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1/26Prof. MSc. David Roza José[email protected]


Inversão de Matrizes

Objetivos:

– Saber determinar a inversa de uma matriz de maneira eficiente, baseada na

fatoração LU;

– Compreender como a inversa de uma matriz pode ser utilizada para analisar

características de estímulo e resposta em sistemas de engenharia;

– Compreender o significado de normas de matriz e vetores e como são

calculadas;

– Saber como utilizar as normas para calcular o número de condição da matriz;

– Compreender como a magnitude do número de condição pode ser utilizado

para estimar a precisão das soluções de um sistema linear de equações

algébricas.


Matriz Inversa

Em aulas passadas foi introduzido o conceito de que se uma matriz [A] é quadrada,

existe uma outra matriz [A]-1, chamada de matriz inversa de [A], para a qual:

[A][A]-1 = [A]-1[A] = [I]

A inversa pode ser calculada de coluna a coluna. Por exemplo, se o vetor de termos

independentes possui o número 1 na primeira posição e zeros nos outros lugares,

a solução resultante será a primeira coluna da inversa da matriz. Similarmente, se um

vetor unitário com o número 1 na segunda linha é utilizado


Matriz Inversa

a solução resultante será a segunda coluna da matriz inversa.

A melhor maneira de implementar tal cálculo é com uma fatoração LU. Como esta

metodologia é ideal para avaliar diversos vetores de termos independentes, terá grande

serventia na avaliação dos diversos vetores unitários necessários para calcular a matriz

inversa.


Exemplo

Utilizaremos a fatoração LU para determinar a inversa para a seguinte matriz de

coeficientes:

Na aula anterior já havíamos calculado a fatoração LU dela, cujo resultado era:

Para determinar a matriz inversa devemos utilizar a substituição progressiva para

encontrar diversos {d} e resolver os vários {x} que determinarão a inversa.


Exemplo


Exemplo

No primeiro passo da determinação da primeira coluna da inversa temos:

Cuja solução é:

E o segundo passo da determinação da primeira coluna da matriz inversa:

Cuja solução é:


Exemplo

No primeiro passo da determinação da segunda coluna da inversa temos:

Cuja solução é:

E o segundo passo da determinação da segunda coluna da matriz inversa:

Cuja solução é:


Exemplo

No primeiro passo da determinação da terceira coluna da inversa temos:

Cuja solução é:

E o segundo passo da determinação da terceira coluna da matriz inversa:

Cuja solução é:


Exemplo

Resumindo nossos resultados até agora:

Que resulta na seguinte matriz inversa:


Cálculos de Estímulo e Resposta

Os sistemas que regem fenômenos na engenharia são, muitas vezes, lineares da forma:

Para equações de balanço os termos possuem uma interpretação física. Os elementos

de {x} são os níveis da propriedade sendo balanceada para cada parte do sistema. Num

balanço de forças, por exemplo, eles representariam as forças horizontais e verticais em

cada membro. Eles representam, enfim, o estado ou a resposta do sistema que estamos

tentando determinar.

O vetor de termos independentes {b} contém aqueles elementos do balanço que são

independentes do comportamento do sistema – ou seja, são constantes. Em muitos

problemas eles representam as influências ou estímulos externos que agem e guiam o

sistema.

A matriz de coeficientes [A] contém os parâmetros que expressam como as partes do

sistema interagem ou como estão acoplados.



Assim a equação abaixo

Poderia ser expressada da seguinte forma:

[Interações]{resposta}={estímulo}

Sabemos que existem diversas maneiras de resolver este problema. Entretanto,

utilizando a matriz inversa nos dá um resultado interessante.

Ou seja:



Cada um dos elementos representa a resposta de uma única parte do sistema a um

estímulo unitário de qualquer outra parte do sistema.

Por ser uma formulação linear, a superposição e proporção existem. Superposição

implica que se o sistema está sujeito a diversos estímulos, as respostas a cada um

podem ser calculadas separadamente e somadas. Proporcionalidade significa que se

um estímulo dobra, sua resposta também dobrará.

Assim, a-111 é a constante de proporcionalidade que nos dá o valor de x1 devido ao nível

unitário de b1. Assim podemos concluir que o elemento a-1ij da matriz inversa representa

o valor de xi devido a um valor unitário de bj.


Exemplo

Revisitemos o exemplo da Aula 09 sobre Sistemas Lineares, no qual três saltadores de

bungee-jump estavam unidos por cordas. Chegamos ao seguinte sistema:

Utilizaremos o MATLAB para calcular a inversa desta matriz.

Cada elemento da k-1ij inversa representa a mudança vertical na posição, em metros, do

saltador i devido a uma mudança unitária na força (em Newtons) aplicado ao saltador j.


Motivação

Vamos supor que, agora, três saltadores de bungee-jump estão unidos por cordas.

Podemos definir três distâncias x1, x

2 e x

3; medidas para

baixo quando não estão esticadas (esquerda). Após

saltarem, a gravidade fará seu trabalho e os saltadores

atingirão a posição de equilíbrio (direita).

Suponha que seu trabalho seja calcular o deslocamento

de cada um dos saltadores. Caso consideremos que cada

corda se comporta como uma mola linear e segue a Lei

de Hooke, diagramas de corpo livre podem ser

desenhados para cada saltador.

SLIDE 03AULA 09 – SISTEMAS LINEARES


Exemplo

Os números na primeira coluna indicam que a posição de cada um dos três saltadores

aumentaria 0.02 m se a força aplicada ao primeiro saltador aumentasse 1 N.

Os números na segunda coluna indicam que aplicar uma força de 1 N ao segundo

saltador ainda moveria o primeiro saltador 0.02 m; mas moveria o segundo e o terceiro

saltador em 0.03 m.

Os números da terceira coluna indicam que ao se aumentar a força ao terceiro saltador

em 1 N continuaria movendo o primeiro saltador em 0.02 m; o segundo saltador em

0.03 m; mas moveria o terceiro saltador em 0.05 m.


Análise de Erro e Condicionamento

A inversa além de fornecer informações sobre a sensibilidade do sistema também nos dá

indicações a respeito do condicionamento. Três métodos diretos podem ser utilizados:

(1) Faz-se a escala da matriz de coeficientes [A] para que o maior elemento em cada linha

seja 1. Inverte-se a matriz modificada e se existirem elementos de [A]-1 que são diversas

ordens de magnitude maior que outros, é provável que o sistema seja mal-condicionado.

(2) Multiplica-se a matriz inversa pela original e verifica-se o quanto o resultado está

próximo da matriz identidade. Caso não esteja, existe um provável mal-condicionamento.

(3) Inverte-se a matriz inversa e verifica-se o quanto ela está próxima da matriz original.

Caso não esteja, existe um provável mal-condicionamento.

Apesar destes métodos servirem para seus propósitos, o ideal seria ter um único

escalar que servisse como indicador do problema. Esta é a ideia por trás do conceito de

norma.


Norma de Vetores e Matrizes

A norma é uma função matemática que retorna um valor real, fornecendo uma medida

do “comprimento” ou “tamanho” de entidades matemáticas de múltiplos componentes

tais como vetores e matrizes.

Um exemplo simples é um vetor num espaço tridimensional Euclidiano que pode ser

representado como:

Cuja norma é dada por:

Onde o índice “e” indica que

este comprimento refere-se à

Norma Euclideana de [F].


Norma de Vetores e Matrizes

De maneira similar, para um vetor n-dimensional sua norma Euclideana é dada por:

Este mesmo conceito pode ser estendido para uma matriz [A]:

Isto recebe o nome especial de Norma de Frobenius, por isso o índice “f”.

Deve ficar claro que existem outros tipos de normas tanto para vetores quanto para

matrizes.


Número de Condicionamento

Definiremos o número de condicionamento da matriz como:

Suponhamos que os coeficientes da matriz [A] tenham t dígitos de precisão. Seja então

que Cond[A] = 10c, então a solução [X] do sistema é garantida somente nos (t-c) dígitos.


Exemplo

A Matriz de Hilbert, que é notoriamente conhecida por ser mal-condicionada, pode ser

representada em termos gerais por:

Estimaremos o número de condicionamento para uma Matriz de Hilbert 3x3:


Exemplo

Devemos, primeiramente, calcular a inversa da matriz:

Tendo as duas matrizes, procedemos ao cálculo da Norma de Frobenius:

O fato do número de condicionamento da matriz ser muito maior que a unidade sugere

que o sistema é mal condicionado.


Exemplo

Tendo em vista que

Podemos quantificar a dimensão do mau condicionamento.

Assim caso nós resolvêssemos um sistema linear tendo a matriz [A] como a matriz dos

coeficientes, os três últimos algarismos significativos da solução poderiam exibir erros

de arredondamento.


MATLAB

O MATLAB possui as funções intrínsecas para calcular a norma e número de condição

através dos comandos:

norm (X,p)

cond (X,p)

tal que X é o vetor ou a matriz e p representa o tipo da norma ou número de condição,

que pode ser (1, 2, “inf” ou “fro”).


Aviso aos navegantes

Todos os exercícios do livro que solicitem a resolução de um problema implica que:

– Você o resolverá no MATLAB utilizando seu próprio código, e não as funções

prontas do MATLAB ou as fornecidas em aula;

– Você resolverá o problema no caderno a mão;

– Você resolverá o problema numa planilha de cálculo.

O intuito é que você aprenda o método, e não há aprendizado caso você simplesmente

use uma formulação fechada já fornecida pelo MATLAB ou programada por um terceiro.


Informações

Exercícios: 11.01 11.03 11.08 11.12 11.13 11.14

Em todos os exercícios envolvendo Norma: Vetores → Euclideana;

Matrizes → Frobenius.

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