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Matemática I

Profª Karine R. de Souza

AULA 1

 

 

Conceitos Iniciais

Conjunto – A noção de conjunto, em Matemática, é a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de agrupamento, coleção, classe etc.

Elemento – Os objetos que constituem determinado conjunto são chamados de elementos do conjunto.

Pertinência – Se um elemento é constituinte de um conjunto significa que ele pertence ao conjunto. Este fato é indicado pelo símbolo . Por ∈exemplo, chamando de P o conjunto dos números pares, escrevemos: 2

P ( 2 pertence a P) e 3 P ( 3 não pertence a P).∈ ∉

Embora os elementos de um conjunto possam ser quaisquer objetos é costume representar os conjuntos com letras maiúsculas e os elementos com as letras minúsculas.

 Representação dos Conjuntos 

Por enumeração - Podemos representar um conjunto enumerando seus elementos.

Exemplos:

1.O conjunto dos números pares positivos menores que 10 é : { 2,4,6,8}2.O conjunto dos números ímpares positivos é: { 1,3,5,7....}

Por propriedade – Quando todos os elementos de um conjunto A, e somente eles, satisfazem a uma certa propriedade, podemos descrever o conjunto A especificando essa propriedade. Para isso, usamos o símbolo | (lê-se: “ tal que”).

Exemplos: 1.A = { x I x é impar e 3< x < 11} é o conjunto { 5,7,9}.2.B = { x I x é par e 0< x< 8} é o conjunto { 2,4,6}

Por diagrama - Para a visualização geométrica dos conjuntos usam-se os chamados Diagramas de Venn.

O diagrama de Venn do conjunto A = {1,2,3} e está representado abaixo.

A 1 2 3

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Conjunto Vazio

Chama-se vazio e indica-se por 0 o conjunto que não possui elemento algum.

Exemplos:

1.O conjunto dos meses do ano que começam pela letra c (na língua portuguesa).2.O conjunto dos números pares maiores que 4 e menores que 6.

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Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B

Observações:1.Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; A A;2.O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja A

União de dois conjuntos - A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Por exemplo:

Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: A U B.

Formalmente temos que: A U B = {x / x i A ou x I B}

A união de conjuntos obedece às seguintes propriedades:

→ Propriedade comutativa: A U B = B U A

→ Propriedade associativa: A U (B U C) = (A U B) U C

→ Elemento Neutro: A U Ø = A

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A intersecção de dois conjuntos - é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos e , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a quanto a A quanto a B.

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B

Formalmente temos que: A ∩ B = {x| x I A e x I B}

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são ao mesmo tempo de A e de B, e é representada por: A ∩ B

Formalmente temos que: A ∩ B = {x| x I A e x B}

A intersecção de dois conjuntos obedece às seguintes propriedades:

→ Propriedade comutativa: A ∩ B = B ∩ A

→ Propriedade associativa: A ∩ (B∩C) = (A∩B) ∩ C

→ Propriedade de idem potência: A ∩ A = A

→ A ∩ Ø = Ø

Diferença - Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

Complementar - Complementar de um conjunto.

Essa operação é um caso particular de diferença entre conjuntos. Considere dois conjuntos, A e B, sendo que B está contido em A (B A) ou seja, B é um subconjunto de A. O complementar de B em relação a A, representado por CAB, é a diferença A – B.

Exemplo: Sejam A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} e B = {4, 8, 12}, temos que:

CAB = A – B = {2, 6, 10, 14}

Complementar de B em relação a A

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Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B.

Resolveremos o exercício com o auxílio dos Diagramas de Venn. Observe:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A ∩ B = {4, 5} A – B = {1, 2, 3} O conjunto B é formado pelos seguintes elementos: {4, 5, 6, 7, 8}.

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Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C).

A = {0, 1} B = {0, 1, 2} C = {2, 3}

A U B = {0, 1, 2}

B U C = {0, 1, 2, 3}

(A U B) ∩ (B U C) = {0, 1, 2}