verificar a relação “duplas que acertaram/duplas participantes”.
Analisei as Tarefas Conjecturar em duas etapas. Na primeira, observei
somente as repostas escritas de todas as duplas participantes com o objetivo de
verificar (1) as representações empregadas nas respostas escritas, (2) em que medida
as duplas propuseram conjecturas válidas, (3) quais argumentos foram usados para
sustentá-las e (4) de que maneira os discursos escritos teriam vindo à tona devido às
interações dos participantes com o Consecutivo.
Na segunda etapa, analisei as ações das três duplas vídeo-gravadas com o
objetivo de compreender o processo de formulação de conjecturas e argumentos, bem
como identificar padrões de ações relativas à resolução deste tipo de tarefa. Com a
observação dos vídeos foi possível (1) compreender o papel do Consecutivo e das
interações sociais na formulação de conjecturas e dos argumentos e (2) identificar a
origem e a estrutura destes argumentos.
A seguir, apresento uma síntese das minhas observações, análises e
interpretações nestas duas etapas.
9.1 As representações utilizadas nas respostas escritas
Todas as duplas participantes nos dois testes formularam pelo menos uma
conjectura válida para cada uma das Tarefas Conjecturar propostas. Não houve
tarefas sem respostas, nem tarefas com conjecturas inválidas. As representações
utilizadas para expressar as conjecturas foram as mais variadas. Para a Tarefa
Conjecturar 2, por exemplo, a dupla G&N apresentou sua conjectura usando uma
representação numérica (Figura 106), a dupla A&D preferiu uma resposta mista
contendo elementos algébricos e em língua natural (Figura 107).
A Tabela 17 apresenta a relação entre os tipos de representação utilizados
nas respostas escritas dos participantes e a quantidade de tarefas com que essas
respostas apareceram em cada um dos testes do Consecutivo.
202
Tabela 17: Tipos de representações usados para responder às Tarefas Conjecturar e a quantidade de tarefas com que elas apareceram em cada teste.
Tipo de representação Quantidade no Teste 1
Quantidade no Teste 3
Total
Estritamente Numérica 1 - 1
Estritamente em Língua Natural 5 8 13
Mista: Numérica e algébrica. - 2 2
Mista: Numérica e em Língua Natural 2 4 6
Mista: Algébrica e em Língua Natural - 12 12
Mista: Algébrica, numérica e em língua natural. - 2 2
Total 8 28 36
Figura 106: Resposta da dupla
G&N para a Tarefa Conjecturar 2.
Figura 107: Resposta da dupla A&D para a Tarefa
Conjecturar 2.
Observando a Tabela 17 é possível notar que as duplas participantes do
primeiro teste preferiram redigir seus discursos usando representações em língua
natural e não utilizaram em nenhum momento expressões algébricas para representar
no papel suas conjecturas e as explicações do porque elas ocorrem; no entanto, a
falta de expressões algébricas nos discursos escritos não foi um indicativo de que os
estudantes não conseguiam expressar ideias genéricas. Ao contrário, percebi que
eles foram capazes de formular regras gerais, mas por não estarem muito
familiarizados com a escrita dessas regras gerais de forma algébrica, preferiram
expressar suas ideias usando a língua materna (Figura 109).
Os vídeos revelaram que, no primeiro teste, na dupla G&N, o participante N
tentou algebrizar o padrão que ele tinha percebido para o produto de dois números
consecutivos, mas o participante não foi além na sua tentativa, pois seu colega G
mostrou não compreender o que ele estava falando. O trecho a seguir é parte da
203
transcrição das interações entre N e G ao resolverem a Tarefa Conjecturar 3. Nele é
possível ver o discurso de N no momento em que tentou algebrizar os padrões
observados. Este trecho também é uma evidência de que a generalização de padrões
observados pode não ser expressa de forma algébrica devido a fatores relacionados
à interação social.
[00:09:47.10] G: Esse “mais dois” vai acumulando com “mais dois”, “mais dois”,...
[00:09:50.10] N: “Mais dois”, “mais dois”. É que nem aquele n que multiplica... n elevado a a-
1. Só que sem o a-1.
[00:10:01.00] G: Não entendi. Você já complicou vai.
A Tabela 17 ainda mostra que, em contrapartida, os participantes do terceiro
teste recorreram muitas vezes para representações algébricas em seus discursos
escritos. Muitos deles também associaram representações algébricas com
representações numéricas e com representações em língua natural (Figura 108).
Ainda é possível perceber que, em oito dos 28 casos analisados no terceiro teste, os
participantes preferiram representar no papel suas conjecturas e argumentos usando
apenas a língua materna. Isto também pode ser considerado um indicativo de que
muitos deles ainda não estavam familiarizados com o uso de representações
algébricas para expressar ideias gerais, o que fez com que eles preferissem usar
representações em língua natural para isso.
Figura 108: Resposta da dupla M&Y para a Tarefa Conjecturar 3.
204
O aparecimento de representações algébricas nas respostas escritas pelos
participantes do terceiro teste e a falta dessas representações nas respostas escritas
no primeiro teste pode ser explicado pela diferença de idade e de nível escolar entre
os participantes. Os participantes do terceiro teste eram estudantes do 2° ano do
Ensino Médio, enquanto os participantes do primeiro teste eram estudantes do 9° do
Ensino Fundamental. Esta diferença pode explicar porque os participantes do primeiro
teste não estavam tão familiarizados com o uso de expressões algébricas para
representar ideias genéricas enquanto grande parte dos participantes do terceiro teste
estava.
Apesar da presença de representações figurais na interface do Consecutivo
no painel Soma Tartaruga (primeiro teste) e no painel Soma Animal (terceiro teste),
nenhuma das duplas participantes tentou elaborar conjecturas e argumentos usando
representações figurais no papel. Alguns fatores que podem explicar esta situação
foram apresentados na seção 7.3, onde discuti as interações ocorridas durante a
resolução das Tarefas Explorar. Durante a fase de exploração do ambiente, percebi
que os participantes raramente acessaram e/ou usaram as representações figurais
como fonte para a resolução das tarefas propostas, mesmo quando havia indicações
explícitas para seu uso. Os vídeos também revelaram que as duplas fizeram mais uso
dos dados gerados pelas barras de rolagem e pela reta numérica para resolver as
Tarefas Explorar do que dos dados gerados pelas representações dos painéis
disponíveis. Interpreto que estes fatores podem ter contribuído para a existência de
uma preferência para o uso de conjecturas e argumentos pautados na observação de
padrões numéricos ao invés de padrões figurais.
Na próxima seção, apresento uma discussão a respeito do conteúdo
matemático presente nas conjecturas e argumentos formulados pelos participantes.
Além disso, aponto as possíveis relações entre estas produções e o uso do
Consecutivo.
205
9.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do
Consecutivo
Nesta seção, para fins de apresentação, eu faço uma síntese das produções
dos participantes por Tarefa Conjecturar proposta, destacando os conceitos
matemáticos utilizados, as conjecturas formuladas e os argumentos criados para
justificá-las. Disserto também a respeito das possíveis conexões entre as produções
dos participantes e as interações com o Consecutivo, principalmente nos casos em
que não tive acesso às ações dos estudantes.
Como o leitor notará, durante minhas discussões, enfatizo os argumentos das
justificativas dos participantes nas situações em que os mesmos mostraram
explicitamente suas intenções de validar as conjecturas formuladas para vários casos.
Nos casos das justificativas das duplas vídeo-gravadas, estas intenções foram
extraídas do discurso dos estudantes ao interagirem entre si e com o Consecutivo. No
caso das duplas que não foram vídeo-gravadas, estas intenções foram extraídas de
elementos das respostas escritas, como o uso das palavras “sempre”, “nunca”,
“sempre que”, “toda vez” etc.
Começo minhas discussões pelas Tarefas Conjecturar 1 e 4, pois elas foram
propostas40 somente aos participantes do primeiro teste. Neste caso, além de ter
acesso às respostas escritas, observei também as ações dos estudantes.
Na Tarefa Conjecturar 1, G&N afirmaram que a soma de dois números
consecutivos equivale ao dobro do segundo número da sequência menos um (Figura
109). Embora a conjectura dos participantes tenha sido acrescida de um caso
particular, pela análise dos vídeos, foi possível perceber que o exemplo dado não foi
redigido na tentativa de mostrar que a conjectura era válida sempre. O participante
queria apenas explicar como esta conjectura surgiu, como ele a percebeu.
40 No primeiro teste, estas duas tarefas foram propostas como Tarefas de Prova. No terceiro teste, foram propostas
como Tarefas Organizar. Entretanto, neste último, o objetivo não era fazer com que os participantes formulassem
conjecturas, mas que organizassem argumentos previamente oferecidos pelo programa.
206
Figura 109: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Conjecturar 1.
Ainda na Tarefa 1, a dupla B&G conjecturou que a soma de dois números
consecutivos é sempre um número ímpar. Observando a Figura 110, é possível
perceber que as participantes apresentaram um argumento baseado na ideia de
paridade numa tentativa de mostrar que a conjectura é válida sempre.
Figura 110: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Conjecturar 1.
Apesar de este argumento parecer inválido, pela observação dos vídeos foi
possível perceber que as participantes consideraram a conjectura sempre verdadeira
porque perceberam que numa sequência de dois números consecutivos sempre há
um número par e um número ímpar e porque já estavam familiarizadas com a ideia
de que a soma de um número par com um número ímpar sempre dará resultado ímpar.
A discrepância entre as discussões realizadas pela dupla e a resposta no papel parece
ser resultado das dificuldades de transladar as ideias matemáticas da fala para a
escrita.
Na Tarefa Conjecturar 4, G&N afirmaram que o produto de três números
consecutivos era sempre par e divisível por três. A dupla justificou a afirmação dizendo
207
que, na fatoração deste produto, os números dois e três sempre aparecem (Figura
111). Analisando os vídeos, foi possível perceber que os participantes constataram
por meio de cálculo mental a divisibilidade por dois e por três, mas se empenharam
em buscar justificativas mais robustas para esta regularidade. Esta busca fez com que
os participantes acessassem os painéis de representação disponíveis no Consecutivo
e discutissem suas ideias mais frequentemente entre si e com a pesquisadora. O uso
da palavra “sempre” e a ideia de fatoração no discurso escrito dos participantes
indicam que as interações com o Consecutivo fomentaram a formulação de
argumentos cuja intenção foi generalizar o alcance da conjectura.
Figura 111: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Conjecturar 4. Grifo adicionado pela pesquisadora.
Ainda na Tarefa Conjecturar 4, a dupla B&G afirmou que o produto de três
números consecutivos era sempre um número par, mas não apresentou argumentos
para explicar porque a conjectura ocorreria. Pelos vídeos, foi possível perceber que
as participantes se engajaram numa tentativa de explicar porque a conjectura era
válida sempre, mas que as interações sociais e as interações com o Consecutivo não
foram suficientes para conseguirem elaborar argumentos que elas considerassem
válidos.
A Tarefa Conjecturar 2, que tratava da observação de regularidades na soma
de quatro números consecutivos, e a Tarefa Conjecturar 3, que tratava das
regularidades no produto de dois números consecutivos, foram propostas em ambos
os testes e foram respondidas por 16 duplas.
Cinco conjecturas diferentes vieram à tona durante a resolução da Tarefa
Conjecturar 2 e os argumentos para sustentá-las foram os mais diversos como mostra
a Tabela 18.
208
Tabela 18: Conjecturas e argumentos escritos formulados pelos participantes na Tarefa Conjecturar 2.
Conjecturas Argumentos
1)
A soma de quatro números consecutivos
aumenta de 4 em 4.
A) A soma é da forma 4n+6 de forma que sempre
que aumentamos 1 a n, aumentamos 4 a soma
[2 duplas].
B) A soma é da forma 4n+6, com n sendo o
número inicial [1 dupla].
C) Para cada número da sequência somamos 1.
Como temos quatro números, somamos 4 ao
final [3 duplas].
D) Vários casos particulares mostrando que as
somas aumentam de 4 em 4 [1 dupla].
E) Sem argumento [1 dupla].
2) Caso se altere o 1° número, a soma final é
acrescida da quantidade de números
consecutivos.
F) Na sequência de 4 números consecutivos se
aumenta 4 na soma cada vez que aumenta o
primeiro número [1 dupla].
3) A soma de quatro números consecutivos é
da forma 4n+6, sendo n o primeiro número
da sequência.
G) n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6 [2 duplas]
H) Para cada número da sequência somamos 1.
Como temos quatro números, somamos 4 ao
final [1 dupla]
I) A soma é igual a soma anterior, partindo de 0,
somada de 1. A fórmula geral é o número de
consecutivos, vezes o primeiro número da
sequência somado do fatorial de (n-1) [1
dupla].
J) Sem argumento [1 dupla]
4) A próxima soma é igual à soma atual
somada ao próximo número depois da
sequência, subtraído do primeiro número da
sequência atual.
K) Sem argumentos [1 dupla].
5) A soma de quatro números consecutivos é
um número par.
L) Com quatro consecutivos é possível somar par
com par e ímpar com ímpar [1 dupla].
Algumas das produções dos participantes foram além das minhas
expectativas. Eu já esperava que as conjecturas 1, 3 e 5 (Tabela 18), por exemplo,
aparecessem como uma consequência da interação dos participantes com as barras
de rolagem, com a observação da soma dos números consecutivos e com a
observação do painel algébrico. Em contrapartida, as conjecturas 2 e 4 (Tabela 18)
foram uma surpresa. A conjectura 2, por exemplo, parece ter se originado do interesse
dos participantes em estender a regularidade observada na soma de quatro números
consecutivos para sequências contendo mais elementos. A conjectura 4 pode ter
209
vindo à tona com a manipulação das barras de rolagem, seguida da observação
simultânea dos valores expressos na reta numérica e na soma e com a tentativa de
encontrar uma relação numérica entre os elementos dessa sequência e a soma dos
mesmos.
Parte dos argumentos utilizados pelos participantes para responder à questão
“explique por que essa conjectura ocorre” também foi além dos esperados e discutidos
na seção 4.2.2. O argumento I (Tabela 18) da dupla M&C foi o que mais me chamou
atenção. Apesar de os participantes terem usado, inapropriadamente, o termo “fatorial
de n-1” para se referir à soma 0+1+2+3+...+n, o argumento mostra que eles tentaram
dar um significado aos parâmetros da expressão 4n+6, afirmando que 4 é relativo à
quantidade de números consecutivos que a sequência possui, n é relativo ao primeiro
número da sequência e o 6 é relativo à soma dos números consecutivos quando o
primeiro número é zero (Figura 112). É possível que a conjectura de que a soma de
quatro números consecutivos é da forma 4n+6 tenha surgido das interações dos
participantes com o painel algébrico, o que já era esperado; no entanto, o argumento
para sustentar esta afirmação parece ter surgido das tentativas dos participantes em
explicar porque esta conjectura é válida sempre, como indicam os termos grifados na
Figura 112. Esta tentativa pode ter sido mediada pela observação simultânea das
barras de rolagem, dos elementos na reta numérica e dos valores da soma.
Figura 112: Resposta da dupla M&C para a Tarefa Conjecturar 2. Grifo adicionado pela pesquisadora.
A dupla G&D apresentou uma resposta baseada em argumentos bastante
generalizadores para a pergunta “explique por que essa regularidade ocorre” (Figura
113). É possível interpretar que os participantes já compreendem o poder
generalizador dos argumentos algébricos e os utilizaram para mostrar que sua
conjectura seria válida sempre. É possível notar que a conjectura dos estudantes
também é baseada numa expressão algébrica. Tal expressão algébrica poderia ter
210
vindo à tona com a interação dos participantes com o painel Algébrico presente no
Consecutivo (Figura 114).
Figura 113: Resposta da dupla G&D para a Tarefa
Conjecturar 2.
Figura 114: Painel Algébrico na
Tarefa Conjecturar 2.
Apesar da diversidade de respostas com representações algébricas, somente
percebi evidências de uma tentativa de generalização nos argumentos fornecidos por
quatro duplas na Tarefa 2: os argumentos das duplas vídeo-gravadas L&M (Figura
116) e B&G (Figura 117) e os argumentos da dupla M&C e M&Y (Figura 112 e Figura
115), que apesar de não terem sido vídeo-gravadas, deixaram explícito na resposta
escrita que a intenção do argumento mostraria que a conjectura era sempre válida.
Figura 115: Resposta da dupla M&Y para a Tarefa Conjecturar 3. Grifo adicionado pela pesquisadora.
Ao observar as interações das duplas vídeo-gravadas, percebi que as
conjecturas na Tarefa 2 tiveram origem na observação dos resultados da soma
disponibilizados na tela do computador. Com estas observações, os participantes
perceberam que as somas de quatro números consecutivos formavam a sequência 6,
211
10, 14, 18,... Quando observaram esta sequência, as duplas G&N e L&M concluíram
que a soma aumentava de 4 em 4. Diferentemente, a dupla B&G concluiu que a soma
era sempre um número par.
Figura 116: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Conjecturar 2.
Pelos vídeos, percebi que os participantes G&N não tentaram escrever no
papel argumentos os quais mostrassem que a conjectura seria sempre válida. Os
argumentos apresentados por esta dupla visaram explicar como os participantes
chegaram à conjectura que eles formularam (Figura 106). Em contrapartida, as duplas
B&G e L&M revelaram interesse em mostrar que a conjectura formulada era sempre
verdadeira. B&G basearam seus argumentos na ideia de paridade (Figura 117). Já
L&M basearam seus argumentos na percepção de que a estrutura da soma varia
quando se altera o primeiro número da sequência (Figura 116).
Figura 117: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Conjecturar 2.
Treze conjecturas diferentes foram redigidas pelos participantes como
resposta à Tarefa Conjecturar 3. A dupla L&P, que não foi vídeo-gravada, apresentou
duas conjecturas nesta tarefa. Os argumentos escritos para suportar estas
conjecturas foram os mais variados como mostra a Tabela 19.
212
Tabela 19: Conjecturas e argumentos escritos formulados pelos participantes na Tarefa Conjecturar 3.
Conjectura Argumento
1) O produto de dois números consecutivos é sempre
par.
A) Par vezes ímpar dá par. [1 dupla]
B) Sem argumento [1 dupla]
2) O produto atual será o produto anterior mais a
quantidade de consecutivos vezes o primeiro
número da sequência
C) Sem argumento [5 duplas]
3) A diferença do produto de (n-1)n para n(n+1) é igual
a 2n.
4) O produto segue a ordem de n+2, ou seja, o produto
recebe 2, 4, 6,... quando o primeiro número é
variado.
5) Sempre é somado 2 a diferença de produtos.
6) O produto será o produto anterior mais duas vezes
o primeiro elemento da sequência.
7) n.m = R + (R+2) D) Vários casos particulares mostrando
que as diferenças seguem a
sequência 2, 4, 6, 8,... [1 dupla]
8) O produto aumenta 2, 4, 6,8,..., 2n E) (n+1)n-n(n-1)=n²+n-n²+n=2n com n
sendo o segundo número da
sequência. A dupla apresenta casos
para exemplificar a ideia. [1 dupla]
F) Vários casos particulares mostrando
que as diferenças seguem a
sequência 2, 4, 6, 8,... [1 dupla]
G) Sem argumento [1 dupla]
9) n.m = (m-1)(n-1)+2n H) m²-m+2(m+1)
m²-m+2m+2
m.n=m²+m
A dupla apresenta casos para
exemplificar a ideia. [1 dupla]
10) O produto é dado pela expressão n(n+1)+2(n+1) I) n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2) [1 dupla]
11) O produto é da forma n²+n com n sendo o primeiro
número da sequência.
J) n(n+1)=n²+n [2 duplas]
12) O produto da próxima sequência é a soma atual + 1
+ o produto atual.
K) (2n+1)+1+(n²+n)=(n+1)(n+2)
[1 dupla]
13) Os produtos vão aumentando de valor (em relação
ao produto da sequência anterior) na proporção da
soma de seus valores subtraído de 1.
L) Sem argumento [1 dupla]
213
Eu esperava que os participantes percebessem, não necessariamente de
forma simultânea, que o produto de dois números consecutivos (1) é sempre par, (2)
é da forma n²+n ou (3) aumenta de acordo com a sequência 2, 4, 6,.., 2n. Foi possível
notar que as conjecturas 1 a 11 foram formuladas na tentativa de expressar pelo
menos uma destas percepções; contudo, as conjecturas 12 e 13 parecem ter partido
de ideias que ficaram fora das minhas previsões. Estas conjecturas estabeleceram
uma relação entre a soma e o produto da sequência de dois números consecutivos.
Para a dupla L&P, a conjectura 12 pareceu surgir das operações algébricas que os
participantes executaram sobre as representações no papel (Figura 118). A dupla
M&C, que propôs a conjectura 13, não ofereceu argumentos para sustentá-la, o que
sugere que a conjectura tenha se originado pelas observações simultâneas dos
valores da soma e do produto disponíveis na tela e que essas observações foram
suficientes para convencer os participantes (Figura 119).
Figura 118: Resposta da dupla L&P para Tarefa Conjecturar 3.
Figura 119: Resposta da dupla M&C para a Tarefa Conjecturar 3.
Na Tarefa Conjecturar 3, embora muitos argumentos oferecidos como resposta
à pergunta “explique por que essa regularidade ocorre” tenham sido representados de
forma algébrica (Figura 108 e Figura 118, por exemplo), não pude avaliar de forma
acurada se os discursos escritos dos participantes tiveram como objetivo mostrar que
214
a conjectura formulada era sempre válida, uma vez que em nenhum deles notei a
presença das palavras “sempre”, “sempre que”, “nunca”, “nenhum”, “todos”.
Na Tarefa Conjecturar 1, G&N afirmaram que a soma de dois números
consecutivos equivale ao dobro do segundo número da sequência menos um (Figura
109). Embora a conjectura dos participantes tenha sido acrescida de um caso
particular, pela análise dos vídeos, foi possível perceber que o exemplo dado não foi
redigido na tentativa de mostrar que a conjectura era válida sempre. O participante
queria apenas explicar como esta conjectura surgiu, como ele a percebeu.
Em contrapartida, a dupla B&G percebeu rapidamente que o produto entre
dois números consecutivos era sempre um número par. As participantes se
empenharam em explicar porque a conjectura era sempre válida. Durante as
discussões várias ideias foram construídas e refutadas, até que as participantes
chegaram a um acordo e afirmaram que o produto entre um número par e um número
ímpar seria sempre par; no entanto, quando questionadas, as participantes não
souberam explicar porque esta propriedade era válida. A participante B tentou explicar
que o dobro de um número ímpar era sempre par porque ela sabia que a soma de
dois ímpares seria sempre par também. Mas B não levou estas discussões adiante.
Ao avaliar os resultados da análise das Tarefas Conjecturar, podemos ter uma
ideia das possíveis interações que ocorreriam em sala de aula caso o Consecutivo
fosse utilizado. É possível esperar que o aprendiz consiga completar os objetivos das
Tarefas Conjecturar, ou seja, que ele perceba padrões, formule conjecturas e
justificativas. Além disso, podemos esperar que as produções escritas destes
estudantes tenham o potencial de contemplar conceitos como os de paridade,
fatoração, divisibilidade, soma e produto de termos algébricos. Quanto ao tipo de
argumento, podemos esperar justificativas baseadas em casos específicos e também
justificativas mais generalizadoras.
A seguir, descrevo como ocorreram as interações entre os participantes entre
si e as minhas intervenções no processo de resolução das Tarefas Conjecturar.
215
9.3 As interações sociais nas Tarefas Conjecturar
De forma análoga ao que foi feito na análise das Tarefas Explorar na seção
7.4, determinei o tempo despendido por cada dupla na realização de cada Tarefa
Conjecturar e o volume das interações ocorridas. Os resultados destas observações
estão representados na Tabela 20. Nela é possível verificar o tempo, em segundos,
que cada dupla despendeu em cada tarefa e o volume de interações que está
representado pelas cores vermelha, amarela e verde, correspondendo,
respectivamente, a pouca, moderada ou intensa interação entre os participantes.
Tabela 20: Tempo (segundos) despendido por cada dupla na resolução das Tarefas Conjecturar e Volume das interações ocorridas.
Dupla TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4
G&N 152 158 296 1221
B&G 350 110 721 305
L&M - 185 373 -
Observando a Tabela 20 é possível perceber que as interações entre as
duplas, durante a resolução das Tarefas Conjecturar, ocorreram de forma moderada
para intensa. Este conjunto de tarefas parece ter levado os participantes a discutirem
mais frequentemente entre si e com a pesquisadora e, principalmente, recorrerem ao
uso das ferramentas disponíveis no programa para formularem e justificarem suas
conjecturas.
O menor tempo registrado para a resolução de uma Tarefa Conjecturar foi
associado à dupla B&G na Tarefa 2. Ao observar os vídeos, foi possível perceber que
as participantes formularam rapidamente uma conjectura e uma justificativa pelo fato
do conteúdo da tarefa ser extremamente similar ao da tarefa anterior.
O maior tempo registrado foi associado à dupla G&N na Tarefa 4. Aqui, os
vídeos mostraram que os participantes formularam rapidamente a conjectura, mas se
engajaram numa tentativa de justificá-la, buscando argumentos mais robustos. Eles
acessaram diversos painéis de representação, discutiram muitas vezes entre si e com
a pesquisadora até conseguirem elaborar uma justificativa que os satisfizesse.
216
Pela Tabela 20 ainda é possível observar que as duas primeiras tarefas
tiveram maior frequência de interações moderadas, enquanto as duas últimas tiveram
maior frequência de interações intensas. A média dos tempos de resolução também
é maior para as duas últimas tarefas (M = 583,2 s) do que para as duas primeiras (M
= 191 s). Estas diferenças podem ser explicadas considerando o conteúdo das tarefas.
As duas primeiras tinham como objetivo envolver os alunos na formulação de
conjecturas e justificativas relacionadas à soma de uma sequência de números
consecutivos. As duas últimas se referiam ao produto destes números. Além disso, é
possível notar que o crescimento das somas envolvia a percepção de quantidades
constantes (o crescimento das somas de dois números consecutivos varia de dois em
dois, por exemplo) enquanto o crescimento do produto envolvia a percepção de
quantidades variáveis (o crescimento do produto de dois números consecutivos varia
de acordo com a sequência 2, 4, 6,..., 2n, por exemplo). Estes fatores podem explicar
porque os participantes tiveram maior facilidade em perceber e explicar regularidades
relacionadas à soma do que ao produto de números consecutivos e,
consequentemente, precisaram interagir mais entre si e com o programa no último
caso.
As interações entre os participantes ocorreram por diversas razões: (1) para
discutir a melhor maneira de posicionar e modificar as ferramentas do programa de
modo a contemplar as exigências da tarefa, (2) quando um dos participantes
apresentou dúvidas sobre o conteúdo da tarefa e das representações e (3) quando os
participantes precisaram dar ou receber explicações a respeito das conjecturas e
argumentos formulados. A Tabela 21 apresenta a frequência de tarefas com que cada
uma destas razões veio à tona.
Tabela 21: Quantidade de Tarefas Conjecturar em que os motivos das interações ocorreram em cada dupla vídeo-gravada.
Quantidade de tarefas por dupla
Código Motivo da discussão B&G G&N L&M Total
1 Negociação posição das barras/painel 2 2 - 4
2 Dúvida no enunciado e nas representações dos painéis 3 2 2 7
3 Tentativa compreender ou explicar conjecturas e argumentos
4 2 2 10
217
Observando a Tabela 21 é possível perceber que a tentativa de compreender
ou explicar conjecturas e argumentos foi um dos motivos que mais promoveu
discussão entre os participantes, principalmente na dupla B&G. Pelos vídeos, foi
possível observar que, em quase todas as tarefas analisadas, o participante que
formulou a conjectura ou o argumento para sustentá-la teve que dar explicações ao
colega sobre a maneira como estava pensando. Nesta tabela, também é possível
notar que as discussões envolvendo o posicionamento das barras de rolagem e o
acionamento dos painéis tiveram pouca frequência. Se compararmos com a fase de
exploração (Tabela 11), vemos que as discussões em torno deste tema diminuíram, o
que pode indicar que os participantes internalizaram algumas características do
ambiente.
Figura 120: Organograma de ação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 4.
B:
Teste B:
Conjectura
G:
Refuta B:
Refuta
Controla barras
e o produto
O produto
é sempre
par
Tem 81 no
resultado G olhava a
soma e não
o produto.
B:
Prova B&G:
Acordo
Tem mais
pares na
sequência.
B:
Prova
Par é
superior
ao ímpar
B:
Prova
2x3 é 6
e 6 é o
DOBRO
de 6
G:
Refuta
Não se a
sequência
começar
com 3
regularidad
B:
Testes
Por
sugestão
de P.
Painel Fatoração
B:
Regularidade
2 e 3
sempre na
fatoração
B:
Testes
Painel Algébrico
e Tartaruga
B&G:
Desistem
218
As minhas intervenções também contribuíram para que o volume de
interações aumentasse durante a resolução das tarefas. Estas intervenções
ocorreram com mais frequência com a dupla B&G, principalmente para instigar as
participantes a usar os painéis de representação para buscar explicações mais
robustas para as conjecturas que elas formularam. Os vídeos apontaram que as
participantes acessaram e tentaram compreender as representações dos painéis toda
vez que eu sugeria que isso fosse feito, mas que nem sempre esse acesso foi
suficiente para que as participantes conseguissem completar as exigências da tarefa.
Durante a resolução da Tarefa Conjecturar 4, por exemplo, as participantes acionaram
os painéis Fatoração, Algébrico e Tartaruga, na tentativa de justificar porque o produto
de três números consecutivos era sempre par (Figura 120). Muitas ideias surgiram
com o acesso aos painéis, mas depois de alguns minutos de manipulação a dupla
desistiu da tarefa, pois os outputs das representações não foram suficientes para que
elas pudessem elaborar argumentos que as satisfizessem.
Outros aspectos das interações sociais são apresentados nas próximas
subseções, nas quais discuto como os participantes criaram, descartaram e
mantiveram suas conjecturas e como eles formularam os argumentos para sustentá-
las. A seguir, descrevo as ações dos participantes ao resolverem as Tarefas
Conjecturar e enfatizo o papel da tecnologia e das interações sociais neste processo.
9.4 O desenvolvimento das Tarefas Conjecturar e o papel do
Consecutivo
Com o propósito de compreender o processo de formulação de conjecturas e
justificativas nas Tarefas Conjecturar, eu analisei as interações das três duplas vídeo-
gravadas. Para isso, eu observei os organogramas de ação que eu criei para cada
tarefa realizada pelas duplas participantes tentando revelar padrões de ações e
destacar o papel da tecnologia e das interações sociais. Desta análise, emergiram
duas categorias, as quais eu intitulei de: (1) criação, descarte e manutenção de
conjecturas e (2) argumentos que explicam e argumentos que estendem a conjectura
para vários casos. A seguir, eu apresento e discuto com mais profundidade os
principais aspectos destas duas categorias.
219
9.4.1 A criação, o descarte e a manutenção de conjecturas
Como já o foi mencionado, todas as duplas participantes dos testes do
Consecutivo conseguiram elaborar uma conjectura válida em cada uma das Tarefas
Conjecturar propostas. Com exceção da dupla L&P41, todas as outras apresentaram
de forma escrita apenas uma conjectura.
Figura 121: Organograma de ação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1.
41 Esta dupla elaborou duas conjecturas.
Releituras,
muitos testes e
dificuldades de
perceber
regularidades.
A soma é
um múltiplo
de cinco.
57 não é
múltiplo
de cinco.
B:
Conjectura
Os primeiros
números da
sequência da
soma são
primos.
O nove não
é primo.
A soma
sempre é
ímpar.
Par mais
ímpar é
sempre
ímpar.
Para B, explicar porque a conjectura
ocorre é o mesmo que explicar porque
a ideia expressa pela conjectura ocorre
sempre e é plausível.
Olhando a soma.
Olhando a
soma.
P pede que
B leia a
sequência
da soma em
voz alta.
Reta
numérica.
G:
Testes
Painéis
B:
Testes
Barras,
reta e
soma
G: Conjectura
B&G:
Refuta G:
Testes
Painel
Tartaruga
B:
Refuta P:
Intervenção B:
Conjectura
Testes
B:
Prova G:
Dúvida B:
Explica
B&G:
Acordo
220
Ao observar as produções escritas dos participantes, questionei-me se a
conjectura a qual eles decidiram colocar no papel tinha sido a única que surgiu durante
o processo de resolução da tarefa. Se não fosse a única, eu ainda me questionei sobre
os possíveis motivos que teriam feito os participantes escolherem uma conjectura em
detrimento de outra. Mais do que isso, eu queria compreender quais fatores
relacionados à tecnologia e às interações sociais foram relevantes para os
participantes criarem e manterem as conjecturas durante o processo de resolução das
tarefas. A seguir, apresento as reflexões desta análise.
Com a análise dos organogramas de ação para das Tarefas Conjecturar, foi
possível dividir o processo de formulação de conjecturas em dois casos: (1) aquele
em que uma conjectura é formulada por um dos participantes e mantida até que se
escreva a resposta final no papel (Figura 120, por exemplo) e (2) aquele em que várias
conjecturas são elaboradas pelos participantes, com algumas descartadas durante
uma fase de negociação, até que uma delas seja mantida na resposta final escrita
(Figura 121).
A Tabela 22 mostra a quantidade de tarefas em que os casos 1 e 2 ocorreram
levando-se em consideração cada uma das duplas. É possível perceber que, em seis
das dez resoluções analisadas, os participantes se engajaram num processo em que
várias conjecturas foram formuladas antes de um consenso ser alcançado e, em
quatro das dez, eles se engajaram num processo em que uma conjectura foi formulada
e mantida até o fim da tarefa.
Tabela 22: Duplas participantes que formularam uma ou mais conjecturas durante a resolução das
Tarefas Conjecturar e a quantidade de tarefas em que foram formuladas uma ou mais conjecturas.
TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4 Total
Uma conjectura B&G - - X X 4
G&N - X - -
L&M - X - -
Várias Conjecturas B&G X X - - 6
G&N X - X X
L&M - - X -
Total 2 3 3 2 10
221
Com análise dos vídeos e dos esquemas, percebi que quatro tipos de ação
antecederam a formulação de uma conjectura pelo participante: (1) testes realizados
como o manuseio das barras de rolagem associados à observação dos valores da
soma, do produto e da reta numérica, (2) testes realizados com os painéis de
representação, (3) influência das respostas de outra tarefa já realizada e (4)
intervenção da pesquisadora.
Tabela 23: Frequência das ações que antecederam a formulação de conjecturas em cada Tarefa
Conjecturar.
TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4 Total
Testes com as barras de rolagem
4 3 6 3 16
Teste nos painéis 1 - - 1 2
Tarefa já realizada - 1 - 1 2
Intervenção da pesquisadora 1 - - - 1
Total 6 4 6 5 21
Figura 122: Interação da dupla L&M na Tarefa Conjecturar 3.
Teste usando o Consecutivo
Zero, dois, seis ...
Eu acho que tem
a ver com
potência.
O primeiro aumentou dois, depois quatro e
depois seis.
222
Na Tabela 23 é possível perceber que o teste com as barras de rolagem e
observação da reta numérica, dos resultados da soma e do produto foi a ação que
mais contribuiu para a formulação de conjecturas. Uma das explicações para esta
situação pode ser encontrada na análise das Tarefas Explorar, no capítulo 7. Foi
notado que durante a fase de exploração, os participantes desenvolveram a estratégia
de manusear as barras de rolagem de modo a deixar pequenos os valores da soma e
do produto. Esta estratégia contribuiu para que eles conseguissem resolver as Tarefas
Explorar propostas por meio de cálculo mental. A mesma estratégia também foi
bastante utilizada por alguns participantes para a formulação de conjecturas. Para
ilustrar esta situação, apresento a Figura 122, um esquema adaptado da transcrição
da interação entre os participante da dupla L&M durante a realização da Tarefa
Conjecturar 3.
Analisando a Tabela 23, também é possível perceber que a observação de
regularidades nos painéis de representação disponíveis na interface do Consecutivo
foi uma ação que contribuiu com a formulação de conjecturas em apenas dois casos.
No caso da dupla G&N, na Tarefa 1, o participante G observou o painel fatoração e
conjecturou que a regularidade era o fato de o número 1 ser fator comum a todos os
elementos da sequência de consecutivos. No caso da dupla G&N, na Tarefa 4, o
participante N, da mesma dupla, observou o painel Produto Retangular e conjecturou
que a área do retângulo de altura 1 seria sempre igual ao produto dos números
consecutivos. Foi observado que estas conjecturas não foram levadas adiante, pois
os participantes da dupla G&N acreditavam que somente conjecturas envolvendo
relações entre a soma (ou produto) e os elementos da sequência seriam válidas como,
por exemplo, o fato de a soma de dois números consecutivos ser equivalente ao dobro
do segundo número menos um.
Observei que, durante a resolução das Tarefas Conjecturar, alguns fatores
contribuíram para que uma conjectura fosse descartada ou mantida pelos
participantes: (1) existência (ou não) de contraexemplos depois de uma fase de testes
com as ferramentas do ambiente, (2) apresentação (ou não) de argumentos que
expliquem a origem da conjectura ou que mostrem que ela é válida sempre (3)
confiança (ou falta de) na conjectura formulada pelo fato dela parecer (ou não) uma
boa regularidade e (4) preferência pela conjectura formulada pelo colega.
223
Na Tabela 24 é possível conferir a relação de conjecturas formuladas pelas
duplas vídeo-gravadas em cada uma das Tarefas Conjecturar, associada aos fatores
que fizeram com que elas fossem descartadas ou mantidas ao longo da resolução.
Tabela 24: Conjecturas formuladas e razões para serem descartadas ou mantidas.
Tarefa Dupla Conjectura Situação
TConj 1 G&N A soma de dois números consecutivos e
ímpar.
Descartada por não parecer uma
regularidade.
O número 1 é fator comum a todos os
elementos da sequência de consecutivos.
Descartada por não parecer uma
regularidade.
A soma de dois números consecutivos é
igual ao dobro do segundo número menos
1.
Mantida após explicações da origem da
conjectura com valores obtidos no
programa.
B&G A soma de dois números consecutivos é
um múltiplo de 5.
Descartada por contraexemplo.
A soma de dois números consecutivos é
um número primo.
Descartada por contraexemplo.
A soma de dois números consecutivos é
um número ímpar
Mantida por falta de contraexemplos e
pela apresentação de argumentos que
explicam porque a ideia é válida sempre.
TConj 2 G&N A soma de quatro números consecutivos
aumenta de 4 em 4.
Mantida após explicações da origem da
conjectura com valores obtidos no
programa.
B&G A soma de quatro números consecutivos
é ímpar.
Descartada por contraexemplo.
A soma de quatro números consecutivos
é ímpar.
Mantida por falta de contraexemplos e
pela apresentação de argumentos que
explicam porque a ideia é válida sempre.
L&M A soma de quatro números consecutivos
aumenta de 4 em 4.
Mantida por falta de contraexemplos e
pela apresentação de argumentos que
explicam porque a ideia é válida sempre.
TConj 3 G&N O produto de dois números consecutivos
aumenta 2, 4, 6,..
Mantida após explicações da origem da
conjectura com valores obtidos no
programa.
O aumento do produto é sempre dois a
mais que o aumento anterior
Descartada pela preferência da conjectura
anterior.
B&G O produto de dois números consecutivos
é par.
Mantida por falta de contraexemplos e
pela apresentação de argumentos que
explicam porque a ideia é válida sempre.
L&M O produto de dois números consecutivos
aumenta 2, 4, 6,..
Mantida por falta de contraexemplos.
O aumento do produto é sempre dois a
mais que o aumento anterior
Descartada pela preferência da conjectura
anterior.
TConj 4 G&N O produto de três números consecutivos é
par.
Descartada por não parecer uma
regularidade.
A área do retângulo de altura um é igual
ao produto de três números consecutivos.
Descartada por não parecer uma
regularidade.
O produto de qualquer quantidade de
consecutivos é sempre par.
Descartada pela preferência da conjectura
posterior.
O produto de três números consecutivos é
divisível por 2 e por 3.
Mantida por falta de contraexemplos e
pela apresentação de argumentos que
explicam porque a ideia é válida sempre.
B&G O produto de três números consecutivos é
par.
Mantida por falta de contraexemplos.
224
Ao observar as informações desta tabela, notei que os contraexemplos
desempenharam um papel expressivo. A presença de um contraexemplo foi motivo
para o descarte de uma conjectura em três casos analisados. Além disso, a ausência
de contraexemplos foi responsável pela manutenção da conjectura formulada em sete
casos. Nestes sete casos, a ausência de contraexemplos foi acrescida de explicações
mais robustas, o que indica que os participantes confiaram nas respostas do
programa, mas não ficaram satisfeitos somente com elas.
As explicações que os participantes utilizaram para justificar a conjectura
formulada foram as mais diversas como vimos na seção 9.2. Quando analisei os
vídeos, percebi que nem sempre estas explicações foram dadas com a intenção de
validar as conjecturar para uma infinidade de casos. Muitas vezes, os participantes
estavam apenas interessados em mostrar como suas ideias vieram à tona. Esta
diferença na forma de explicar as conjecturas criadas é discutida com mais
profundidade na próxima seção.
9.4.2 Os argumentos que mostram a origem da conjectura e os argumentos que
estendem a conjectura para vários casos
Todas as Tarefas Conjecturar possuíam um enunciado em que duas ações
eram solicitadas ao participante: (1) escrever a respeito de uma regularidade ou
padrão observado e (2) explicar por que essa regularidade ou padrão ocorrem. A
Tabela 24 mostra que diversas conjecturas foram formuladas no processo de busca
por uma resposta à primeira parte do enunciado e que algumas delas foram mantidas
depois de uma fase de interação entre os participantes e o Consecutivo. No processo
de busca por uma resposta à segunda parte do enunciado das tarefas, as duplas
vídeo-gravadas apresentaram argumentos escritos e/ou falados para justificar a
maioria das conjecturas mantidas.
Analisando este processo, foi possível perceber que três fatores contribuíram
para que os participantes formulassem argumentos para as conjecturas mantidas.
Percebi que as justificativas apresentadas pelos participantes dependeram (1) da
compreensão do significado da frase “explique por que a regularidade ocorre”, (2) do
225
conteúdo da conjectura e, (3) do uso das ferramentas do Consecutivo. A seguir,
discuto a respeito de cada um destes fatores. Para auxiliar na discussão, apresento a
Tabela 25.
Observando a Tabela 25 é possível perceber que, durante a resolução das
tarefas, os participantes compreenderam de três maneiras diferentes a frase “explique
por que a regularidade ocorre”. Para a dupla B&G, explicar porque a regularidade
ocorre foi o mesmo que explicar porque ela seria válida sempre. Para as duplas G&N
e L&M, foi o mesmo que explicar porque a regularidade fez sentido ou explicar como
a regularidade veio à tona.
Quando a dupla tentou explicar a origem da conjectura formulada, ela recorreu
a argumentos empíricos provenientes de testes realizados com a manipulação das
barras de rolagem seguida da observação dos valores da soma e do produto. Quando
a dupla tentou explicar porque a conjectura sempre ocorreria ou porque ela faria
sentido, ela recorreu à busca de propriedades, utilizando conceitos já familiares ou
utilizando os painéis de representação disponíveis no Consecutivo.
A análise desta tabela me levou a concluir que, quando a tarefa envolve a
formulação de conjecturas e tem um enunciado o qual permite diferentes
interpretações, há a possibilidade dos discursos emergentes serem tentativas de
mostrar a origem das conjecturas formuladas e não tentativas de mostrar a validade
generalizada da conjectura. Uma das implicações desta conclusão é o fato de que não
é viável classificar os argumentos dos participantes como prova empírica ou
conceitual, segundo Balacheff (1988), sem que se tenha acesso ao processo que
gerou esses argumentos.
Foi possível também notar que o conteúdo da conjectura influenciou o tipo de
argumento oferecido pela dupla. As conjecturas envolvendo a ideia de par, ímpar e
divisibilidade levaram os participantes a procurar argumentos baseados em
propriedades (Figura 111 e Figura 117, por exemplo). É possível que os participantes
já estivessem familiarizados com as ideias de paridade e divisibilidade devido às suas
experiências escolares. Desta forma, pode ter parecido natural a eles a formulação de
conjecturas e justificativas, envolvendo as propriedades relativas a tais conceitos.
226
Tabela 25: Interpretação dos participantes para a questão "explique por que a regularidade ocorre" e
os argumentos apresentados.
Tarefa Dupla Como compreenderam o enunciado
Argumentos apresentados
TConj 1 G&N Deve-se mostrar a origem da conjectura.
Apresentou casos específicos provenientes de testes realizados com os movimentos das barras de rolagem e observação da soma.
B&G Deve-se mostrar porque a conjectura é válida sempre.
Apresentou propriedade: a soma de um par com um ímpar é sempre ímpar.
TConj 2 G&N Deve-se mostrar a origem da conjectura.
Apresentou casos específicos provenientes de testes realizados com os movimentos das barras de rolagem e observação da soma.
B&G Deve-se mostrar porque a conjectura é válida sempre.
Apresentou propriedade: é possível somar par com par e ímpar com ímpar.
L&M Deve-se mostrar porque a conjectura faz sentido.
Apresentou estrutura: quando o primeiro número aumenta uma unidade, todos os outros também aumentam. Então a soma aumentará quatro unidades.
TConj 3 G&N Deve-se mostrar a origem da conjectura.
Apresentou casos específicos provenientes de testes realizados com os movimentos das barras de rolagem e observação da soma.
B&G Deve-se mostrar porque a conjectura é válida sempre.
Apresentou propriedade: par multiplicado por ímpar é sempre par.
L&M Não tentou responder à segunda parte do enunciado da tarefa.
Apresentou a conjectura tentando algebrizar a ideia.
TConj 4 G&N Deve-se mostrar porque a conjectura faz sentido.
Apresentou propriedade: 2 e 3 sempre aparecem na fatoração.
B&G Deve-se mostrar porque a conjectura é válida sempre.
Não apresentou argumentos escritos, mas durante a resolução da tarefa, apresentou diversas ideias tentando justificar o fato de a conjectura ser verdadeira: número par é superior ao ímpar, ou ainda, os números dois e três estão na fatoração.
Diferentemente, as conjecturas envolvendo operações aritméticas levaram as
duplas a escrever argumentos baseados em casos específicos ou argumentos
baseados na estrutura algébrica inerente à situação (Figura 116 e Figura 106, por
exemplo). Acredito que as conjecturas envolvendo operações aritméticas ofereceram
maior dificuldade para a formulação de justificativas, uma vez que elas tratavam de
regularidades nas variações dos valores da soma e do produto de números
consecutivos. É possível que, para explicar tais variações, os participantes precisaram
trabalhar com representações algébricas da sequência de consecutivos. Quando eles
estavam familiarizados com tais representações, eles conseguiram formular
argumentos baseados na estrutura. Quando não, ou eles recorreram às
representações na tela do computador na tentativa de obter insights ou recorreram
227
aos argumentos com vários casos específicos que, juntos, revelaram a regularidade
percebida.
Figura 123: Interação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 2.
Figura 124: Interação da dupla G&N na Tarefa Conjecturar 4.
As ferramentas do Consecutivo também se mostraram importantes para a
formulação de argumentos, nos casos em que os participantes relacionaram conceitos
familiares com as representações disponíveis na tela. A dupla B&G, por exemplo,
baseou seus argumentos nas mudanças percebidas na reta numérica para mostrar
Na tela do
computador
A soma de 4 consecutivos sempre é par porque dá pra fazer par com par e
ímpar com ímpar.
Na tela do computador
O produto de três
números consecutivos
é divisível por 2 e por
3.
Porque 2 e 3
sempre
aparecem na
fatoração.
24 é par e
divisível por 3.
60 também é.
Por quê? Os
painéis podem
ajudar?
228
que a soma de quatro números consecutivos é sempre um número par (Figura 123).
A dupla G&N articulou a ideia de divisibilidade com as representações do painel
Fatoração para mostrar porque o produto de três números consecutivos seria divisível
por dois e por três (Figura 124). Já a dupla L&M observou as mudanças ocorridas na
reta numérica para mostrar porque a soma de quatro números consecutivos aumenta
de 4 em 4 (Figura 125).
Figura 125: Interação da dupla L&M na Tarefa Conjecturar 2.
Com base nas discussões anteriores, é possível dizer que os participantes se
engajaram em um processo de validação das conjecturas para vários casos quando
(1) eles interpretaram a frase “explique por que a regularidade ocorre” como “mostre
por que a regularidade faz sentido ou é sempre válida”, (2) quando a conjectura
formulada tinha relação com a ideia de paridade ou divisibilidade e/ou (3) quando as
ferramentas do Consecutivo permitiram que eles percebessem a estrutura matemática
por trás da ideia expressa na conjectura.
Na tela do computador
A soma de quatro consecutivos
aumenta de 4 em 4.
Faz sentido. Nem
tanto.
Se você aumenta 1 no primeiro número, os outros também
aumentam e a soma aumenta 4.
229
A seguir, apresento uma discussão sobre a estrutura dos argumentos
produzidos pelas duplas vídeo-gravadas. Esta estrutura é similar àquela proposta por
Toulmin (2003).
9.5 A estrutura dos argumentos que suportaram as conjecturas
Ao assistir aos vídeos com as interações dos participantes, tive acesso às
ações e discussões as quais originaram as conjecturas criadas e os argumentos que
suportaram as mesmas. Com base nestas ações e discussões, desenvolvi esquemas
para representar a estrutura dos argumentos das três duplas. Estes esquemas são
similares àqueles propostos por Toulmin (2003).
Para Toulmin (2003), um argumento é um discurso justificatório, formado
basicamente por dados, garantias e conclusão. Quando os dados e as garantias são
desafiados ou questionados, os argumentos também podem apresentar reforços,
qualificadores e réplicas. Os detalhes desta estrutura foram discutidos na seção 2.2.
Na análise das Tarefas Conjecturar, considerei como conclusão do argumento
a principal conjectura formulada pelas duplas vídeo-gravadas. Assim sendo, passei a
observar as interações dos participantes de modo a identificar os dados, garantias,
reforços, qualificadores e réplicas relacionados à conclusão evidenciada. A Figura 126
apresenta um exemplo do esquema criado por mim depois de observar e analisar as
interações da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1. Lembrando que, neste esquema,
os retângulos nas cores azul, vermelha, preta e verde representam, respectivamente,
dados, garantias, reforços e conclusões.
Ao lado de cada elemento do argumento, coloquei um número para indicar a
ordem em que os mesmos vieram à tona durante as interações. Desta forma, formei
uma sequência de elementos para cada tarefa realizada pelas duplas. Ao observar
essas sequências, revelei padrões na estrutura dos argumentos formulados.
230
Figura 126: Estrutura do argumento da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1.
Observando as sequências apontadas na Tabela 26, notei que, em todas as
tarefas, os argumentos começaram com a coleta de dados. Estes dados foram
provenientes de fontes distintas: (1) os outputs da soma, do produto, da reta numérica
e (2) do painel fatoração na tela do computador, (3) cálculos mentais realizados pelos
participantes e (4) conhecimentos com os quais os mesmos já estavam familiarizados.
Tabela 26: Sequência em que cada um dos elementos de um argumento foi proferido pelos
participantes durante a resolução das Tarefas Conjecturar.
Dupla TConj 1 TConj 2 TConj 3 TConj 4
G&N DDGDGCD DGC DGGC DGGDGCQiRe
B&G DGCR DGCRRi DGCGQiRe DGCGD
L&M --- DGRC DGGC ---
D=Dado, G=Garantia, R=Reforço, Q=Qualificador, Re=Réplica, C=Conclusão, I=Informação implícita.
A Tabela 27 mostra a frequência de tarefas em que estas fontes foram usadas
para compor os dados dos argumentos formulados.
Ao observar a Tabela 27, percebi que, em todas as tarefas, as conjecturas
formuladas foram mediadas pelas ações dos participantes sobre as barras de rolagem
do Consecutivo com observação simultânea da soma, do produto e da reta numérica.
Para mim, esta preferência tem relação com o fato desta estratégia ter sido bastante
utilizada pelos participantes, durante a resolução das Tarefas Explorar.
(1) Na tela, várias sequências com
dois consecutivos na reta numérica
e a observação de que a soma
segue a sequência 1, 3, 5, 7, 9, ....
(3) A soma de dois
consecutivos é ímpar.
(2) 1, 3, 5, 7, 9... é a sequência
de números ímpares.
(4) Com dois números consecutivos
sempre haverá uma par e um ímpar e a
soma de par e ímpar sempre dá ímpar.
Dados
Garantias
Reforços
Conclusão
231
Notei também que os dados coletados pelos participantes foram pouco
mediados pelos painéis de representação disponíveis na interface. O único painel
utilizado, para gerar dados, foi o da Fatoração. Isto pode estar relacionado à maneira
como o estudante compreende a ideia de regularidade e padrão. Mostrei na seção
anterior que muitas conjecturas dos participantes foram descartadas pelo fato de eles
acharem que as mesmas não expressavam regularidades. É possível que, para estes
participantes, notar regularidades seja a ação de encontrar padrões numéricos ao
realizar as operações fundamentais. Talvez por isso, o painel Algébrico e o painel
Tartaruga não tenha sido utilizado aqui.
Tabela 27: Recursos utilizados pelos participantes para a geração de dados nas Tarefas Conjecturar
e a frequência de tarefas em que tais recursos foram utilizados por cada dupla.
Recurso Frequência
1 Movimentação das barras de rolagem e observação simultânea da soma/produto/reta numérica
10
2 Painel Fatoração 2
3 Cálculos Mentais 1
4 Conhecimentos familiares 1
Total 14
Ao analisar as sequências da Tabela 26, percebi também que apenas três
argumentos dos participantes possuíam a estrutura básica sugerida por Toulmin
(2003) com dados, garantias e conclusões. Sete destas sequências eram mais
complexas e possuíam reforços, qualificadores, réplicas ou mais do que um ciclo de
coleta de dados e estabelecimento de garantias. O argumento da dupla G&N na
Tarefa Conjecturar 4 ilustra esta observação (Figura 127).
232
Figura 127: Estrutura do argumento da dupla G&N na Tarefa Conjecturar 4.
O conteúdo das garantias oferecidas pelos participantes foi outro aspecto
analisado por mim. Nas Tarefas Conjecturar, estas garantias foram baseadas em (1)
generalizações precedidas por cálculos mentais, (2) conceitos e propriedades da
paridade, (3) da fatoração e divisibilidade e (3) por opiniões pessoais dos participantes
a respeito das conjecturas. A Tabela 28 apresenta a frequência de tarefas em que
cada um destes aspectos esteve presente nas garantias oferecidas pelos estudantes.
Tabela 28: Fatores que mediaram as garantias propostas pelos participantes nas Tarefas Conjecturar
e a frequência de tarefas que apresentaram garantias mediadas por tais fatores.
Fator Frequência
1 Generalizações precedidas de cálculos 5
2 Conceitos e propriedades da paridade 6
3 Conceitos e propriedades da fatoração e divisibilidade 2
4 Opinião dos participantes 2
(1) Várias sequências com três
consecutivos e a constatação de que
os respectivos produtos segue a
sequência 0, 6, 24, 60...
(4) Representações do painel
Fatoração: 2 e 3 sempre aparecem na
fatoração.
(6) o produto de três
consecutivos é divisível
por 2 e por 3.
(2) Os números 0, 6, 24, 60, ...
são pares.
(3) Se o número é par ele é
divisível por 2.
(5) Se o 2 e o 3 aparecem na
fatoração, o produto é divisível
por 2 e por 3.
Provável
(7) A menos que a ideia de
fatoração não faça sentido.
Dados
Dados
Réplica
Garantias
Garantias
Garantias
Qualificador
233
Ao analisar a Tabela 28 é possível notar que, em grande parte das tarefas, as
garantias foram baseadas em generalizações provenientes de cálculos mentais ou do
conceito de paridade. Para mim, isto é uma evidência de que, para justificar suas
ideias, os participantes, a princípio, recorrem a conceitos e estratégias que lhes são
familiares e, quando os mesmos não são suficientes, procuram outras explicações.
Foi o que ocorreu com a dupla B&G nas tarefas 1 e 2 e com a dupla L&M na tarefa 2,
as quais apresentaram reforços para seus argumentos.
A participante B, da dupla B&G, durante a resolução da Tarefa Conjecturar 1,
modificou diversas vezes o primeiro número da sequência de dois números
consecutivos e observou na tela os valores das somas obtidas. Depois de alguns
movimentos, observações e discussões com a colega e com a pesquisadora, B
concluiu que a soma de dois números consecutivos é sempre um número ímpar.
Imediatamente depois da conclusão, B observa a reta numérica na tela e afirma que
a soma dá sempre ímpar porque, quando há dois consecutivos, sempre são somados
um número par e um número ímpar (par mais ímpar dá ímpar, nas palavras de B). A
Figura 128 ilustra este caso.
Figura 128: Interação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 1, com comentários a respeito da estrutura
do argumento.
1, 3, 5, 7, 9, ... É uma
sequência de números
ímpares.
Porque par mais
ímpar é ímpar.
Dados na
tela do
Consecutivo Garantia
Reforço
234
Durante a Tarefa Conjecturar 2, a dupla B&G utiliza uma estratégia
semelhante àquela empregada na Tarefa 1. A participante B modifica o valor do
primeiro número das sequências com quatro consecutivos e observa os valores
obtidos na soma. Com estas observações, B concluiu que a soma de quatro
consecutivos era sempre um número par. Imediatamente, ela explica que a soma é
par porque “dá para fazer par com par e ímpar com ímpar”. A Figura 129 ilustra este
caso.
Figura 129: Interação da dupla B&G na Tarefa Conjecturar 2 com comentários a respeito da estrutura
do argumento.
A dupla L&M, na Tarefa Conjecturar 2, utilizou uma estratégia semelhante
àquela empregada pela dupla B&G (Figura 130). Os dois participantes manipularam
as barras de rolagem na tela para alterar o valor do primeiro número da sequência de
quatro consecutivos. Ao observar as variações nos valores das somas destes
números, M percebe uma diferença de quatro unidades no resultado a cada mudança.
Imediatamente, explica para a colega que esta diferença faz sentido, uma vez que se
o primeiro número da sequência for alterado em uma unidade, todos os outros também
serão. Desta fora, obtém-se uma soma quatro unidades maior que a anterior.
6, 14, 18, ... É uma
sequência de números
pares.
Porque dá pra fazer
par com par e ímpar
com ímpar.
Garantia
Reforço
Dados na
tela do
Consecutivo
235
Figura 130: Interação da dupla L&M na Tarefa Conjecturar 2, com comentários a respeito da estrutura
do argumento.
Os três casos supracitados foram os únicos (dentre dez analisados) que
apresentaram argumentos com reforços. A dupla G&N foi a única que não apresentou
argumentos deste tipo. Ao analisar aos vídeos e os dados da Tabela 25, percebi que
estes participantes interpretaram a frase “explique por que a conjectura ocorre” como
“explique a origem da conjectura”. Para mim, esta interpretação os levou a não
procurar explicações mais robustas na tentativa de mostrar porque a conjectura é
sempre válida.
Notei também que os reforços somente vieram à tona nas questões as quais
envolviam a percepção de regularidades na soma dos números consecutivos. Eu
interpreto que a explicação de conjecturas neste domínio seja mais simples para o
estudante, pois as justificativas podem ser baseadas nas ideias de paridade ou com
a própria definição do que são números consecutivos.
De forma geral, nas Tarefas Conjecturar, as ferramentas do Consecutivo
desempenharam um papel importante na geração de dados para que os participantes
pudessem formular suas conjecturas. Todas as duplas conseguiram perceber e
6, 14, 18, ... A diferença
entre duas somas é
quatro. Começa no seis.
Se aumentar uma unidade no
1º números, aumenta um em
todos e a soma aumenta 4.
Garantia
Reforço
Dados na
tela do
Consecutivo
236
expressar pelo menos uma regularidade, a qual foi mediada pelas ações dos
participantes sobre as barras de rolagem, a observação da soma e do produto na tela.
A maioria dos argumentos oferecidos pelos participantes foi além da estrutura
Dados – Garantias – Conclusão. Nas discussões entre si, os estudantes também
proferiram qualificadores e réplicas quando não estavam muito certos sobre suas
justificativas e também procuraram reforços quando as explicações que eles já
possuíam não eram muito profundas. Isto ressalta o papel importante das interações
sociais neste processo, uma vez que as tentativas de convencer o colega e a
pesquisadora sobre certa ideia desencadearam o aparecimento de qualificadores e
reforços nos argumentos. As ferramentas do Consecutivo também mediaram a
formulação reforços, principalmente a representação da reta numérica na tela, com a
sequência de consecutivos destacada, que fez o estudante trazer à tona propriedades
da paridade e da sequência de números consecutivos.
A seguir, eu apresento minhas considerações finais para este grupo de
tarefas.
9.6 Considerações sobre as Tarefas Conjecturar
As Tarefas Conjecturar foram propostas na intenção de engajar os estudantes
num processo de formulação de conjecturas e de argumentos para sustentá-las. A
análise dos dados mostrou que estes objetivos foram alcançados em grande medida,
uma vez que todas as duplas apresentaram pelo menos uma conjectura válida em
cada tarefa e argumentos para sustentá-la.
Quando foi possível ter acesso ao processo de formulação de argumentos e
conjecturas, notei que grande parte das produções dos participantes estava
relacionada ao manuseio das barras de rolagem em conjunto com a observação dos
valores da soma, do produto e dos elementos da reta numérica disponíveis na tela do
computador. O uso destes recursos possibilitou a formulação de conjecturas
baseadas em dados empíricos.
Apesar de grande parte das conjecturas ter sido formulada com base em
dados empíricos, em muitas ocasiões os participantes tentaram buscar justificativas
237
baseadas em propriedades para justificá-la. Esta busca ocorreu principalmente
quando os participantes interpretaram a frase “explique por que a regularidade ocorre”
como “explique por que a regularidade faz sentido ou ocorre sempre”.
Para estimular a produção de conjecturas e argumentos baseados em
propriedades matemáticas, num redesign futuro, seria interessante a inserção de
tarefas cujo conteúdo necessite a manipulação de valores que vão além dos limites
da Interface do Consecutivo, bem como tarefas que exijam que o estudante tente
explicar porque as regularidades percebidas ocorrem sempre.
No próximo capítulo, apresento minhas considerações sobre as produções
escritas e as interações dos estudantes nas Tarefas Provar.
238
10. AS TAREFAS PROVAR
Para fins de análise, da mesma forma que fiz com as Tarefas Conjecturar,
reorganizei também as Tarefas Provar, levando principalmente em consideração o
fato do enunciado destas tarefas já conterem conjecturas formuladas de forma
implícita ou explícita e exigir do participante a busca por justificativas baseadas em
propriedades matemáticas as quais validassem (ou não) e explicassem tais
conjecturas. Na Tabela 29, é possível conferir uma lista simplificada dos objetivos de
cada tarefa, como elas apareceram em cada teste e quantos participantes
apresentaram respostas satisfatórias no papel.
Tabela 29: Objetivos das Tarefas Provar, em que teste elas foram aplicadas e a relação
acerto/participantes em cada tarefa.
TPro Objetivos N. da tarefa no 1º teste
N. da tarefa no 3º teste
Acertos/quant. de participantes
1 Determinar a validade de cada uma das três conjecturas a respeito da soma de nove números consecutivos. (Tarefa-escolha)
TPro 3 - 2/2
2 Determinar a validade de cada uma das três conjecturas a respeito do produto de três números consecutivos. (Tarefa-escolha)
TPro 11 - 1/2
3 Explicar se é ou não possível obter certo número k como a soma de quatro números consecutivos. (Tarefa-possível)
TPro 5 TPro 1 11/16
4 Explicar se é ou não possível obter certo número k como o produto de dois números consecutivos. (Tarefa-possível)
TPro 9 TPro 3 11/16
5 Explicar se é ou não possível obter certo número k que divida uma sequência de n números consecutivos. (Tarefa-possível)
TPro 14 - 1/2
6 Provar que a soma de oito números consecutivos é par. (tarefa-prove)
TPro 4 - 2/2
7 Provar que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120. (Tarefa-prove)
TPro 13 - 1/2
8 Concordar ou discordar a respeito da ideia de que a soma de uma quantidade par de números consecutivos é par e que a soma de uma quantidade ímpar de números consecutivos é ímpar. (Tarefa-contexto)
TPro 7 TConj 3 9/16
9 Concordar ou discordar a respeito da ideia de que o produto de quatro números consecutivos é divisível por 24. (Tarefa-contexto)
TPro 12 TPro 4 6/16
10 Explicar de modo convincente por que a soma de três números consecutivos é divisível por três. (Tarefa-convença)
TPro 6 TPro 2 9/16
239
Analisei também as Tarefas Provar em duas etapas. Na primeira, observei
somente as repostas escritas de todas as duplas participantes com o propósito de
verificar (1) em que medida as duplas apresentaram argumentos válidos para validar
e explicar cada uma das conjecturas propostas, (2) quais argumentos foram
elaborados, (3) de que maneira os discursos escritos teriam vindo à tona devido às
interações dos participantes entre si e das duplas com o Consecutivo.
Na segunda etapa, analisei as ações das três duplas vídeo-gravadas. Esta
etapa teve como objetivo verificar de que maneira os argumentos usados para validar
e explicar as conjecturas vieram à tona.
Com a observação dos vídeos, foi possível (1) compreender de que maneira
as interações entre os participantes e a pesquisadora mediaram a resolução das
tarefas, (2) verificar a estrutura dos argumentos produzidos como resposta a cada
tarefa proposta, bem como compreender o processo de formulação dos mesmos e (3)
identificar os papéis da tecnologia no processo de prova.
A seguir, apresento uma síntese das minhas observações, análises e
interpretações.
10.1 As representações utilizadas nas respostas escritas
Em 53 das 90 respostas escritas analisadas na primeira etapa, as duplas
participantes responderam às Tarefas Provar com argumentos válidos. Um exemplo
de reposta satisfatória pode ser conferido na Figura 131 na qual a dupla G&D
apresenta um argumento para mostrar de forma convincente que a soma de três
números consecutivos é divisível por três.
Figura 131: Resposta da dupla G&D para a Tarefa Provar 10.
240
A Tabela 30 apresenta de forma resumida a frequência com que os
participantes ofereceram respostas satisfatórias (ou não) às Tarefas Provar em cada
um dos testes realizados com o Consecutivo.
Tabela 30: Frequência de repostas satisfatórias, parcialmente satisfatórias, insatisfatórias e em
branco por teste.
Resposta 1° teste 3° teste Total
Satisfatória 13 40 53
Parcial 4 3 7
Insatisfatória 2 6 8
Sem Resposta 1 21 22
Total 20 70 90
Em 22 das 90 respostas analisadas, as duplas participantes não responderam
às Tarefas Provar propostas. Ao analisar os vídeos, percebi que grande parte das
duplas que não apresentou resposta não teve tempo hábil para completar as tarefas.
Em três casos, as duplas apresentaram respostas parcialmente corretas e, em oito
casos, elas apresentaram argumentos inválidos. Um exemplo de argumento inválido
pode ser conferido na Figura 132, o qual a dupla B&G tentou explicar porque o produto
de quatro números consecutivos é divisível por 24.
Figura 132: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Provar 9.
Considerando os casos em que os participantes redigiram uma resposta
escrita para a tarefa proposta, correta ou não, foi possível notar uma preferência por
representações estritamente em língua natural ou em língua natural com elementos
algébricos e/ou numéricos. A Tabela 31 apresenta a frequência com que cada tipo de
representação foi utilizado pelos participantes nas respostas escritas em cada teste
realizado com o Consecutivo. É possível notar que os participantes do primeiro teste
241
não utilizaram representações algébricas para expressar os argumentos formulados,
entretanto, em muitos casos do terceiro teste, essa representação foi bastante
utilizada quando associada às representações em língua natural. Embora a interface
do ambiente apresente representações figurais para a sequência de números
consecutivos, em nenhum dos testes os participantes apelaram para esta
representação para expressar seus argumentos.
Tabela 31: Tipos de representações usados para responder às Tarefas Provar e suas frequências em
cada teste.
Representação Frequência no teste 1
Frequência no teste 3
Total
Estritamente em Língua Natural 12 14 26
Mista: Numérica e Língua Natural 7 9 16
Mista: Algébrica e Língua Natural - 23 23
Mista: Algébrica, Numérica e Língua Natural - 3 3
Total 19 49 68
Notei também que os participantes não ofereceram respostas estritamente
numéricas ou estritamente algébricas às tarefas propostas. Minha interpretação é que
“oferecer explicações” é uma prática familiar aos estudantes e é realizada em diversos
contextos, dentro e fora da escola, fazendo grande apelo ao uso da língua materna.
As Tarefas Provar exigiam que os participantes oferecessem explicações para a
validade ou não de uma conjectura e eles cumpriram essas tarefas usando a língua
materna, pelo fato dela ser uma ferramenta familiar para este tipo de situação. Além
disso, na interface das Tarefas Organizar, os participantes do terceiro teste puderam
observar, discutir e organizar argumentos previamente oferecidos pelo programa.
Neste tipo de tarefa, todos os argumentos eram compostos por diversas
representações matemáticas. Acredito que isto também pode ter influenciado as
respostas dos participantes no terceiro teste.
242
10.2 O conteúdo das produções escritas e a possível mediação do
Consecutivo
Todas as Tarefas Provar possuíam um objetivo em comum: engajar os
participantes na formulação de argumentos para conjecturas já propostas, entretanto,
certos termos, expressões e conceitos empregados nos enunciados fazem com que
estas tarefas se diferenciem de modo a formar cinco grupos: (1) tarefa-escolha, (2)
tarefa-possível, (3) tarefa-prove, (4) tarefa-contexto e (5) tarefa-convença.
As Tarefas Provar 1 e 2 foram classificadas como tarefa-escolha, pois exigiam
que o participante escolhesse, validasse e explicasse uma conjectura dentro de uma
lista com três possibilidades. Minha expectativa era que os estudantes descartassem
duas conjecturas utilizando contraexemplos emergentes dos testes com as
ferramentas do programa e procurassem explicar com argumentos mais robustos
porque a conjectura remanescente seria verdadeira.
As tarefas-escolha foram somente oferecidas às duplas participantes do
primeiro teste do Consecutivo. Para a Tarefa Provar 1, ambas as duplas ofereceram
respostas extremamente similares no papel (Figura 133 e Figura 134).
Figura 133: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Provar 1.
Figura 134: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Provar 1.
243
Ao observar as respostas escritas, percebi que os participantes escolheram
a alternativa correta e determinaram assertivamente os limites em que a conjectura
proposta é válida: quando o primeiro número da sequência é par. Ao analisar as
interações vídeo-gravadas das duplas, notei que os participantes chegaram a esta
conclusão de forma similar, mas se convenceram da validade da mesma de forma
diferente. Em ambos os casos, as duplas rejeitaram a ideia de que a soma seria
sempre par ou sempre ímpar fazendo testes com as barras de rolagem e observando
simultaneamente que os valores da soma variavam entre números pares e ímpares
quando se alterava o primeiro número da sequência (Figura 135).
Figura 135: Estratégia utilizada pelas duplas G&N e B&G para resolver a Tarefa Provar 1.
Também em ambos os casos, os participantes determinaram o limite de
validade da conjectura movimentando o primeiro número da sequência e observando
simultaneamente as mudanças na reta numérica da tela; entretanto, para a dupla
G&N, os outputs do Consecutivo foram suficientes para compreender a situação e
formular uma resposta. Para a dupla B&G, uma discussão mais aprofundada, baseada
em propriedades da paridade, foi necessária. Embora B&G não tenha representado
no papel esta discussão, o trecho de transcrição a seguir mostra como ela ocorreu.
244
[00:13:59.27] B: Tá. Zero deu par. Um dá...
[00:14:06.07] P: Um dá ímpar.
[00:14:08.18] B: É que eu tô prestando atenção...
[00:14:10.15] B: Um dá ímpar.
[00:14:12.29] B: Três dá ímpar. Cinco dá ímpar. Seis dá... É. É isso aí, né?
[00:14:18.06] P: Não entendi. O que é isso aí?
[00:14:20.06] B: Que sai quando o primeiro número é par.
[00:14:28.11] P: Então você acha que quando o primeiro número dá par, a soma dá par. É
isso?
[00:14:31.17] B: É porque são nove números. E aí sempre vai sobrar um. E aí não vai dar pra
fazer par com par e ímpar com ímpar.
Na Tarefa de Prova 2, ambas as duplas determinaram corretamente a
conjectura válida, mas apenas a dupla G&N apresentou um argumento satisfatório
para determinar os limites em que a conjectura proposta era válida (Figura 136).
Figura 136: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Provar 2.
Ao analisar os vídeos, percebi que a estrutura textual do enunciado oferecia
certas dicas aos participantes, de tal modo que a decisão pela conjectura válida ficou
associada ao jogo de palavras e não ao significado matemático das conjecturas. A
dupla B&G, por exemplo, decidiu que a conjectura correta estava na alternativa “c”
porque essa era a única alternativa que parecia ser mais difícil, já que o texto solicitava
que o participante oferecesse mais explicações. O trecho de transcrição a seguir
ilustra esta situação.
[00:13:22.23] G: A soma às vezes é um número par. Ela é par quando... (lendo o enunciado
da questão)
[00:13:24.15] B: É esse aqui. É o C.
[00:13:26.21] G: É. Porque a gente vai ter que justificar.
245
[00:13:28.19] B: Ah, sempre é o que tem que justificar.
[00:13:30.19] P: (Risos)
[00:13:32.08] B: Você devia colocar “justificar” em todas porque aí não dá pra saber qual que
é (a resposta).
Independentes disso, ambas as duplas realizaram testes com as ferramentas
do programa na tentativa de delimitar a validade da conjectura escolhida,
principalmente testes com os painéis de representações. Durante a busca por uma
justificativa plausível, ambas as duplas propuseram outras conjecturas estendendo o
conteúdo do enunciado. O participante G, por exemplo, afirmou que o produto de uma
sequência de consecutivos é divisível por n toda vez que n aparece na fatoração de
um dos elementos da sequência. A participante B também estendeu a conjectura da
tarefa, afirmando que o produto é divisível por quatro sempre que há mais de três
números consecutivos na sequência. A conexão entre as ideias de fatoração e
divisibilidade parece ter mediado a formulação de um argumento válido para a dupla
G&N. O mesmo não ocorreu com a dupla B&G, o que explica em parte porque a dupla
não ofereceu uma argumento consistente para a questão.
As Tarefas Provar 3, 4 e 5 foram classificadas como tarefas-possível, pois
solicitavam que o participante verificasse a possiblidade de certo número k satisfazer
certa propriedade p. Estas propriedades já haviam sido discutidas durante a resolução
das Tarefas Conjecturar. Por isso, minha expectativa era que as duplas percebessem
esta relação e as usassem como fonte para sustentar seus argumentos.
Figura 137: Resposta da dupla B&D para a Tarefa Conjecturar 2.
Onze das doze duplas as quais responderam à Tarefa 3 ofereceram
argumentos que continham explicitamente relação com a conjectura formulada na
Tarefa Conjecturar 2. A Figura 137 e a Figura 138 apresentam as repostas da dupla
B&D para a Tarefa Conjecturar 2 e para a Tarefa Provar 3, respectivamente. Ao
comparar as imagens, é possível perceber que os participantes utilizaram uma
246
conclusão obtida previamente com a interação no Consecutivo para criar argumentos
para validar e descartar novas conjecturas.
Figura 138: Resposta da dupla B&D para a Tarefa Provar 3.
Seis das doze duplas as quais responderam à Tarefa Provar 4 ofereceram
argumentos que continham explicitamente relação com a Tarefa Conjecturar 3 ou com
a Tarefa de Organização 4. Esta conexão não ficou evidente nas respostas escritas
das outras seis duplas. A Figura 139 e a Figura 140 ilustram como a dupla H&C
relacionou a conjectura formulada na Tarefa Conjecturar 3 e os argumentos
apresentados na Tarefa Provar 4.
Figura 139: Resposta da dupla H&C para a Tarefa Conjecturar 3.
A Tarefa Provar 5 foi realizada somente pelas duplas participantes do primeiro
teste do Consecutivo. Ela foi retirada dos demais testes, pois enfatizava a relação
entre fatoração e divisibilidade que já fora trabalhada. A dupla B&G não respondeu à
questão por falta de tempo. A dupla G&N apresentou uma resposta contendo
argumentos discutidos pelos participantes durante a resolução da Tarefa Provar 2
(Figura 141).
247
Figura 140: Resposta da dupla H&C para a Tarefa Provar 4.
Figura 141: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Provar 5.
Apesar das duplas terem utilizado conjecturas já validadas por elas para
formularem novos argumentos nas tarefas-possível, ao analisar as interações vídeo-
gravadas, percebi que os participantes utilizaram abordagens diferentes para resolver
estas tarefas. As duplas G&N e B&G na Tarefa Provar 3, por exemplo, iniciaram a
atividade fazendo testes movimentando as barras de rolagem com a observação das
somas. Estes testes foram suficientes para que os participantes decidissem se era ou
não possível ter o número k satisfazendo a propriedade p. Para justificar suas
escolhas, ambas as duplas evocaram as conjecturas discutidas anteriormente na
Tarefa Conjecturar 2. A dupla L&M seguiu um caminho diferente. Logo após a leitura
do enunciado, os participantes relembraram as conjecturas trabalhadas na Tarefa
Conjecturar 2 e as utilizaram para decidir se era ou não possível ter o número k
satisfazendo a propriedade p. Os testes com as barras de rolagem foram realizados
posteriormente, como uma forma extra de convencimento. A Figura 142 e a Figura
143 ilustram este processo nas duplas G&N e L&M.
248
Figura 142: Interação da dupla G&N na Tarefa Provar 3.
Figura 143: Interação da dupla L&M na Tarefa Provar 3.
Notei que as tarefas-possível de certa forma engajaram os participantes num
processo de formulação de argumentos baseados em conjecturas já validadas por
eles, mas esta conexão ocorreu de diversas formas. Em algumas ocasiões, as
conjecturas já validadas serviram como base para inferências (Figura 143), em outras
Se continuar de 4 em
4 é possível encontrar
82. É 19+20+21+22.
37 e 44 não são
possíveis. Por quê?
37 é ímpar e 44 não aparece
na sequência quando se
aumenta de 4 em 4.
37 não é possível porque há
dois ímpares na sequência.
82 é, porque se
dividir 82 por 4 dá
resto 6.
Resto 2, porque o resto
tem que ser menor que o
divisor.
249
ocasiões, os testes com as barras de rolagem promoveram as conclusões e as
conjecturas já validadas forneceram explicações mais robustas para suportar tais
conclusões (Figura 142).
As Tarefas Provar 6 e 7 foram classificadas como tarefas-prove, pois
continham no enunciado explicitamente a expressão “prove que”. Uma vez que consta
na literatura o abandono da prova no ambiente escolar, minha intenção era a de
compreender o significado que os estudantes atribuem à expressão “prove que” e
verificar que tipos de argumentos eles constroem quando lidam com tarefas deste tipo.
As tarefas-prove foram realizadas somente pelas duplas do primeiro teste.
Para a Tarefa Provar 6, ambas as duplas apresentaram argumentos válidos e
similares para a conjectura de que a soma de oito números consecutivos é sempre
um número par (Figura 144 e Figura 145).
Figura 144: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Provar 6.
Figura 145: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Provar 6.
Para a Tarefa Provar 7, somente a dupla G&N apresentou um argumento
válido. Observando as interações vídeo-gravadas, foi possível notar que G&N
percebeu uma regularidade entre os valores do produto e seus divisores. Eles
testaram esta regularidade para diversos casos manipulando as barras rolagem para
alterar a quantidade de consecutivos e o primeiro número. Com os testes, eles
perceberam que a conjectura a ser provada na Tarefa 7 era um caso especial da
250
regularidade o qual eles haviam encontrado. Na Figura 146, é possível observar o
argumento escrito da dupla e perceber que, mesmo sem conhecer o conceito de
fatorial, as interações da dupla os levaram muito próximo da ideia de que o produto
de n consecutivos é sempre divisível por n!
Figura 146: Resposta da dupla G&N para a Tarefa Provar 7.
De forma geral, as tarefas que envolviam a divisibilidade do produto foram
mais desafiadoras para a dupla B&G. As interações entre as participantes e a
tecnologia não foram suficientes para fazer com que o conceito de divisibilidade fosse
associado ao conceito de fatoração, o que ajudou a outra dupla a responder tarefas
do mesmo tipo. Uma vez que esta relação não foi estabelecida, a dupla passou a criar
diversas conjecturas, relacionando a ideia de paridade com divisibilidade para
formular argumentos em cada tarefa, o que não levou a respostas satisfatórias
matematicamente. A Figura 147 ilustra o processo de resolução da Tarefa 7 para a
dupla B&G. É possível notar que as participantes fizeram diversos testes com os
painéis de representação, tentando buscar ideias para seus argumentos, e que, neste
processo de testes, diversas conjecturas e explicações foram formuladas sem
sucesso.
251
Figura 147: Interação da dupla B&G na Tarefa Provar 7.
Foi interessante notar que, durante a resolução das tarefas-prove, os
participantes não tentaram conferir se a conjectura expressa no enunciado era
verdadeira utilizando o Consecutivo. Ambas as duplas admitiram que a ideia expressa
no enunciado era verdadeira e os testes no ambiente foram realizados para tentar
formular argumentos para explicar essa validade. Isto me leva a acreditar que a
expressão “prove que” foi interpretada como “explique por que”. Esta associação não
ficou evidente somente na maneira como os participantes se comportaram para
resolver as questões, mas também em suas falas durante as interações. O trecho de
transcrição a seguir mostra como estas interpretações foram explicitadas no discurso
da participante B da dupla B&G.
[00:17:05.26] B: Provar não é a mesma coisa que explicar, não é?
[00:17:08.29] P: É ou não é? O que você acha?
[00:17:12.05] G: Eu acho...
[00:17:12.26] B: Porque se for pra explicar, é só a gente falar que... É a mesma coisa com
nove. Só que com nove vai sobrar um. E esse não vai sobrar. Então, a soma vai sempre dá
par porque [...] dois com um dá três, e seis, e aí dá sempre par.
O produto de 5 consecutivos é divisível por 120 porque 120 é
divisível por 5.
Eu acho que é
porque 120 é
divisível por 2. E onde você
encaixa o 5?
Eu acho que é porque o
produto de uma quantidade
ímpar de consecutivos é
sempre par.
Tentando verificar se o produto é divisível por 120.
Tentando verificar a
fatoração do 120.
252
As Tarefas Provar 8 e 9 foram classificadas como tarefas-contexto, pois
tinham como objetivo fazer com que os participantes buscassem explicações para
concordar ou discordar de conjecturas apresentadas em certos contextos. Ambas as
tarefas estavam presentes no primeiro e no terceiro teste.
Figura 148: Interação da dupla B&G na Tarefa Provar 8.
Dez das 13 repostas apresentadas para a Tarefa 8 continham argumentos
válidos matematicamente. Grande parte destes argumentos expressou uma relação
geral entre a quantidade de consecutivos e a paridade da soma. As interações vídeo-
gravadas apontaram que esta relação surgiu com a realização de testes sistemáticos
com as barras de rolagem do programa para movimentar a quantidade de
consecutivos de forma ampla e para movimentar o primeiro número de cada
sequência, bem como com a interação entre os participantes em buscar
contraexemplos para refutar conjecturas estabelecidas ao longo das discussões. O
esquema de interação da dupla B&G na Figura 148 ilustra este processo.
A soma é par quando
a quantidade de
consecutivos é par. Com 2 consecutivos
é sempre par e com
3 é ímpar.
Não é verdade. Com
dois consecutivos é
sempre ímpar.
E com três
consecutivos às vezes
dar par e às vezes dá
ímpar.
253
Adicionalmente, podemos comparar o esquema da Figura 148 com os
argumentos escritos da dupla B&G na Figura 149, os quais também foram
considerados uma resposta satisfatória para a Tarefa 8.
Figura 149: Resposta da dupla B&G para a Tarefa Provar 8.
Figura 150: Resposta da dupla H&C para a Tarefa Provar 8.
Ao analisar os argumentos inválidos apresentados na Tarefas Provar 8,
percebi que eles também estabeleceram uma relação entre a quantidade de
consecutivos e a paridade da soma, mas pareceram ter origem em testes limitados
com as ferramentas do Consecutivo. Desconfio que os participantes variaram a
quantidade de consecutivos para poucos valores pequenos, o que não permitiu que
254
eles percebessem as exceções das conjecturas que eles trouxeram à tona. Os
argumentos da dupla H&C (Figura 150) são um exemplo disso.
Seis das dez respostas apresentadas para a Tarefa Provar 9 continham
argumentos válidos matematicamente. De forma geral, estes argumentos foram
baseados na relação entre fatoração e divisibilidade do produto. Os argumentos da
dupla L&M podem ser considerados um exemplo de resposta satisfatória (Figura 151).
Figura 151: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Provar 9.
Ao observar os vídeos, percebi que as três duplas utilizaram diversos
recursos do programa para decidir se concordavam ou não com a conjectura
formulada no enunciado. As duplas G&N e B&G utilizaram o Painel Produto
Retangular para constatar que o produto de quatro números consecutivos era divisível
por 24. Para isso, ambas as duplas acionaram o painel, colocaram a altura do
retângulo em 24, modificaram o valor do primeiro número da sequência de
consecutivos e observaram que a área do retângulo era igual ao produto dos
consecutivos com os diferentes movimentos (Figura 152).
Figura 152: Painel Produto Retangular durante a resolução da Tarefa Provar 9 pela dupla G&N e
B&G.
255
A dupla L&M, diferentemente, manipulou as barras de rolagem com valores
pequenos, observou os resultados do produto e realizou cálculos mentais. Durante a
resolução desta tarefa, observei que a dupla G&N compreendeu como “navegar” pelas
representações afim de formular seus argumentos. Primeiramente, os participantes
acionaram o painel Produto Retangular para checar se havia a possibilidade da
conjectura proposta no enunciado ser verdadeira. Quando eles perceberam que sim,
iniciaram uma discussão tentando explicar porque. Na busca por explicações,
perceberam que a ideia de fatoração poderia ajudar e começaram a fazer testes no
Painel Fatoração na tentativa de formular um argumento consistente. O esquema da
Figura 153 ilustra esta interação.
Figura 153: Interação da dupla G&N na Tarefa Provar 9.
Adicionalmente, a Figura 154 apresenta a resposta escrita da mesma dupla
para a Tarefa 9.
O produto de 4
consecutivos é
divisível por 24.
Porque na fatoração
aparece 3 vezes o
número 2 e uma vez o
número 3 e
2.2.2.3=24.
Tem a ver com
fatoração.
256
Figura 154: Resposta da dupla G&N na Tarefa Provar 9.
Ao analisar os argumentos inválidos formulados para a Tarefa 9, notei que os
participantes concordaram com a conjectura proposta no enunciado, a qual afirmava
que o produto de quatro números consecutivos era divisível por 24, o que pode indicar
que eles utilizaram as ferramentas do programa para checar a plausibilidade da
conjectura; entretanto, minha interpretação é que as interações entre os participantes
não impulsionaram a relação entre a ideia de fatoração e divisibilidade, o que fez com
as duplas apelassem para outras explicações, como mostra a Figura 155 na qual a
dupla O&V usou a ideia de proporção para explicar a conjectura.
Figura 155: Resposta da dupla O&V para a Tarefa Provar 9.
A Tarefa Provar 10 foi classificada como tarefa-convença, uma vez que no
enunciado exigia-se explicitamente que o participante formulasse uma explicação a
qual convencesse um colega a respeito da validade da conjectura em questão. Minha
expectativa era que as duplas fizessem testes com as barras de rolagem para verificar
a plausibilidade da conjectura, mas que apelassem para os painéis de representação
e outras interações para formular argumentos convincentes.
257
A Tarefa Provar 10 foi proposta nos dois testes do Consecutivo. Os
participantes do primeiro teste concluíram rapidamente que a soma de três números
consecutivos era divisível por três, fazendo poucos testes com as barras de rolagem
com a observação simultânea da soma. Após esta constatação, ambas as duplas
iniciaram uma fase de discussão e testes com os painéis de representação para
buscar uma explicação convincente para a conjectura. Ambas as duplas acessaram o
Painel Tartaruga e perceberam que as tartarugas poderiam ser alinhadas em três filas
completas. A dupla G&N ainda acessou o painel resto e percebeu que a soma dos
restos era sempre três. Apesar de vários testes e discussões, as duplas não
formularam um argumento para explicar a conjectura constatada e decidiram pular a
questão deixando apenas uma resposta parcial.
Algo diferente ocorreu durante a resolução da Tarefa Provar 10, no terceiro
teste do consecutivo. Nove das dez duplas que responderam à questão apresentaram
um argumento válido. Estes argumentos foram baseados principalmente na ideia de
que a soma de três números consecutivos é da forma 3n + 3 e que esta expressão é
divisível por três (Figura 131). É possível interpretar que este tipo de resposta dos
participantes foi mediada pelas representações do Painel Algébrico e pelo fato dos
participantes estarem mais familiarizados a usar argumentos algébricos para
expressar ideias gerais, o que pareceu ser diferente para as duplas do primeiro teste.
Esta interpretação parece ter sentido, uma vez que, nos questionários de opinião
respondidos pelos participantes, sete destas nove duplas apontaram que o Painel
Algébrico foi o que mais ajudou a responder as tarefas.
Apesar de ter evidências que apontam para o fato do Painel Algébrico ser um
influente mediador na formulação dos argumentos para a Tarefa 10, no terceiro teste,
as interações vídeo-gravadas da dupla L&M revelaram outras possibilidades. A
participante L iniciou a resolução da tarefa fazendo diversos testes no Painel
Tartaruga. Com estas manipulações, a participante percebeu que as filas de três
números consecutivos sempre eram formadas por três vezes a mesma quantidade de
elementos mais três elementos remanescentes. L explicou suas ideias para o colega
M e formulou uma resposta algébrica no papel. O esquema da Figura 156 ilustra a
interação da dupla. Adicionalmente, é possível comparar as informações do esquema
com a resposta escrita da dupla na Figura 157.
258
Figura 156: Interação da dupla L&M na Tarefa Provar 10.
Figura 157: Resposta da dupla L&M para a Tarefa Provar 10.
É possível concluir que as respostas contendo representações algébricas
podem ter origem nas interações dos participantes com o painel algébrico, o que é
mais natural de aceitar, mas que outros tipos de interações também podem
impulsionar este tipo de resposta.
Dividi as Tarefas Provar em cinco categorias, pois tinha a intenção de verificar
se as características do enunciado dessas tarefas levariam os participantes a realizar
ações diferenciadas na interface, ou ainda, se levariam os mesmos a redigir respostas
semelhantes. Ao observar os vídeos e as repostas escritas, três regularidades me
chamaram a atenção.
Primeiramente, notei que as tarefas-possível engajaram os participantes na
redação de justificativas baseadas em resultados obtidos previamente nas Tarefas
É possível formar 3 filas
completas de tartarugas
porque dá pra ajustar os três
elementos que sobram.
A soma de três consecutivos é
divisível por 3 porque a soma
dos algarismos é divisível por 3.
A soma é divisível por 3
porque é 3 vezes o
mesmo número mais 3.
259
Conjecturar. Apesar de não haver nenhum termo no enunciado da questão ou dica
que sugerisse explicitamente que tal conexão fosse realizada, acredito que este
relacionamento ocorreu porque os participantes perceberam semelhanças entre o
conteúdo matemático das tarefas enquanto as resolviam. A percepção de
semelhanças entre o conteúdo das tarefas não inibiu o uso do Consecutivo. Verifiquei
que, durante a resolução das tarefas-possível, todos os estudantes vídeo-gravados
começaram suas interações fazendo testes com as barras de rolagem. Estes testes
foram importantes para que os mesmos validassem ou invalidassem cada alternativa
presente no enunciado. Neste contexto, as conexões entre tarefas se sobressaíram
porque mediaram a formulação de explicações as quais suportaram a validade das
conjecturas.
Outra regularidade que notei foi com relação às tarefas-prove. Percebi que,
em todas as tarefas deste tipo, os participantes utilizaram o Consecutivo para a busca
de explicações e não para a busca de exemplos que validassem o que estava
proposto no enunciado. A expressão “prove que” parece ter feito os estudantes
acreditarem na validade da conjectura em questão e se empenharem na busca de
justificativas mais robustas.
Por fim, notei que a tarefa-convença impulsionou os estudantes a procurar
uma justificativa mais formal para a conjectura proposta no enunciado. Nos
participantes do terceiro teste, estas justificativas foram representadas no papel com
elementos algébricos. Acredito que estes participantes já estavam familiarizados com
a ideia de que a álgebra pode ser utilizada para generalizar propriedades e que esta
generalidade poderia ajudá-los a criar argumentos convincentes.
Na próxima seção, discuto o papel da mediação social no processo de
resolução das Tarefas Provar.
10.3 As interações sociais nas Tarefas Provar
As interações das três duplas vídeo-gravadas me proporcionou uma
compreensão a respeito de como as interações sociais foram relevantes para os
participantes criarem argumentos durante o processo de resolução das Tarefas
Provar.
260
Para compreender este processo, observei fatores como (1) o tempo que as
duplas levaram para resolver as tarefas, (2) o volume das interações em cada caso
de análise e (3) os motivos que levaram os estudantes a discutirem ideias entre si e
com a pesquisadora. A seguir, apresento as reflexões desta análise.
De forma análoga ao que foi feito nas seções anteriores, determinei o tempo
despendido por cada dupla na realização de cada Tarefa Provar e o volume de
interações ocorridas. A Tabela 32 expressa estes resultados. Nela, é possível verificar
o tempo, em segundos, que cada dupla dispendeu em cada tarefa relacionado ao
volume de interações, o qual está representado pelas cores vermelha, amarela e
verde, correspondendo, respectivamente, a pouca, moderada ou intensa interação
entre os participantes.
Observando a Tabela 32, é possível notar que as interações dos participantes
nas Tarefas Provar variaram entre moderadas e intensas. Houve apenas um caso em
com pouca interação com a dupla L&M, na Tarefa 9. As duplas G&N e B&G,
participantes do primeiro teste, tiveram maior frequência de interações intensas,
enquanto a dupla L&M, participante do terceiro teste, teve maior frequência de
interações moderadas. Ao observar os vídeos, notei que, neste conjunto de tarefas,
os participantes assumiram uma postura mais questionadora, discutindo ideias entre
si e com a pesquisadora, formulando diversas conjecturas, explicações e refutações
durante a resolução das questões.
Tabela 32: Tempo (segundos) despendido por cada dupla na resolução das Tarefas Provar e Volume
das interações ocorridas.
Dupla TPro 1 TPro 2 TPro 3 TPro 4 TPro 5 TPro 6 TPro 7 TPro 8 TPro 9 TPro 10
G&N 62 748 389 169 184 220 366 609 227 533
B&G 250 593 501 143 - 150 251 357 123 400
L&M - - 146 341 - - - 570 100 349
O menor tempo registrado para resolução de uma Tarefa Provar foi associado
à dupla G&N na Tarefa 1. Ao observar os vídeos, foi possível notar que a dupla não
apresentou dificuldades na tarefa, determinou e explicou rapidamente a alternativa
correta da questão fazendo poucos testes com as barras de rolagem do programa. O
maior tempo registrado também foi associado à dupla G&N na Tarefa 2. As interações
261
vídeo-gravadas mostraram que os participantes despenderam bastante tempo
navegando entre os painéis Fatoração, Resto e Produto Retangular para compreender
a relação entre os conceitos de fatoração e divisibilidade. Estas interações foram
importantes, pois contribuíram para a formulação de argumentos consistentes para a
tarefa em questão e para outras tarefas posteriores.
Ao observar a Tabela 32, é possível notar que as interações das três duplas
participantes durante a resolução da Tarefa Provar 4 foram classificadas como
moderadas. Os vídeos mostraram que, nos três casos, em questão as duplas
responderam rapidamente a tarefa, pois reconheceram que propriedades descobertas
em tarefas anteriores poderiam ajudar na formulação de um argumento consistente.
A Tabela 33 apresenta os motivos que mais impulsionaram as interações
entre os participantes durante a resolução das Tarefas Provar e a frequência com que
eles apareceram nos casos analisados. É possível notar que as discussões a respeito
de como posicionar e manipular as ferramentas do programa foram pouco frequentes,
ao passo que as interações, as quais os participantes propuseram ideias, tentaram
compreender os argumentos do colega e refutar conjecturas com contraexemplos,
ocorreram em todos os casos analisados. Isto explica em parte porque as interações
neste tipo de tarefa variaram entre moderadas e intensas.
Tabela 33: Motivos das interações entre os participantes e a quantidade de Tarefas Provar em que os
mesmos ocorreram.
Código Motivo da discussão
Quantidade de Tarefas
1 Negociação posição das barras/painel 6
2 Questionamentos, dúvidas no enunciado ou nas representações dos painéis 15
3 Propor, compreender ou explicar ideias, conjecturas e argumentos 24
As minhas intervenções também contribuíram para que o volume de
interações aumentasse durante a resolução das tarefas. Estas intervenções
ocorreram com mais frequência com as duplas G&N e B&G para instigar, questionar
as conjecturas dos participantes oferecendo contraexemplos, esclarecer dúvidas
sobre os enunciados das tarefas e para fornecer algumas dicas quando os
participantes se encontravam “bloqueados”. A Tabela 34 apresenta uma lista dos
262
motivos que me fizeram intervir e a quantidade de tarefas, por dupla, que contaram
com minhas intervenções.
Tabela 34: Motivos das intervenções da pesquisa e a quantidade de Tarefas Provar em que os
mesmos ocorreram.
Quantidade de tarefas
Código Fator B&G G&N L&M Total
0 Sem intervenção 1 2 4 7
1 Dificuldades com a tarefa e instruções 5 6 - 11
2 Explicação de conceitos 1 1 - 2
3 Explicação da representação 0 1 - 1
4 Instigação e questionamento 6 8 1 15
Analisando a Tabela 34 é possível perceber que minhas intervenções
ocorreram com mais frequência quando os participantes tiveram dificuldades de
interpretar o enunciado das tarefas e quando houve necessidade de instigá-los com
questionamentos sobre as possíveis regularidades percebidas e explicações
oferecidas por eles. Notei também que as intervenções para explicar o significado das
representações presentes na tela diminuíram se comparado com as interações
ocorridas nas Tarefas Explorar e Conjecturar. Isto pode indicar que os participantes
ganharam familiaridade e destreza ao lidar com a interface do Consecutivo conforme
foram resolvendo as tarefas anteriores.
Nas próximas seções, discuto a respeito das análises das interações das três
duplas vídeo-gravadas. Enfatizo as principais ações realizadas durante o processo de
resolução das Tarefas Provar, a estrutura dos principais argumentos construídos
pelos participantes e o papel da tecnologia neste processo.
10.4 O desenvolvimento das Tarefas Provar e o papel do
Consecutivo
Como já mencionei anteriormente, para a análise do processo de formulação
de argumentos e justificativas nas Tarefas Provar, observei as interações das três
263
duplas vídeo-gravadas, as quais foram transcritas e transformadas em organogramas
de ação. Por meio da análise destes organogramas, minha intenção era revelar
padrões nas ações dos estudantes e compreender o processo de prova quando os
mesmos lidam com o Consecutivo.
Ao analisar os organogramas de ação, eu trouxe à tona os princípios de design
que nortearam o desenvolvimento do Consecutivo e as ideias sobre a estrutura de um
argumento sugerida por Toulmin (2003). Para isso, observei os organogramas de
ação tentando revelar como tais princípios mediaram a formulação de dados,
garantias, reforços, qualificadores e conclusões. Desta análise, emergiram três
categorias, as quais eu intitulei de: (1) dinamismo e executabilidade para gerar dados,
(2) co-ação e interações sociais para refutar, (3) representações e navegabilidade
para conferir conjecturas, formular garantias e reforços. A seguir, discuto cada uma
delas com mais profundidade.
10.4.1 Dinamismo e executabilidade para gerar dados
De acordo com as discussões do capítulo 7, desde as primeiras interações
com a interface do Consecutivo, os participantes mostraram que compreenderam
como manipular as barras de rolagem disponíveis na tela a fim de controlar o alcance
da reta numérica, os resultados da soma, do produto e as respostas dos painéis de
representação. Constatei que este tipo de manipulação também esteve presente em
todos os casos relacionados às Tarefas Provar.
Ao observar a estrutura dos argumentos em cada caso, notei que, em todos
eles, o conjunto de dados foi formado por pelo menos uma informação emergente das
interações dos participantes com as barras de rolagem, resultados da soma, do
produto e das representações (Ver Tabela 38).
Observei que os dados gerados com o dinamismo das barras e a
executabilidade dos resultados mediaram a (1) busca de explicações e sentido às
conjecturas envolvidas nas questões, (2) percepção de padrões e formulação de
novas conjecturas, (3) validação ou não hipóteses e (4) refutação e obtenção de
contraexemplos. A seguir, apresento e discuto dois casos destacando cada uma
destas características.
264
A Figura 158 mostra o organograma de ação da dupla G&N ao resolver a
Tarefa Provar 1. Neste caso, os participantes deveriam observar a soma de nove
números consecutivos e determinar se essa soma seria sempre par, sempre ímpar
ou, no caso de nenhuma das alternativas anteriores serem verdadeiras, determinar
quando a soma seria par. Ao observar a Figura 158, é possível perceber que a dupla
iniciou a tarefa com a leitura do enunciado e com o ajuste das barras de rolagem de
acordo com as informações que foram lidas, ou seja, os participantes leram a tarefa e
imediatamente movimentaram a primeira barra de rolagem para o número nove e
começaram a movimentar aleatoriamente a segunda barra de rolagem a fim de alterar
os valores da soma.
Figura 158: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 1, com destaque para os
princípios de design.
G&N:
Leitura
G: Ajusta e testa
G&N:
Escolhem
alternativa
N:
Testa
Barras, soma e
reta numérica
G:
Conjectura
A soma é par
quando o primeiro
número é par
G:
Reafirma
e testa
N:
Conjectura
N:
Discorda
e testa
Observam
resultados pares
e ímpares
Soma e reta
numérica
G:
Refuta
Quando o
primeiro é
par, o último
também é
N:
Concorda
A soma é par
quando o
primeiro e o
último são pares
Barras, soma e
reta numérica
Co-ação: o dinamismo das barras, a
executabilidade da soma mediou a
escolha da alternativa correta e
moldou as ações subsequentes
Co-ação e mediação social: os resultados na tela
mediaram as discussões entre os participantes,
promovendo refutações às invariâncias observadas
Representação e mediação social: a reta numérica
é usada para suportar conjectura e obter acordo
265
Com estes primeiros movimentos, os participantes perceberam que a soma
de nove consecutivos às vezes era um número par e às vezes era um número ímpar,
o que fez com que eles eliminassem as duas primeiras alternativas propostas no
enunciado da Tarefa Provar 1 e começassem a planejar uma maneira de perceber em
que condições a soma de nove consecutivos daria um número par (Figura 159).
Figura 159: Dinamismo da barra de rolagem e executabilidade da soma na Tarefa Provar 1 com a
dupla G&N.
Notei que, até este ponto, o dinamismo das barras de rolagem e a
executabilidade dos resultados da soma permitiram a co-ação e mediaram a
compreensão da dupla a respeito da proposta da tarefa, levando os participantes a
eliminar as duas primeiras alternativas com contraexemplos gerados pelo computador
e começar a planejar suas ações para complementar a resposta da alternativa correta.
Como consequência desta co-ação, a dupla passou a observar
simultaneamente os resultados da soma e a representação dos números na reta
numérica (Figura 160). Desta observação, o participante G concluiu que a soma de
nove consecutivos seria par se o primeiro número da sequência fosse par. O colega
N refutou a ideia dizendo que o primeiro e o último número da sequência deveriam ser
pares. G, não satisfeito, fez mais testes observando as somas e a reta numérica e
contestou o colega dizendo que se o primeiro número da sequência fosse par, o último
também seria. N observou os resultados na tela e concordou com o colega.
G&N fixam a quantidade
de consecutivos em 9 e
modificam o valor do
primeiro número para
observar as variações na
soma. Eles constatam
que às vezes a soma dá
resultado par e às vezes
dá resultado ímpar. Esta
constatação moldou suas
ações subsequentes.
266
Com estas interações, eu pude notar que o dinamismo das barras de rolagem,
a executabilidade dos resultados da soma e a representação dos números na reta
numérica formaram um conjunto que mediou as discussões dos participantes,
engajando-os numa situação de refutação e defesa de uma ponto de vista.
Figura 160: Representação da reta numérica mediando as respostas de G&N na Tarefa Provar 1.
A Figura 161 mostra o organograma de ação da dupla L&M ao resolver a
Tarefa Provar 9. Neste caso, o enunciado da tarefa possuía um texto contextualizado
nas ações de um personagem chamado “Joãozinho”. A dupla deveria concordar ou
discordar da ideia do personagem, explicando porque o produto de quatro números
consecutivos é sempre divisível por 24. Baseando-se nas informações do enunciado,
a participante L colocou a primeira barra de rolagem na direção do número quatro e
passou a movimentar a segunda barra de rolagem observando as mudanças nos
resultados do produto.
Com a movimentação das barras, L nota que os produtos são valores de
grande magnitude e ela passa a questionar como é possível saber que tais valores
são divisíveis por 24 sem realizar o cálculo no papel. Neste momento, o colega M
intervém e, sem muita certeza, afirma que os produtos são divisíveis por 24 e que a
explicação tem a ver com a ideia de fatoração. Com esta constatação, M percebe que
24 é igual a 2x2x2x3 e afirma que estes fatores também estão no produto porque
numa sequência de cinco consecutivos tem-se pelo menos um número múltiplo de
dois, um múltiplo de 3 e um múltiplo de 4 (Figura 162).
G&N observam a
reta numérica para
determinar quando
a soma de nove
consecutivos é par.
267
Figura 161: Organograma de ação da dupla L&M na Tarefa Provar 9, com destaque para os
princípios de design.
Figura 162: Dinamismo das barras de rolagem e a executabilidade do produto na Tarefa Provar 9 da
dupla L&M.
Nestas interações, percebi que o dinamismo das barras de rolagem e a
executabilidade dos resultados do produto mediou a compreensão da tarefa para a
participante L. Esta compreensão foi verbalizada explicitamente para o colega de
dupla, fazendo com que o mesmo relacionasse o propósito da tarefa em questão com
o de outra tarefa realizada anteriormente (TOrg 4). Esta conexão permitiu que a dupla
formulasse garantias e reforços para suportar a conjectura do personagem Joãozinho.
L&M:
Leitura
L:
Testa
L:
Questiona
M:
Prova
Barras e
produto
L: Concorda e
responde
João está
correto e tem
a ver com
fatoração
M:
Conjectura
Observa os resultados
dos produtos e afirma
que deve-se provar
que todos são
divisíveis por 24
TOrg 4
Dinamismo e executabilidade: o dinamismo das barras
e a executabilidade do produto mediou a compreensão
da tarefa
Organização das Tarefa: argumentos formulados em
tarefas anteriores mediaram a criação de reforços para
as novas tarefas
O produto contém os
fatores 2.2.2.3 porque
tem um múltiplo de 2,
de 3 e de 4.
Com o dinamismo da barra de
rolagem e a executabilidade
dos resultados do produto, L
percebeu que os valores
aumentavam rapidamente e
questionou como seria possível
determinar a divisibilidade por
24. O colega M justifica
associando a ideia de
divisibilidade com a ideia de
fatoração, já trabalhada na
TOrg 4.
TOrg 4
268
Como já abordado no início desta seção, os dados gerados pelo dinamismo
das barras de rolagem, pela executabilidade dos resultados da soma, do produto e
das representações mediaram diversas ações dos participantes no andamento das
tarefas. Muitas vezes, num mesmo caso, o dinamismo e a executabilidade
desempenharam vários papéis, como destacado no caso da Tarefa Provar 1 com a
dupla G&N (Figura 158). A Tabela 35 mostra a frequência de casos com que cada
uma destas ações apareceu durante a resolução das Tarefas Provar nas interações
das duplas vídeo-gravadas.
Tabela 35: Ações dos participantes mediadas pelos dados gerados com o dinamismo barras de
rolagem e a executabilidade das respostas do programa e a quantidade de Tarefas Provar em que
estas ações ocorreram.
Ações Quantidade de Tarefas
1 Procurar explicações e dar sentido às tarefas propostas 20
2 Perceber padrões e formular conjecturas 14
3 Validar ou não hipóteses 15
4 Refutar e/ou obter contraexemplos 11
Ao analisar a Tabela 35, podemos notar houve certo equilíbrio entre as
frequências apresentadas para cada ação. Além disso, é possível notar que os dados
gerados com o dinamismo das barras de rolagem e a executabilidade dos resultados
mediou pelo menos uma das ações dos participantes em quase todas as Tarefas
Provar propostas.
A ação que foi mais influenciada por estes recursos foi a de procurar por
explicações e sentidos para as tarefas. A análise dos vídeos apontou que isto ocorreu
principalmente porque os participantes fizeram muitos testes com diversas
ferramentas da interface toda vez que se encontravam numa situação em que os
conceitos e estratégias que lhes eram familiares não foram suficientes para explicar
porque as conjecturas propostas nas tarefas eram verdadeiras ou não.
Em 11 dos 24 casos analisados houve a presença de refutações e
contraexemplos gerados devido ao dinamismo das barras e a executabilidade das
representações. Acredito que isto tenha relação com a natureza das tarefas
propostas. Tarefas em que os participantes deveriam discordar ou concordar com
269
alguma ideia foram mais susceptíveis de terem contraexemplos e refutações, como,
por exemplo, as Tarefas Provar 8 e 9.
10.4.2 Co-ação e interações sociais para refutar
Em grande parte dos casos envolvendo as Tarefas Provar (15/24), os
participantes formularam diversas conjecturas na tentativa de explicar as situações as
quais eles estavam engajados. Muitas destas conjecturas não eram válidas
matematicamente porque foram trazidas à tona com a observação de poucos dados;
entretanto, como os participantes continuavam suas explorações no Consecutivo após
a formulação das mesmas, as respostas geradas pelo programa com a movimentação
das barras de rolagem possibilitava a percepção de contraexemplos para muitas
delas. Quando estes contraexemplos não partiam da observação das respostas do
computador, eles surgiam nas discussões entre os participantes. A seguir, apresento
e discuto três casos a fim de revelar como a tecnologia e as interações sociais
mediaram o processo de refutação no Consecutivo.
Figura 163: Organograma de ação da dupla L&M na Tarefa Provar 4, com destaque para os
princípios de design.
L&M:
Leitura
L:
Conjectura
M:
Refuta
L:
Testa
TOrg 4
M: Conjectura
4x5 é 20 e
20 não é
divisível
por 6
L&M:
Discutem
Os produtos devem
ser divisíveis por 6
(O que é verdade
para 3 consecutivos,
mas não para 2)
Barras e
produto
Organização das tarefas e
mediação social: a conjectura
de L foi baseada em tarefa
realizada anteriormente e foi
refutada com contraexemplo
gerado pelo colega
Co-ação: o dinamismo e a
executabilidade do produto
contribuíram para que L
descartasse sua ideia após
observar os resultados na tela e M
percebesse uma invariância
Abandona a
conjectura formulada
e pede que o colega
tente responder a
questão
Par x
ímpar
é par
L&M: Testa
M: Responde
Sem
sucesso Com base
na ideia de
paridade e
forma
algébrica.
TOrg 2 Painéis
Organização das tarefas:
Quando as representações não
ajudaram, os participantes
buscaram garantias e reforços
nas conjecturas e argumentos
formulados anteriormente.
270
O primeiro caso é aquele em que a dupla L&M está resolvendo a Tarefa
Provar 4 (Figura 163). A tarefa em questão exigia que os participantes explicassem
se seria possível encontrar 23, 52 e 156 como produto de dois números consecutivos.
Para isso, imediatamente após a leitura da tarefa, a participante L afirmou que os
números em questão deveriam ser divisíveis por 6. Acredito que ela fez uma
associação equivocada com a Tarefa Organizar 4 a qual afirmava que o produto de
três consecutivos era sempre divisível por 6. Ao ouvir a opinião de L, o colega M
apresentou um rápido contraexemplo: 4x5 é 20 e 20 não é divisível por 6. Este
contraexemplo gerou uma discussão entre os participantes e fez com que L
começasse a manipular as barras de rolagem e observar os resultados do produto
(Figura 164).
Figura 164: Dinamismo das barras rolagem e percepção de invariâncias na Tarefa Provar 4 da dupla
L&M.
Com esta observação, M notou que o produto de dois consecutivos era um
número par e fez uma conexão com uma regra já conhecida por ele: par vezes ímpar
é sempre par. Esta conexão fez com que os participantes percebessem que 23 não
poderia ser o produto de dois números consecutivos. Com os movimentos das barras
de rolagem, eles perceberam que 156 era o produto de 12 e 13. E ao destacar a forma
algébrica do produto de dois consecutivos (n²+n), a dupla mostrou porque 52 não
poderia aparecer como produto.
É válido observar que as discussões entre os participantes e particularmente
o contraexemplo fornecido por M, antes mesmo de qualquer manipulação com as
ferramentas do software, desencadearam uma série de ações que mediou a
formulação de garantias e reforços para o argumento construído pela dupla.
Ao movimentar as barras de rolagem a dupla percebe que o
produto de dois consecutivos é par.
271
O segundo caso é aquele em que a dupla G&N resolve a Tarefa de Prova 8
(Figura 165). Nesta tarefa, a dupla precisava explicar porque as conjecturas
formuladas por dois personagens, Joãozinho e Pedrinho, não eram válidas. A primeira
conjectura afirmava que a soma de uma quantidade par de números consecutivos
seria sempre par. A segunda, afirmava que a soma de uma quantidade ímpar de
consecutivos seria sempre ímpar.
Figura 165: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 8, com destaque para os
princípios de design.
Neste caso, após a leitura do enunciado, a dupla G&N começou a fazer suas
primeiras explorações no ambiente movimentando ambas as barras de rolagem a fim
de observar diversas sequências com diferentes quantidades de consecutivos. Destas
explorações iniciais, os participantes formularam algumas conjecturas e as testaram
com mais manipulações das barras e observações dos resultados da soma. Mesmo
com os testes, ainda apareceram conjecturas que eram válidas apenas para alguns
G&N:
Leitura
G: Ajusta e testa
G&N:
Discussão
G:
Conjectura
Barras, soma e
reta numérica
N:
Testa
Quando a quant.
É ímpar a soma
pode ser par ou
ímpar
N:
Conjectura
G:
Refuta
G:
Conjectura
Sobre as
propriedades
da paridade
N:
Conjectura
Com três
consecutivos
pode dar par
G&N:
Responde
Com dois
consecutivos a soma
dá sempre par
Barras, soma e
reta numérica
Co-ação e mediação social: o dinamismo das barras de rolagem, a executabilidade da soma e as
discussões entre os participantes mediaram a percepção de invariâncias.
Co-ação e mediação social: os resultados das somas na tela foram
usados como contraexemplos das invariâncias observadas e foram
usados como garantias no argumento
A soma
depende da
quantidade de
consecutivos
Quando a
quant. É par
a soma é par
(provável)
Com
contraexemplos
272
valores, como no caso em que o participante N que afirmou que a soma de uma
quantidade par de números consecutivos seria par. É bem provável que N tenha
chegado a esta conclusão ao observar a soma de quatro números consecutivos, a
qual sempre tem como resultado um número par. Esta conjectura limitada, formulada
por N, foi refutada pelo colega G o qual mostrou, com resultados na tela do
computador, que quando se tem dois consecutivos a soma é sempre ímpar.
A dupla G&N não teve dificuldades de contestar a conjectura a qual afirmava
que a soma de uma quantidade ímpar de consecutivos é ímpar. Em suas primeiras
explorações e observações, os participantes notaram que, com três consecutivos, a
soma poderia ser par ou ímpar (Figura 166).
O terceiro, e último caso nesta seção, é aquele em que a dupla B&G resolve
também a Tarefa Provar 8. Ao observar a Figura 167, é possível perceber que as
ações da dupla B&G para resolver a tarefa foram muito similares às ações da dupla
G&N (Figura 165). A dupla B&G começou a tarefa fazendo explorações iniciais com
as barras de rolagem de modo a obter diversas sequências com diferentes quantidade
de números consecutivos. Destas observações, a dupla também formulou conjecturas
válidas em contextos restritos, as quais também foram refutadas por contraexemplos
retirados das respostas do programa e apresentados nas discussões entre os
participantes.
Figura 166: Dinamismo das barras de rolagem e refutações na Tarefa Provar 8 da dupla G&N.
Com poucos movimentos
com as barras de rolagem,
a dupla G&N percebe que
a soma de uma quantidade
ímpar de consecutivos
pode dar par ou ímpar.
273
Figura 167: Organograma de ação da dupla B&G na Tarefa Provar 8, com destaque para os
princípios de design.
É possível dizer que, para as duplas G&N e B&G na Tarefa Provar 8, o
dinamismo das barras de rolagem, a executabilidade da soma e as discussões entre
participantes mediaram a formulação de conjecturas e contraexemplos que foram
usados como garantias e suportes no argumento.
Notei que, muitas vezes, as respostas do computador não são suficientes
para que os participantes percebam que uma conjectura proposta não é válida;
entretanto, as interações sociais podem complementar as discussões “cobrindo” o
papel da tecnologia.
Ao analisar os casos em que os participantes apresentaram respostas
incorretas às tarefas propostas, percebi que os mesmos formularam conjecturas
restritas devido aos testes limitados com as barras de rolagem. Estas conjecturas não
foram refutadas devido à falta de testes mais aprofundados com as ferramentas do
Consecutivo e a pouca interação entre os participantes. Este foi o caso, por exemplo,
no caso em que a dupla B&G resolvia a Tarefa Provar 9 (Figura 168). Nesta tarefa, a
dupla deveria explicar porque o produto de quatro números consecutivos é divisível
por 24.
B&G:
Leitura
B:
Testa
G:
Conjectura
P:
Sugere
Barras, Soma
e P. tartaruga
B: Testa
A soma é par
quando a
quantidade de
consecutivos é par
G:
Conjectura
Barras e
Soma
Co-ação: o dinamismo das barras e a
executabilidade da soma mediaram a
percepção de invariâncias.
Co-ação e mediação social: o dinamismo das barras e a executabilidade
da soma associados às discussões entre as participantes e a
pesquisadora mediaram a percepção de contraexemplos que foram
usados como reforços
Com dois
consecutivos
é par e com
três é ímpar
Investigar
B: Refuta
B: Prova
Com dois
consec. a
soma é
ímpar
Discorda
porque com 2
consec. A soma
dá ímpar e com
3 às vezes dá
par.
274
Figura 168: Organograma da Tarefa Provar 9 da dupla B&G, com destaque para os princípios de
design.
Na Figura 168, é possível observar que, após a leitura da tarefa, a dupla B&G
faz algumas explorações iniciais no Painel Produto Retangular e constata que o
produto de quatro consecutivos é divisível por 24 ao movimentar as barras de rolagem
e avaliar as respostas dadas pelo painel: a área do retângulo é igual ao produto dos
números consecutivos (Figura 169).
Figura 169: Representação do painel Produto Retangular na Tarefa Provar 9 da dupla B&G.
Após constatarem que a conjectura em questão fazia sentido, as participantes
passaram a procurar explicações que pudessem sustentar a ideia. A participante B
sugere que o produto de quatro números consecutivos é divisível por 24 porque 24 é
divisível por 4, que é a quantidade de consecutivos. A colega de dupla não faz testes
B:
Leitura
G: Testa
B:
Instrui
G&N:
Conjec
tura
Barras, painel
P. Retangular
B: Prova
A altura do
retângulo
deve ser 24
G:
Testa
Barras e painel
P. Retangular
Co-ação e representação: o dinamismo das barras e a executabilidade
da representação do painel Produto Retangular mediou a percepção de
invariâncias e a aceitação da conjectura em questão.
Co-ação e mediação social: Testes
limitados e pouca interação entre as
participantes mediaram a formulação
de uma garantia inválida.
A conjectura
é verdadeira
G: Responde
Porque 24 é
divisível por 4,
que é a
quantidade de
consecutivos
275
com as ferramentas do programa e nem apresenta um contraexemplo para refutar
esta afirmação. Ambas encerram as discussões e redigem a resposta com as
garantias apresentadas.
Figura 170: Representação do painel Produto Retangular sugerida para a Tarefa Provar 9.
Para refutar a afirmação de B, a participante G poderia ter feito testes com o
painel Produto Retangular usando outra quantidade de números consecutivos. Se
utilizasse cinco consecutivos, por exemplo, ela veria que o produto também é divisível
por 24, embora 24 não seja divisível por 5 (Figura 170).
Vale lembrar que, de acordo com a Tabela 32, este caso da dupla B&G teve
um volume moderado de interações e durou apenas 123 segundos. Por esta razão,
eu o considero como mais um indício de que a mediação social desempenha um papel
importante quando as interações com as ferramentas do programa ocorrem de
maneira limitada. A mediação social pode ser considerada uma “cobertura” ao papel
desempenhado pela tecnologia.
10.4.3 Representações e navegabilidade para conferir conjecturas, formular
garantias e reforços.
Ao observar as interações das duplas vídeo-gravadas, percebi que os
participantes não utilizaram muitas vezes as representações disponíveis na interface
como fonte para a criação de garantias e reforços para o argumento (Veja Tabela 39
e Tabela 40), no entanto, quando eles fizeram uso dos mesmos, conseguiram formular
explicações mais robustas. Para ilustrar esta situação, apresento e discuto dois casos:
276
aquele em que a dupla G&N resolve a Tarefa Provar 6 e aquele em que a dupla L&M
resolve a Tarefa Provar 10.
A Tarefa Provar 6 exigia que os participantes provassem que a soma de oito
números consecutivos era um número par. A Figura 171 nos mostra que, após a leitura
do enunciado da tarefa, o participante N observou a representação da reta numérica
na tela e executou alguns cálculos mentais enquanto isso.
Figura 171: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar 6, com discussões sobre o papel
da tecnologia.
Figura 172: Reta numérica mediando as garantias e reforços formulados pelo participante N na Tarefa
Provar 6.
G&N:
Leitura
N: Cálculo
mental
N:
Prova
G:
Prova
Reta Numérica
N: Refuta
Somando-se dois
consecutivos tem-
se ímpar.
Somando-se 4
ímpares, tem-se par
G&N:
Discutem
Reta Numérica
Representação e mediação social: A representação da reta numérica mediou a formulação
de garantias e reforços. As discussões entre os participantes trouxe à tona as ideias sobre
paridade que ambos haviam observado com o auxílio da reta.
Com 4 pares e 4
ímpares dá para
fazer par com par e
ímpar com ímpar,
gerando um par
G&N: Respondem
Re-explica
sua ideia
Reta Numérica
Ímpar Ímpar Ímpar Ímpar
Par Par
Par
277
Logo após estas ações, N apresentou sua prova dizendo que a soma era
sempre par porque com oito consecutivos é possível formar quatro duplas contendo
um número par e um ímpar, o que geraria quatro números ímpares, que somados
dariam um número par (Figura 172).
O participante G ouve a ideia do colega e contesta dizendo que a soma é
sempre par porque numa sequência de oito consecutivos há quatro pares e quatro
ímpares, de modo que ao somarmos os pares tem-se um par e ao somarmos os
ímpares tem-se um par também (Figura 173).
Figura 173: Reta numérica mediando as garantias e reforços formulados pelo participante G na
Tarefa Provar 6.
N ouve o colega, mas volta a explicar a situação com as garantias e reforços
que ele mesmo formulou. Ambos os participantes chegaram ao consenso de que
ambas as ideias estão corretas, mas, no papel, cada um escreve sua resposta do jeito
que pensaram por si.
É interessante observar que, neste caso, a reta numérica disponível na tela
foi uma representação que mediou a criação de garantias e reforços para o
argumento. Acredito que, ao verem os números na reta, os participantes notaram que
as propriedades da paridade com as quais já estão familiarizados poderiam fornecer
justificativas para a conjectura a ser provada.
Par
Par
Par
278
Figura 174: Organograma de ação da dupla L&M na Tarefa Provar 10, com discussões sobre o papel
da tecnologia.
A Figura 174 representa o caso em que a dupla L&M resolve a Tarefa Provar
10. Nesta tarefa, os participantes precisavam explicar convincentemente a um colega
porque a soma três números consecutivos é sempre divisível por 3. Ao observar a
figura, notei que, após a leitura do enunciado, a participante L começa a fazer
explorações movimentando as barras de rolagem e observando as representações do
painel Tartaruga ao mesmo tempo. Com estas explorações, L percebeu que quando
se tem três números consecutivos é sempre possível formar três filas com a mesma
quantidade de tartarugas e ainda há três tartarugas de sobra.
Figura 175: Representação do painel Tartaruga mediando a formulação de garantias e reforços da
participante L na Tarefa Provar 10.
O colega M leu o enunciado após L efetuar as explorações no programa.
Quando o participante compreendeu o que deveria ser feito na tarefa, observou
poucos resultados da soma na tela do computador e, utilizando uma propriedade com
L:
Leitura
L: Teste
M:
Leitura
M: Testa e
Prova
Barras e painel
Tartaruga
L: Refuta
A soma é três
vezes o mesmo
número mais 3.
Isso é divisível
por 3.
L:
Testa
Painel
Tartaruga
Co-ação e representação: O dinamismo das barras e a executabilidade da representação do painel
Tartaruga mediaram a formulação de garantias e reforços para a conjectura em questão.
A soma é
divisível por 3
porque a soma
dos algarismos
é divisível por 3
L: Prova
Tem 3 filas com
a mesma
quantidade de
tartarugas e mais
3 sobrando
Painel
Tartaruga Barras e
Soma
279
a qual já estava familiarizado, concluiu que a soma de três consecutivos era sempre
divisível porque a soma dos algarismos era um número divisível por três. L ouviu a
explicação do colega e complementou-a com as observações que havia notado no
painel Tartaruga. M não compreendeu as ideias da colega, o que fez a mesma explicar
com mais detalhes que ela havia percebido que com três consecutivos era sempre
possível formar três filas com o mesmo número e que sempre sobrariam três
unidades. Ela ainda explicou que isso era equivalente a dizer que a soma era da forma
3n+3. Esta última explicação convenceu ambos.
É interessante notar que, neste caso, as representações do painel Tartaruga
mediaram a criação de garantias e reforços para justificar a conjectura em questão.
As explicações mediadas por esta representação pareceram ser bastante
convincentes, uma vez que deram sentido às explicações algébricas com as quais os
participantes já estavam familiarizados.
Além de utilizar as representações para formular garantias e reforços, em
alguns momentos, os participantes conseguiram navegar por entre elas de tal modo
que uma representação foi usada inicialmente para validar a conjectura em questão e
a outra representação foi usada posteriormente para explicar porque tal conjectura
seria sempre válida. Para ilustrar este caso, discuto o caso em que a dupla G&N
resolveu a Tarefa Provar 9.
A Tarefa Provar 9 exigia que os participantes explicassem por que o produto
de quatro números consecutivos era sempre divisível por 24. Com a Figura 176
podemos observar que, após a leitura do enunciado, o participante N fez suas
primeiras explorações movimentando as barras de rolagem e observado os valores
do produto ao mesmo tempo. Ao notar que o produto poderia ser zero, N afirmou que
a conjectura não poderia ser verdadeira uma vez que, para ele, zero não seria divisível
por 24. Com a refutação da pesquisadora, N percebeu que confundiu as propriedades
e que, de fato, era o 24 que não seria divisível por zero. Após estas discussões, G&N
decidiram explorar o painel Produto Retangular e, com poucos movimentos realizados
com as barras de rolagem, concluíram que o produto era divisível por 24, pois a área
do retângulo de altura 24 era sempre equivalente ao produto dos números
consecutivos para qualquer sequência com quatro consecutivos que testavam. A
dupla não parou com as explorações após esta constatação. Continuou procurar por
explicações mais robustas ao observar as representações do painel Fatoração.
280
Ambos já estavam familiarizados com a relação entre fatoração e divisibilidade de tal
forma que, ao observarem as respostas no painel Fatoração, perceberam
rapidamente que o fator dois se repetia por três vezes e o fator 3 aparecia uma vez
em todas as sequências com quatro consecutivos testadas por eles.
Figura 176: Organograma de ação da dupla G&N na Tarefa Provar, com destaque para os princípios
de design.
Figura 177: Representação do painel Fatoração mediando a formulação de garantias e reforços da
dupla G&N na Tarefa Provar 9.
G:
Lê
G&N:
Afirma
N:
Teste
G:
Afirma
Barras e
Produto
G&N: Teste
O produto
pode dar
zero e
zero não é
divisível
por 24
P:
Refuta
Reta
Numérica
Co-ação e mediação social: Testes com as barra de rolagem e
observação dos resultados do produto fomentou a formulação de
um contraexemplo para a conjectura em questão. O
contraexemplo foi refutado com a intervenção da pesquisadora.
Joãozinho
está certo
G&N: Afirma
Joãozinho
está certo
e tem a ver
com
fatoração
Painel P.
Retangular
P:
Sugere
Joãozinho
está
errado
G&N: Teste
G&N: Prova
Porque
aprecem 3
números 2 e
um número 3
na fatoração
Painel
Fatoração
Representação e Navegabilidade: Testes com as
representações do painel P. Retangular levaram os participantes
a pensar que a conjectura era verdadeira, o que foi ratificado com
as explorações das representações do painel Fatoração.
281
Neste caso, notei que as representações dos painéis Produto Retangular e
Fatoração, quando articuladas, mediaram a formulação de garantias e reforços para
justificar a conjectura proposta. A representação do painel Produto Retangular
mostrou aos participantes que a conjectura fazia sentido e a representação do painel
Fatoração explicou porque ela era válida sempre.
A seguir, discuto a estrutura dos principais argumentos apresentados pelos
estudantes para sustentar suas justificativas nas Tarefas Provar.
10.5 A estrutura dos argumentos nas Tarefas Provar
Quando me deparei pela primeira vez com a ideia de estrutura fina do
argumento defendida por Toulmin (2003), tive a impressão de que ele estava
sugerindo que todo argumento, independente de área, começaria com a geração de
dados, seguida pela formulação de garantias, reforços, qualificadores e réplicas, até
que se obtivesse o estabelecimento de uma conclusão. Ao me aprofundar um pouco
mais em suas ideias, percebi que Toulmin (2003) defende apenas o fato de que a
estrutura do argumento é constante, mas que os momentos em cada um dos
elementos dessa estrutura são colocados em jogo podem não ter uma ordem
específica. Toulmin (2003) ainda afirma que não está interessado na maneira que os
argumentos veem à tona, mas em como as conclusões são justificadas e suportadas
dentro de certa área do conhecimento.
Como já foi mencionado no Capítulo 6, para adicionar certa temporalidade
aos principais argumentos criados pelos participantes nas Tarefas Conjecturar e
Provar, numerei cada uma das informações expressas em cada elemento dos
argumentos elaborados. Desta forma, verifiquei em quais momentos cada um destes
elementos foi trazido à tona pelos participantes. Esta numeração gerou 24 sequências
formadas pelas iniciais das palavras Dados, Garantias, Reforços, Qualificadores,
Réplicas e Conclusão. Cada sequência representa de forma sucinta o processo de
construção do principal argumento elaborado pelas duplas em cada Tarefa Provar,
como mostra a Tabela 36.
282
Tabela 36: Sequência em que cada um dos elementos de um argumento foi proferido pelos
participantes durante a resolução das Tarefas Provar.
Dupla TPro 1 TPro 2 TPro 3 TPro 4
G&N DGGCC DDDGDGQReIRDGC DGMDCDGICDGMC DDDGDGMC
B&G DDDDGGCRRI DGDGIDGC DDDDGDGDGQIReC DDDGICGM
L&M - - DDGMGIDGMDDC DDDGDCGRI
Dupla TPro 5 TPro 6 TPro 7
G&N DDDDGIGCGMC CDGGR CDGIDDGD
B&G - CDGDGRIQIRe DGCDGIGM
L&M - - -
Dupla TPro 8 TPro 9 TPro 10
G&N DDGRCDGRC DDGCDDGM DGCDDDGIQIRe
B&G DDGCDGC DDGCDDGI DGCDGQIRe
L&M CDGRIGRI DDDGIRIC DDGIGRC
D=Dado, G=Garantia, R=Reforço, Q=Qualificador, Re=Réplica, C=Conclusão, I=Informação implícita, M=Referência
explícita a uma tarefa realizada anteriormente. Em azul, argumentos com dados no começo. Em verde, argumento com
dados espalhados. Em rosa, argumento com conclusão no começo.
Ao analisar a Tabela 36, fiquei bastante surpresa com diversos aspectos das
sequências obtidas ao longo das Tarefas Provar. Primeiramente, é possível notar uma
variedade de sequências. Além disso, pode-se observar a existência de sequências
simples, com poucos elementos e poucas repetições, e também de sequências mais
complexas contendo todos os elementos propostos por Toulmin (2003), com
repetições ao longo das interações. Observei estas sequências tentando buscar
padrões e casos especiais os quais pudessem iluminar o processo de prova com o
Consecutivo. A seguir apresento os resultados desta análise.
A primeira característica que notei foi que em 20 dos 24 casos analisados os
participantes começaram a formulação dos argumentos coletando dados. Embora
esta não seja uma característica imposta pela estrutura sugerida por Toulmin (2003),
neste contexto, este parece ter sido o caso para a grande maioria dos argumentos
formulados. Minha interpretação é que o ambiente digital favorece este tipo de
comportamento. O Consecutivo tem uma interface atrativa para o estudante com
diversos botões para pressionar e diversas barras de rolagem para movimentar.
Acredito que esta atratividade foi umas razões para que os participantes começassem
283
o processo de prova coletando dados. Outra explicação pode ser encontrada na
estrutura das tarefas propostas aos participantes. Antes das Tarefas Provar, as duplas
realizaram as Tarefas Explorar e as Tarefas Conjecturar que solicitavam
explicitamente que o estudante fizesse manipulações com as ferramentas da interface
a fim de procurar padrões e regularidades. Este tipo de comportamento pode ter sido
internalizado pelos participantes e aplicado também às Tarefas Provar.
Notei que, nos casos em que a coleta de dados não foi a primeira ação, os
participantes começavam a argumentação admitindo a conclusão como verdade.
Após esta constatação, eles passavam a procurar dados, garantias e reforços para
suportar a conclusão. Estes casos ocorreram principalmente (3/4) nas Tarefas Provar
com a expressão “prove que” no enunciado. Minha interpretação é que, ao lerem o
enunciado das tarefas do tipo “prove que”, os participantes aceitaram a conjectura em
questão como verdadeira. Isto fez com que os mesmos não se envolvessem na
manipulação das barras de rolagem e observação simultânea da soma e do produto
para conferi-la, mas fez com que engajassem na formulação de garantias e reforços
que pudessem explicar a conjectura.
Percebi também que, excluindo-se os casos em que as interações
começaram com o estabelecimento de conclusões, algumas vezes, os dados para
suportar os argumentos foram coletados apenas no início da tarefa (6/20) e outras
vezes eles apareciam espalhados no argumento (14/20).
Notei três similaridades ao observar os casos em que os participantes
coletaram dados somente no começo da resolução da tarefa. Primeiramente, percebi
que grande parte dos argumentos possuía um conjunto com vários tipos de dados
(5/6), em todos os casos, os argumentos não possuíam qualificadores e réplicas (6/6),
e em alguns casos as garantias e reforços apresentados foram baseados nos
significados das representações do programa (3/6) ou em argumentos formulados em
tarefas anteriores pela dupla (3/6). Isto me leva a acreditar que um conjunto de dados
variados no início do argumento, associado à confiança que se teve nas garantias
e/ou reforços baseados nas representações do programa e/ou nos resultados de
tarefas anteriores, contribuiu para o estabelecimento da veracidade da conclusão, o
que fez com que qualificadores e réplicas não aparecessem no discurso dos
participantes.
284
Figura 178: Interação da dupla B&G na Tarefa Provar 1.
Figura 179: Interação da dupla L&M na Tarefa Provar 9.
Como ilustração destes casos, apresento a Figura 178, a qual mostra de
forma resumida como a dupla B&G resolveu a Tarefa Provar 1, e a Figura 179 na qual
a dupla L&M resolve a Tarefa 9. A Figura 179 ainda pode ser comparada com a Figura
185, a qual apresenta a estrutura do argumento da dupla L&M para a Tarefa 9. Ao
A soma nem sempre
é par e nem sempre
dobra. Alternativa A,
B ou C? É a C. É sempre
aquela que tem
que explicar!
A soma de 9 consecutivos é par quando o
primeiro número é par. Porque dá pra
juntar par com par e ímpar com ímpar e
vai sobrar um número. Se esse número
for par, a soma será par.
São 4 consecutivos e tem que
explicar por que o produto é
sempre divisível por 24. Mas
como a gente sabe que é?
Não sei porque, mas é
verdade. Olha na tela.
É que nem a outra
questão. Olha, 24
é 2x2x2x3. E em 4 consecutivos tem sempre
um múltiplo de dois, um de três e
um de quatro. Então, o produto
vai ser divisível por 24.
285
observar as ilustrações, notamos que os participantes coletaram dados somente no
início da interação, para verificar a plausibilidade da conjectura em questão, e que nos
momentos seguintes, eles se preocuparam em formular explicações que dessem
sentido à conjectura.
Figura 180: Interação da dupla G&N na Tarefa Provar 2.
Percebi duas similaridades ao observar os casos em que a coleta de dados
foi realizada em diferentes momentos da tarefa. No primeiro caso (9/14), notei que em
alguns participantes coletavam dados e estabeleciam garantias insuficientes para
concluir algo sobre a tarefa, o que os levava a uma nova coleta de dados e à
formulação de novas garantias. Em algumas ocasiões, este processo foi acrescido de
reforços, o que ajudou a explicar as garantias (2/9). Houve casos em que este
O produto nem sempre é
divisível por 4 porque 6
não é. Tem a ver com
fatoração.
Quando a gente teve 4
consecutivos e o 3 apareceu
na fatoração, o produto foi
divisível por 3.
Então, o produto de 3 consecutivos
é divisível por 4 quando aparecem
pelo menos dois números 2 na
fatoração. Porque 2x2=4.
286
processo foi acrescido de qualificadores e réplicas, o que indicou que, mesmo com
vários dados e garantias, os participantes ainda apresentaram ressalvas com relação
à validade da conclusão estabelecida (2/9). Apresento a Figura 180 para ilustrar esta
situação. Ao observar a figura, notamos que os participantes coletam dados em vários
pontos da interação até encontrar uma garantia a qual considerem plausível para o
contexto.
No segundo caso (4/14), percebi que os participantes coletavam dados em
momentos diferenciados porque a tarefa a qual estava sendo resolvida exigia que o
participante estabelecesse mais do que uma conclusão. Desta forma, a dupla
começava a coletar dados, formulava garantias e estabelecia uma conclusão. Em
seguida, coletava mais dados, formulava mais garantias e estabelecia outra
conclusão. A Figura 148 é um exemplo deste caso e ilustra as interações da dupla
B&G ao resolver a Tarefa 8.
Figura 181: Observações e interpretações a respeito das sequências de argumentos.
Principais características das sequências-argumento (24)
Argumentos iniciados por conclusão (4)
Em tarefas do tipo "prove que" (3)
Em outra tarefa (1)
Argumentos iniciados com vários tipos de dados (6)
Sem qualificadores e réplicas (6)
Com conjunto de dados variados (5)
Com garantias mediadas pelas representações do
Consecutivo (3)
Com garantias mediadas por resultados obtidos com
tarefas anteriores (3)
Argumentos com dados espalhados ao longo da
interação (14)
Os primeiros dados geraram garantias
insuficientes, necessitado de nova coleta de dados
(9)
A tarefa tinha vários objetivos, o que levou a várias coletas de dados
(4)
Outro (1)
287
O esquema da Figura 181 sintetiza as observações e interpretações
discutidas nos parágrafos anteriores.
Analisando as sequências de argumentos, observei também que, em alguns
casos, os reforços foram apresentados antes da aceitação da conclusão pelos
participantes (4/9) e, em outros casos, eles foram apresentados depois das
conclusões (5/9). Minha interpretação é que o aparecimento de reforços depois da
conclusão indica que os participantes se emprenharam em induzir as conclusões e
somente depois de seu estabelecimento buscaram explicá-las com reforços. Em
contrapartida, apresentar os reforços antes da conclusão pode ser um indício de que
os participantes estiveram pensando dedutivamente, uma característica marcante nas
provas formais apresentadas no contexto matemático. A tabela a seguir apresenta as
tarefas nas quais os participantes utilizaram os reforços antes e depois de
apresentarem suas conclusões.
Tabela 37: Lista de tarefas que apresentam reforços antes e depois do estabelecimento de
conclusões.
Reforço apresentado antes da conclusão
Reforço apresentado depois da conclusão
Tarefa Dupla Conteúdo Tarefa Dupla Conteúdo
TPro 2 G&N Produto TPro 1 B&G Produto
TPro 8 G&N Soma TPro 4 L&M Produto
TPro 9 L&M Produto TPro 6 G&N Soma
TPro 10 L&M Soma TPro 6 B&G Soma
TPro 8 L&M Soma
Observando a tabela é possível notar que a dupla B&G somente apresentou
reforços depois de ter chegado à conclusão da tarefa em questão. Isto pode indicar
que a dupla baseou suas conclusões nos dados fornecidos pelo programa, mas
somente foi convencida a respeito da plausibilidade das conjecturas propostas após
encontrar uma explicação mais robusta. A Figura 178 ilustra este caso. As duplas L&M
e G&N seguiram este caminho apenas uma vez. Além disso, a dupla L&M teve uma
frequência maior de reforços apresentados antes das conclusões, o que pode indicar
uma familiaridade com o raciocínio dedutivo, como a Figura 179 ilustra.
288
Analisando o conteúdo dos dados formulados pelos participantes em cada
caso, foi possível perceber a presença de (1) fatos coletados com a movimentação
das barras de rolagem em conjunto com a observação simultânea da
soma/produto/reta numérica; elementos das representações dos painéis (2) fatoração,
(3) produto retangular, (4) resto e (5) tartaruga; (6) cálculos mentais; (7) dados do
enunciado e (8) outros conhecimentos com os quais os participantes já estavam
familiarizados (paridade, divisibilidade, fatoração, outras conjecturas auxiliares, etc.).
Em todos os casos, os participantes começaram suas atividades lendo os enunciados
das tarefas propostas. Então, é possível admitir que os dados do enunciado das
questões fizeram parte do conjunto de dados de todos os argumentos formulados;
entretanto, considerei apenas e inseri nos esquemas que criei as informações do
enunciado com uma conexão direta e explícita com as garantias que sustentaram as
conclusões. A Tabela 38 apresenta a frequência de casos em que cada um destes
recursos foi utilizado para a geração de dados nos argumentos.
Tabela 38: Recursos utilizados pelos participantes para a geração de dados nas Tarefas Provar e a
quantidade de tarefas em que tais recursos foram utilizados.
Recurso Quantidade de tarefas
1 Movimentação das barras de rolagem e observação simultânea da soma/produto/reta numérica
21
2 Painel Fatoração 6
3 Painel Produto Retangular (somente no primeiro teste) 3
4 Painel Resto 1
5 Painel Tartaruga 2
6 Cálculos Mentais 7
7 Dados do enunciado 10
8 Outros conhecimentos 11
É possível observar que em 21 dos 24 casos os dados dos argumentos foram
compostos por fatos que os participantes coletaram com a movimentação das barras
de rolagem e observação simultânea da soma/produto/reta numérica. Este recurso
não foi utilizado pela dupla B&G nas Tarefas 7 e 9 e pela dupla G&N na Tarefa 9.
Durante a resolução de tais tarefas, estas duplas basearam seus argumentos em
dados retirados das representações dos painéis Fatoração e Produto Retangular;
contudo, é possível afirmar que as ferramentas do Consecutivo foram utilizadas de
289
alguma forma em todas as tarefas com o propósito de gerar dados para suportar os
argumentos. Os cálculos mentais, as informações do enunciado e os outros
conhecimentos familiares aos participantes complementaram estas interações.
De acordo com Toulmin (2003), garantias são regras e princípios que
conectam os dados à conclusão de um argumento. Ao analisar as interações das
duplas vídeo-gravadas, percebi que a formulação de garantias foi mediada por (1)
generalizações precedidas por cálculos mentais, (2) conceitos e propriedades da
paridade, (3) conceitos e propriedades da fatoração e divisibilidade, (4) conceitos e
propriedades dos números consecutivos, (5) propriedades e significados das
representações contidas no programa, (6) forma algébrica da soma ou do produto de
consecutivos, e (7) opiniões dos participantes. A Tabela 39 apresenta a frequência de
casos os quais tiveram tais fatores como mediadores das garantias propostas pelos
participantes.
Observando a Tabela 39, verifiquei que grande parte dos casos analisados
tiveram garantias mediadas pelos conceitos de números consecutivos, números pares
e ímpares, fatoração e divisibilidade, o que já era esperado devido ao conteúdo dos
enunciados.
Tabela 39: Fatores que mediaram as garantias propostas pelos participantes nas Tarefas Provar e a
quantidade de tarefas que apresentaram garantias mediadas por tais fatores.
Fator Quantidade de Tarefas
1 Generalizações precedidas de cálculos 7
2 Conceitos e propriedades da paridade 14
3 Conceitos e propriedades da fatoração e divisibilidade 11
4 Conceitos e propriedades dos números consecutivos 10
5 Significado das representações na tela 7
6 Forma algébrica da soma e do produto 1
7 Opinião dos participantes 6
O significado das representações disponibilizadas foi um mediador em apenas
sete casos, entretanto, pude notar que, nestes casos, as representações atuaram
como um “membro invisível” capaz de ajudar os participantes a obterem conclusões.
Este foi o caso, por exemplo, na Tarefa 7 com a dupla B&G (Figura 147) e na Tarefa
290
9 com a dupla G&N (Figura 153 e Figura 183), quando as representações do Painel
Produto Retangular mediaram as conclusões dos participantes sobre a divisibilidade
do produto de números consecutivos.
Em seis casos, as opiniões dos estudantes também mediaram a formulação
de garantias. A dupla B&G na Tarefa 1, por exemplo, concluiu que a soma de nove
números consecutivos era às vezes par porque esta era uma das alternativas da
questão que pedia uma justificativa. Para esta conclusão, estas participantes usaram
como garantia a opinião de que as alternativas das questões propostas aos
estudantes de forma geral são sempre aquelas que parecem mais difíceis de
responder. Algo similar ocorreu com a dupla G&N na Tarefa 2. Observei também que
as opiniões dos participantes da dupla L&M não foram mediadores para a formulação
de garantias para as Tarefas Provar. Os participantes apresentaram uma postura
muito crítica com relação às explicações dadas para as conjecturas. Eles sempre
procuraram explicações que fizessem sentido matematicamente.
De acordo com Toulmin (2003), as garantias são afirmações que estão
geralmente implícitas no discurso. Para ele, as garantias somente são reveladas
quando os dados apresentados são desafiados numa argumentação, entretanto, ao
observar os argumentos dos participantes, foi possível notar que, em muitas vezes, a
proposição de garantias foi feita explicitamente. Nas Tarefas Provar, considerei como
garantia 59 afirmações que os participantes expressaram. Destas, apenas 11 estavam
implícitas nas ações das duplas e foram inferidas por mim. As outras 48 foram
proferidas explicitamente pelos participantes enquanto os mesmos discutiam e
interagiam com o programa. Isto me leva a acreditar que, de alguma forma, os
participantes perceberam que somente os dados coletados com o Consecutivo não
eram suficientes para estabelecer e explicar as conjecturas do enunciado. Acredito
que, de certa forma, eles perceberam que revelar a conexão entre dados e conclusão
seria uma ação necessária para convencer o colega e a si mesmo.
Em síntese, as garantias apresentadas pelos participantes foram afirmações
que refletiam invariâncias percebidas por eles ao realizarem testes com as barras de
rolagem e com os painéis de representação; entretanto, em alguns casos, os
participantes baseavam seus argumentos em garantias as quais eram válidas apenas
em alguns casos e podiam facilmente ser contestadas dentro dos domínios da própria
tarefa que eles estavam realizando. Este foi o caso para a dupla B&G, na Tarefa 6, a
291
qual afirmou que a soma de uma quantidade par de consecutivos é par, o que e válido
apenas para uma quantidade de consecutivos múltipla de quatro (Ver Figura 84).
Observei que uma das garantias utilizadas pela dupla G&N, na Tarefa 9, foi
usada como Reforço na Tarefa 2 pela mesma dupla (Veja Figura 182 e Figura 183).
No primeiro caso, a explicação foi usada para conectar os dados coletados com a
conclusão obtida. No segundo, foi usada como suporte de uma das garantias. Uma
vez que na prática a Tarefa 2 foi realizada após a Tarefa 9, é possível notar que tal
fato representa um caso em que um reforço foi internalizado pelos participantes de
modo a se tornar familiar o bastante para ser uma garantia que conecta dados a
conclusões.
Figura 182: Estrutura fina do argumento da dupla G&N na Tarefa Provar 2.
De forma geral, os participantes manipularam as ferramentas do Consecutivo
sem questionar se as respostas do programa estavam corretas ou não. Esta confiança
ficou implícita nas ações dos participantes, uma vez que nenhum deles duvidou dos
resultados que apareciam na tela, não tentaram fazer cálculos paralelos no papel para
conferir as respostas e formularam afirmações generalizadoras com base nos
resultados que eles observaram no computador. Por este motivo, acredito que a
confiança nas respostas do programa foi um mediador das garantias formuladas em
292
todos os casos analisados. Minha interpretação é que esta confiança foi estabelecida
em parte por conta de alguns casos em que os participantes fizeram alguns cálculos
mentais simples e puderam perceber que suas respostas estavam parecidas com
aquelas oferecidas pelo programa. Além disso, a confiança na tecnologia, a qual
muitos apresentam no dia-a-dia, também pode ter contribuído para o estabelecimento
de tal comportamento.
Figura 183: Estrutura fina do argumento da dupla G&N na Tarefa Provar 9.
O fato dos participantes confiarem nos resultados do programa para gerar
dados e formular garantias permitiu que os mesmos ficassem mais focados nas
variações desses resultados, mas também pode ter inibido a procura por uma
justificativa baseada em propriedades matemáticas. Isto, em parte, justifica o fato de
apenas nove casos terem apresentado argumentos com reforços.
O conteúdo dos reforços apresentados pelos participantes foi bastante familiar
ao conteúdo das garantias, o que já era esperado, uma vez que, segundo Toulmin
(2003), os mesmos são afirmações que visam explicar, dar força e sentido às
garantias. Observei que os reforços apresentados estavam baseados (1) nas
(1) Representações dos painéis Produto
Retangular e Fatoração.
(2) Observação da mensagem “a área é igual
ao produto” no Painel Produto Retangular.
(5) Observação de que os números 2 e 3
sempre aparecem na fatoração.
(6) Observação de que 23x3=24
(4) O produto de
quatro
consecutivos é
divisível por 24.
(3) Quando a área do
retângulo de altura h é
igual ao produto, o
produto é divisível por h.
(7) Quando n aparece na
fatoração de p, n divide p.
A forma fatorada de várias sequências cujo produto é divisível por 3 no painel fatoração.
Toda sequência cujo
produto é divisível por 3
tem três na fatoração.
A menos que não funcione para outras sequências.
Acho
TPro 2
293
propriedades da paridade, (2) nas propriedades de fatoração e divisibilidade, (3) nas
propriedades dos números consecutivos, (4) na estrutura algébrica da soma e do
produto de consecutivos, e (5) no significado das representações apresentadas na
tela do computador. A Tabela 40 apresenta a frequência de tarefas em que tais ideias
foram usadas como reforço.
Tabela 40: Conceitos e propriedades que fizeram parte dos reforços formulados pelos participantes nas Tarefas Provar e a quantidade de tarefas em que os mesmos foram apresentados.
Reforço Quantidade de tarefas
1 Propriedades da paridade 5
2 Propriedades da fatoração e divisibilidade 1
3 Propriedades da paridade associada aos consecutivos 3
4 Estrutura algébrica da soma e/ou do produto 2
5 Significado das representações na tela 5
Com a Tabela 40, observa-se que, em grande parte dos casos, os reforços
foram compostos pelas propriedades da paridade, fatoração, divisibilidade e números
consecutivos, o que já era esperado tendo em vista as garantias que mediaram os
argumentos. Em cinco casos, os reforços apresentados foram mediados pelas
representações disponíveis no programa, como podemos ver no argumento da dupla
L&M, na Tarefa 10, no qual as representações do Painel Tartaruga foram usadas
como reforço para sustentar a ideia de que a soma de três números consecutivos é
divisível por três (Figura 156 e Figura 184).
Toulmin (2003) afirma que os reforços geralmente são afirmações implícitas,
as quais somente são reveladas quando as garantias do argumento são desafiadas.
Analisando as interações dos estudantes, notei que, em seis dos 12 reforços
apresentados nas Tarefas Provar, os conceitos e propriedades ficaram explícitos nas
falas e nas ações dos participantes (compare a Figura 84 com a Figura 184). Quando
contrastei estes casos com os organogramas de ação, notei que, assim como Toulmin
(2003) preconizou, os reforços ficaram explícitos ou porque os participantes
argumentaram entre si ou porque eu solicitei maiores explicações sobre as garantias
oferecidas. Observei ainda os casos em que os reforços ficaram implícitos e notei que,
ao contrário, as garantias apresentadas não foram desafiadas nas discussões entre
os participantes. Desta forma, eu pude concluir que as interações sociais possuem
294
grande importância no estabelecimento explícito de reforços. Quando há discussão e
alguma ideia é desafiada, os estudantes tendem a procurar explicações mais robustas
e as introduzem de forma explícita no argumento.
Uma das razões para representar as produções dos participantes na forma
proposta por Toulmin (2003) foi o fato de eu querer observar em que medida os
participantes utilizariam reforços baseados em propriedades matemáticas para
suportar seus argumentos. Para mim, o estímulo à produção de argumentos com
reforços pode representar um passo importante para a retomada da atividade de prova
mais formais em sala de aula.
Figura 184: Estrutura fina do argumento da dupla L&M na Tarefa Provar 10.
Com a análise dos dados, observei que foram apresentados reforços aos
argumentos em nove42 dos 24 casos analisados. A maior parte destes casos (7/9)
envolvia tarefas as quais tratavam da soma dos números consecutivos. Minha
interpretação é que as conjecturas envolvendo a soma de uma quantidade de
números consecutivos podiam ser facilmente explicadas usando as propriedades da
soma de números pares e ímpares. Estas propriedades já foram internalizadas pelos
42 Em três casos, os participantes ofereceram dois reforços no mesmo argumento.
(1) Na tela, várias sequências com três
consecutivos e a observação de que a soma
segue a sequência 3, 6, 9, 12, ...
(2) Representações do Painel Tartaruga: três
filas com a mesma quantidade de tartarugas
e mais três tartarugas sobrando.
(6) A soma de três
consecutivos é
divisível por 3.
(3I) Na sequência 3, 6, 9, 12...
todos os números são divisíveis
por 3 (cálculos mentais)
(4) A soma dos algarismos é
divisível por três (cálculos
mentais)
(5) As tartarugas formam três filas de n
elementos e mais três. Isso equivale a 3n+3.
3n+3 é divisível por 3 e é n+(n+1)+(n+2).
295
participantes devido a uma série de vivências que os mesmos tiveram no ambiente
escolar em outras ocasiões. Os participantes perceberam que poderiam explicar as
conjecturas envolvendo a soma com ideias familiares e aplicaram esta estratégia nas
tarefas que eles julgaram ser similares. Esta interpretação é consistente com os
resultados apresentados na Tabela 40, os quais mostram que o conteúdo dos reforços
em grande parte dos casos foi composto por propriedades da paridade.
Figura 185: Estrutura fina do argumento da dupla L&M na Tarefa Provar 9.
Notei também que em oito dos 24 casos analisados, os participantes tentaram
explicar as conjecturas propostas utilizando explicitamente argumentos formulados
em tarefas anteriores (Veja exemplo na Figura 183). Este comportamento parece ter
substituído a necessidade da formulação de reforços. Apenas no caso em que a dupla
L&M resolvia a Tarefa 9 é que foi possível perceber uma intersecção. Neste caso, a
dupla implicitamente utilizou como reforço argumentos discutidos na Tarefa Organizar
4 (Figura 185).
A maior parte dos casos em que estas conexões ocorreram (6/8) envolvia
tarefas relacionadas ao produto dos números consecutivos. Uma das interpretações
para isto é o fato de que as conjecturas envolvendo o produto de consecutivos não
poderiam ser explicadas facilmente com as mesmas propriedades da paridade
utilizadas para a soma, o que fez com que os participantes buscassem alternativas
(1) Informações do enunciado: os números 4
e 24.
(2) Várias sequências com quatro
consecutivos e seus respectivos produtos na
tela.
(3) Observação de que 23x3=24
(4) O produto de
quatro consecutivos é
divisível por 24.
(I) Quando n aparece na
fatoração de p, n divide p.
De acordo com a TOrg 4, o produto de três consecutivos é
divisível por 6 porque na fatoração aparecem o 2 o 3, uma vez
que na sequência tem sempre um múltiplo de 2 e outro múltiplo
de 3. Com 4 consecutivos tem sempre um múltiplo de 2, um de 3
e um de 4. E 2x3x4 =24
296
para suportá-las, como, por exemplo, apelar para argumentos discutidos em outras
tarefas. A Tabela 41 apresenta a lista de tarefas em que os participantes utilizaram
argumentos com reforços e/ou apelaram para argumentos discutidos em outras
tarefas para suportar as conjecturas.
Tabela 41: Tarefas Provar contendo argumentos com reforços e/ou com apelo a argumentos formulados em outras tarefas.
Argumentos com reforços Argumentos com conexões
Tarefa Dupla Conteúdo Tarefa Dupla Conteúdo
TPro 1 B&G Soma TPro 3 G&N Soma
Soma TPro 2 G&N Produto
Produto
TPro 3 L&M
TPro 4 L&M TPro 4 G&N Produto
Produto
Produto
Produto
Produto
Produto
TPro 6 G&N Soma
Soma
Soma
Soma
TPro 4 B&G
TPro 6 B&G TPro 5 G&N
TPro 8 L&M TPro 7 B&G
TPro 8 G&N TPro 9 G&N
TPro 9 L&M Produto TPro 9 L&M
TPro 10 L&M Soma
Ressaltei na seção 10.2 que inseri na interface do Consecutivo um grupo de
tarefas, as tarefas-possível, cuja intenção era fazer com que os participantes
estabelecessem conexões entre as conjecturas formuladas por eles em tarefas
anteriores e os argumentos a serem elaborados na tarefa em questão. Ao observar a
Tabela 41, é possível perceber que estas conexões ocorreram também em outras
tarefas com diferentes objetivos, como, por exemplo, na Tarefa 9.
Em apenas cinco casos foi possível identificar explicitamente qualificadores
e/ou réplicas nos argumentos formulados pelos participantes. Estes elementos
ficaram evidentes com o uso de uma série de expressões e questionamentos no
discurso falado das duplas, tais como “eu acho que”, “você aceitaria esta resposta?”,
“está é uma resposta plausível?”, “eu acho que não é possível convencer alguém com
isso".
A pouca presença de qualificadores e réplicas nos argumentos dos
participantes pode indicar que os mesmos confiaram nos resultados expressos pelo
Consecutivo e que as garantias e reforços criados por eles foram suficientes para que
297
a conclusão fosse estabelecida como verdade na maioria dos casos analisados. A
Tabela 42 apresenta a lista de tarefas e duplas em que os qualificadores e réplicas
apareceram.
Tabela 42: Lista das Tarefas Provar contendo qualificadores e réplicas no argumento e os motivos que mediaram a formulação dos mesmos.
Tarefa Dupla Conteúdo Motivo dos qualificadores e réplicas no argumento
TPro 2 G&N Produto G&N não tiveram certeza de que o produto era sempre divisível por 3, uma vez que o programa apresenta resultados limitados.
TPro 3 B&G Soma G percebeu que uma das garantias apresentadas poderia ser refutada e B não sabia com certeza se a regularidade que ela observou era importante para explicar as refutações propostas por G.
TPro 6 B&G Soma B ficou em dúvida se a explicação dada por ela era boa para situações do tipo “prove que”.
TPro 10 G&N Soma G&N consideraram as garantias apresentadas não eram suficientes para convencer outra pessoa sobre a validade da conjectura em questão.
TPro 10 B&G Soma B não se sentiu convencida sobre as garantias baseadas nas representações do painel Tartaruga apresentadas por G.
Observando a Tabela 42, é possível perceber que os qualificadores e as
réplicas apareceram apenas nos argumentos das duplas participantes do primeiro
teste e, na maioria das vezes (4/5), foram associados a tarefas envolvendo a soma de
números consecutivos. Para dar sentido a estas informações, reanalisei as interações
vídeo-gravadas apenas nos casos em que os qualificadores e réplicas apareceram.
Por isso, é possível observar na Tabela 42 uma coluna com os motivos que trouxeram
os qualificadores e réplicas à tona.
Com a análise dos vídeos, constatei que os qualificadores e réplicas fizeram
parte do discurso dos participantes quando os mesmos (1) ficaram receosos em usar
a palavra “sempre” para qualificar algumas conclusões, (2) perceberam a
possibilidade de refutação às garantias apresentadas, e (3) consideraram que as
garantias apresentadas não seriam suficientes para convencer outro interlocutor.
Para mim, os motivos que fizeram os participantes colocarem qualificadores
e réplicas nos argumentos são importantes para despertar a necessidade de uma
prova baseada em propriedades matemáticas, o que ocorreu nos três primeiros casos
298
apresentados na Tabela 42. Estes mesmos fatores também podem contribuir para que
os participantes fiquem desmotivados e desistam de procurar por explicações mais
convincentes por acharem que estas estão fora de seu alcance, o que ocorreu nos
dois últimos casos apresentados na Tabela 42.
Na próxima seção, apresento uma síntese das ideias discutidas neste
capítulo.
10.6 Considerações sobre as Tarefas Provar
O objetivo das Tarefas Provar era o de engajar o estudante na formulação de
justificativas que pudessem validar (ou não) conjecturas já propostas. Posso dizer que
esta meta foi alcançada em grande medida.
Ao analisar os casos em que os participantes ofereceram justificativas escritas
para as conjecturas propostas, notei que 78% das respostas poderiam ser
classificadas como provas. Isto quer dizer que a maioria das justificativas escritas dos
estudantes foram explicações logicamente conectadas as quais expressavam porque
determinada conjectura seria ou não válida. Neste contexto, a língua materna foi
utilizada para representar as ideias dos participantes em todas as produções. Nos
casos em que os estudantes já estavam mais familiarizados com as representações
algébricas, as provas escritas foram representadas com um misto de língua materna
e álgebra. Estas provas também foram baseadas em diversos conceitos matemáticos,
tais como o de fatoração, divisibilidade, números consecutivos, paridade e soma
algébrica.
Ao analisar as interações vídeo-gravadas de três duplas de participantes, notei
que o Consecutivo e a mediação social desempenharam um papel importante nas
provas formuladas.
No que tange à importância do Consecutivo, percebi que todas as justificativas
apresentadas tiveram origem em ações realizadas no ambiente. A principal ação
mediadora do processo de formulação de provas foi a coleta de dados gerados com
o movimento das barras de rolagem em conjunto com observações simultâneas da
soma, do produto e da reta numérica. Além disso, em alguns casos, os participantes
299
também buscaram explicações nas representações dos painéis disponíveis na
interface, principalmente no painel da fatoração e no da tartaruga.
Decidi analisar a estrutura dos argumentos apresentados pelos participantes
vídeo-gravados, pois queria compreender em que medida as provas formuladas por
eles seriam pautadas em propriedades matemáticas, ou seja, seriam provas
conceituais (BALACHEFF, 1988). Para isso, minha expectativa era que os
participantes formulassem argumentos contendo reforços (TOULMIN, 2003), o que
ocorreu em 38% das provas produzidas por eles. Estes reforços apareceram
principalmente nas conjecturas envolvendo a soma de uma sequência de números
consecutivos e tinham relação com as propriedades da paridade ou com a própria
estrutura da sequência. Em contrapartida, notei que, em 67% dos casos em que os
reforços não apareceram, os participantes formularam suas provas baseando-se em
garantias que foram discutidas em tarefas anteriores (Veja Figura 183). Isto ocorreu
principalmente nas tarefas-possível e também naquelas envolvendo o produto de uma
sequência de números consecutivos. Buscar garantias em tarefas anteriores parece
ter sido uma estratégia que substituiu a necessidade de reforços.
No que tange a importância da mediação social, ao observar as interações dos
participantes, notei que, durante o processo de prova, diversas conjecturas e
explicações emergiram. Muitas delas eram incoerentes ou tinham validade limitada.
Nas interações com o Consecutivo, grande parte destas incoerências foram facilmente
identificadas pelos participantes pela observação de contraexemplos na tela do
computador. Devido a testes limitados com as ferramentas da interface, em muitas
ocasiões, estes contraexemplos não surgiam na tela, mas apareciam nas discussões
entre os participantes. Por esta razão, considerei que as interações entre os
participantes, por muitas vezes, serviram como uma “cobertura” para as limitações
das ações mediadas pela tecnologia.
As interações sociais também mediaram o aparecimento explícito de reforços
nos argumentos, uma vez que notei a ocorrência de uma procura por justificativas
mais robustas quando um dos participantes ou a pesquisadora questionaram a
validade das garantias apresentadas.
No próximo Capítulo, retomo de forma sucinta as minhas questões de pesquisa
e apresento minhas respostas. Além disso, contrasto minhas discussões com
300
elementos da revisão de literatura e ofereço algumas sugestões para pesquisas
futuras em virtude das limitações deste estudo.
301
11. CONCLUSÕES
Quando comecei este estudo, eu tinha como objetivo a criação de um
ambiente computacional o qual engajasse estudantes da educação básica na
percepção de regularidades, na formulação de conjecturas no campo aritmético-
algébrico e na criação de suas respectivas justificativas.
Queria também aplicar o ambiente em sala de aula e verificar em que medida
ele contribuiu para o processo criação de provas mais formais. Para organizar minhas
ações neste segundo objetivo, eu me empenhei em responder as seguintes questões
de pesquisa: (1) com os recursos disponíveis no programa, como são as provas
produzidas pelos estudantes em termos de representações, conceitos matemáticos e
estrutura do argumento? E, (2) como as provas produzidas são mediadas pelas
ferramentas do ambiente e pelas interações sociais?
Para responder minhas questões de pesquisa, eu me norteei por uma
concepção de prova mais flexível do que aquela geralmente utilizada no universo
matemático. Para mim, a prova é uma explicação logicamente conectada a respeito
de uma conjectura. Neste contexto, a lógica não precisa vir necessariamente do
raciocínio dedutivo, mas precisa fazer com que as explicações dos estudantes sejam
coerentes matematicamente e convincentes para os mesmos e para seus pares.
No processo de análise das produções dos participantes, utilizei diversos
dados coletados e recursos que construí com o apoio da literatura sobre pesquisa
qualitativa, tais como as respostas escritas de cada tarefa realizada por eles, os
questionários de opinião de professores e estudantes, as transcrições das interações
de três duplas, os relatórios e organogramas de ação e os esquemas com a estrutura
dos argumentos produzidos nas Tarefas Conjecturar e Provar. Todos eles me
ajudaram a perceber padrões nas ações dos participantes enquanto os mesmos
lidavam com o Consecutivo, bem como contribuíram para que pudesse compreender
como este programa e as interações entre os estudantes mediaram o processo de
prova.
302
Cheguei a diversas conclusões interessantes após análise destes dados.
Para compartilhá-las com o leitor, eu as organizei em três categorias de modo a
atender aos meus objetivos e responder as minhas questões: (1) Provas conceituais
e em língua natural, (2) Provas empíricas, mas não ingênuas e (3) Os papéis do
Consecutivo e das interações sociais.
Preparei também uma seção para fechamento, discutindo as limitações deste
estudo e apresentando sugestões para pesquisas futuras.
11.1 Provas conceituais e em língua natural
Os participantes deste estudo interagiram com quatro tipos de tarefas:
Explorar, Organizar, Conjecturar e Provar. As Tarefas Conjecturar e as Tarefas Provar
foram aquelas cujo objetivo era engajar os estudantes no processo de prova. No caso
das Tarefas Conjecturar, os participantes deveriam formular justificativas para
conjecturas propostas por eles mesmos. Nas Tarefas Provar, deveriam criar provas
para conjecturas oferecidas nos enunciados que apareciam na tela do computador.
Tanto nas Tarefas Conjecturar quanto nas Tarefas Provar, grande parte dos
participantes foi capaz de construir justificativas coerentes e logicamente conectadas.
Para isso, preferiram redigir seus argumentos em língua natural ou com um misto de
língua natural e elementos algébricos e numéricos. Para mim, a preferência pelo uso
da língua materna e a ausência de respostas com indícios de manipulações algébricas
mecânicas indica que os estudantes se engajaram no processo de prova para
expressar de forma compreensível seus pensamentos e descobertas. Este resultado
se assemelha ao de Healy e Hoyles (2000). Neste estudo, as pesquisadoras
afirmaram que seus participantes preferiram redigir suas provas com argumentos em
língua materna porque eles ofereciam explicação e compreensão sobre as
propriedades matemáticas em questão. Além disso, os estudantes afirmaram que
argumentos algébricos eram mais difíceis de seguir e poderiam causar confusão se a
pessoa não estivesse muito certa a respeito da validade de uma conjectura.
Foi interessante notar que, apesar da interface do Consecutivo conter figuras
e elementos gráficos, as conjecturas e argumentos escritos construídos pelos
participantes não foram baseados em representações figurais. Tenho evidências de
303
que, durante as interações entre as duplas, os participantes lidaram com as
representações figurais e abstraíram propriedades importantes das mesmas,
entretanto, no momento de colocar seus pensamentos no papel, eles preferiram
utilizar a língua materna ou representações numéricas e algébricas. Isto me leva a
acreditar que as representações figurais foram importantes para dar insights sobre a
lógica por trás do conteúdo das tarefas. Uma vez que os participantes internalizaram
esta lógica, preferiram redigir suas respostas com representações mais familiares.
Com isto, notei que, para estes estudantes, as representações figurais não possuem
o mesmo status que as representações em língua natural, numérica e algébrica. Isto
provavelmente ocorre devido à dinâmica do currículo escolar, uma vez que nas aulas
de matemática não é comum utilizar figuras e esquemas para validar ideias. Healy e
Hoyles (2000), apesar de terem encontrado em seus dados justificativas baseadas em
representações figurais, também afirmaram que as provas de seus participantes foram
mediadas pelas escolhas curriculares de seu país. Este também parece ser o caso
aqui para meus participantes.
A maioria das provas produzidas pelos participantes desta pesquisa fazia
apelo aos conceitos de paridade, múltiplo, divisor, divisibilidade, fatoração e de
número consecutivo. Foram poucos os argumentos baseados somente em casos
particulares, cuja intenção era mostrar a generalidade de uma conjectura. Este
resultado se afasta um pouco daquele apresentado por Leandro (2010), o qual afirmou
que grande parte de seus participantes apresentou dificuldade em lidar com as ideias
de múltiplo e divisor e construiu apenas provas baseadas em cálculos. Este resultado
também se afasta daquele apresentado por Heinze e Reiss (2009), os quais afirmaram
que seus participantes possuíam conhecimentos para resolver problemas, mas não
foram capazes de aplicar tais conhecimentos para formular provas matemáticas. De
forma geral, meus participantes foram capazes de trazer à tona conhecimentos
familiares e utilizá-los para criar justificativas ao interagirem com o Consecutivo, com
as tarefas, com a pesquisadora e com outros colegas. O princípio da executabilidade
e a ideia de co-ação proposta por Moreno-Armella e Hegedus (2009) podem explicar
este resultado. O Consecutivo foi desenvolvido para que os cálculos e procedimentos
custosos fossem realizados pelo computador, permitindo que os participantes
guiassem as respostas do ambiente e fossem guiados por elas, formando ciclos de
304
ação – observação – ação que, quando relacionados a conceitos familiares, mediaram
a proposição de justificativas e explicações baseadas em propriedades.
Poucas provas construídas pelos participantes deste estudo podem ser
consideradas uma demonstração, mas muitas delas têm o potencial de progredir até
este estágio, pois, por diversas vezes, notei apelos a resultados anteriores e a
conhecimentos familiares e o uso de raciocínio dedutivo e de uma linguagem mais
formal. Este resultado é coerente com aqueles apresentados por Oliveira e Bittar
(2010) e Sales e Pais (2010) os quais, mesmo em contexto geométrico, notaram que
as provas de seus participantes continham uma argumentação justificatória racional e
passível de se tornar uma demonstração.
11.2 Provas empíricas, mas não ingênuas
Ao observar a estrutura de cada um dos argumentos criados pelos
participantes deste estudo e compará-la com o respectivo organograma de ação, notei
que, na grande maioria dos casos, as justificativas surgiram com a geração de dados
provenientes de ações com as barras de rolagem presentes na interface do
Consecutivo. Isto me leva a acreditar que todas estas justificativas possuíram uma
natureza empírica e experimental; entretanto, por muitas vezes, os participantes não
se limitaram aos resultados imediatos gerados pelo computador. Houve uma fase
posterior às explorações e à proposição de conjecturas. Nesta fase, os participantes
se engajaram em procurar justificativas mais robustas para seus resultados com
discursos bastante lógicos e convincentes dentro do domínio da matemática escolar.
Isto se assemelha aos resultados Sinclair e Robutti (2013) que afirmaram que as
interações com ambientes dinâmicos (neste caso de geometria) também fomentam
uma fase de provas.
Em muitos momentos, houve um movimento de ideias de casos particulares
para conclusões mais gerais baseadas nas propriedades percebidas com a mediação
tecnológica e social ou baseadas nos conceitos provenientes dos conhecimentos com
os quais os estudantes já estavam familiarizados. Isto me retorna aos estudo de Healy
(2000a) a qual afirma que a distinção entre empírico e conceitual fica “embaçada”
quando estamos lidando com a tecnologia digital, uma vez que, neste ambiente,
305
estudantes constroem objetos matemáticos para obter dados com os quais podem
abstrair futuras regularidades.
Em poucos casos analisados, os participantes deste estudo justificaram uma
regularidade apontando uma série de exemplos particulares. Se olhássemos apenas
para as respostas escritas destes participantes, teríamos a impressão de que as
mesmas seriam provas do tipo empirismo ingênuo; entretanto, com o acesso às ações
destes participantes enquanto os mesmos formulavam tais provas, foi possível
perceber que, ao mostrar uma série de casos específicos, eles estavam tentando
mostrar ao leitor como a conjectura surgiu, ou seja, como tomaram consciência
daquela regularidade. Para mim, este contexto é muito diferente daquele em que um
estudante apresenta uma série de exemplos para mostrar porque uma conjectura é
válida sempre. Neste ponto, notei que o processo de prova depende da tomada de
consciência, por parte do estudante, de que suas explicações precisam validar e
generalizar uma conjectura. Se a tarefa não proporciona este entendimento ou se o
aluno não o compreende, os discursos apresentados ainda podem ser argumentos
com lógica e estrutura e não podem ser considerados provas do tipo empirismo
ingênuo. Isto é consistente com a ideia de Balacheff (1988) de que é preciso ter
acesso ao processo prova para compreender qual é o nível de generalidade que o
estudante possui para determinada situação. Este resultado também me fez retomar
as ideias de Reid (2012) a respeito do sentimento de necessidade, uma vez que eu
tenho evidências de que tarefas que pedem para os estudantes explicarem por que
determinada regularidade ocorre podem não despertar o sentimento de necessidade
de uma prova.
11.3 Os papéis do Consecutivo e das interações sociais
Posso afirmar que os participantes desta pesquisa foram bem-sucedidos na
formulação de conjecturas. Todos eles conseguiram perceber regularidades e
expressá-las oralmente e no papel. Para mim, o dinamismo e a executabilidade das
representações presentes no Consecutivo foram os principais responsáveis por este
resultado. Com pouco tempo de interação, os estudantes aprenderam a manusear as
barras de rolagem e tirar conclusões por meio da observação simultânea dos
306
resultados da soma, do produto, da reta numérica e dos painéis. Estas considerações
se relacionam àquelas apresentadas em Mariotti (2012), a qual afirmou que as
dragging tools podem contribuir para que o estudante crie uma relação de
dependência entre movimentos e invariantes, de tal forma que essa dependência
pode ser referida na forma condicional, como numa conjectura (Se isto, então aquilo).
Estes resultados também são coerentes com aqueles discutidos em Sinclair e Robutti
(2013) e em Heid, Thomas e Zbiek (2013), os quais notaram que as dragging tools e
as barras de rolagem, quando presentes num ambiente digital, podem contribuir para
que os estudantes percebam invariâncias. As ideias de Hoyles (2012) também vão ao
encontro destas conclusões, uma vez que esta pesquisadora afirma que a
possibilidade de transitar entre o dinâmico e o estático em ambientes digitais pode
fazer com que o aprendiz elabore conjecturas.
As conjecturas formuladas pelos participantes deste estudo refletiam
invariâncias na soma, no produto de números consecutivos ou nos valores do primeiro
número da sequência. Foram poucas as conjecturas envolvendo as invariâncias das
representações presentes no painel Fatoração, Algébrico, Resto e Tartaruga. Isto
pode ser explicado levando-se em conta o conteúdo e os objetivos das Tarefas
Explorar. Estas tarefas foram colocadas no ambiente com a finalidade de fazer com
que os participantes se familiarizassem com a interface e percebessem as
potencialidades das representações disponíveis na tela, o que supostamente reduziria
os problemas com a translação das representações (KAPUT, 1989; AINSWORTH,
1999); entretanto, notei que, durante a realização das Tarefas Explorar, os
participantes manipularam as barras de rolagem a fim de obterem valores pequenos
para a soma e para o produto de consecutivos, o que inibiu a necessidade do uso de
painéis, uma vez que eles puderam realizar cálculos mentais. Isto me leva a acreditar
que o pouco uso dos painéis de representação nas Tarefas Explorar e o apelo a
estratégias baseadas na observação da soma e do produto, associadas ao cálculo
mental, contribuíram para que os participantes não utilizassem estes recursos para
formular suas conjecturas.
Apesar das invariâncias das representações dos painéis não terem sido o
motivo da maioria das conjecturas, em muitos momentos elas serviram de explicação
para as regularidades percebidas na soma e no produto dos números consecutivos,
principalmente quando os estudantes utilizaram os painéis Fatoração, Algébrico e
307
Tartaruga. Por isso, saliento que as diferentes representações, de certa forma,
cumpriram seu papel: o de dar suporte para a descoberta de propriedades para
sustentar argumentos. Isto é consistente com as ideias de Ainsworth (1999), a qual
afirma que as múltiplas representações podem proporcionar ao aprendiz a
oportunidade de abstrair, generalizar e relacionar características invariantes.
Os tipos de tarefas e a ordem em que elas foram propostas também
contribuíram para que os participantes pudessem formular argumentos mais robustos.
Das Tarefas Explorar, os participantes internalizaram a ação de manusear as barras
de rolagem e observar as variações nos valores da soma, do produto, da reta e dos
painéis. Eles aprenderam a controlar os outputs destas representações de modo a
deixá-los numa forma compreensível e coerente com os conhecimentos que já
estavam familiarizados. Como já foi abordado no parágrafo anterior, estas ações
foram aquelas que mais contribuíram para a formulação de conjecturas.
Das Tarefas Organizar, eles puderam obter diversos exemplos de
argumentos para conjecturas envolvendo a sequência de números consecutivos.
Tenho evidências de que argumentos similares aos das Tarefas Organizar são
utilizados como justificativa nas Tarefas Provar, o que mostra o grande poder
mediador destas tarefas. Este resultado vai ao encontro das ideias de Duval e Egret
(1989) os quais afirmaram que as tarefas que relacionam representações em rede
com representações em língua natural podem contribuir para que o aprendiz
compreenda e estrutura de uma prova mais formal.
Em diversos casos, os argumentos apresentados nas Tarefas Provar
continham reforços explícitos baseados em propriedades matemáticas. Isto ocorreu
principalmente quando um dos colegas ou a pesquisadora questionavam as garantias
oferecidas para sustentar uma conclusão. Este resultado é coerente com as próprias
ideias de Toulmin (2003) as quais afirmam que os reforços são explicitados quando
uma garantia é desafiada. Este resultado também mostra a importância das interações
sociais para o processo de prova, uma vez que as interferências do professor e dos
colegas podem instigar, motivar e promover o aparecimento de generalizações e
explicações, o que é destacado por Mariotti (2009), Reid e Zach (2009), Ellis (2011) e
Mariotti (2012).
Quando estes reforços não apareceram, notei que os participantes utilizavam
o conteúdo das Tarefas Conjecturar como garantia. Isto indica que as justificativas das
308
Tarefas Provar também foram mediadas pelos resultados das Tarefas Conjecturar e
que os aprendizes sentiram necessidade de fortalecer suas novas justificativas com
resultados anteriores, o que é um indício de uma tentativa de redigir provas
dedutivamente.
Por muitas vezes, os participantes deste estudo formularam conjecturas as
quais valiam apenas em certo domínios e apenas se conscientizaram destas
limitações quando outros colegas ou a pesquisadora apresentaram contraexemplos e
novas conjecturas. Isto me fez perceber que as interações sociais também foram
importantes para cobrir as limitações das interações com a tecnologia, principalmente
no que tange à formulação de contraexemplos para conjecturas propostas. Isto me
fez retomar as ideias de Moreno-Armella e Hegedus (2009) de que a co-ação também
pode ocorrer ao nível social, ou seja, as interações entre aprendizes e professores
podem guiar as ações dos mesmos e podem ser guiadas por essas ações.
11.4 Limitações e sugestões para pesquisas futuras
Os resultados obtidos com o design e a aplicação do Consecutivo foram
positivos. Eu tinha a intenção de fomentar a exploração e a formulação de conjecturas
e provas em domínios fora da Geometria e isto, em certa medida, foi alcançado.
Minhas considerações a respeito de como se dá o processo de prova com o
uso do Consecutivo estão limitadas ao que ocorreu com as três duplas de estudantes
participantes. Não estou tirando o crédito das minhas conclusões porque elas foram
baseadas na análise de poucos casos, mas reconheço que a aplicação deste
ambiente em cenários diferentes pode incorporar novas perspectivas ao que eu
propus neste estudo.
Durante a análise das interações dos participantes, percebi que algumas
modificações na interface do Consecutivo poderiam trazer resultados mais
significativos para o processo de prova. As Tarefas explorar, por exemplo, poderiam
restringir o uso das ferramentas do programa e fazer com que os aprendizes se
empenhassem em buscar regularidades nos painéis de representação. Isto poderia
contribuir para uma compreensão mais aprofundada de cada representação e das
relações entre elas, o que possivelmente influenciaria as justificativas dos
309
participantes nas Tarefas Conjecturar e Provar. Isto é apenas uma conjectura que
precisa ser testada, quem sabe, num próximo estudo.
Outra consideração pode ser feita com relação à importância e ao poder
mediador das Tarefas Organizar. Neste estudo, apenas os estudantes participantes
do terceiro teste realizaram estas tarefas. Como tive acesso às interações de uma
dupla, minhas conclusões sobre as potencialidades destas tarefas ficaram restritas.
Além disso, ainda existe a possibilidade de propor um formato mais aberto para as
Tarefas Organizar, de modo que os argumentos a serem organizados possam ser
criados e conectados pelos próprios estudantes. Isto mudaria a dinâmica de interação
e, quem sabe, o poder mediador destas tarefas. Isto também é mais uma conjectura
a ser testada num estudo futuro.
Nesta pesquisa, não me preocupei em avaliar se as tarefas propostas aos
participantes trariam resultados similares em ambientes em que não há a presença
da tecnologia (papel e lápis somente). Não foi minha intenção comparar resultados e
mostrar que estes são mais satisfatórios (ou não) quando os alunos interagem com o
Consecutivo. Já parti do pressuposto de que a tecnologia faz a diferença, entretanto,
reconheço que este tipo de estudo pode ser realizado.
Não me interessei também em mostrar se há ou não continuidade cognitiva
entre argumentação e prova. Parti do princípio de que a prova é um tipo de
argumentação e que, de certa forma, é mediada por todas as interações do aprendiz
com os momentos de exploração e de formulação de conjecturas. Assim mesmo,
acredito que seja possível determinar em que medida as afirmações e discussões
construídas nos momentos de exploração e formulação de conjecturas estão
presentes nas justificativas e explicações dos participantes e, ainda, determinar como
estas interações são importantes para a criação de provas mais formais.
Como notei que há variações nas abordagens dos estudantes ao formularem
justificativas devido às diferentes interpretações dos enunciados das tarefas, um
futuro estudo poderia tentar compreender como o uso de certos termos e expressões
nos enunciados podem contribuir para despertar no aprendiz a necessidade de
construção de uma prova mais formal.
Em vias de terminar este estudo, eu me deparei com alguns livros didáticos
para o Ensino Fundamental e Médio, publicados recentemente, que continham seções
310
específicas para tratar da importância das demonstrações na Matemática. Vejo estas
inserções como uma mudança positiva nos materiais didáticos que chegam às
escolas, mas reconheço que pesquisas mais aprofundadas são necessárias para
compreender o alcance destas mudanças nos conteúdos que são abordados
efetivamente em sala de aula. Como os professores abordam o conteúdo destas
seções com seus alunos? Como os alunos compreendem estas informações nos
livros didáticos? Estas e outras questões similares poderiam ser pesquisadas.
Enquanto fazia minha revisão de literatura, notei poucos estudos nacionais e
internacionais que se preocupassem com o processo de prova na escola em contextos
fora da Geometria. Esta situação ficou ainda mais rara quando tentei buscar pesquisas
que tratassem do processo de prova com a presença de ferramentas digitais em
contextos fora da Geometria. Por esta razão, vejo como positiva qualquer tentativa de
estudo nesta direção.
Um estudo de doutorado traz muitos desafios e envolve um esforço
demasiado do pesquisador, mas há compensações. A primeira é a sensação de ter
conquistado algo valioso, de ter evoluído intelectualmente. Além disso, é bastante
gratificante perceber que nossos resultados podem ter contribuído para que os
conhecimentos de nossa área profissional e acadêmica sejam ampliados,
enriquecidos e renovados. Espero que este estudo seja relevante para muitos
pesquisadores e que abra espaço para outras contribuições.
311
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AINSWORTH, S. The functions of multiple representations. Computers & Education. n. 33, p. 131-152, 1999.
______. ; et. al. Information technology and multiple representations: new opportunities, new problems. Journal of Information Technology for Teacher Education. n. 1, vol. 6, p. 93-105, 1997. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1080/14759399700200006>. Acessado em: 13 abr. 2012.
ALMOULOUD, S. A. Registros de representação semiótica e compreensão de conceitos geométricos. In: S. D. A. Machado (Org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus. 2003, p. 125 – 147.
______. ; FUSCO, C. A. S. Provas e demonstrações em matemática: uma questão problemática nas práticas docentes no ensino básico. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador, BA. Anais... Salvador, BA, 2010. p. 1-9.
BALACHEFF, N. Preuve et démonstration en mathématiques au college. Recherches en didactique des mathématiques. n. 3, vol. 3, p. 261 – 304, 1982.
______. Aspects of proof in pupils’ practice of school mathematics. In: D. Pimm (Ed.). Mathematics, teachers and children. Londres: Hodder and Stoughton. 1988. p. 216-235.
______. Is an argumentation an obstacle? Invitation to a debate... International Newsletter on the teaching and learning of mathematical proof. Maio/junho. 1999. Documento não paginado. Disponível em: <http://www.lettredelapreuve.it/OldPreuve/Newsletter/990506Theme/990506ThemeUK.html>. Acessado em: 17 mar. 2013.
______. The researcher epistemology: a deadlock for educational research on proof. Les cahiers du laboratoire Leibiniz. N. 109. Agosto. 2004. Documento não paginado. Disponível em: <http://www-leibniz.imag.fr/leibniz/LesCahiers/2004/Cahier109/CLLeib109.pdf>. Acessado em: 19 mar. 2013.
BOERO, P. (1999). Argumentation and mathematical proof: A complex, productive, unavoidable relationship in mathematics and mathematics education. International Newsletter on the teaching and learning of mathematical proof. Julho/Agosto.
312
1999. Documento não paginado. Disponível em: < http://www.lettredelapreuve.it/OldPreuve/Newsletter/990708Theme/990708ThemeUK.html>. Acessado em: 29 out. 2013.
BORBA, M. C. Um modelo para a compreensão que os estudantes têm num ambiente de representações múltiplas. In: INEP, Seminário Novas Perspectivas da educação Matemática do Brasil. Águas de Lindóia/SP, n. 4, 3ª parte, 1994. Disponível em: <http://www.rc.unesp.br/gpimem/downloads/ artigos/borba/repres_mult.pdf>. Acessado em: 30 out. 2013.
______. ; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.
BRASIL, Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: Matemática. Brasília: MEC/SEF. 1998.
BOS, B. Virtual math objects with pedagogical, mathematical, and cognitive fidelity. Computers in Human Behavior. n. 25, p. 521–528, 2009.
BURGOS, T. L. Navegabilidade e Comunicabilidade em ambientes pedagógicos. In: Semana da Humanidade da UFRN, 2009, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, RN. Anais… Universidade Federal do Rio Grande do Norte, RN, 2009. Disponível em: <http://www.cchla.ufrn.br/humanidades2009/ Anais/GT21/21.1.pdf>. Acessado em: 30 out. 2013.
CARVALHO, C. C. S. Uma análise praxeológica das tarefas de prova e demonstração em tópicos de álgebra abordados no primeiro ano do ensino médio. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.
COBB, P. ; et. al. Design Experiments in Educational Research. Educational Researcher. n. 32, vol.1, p. 9-13. 2003.
DESIGN BASED RESEARCH COLLECTIVE: BBRC. Design-based research: an emerging paradigm for educational inquiry. Educational Researcher. n. 32, vol.1, p. 5-8. 2003.
DE VILLIERS, M. Papel e funções da demonstração no trabalho com o Sketchpad. Educação e Matemática. n. 62, p. 3136, 2001.
DEVLIN, K. The math gene: how mathematical thinking evolved and why numbers are like gossip. Basic Books. 2000.
313
DOUEK, N. Some remarks about argumentation and proof. In: P. Boero (Ed.). Theorems in schools: from history, epistemology and cognition to classroom practice. Rotterdam/Taipei: Sense Publishers, 2006. p. 163-181.
DUBINSKY, E. ; TALL, D. Advanced mathematical thinking and the computer. In: D. O. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking, Holanda: Kluwer, 1991, p. 231–248.
DUVAL, R. Pour une approche cognitive de l’argumentation. Annales de Ditactique et de Sciences Cognitives. IREM de Strasbourg. n. 3, p. 195-221, 1990.
______. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão. In: S. D. A. Machado (Org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus Editora, 2003, p. 11 – 34.
______. Cognitive functioning and the understanding of mathematical process of proof. In: P. Boero (Ed.). Theorems in schools: from history, epistemology and cognition to classroom practice. Rotterdam/Taipei: Sense Publishers. 2006. p. 137-161.
______. EGRET, M. A. L'organisation deductive du discours: Interaction entre structure profonde et structure de surface dans l'accès à la démonstration. Annales de Ditactique et de Sciences Cognitives. IREM de Strasbourg. n. 2, p. 25-40, 1989.
ELLIS, A. B. Generalizing-Promoting Actions: How Classroom Collaborations Can Support Students’ Mathematical Generalizations. Journal for Research in Mathematics Education, n. 42, vol. 4, p. 308–345, 2011.
FREITAS, J. L. M. Registros de representação na produção de provas na passagem da aritmética para álgebra. In: S. D. A. Machado (org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, 2003. p. 113 –124.
______. Produção de provas em aritmética-álgebra por alunos iniciantes da licenciatura em matemática. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 8, 2004, Recife, PE. Anais ... Recife, PE, 2004. p. 01-13. CD-ROM.
GARUTI, R. et. al. Challenging the traditional school approach to theorems: a hypothesis about the cognitive unity of theorems. In: Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 20, 1996, Valencia: Espanha. Anais... Valencia, Espanha. 1996. Documento não paginado.
HANNA, G. Proof, explanation and exploration: An overview. Educational studies in mathematics. n. 44, vol.1, p. 5–23, 2000.
314
______. The width of a proof. In: Conference of the European Society for Research in Mathematics Education, 8, 2012, Side-Antalya, Turquia. Anais… Side-Antalya, Turquia. 2012. p. 1–10. Disponível em: <http://cerme8.metu.edu.tr/wgpapers/WG1/WG1_Hanna.pdf>. Acessado em: 21 mar. 2013.
______. ; JAHNKE, H. N. Proof and proving. In: A. Bishop et. al. (Eds.) International Handbook of Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1996. p. 877-908.
HEALY, L. Blurring distinction between the empirical and the theoretical? The roles of examples in the proving process. Educação Matemática Pesquisa, n. 2, p. 51–63. 2000a.
______. (2000b). Identifying and explaining geometrical relationships: Interactions with robust and soft Cabri constructions. In: Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 24, 2000, Hiroshima, Japão. Anais… Hiroshima/Japão. vol. 1. 2000b. p. 103–117.
______. ; HOYLES, C. A study of proof conceptions in algebra. Journal for research in mathematics education. n. 31, vol. 4, p. 396-428, 2000.
______. ; KYNIGOS, C. Charting the microworld territory over time: design and construction in mathematics education. ZDM. n. 42, p. 63-76. 2010.
HEGEDUS, S. J. ; MORENO-ARMELLA, L. Introduction: the transformative nature of “dynamic” educational technology. ZDM, n. 41, vol. 4, p. 397–398, 2009.
______. ; ______. Intersecting representation and communication infrastructures. ZDM. n. 41, vol. 4, p. 399 – 412, 2009a.
______. ; ______. Accommodating the instrumental genesis framework within dynamic technological environments. For the Learning of Mathematics, n. 30, vol. 1, p. 26–31, 2010.
HEID, M. K. ; THOMAS, M. O. J. ; ZBIEK, R. M. (2013). How Might Computer Algebra Systems Change the Role of Algebra in the School Curriculum? In: M. A. (Ken) Clements, et. al. (Eds.), Third International Handbook of Mathematics Education, 2013, p. 597–641.
HEINZE, A. ; REISS, K. Developing argumentation and proof competencies in the mathematics classroom. In: Despina A. Stylianou; Maria L. Blanton; Eric J. Knuth
315
(Eds.), Teaching and learning proof across the grades: a K-16 perspective. New York and London: Routledge, 2009. p. 191-203.
HOLLEBRANDS, A.; et. al. The Nature of Arguments Provided by College Geometry Students with Access to Technology while Solving Problems. Journal for Research in Mathematics Education, n. 41, vol. 4, p. 324–350, 2010.
HOYLES, C. et. al. Rethinking the Microworld Idea. Journal of Educational Computing Research: Special issue on Microworlds in mathematics education, 2002. p. 29-53.
______. ; NOSS, R. The technological mediation of mathematics and its learning. Human Development, n. 52, vol. 2, p. 129–147, 2009.
______. Tackling the mathematics: potential and challenges for research in mathematics education. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 5, 2012, Petrópolis, RJ. Anais…, 2012, Petrópolis, RJ, p. 1–11. Disponível em: <http://namodemello.com.br/pdf/tendencias/situating construtivism.pdf>. Acessado em: 30 out. 2013.
HUNTER, R. Can you convince me: Learning to use mathematical argumentation. In: J. H. Woo; et. al. Conference of the International Group for Psychology in Mathematics Education, 31, 2007. Seoul, Coreia. Anais... Seoul, Coreia, vol. 3, 2007. p. 81–88. Disponível em: <ftp://ftp.math.ethz.ch/hg/emis/ proceedings/PME31/3/81.pdf>. Acessado em: 27 mar. 2013.
JAHN, A. P. HEALY, L. Argumentação e prova na sala de aula de matemática: design colaborativo e cenários de aprendizagem. In: Reunião Anual da ANPED, 31, 2008. Caxambu, MG. Anais... Caxambu, MG, 2008, p. 1-20. Disponível em: <http://www.anped.org.br/reunioes/31ra/1trabalho/GT19-4607--Int.pdf> Acessado em: 27 abr. 2012.
KAPUT, J. Linking representations in the symbol systems of algebra. In: C. Kieran & S. Wagner (Eds.) A research agenda for the teaching and learning of algebra. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics e Hillsdale, NJ: Erlbaum, 1989, p. 167-194.
______. Technology and mathematics education. In D. Grouws (Ed.), Handbook on research in mathematics teaching and learning. New York: Macmillan, 1992, p. 515–555.
______. Understanding deep changes in representational infrastructures: Breaking institutional and mindforged manacles. 2003. Disponível em:
316
<http://www.kaputcenter.umassd.edu/downloads/products/publications/ pkal.pdf>. Acessado em: 30 out. 2013.
______, J. SCHORR, R. Changing representational infrastrucutures, changes most everything: the case of SimCalc, álgebra and calculus. In: M. K. Heid; G. Blume (Eds.), Research on technology in the learning and teaching of mathematics: Syntheses and perspectives. 2007. Disponível em: http://www.kaputcenter.umassd.edu/downloads/simcalc/cc1/library/changinginfrastruct.pdf. Acessado em: 08 out. 2010.
KIERAN, C. YERUSHALMY, M. Research on the role of technological environments in algebra learning and teaching. In: K. Stacey; H. Chick; M. Kendal, The future of the teaching and learning of algebra: The 12th ICMI Study. Estados Unidos: Kluwer academic Publishers. 2004. p. 21-33.
KNIPPING, C. Argumentation structures in classroom proving situations. In: M. A. Mariotti (Ed.), Conference of the European Society in Mathematics Education, 3, 2003. Bellaria, Itália. Anais … Bellaria, Itália, 2003, p. 1-9. Disponível em: <http://www.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/Groups/TG4/TG4_Knipping_cerme3.pdf> Acessado em: 24 mar. 2013.
KÜCHEMANN, D. E. Looking for Structure: A Report of the Proof Materials Project, January 2004 - December 2005. Londres: Dexter Graphics. 2008.
______. ; HOYLES, C. From empirical to structural reasoning in mathematics: tracking changes over time. In: Despina A. Stylianou; Maria L. Blanton; Eric J. Knuth (Eds.), Teaching and learning proof across the grades: a K-16 perspective. New York and London: Routledge, 2009. p. 171-190.
LAI, Y. ; et. al. Mathematicians’ Perspectives on Features of a Good Pedagogical Proof. Cognition and Instruction. n. 30, vol. 2, p. 146–169, 2012.
LAKATOS, I. A lógica do descobrimento matemático: provas e refutações. Rio de Janeiro: Zahar. 1978.
LAVY, I. A case study of dynamic visualization and problem solving. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, n. 38, vol. 8, p. 1075–1092, 2007.
LEANDRO, E. J. Argumentação e provas matemáticas: desempenho de estudantes brasileiros com idade entre 14 e 16 anos. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador, BA. Anais... Salvador, BA, 2010, p. 1-12.
317
MARIOTTI, M. A. Artifacts and signs after a Vygotskian perspective: the role of the teacher. ZDM, n. 41, vol. 4, 427–440, 2009.
______. Proof and proving in the classroom: Dynamic Geometry Systems as tools of semiotic mediation. Research in Mathematics Education. n. 14, vol. 2, p. 163–185, 2012.
MELLO, T. A. ; BRITO, M. R. F. Argumentação e estratégias de pensamento na solução de problemas matemáticos. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador, BA. Anais... Salvador/BA, 2010. p. 1-11.
MORENO-ARMELLA, L. ; SRIRAMAN, B. Structural stability and dynamic geometry: Some ideas on situated proofs. ZDM, n. 37, p. 1–10, 2005.
______. ; ______. Symbols and Mediation in Mathematics Education. In: B. Sriraman, L. English (Eds.), Theories of Mathematics Education, Berlin, Heidelberg: Springer, 2010, p. 213–232.
______. ; HEGEDUS, S. J. Co-action with digital technologies. ZDM, v. 41, n. 4, p. 505–519, 2009.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS: NCTM. Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. 2000.
NOSS, R. ; et. al. The design of a system to support exploratory learning of algebraic generalisation. Computers & Education, n. 59, vol. 1, p. 63–81, 2012.
OLIVEIRA, S. G. S. ; BITTAR, M. Os tipos de provas apresentadas por alunos do 8° ano do ensino fundamental em atividades de construção da mediatriz. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador, BA. Anais... Salvador/BA, 2010, p. 1-19.
PAIS, L. C. Argumentação no estudo da geometria nos anos finais do ensino fundamental: livros didáticos e formação de professores. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador, BA. Anais... Salvador/BA, 2010. p. 1–10.
PAPERT, S. Logo: computadores e educação. 2ª ed. São Paulo: Brasiliense. 1986.
PEDEMONTE, B. Some cognitive aspects of the relationship between argumentation and proof in mathematics. The International Newsletter on the teaching and learning of Mathematical proof. 2000. Documento não paginado. Disponível em:
318
<http://www-didactique.imag.fr/preuve/Resumes/Pedemonte/ Pedemonte01.PDF. Acessado em: 14 mar. 2011.
PICCELLI, P. H. ; BITTAR, M. A validação de conjecturas como parte do processo de ensino e aprendizagem da matemática. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador, BA. Anais... Salvador/BA, 2010. p. 1-9.
PIETROPAOLO, R. C. (Re) significar a demonstração nos currículos da Educação Básica e da formação de professores de Matemática. 388p. Tese (Doutorado em Educação Matemática), Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. 2005.
______. ; et. al. Concepções sobre demonstrações e provas nos currículos da formação inicial de professores de matemática. Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 4, 2009, Brasília, DF. Anais... Brasília, DF, 2009. p. 1–19.
PIRES, C. M. C. Ensino de geometria no Brasil: uma análise com base em modelos de referência que colocam em relação à epistemologia e a didática da geometria. Reunião de Didática da Matemática do Cone Sul, 7, 2006, Águas de Lindóia, SP. Anais... Águas de Lindóia/SP, 2006. CD-ROM.
REGO, T. C. Vygotsky: Uma perspectiva histórico-cultural da educação. Petrópolis, RJ: Vozes, 1995.
REID, D. A. Biological bases for deductive reasoning. In: Conference of the European Society for Research in Mathematics Education, 8, 2012, Side-Antalya, Turquia. Anais… Side-Antalya, Turquia. 2012, p. 1–10. Disponível em: <http://cerme8.metu.edu.tr/wgpapers/WG1/WG1_Reid.pdf> Acessado: em 26 mar. 2013.
______. ; ZACK, V. Aspects of teaching proving in upper elementary school. In Despina A. Stylianou; Maria L. Blanton; Eric J. Knuth (Eds.), Teaching and learning proof across the grades: a K-16 perspective. New York and London: Routledge. 2009. p. 133–146.
______. ; KNIPPING, C. Proof in Mathematics Education: Research, Learning and Teaching. Rotterdam/Boston/Taipei: Sense Publishers. 2010.
RUSSI, D. F. & CHARÃO, A. S. Ambientes de Desenvolvimento Integrado no Apoio da Linguagem de Programação Haskell. Novas Tecnologias na Educação. n. 9, vol. 2, p. 1-10, 2011. Disponível em: <http://seer.ufrgs.br/ renote/article/view/25077/14767>. Acessado em: 25 mar. 2012.
319
SACRISTÁN, A. I. ; et. al. The influence and Shaping of Digital Technologies on the Learning – and Learning Trajectories – of Mathematical Concepts. In: C. Hoyles; JP Lagrange (Eds.). The 17th ICMI Study: Mathematics Education and Technology: Rethinking the Terrain. Springer. 2010, p. 179-226.
SALDANA, J. The Coding Manual for Qualitative Researchers. Londres, Califórnia, Nova Deli, Singapura: Sage Publications. 2009.
SALES, A. ; PAIS, L. C. Argumentação e demonstração em uma atividade de geometria em um curso de licenciatura em matemática. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10, 2010, Salvador, BA. Anais... Salvador/BA, 2010. p. 1-11.
SFARD, A. On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics. n. 22, p. 1-36, 1991.
SINCLAIR, N. ; YURITA, V. To be or to become: How dynamic geometry changes discourse. Research in Mathematics Education, n. 10, vol. 2, p. 135–150, 2008.
______. ; ROBUTTI, O. Technology and the Role of Proof: The Case of Dynamic Geometry. In M. A. (Ken) Clements, A. J. Bishop, C. Keitel, J. Kilpatrick, F. K. S. Leung (Eds.), Third International Handbook of Mathematics Education. New York: Springer. 2013, p. 571–596.
TOULMIN, S. E. The Uses of Argument. Cambridge University Press. 2003.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. Ed 4. São Paulo: Martins Fontes. 1991. Disponível em: <http://www.egov.ufsc.br/portal/sites/default/ files/vygotsky-a-formac3a7c3a3o-social-da-mente.pdf>. Acessado em: 30 out. 2013.
WENGER, E. Communities of practice: a brief introduction. 2006. Disponível em <http://www.ewenger.com/theory/index.htm>. Acessado em: 17 mar. 2013.
ZAZKIS, R. CAMPBELL, S. Divisibility and multiplicative structure of natural numbers: preservice teacher’s understanding. Journal for Research in Mathematics Education. n. 27, vol. 5, p. 540-563, 1996.
ZBIEK, R. M. ; et. al. Research on technology in mathematics education: a perspective of constructs. In: F. K. Lester (Org.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A Project of the National Council of Teachers of Mathematics. Estado Unidos: NCTM. 2007, p. 1169-1207.
320
ANEXOS
I) Questionário de opinião aplicado no primeiro teste
FAÇA SUA AVALIAÇÃO SOBRE O CONSECUTIVO
1. Dê sua opinião a respeito da aparência do programa. Quais aspectos você mais
gostou e quais aspectos precisam ser melhorados?
2. Em que medida as Tarefas Exploratórias foram úteis para a compreensão do
funcionamento do software?
a. Muito úteis.
b. Parcialmente úteis.
c. Pouco úteis.
d. Não foram úteis.
3. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Exploratórias
foram,
a. Muito claras.
b. Parcialmente claras.
c. Pouco claras
d. Não foram claras.
4. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas de Prova foram,
a. Muito claras.
b. Parcialmente claras.
c. Pouco claras
d. Não foram claras.
5. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas de Prova foram,
321
a. Muito difíceis.
b. Parcialmente difíceis.
c. Pouco difíceis.
d. Fáceis.
6. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais simples? Por quê?
7. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais desafiadora? Por quê?
8. Qual dos botões de representação você mais gostou de utilizar durante a
realização das tarefas?
a. Fatoração.
b. Resto.
c. Algébrico.
d. Soma Tartarugas.
e. Produto Retangular.
9. Numa escala de 01 a 05, qual dos botões foi mais utilizado por você durante a
realização das tarefas?
( ) Fatoração.
( ) Resto.
( ) Algébrico.
( ) Soma Tartarugas.
( ) Produto Retangular.
10. Sugestões gerais.
322
II) Questionário de opinião aplicado no segundo teste
Professor de Matemática: ( )Sim ( )Não Professor de escola: () pública ()
privada
Professor de: ( )EFI ( )EFII ( )EM ( )Superior Tempo de Magistério: ______
FAÇA SUA AVALIAÇÃO SOBRE O CONSECUTIVO
1. Com relação à clareza das informações do enunciado, as tarefas do botão
explorar são,
a. Muito claras. b. Parcialmente claras. c. Pouco claras d. Não foram claras.
2. Em que medida as tarefas do botão explorar são úteis para a compreensão do
funcionamento do software?
a. Muito úteis. b. Parcialmente úteis. c. Pouco úteis d. Não foram úteis.
3. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão explorar são,
a. Muito difíceis. b. Parcialmente difíceis. c. Pouco difíceis d. Fáceis.
4. Quais as dificuldades que seus alunos apresentariam ao resolver as tarefas
presentes no botão explorar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do
programa ajudariam na ultrapassagem dessas dificuldades?
5. Com relação à clareza das informações do enunciado, as tarefas do botão
conjecturar são,
a. Muito claras. b. Parcialmente claras. c. Pouco claras d. Não foram claras.
323
6. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão conjecturar são,
a. Muito difíceis. b. Parcialmente difíceis. c. Pouco difíceis d. Fáceis.
7. Em que medida as ferramentas disponíveis no software ajudam o aluno a elaborar
conjecturas?
a. Ajudam muito. b. Ajudam Parcialmente. c. Ajudam pouco. d. Não ajudam.
8. Quais as dificuldades que seus alunos apresentariam ao resolver as tarefas
presentes no botão conjecturar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do
programa ajudariam na ultrapassagem dessas dificuldades?
9. Qual das ferramentas abaixo você considera que serão mais úteis aos alunos na
realização das tarefas do botão conjecturar? Por quê?
a. Reta numérica e barras de rolagem.
b. Fatoração.
c. Resto.
d. Algébrico.
e. Soma Animal.
10. Com relação à clareza das informações do enunciado, as tarefas do botão
organizar são,
a. Muito úteis. b. Parcialmente úteis. c. Pouco úteis d. Não foram úteis.
11. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão organizar são,
a. Muito difíceis. b. Parcialmente difíceis. c. Pouco difíceis d. Fáceis.
12. Em que medida as tarefas do botão organizar ajudam o aluno a compreender
o encadeamento dedutivo de uma prova matemática?
324
a. Ajudam muito. b. Ajudam Parcialmente. c. Ajudam pouco. d. Não ajudam.
13. Quais as dificuldades que seus alunos apresentariam ao resolver as tarefas
presentes no botão organizar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do
programa ajudariam na ultrapassagem dessas dificuldades?
14. Com relação à clareza das informações do enunciado, as tarefas do botão
provar são,
a. Muito claras. b. Parcialmente claras. c. Pouco claras d. Não foram claras.
15. Com relação ao nível de dificuldade, as tarefas do botão provar são,
a. Muito difíceis. b. Parcialmente difíceis. c. Pouco difíceis d. Fáceis.
16. Quais as dificuldades que seus alunos apresentariam ao resolver as tarefas
presentes no botão provar? Em sua opinião, de que modo as ferramentas do
programa ajudariam na ultrapassagem dessas dificuldades?
17. Em que medida as ferramentas disponíveis no software ajudam o aluno a
descobrir uma propriedade matemática que será usada como base nas tarefas do
botão provar?
a. Ajudam muito. b. Ajudam Parcialmente. c. Ajudam pouco. d. Não ajudam.
18. Em que medida as tarefas do botão organizar influenciam o alunos a escrever
sua própria prova nas tarefas do botão provar?
a. Influenciam muito. b. Influenciam Parcialmente. c. Influenciam pouco. d. Não Influenciam.
19. Qual das ferramentas abaixo você considera que serão mais úteis aos alunos
na realização das tarefas do botão provar? Por quê?
325
a. Reta numérica e barras de rolagem.
b. Fatoração.
c. Resto.
d. Algébrico.
e. Soma Animal.
20. As informações presentes no botão são suficientes para que o aluno
consiga compreender o significado das representações contidas no painel em que ele
está situado? Caso sua resposta seja não, apresente justificativas.
21. Dê sua opinião a respeito da aparência do programa. Quais aspectos você mais
gostou e quais aspectos precisam ser melhorados?
326
III) Questionário de opinião aplicado no terceiro teste
1. Dê sua opinião a respeito da aparência do programa. Quais aspectos você mais
gostou e quais aspectos precisam ser melhorados?
2. Em que medida as Tarefas Explorar foram úteis para a compreensão do
funcionamento do software?
a. Muito úteis.
b. Parcialmente úteis.
c. Pouco úteis.
d. Não foram úteis.
3. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Explorar foram,
a. Muito claras.
b. Parcialmente claras.
c. Pouco claras
d. Não foram claras.
4. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Explorar foram,
a. Muito difíceis.
b. Parcialmente difíceis.
c. Pouco difíceis
d. Fáceis.
5. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Conjecturar
foram,
a. Muito claras.
b. Parcialmente claras.
c. Pouco claras
d. Não foram claras.
6. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Conjecturar foram,
a. Muito difíceis.
327
b. Parcialmente difíceis.
c. Pouco difíceis
d. Fáceis.
7. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Organizar
foram,
a. Muito claras.
b. Parcialmente claras.
c. Pouco claras
d. Não foram claras.
8. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Organizar foram,
a. Muito difíceis.
b. Parcialmente difíceis.
c. Pouco difíceis
d. Fáceis.
9. Em que medida as Tarefas Organizar foram úteis para auxiliar na realização das
Tarefas Provar?
a. Muito úteis.
b. Parcialmente úteis.
c. Pouco úteis.
d. Não foram úteis.
10. Com relação à clareza das informações do enunciado, as Tarefas Provar foram,
a. Muito claras.
b. Parcialmente claras.
c. Pouco claras
d. Não foram claras.
11. Com relação ao nível de dificuldade, as Tarefas Provar foram,
a. Muito difíceis.
b. Parcialmente difíceis.
c. Pouco difíceis.
328
d. Fáceis.
12. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais simples? Por quê?
13. Das Tarefas de Prova, qual você considerou a mais desafiadora? Por quê?
14. Qual dos botões de representação você mais gostou de utilizar durante a
realização das tarefas?
a. Fatoração.
b. Resto.
c. Algébrico.
d. Soma Tartarugas.
15. Quais botões foram mais utilizados por você durante a realização das tarefas?
( ) Fatoração.
( ) Resto.
( ) Algébrico.
( ) Soma Tartarugas.
329
IV) Transcrição das falas da dupla B&G na TExp 7
[00:12:03.08] B: Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando
os respectivos restos... (lendo o enunciado)
[00:12:19.21] B: Ah.
[00:12:22.08] G: AND B: (Murmúrios)
[00:12:24.03] G: São quatro né? Quatro números consecutivos.
[00:12:27.24] G: Sete números consecutivos!
[00:12:28.23] B: Sete.
[00:12:34.14] G: Isso.
[00:12:36.26] G: AND B: (Murmúrios)
[00:12:41.13] G: Dividir cada um deles por sete.
[00:12:47.01] G: Onde divide por sete.
[00:12:49.21] P: Aperta o Izinho pra você ver.
[00:12:53.23] G: Neste painel cada um dos números consecutivos que você escolheu... (lendo as
informações).
[00:13:15.16] P: Então, o que está acontecendo com o 10 quando você colocou sete?
[00:13:20.17] B: Ele... Mostra a... vezes mais quanto que tem que dar. Pra dar 10.
[00:13:29.28] G: Você podia colocar P, Q e R (e aponta para o painel)
[00:13:34.09] P: Ah, você diz colocar uma linha para mostrar o que é.
[00:13:36.01] G: AND B: É.
[00:13:36.27] P: Ah, legal. Isso é legal.
[00:13:39.01] B: Fala aí para a câmera.
[00:13:39.04] P: Fala para a câmera.
[00:13:40.17] G: Pode colocar o D (dividendo), o Q (quociente) e o R de resto. Isso.
[00:13:52.27] P: Vocês lembra que na conta de dividir... empresta o lápis que eu vou por aqui na frente...
Na conta de dividir, o dividendo é aqui, o divisor é aqui, o quociente é aqui e o resto é aqui (escrevendo
no papel). Então você quer dividir esse número por esse, não é? Então, aqui a gente está dividindo 10
por sete. Tá dando um e resto três.
[00:14:19.12] G: Então, Tá tudo certo, né?
[00:14:21.15] P: Não sei. Volta na tarefa.
[00:14:24.18] G: Quando os respectivos restos... (lendo o enunciado)
[00:14:31.25] G: Não.
[00:14:32.03] B: Três, quatro e cinco... Quase!
[00:14:34.15] B: Ah! A gente tem que achar. Muda aqui. A gente tem que achar o que dá. Ah! Dá quase.
[00:14:42.22] G: Achei! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...
[00:14:44.23] P: E o zero.
[00:14:45.17] G: É. E o zero.
330
[00:14:47.22] G: É o número...
[00:14:52.00] P: Lê a pergunta.
[00:14:54.00] B: Sim!
[00:14:58.12] G: Sim, é...
[00:14:59.15] B: Mas não é todo número.
[00:15:00.17] P: Quando? A pergunta é quando? Quando vai acontecer isso?
[00:15:06.13] G: Quando o resto é dois.
[00:15:08.24] B: Não. Quando... É...
[00:15:11.20] G: O quociente é dois.
[00:15:12.13] B: É.
[00:15:14.28] P: Mexe lá no outro.
[00:15:18.03] B: Mexe lá. Põe quatro. Sei lá.
[00:15:19.12] P: Vai mexendo. Vai vendo se tem outros que deram igual.
[00:15:22.27] B: É...Tudo par.
[00:15:25.05] G: É?
[00:15:30.15] B: É. Tudo par.
[00:15:30.25] P: Olha, você passou por um que deu agora.
[00:15:35.10] G: AND B: (Murmúrios)
[00:15:50.11] G: AND B: Todo número par. (juntas)
[00:15:52.00] P: No 42 deu. Vamos tentar e ver se a gente acha algum ímpar, pra ver se...?
[00:15:55.19] B: Mas acho que... dá todos os números. É, dá todos os números.
[00:16:02.08] P: Olha, essa aí é ímpar e deu.
[00:16:04.02] G: Quando o quociente é igual.
[00:16:06.14] P: Como assim?
[00:16:07.01] G: AND B: Quando todos os quocientes são iguais (juntas).
[00:16:09.11] P: Mas todos são iguais.
[00:16:10.08] G: AND B: Não.
[00:16:11.04] G: Não o divisor, o quociente.
[00:16:13.13] B: Esse aqui, olha (apontando para a tela).
[00:16:13.17] P: Sim, mas todos não são iguais. Dá uma olhada aí em outros. Outros que não deram
certo.
[00:16:20.14] B: Quais que não deram certo?
[00:16:22.08] P: Olha, esse aí por exemplo. Não deu certo. O zero está aqui embaixo.
[00:16:25.07] B: Mas então. G: Mas aqui tem o sete.
[00:16:27.15] P: Vamos tentar outro que não deu certo.
[00:16:30.29] G: Tem o cinco e o seis.
[00:16:33.03] B: É, mas então, é isso que a gente está falando. Esse aqui tem que ser igual.
[00:16:35.28] G: Que todos esses tem que ser igual pra dar certo.
[00:16:38.04] P: Entendi. Então você acha que todos os quocientes tem que ser iguais?
[00:16:41.11] G: É.
331
[00:16:44.01] P: Então tá bom. Então coloca isso.
[00:16:47.19] B: Essa é a tarefa sete?
[00:17:06.24] G: AND B: (Murmúrios e risos)
332
V) Quadro com os enunciados das tarefas propostas aos
estudantes
Tarefas Explorar
Enunciado Teste 1 Teste 3
TExp 1 Qual é a soma de oito números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 17?
TExp 1 TExp 1
TExp 2 Qual é o produto de cinco números consecutivos sabendo que o primeiro deles é 30?
TExp 2 ---
TExp 3 Qual é o primeiro número de uma sequência de cinco números consecutivos cuja soma é 110?
TExp 3 ---
TExp 4 Qual é o primeiro número de uma sequência de quatro números consecutivos cujo produto é 73.440?
TExp 4 TExp 2
TExp 5 Use o botão SOMA TARTARUGA e escreva uma sequência de quatro números consecutivos cuja soma seja um número divisível por seis.
TExp 5 TExp 7
TExp 6 Uso botão PRODUTO RETANGULAR e escreva uma sequência de três números consecutivos cujo produto seja um número divisível por 4.
TExp 6 ---
TExp 7 Se você escolher sete números consecutivos e dividir cada um deles por sete, quando os respectivos restos das divisões efetuadas formarão uma sequência de números consecutivos? Para isso, use o botão RESTO.
TExp 7 TExp 5
TExp 8 Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada do produto de uma sequência de seis números consecutivos iniciada pelo número quatro.
TExp 8 ---
TExp 9 Use o botão FATORAÇÃO para determinar a forma fatorada produto entre 4, 5 e 6. Faça o mesmo com os números 9, 10 e 11. Repita com os números 20, 21 e 22. Agora responda: Quais números aparecem na fatoração dos três produtos?
TExp 9 TExp 3
TExp 10 Use o botão ALGÉBRICO para representar de forma genérica a soma de cinco números consecutivos.
TExp 10 TExp 6
TExp 11 Use o botão FATORAÇÃO e escreva uma sequência de três números consecutivos cujo produto seja um número divisível por 13.
--- TExp 4
333
Tarefas Conjecturar
Enunciado Teste 1 Teste 3
TConj 1 Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com a soma desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.
TPro 1 TOrg 1 e 2
TConj 2 Investigue a soma de quatro números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.
TPro 2 TConj 1
TConj 3 Selecione diversas duplas de números consecutivos e observe os resultados obtidos com o produto desses números. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.
TPro 8 TConj 2
TConj 4 Investigue o produto de três números consecutivos. Você percebeu algumas regularidades nos resultados? Caso encontre alguma regularidade, explique por que ela ocorre.
TPro 10 TOrg 4
334
Tarefas Organizar
As tarefas organizar foram propostas apenas no terceiro teste.
TOrg 1
Conteúdo similar ao da TPro 1 do teste 1.
TOrg 2
Conteúdo similar ao da TPro 1 do teste 1
TOrg 3
TOrg 4
Conteúdo similar ao da TPro 10 do teste 1
335
Tarefas Provar
Enunciado Teste 1 Teste 3
TPro 1 O que podemos afirmar a respeito da soma de 9 números consecutivos? a. A soma é sempre um número par. b. A soma é sempre um número ímpar. c. A soma às vezes é um número par. Ela é par quando...
TPro 3 -
TPro 2 O que podemos afirmar a respeito do produto de três números consecutivos? a. O produto é sempre divisível por 4. b. O produto nunca é divisível por 4. c. O produto às vezes é divisível por 4. Ele é divisível quando ...
TPro 11 -
TPro 3 É possível encontrar quatro números consecutivos cuja soma seja
82? 37? 44? Justifique suas escolhas.
TPro 5 TPro 1
TPro 4 É possível encontrar dois números consecutivos cujo produto seja, 23? 52? 156? Justifique suas escolhas.
TPro 9 TPro 3
TPro 5 É sempre possível encontrar um número que divida o produto de uma sequência de números consecutivos? Justifique.
TPro 14 -
TPro 6 Prove que a soma de oito números consecutivos é um número par.
TPro 4 -
TPro 7 Prove que o produto de cinco números consecutivos é divisível por 120.
TPro 13 -
TPro 8 Joãozinho estava procurando números consecutivos cuja soma fosse um número par. Depois de algumas observações, ele concluiu que para obtermos um resultado par devemos somar uma quantidade par de números consecutivos. Por exemplo, somando 4 números consecutivos (3 + 4 + 5 + 6) e 12 números consecutivos (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13) o resultado é um número par. Pedrinho ouviu a ideia de Joãozinho e concordou com ele. Além disso, acrescentou que se tivermos uma quantidade ímpar de números consecutivos a soma seria um número ímpar. Veja que a soma de 8 + 9 + 10 dá 27, que é um número ímpar. Maria ouviu as ideias de Joãozinho e Pedrinho e discordou delas. Por quê?
TPro 7 TConj 3
TPro 9 Joãozinho fez algumas observações e percebeu que:
O resultado de 4x5x6x7 é divisível por 24.
O resultado de 10x11x12x13 é divisível por 24.
O resultado de 21x22x23x24 é divisível por 24.
Após essas observações ele concluiu que o produto de quatro números consecutivos é sempre divisível por 24. Joãozinho está correto? Por quê?
TPro 12 TPro 4
TPro 10 Você concorda que a soma de três números consecutivos é sempre divisível por 3? Como você convenceria seu colega se isso fosse verdade?
TPro 6 TPro 2