А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л , 2 0 0 1 , т о м 4 7 , № 1 , с. 1 1 9 - 1 2 2

У Д К 5 3 4 .2 8 6

УСИЛЕНИЕ ЗВУКА В НЕОДНОРОДНЫХ ПОТОКАХНЕРАВНОВЕСНОГО ГАЗА

© 2001 г. Н. Е. МолевичС а м а р с к и й г о с у д а р с т в е н н ы й а э р о к о с м и ч е с к и й у н и в е р с и т е т и м . С . П . К о р о л е в а

4 4 3 0 8 6 С а м а р а , М о с к о в с к о е ш о с с е 3 4

E - m a i l : m o le v ic h @ m b . s s a u . r u

Поступила в редакцию 28.02.2000 г.

Найдены условия акустической неустойчивости потоков термодинамически неравновесного газа. Показано, что инкременты нарастания для возмущений скорости, температуры, давления и плотно­сти различны. При малых числах Маха вдоль потока нарастают только возмущения скорости и тем­пературы.

Исследование акустической устойчивости по­токов термодинамически неравновесного газа представляет интерес в связи с развитием лазер­ной техники и плазменной аэродинамики. Извест­но, что в термодинамически неравновесном газе звук может усиливаться. Примерами таких сред являются химически активные смеси, плазма тле­ющего разряда, газы с неравновесно возбужден­ными молекулярными внутренними степенями свободы, а также атмосферные области с нерав­новесной конденсацией. Акустическая неустой­чивость таких сред связана с выполнением крите­рия Релея: в максимумах волны тепловыделение из неравновесных степеней свободы должно быть больше, чем в минимумах. Как показано в работе [1], акустический инкремент во всех этих средах может быть записан в обобщенном виде

_ £(ю)ю22и * (а» р '

где и5 - коэффициент второй вязкости и ско­рость звука, зависящие от частоты со; р - плот­ность среды. Акустически активными являются среды с £ < 0.

Выражение (1) не учитывает неоднородность стационарной неравновесной среды, которая, в основном, определяется способом организации теплоотвода. В [2] рассматривался теплоотвод за счет механизма теплопроводности. Показано, что при малой степени неравновесности область акустической неустойчивости (на плоскости мощность накачки - обратное время релаксации) расширяется, а при большой степени неравновес­ности - сужается по сравнению с однородным слу­чаем. В [1] найдена поправка к выражению (1), учитывающая рефракционные потери при попе­речном конвективном теплоотводе. В [3] приве­дены результаты исследования распространения

акустического импульса или волны в одномерных равновесных средах с периодической неоднород­ностью.

В настоящей работе найдены условия акусти­ческой неустойчивости движущихся неравновес­ных сред по отношению к звуку, распространяю­щемуся вниз и вверх по течению. Рассмотрены два типа газовых сред: среды с источником тепло­выделения, мощность которого Q зависит от тем­пературы Т и плотности р, а такж е колебательно­возбужденные молекулярные среды. Скорость потока W предполагается дозвуковой: число М а­ха М = W q/ u s < I .

Для первого типа сред исходную систему одно­мерных уравнений газодинамики запишем в виде

d-T +dt

d v ЭР 4 d~vp dF - ~ а ; + з 11э*! ’

Tdp p dt

c C T

Q (T ,p ) + xC p„—dx

m

Здесь d/dt = d/dt + vd/dx\ ось x совпадает с на­правлением потока; v - скорость движения газа; Р -давление; С ^ , С ^-теп лоем кости при постоян­ном давлении и объеме; m - молекулярная масса; X - коэффициент температуропроводности; г) - ко­эффициент сдвиговой вязкости. При записи урав­нений переноса тепла и состояния использова­лись энергетические единицы.

Представим величины в (2) в виде v = W0 + v \ р = р0 + р’ и так далее, где нижний индекс 0 соот­ветствует стационарным значениям, верхний

119

120 М ОЛЕВИЧ

штрих - возмущениям соответствующих вели­чин. Для малых чисел Маха (но таких, что можно пренебречь теплоотводом за счет механизма теп­лопроводности) градиенты стационарных вели­чин в системе (2) равны

1 ЭГ0 ^ _1_Эро _ 1Т0 дх р0 дх “ тqC ^ M uJ

где тq = Tq/Qq - характерное время тепловыделе­ния. Дальнейшее рассмотрение проведем в при­ближении линейной геометрической акустики, для применимости которой неоднородность сре­ды должна быть слабой

1 дТ0 ^ со Т0 дх К и /

или, учитывая (3), это условие выполнимо только для высокочастотного звука

сот0 > 1СР„М'

В высокочастотном пределе система уравне­ний (2) после линеаризации и пренебрежения сла­гаемыми выше второго порядка малости сводится к замкнутым уравнениям, описывающим эволю­цию соответствующего возмущения. Например, для возмущений скорости и плотности линеаризо­ванные уравнения имеют вид

э уdt:

-и ,2 д~ у'

дх1+ 2 W,о

д2 v дхд t

= 0 Эу'- 2 а00м0а-=г- +. ( i n + * l a V ,a t Ь р о C J d x 2dt

3 V- и 3 Р +2W Э2р' З и „ Эр

д г 2 Эх" °dxdt Ср„Мтв дх

-2аовлсв̂ Я + [' f n X -) э у _dt \ -Зро ^^оо/Эх"Э/

(4)

(5)

где а.,, - коэффициент усиления высокочастотно­го звука в неравновесной среде. Он определяется согласно (1) через коэффициент второй вязкости, который в высокочастотном пределе равен [1,4]

^ ур(Цоо ~ ^р)Ро(0 2x q C voo

Здесь и0 = J y 0T0/m , = Jy„T0/m - скоростинизкочастотного и высокочастотного звуков; у0 = = CpJCvо; Yoo = CpJC^y CpQ = QT — Qp, = -Q p — низкочастотные теплоемкости при постоянном давлении и объеме для данного типа сред [5]; QT = d\nQJd\nT^ (2p = 3ln(2o/3lnp0. С учетом вида£

высокочастотный коэффициент усиления имеет вид

Qt + CVooQp2 X Q С р оо Сvoo U со

Собственно усилению звука в однородной среде соответствует условие £ < 0, т.е. должно выпол­няться

Qt + C v„Q р > 0 . (6)

Заметим, что усиление звука возможно и в тепло­поглощающих средах (go < 0), но в этом случае £ < 0 при неравенстве, обратном (6).

Решение уравнения (4) будем искать в виде

V* = v,(jc)exp[/JW jr-icof], (7)

где v, - медленно меняющаяся амплитуда возму­щения скорости (dvjdx < k v {\ к = со/и» - волно­вой вектор. В неоднородной среде он зависит от пространственной координаты х.

Подставляя (7) в (4), получим укороченное урав­нение для медленно меняющейся амплитуды

d Vt— = - iM k v 1- ( G v + 5 )v j

и его решение

v ’ = v ,(jc = 0)exp- Д'- J (G V + S)<ir +

О(8)

+ 1 J&( 1 - M)dx - /соГо

где

1Gv а ” 4С;,„Мхе м, (9)

- инкремент нарастания (при Gv < 0) возмущений скорости;

со2 (4т|2 u l W

- коэффициент поглощения звука, связанный со сдвиговой вязкостью и теплопроводностью.

Дополнительные слагаемые в инкремент при конвективном теплоотводе связаны с тем, что ко­лебания скорости потока приводят к колебаниям теплоотвода, обуславливая обратную связь меж­ду акустическими возмущениями и неравновес­ным тепловыделением [6].

Аналогично (8) можно получить решение для медленно меняющихся амплитуд возмущений р,,

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л том 47 № 1 2001

У СИ ЛЕН И Е ЗВ У К А В Н ЕО ДН О РО ДН Ы Х П О ТО КА Х 121

Ри Г,. Соответствующие инкременты иметь вид

Gp = “ “ + 4 C ^ M xquJ

Gp = а ” + 4 Cp„MxQu J

будут

(Ю)

Gt — O ’- .,.г АС p„MTquJ

Остальные величины в (8) не изменяются.В отличие от однородных сред, в неоднород­

ном потоке возмущения газодинамических вели­чин имеют разные инкременты. Ранее подобное свойство отмечалось для нестационарных нерав­новесных сред [7-10]. Причем инкременты отли­чаются и по величине и по знаку. Например, при а., < 0 и малых числах Маха

M < 2(QT + Cv„Qp)

вдоль потока будут нарастать только возмущения скорости и температуры, однако такой поток не­устойчив для возмущений плотности и давления, распространяющихся против потока. Разумеется, для теплопоглощающих сред (Q0 < 0) ситуация бу­дет обратной. Заметим, что инкременты G при ма­лых числах М0 могут значительно превышать зна­чение а^.

Рассмотрим теперь второй тип неравновесных сред - поток колебательно-возбужденного моле­кулярного газа. В этом случае в системе (2) изме­нится только уравнение переноса тепла

d J d E ^ v~ d t dt s i - e<r’ p)+*c-iS (H )

где EK - колебательная энергия (в расчете на одну молекулу), изменение которой описывается ре­лаксационным уравнением

d_E_к dt Хк(^Р)

+ 0-

Здесь - равновесное значение колебательной энергии, тк - время колебательной релаксации, Q - мощность источника, поддерживающего неравно­весное возбуждение колебаний молекул Ек > £*. Для простоты рассмотрения будем считать вели­чину Q не зависящей от Т и р. В данной постановке задачи эта зависимость приводит только к более сложному виду коэффициента второй вязкости.

Из уравнений (11), (12) при М < 1 следует, что

1 dT0 = _l_dpo = 5Т0 dx р0 dx хкCpooW0

Таким образом, условие геометрической акус­тики в этом случае выполняется при

сотк > 5СРЖ

где 5 = (£к0 - )/тк - стационарное значение сте­пени неравновесности.

Для сред с большими степенями неравновесно­сти 5 > 1 условие (13) выполняется только в высо­кочастотном пределе. При малых S < 1 выраже­ние (13) может быть справедливым также и для низкочастотного звука (сотк 1).

Далее можно использовать описанную мето­дику нахождения инкрементов нарастания воз­мущений в неоднородном потоке. В результате для высокочастотных возмущений получаем G в виде (9), (10) с заменой во втором слагаемом этих выражений xQ на тк/5. Коэффициент сохранит вид (1), но с коэффициентом второй вязкости

С у0(Цро ~ цо)Ро C02TKC veo

Ск + 5( хг + Cvoc тр)G vco G р ж

где, по-прежнему, и0 = J y 0T0/m - скорость низко­частотного звука; у0 = C pJC ^ + Ск + 5(хт ++ тр); Cvo = + Ск + SxT - низкочастотные тепло­емкости при постоянном давлении и объеме в ко­лебательно-возбужденном газе [1 ]; Ск - равновес­ная колебательная теплоемкость; хт = Э1птк/Э1пГ0; тр = Э1птк/Э1пр.

Таким образом,

Ск + S(xT+ Cvooxp) 2xKCvoo СрооМж

и усилению звука в однородном колебательно-воз­бужденном газе соответствует условие £ < 0, т.е.

S(xT + С^Тр) < -С к. (14)

В неоднородном потоке колебательно-возбуж­денного газа необходимо использовать инкре­менты вида (9), (10).

В низкочастотном пределе вместо инкремен­тов (9), (10) следует пользоваться выражениями

G° - scxUv - 0 4Cp0M0TKu0’

55Gp = 4Cp0M0xKu0

G° - a . 54Cp0M0xKu0

35GT =

a ° 4C„(1MnX„Mn’

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 47 № 1 2001

12 2 М ОЛЕВИЧ

где А/0 = Wq/uq, Оо = со2̂ о/2«о Р - низкочастотный коэффициент усиления;

л _ (woo ■” w0)TKCvoop0 So - т;^Voo

- низкочастотный коэффициент второй вязкости [1,4]. При малых 5 величина отрицательна при выполнении (14). Заметим, что при малых S вели­чина Сро ~ Ср^у и0 ~ и вторые слагаемые в выра­жениях (15) практически совпадают с соответст­вующими слагаемыми высокочастотного при­ближения.

Таким образом, в настоящей работе найдены инкременты нарастания газодинамических воз­мущений потоков неравновесного газа; показано, что возмущения скорости, плотности, давления и температуры имеют разные инкременты. Для тепловыделяющих сред и колебательно-возбуж­денных газов (активных в однородном приближе­нии) при малых числах Маха вдоль потока будут нарастать возмущения скорости и температуры, а против потока - возмущения давления и плотнос­ти. Для эндотермических сред последнее справед­ливо с точностью наоборот. Инкременты нарас­тания в потоках могут значительно превосходить инкременты однородных сред.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Молевич И.Е., Ораевский А.Н. Волны в среде с от­

рицательной второй вязкостью. Труды ФИ АН. Т. 222. М.: Наука, 1993. С. 45-95.

2. Кольцова Е.В., Осипов А.И., Уваров А.В. Акусти­ческие возмущения в неравновесном неоднород­ном газе // Акуст. журн. 1994. Т. 40. № 6. С. 969- 973.

3. Grety N., Delsanto Р.Р., Nita G., Rosea C., Scaleran- di M., Sturzu /. Ultrasonic pulse propagation in inhomo­geneous one-dimensional media // J. Acoust. Soc. Amer. 1998. V. 104. № l.P. 51-63.

4. Ландау JIM., Лифшиц E.M. Теоретическая физика. T. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

5. Молевич Н.Е., Ораевский А.Н. Вторая вязкость в термодинамически неравновесных средах // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. №3. С. 128-132.

6. Недоспасов А.В., Хайт В.Д. Колебания и неустой­чивости низкотемпературной плазмы. М.: Наука, 1979.168 с.

7. Patureau J.-P.y Toong T.-Y., Garris CA. Experimental investigation of acoustic - kinetic interactions // 16th Symposium (International) on Combustion. 1977. The Combustion Institute. Pitsburg. USA. P. 929-938.

8. Abouseif G.E., Toong T.-Y., Cinverti J. Acoustic - and shock - kinetic interactions in non - equilibrium H2-C12 reactions // 17th Symposium (International) on Combus­tion. 1978. University of Leeds. England. P. 1341-1351.

9. Detsch R.H., Bass H.E. Sound amplification from con­trolled excitation reactions: Experimental observations on chemically reacting H2/C12 mixtures //J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 77. № 2. P. 512-519.

10. Молевич H.E., Ораевский А.Н. Усиление звука в квазистационарных средах с отрицательной вто­рой вязкостью // Акуст. журн. 1989. Т. 35. Вып. 3. С. 482-486.

Sound Amplification in Inhomogeneous Flows of Nonequilibrium GasN. E. Molevich

The conditions of the acoustic instability of flows of thermodynamically nonequilibrium gas are determined. It is shown that the growth increments of the velocity, temperature, pressure, and density disturbances are differ­ent. When the Mach numbers are small, only the velocity and temperature disturbances grow along the flow.

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л том 47 № ] 2001