Ç DQR Volume 1 - Conquista | Guia...dezenas 4 unidades 3 3 000 600 40 3 3 7 9 4 Cesar Stati. 2014....
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Capítulo 1
Sistemas de numeração 2
Capítulo 2
Números naturais 24
Capítulo 3
Múltiplos e divisores 52
Capítulo 4
Retas e ângulos 66
Volume 1
©Shutterstock/Cienpies Design
capí
tulo
Sistemas de numeração1
É impossível imaginar
um mundo sem números,
pois eles são fundamentais
em nossa vida. Qualquer
que seja a atividade desen-
volvida, eles estão sem-
pre presentes, mesmo que
indiretamente.
Observando a imagem
de abertura do capítulo,
você consegue fazer a rela-
ção entre os números que
usamos e os dedos de nossa
mão? Por quê?
Números que usamos
Sistemas de numeração
egípcio e romano
Sistema de numeração
indo-arábico
o que vocêvai conhecer
2
Matemática
Números que usamosVocê já percebeu que os números assumem diferentes significados de acordo com o
contexto no qual são utilizados? Observe estas situações:©
Sh
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Na verificação de quantos gramas de comida há no prato e
do valor a pagar.
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Pib
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Na indicação da ordem de atendimento em um
estabelecimento público.
Reconhecer o significado do número de acordo com o contexto em que é utilizado.
Analisar as principais características dos sistemas de numeração egípcio, romano e arábico.
Identificar classes e ordens na representação de um número.
Ler e escrever corretamente um número representado por seus algarismos.
Determinar o valor posicional de um algarismo na representação de um número.
objetivos do capítulo
Os números são usados para:
• representar quantidades;
• compor códigos;
• estabelecer relação de ordem;
• expressar medidas.
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Na indicação das horas.Na ligação telefônica para uma pessoa.
3
1 Leia esta reportagem sobre o transporte público e coletivo da maior cidade dos Estados Unidos da América, Nova Iorque.
GAETE, Constanza M. Os 11 melhores sistemas de metrô do mundo segundo o Business Insider. Tradução de Eduardo Souza. Disponível em: <https://www.archdaily.com.br/br/777604/os-11-melhores-sistemas-de-metro-do-mundo-segundo-business-insider/>. Acesso em: 30 ago. 2018.
Agora, responda às questões a seguir.
a) Quantos quilômetros de vias a mais o metrô de Nova Iorque tem em relação ao metrô de Pequim?
b) Diariamente, quantas horas o metrô trabalha no horário de pico?
Com 1.062 quilômetros de vias, o metrô de Nova York é, de longe, o mais extenso do mundo. De fato, seu comprimento re-presenta mais que o dobro do segundo maior sistema do plane-ta, o de Pequim (China), com 465 quilômetros.
Em sua extensão, o metrô de Nova York conta com 24 linhas e 468 estações, cifras que lhe outorgam o título de maior rede do mundo. Além disso, destaca-se mundialmente como sendo o úni-co que se mantém aberto durante 24 horas, com frequência de trens de 2 a 5 minutos nas horas pico (de 6:30 a 9:30 e de 15:30 a 20:00 horas) e de 10 minutos nos horários com menos passageiros.
Aliado a isso, somente em 2014 transportou 1,75 bilhões de passageiros, um número que se rela-ciona com o fato de essa ser a cidade mais caminhável dos Estados Unidos. Viajar nesse metrô custa U$ 2,75 por passagem.
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c) No período das 6 h 30 min às 9 h 30
Quantos trens partem durante esse período?
4
Matemática
Diego Munhoz. 2018. Digital.1 2
3
4
5
68
7
Desde 1997
Validade
8 dias
CEP 99999–999
d) E das 20 h às 6 h 30 min, quantos trens partem?
2 Observe, a seguir, o rótulo de uma embalagem de cookie. Leia as informações apresentadas.
a) Identifique no rótulo os números que representam as informações.
kcal (quilocalorias) e kJ (quilojoules): unidades de medida de energia. No caso de um alimento, indicam
quanta energia ele oferece ao nosso corpo.
Código:
Medida de tempo:
Medida de massa:
Porcentagem:
Medida de energia (kcal ou kJ)
1. Peso líquido 350 g
2. Desde 1997
3. Validade 8 dias
4. CEP 99999–999
8.
Valor Energético 130 kcal / 546 kJ 7%
Carboidratos 20 g 7%
Proteínas 4,2 g 6%
Gorduras Totais 3,7 g 7%
Gorduras Saturadas 0 g 0%
Gorduras Trans. 0 g (xx)
Fibra Alimentar 0 g 0%
Sódio 30 mg 1%
5. Código de barras 828119 490319
6. INFORMAÇÃO NUTRICIONAL –
PORÇÃO DE 60 g
7. Valores diários de referência com base em uma dieta de 2 000 kcal ou 8 400 kJ.
5
b) Se você comer duas porções de cookie, quantas quilocalorias consumirá?
c) Se o cookie for fabricado em 26/12/2019, qual será a data de validade?
3 Estes são os ingredientes necessários para uma receita de cheesecake.
Nessa receita, os números indicam quantidade, ordem, medida ou código?
4 Faça uma pesquisa sobre o significado da sigla CEP e sua finalidade e, depois, responda às questões a seguir.
a) Para que serve o CEP e como ele é formado?
b)
c)
5 Indique algumas situações nas quais os números são usados para:
a) representar quantidade.
b) estabelecer relação de ordem.
c) compor códigos.
d) expressar medidas.
Die
go
Mu
nh
oz.
20
14
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ita
l.
6
Matemática
6 Leia a tirinha.
O número quarenta e três foi utilizado com qual função? O que você acha que Garfield fez?
7 Você já deve ter observado o uso do código de barras em diferentes pro-dutos. Faça uma pesquisa para descobrir qual é a utilidade desse código no dia a dia e como ele é feito. Registre as informações encontradas no caderno.
8 É possível representar uma quantidade por meio de símbolos gráficos, que podem ser desenhos ou palavras. Leia a tirinha a seguir.
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BROWNE, Dik. O melhor de Hagar, o Horrível. Porto Alegre: L&PM, 2010. v. 6. p. 11.
a) Que estratégia Helga, esposa de Hagar, usou para saber há quanto tempo os dois estão
casados?
b) Há quantos anos, meses e dias eles estão casados? Faça os cálculos no caderno, considerando que cada ano tem 365 dias.
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DAVIS, Jim. Garfield. Folha de S. Paulo, 11 ago. 2013. Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br/ilustrada/cartum/cartunsdiarios/#11/8/2013>. Acesso em: 23 ago. 2018.
7
Sistemas de numeração egípcio e romano Há muito tempo, o ser humano sentiu a ne-
cessidade de contar. Quando a quantidade de
objetos ou animais a ser contada começou a
ultrapassar a quantidade dos dedos das mãos
e dos pés, ele passou a usar pedras, nós em cor-
das e marcas em ossos e em madeiras. O ho-
mem primitivo contava os itens um a um e re-
gistrava as quantidades de diversas maneiras.
Há registros numéricos datados de mais de
8 000 anos. Diversas civilizações antigas desen-
volveram um conjunto de símbolos e de regras
para escrever os números, o que deu origem a
diferentes formas de representação de quan-
tidades. É importante conhecê-las para com-
preender melhor o sistema de numeração que
utilizamos hoje.
Sistema de numeração egípcio
A civilização egípcia originou-se de pequenas aldeias que viviam às margens do Rio Nilo,
entre 7000 a.C. e 3000 a.C. A escrita numérica desse povo é uma das mais antigas que se cons-
tituíram por meio de combinações de desenhos e sinais gráficos. Os egípcios registravam suas
ideias escrevendo numa espécie de papel chamado papiro. Observe um desses documentos:
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Papiro de Rhind, que detalha soluções de problemas de aritmética, álgebra e geometria. Museu Britânico, Londres
1 2 3 4 5 6 7 8 9
milhares 3
centenas 6
dezenas 4
unidades 3
3 000
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4. D
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8
Matemática
Estes são os símbolos que os egípcios
criaram para representar quantidades:
Símbolo Descrição Valor
Bastão 1
Calcanhar invertido 10
Corda enrolada 100
Flor de lótus 1 000
Dedo dobrado 10 000
Girino 1 00 000
Homem ajoelhado 1 000 000
Assim como o sistema que usamos atualmente, o sistema de numeração egípcio era deci-
mal. No quadro, cada símbolo representa dez vezes a quantidade indicada no símbolo anterior.
Observe alguns números representados nesse sistema:35
900
10 001
Fonte: ATLAS da História do mundo. Barcelona: Parragon, 2006. p. 85. Adaptação.
Egito antigoL
uci
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Regras do sistema de numeração egípcio
Era um sistema de numeração decimal, pois cada agrupamento de dez símbolos era tro-
cado por outro símbolo. Assim, cada símbolo só podia ser usado nove vezes em um número.
O sistema de numeração era aditivo, ou seja, o valor do número era dado pela soma dos
valores dos símbolos.
Cada símbolo correspondia sempre ao mesmo valor, não importando sua posição, pois se
tratava de um sistema não posicional.
Exemplos:
231 1 120 1 120
100 009 1 111 111 2 001 105
9
1 Represente os números a seguir no sistema de numeração egípcio.
a) 28:
b) 49:
c) 173:
d) 3 856:
e) 2 065:
f) 40 001:
g) 300 462:
h) 0:
i) 1 025 734:
2 Traduza os números a seguir usando nosso sistema de numeração, por extenso.
a) :
b) :
c)
d) :
3 O sistema de numeração egípcio era posicional? Explique sua resposta e dê exemplos.
4 Utilizando o atual sistema de numeração, escreva o maior número que os egípcios conseguiam representar.
5 As pirâmides do Egito são monumentos famosos, construídos para servir de tumba
aos faraós. As maiores e mais famosas pirâmi-des situam-se na Planície de Gizé, na cidade do Cairo, e foram construídas durante o reinado
de três faraós: Quéops, Quéfren e Miqueri-nos. A grande pirâmide de Quéops é a maior construção de pedra do mundo, originalmente
-primento em cada lado da base, que é quadrada.
atividades
Planície de Gizé, Cairo, Egito
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10
Matemática
Altura da pirâmide (em metros):
Lado da base da pirâmide (em metros):
6 Escreva, usando o atual sistema de numeração, o maior número que pode ser formado com os sím-
bolos , considerando as repetições possíveis.
7 Os egípcios não tinham representação para o zero. Descreva como eles faziam para representar o número 105.
8 Por que o sistema de numeração egípcio é considerado decimal?
9 Os cartuchos egípcios eram símbolos ovais e em seu interior se encontravam, geralmente, nomes de reis e faraós do Antigo Egito. Atualmente são reproduzidos como amuletos de proteção. Nesta atividade, os cartuchos contêm números egípcios que definem um valor. Recorte do material de apoio os cartuchos e cole-os na página em ordem decrescente destes valores. Escreva quanto vale cada cartucho na lacuna abaixo dele:
11
Sistema de numeração romano
O Império Romano é considerado um dos maiores da Antiguidade. Seu território se
estendia por países que hoje compõem parte da Europa, da África e da Ásia. Os romanos
criaram um sistema de numeração com base em sete letras maiúsculas de nosso alfabeto.
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Ma
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Porta Nigra, Trier, Alemanha
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Sa
zon
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Fórum Romano, Roma, Itália
Esse sistema de numeração sofreu um longo processo de evolução e ainda é utilizado
em algumas situações do dia a dia, como na indicação de séculos.
Com esses símbolos e as regras a seguir, veja como fazemos para representar quantida-
des no sistema de numeração romano.
Símbolo (fundamental)
ValorSímbolo
(secundário)Valor
I 1 V 5
X 10 L 50
C 100 D 500
M 1 000
Fonte: ATLAS da história do mundo: história completa da jornada humana. 2. ed. Londres: Dorling Kindersley, 2005. p. 181. Adaptação.
Domínio do Império Romano
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Ka
thy
Bo
ra
12
Matemática
Regras do sistema de numeração romano
É um sistema de numeração decimal, pois cada agrupamento de dez é trocado por um
símbolo fundamental superior. Entretanto, são utilizados símbolos secundários para cada
agrupamento de cinco.
O sistema de numeração é aditivo, pois o valor do número é dado pela soma ou pela sub-
tração dos valores dos símbolos.
É um sistema posicional, pois, quando o símbolo da direita tem um valor maior que o sím-
bolo da esquerda, subtraem-se seus valores.
Na prática, é assim:
Os símbolos fundamentais podem ser repetidos até três vezes seguidas:
XXX – 30 CCIII – 203 MMMCXX – 3120
Quando é necessário usar quatro ou mais símbolos fundamentais iguais, substituem-se
esses símbolos pelos símbolos secundários:
VI – 6 LIII – 53 MDLXVIII – 1568
Para representar os números quatro, nove, quarenta, noventa, quatrocentos e novecen-
tos, coloca-se o símbolo fundamental imediatamente menor à esquerda do maior e
faz-se uma subtração:
IV – 4 CM – 900 CDIII – 403 MMCCCXLIV – 2344
Para representar números a partir de quatro mil, usam-se traços sobre os símbolos, in-
dicando-se a multiplicação por 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000 e assim sucessivamente:
IV – 4 × 1 000 = 4 000
XI – 10 × 1 000 + 1 = 10 001
XV – 15 × 1 000 000 = 15 000 000
1 O sistema de numeração romano ainda é utilizado atualmente. Troque ideias com seus colegas e, juntos, relacionem algumas situações em que vocês observam o uso desse sistema.
2 Usando o sistema de numeração romano, escreva os números a seguir.
a)
b)
c)
d) 370:
atividades
13
e) 45:
f) 59:
g)
h) 438:
i) 78:
j)
3 Por que o sistema de numeração romano é considerado decimal?
4 O sistema de numeração romano é um sistema posicional? Justifique sua resposta.
5 No sistema romano,
6 O estudo das civilizações antigas é importante para compreendermos as transformações que ocor-reram ao longo dos tempos. O século é uma das formas de registrar o tempo. O século I começou no ano 1 e terminou no ano 100. A seguir, indique os anos de início e término de cada século.
a) Século II: ao .
b) Século XXI: ao .
c) Século XX: ao .
d) Século X: ao .
e) Século XV: ao .
f) Século V: ao .
7 Escreva, ao lado de cada frase, o século correspondente ao acontecimento histórico citado.
a)
b)
c)
d)
8 Em uma atividade, os estudantes deveriam escrever o número 425 no sistema romano. Observe as
respostas de quatro deles.
CCCCXXV XDXXV CDXXV CDVXX
Qual das respostas está correta? Por que as outras estão erradas?
mino de cada século.
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Die
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14
Matemática
Sistema de numeração indo-arábicoOutras civilizações também criaram símbolos e regras com a intenção de tornar mais
simples a representação dos números, de modo que fosse fácil utilizá-los. Uma das mais
notáveis invenções aconteceu na Índia: o sistema de numeração indo-arábico, assim denomi-
nado por ter sido criado pelos hindus e aperfeiçoado e divulgado pelos árabes.
Formado por apenas dez símbolos, chamados algarismos -
-arábico possibilita que se represente qualquer número. São eles:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0
Esse sistema de numeração é decimal, pois nele os agrupamentos são feitos de dez em
dez. As regras que formam o sistema de numeração indo-arábico não se modificaram nos úl-
timos 20 séculos, mas a escrita dos algarismos se transformou ao longo do tempo. Observe
essa mudança no quadro a seguir.
Ra
qso
nu
. 20
14
. Dig
ita
l.
Fonte: TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de matemática: como dois e dois – a construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.
PROVAVELMENTE PORQUE OS LIVROS
ERAM TRANSCRITOS À MÃO!
Die
go
Mu
nh
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20
14
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ita
l.
Características do sistema de numeração indo-arábico
Com apenas dez símbolos, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, é possível escrever
qualquer número.
Para facilitar a contagem, são feitos agrupamentos de dez em dez. Por isso, dizemos que
é um sistema de base dez (decimal).
É posicional, porque um mesmo símbolo representa valores diferentes dependendo da
posição que ocupa no número. Por exemplo, no número 664, o algarismo 6 tem valor
posicional de seiscentos e de sessenta, respectivamente.
Apresenta um símbolo, o zero, para indicar a ordem vazia.
É aditivo, pois o valor do número é obtido pela soma dos valores posicionais dos
algarismos.
É multiplicativo, pois um algarismo vale dez vezes o valor posicional que teria se es-
tivesse ocupando uma posição imediatamente à sua direita.
POR QUE A APARÊNCIA DOS ALGARISMOS
SOFREU VÁRIAS MUDANÇAS?
15
No sistema de numeração decimal, os agrupamentos de 10 recebem nomes especiais.
Considerando o menor cubinho do material dourado como unidade, temos as seguintes
denominações:
• Um agrupamento com 10 unidades forma
dezena.
• Um agrupamento com 10 dezenas forma
centena.
• Um agrupamento com 10 centenas forma
unidade de milhar.
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ag
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Pit
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PIm
ag
en
s/
Pit
h
• Um agrupamento com 10 unidades de
dezena de milhar
sucessivamente.
Considerada da direita para a esquerda, a posição de cada algarismo no número indica
uma ordem. Para facilitar a leitura, cada agrupamento de três ordens forma uma classe.
Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), em 2060, a população
brasileira será de 218 173 888 habitantes. Veja, no quadro de ordens e classes, a representa-
ção do número referente a essa estimativa.
CLASSE DOS MILHÕES CLASSE DOS MILHARESCLASSE DAS UNIDADES
SIMPLES
9ª. ordem 8ª. ordem 7ª. ordem 6ª. ordem 5ª. ordem 4ª. ordem 3ª. ordem 2ª. ordem 1ª. ordem
Centenas
de
milhão
Dezenas
de milhão
Unidades
de
milhão
Centenas de
milhar
Dezenas
de
milhar
Unidades
de milhar
Centenas
simples
Dezenas
simples
Unidades
simples
2 1 8 1 7 3 8 8 8
O quadro facilita a compreensão, a leitura e a escrita dos números.
O número indicado foi:
218 173 888
800 + 80 + 8
100 000 + 70 000 + 3 000
200 000 000 + 10 000 000 + 8 000 000
Esse número pode ser lido ou escrito por extenso da seguinte forma: duzentos e dezoito
milhões, cento e setenta e três mil oitocentos e oitenta e oito.
À esquerda da classe dos milhões, temos a classe dos bilhões, dos trilhões, dos quatri-
16
Matemática
Qualquer número pode ser decomposto de diferentes formas. Observe a decomposição
dos números a seguir.
4 539 778 = 4 000 000 + 500 000 + 30 000 + 9 000 + 700 + 70 + 8
60 947 203 × 10 000 000 + 9 × 100 000 + 4 × 10 000 + 7 × 1 000 + 2 × 100 + 3 × 1
Em textos jornalísticos, é comum haver números representados de forma abreviada,
utilizando-se algarismos e palavras. Veja um exemplo:
7 300 000 000 000 = 7 trilhões e 300 bilhões ou 7,3 trilhões
atividades
1 Preencha o quadro com o número de habitantes da cidade em que você mora e responda às questões a seguir.
CLASSE DOS MILHÕES CLASSE DOS MILHARESCLASSE DAS UNIDADES
SIMPLES
C D U C D U C D U
a) Como se lê esse número?
b) Ele é formado por quantas classes?
c) E quantas ordens?
2 Decomponha os números de acordo com a soma dos valores posicionais de seus algarismos.
a) 3 481 =
b) 707 631 =
c) 12 042 =
d) 3 000 416 =
3 Leia o texto a seguir.
NASA lança sonda Parker em tentativa de se aproximar do Sol. Disponível em: <https://www.poder360.com.br/tecnologia/nasa-lanca-sonda-parker-em-tentativa-de-se-aproximar-do-sol/>. Acesso em: 27 ago. 2018.
Nasa lança sonda Parker em tentativa de se aproximar do Sol
Para suportar a temperatura que chega a 1.400 °C, os cien-tistas desenvolveram um escudo térmico capaz de manter a temperatura interna da aeronave na faixa dos 30 °C. São quase 65 Kg distribuídos em 3 metros de altura.
A sonda atingirá velocidade de 700 mil km/h e ficará a uma distância de 6 milhões de quilômetros do Sol.
[...]
A sonda custou US$ 1,5 bilhão de dólares e, pela 1ª. vez na história, leva o nome de uma pessoa viva: homenageia o físico americano Eugene Parker, de 91 anos, responsável pela teoria dos ventos solares, de 1950.
Metrô de Nova Iorque
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Escreva por extenso os números citados no texto.
a) 1 400
b) 65
c) 700 000
d) 6 000 000
e) 1 500 000 000
f) 8 000 000 200
g) 16 932 541
h) 150 000 017
4 Escreva os números a seguir somente com algarismos.
a) 4 unidades de milhão + 5 centenas de milhar + 6 centenas + 1 dezena:
b) 6 dezenas de bilhão + 1 unidade de milhar + 3 unidades:
c) 4 unidades de milhão:
5 Assinale a(s) alternativa(s) que representa(m) a decomposição do número 15 720 432.
a) 5 dezenas de milhão + 7 centenas de milhar + 2 dezenas de milhar + 43 dezenas + 2 unidades
b) 1 dezena de milhão + 5 unidades de milhão + 72 unidades de milhar + 4 centenas + 22 unidades
c) 1 dezena de milhão + 5 unidades de milhão + 72 dezenas de milhar + 432 unidades
d) 15 unidades de milhão + 7 centenas de milhar + 2 dezenas de milhar + 432 unidades
6 Complete os diálogos com as respostas corretas.
COM OS ALGARISMOS 4, 7, 5 E 0, QUAL É O MAIOR NÚMERO QUE PODE SER FORMADO SEM REPETIR
ALGARISMOS?
COM OS ALGARISMOS 2, 4, 1 E 6, QUAL É O MENOR NÚMERO QUE PODE SER FORMADO SEM REPETIR
ALGARISMOS?
18
Matemática
7 Considere as informações abaixo sobre alguns gigantes da natureza e, em seguida, faça o que se pede.
Centenas de metros de altura, milhões de quilômetros de extensão. Com diferentes forma-ções geográficas e climas ao longo dos continentes, o mundo apresenta cenários com dimen-sões impressionantes.
VOCÊ sabia? 10 gigantes da natureza. Disponível em: <http://www.terra.com.br/noticias/educacao/infograficos/gigantes-natureza-vcsabia/>. Acesso em: 27 ago. 2018.
de quilômetros quadrados de extensão, a maior bacia hidrográfica do mundo é a Bacia Amazônica.
979
2 175 600
254
CLASSE DOS MILHÕES CLASSE DOS MILHARES CLASSE DAS UNIDADES
9ª. ordem 8ª. ordem 7ª. ordem 6ª. ordem 5ª. ordem 4ª. ordem 3ª. ordem 2ª. ordem 1ª. ordem
Centenas de milhão
Dezenas de milhão
Unidades de milhão
Centenas de milhar
Dezenas de milhar
Unidades de milhar
Centenas simples
Dezenas simples
Unidades simples
Considerando os números escritos no quadro, responda às questões a seguir.
a) O maior número é formado por quantas classes? E o menor?
b) O maior número é formado por quantas ordens? E o menor?
c) Em qual número o valor posicional do algarismo 7 representa 70 000?
d) Quais são os diferentes valores posicionais do algarismo 2 nos números 2 175 600 e 254?
e) Escreva por extenso o número que representa o tamanho da maior ilha do mundo.
8 Considere o número 23 997 856 e responda às questões.
a) Que algarismo ocupa a ordem das unidades de milhão?
b) Qual é o nome da ordem ocupada pelo algarismo 2?
19
c) Esse número é formado por quantas classes? E quantas ordens?
d) Qual é o valor posicional do algarismo 5?
e) O algarismo 9 ocupa que ordens? Qual valor ele representa em cada uma dessas posições?
9 Leia as dicas e descubra o número que deve ser escrito no quadro ao lado.
Ele é formado por três classes e oito ordens.
O algarismo 8 está na ordem das centenas simples.
O algarismo 5 assume os valores de 5, 5 000 e 50 000.
O algarismo 4 está na oitava ordem.
O algarismo 3 está na ordem das unidades de milhão.
As outras ordens são ocupadas pelo algarismo 0.
10 Analise as informações sobre alguns dos maiores rios do mundo para responder às questões propostas.
Rio Extensão(em quilômetros) Continente
Nilo 6 693 África
Yang-Tsé (Azul) 5 525 Ásia
Mississipi-Missouri 6 238 América do Norte
Amazonas 6 992 América do Sul
Fontes: THE WORLD Factbook 2018. Washington, DC: Central Intelligence Agency, 2018. Disponível em: <https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/fields/2093.html>. Acesso em: 27 ago. 2018; INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS. Estudo do INPE indica que o rio Amazonas é 140 km mais extenso do que o Nilo. Disponível em: <http://www.inpe.br/noticias/noticia.php?Cod_Noticia=1501>. Acesso em: 27 ago. 2018.
a) Quais são as informações contidas nesse quadro?
b) Os números que indicam a extensão de todos esses rios têm quantas classes e ordens?
c) Que valores posicionais o algarismo 9 assume no número correspondente à extensão do Rio
d) Que ordem o algarismo 6 ocupa no número correspondente à extensão do Rio Mississipi-Mis-souri?
e) Qual é o rio de maior extensão?
f) Qual é a extensão do segundo maior rio?
20
Matemática
o que já conquistei
1 Relacione os números representados no sistema de numeração egípcio com sua representação no sistema que usamos e no sistema romano.
a)
b)
c)
d)
( ) 1 001
( ) 10 020
( ) 125
( ) 123
( ) CXXIII
( ) CXXV
( ) MI
( ) XXX
2 Complete os espaços. Em seguida, escreva como se lê cada número.
a) 87 269 = × + 7 × + × 100 + 6 × + 9 ×
b) = 8 × 10 000 + 2 × 100 + 1 × 10 + 4 × 1
3 Com os algarismos 7, 0 e 3, escreva todos os números que é possível formar com três ordens, sem
4 Escreva o maior e o menor número com quatro algarismos que é possível formar com 1, 3, 0 e 4, sem repetição.
5 Observe a linha do tempo de algumas importantes invenções ou descobertas da humanidade e responda às perguntas.
Linha do tempo das invenções históricas
século IX
Pólvora Avião
Sistema de
Relançamento
Reutilizável
3 500 AC
Escrita
Lâmpada
Elétrica
Carro
5 000 AC
Fogo
790 000 AC
Roda Arado Microcomputador
Papel
século II
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a) Em que século foi inventado o papel?
21
6 No sangue, circulam dois tipos básicos de células – as hemácias (glóbulos vermelhos) e os leucócitos (glóbulos brancos), responsáveis pela defesa do organismo. Circu-lam também fragmentos de células – as plaquetas.
Números altos ou baixos de leucócitos podem estar rela-cionados a diversas doenças, por isso a análise do sangue
-
Considere um exame no qual o número que indica a quantidade de leucócitos de uma pessoa adulta
a)
b)
7 Leia o texto a seguir e, depois, responda às questões.
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Hemácias e leucócitos
Sim, a Lua está se afastando da Terra!
Esse afastamento se deve à fricção entre a superfí-cie da Terra e a enorme massa de água que está sobre ela e faz com que, ao longo do tempo, a Terra gire um pouco mais lentamente sobre o seu eixo.
As simulações também implicam que no momento da sua formação, a Lua estava muito mais próxima da Terra – a apenas 22 500 km (14 000 milhas) de distân-cia, em comparação com o quarto de milhão de mi-lhas (402 336 km) entre a Terra e a Lua hoje.
Enquanto 3,78 cm podem não parecer muito, esta pequena diferença durante um período de tempo suficientemente longo poderia afetar a vida na Terra, tornando o planeta mais lento.
PENALVA, Jonas. Por que a Lua está ficando mais longe da Terra. Disponível em <https://realidadesimulada.com/por-que-a-lua-esta-ficando-mais-longe-da-terra/> Acesso em: 28 jan. 2019.
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b)
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d)
22
Matemática
Que valores posicionais o algarismo 4 ocupa nesse número?
Que algarismo está ocupando a ordem das dezenas de milhar?
8 Leia a transcrição de uma palestra sobre o Projeto Planet.
Após vários projetos Apollo nossos, lançando a maior frota de satélites na história da hu-manidade, alcançamos nosso objetivo. Hoje, a Planet fotografa o planeta Terra inteiro, todos os dias. Missão cumprida. [...] Foram necessários 21 foguetes lançados... [...] E agora temos mais de 200 satélites na órbita, transmitindo dados a 31 estações terrestres que construímos no mundo todo. Ao todo, obtemos 1,5 milhão de imagens de 29 megapixels da Terra todos os dias. E em qualquer lugar na superfície da Terra, temos agora uma média de mais de 500 imagens. Uma quantidade gigantesca de da-dos, documentando mudanças imensas.
MARSHALL, Will. The mission to create a searchable database of Earth’s surface. Transcrição. Disponível em: <https://www.ted.com/talks/will_marshall_the_mission_to_create_a_searchable_database_of_earth_s_surface>. Acesso em: 29 ago. 2018.
a) Usando somente algarismos, escreva a quantidade de imagens da Terra obtidas diariamente pelo Projeto Planet.
b) Cada imagem obtida tem 29 megapixels. Escreva o número de pixels que cada imagem tem.
c) Esse número é formado por quantas classes e quantas ordens?
9 Uma construtora fez um condomínio com 40 casas. Para numerá-las, serão comprados algarismos em latão, material que é resistente à oxidação. Determine quantos algarismos deverão ser compra-dos para compor todos os números necessários.
megapixels: um milhão de pixels. Cada pixel representa um ponto em uma imagem.
23
capí
tulo 2 Números naturais
Em razão de ter propiciado facilidade na re-
presentação de números e praticidade na reali-
zação de operações, o sistema que prevaleceu
foi o decimal. Com esse sistema, formamos uma
sequência de números naturais, que começa pelo
zero, seguido do 1, e assim sucessivamente.
Observe a imagem. Você seria capaz de conti-
nuar essa sequência numérica? Até que número?
Sequência dos números naturais
Números naturais pares e ímpares
Representação na reta numérica
Ideias associadas às operações fundamentais
Expressões numéricas
o que vocêvai conhecer
©Shutterstock/Ve_ro_sa
24
Matemática
Sequência dos números naturaisA sequência de números naturais é formada sempre pela adição de uma unidade ao
número anterior, começando pelo zero. Observe:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, e assim por diante.
Lucas, João, Carol, Mateus, Felipe
e Mariana chegaram ao mesmo tempo
à padaria, e cada um pegou uma senha
para o atendimento. Será que você é
capaz de adivinhar o número da senha
de cada um?
João foi o quinto a pegar a senha e
Felipe foi o primeiro.
O número da senha de Mateus é o
sucessor da senha de Carol.
Quem pegou a última senha foi uma menina.
Carol ficou à frente de Lucas e João.
O antecessor de Lucas pegou a senha número 30.
Agora, responda:
Qual é o número da senha da Mariana?
Se a senha do Mateus fosse 4, qual seria a senha do Felipe?
Para resolver esse desafio, você precisou conhecer a sequência dos números naturais, na
qual 1 é o sucessor de zero, 2 é o sucessor de 1 e assim por diante. Da mesma forma, o zero é
o antecessor de 1, o 1 é o antecessor de 2 e assim por diante. Com exceção do zero, que é o
primeiro número da sequência dos naturais, é possível determinar o sucessor e o antecessor
de qualquer número natural.
Dois ou mais números são consecutivos se um vem imediatamente após o outro na se-
quência dos números naturais. Por exemplo, os números 3, 4 e 5 são consecutivos.
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
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Identificar e comparar números naturais.
Reconhecer a adição e a subtração como operações inversas.
Reconhecer a multiplicação e a divisão como operações inversas.
Resolver corretamente problemas que envolvam as operações fundamentais.
Reconhecer a ordem de resolução de uma expressão numérica.
objetivos do capítulo
25
n n + 1 n
n – 1.
A sequência dos números naturais forma o conjunto dos números naturais, cuja represen-
tação é:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}
é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais.
As chaves { } são uma forma de representar um conjunto numérico.
As reticências (...) mostram que esse conjunto não tem fim, pois, por maior que seja um
número natural, é sempre possível indicar seu sucessor.
Existem infinitos números naturais.infinitosum prefixo de negação).
atividades
1 Esta é parte da árvore genealógica da família real britânica até o nascimento do terceiro filho do príncipe William:
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Rainha Elizabeth
Príncipe Charles
Princesa Diana
Príncipe William
Príncipe George Príncipe LouisPrincesa Charlotte
Príncipe Harry Duquesa MeghanDuquesa Catherine
Duquesa Camila
Consorte Philip
Princesa Anne Príncipe Andrew Príncipe Edward
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20
18
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26
Matemática
O príncipe Charles é o primeiro na linha de sucessão da rainha da Inglaterra. Quem será o terceiro sucessor? Justifique sua resposta.
2 Responda às questões a seguir.
a) Há algum nome antecedendo o seu na lista de chamada da sua turma? Qual?
b) E há algum sucedendo o seu nome? Qual?
c) Existe algum número natural que não tem antecessor?
d) Qual é o antecessor do maior número formado por três algarismos diferentes?
e) Qual é o sucessor do menor número formado por quatro algarismos?
3 Complete o quadro com os números que estão faltando.
Antecessor Número Sucessor
36
100
7 600
10 001
9 000 800
4 Escreva por extenso os números indicados.
a) O antecessor de 6 000 000.
b) O sucessor de 7 665.
c) O antecessor de 4 bilhões.
d) O consecutivo de 5 500 000.
5 Analise e julgue cada afirmação a seguir, escrevendo nos parênteses V para as verdadeiras e F para
as falsas. Em seguida, reescreva as afirmações que julgou falsas, de modo a torná-las verdadeiras.
a) ( ) O maior número natural é 9 999 999.
b) ( ) O maior número natural formado por três algarismos diferentes é 999.
c) ( ) O sucessor de 4 872 é 4 873.
d) ( ) O menor número natural com quatro algarismos distintos é 1 023.
e) ( ) O antecessor de 5 milhões é 4 milhões.
27
6 Escreva:
a) Quatro números naturais consecutivos menores que 100.
b) Três números naturais consecutivos, sendo 498 um deles.
c) Cinco números naturais consecutivos, sendo 3 000 o número que está no meio dessa sequência.
Números naturais pares e ímpares
COMO são escolhidos os números das casas de uma rua? Disponível em: <http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-sao-escolhidos-os-numeros-das-casas-de-uma-rua>. Acesso em: 23 ago. 2018.
Como são escolhidos os números das casas de uma
rua?
Desde que a numeração das casas apareceu nas me-
trópoles europeias, no século 18, cada cidade tem um
jeito diferente de colocar algarismos nas suas cons-
truções. Mas todas elas partem de um princípio co-
mum: escolher um lugar que sirva de base para iniciar
a contagem.
[...] Na maioria das cidades brasileiras, o que geral-
mente acontece é que a numeração cresce de acordo
com a distância em relação ao chamado marco zero,
que quase sempre fica no centro da cidade. Esse pon-
to é a principal referência para determinar onde fica
o começo da via e indicar qual lado recebe casas com
números pares ou ímpares. [...]
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00
6. D
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al.
Além da sequência dos números naturais, há outras sequências importantes, como a dos
números naturais pares e a dos números naturais ímpares.
pares
ímpares
A sequência dos números naturais é formada pela junção dos números pares com os nú-
meros ímpares. Nessa sequência, o sucessor de um número par é sempre um número ímpar
e o sucessor de um número ímpar é sempre um número par.
28
Matemática
atividades
1 Observe a sequência lógica formada pelas figuras e complete a série pintando as bolinhas que faltam na 2ª. e na 5ª. figura. Depois, indique a quantidade de bolinhas pintadas em cada uma.
a) Imagine as 12 primeiras figuras da série acima e escreva a sequência numérica que correspon-de à quantidade de pontos pintados em cada uma delas.
b) Essa sequência é finita ou infinita?
2 sequência é mantida?
a) ( ) 49
b) ( ) 50
c) ( ) 51
d) ( ) 52
3 Observe esta sequência de figuras feitas com palitos:
a) A 1ª. figura forma um triângulo e a 2ª. forma três triângulos. Quantos triângulos terá a 5ª. figura?
b) Qual é a sequência numérica formada pelo número de triângulos até a 10ª. figura?
c) Quantos palitos serão utilizados para fazer a 5ª. figura?
d) Qual é a sequência numérica formada pelo número de palitos utilizados até a 10ª. figura?
1ª. figura 2ª. figura 3ª. figura 4ª. figura
Ja
ck A
rt.
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11
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tor.
29
4 Complete o fluxograma a seguir:
RepÉ possível representar os números naturais numa reta numerada. Nela, cada número na-
tural corresponde a um ponto e cada ponto está separado do anterior por distâncias iguais.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observe que, nessa representação, o número 4 está à direita do 3, o 5 está à direita do
4, o 6 está à direita do 5 e assim por diante. Quando comparamos dois números naturais,
maior que 2.
Ao compararmos quantidades, devemos observar as seguintes situações:
• igualdade
• diferença ≠). Exemplo: 7 ≠ 4.
Para compararmos quantidades diferentes, utilizamos os símbolos de desigualda-
Número Ele termina em 0, , 4, 6 ou ?
Então ele é par.
Então ele é .
Sim
5 Analise cada sequência e descubra uma regularidade. Depois, escreva os três próximos termos de cada uma delas.
a) 0, 1, 3, 6, 10,
b) 2 400, 2 100, 1 800,
c) 3, 7, 11, 15,
d) 15, 17, 21, 27, 35
e) 40, 39, 37, 34, 30
30
Matemática
atividades
1 Complete a reta numérica com os números naturais que estão faltando.
0 1 2 8 11
Os números representados acima estão em ordem crescente ou decrescente?
2 hobby --
Espada
Beta ou peixe-de-briga Acará-disco
Neon cardinal
Fonte: ALCON. Seu novo aquário: fazendo certo desde o início. Disponível em: <http://alconpet.com.br/download/guias/guia-seu-novo-aquario.pdf>. Acesso em: 23 ago. 2018.
a) Recorte do material de apoio -
6 cm3 cm 9 cm7 cm4 cm 8 cm
b) Compare as medidas do comprimento dos peixes e assinale com um X -deiras.
( ) Espada < beta
(
(
( ) Espada < acará-disco
31
3 Observe as comparações e escreva como lemos cada uma delas.
a) 24 ≠
b) 155 <
c) 2 310 >
d) 14 000 ≠
4 Considere os números 2 007, 207, 702, 22, 722 e 27.
a)
b)
Ideias associadas às operações fundamentais
Existem problemas que vão além da contagem e, para essas situações, o ser humano
precisou criar técnicas que ajudassem a resolvê-los. Vamos rever as ideias associadas às ope-
rações matemáticas que chamamos de fundamentais.
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Juntando quantidades
25 paulistinhas e 15 platis.
Quantos peixes dessas três espécies foram vendidos no fim de semana?
14 + 25 + 15 = 54
Foram vendidos 54 peixes.
Ideias da adição
32
Matemática
Ideias da subtração
Um cliente queria comprar 24 paulistinhas, mas só havia 18 na loja. Quantos peixes
faltaram?
24 – 18 = 6
Faltaram 6 peixes.
Adição
C D U
1 2 3 1ª. parcela
2ª. parcela
Soma ou total
+ 2 6
1 4 9
1ª. parcela 2ª. parcela Soma ou total
123 + 26 = 149
Subtração
C D U
1 4 9 Minuendo
Subtraendo
Diferença
− 2 6
1 2 3
Minuendo Subtraendo Resto ou diferença
149 − 26 = 123
inversas.
Como havia apenas 15 lebistes na loja de peixes, o dono encomendou mais 35. Quantos
lebistes haverá na loja quando os peixes encomendados chegarem?
15 + 35 = 50
Haverá 50 lebistes.
Os números envolvidos nas operações de adição e subtração recebem nomes especiais.
Na loja, há 387 peixes de água doce e 56 de água salgada. Há quantos peixes de água doce
a mais?
387 – 56 = 331
Há 331 peixes de água doce a mais.
Dos 56 peixes de água doce que havia na loja, foram vendidos 19. Quantos restaram?
56 – 19 = 37
Restaram 37 peixes de água salgada.
33
atividades
1 Em uma livraria, trabalham dois vendedores, Luís e Fábio. Na sex-ta-feira, Luís vendeu 35 livros e Fábio vendeu 26. No sábado, Luís ven-
a) Quantos livros Luís vendeu nesses dois dias?
b) Quantos livros Fábio vendeu nos dois dias?
c) Fábio e Luís venderam a mesma quantidade de livros? Justifique sua resposta.
2 a b
a b a + b b + a
25 5
16 + 8 = 24 8 + 16 = 24
80 0
52 + 14 = 66 14 + 52 = 66
3
250 + 150 + 50 250 + 150 + 50
Essa é a
altera a soma.
Essa é a
34
Matemática
4 Esta sentença, feita com palitos, é falsa! Mova apenas um palito, de forma que ela se torne verda-deira. Registre a solução em seu caderno.
Quando adicionamos um número natural qualquer a zero, obtemos como soma o próprio
número.
elemento neutro da adição.
5 Na imagem a seguir, vemos as dez raças de cães mais altas do mundo e as respectivas alturas.
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Fonte: AS DEZ raças de cachorros mais altas do mundo. Disponível em: <http://www.portalfilhotes.com.br/as-10-racas-de-cachorros-mais-altas-do-mundo/>. Acesso em: 23 ago. 2018.
Dogue alemão
99 cm
Fila brasileiro
72 cm
Greyhound
75 cm
Cão dos
pirineus
80 cm
Wolfhound
irlandês
92 cm
Kuvasz
71 cm
Mastiff
73 cm
São-bernardo
78 cm
Borzói
85 cm
Afghanhound70 cm
a) Na imagem, os cães estão organizados em ordem crescente ou decrescente de alturas?
b) Quantos centímetros o borzói tem a mais que o são-bernardo?
c) Qual é a diferença entre as alturas do dogue alemão e do afghanhound?
d) Quantos centímetros o fila brasileiro tem a menos que o dogue alemão?
35
6 muito jovem, ele mostrou seu talento ao resolver um problema proposto pelo seu professor a toda a turma.
--
CONNOLLY, Sean. Salvo pela Matemática. Rio de Janeiro: Ediouro, 2012. p. 123.
HUM...! ACHO QUE SÃO 3, 4, 5, 6 E 7...
DIGA CINCO NÚMEROS CONSECUTIVOS CUJA
SOMA SEJA 25.
a)
b)
c)
d)
e)
f) -pois de obter várias somas iguais?
g)
h) Se o professor houvesse pedido aos alunos que somassem de 101 a 200, qual teria sido o resul-tado?
7
36
Matemática
a) O raciocínio de Otávio está correto?
b) Qual é a soma dos números consecutivos 4, 5, 6, 7 e 8?
c) Será que existe uma sequência de cinco números naturais consecutivos cuja soma dê 26?
d) Será que existe uma sequência de cinco números naturais consecutivos cuja soma dê 35?
MATEMANIA. Blumenau: Eko, 1998. p. 9.
Ideias da multiplicação
Adicionando parcelas iguais
Uma professora particular cobra R$ 45,00
por aula. Em um dia em que deu 3 aulas,
quanto ela recebeu?
45 + 45 + 45 =
= 3 × 45 = 135
Ela recebeu R$ 135,00.
Proporcionalidade
Cada quilograma de bolo de laranja cus-
ta R$ 16,00. Artur encomendou um bolo
com 3 quilogramas e meio. Quanto pagará
pela encomenda?
1 quilograma ................ R$ 16,00
3 quilogramas ................ R$ 48,00
meio quilograma ........... R$ 8,00
Ele pagará R$ 56,00 pela encomenda.
Mágica com a calculadora
Impressione seus amigos fazendo uma mágica com a
calculadora!
Siga os passos abaixo:
Peça a um amigo que escolha um número de três algarismos
terminado em 5 ou 0.
Depois, peça a ele que lhe diga cinco números consecu-
tivos cuja soma seja o número que ele disse primeiro. Ele
vai ter de pensar bastante e vai precisar de lápis e papel!
Ofereça a calculadora para ajudar. Talvez nem assim ele consiga!
Então, diga a ele que você vai encontrar rapidamente a soma, usando a calculadora.
Divida o número indicado pelo seu amigo por 5. O resultado é o número do meio da se-
quência. Basta subtrair 2 para encontrar o primeiro dos cinco números consecutivos!
curiosidadecuriosidade?
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37
Disposição retangular
Em um estacionamento, os carros são
dispostos em filas de 9 carros cada. Se há
-
se estacionamento?
4 × 9 = 36
Cabem 36 carros.
Número de possibilidades
Como acompanhamento do peixe, um
restaurante oferece purê de batatas, arroz
rosé, queijo e tomate.
Quantas são as possibilidades que uma pes-
soa tem para escolher um acompanhamen-
to e um desses molhos?
São 3 tipos de acompanhamento, com
3 × 4 = 12
São 12 possibilidades de escolha.
Os números envolvidos na operação de multiplicação recebem nomes especiais.
174× 6
1 044
Fatores
Produto
A multiplicação pode ser indicada pelos sinais de (×) ou por um ponto (·). Assim, temos,
×
Existem expressões que se referem à multiplicação:
dobro significa duas vezes;
triplo significa três vezes;
significa quatro vezes
e assim por diante.
1 Leia os anúncios a seguir.
Pacotes de viagem internacionais mais procurados
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R$ 124Pacote para
Santiago
Pacote para
Londres
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R$ 383
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Pacote para
Punta del Este
10 x de
R$ 160
atividades
38
Matemática
a) Assinale a alternativa correta em relação ao preço do pacote para Londres.
( ) Custa R$ 1.090,00 a mais que o pacote para Santiago e para Punta del Este juntos.
( ) Custa R$ 2.690,00 a mais que o pacote para Santiago.
( ) É o dobro do valor do pacote para Punta del Este.
( ) Custa R$ 110,00 a mais que o triplo do valor do pacote para Santiago.
b) Qual é o valor total do pacote para Fernando de Noronha?
c) O pacote para Fernando de Noronha custa quanto a mais que o pacote para o Rio de Janeiro?
d) Gustavo comprou, nas condições anunciadas, três desses pacotes para Fernando de Noronha. Quanto pagou no total?
2 Em uma rede de lanchonetes, você pode montar o próprio sanduíche, devendo, para isso, seguir cinco passos. Apenas um item pode ser escolhido a cada vez.
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l.
Pacote para
Fernando de Noronha
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hu
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rsto
ck/R
og
eri
o S
. Co
elh
o
6 x de
R$ 213
Pacote para
Rio de Janeiro
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hu
tte
rsto
ck/L
ari
ssa
Ch
ila
nti 6 x de
R$ 62
Pacotes de viagens nacionais mais procurados, saindo de Guarulhos
39
a) Crie um sanduíche que tenha maionese como molho e alface como salada. Descreva abaixo sua opção.
b) Eu escolhi pão integral, atum, queijo prato e mostarda. De quantas maneiras eu posso escolher o último item do meu sanduíche?
c) Minha irmã sempre escolhe peito de peru, azeitona e azeite. Quais combinações de pão e quei-jo ela pode fazer para completar seu sanduíche?
d) Um cliente escolheu pão de leite, carne e molho barbecue. Quantas possibilidades diferentes ele tem para completar seu sanduíche com um tipo de queijo e uma opção de salada?
e) Como podemos calcular o número de possibilidades diferentes de sanduíches que é possível montar nessa rede de lanchonetes, seguindo os cinco passos propostos?
f) Use a calculadora para calcular o número de possibilidades de sanduíches e registre aqui:
3 a b
a b a × b b × a
18 4 18 × 4 = 72
7 80 80 × 7 = 560
6 12 × 6 = 72 6 × 12 = 72
Em uma multiplicação de dois ou mais números naturais, a ordem dos fatores não
altera o produto.
Essa é a da multiplicação.
4 Em uma loja de doces, há dois tipos de pacotes de pirulitos: um com 20 pirulitos e outro com 50 pirulitos. Para comprar a quantidade de pirulitos de que precisa, Marta pegou 20 pacotes dos que têm 50 pirulitos cada. Quantos pacotes ela teria de comprar se escolhesse os que têm 20 pirulitos?
Em uma multiplicação de três ou mais números naturais, a maneira de associar os
fatores não altera o produto.
Essa é a da multiplicação.
40
Matemática
5 Joguei um dado dez vezes e anotei os resultados que obtive. Depois, somei os dez números e o re-sultado foi 18. Se eu tivesse multiplicado todos em vez de somar, o resultado seria 25. Quais foram os dez números sorteados?
Quando multiplicamos um número natural qualquer por 1, o produto é o próprio
número.
O número 1 é o da multiplicação.
6 Considere a disposição dos assentos no auditório de uma escola.
Para calcular o número de assentos, Cristina e Pedro pensaram assim:
Ilu
stra
çõe
s: D
ieg
o M
un
ho
z.
20
18
. Dig
ita
l.
Cristina Pedro
4 × 20 = 80 2 × 20 + 2 × 20 = 40 + 40 = 80
Ao multiplicarmos um número natural por uma soma de duas ou mais parcelas, pode-
mos multiplicar esse número pelas parcelas e depois adicionar os produtos.
Essa é a da multiplicação em relação à adição, que vale
também para a subtração.
SÃO 20 ASSENTOS EM CADA SETOR E SÃO 4 SETORES.
SÃO 2 VEZES 20 À DIREITA E 2 VEZES 20
À ESQUERDA.
41
7 A figura seguir ilustra o interior de um avião que faz voos internacionais. Há dois tipos de assentos para passageiros: os amarelos, que são da primeira classe, e os brancos, da classe econômica. Como podemos calcular o total de assentos disponíveis para esse voo? Troque ideias com os colegas e registre a estratégia usada pelo seu grupo.
Ideias da divisão
©S
hu
tte
rsto
ck/n
itin
ut3
80
Três amigos gastaram em um restau-
rante o total de R$ 120,00. Se cada um pa-
conta, quantos reais cada um pagou?
120 ÷ 3 = 40
Cada um pagou R$ 40,00.
Quantos grupos com 4 pessoas podem
ser formados em um total de 60 alunos?
60 ÷ 4 = 15
Podem ser formados 15 grupos.
A divisão e a multiplicação são . Observe:
8 × 7 = 56 e 56 ÷ 7 = 8
Usamos a ideia de operação inversa nos processos para efetuar uma divisão. Para divi-
dirmos 216 por 18, por exemplo, devemos pensar qual número natural que, multiplicado por
18, resulta em 216.
Veja dois algoritmos que se baseiam nessa ideia:
algoritmo: sequência de procedimentos para a solução de um problema.
216
180
36
36
0
18
10
2
12
–
+–
216
18
36
36
0
18
12
DU
–
–
CDU
42
Matemática
divisão
65
2
7
9
Divisor
Quociente
Dividendo
Resto
Observe que 65 = 9 × 7 + 2. Esta é a relação fundamental da divisão:
Quando o resto da divisão é igual a zero e o quociente é um número natural, a divisão
exata.
A divisão pode ser indicada pelo sinal de (÷) ou por dois pontos (:). Assim, temos
180 ÷ 90 = 2 ou 180 : 90 = 2.
Existem expressões que se referem à divisão:
metade
terça parte
(divisão por 4) e assim por diante.
atividades
1 Mariana e Paula aprenderam algoritmos diferentes para fazer a divisão. Elas dividiram 621 por 12, cada uma do seu jeito, e obtiveram o mesmo resultado. Complete as operações para que fiquem corretas.
621
360
261
240
21
12
12
30
20
1
51
–
+–
–
621
21
12
9
12
–
–
2 Três amigas foram jantar juntas e resolveram dividir a conta igualmente. Uma delas fez a conta no papel da forma indicada ao lado:
Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.
( ) A conta do restaurante foi de R$ 125,00.
( ) Cada uma das amigas pagou R$ 2,00.
( ) O resto da divisão é zero.
( ) Cada amiga vai pagar mais de R$ 41,00.
( ) Se elas resolverem deixar o resto da divisão para o garçom, a gorjeta será de R$ 2,00.
125 02
341
gorjeta: pequena quantia em dinheiro paga a quem prestou
algum serviço.
43
3 Sandra vai fazer sanduíches para um piquenique e, para isso, comprou 5 pacotes com 14 fatias de pão cada um. Se em cada sanduíche ela usará 3 fatias de pão, quantos sanduíches, no máximo, po-derá fazer?
4 kits kits -ram montados?
5 Observe o gráfico de barras a seguir para resolver as questões propostas.
a) Quais são as informações contidas nesse gráfico?
b) A gestação da girafa demora quantos meses a mais que a do ser humano?
c) Quais animais têm o tempo de gestação maior que um ano?
d) O que significa a parte com hachura nas barras relativas à gestação de alguns animais?
e) O tempo de gestação do rinoceronte-branco equivale a quantas vezes o de gestação do leão?
f) Quantos dias, em média, demora a gestação humana?
TEMPO DE GESTAÇÃO
National Geographic, ano 13, n. 156, p. 27, mar. 2013.
Período de gestação (meses*) *30 dias
2 semanas9 meses
Panda
3-5 meses
4 meses
Gorila
8-10 meses
Golfinho-nariz-de-girafa
12-14 meses
Girafa
15 meses
Rinoceronte-branco
16 meses
Elefante
21-23 meses
Ra
qso
nu
. 20
14
. Dig
ita
l.
hachura: raiado que, em desenho ou gravura, produz efeito de sombra ou meio-tom.
44
Matemática
g) A gestação do leão demora quantos dias a mais que a do gambá?
6 Leia o texto a seguir sobre o uso do sal nos doces que comemos e, depois, responda às questões.
Em geral, o processamento dos alimentos industrializados reduz o valor nutricional dos ingredientes e insere aditivos químicos e gorduras na composição, além de muito sal e açúcar.
É praticamente impossível fugir do sal, mesmo que você compre um doce. As misturas para bolo, por exemplo, têm 473 mg de sódio a cada 100 g, em média, segundo uma análise da Anvisa. A quantidade é praticamente a mesma dos biscoitos de polvilho doce (477 mg) e das bolachas de maisena (455 mg), e superior à do queijo minas frescal (400 mg) e da batata palha (200 mg).
AS ARMADILHAS do supermercado. Disponível em: <https://super.abril.com.br/especiais/as-armadilhas-do-supermercado/>. Acesso em: 29 ago. 2018.
“Para as pessoas saudáveis, a dose máxima de sal recomendada pelo Ministério da Saúde
é de 5 g por dia (2.000 mg de sódio).”
VARELLA, Dráuzio. O sal na dieta. Disponível em: https://drauziovarella.uol.com.br/drauzio/artigos/o-sal-na-dieta/. Acesso em: 29 ago. 2018.
a) Em 5 g de sal, há 2 000 mg de sódio. Quantos miligramas de sódio há em 1 g de sal?
b) Entre os produtos citados no texto, qual tem a maior quantidade de sal em 100 g?
c) Quantos miligramas de sódio, em 100 g de produto, a bolacha maisena tem a mais do que a batata palha?
d) Se uma pessoa comesse 100 g de batata palha e 100 g de queijo minas, quantos miligramas de sal ela consumiria?
e) Qual quantidade de queijo minas poderia ser consumida em um dia para ser equivalente ao consumo máximo recomendado?
45
ExpPaulo e seus colegas combinaram uma tarde de estudos na casa de Ana. Para o lanche da
tarde, Ana comprou 3 pacotes de bolacha, a R$ 4,00 cada um, e 2 garrafas de suco, a R$ 9,00
cada uma. Poderíamos representar o valor gasto por ela da seguinte maneira:
3 × 4 + 2 × 9
Em certos casos, para resolver um problema, é conveniente representá-lo por uma se-
expressão numérica.
Considere que dois alunos tenham resolvido a expressão acima de modo diferente.
Observe:
João
3 × 4 + 2 × 9 =
= 12 + 2 × 9 =
= 14 × 9 = 126
Alice
3 × 4 + 2 × 9 =
= 12 + 18 =
= 30
Nas expressões numéricas, é necessário seguir uma ordem de resolução das operações:
1.º) multiplicação e divisão, na ordem em que aparecem;
2.º) adição e subtração, também na ordem em que aparecem.
Em algumas expressões, é necessário utilizar sinais de associação. Eles determinam a or-
dem de resolução das operações. Assim, resolvemos
•
•
•
Para resolvermos as operações dentro de cada sinal de associação, também devemos se-
guir a ordem de resolução das operações.
Observe o exemplo a seguir.
Paulo comprará um automóvel de R$ 66.000,00. Dará como entrada a terça parte do valor
total e o restante pagará em 12 parcelas iguais e sem juros. Ele também resolveu incluir nessa
46
Matemática
compra um acessório no valor de R$ 400,00, que será incluso nas 12 parcelas. Que expressão
numérica podemos usar para representar essa situação e calcular o valor de cada parcela?
[66 000 – (66 000 : 3) + 400 ] : 12 =
valor total acessórioentrada
atividades
1 Resolva as expressões numéricas a seguir.
a) 28 – 3 ×b) 9 × 8 +c) (47 – 12) ×d) 178 – 14 ×
e) 4 × 9 : 6 +f) (70 + 5) : 5 + 2 ×g) 100 – {40 – 3 ×h) 963 – {120 – [60 – (12 +
2 Mariela é proprietária de uma floricultura. Ela recebeu a seguinte encomenda: utilizar 54 ramos de crisântemos com 6 flores em cada ramo e repartir igualmente os crisântemos entre 9 vasos.
a) Escreva uma expressão numérica que represente essa situação.
b)
3 Joana e Fabíola são sócias em uma escola. Elas foram a uma papelaria e compraram 47 caixas de giz de cera, 25 pacotes de papel sulfite e 15 pastas. Observe o preço de cada produto.
Sobre o valor total da compra, houve um desconto de R$ 23,00. Na hora do pagamento, resolveram dividir a despesa entre elas.
a) Escreva uma expressão numérica que represente essa situação.
b) Calcule a quantia que cada sócia vai pagar.
SULFITE
R$ 8,00
PASTA
R$ 9,00
CAIXA DE GIZ DE CERA
R$ 6,00
47
o que já conquistei
1 Você sabia que a quantidade de calorias muda conforme o tipo de chocolate? Observe, a seguir, a quantidade de calorias encontradas em 100 g de alguns tipos de chocolate.
O amargo que é doceQuanto mais amargo o chocolate,
maior a quantidade de flavonoides
e menor o valor calórico
Concentração de cacau Acima de 65%
500 515 530 545
entre 40% e 65% 25% em média zero
Amargo Meio amargo Ao leite Branco
Quantidade de calorias em 100 gramas
2 Quantos e quais são os números naturais de dois algarismos em que o algarismo das dezenas é o
dobro do algarismo das unidades?
3 Resolva as expressões abaixo. Em seguida, utilizando os sinais de desigualdade (>, <) ou igualdade (=), compare os resultados dessas expressões.
Expressão Resultado Sinal Resultado Expressão
4 × 3 : 2 × 1 (5 – 3) + (7 – 3)
8 + (11 – 2 × 3) : 5 4 + 3 × 8 : 6
(41 – 3 × 5 – 2) : 8 3 × 24 – (8 : 2) + 15
d) Um bombom com 20 g de chocolate meio amargo tem quantas calorias?
LOPES, Adriana D.; CUMINALE, Natalia. É gostoso e faz bem. Veja, São Paulo, n. 2342, p. 84-91, 9 out. 2013.
a) Quantas calorias há em 300 g de chocolate branco?
b) Quantas calorias há em 150 g de chocolate amargo?
c) Para que uma barrinha de chocolate amargo tenha apenas 100 calorias, ela deverá ter quantos gramas?
48
Matemática
4 Resolva as operações a seguir.
a)
b)
c)
d) 438 ×e) 5 682 ×f) 456 ×
5 Se o algarismo 1 aparece 160 vezes na numeração das páginas de um livro, quantas páginas, no mínimo, tem o livro?
6 Na sexta-feira, João comprou a quantidade de copos de água mineral de que precisaria para dis-tribuir durante um evento no fim de semana. No sábado, ele distribuiu 152 copos de água, então considerou prudente reforçar o estoque para o dia seguinte e comprou mais 120 unidades. No do-mingo, ele distribuiu 178 copos de água, e sobraram 35 unidades. Quantos copos de água ele havia
7 Resolva em seu caderno:
a)
b)
c)
d)
8 shopping2 fileiras com 7 vagas cada uma e 9 fileiras com 8 vagas cada uma. Quantas vagas no total tem o estacionamento?
49
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Quanto tempo o lixo leva para se decompor?Fonte: Instituto Akatu
Anos
Plástico
Copo de plástico
Nylon
Tampa de garrafa
Fralda descartável
Embalagens longa-vida
Pneu
Vidro
Papel
Anos
Lata de aço
Isopor
Fralda biodegradável
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100
50
30, pelo menos
150
450
100
600
Indeterminado
3 a 6 meses
10 anos
8 anos
1 ano
9
Fonte: SAIBA quanto tempo leva para cada material se decompor. Disponível em: <http://g1.globo.com/rio-de-janeiro/rio-mais-limpo/noticia/2012/04/saiba-quanto-tempo-leva-para-cada-material-se-decompor.html>. Acesso em: 23 ago. 2018.
Ce
sar
Sta
ti. 2
01
4. D
igit
al.
50
Matemática
escalas: linhas graduadas, divididas em partes iguais, que indicam a relação das dimensões ou distâncias marcadas sobre um plano com as dimensões ou distâncias reais.
a) Qual é o título desse gráfico?
b) escalas
tempo foram utilizados na
c) A lata de aço demora quanto tempo a mais para se decompor que o isopor?
d) O que significa dizer que o tempo para o vidro se decompor é indeterminado?
e) O tempo de decomposição da fralda descartável é o triplo do tempo de decomposição de qual material?
f) O tempo de decomposição dos pneus equivale a quantas vezes o tempo que o plástico demora para se decompor?
10 Para o início das aulas, Cristina foi a uma loja e comprou 4 pares de tênis para seus filhos, a R$ 160,00 cada, e 2 moletons, a R$ 82,00 cada. Deu R$ 200,00 de entrada e parcelou o restante em 4 vezes iguais e sem juros.
a) Escreva uma expressão numérica que determine o valor de cada parcela.
b) Quanto Cristina pagará em cada parcela?
c) Elabore uma expressão numérica em que os valores dos tênis e dos moletons sejam mais caros, o valor da entrada seja maior e o parcelamento da compra seja feito em cinco vezes. Indique o
valor de cada parcela a pagar.
51
capí
tulo 3 Múltiplos e
divisores
Grande parte do conhecimento que o homem
tem sobre os astros se deve à matemática! Foi ob-
servando os padrões dos acontecimentos celestes
que o ser humano se tornou capaz de fazer previ-
sões sobre o comportamento de estrelas e plane-
tas. Observe a imagem que ilustra a abertura deste
capítulo e tente responder: Como os astrônomos
conseguem calcular quando dois planetas estarão
próximos no céu?
©Shutterstock/Vadim Sadovski
Múltiplos de um número natural
Divisores de um número natural
Critérios de divisibilidade
Números primos
Mínimo múltiplo comum e
máximo divisor comum
o que vocêvai conhecer
52
Múltiplos de um número natural O ser humano sempre observou o céu e, com o passar do tempo, passou a reconhecer os
astros celestes e a dar nomes a eles. Entre os pontos brilhantes no céu, chamam os planetas
de nosso sistema solar. É possível perceber seu trajeto em torno do Sol e prever quando re-
tornarão a uma certa posição.
A tabela a seguir mostra o tempo que cada um dos planetas do sistema solar leva para
dar uma volta completa em torno do Sol.
Período de translação aproximado (em dias ou anos terrestres)
Planeta Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno
Tempo 87 dias 225 dias 365 dias 687 dias 12 anos 30 anos 84 anos 164 anos
Vamos imaginar a posição no espaço dos planetas Júpiter e Saturno num mesmo dia.
Quanto tempo depois esses dois planetas, simultaneamente, estarão na mesma posição em
que estavam nesse dia? Observando os períodos de translação de Júpiter e Saturno, pode-
mos notar que eles são expressos em anos.
Júpiter volta à mesma posição depois de completar uma volta completa em torno do
Sol, isto é, a cada 12 anos. Já Saturno demora 30 anos para completar a sua volta! Assim, é
preciso calcular os momentos (em anos) em que cada planeta retornará ao mesmo lugar e
descobrir quando isso acontecerá ao mesmo tempo:
Júpiter: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
Saturno: 30, 60, 90, 120, 150, ...
Os números que formam a sequência de anos em que cada planeta retornará à mesma
posição são os múltiplos de 12 e de 30. Para obtê-los, basta multiplicar o período de cada
planeta por 1, 2, 3, 4 e assim por diante.
Observando a sequência de múltiplos de 12 e 30, podemos perceber que o número 60
está nas duas listas. Portanto, 60 anos depois, Júpiter e Saturno retornarão à mesma posição.
múltiplo divisível por ele.
divisível
primeiro pelo segundo é exata (resto igual a zero).
Se um número natural é divisível por outro número natural, então o primeiro é múltiplo
do segundo.
Identificar os múltiplos e os divisores de um número natural.
Utilizar a divisão para verificar se um número natural é ou não divisível por outro.
Compreender e aplicar os critérios de divisibilidade.
objetivos do capítulo
53
1 Os múltiplos de um número são utilizados em muitas situações, como no caso dos esportes. No treino de basquete, as cestas feitas dentro da linha dos 3 metros correspondem a dois pontos. Complete a tabela com os pontos marcados conforme o número de cestas.
Cestas Valor Pontos
0 2
1 2
2 2
3 2
4 2
5 2
atividades
A sequência 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... é a se-
quência dos múltiplos de 2 ou dos números pares. Ela
pode ser indicada assim:
M(2): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
A sequência dos múltiplos de um número é obtida
multiplicando-o pelos números que formam a sequên-
cia dos números naturais.
Basquetebol, um esporte olímpico
O basquete nasceu como uma alternativa à prática esportiva durante o inverno de
1891, nos Estados Unidos da América. Sua entrada oficial nos Jogos Olímpicos ocorreu na
edição de 1936, em Berlim.
O basquete é jogado por duas equipes, cada uma com 5 jogadores titulares e 5 re-
servas. O objetivo de cada equipe é acertar a bola na cesta dos adversários e impedir que
estes façam o mesmo. Vence o jogo a equipe com o maior número de pontos ao final da
partida.
2 As cestas feitas antes da linha dos 6,25 metros correspondem a três pontos. Complete a tabela com os pontos marcados.
Cestas Valor Pontos
0 3
1 3
2 3
3 3
4 3
5 3
Diego Munhoz. 2014. Digital.
A sequência 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ... é a sequência dos múltiplos de 3. Ela pode ser
indicada assim:
M(3): 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
54
Matemática
A sequência 5, 10, 15, 20, ..., 90 representa parte da sequência dos números múltiplos de
5. Indicamos a sequência de todos os números múltiplos de 5 assim:
M(5): 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
Para verificar se 40 é múltiplo de 5, divide-se 40 por 5.
40 : 5 = 8, pois 5 × 8 = 40
divisível
Dizemos que 40 é múltiplo múltiplo diviso-
res
1 O número 120 é múltiplo de 4? Justifique sua resposta.
2 Observe cada sequência e escreva os próximos cinco termos.
a) 0, 10, 20, ...
b) 0, 6, 12, 18, ...
c) 0, 9, 18, 27, ...
Agora, responda à questão.
Qual número apareceu em todas as sequências de múltiplos? Por quê?
3 Com um colega, discuta as questões a seguir. Depois, registrem as conclusões no caderno.
a) O número 20 é divisor de 4?
b) O número 20 é divisível por 4?
c) O número 8 é divisor de 56?
d) O número 16 982 é múltiplo de 2?
e) O número 4 é divisor de 20?
f) O número 56 é divisível por 8?
g) O número 56 é múltiplo de 8?
h) O número 2 é divisível por 16 982?
4 Responda às questões a seguir.
a) Qual é o menor múltiplo de 8?
b) Qual é menor múltiplo de qualquer número natural?
c) Existe o maior múltiplo de um número natural, não nulo? Justifique sua resposta.
5 Escreva os sete primeiros múltiplos dos números a seguir.
a)
b)
c)
d)
atividades
55
Divisores de um número naturalObserve todas as possibilidades de dispor 12 quadradinhos em regiões retangulares.
Ao construirmos essas regiões, efetuamos
todas as decomposições do número 12 em dois
fatores.
Essas decomposições permitem encontrar os
divisores do número 12, que indicaremos assim:
D(12): 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Para determinar os divisores ou fatores de um número natural, basta procurar todas as
multiplicações de dois fatores cujo produto seja esse número. Observe o exemplo a seguir.
Divisores de 42
1 32 6 7 14 21 42
6 × 7 = 42
3 × 14 = 42
2 × 21 = 42
1 × 42 = 42
Indicamos a sequência dos divisores de 42 assim:
D(42): 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
O maior divisor de um número natural é o próprio número, com exceção do zero, que é
divisível por qualquer número natural.
Atenção: o zero não é divisor de nenhum número natural.
1 Desenhe todas as possíveis regiões retangulares compostas por:
a) 18 quadradinhos. b) 24 quadradinhos. c) 11 quadradinhos.
Agora, escreva todos os divisores de cada um desses números.
2 Quantos e quais são os divisores do número 10?
3 Paula fez 40 bombons para uma festa, que serão colocados em embalagens, todas com a mesma
quantidade, sem que sobrem bombons. Considerando essas informações, responda às questões a
seguir.
a) Quais são as possibilidades que ela terá para embalar os bombons?
b) O que aconteceria se Paula utilizasse apenas embalagens com 6 bombons em cada uma?
atividades
56
Matemática
Critérios de divisibilidadeLeia a notícia a seguir.
A Receita Federal recebeu 29.269.987 declarações do Imposto de Renda dentro do prazo legal neste ano, número acima da expectativa inicial de receber 28,8 milhões de declarações em 2018.
IMPOSTO de Renda 2018: Receita abre consulta ao 3º lote de restituição. Disponível em: <https://g1.globo.com/economia/imposto-de-renda/2018/noticia/2018/08/08/imposto-de-renda-2018-receita-abre-consulta-ao-3o-lote.ghtml>. Acesso em: 29 ago. 2018.
A Secretaria da Receita Federal do Brasil é um órgão
subordinado ao Ministério da Fazenda, responsável pela admi-
nistração (arrecadação e fiscalização) dos impostos federais.
Você sabe o que é Imposto de Renda? Faça uma pesquisa e registre em seu caderno.
Você já estudou que, para verificar se um número natural é ou não divisível por outro
número natural, diferente de zero, basta dividir o primeiro pelo segundo. No entanto, se o
dividendo for muito grande, esse processo poderá ser demorado.
Como saber, por exemplo, se o número 29 269 987, indicado na notícia acima, é divisível
por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e/ou 10?
Em casos como esse, a verificação pode ser feita aplicando-se algumas regras, conheci-
critérios de divisibilidade. Alguns desses critérios são facilmente aplicáveis; ou-
tros, porém, não são tão simples. Às vezes, é mais simples calcular a divisão.
Critério de divisibilidade por 2
Observe a divisão de alguns números por 2:
80 : 2 = 40 84 : 2 = 42
81 : 2 = 40 e resto 1 85 : 2 = 42 e resto 1
82 : 2 = 41 86 : 2 = 43
83 : 2 = 41 e resto 1 87 : 2 = 43 e resto 1
Assim, o número 29 269 987 não é divisível por 2, pois não é par.
Critério de divisibilidade por 3
Estes números são divisíveis por 3:
15 180 621 48 374 091 4 917 108
Observe que a soma dos algarismos de
cada um desses números é divisível por 3.
Assim, o número 29 269 987 não é divisível por 3, pois 2 + 9 + 2 + 6 + 9 + 9 + 8 + 7 = 52, e
52 não é divisível por 3.
subordinado: aquele que trabalha sob as ordens de seu superior.
divisível
quando for par.
divisível
for divisível por 3.
57
Critério de divisibilidade por 4
Estes números são divisíveis por 4:
260 13 512 300 524 7 116 1 008
Observe que os dois últimos algarismos
de cada um desses números formam outro
número divisível por 4. Temos 60, 12, 24, 16
e 8, que são divisíveis por 4.
29 269 987 não é divisível por 4, pois 87 não é divisível por 4. Já o número
53 700 é divisível por 4, pois termina em 00.
Critério de divisibilidade por 5
Estes números são divisíveis por 5:
8 000 415 92 435 16 390 70
Observe que o último algarismo de cada
um desses números é 0 ou 5.
29 269 987 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5.
Critério de divisibilidade por 6
O número 17 814 é divisível por 6, mas
o número 17 841 não. Observe que tanto
17 814 quanto 17 841 são divisíveis por 3,
mas só o primeiro é um número par, ou seja,
é divisível por 2.
O número 29 269 987 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo
(não é divisível por 2 nem por 3).
Critério de divisibilidade por 10
Estes números são divisíveis por 10:
200 13 580 946 740 70 402 010
O último algarismo de cada um desses
números é 0.
O número 29 269 987 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Existem outros critérios de divisibilidade, como por 7, por 8, por 9, por 11 e por 12. No
momento, é interessante que você compreenda os indicados anteriormente.
divisível
seus dois últimos algarismos formarem um
número divisível por 4.
divisível por
5
divisível
mesmo tempo.
divisível por
10
58
Matemática
1 Leia a notícia a seguir.
atividades
PRODUÇÃO de veículos sobe 14,6% no 1º. trimestre de 2018, diz Anfavea. Disponível em: <https://g1.globo.com/carros/noticia/producao-de-veiculos-sobe-146-no-1-trimestre-de-2018-diz-anfavea.ghtml>. Acesso em: 29 ago. 2018.
A produção de veículos no Brasil subiu 14,6% no 1º. trimestre de 2018, na comparação com o mesmo período do ano passado, afirmou nesta quinta-feira (5) a associação das montadoras (Anfavea).
Foram 699.657 automóveis, comerciais leves, caminhões e ônibus feitos de janeiro a março, en-quanto, 1 ano antes, o setor havia produzido 610.703 unidades nesse mesmo período.
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a) O número de veículos fabricados no 1º. trimestre de 2018 é um número divisível por 2? Justifi-que sua resposta com um critério de divisibilidade.
b) Considerando-se a quantidade de veículos fabricados nesse período, quantos a mais, no míni-mo, deveriam ter sido fabricados para que o número fosse divisível por 4?
c) Se o algarismo que ocupa a ordem das unidades simples no número 699 657 fosse zero, o novo número seria divisível por 6, 5 ou 10? Justifique sua resposta.
2 X os números pelos quais cada um é divisível.
Número 2 3 4 5 6 10
78 612
1 720
631
149 805
59
3 Indique o menor e o maior número natural de três algarismos formado por 1, 6 e 5, sem repetição, que pode ser escrito de modo que seja:
a) múltiplo de 5?
b) múltiplo de 2?
c) múltiplo de 3?
4 Em cada item, considere que o espaço deve ser completado com um algarismo. Determine quais algarismos podem ser indicados para que:
a) 12
b) 4 56 seja divisível por 6.
c) 14
d) 98 70
e) 9 85
f) 2 56
5 Responda às questões.
a) Qual é o menor divisor de um número natural?
b)
Números primosEncontre todos os divisores dos números a seguir.
D(8):
D(12):
Observe que:
o menor divisor de qualquer número é o 1;
o número 1 só tem um divisor – o próprio 1;
nessa lista, os números que têm apenas dois divisores são 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17;
dos números indicados, aqueles com mais de dois divisores são 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 e 18;
o maior divisor de um número é ele mesmo.
60
Matemática
Números primos -
sores distintos (o 1 e ele mesmo). Os números naturais que apresentam mais
números compostos
um produto de números primos.
O número 1 não é primo nem composto.
Decomposição em fatores primosObserve como escrever o número 80 como o produto de:
Todo número composto pode ser decomposto em fatores primos. Essa decomposição
é denominada de fatoração do número. Fatorar um número significa decompô-lo em um
produto de fatores primos.
A forma fatorada completa de um número natural pode ser encontrada da seguinte
forma:
Primeiro, divide-se o número dado por um número primo. Normalmente, procura-se o
menor divisor primo.
Em seguida, divide-se o quociente obtido pelo seu menor divisor primo.
Repete-se esse procedimento até obter o quociente 1.
Veja, a seguir, duas maneiras de obter a forma fatorada do número 80.
Divisões sucessivas Dispositivo prático
2
2
2
2
5
80
40
20
10
5
1
2
2
2
2
5
divisoresprimos
80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5
Na decomposição em fatores primos, não precisamos, necessariamente, começar pelo
menor divisor. Pela propriedade comutativa da multiplicação, temos:
2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 5 × 2 × 2 × 2 × 2.
dois fatores três fatores apenas fatores primos
2 × 40
80 80 80
2 × 2 × 20 2 × 2 × 2 × 2 × 5
61
1 O crivo de Eratóstenes é um método que permite encontrar todos os números primos até um certo valor. Foi criado pelo matemático grego Eratóstenes de Cirene (285-194 a.C.). A seguir, descubra a quantidade de números primos existentes entre 1 e 50. Usando o quadro abaixo, faça o que se pede.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
a) Risque o número 1, que não é primo.
b) Circule o próximo número da sequência, que é 2. Risque os demais múltiplos de 2.
c) Circule os números 3, 5 e 7, que são primos, e risque todos os números que são múltiplos de 3, 5 e 7.
d) Circule todos os números que não foram riscados. Agora, escreva todos os números circulados no quadro.
e) Podemos afirmar que todo número primo é ímpar? Justifique sua resposta.
f) Quantos números primos pares existem? Justifique sua resposta.
2 Escreva o número 100 como um produto de
a)
b)
c)
3 Fatore os números a seguir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
4 Verifique se os números a seguir são primos. Faça os cálculos no caderno.
a)
b)
c)
atividades
62
Matemática
Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum
Situação 1
João e Guilherme participaram de uma corri-
kart grid
largada, João deu uma volta completa em ape-
nas 50 segundos, enquanto Guilherme levou 60
segundos para fazer o mesmo percurso. Consi-
derando-se que eles mantiveram as velocidades
constantes, após quanto tempo eles passaram
grid
Tempos, em segundos, em que João completará as voltas:
300 600 900, ...
Tempos, em segundos, em que Guilherme completará as voltas:
300 600 900, ...
grid
Nessa situação, é possível perceber que o número 300 é o menor múltiplo comum entre
50 e 60. Dizemos que 300 é o mínimo múltiplo comum (mmc) de 50 e 60. Assim, podemos
concluir que eles passarão juntos novamente após 300 segundos, ou seja, após 5 minutos.
Outra forma de encontrar o mínimo múltiplo comum (mmc) de 50 e 60 é fazer a decom-
posição simultânea desses números em fatores primos. Observe:
mmc(50, 60) = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 4 × 3 × 25 = 300
Diego Munhoz. 2014. Digital.
mínimo múltiplo comum
números naturais não nulos é o menor número,
excluindo-se o zero, que é múltiplo comum des-
-
mmc.
Como não é
divisível por 2,
repetimos o
número 25 na
próxima linha.
Situação 2
Para a decoração de uma festa, foram comprados 45 metros de tecido na cor laranja e 21
metros de tecido na cor branca, que serão cortados em pedaços iguais e no maior tamanho
possível. Quanto deverá medir cada pedaço de tecido?
Podemos resolver essa situação procurando todos os divisores de cada um dos números
que indicam as medidas dos tecidos:
D(45): 1, 3, 5, 9, 15 e 45. D(21): 1, 3, 7 e 21.
Os números que são divisores de 45 e 21 ao mesmo tempo são 1 e 3.
Como o maior divisor comum entre 45 e 21 é o número 3, isso quer dizer que cada pedaço
de tecido deverá ter 3 metros.
50,
25,
25,
25,
5,
1,
60
30
15
5
1
1
2
2
3
5
5
divisoresprimos
63
Outra forma de encontrar o máximo divisor comum é fazer a decomposição simultânea
de 45 e 21 em fatores primos. Observe:
O máximo divisor comum de dois ou mais números é o produto
dos fatores primos que são comuns. No exemplo dado, há apenas um
fator que divide o 45 e o 21 ao mesmo tempo, que é o número 3.
mdc(45, 21) = 3
45,
15,
5,
1,
1,
21
7
7
7
1
3
3
5
7
fator comum
máximo divisor comum
mdc.
1 Dois navios partem do mesmo porto com destinos diferentes: o primeiro faz o percurso de 6 em 6 dias, e o segundo, de 15 em 15 dias. Tendo saído juntos em certo dia do mês, após quantos dias eles sairão juntos novamente?
2 Determine:
a) mmc(2, 3) = b) mmc(5, 10) = c) mmc(10, 6) = d) mmc(30, 7) =
3 Uma fabricante artesanal de chocolates produziu, em determinado dia, 28 trufas de cereja, 40 de doce de leite e 16 de abacaxi, que devem ser embaladas de modo que
os sabores não sejam misturados;
todas as embalagens contenham o mesmo número de trufas;
a quantidade em cada embalagem seja a maior possível;
não sobrem trufas sem embalar.
a) Quantas trufas serão colocadas em cada embalagem?
atividades
b) Quantas embalagens serão usadas?
4 Determine:
a) mdc(30, 45) = b) mdc(60, 48) = c) mdc(9, 15, 18) = d) mdc(12, 40, 16) =
64
Matemática
1 skate.
Apresenta uma unidade de milhar.
O algarismo 9 ocupa a ordem das centenas.
O algarismo 7 ocupa a ordem das dezenas.
Não é múltiplo de 10.
skate
2 Laura tem cinco fichas, numeradas de 5 a 9. Com elas, formou um número de quatro algarismos. Descu-bra qual foi o algarismo formado por ela, considerando as informações apresentadas a seguir.
7
No número formado, o 7 ocupa a posição indicada.
O número formado é divisível por 6.
O primeiro algarismo é divisível por 5.
O algarismo que não foi utilizado é múltiplo de 2.
3 O número de pessoas inscritas para um passeio de barco é maior que 100 e menor que 200. A em-presa que faz o serviço tentou acomodá-las em barcos com capacidade para 12 passageiros cada, mas sobrou uma pessoa. Em seguida, tentou acomodá-las em barcos de passeio com capacidade para 7 passageiros cada, mas novamente sobrou uma pessoa. Quantas pessoas há na fila para o passeio?
4 Duas engrenagens funcionam juntas tocando-se em suas extremidades. Se o sistema começar a se movimentar, quantas voltas de cada engrenagem, no mínimo, serão necessárias para que os pontos
destacados na imagem se encontrem novamente?
65
capí
tulo 4 Retas e ângulos
Que tipos de marcas estão presentes em um
mapa? Como é representada a rota mais curta
entre dois pontos? Como indicar a um piloto a
necessidade de uma mudança de direção?
©Shutterstock/ PRESSLAB
Ideias associadas a ponto, reta e plano
Retas, semirretas e segmentos de reta
Posições relativas entre retas
Conceito e identificação de ângulo
Unidade de medida de ângulo
o que vocêvai conhecer
66
Relacionar ponto, reta e plano como entes primitivos.
Identificar retas, semirretas e segmentos de retas.
Associar giro à ideia de ângulo.
Identificar corretamente os elementos de um ângulo.
Reconhecer o grau como unidade de medida de ângulo.
objetivos do capítulo
Ideias associadas a ponto, reta e planoO ponto, a reta e o plano representam algumas ideias intuitivas e são considerados en-
tes básicos ou primitivos, por meio dos quais todos os demais conhecimentos relacionados à
Geometria foram construídos.
Ponto
Ao observarmos a marca do toque de uma caneta
no papel, temos a ideia de ponto.
Para compreendermos melhor o que é um ponto,
podemos compará-lo a uma caixa e suas dimensões.
Diferentemente dela, o ponto não tem comprimen-
to, largura ou altura, ou seja, não tem dimensões,
adimensional.
Usamos letras maiúsculas de nosso alfabeto para nomear pon-
tos e, assim, poder representá-los geometricamente.
Reta
Ao observarmos a linha do horizonte, temos a
ideia de reta.
A reta não tem espessura definida, tem apenas
comprimento, e sua verdadeira forma é ilimitada nos
unidimensional, ou seja, tem ape-
nas uma dimensão.
A reta é representada conforme a figura ao lado.
Usamos letras minúsculas de nosso alfabeto para nomear
retas.
©S
hu
tte
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Ch
am
pio
n s
tud
io
A
B
C
t
s
r
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Oze
rov
Ale
xa
nd
er
67
Plano
Observando a superfície plana do tampo de uma mesa, temos a ideia de plano.
©Shutterstock/Nokhooknoi
O plano se estende infinitamente em todas as direções. Ele não tem fronteiras.
Por ser ilimitado, é impossível desenhar completamente o plano. Por isso, apenas uma
parte dele é reproduzida no papel. Ele pode ser representado assim:
α
Usamos letras minúsculas do alfabeto grego para nomear planos.
ALFABETO GREGO
alfa beta gama delta épsilon zeta eta teta iota capa lambda mi
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ
ni ksi ômicron pi rô sigma tau ípsilon fi qui psi ômega
ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω
68
Matemática
1 Cite exemplos de situações que dão a ideia de
a) ponto:
b)
c) plano:
2 Relacione os elementos do mapa com as ideias de elementos geométricos.
atividades
( 1 ) Ponto
( 2 ) Reta
( 3 ) Plano
( ) As linhas horizontais da grade do mapa.
( ) O próprio mapa.
( ) As linhas verticais da grade do mapa.
( ) Os encontros das linhas da grade.
( ) As marcas que representam cidades.
3 Considerando os pontos indicados na figura, responda às questões.
a) r
b) s t
c) s t
d) r st v
s
r
P Q
M O
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. Adaptação.
América do Sul: Político
Ta
lita
Ka
thy
Bo
ra
69
4 O cubo mágico, considerado um dos brinquedos mais populares do mun-do, é também conhecido como cubo Rubik, em homenagem a seu inventor. Observando a imagem do cubo mágico, responda às questões a seguir.
a)
b) O que dá a ideia de reta? E de ponto?
5 Na imagem a seguir, identifique e nomeie elementos que dão a ideia de ponto, de reta e de plano.
©D
rea
mst
ime
.co
m/C
hri
s E
rik
sso
n
©S
hu
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ck/
Eth
an
KK
6 α estão assinalados os pontos A, B, C e D.
m p, passando somente pelo ponto t, sem passar por esses pontos.
�
A
B
C
D
Agora, responda às questões.
a)
b)
70
Matemática
c) Pesquise os significados das palavras “colinear” e “coplanar” e escreva-os a seguir.
colinear
coplanar
d) As retas que você traçou são coplanares? Explique sua resposta.
e) Há três pontos colineares marcados no plano. Quais são eles?
f) Os pontos A, B e D são colineares?
Retas, semirretas e segmentos de reta No mapa a seguir, está representada a rota mais curta entre São Paulo (capital), marcada
pelo ponto D, e Manaus, representada pelo ponto C.
Medindo-se com a régua, é possível observar que a distância no mapa entre os pontos
distância (C, D) = 3 cm ou m (CD) = 3 cm
Segmento de reta é parte de uma reta limitada por dois de seus pontos.
Na figura ao lado, há o segmento EF. Usamos
as letras que identificam suas extremidades para
nomear um segmento de reta.
E F
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro, 2007. Adaptação.
Manaus - São Paulo
Ma
ria
ne
Fé
lix
da
Ro
cha
71
O segmento de reta é representado por letras maiúsculas, que indicam as extremidades
desse segmento. Acima das letras, coloca-se um traço.
E F
EF ou FE
Lê-se: segmento de reta EF ou segmento de reta FE.
Um segmento de reta tem início e fim e pode ser medido. A medida de um segmento de
reta CD é indicada por m ( )CD
ou apenas CD.
Observe os segmentos abaixo:
D
CB
A
Dizemos que esses segmentos de reta são con-
gruentes, pois têm a mesma medida. São indicados
por AB CD
.
Agora, observe a reta r e os pontos P e Q destacados pertencentes a essa reta:
Considerando-se a parte da reta r que tem origem no ponto P, passa pelo ponto Q e con-
tinua indefinidamente à direita, identifica-se a semirreta PQ, indicada por PQ
� ���.
P Q
r
P Q
Considerando-se a parte da reta r que tem origem no ponto Q, passa pelo ponto P e con-
tinua indefinidamente à esquerda, identifica-se a semirreta QP, indicada por QP
� ���.
P Q
Semirreta é toda parte de uma reta que tem origem em um de seus pontos e é infinita em
um dos sentidos dessa reta.
AB = 3 cm CD = 3 cm
1 Classifique as afirmações a seguir em verdadeiras V ou falsas F e reescreva as falsas tornando-as verdadeiras.
a) ( ) O segmento de reta é ilimitado, ou seja, não tem começo nem fim.
b) ( ) As arestas de um cubo são segmentos de reta congruentes.
c) ( ) Por um ponto passam infinitas retas.
d) ( ) Por dois pontos passam infinitas retas.
atividades
72
Matemática
2 Considere as retas r, s, t e u e os pontos destacados na representação a seguir. Depois, responda às perguntas.
s
I
H
D
C
F GA
B
t
u
r a) Quais pontos pertencem à reta s?
b) Que pontos pertencem à reta r?
c) Quais pontos são comuns às retas r e s?
d) Que pontos não pertencem à reta u e à reta t?
D EB CA
3 Na figura a seguir, estão representados alguns segmentos de reta alinhados.
D
C
F
E
A
B
E H
C
BA
F G
D
a) Quantos segmentos estão representados nele?
b) Identifique dois pares de segmentos que tenham a mesma medida.
Escreva um par de segmentos congruentes.
4 Observe a figura ao lado.
a) Escreva as semirretas destacadas com origem no ponto B.
b) Escreva os segmentos de reta representados nessa figura.
5 Considere o paralelepípedo representado a seguir.
6 Escreva todos os segmentos de reta que formam os lados de cada figura a seguir.
a) b)
A
B
C
D
P Q
V U
T
R
S
73
Posições relativas entre retasO convite para o aniversário de Daniel contém um
mapa que indica o local onde será realizada a festa.
É possível observar no mapa que as ruas Visconde
do Rio Branco e Mariana Junqueira não se cruzam. Elas
dão a ideia de retas paralelas.
Observa-se também que as ruas Barão do Amazo-
nas e Duque de Caixas se encontram, dando a ideia de
retas concorrentes.
Considere agora os modelos matemáticos.
R. Duque de Caxias
R. Mariana Junqueira
R. Visc. do Rio Branco
R
R. Gen. Osóriobastião
ns
R. Cami
Av. Dr. Francisco Junqueira
Sald
anha
Mar
inho
R. Am
ador
Bue
noR. Á
lvare
z Cab
ral
R. Tib
iriçá
R. Visc
. de
Inha
úma
R. Tib
iriçá
R. Bar
ão d
o Am
azon
asR. C
erqu
eira
César
onde
s S
X
Ce
sar
Sta
ti. 2
01
4. D
igit
al.
rs
P
a b
As retas r e s são paralelas, pois não
têm ponto em comum. São indicadas por
r // s.
Chamamos de paralelas duas retas que não têm ponto em comum e chamamos de con-
correntes as retas que têm apenas um ponto em comum.
1 Indique a posição das retas:
a) r e s.
b) s e t.
c) a e t.
d) r e t.
2 Considere o cubo representado ao lado.
a) Indique um par de arestas paralelas.
b) Quais arestas são paralelas à aresta HG?
c) Quais arestas são paralelas à aresta AE?
d) As arestas CD e HD são paralelas ou concorrentes?
atividades
As retas a e b são concorrentes, pois
têm apenas um ponto em comum.
a
s
r
t
H G
D C
E F
A B
74
Matemática
Conceito e identificação de ângulo
As rodas-gigantes são tão populares que acabaram
saindo dos parques de diversão e passaram a fazer parte
da paisagem de algumas cidades do mundo. A foto mostra
a London Eye, que permite aos seus “passageiros” admi-
rar do alto toda a cidade de Londres. Essa famosa roda-gi-
gante tem 32 compartimentos fechados, com capacidade
para 25 pessoas cada um. Ela tem 135 metros de altura
e demora 30 minutos para dar uma volta completa. Seu
giro é tão lento que os passageiros mal sentem que ela
está rodando. Por isso, não é preciso parar o embarque e
o desembarque de passageiros!
©S
hu
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ck/
Lu
ka
sz P
ajo
r
Ao visitar Londres, Lilian resolveu conhecer a famosa roda-gigante.
Ao embarcar, ela estava no compartimento marcado em vermelho.
Após alguns minutos, o compartimento já estava em outra posição, e Lilian percebeu que havia percorrido um quarto de volta. Podemos dizer que a roda-
-gigante girou 1
4
de volta.
Na metade do
passeio, quando estava na roda--gigante há
15 minutos, o
compartimento onde Lilian estava havia percorrido
meia-volta. Logo,
a London Eye
girou 1
2
de volta.
O passeio acabou
muito rápido! Ao desembarcar, Lilian havia percorrido
uma volta completa.
A roda girou por completo.
A ideia de giro está relacionada ao conceito de ângulo. Por exem-
plo, o giro da 1ª. posição do compartimento para a 2ª. posição pode ser
representado pela figura a seguir.
A medida do ângulo é determinada por sua abertura. Esse ângulo
é indicado por â.
â
Ilu
stra
çõe
s: ©
Sh
utt
ers
tock
/Jo
ha
ve
l
75
Observe este ângulo:
O B
A
l
a
d
o
lado
O vértice do ângulo é o ponto O, a origem das semirretas.
Os lados do ângulo são as semirretas OA
e OB.
Esse ângulo é indicado por AÔB.
1 Identifique os vértices e os lados dos ângulos destacados.
atividades
O
N
M
O
B
A
Q
P
R
a) b) c)
Vértice: Vértice: Vértice:
Lados: Lados: Lados:
2 Identifique todos os ângulos na figura a seguir.
E
D
C
B
A
O
E
D
C
B
A
O
Unidade de medida de ânguloOs babilônios, povo que viveu por volta de 1700 a.C., acreditavam que o Sol girava em
torno da Terra, numa órbita circular, realizando um giro completo em 360 dias. Eles diziam
que em cada dia o Sol percorria um arco equivalente a 1
360
desse círculo. Esse arco recebeu
o nome de grau (°), denominação da unidade de medida utilizada para medir ângulos.
76
Matemática
A imagem representa uma parte da órbita do Sol em torno da Terra, segundo os
babilônios.
Um dos instrumentos utilizados para medir ângulos é o transferidor. Observe a imagem
de dois modelos de transferidor: o de 360° e o de 180°.
Distância Terra – Sol
Distância Terra – SolTerra
Sol
30° = 1 mês
1° = 1 dia
Fo
tos:
©P
.Im
ag
en
s/Iv
on
ald
o A
lex
an
dre
Veja como utilizar o transferidor para medir ângulos.
90 100 110 120130
140150
160170
180
8070
60
50
40
2020
100
80 7060
50
4030
2010
0
100110
120
130
140
150
160
170
180
O
A
B
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90 100110
120130
140150
160170
180
80706050
40
20
2010
0
8070
6050
4030
2010
0
100110120130
140
150
160
170
180
O
A
B
B
O ângulo AÔB mede 60° e é indicado
por med(AÔB) = 60°.
O ângulo AÔB mede 140° e é indicado
por med(AÔB) = 140°.
77
Observe como podemos representar ângulos na malha quadriculada.
Ângulo de 90°
Giro de 1
4
de volta: representa um
ângulo reto.
Ângulo de 180°
Giro de 1
2
volta: representa um
ângulo raso.
Ângulo de 45°
Giro de 1
8
de volta: é exemplo de
um ângulo agudo.
Ângulo de 270°
Giro de 3
4
de volta.
Ângulo de 135°
Giro de 3
8
de volta: é exemplo de
um ângulo obtuso.
Ângulo de 360°
Giro de uma volta completa.
78
Matemática
1 Observe a posição de cada transferidor. Indique a medida dos ângulos e depois responda às questões.
atividades
a)
Medida do ângulo:
Qual fração representa a medida do
ângulo em relação a uma volta?
b)
Medida do ângulo:
Qual fração representa a medida do
ângulo em relação a uma volta?
c)
Fo
tos:
©P
. Im
ag
en
s/Iv
on
ald
o A
lex
an
dre
Medida do ângulo:
Qual fração representa a medida do
ângulo em relação a uma volta?
d)
Medida do ângulo:
Qual fração representa a medida do
ângulo em relação a uma volta?
79
2 Leia o texto a seguir.
Siga os comandos do capitão a seu timoneiro para que ele encontre o caminho até a ilha sem que
o barco bata em pedras submersas. Cada lado do quadradinho corresponde a uma milha marítima.
ENTENDA como as cartas náuticas orientam a navegação marítima. Disponível em: <http://redeglobo.globo.com/globociencia/noticia/2011/10/entenda-como-cartas-nauticas-orientam-navegacao-maritima.html>. Acesso em: 6 set. 2018.
O objetivo dos mapas marítimos é for-necer informações sobre profundidades e perigos à navegação, como bancos de areia, pedras submersas, cascos de navios afunda-dos, ou qualquer outro obstáculo. “As cartas mostram a natureza do fundo, incluindo os pontos de auxílios à navegação, como faróis, faroletes, boias, balizas, luzes de alinhamen-to, radiofaróis, entre outros. Os mapas infor-mam também altitudes e pontos notáveis aos navegantes, contorno das ilhas, elemen-tos de marés, correntes e magnetismo, além de outras indicações necessárias à segurança da navegação”, explica Cláudio João Barreto dos Santos, engenheiro cartógrafo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
©S
hu
tte
rsto
ck/S
ha
rom
ka
Die
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oz.
20
14
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ita
l.
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ck/
Ch
rist
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eo
rgh
iou
SIGA EM FRENTE 4 MILHAS.
• GIRE 14
DE VOLTA PARA A ESQUERDA.
• NAVEGUE POR MAIS 3 MILHAS.
• GIRE 14
DE VOLTA PARA A ESQUERDA.
• NAVEGUE POR 3 MILHAS.
• GIRE 14
DE VOLTA PARA A DIREITA.
• NAVEGUE POR 5 MILHAS.
• GIRE 14
DE VOLTA PARA A DIREITA.
• NAVEGUE POR 6 MILHAS.
• GIRE 90° PARA A ESQUERDA.
• NAVEGUE POR 3 MILHAS.
80
Matemática
3 Assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas. Em seguida, reescreva as afirmações falsas tornando-as verdadeiras.
( ) 1
8
de volta é igual a um giro de 180°.
( ) Um giro de meia-volta é maior que um giro de 135°.
( ) 1
4
de volta é igual a um giro de 180°.
4 Sabendo que um giro de 360° corresponde a uma volta completa, resolva as atividades.
a) Quantos graus correspondem a 1
6
de uma volta?
b) Quantos graus correspondem a 2
6
de uma volta?
c) Quantos graus correspondem a 5
6
de uma volta?
5 Observe o menor dos ângulos formados pelos ponteiros dos relógios e indique quantos graus cada um apresenta.
a)
©S
hu
tte
rsto
ck /
Sh
aro
mk
a
b)
©S
hu
tte
rsto
ck /
Miz
kit
81
1 Faça as representações indicadas a seguir.
β
t.
Do ponto K.
De uma figura geométrica espacial.
De uma figura geométrica plana.
2 Quais segmentos de reta é possível determinar usando os pontos representados nesta figura?
P
Q
R
S
T
82
Matemática
3 Observe cada um dos ângulos representados e indique se é maior ou menor que um ângulo reto.
a)
b)
c)
d)
4 (SARESP) Observe os desenhos abaixo, feitos no computador, para indicar caminhos percorridos por um robô. O desenho que indica que ele mudou somente duas vezes de direção e em ângulo reto é:
a) ( ) Figura 1
b) ( ) Figura 2
c) ( ) Figura 3
d) ( ) Figura 4
5 Na imagem a seguir, estão desenhados vários ângulos. Determine a medida dos ângulos indicados.
O
A
B
O
A B
O
BA
O
N
M
1 2 3 4
90 100 110 120130
140150
160170
0
8070
6050
4030
2010
010
2030
40
5060
7080100110
120
130
14015
016
017
018
0 180
0123456 1 2 3 4 5 6
AE
O
B
D
C
a) AÔB
b) AÔD
c) BÔC
d) CÔD
e) AÔC
f) AÔE
g) EÔC
h) EÔB
83
Até bem pouco tempo atrás, quando se ouvia a expressão “raio laser” (laser lê-se lêi-ser), as imagens que vinham à nossa cabeça estavam associadas aos filmes de ficção cien-tífica: criatu ras de outros planetas usando armas poderosas, que emitiam raios mor-tais, dispostas a tudo para conquistar a Terra.
Mais recentemente, entre tanto, algu-mas aplicações na área médica e odon-tológica contribuíram para populari zar a palavra “laser”. O velho e irritante motor-zinho do den tista já pode ser encontrado em sua versão laser. O bisturi perdeu a lâmina e virou laser. Já se usa o laser para destruir acú-mulos de gordura no inte rior de veias e artérias... En fim, essa tecnologia pulou das telas dos cinemas para dentro da nossa vida. Deixou de ser uma arma de morte para se tornar, nas mãos de hábeis cirurgiões, um instrumento de vida.
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hu
tte
rsto
ck/G
ua
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ro B
off
i
De acordo com o projeto a seguir, indique o valor de cada ângulo da peça que será cortada a laser.
Ângulo a =
Ângulo b =
Ângulo c =
Ângulo d =
Ângulo e =
Ângulo f =
6 Observe este transferidor. Um dos lados de um ângulo já foi desenhado. Trace o outro lado, saben-do que o ângulo mede 60°.
O laser também é utilizado para fazer cortes com precisão em metais e madeiras.
7 Leia o texto abaixo.
90
1
0
0
1
1
0
1
2
0
1
3
0
1
4
0
1
5
0
1
6
0
1
7
0
0
8
0
7
0
6
0
5
0
4
0
3
0
2
0
1
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
7
0
8
0
1
0
0
1
1
0
1
2
0
1
3
0
1
4
0
1
5
0
1
6
0
1
7
0
180
180
0
123456 1 2 3 4 5 6
a
d
e
c
b
f
PROCESSOS de fabricação: corte com laser. Disponível em: <http://essel.com.br/cursos/material/01/ProcessosFabricacao/62proc.pdf>. Acesso em: 6 set. 2018.
84
Material de apoio6°. ano – Volume 1
Matemática
Capítulo 2 – Página 31 – Atividades
Capítulo 1 – Página 11 – Atividades
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