ТЕОРІЯ ЧИСЕЛВластивості подільності цілих чисел

1. В якому випадку кажуть, що «ціле число ділиться на ціле число »? 2. Сформулюйте властивості подільності цілих чисел.1. Доведіть, що якщо , , то .2. Доведіть, що якщо , , то .3. Доведіть, що якщо , то для будь-якого справедливо, що . Чи буде

справедливим це твердження при .4. Що означає висловлювання: «розділити ціле число на ціле число з остачею»?5. Сформулюйте теорему про ділення з остачею для цілих чисел.6. Якою може бути остача при діленні цілого числа на ?

Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне 7. Що називають спільним дільником цілих чисел і ? Чи завжди він існує? Чому?8. Що називають найбільшим спільним дільником цілих чисел і ? Чи завжди він

існує? Чому?9. Для чого використовується алгоритм Евкліда? В чому він полягає? За яких умов

можливе його застосування?3. Чому алгоритм Евкліда має скінченну кількість кроків?4. Довести, що якщо , , то . Чому необхідне виконання умови ?5. Довести, що якщо , де , то . 6. Сформулюйте властивості найбільшого спільного дільника.7. Довести, що найбільший із спільних дільників двох цілих чисел і (одночасно не

рівних нулю) є найбільшим спільним дільником цих чисел.8. Довести, що якщо кожне із цілих чисел і помножити на натуральне число , то

їхній найбільший спільний дільник також помножиться на . Чи можна взяти –довільне ціле число? Чому?

9. Як пов’язані між собою найбільший спільний дільник цілих чисел і і найбільший

спільний дільник чисел і , де – спільний дільник чисел і ? Довести.

10. Що розуміють під висловлюванням «знайти лінійне представлення найбільшого спільного дільника двох цілих чисел»?

11. Сформулюйте теорему про лінійне представлення найбільшого спільного дільника двох цілих чисел.

12. Які числа називаються взаємно простими?13. Сформулюйте критерій взаємної простоти.14. Довести, що якщо , , то .15. Довести, що якщо і , причому , то . Чи не є умова

зайвою? Чому?16. Довести, що якщо і , то . 17. Як знайти найбільший спільний дільник кількох цілих чисел? Чи для всіх цілих

чисел він існує? 18. Що називають спільним кратним цілих чисел і ? Чи завжди воно існує? Чому?19. Що називають найменшим спільним кратним цілих чисел і ? Чи для всіх цілих

чисел воно існує? Чому? При якій умові найменше спільне кратне цілих чисел і дорівнює їх добутку?

20. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел не може існувати більше одного найменшого спільного кратного.

21. Як можна знайти найменше спільне кратне двох цілих чисел? (вивести формулу). Прості і складені числа

1. Яке число називають простим?2. Нехай натуральне число має лише 2 дільники. Чи є воно простим? 3. За яких умов добуток двох цілих чисел є простим числом?4. Сформулюйте властивості простих чисел.5. Довести, що будь-яке натуральне число або ділиться на просте число , або

.6. Довести, що якщо добуток кількох цілих чисел ділиться на просте число , то хоча б

один із співмножників ділиться на .7. Довести, що найменший відмінний від одиниці натуральний дільник цілого числа є

простим.8. Яку умову задовольняє найменший простий дільник цілого числа ?9. Як можна визначити (без використання таблиць простих чисел), чи є простим число?10. Сформулювати теорему Евкліда.11. Сформулювати теорему про інтервали в натуральному ряді. 12. Сформулювати основну теорему арифметики.13. Що таке канонічна форма натурального числа ? 14. Як, знаючи канонічний розклад цілого числа, знайти всі його дільники?15. Як, знаючи канонічні розклади цілих чисел і , знайти їхні НСД і НСК?16. Що називають «решетом Ератосфена»? В чому його суть?

Числові функції1. Яка функція називається числовою? Які основні числові функції ви знаєте?2. Що позначають через ? Сформулювати означення. Навести приклад. Як знайти

її значення?3. Як знайти кількість всіх натуральних дільників цілого числа?4. Як знайти суму всіх натуральних дільників цілого числа?5. Що позначають через ? Сформулювати означення. Навести приклад. Як знайти

її значення?6. Що позначають через ? Що позначають через ? Сформулювати означення.

Навести приклади.7. Яку функцію називають мультиплікативною? Навести приклади.8. Сформулюйте властивості мультиплікативних функцій. 9. Довести, що якщо функція – мультиплікативна, то .10. Довести, що якщо і – мультиплікативні функція, то теж

є мультиплікативною функцією.11. Довести, що якщо – мультиплікативні функція, – попарно взаємно

прості числа, то .12. Сформулювати основну властивість мультиплікативних функцій.13. Чому дорівнює , де – просте число, ? Довести.14. Як знайти значення функції Ойлера ?

Конгруенції в кільці цілих чисел1. Яке число називають конгруентним даному цілому числу за модулем ? Як це

позначають? Яким є ?2. Які ви знаєте твердження, еквівалентні наступному: цілі числа і – конгруентні за

модулем ?

3. Довести, що відношення конгруентності є відношенням еквівалентності.4. Сформулюйте властивості конгруенцій, при яких модуль конгруенції не змінюється.5. Сформулюйте властивості конгруенцій, при яких модуль конгруенції змінюється.6. За яких умов дві конгруенції можна почленно додавати? Довести.7. Чи завжди можна переносити доданок з однієї частини конгруенції в іншу? Якщо

так, довести.8. Чи завжди можна до обох частин конгруенції додати одне й те саме ціле число?

Якщо так, довести.9. Чи завжди можна множити обидві частини конгруенції на одне й те саме ціле число?

Якщо так, довести.10. За яких умов дві конгруенції можна почленно перемножувати? Довести.11. Чи завжди можна поділити обидві частини конгруенції на їхній спільний дільник?

Якщо так, довести.12. Чи завжди можна підносити обидві частини конгруенції до одного й того самого

натурального степеня? Якщо так, довести.13. Чи можна до обох частин конгруенції додати число, кратне модулю? Чи немає тут

зайвих умов? Якщо так, довести.14. Довести, що якщо , , то .15. Довести, що якщо , то , де , .16. Довести, що із умови випливає, що .

Класи за даним модулем1. Що позначають через ?2. Що називають лишком?3. Сформулюйте властивості класів лишків.4. Сформулюйте необхідну і достатню умови того, щоб два цілих числа належали до

одного й того самого класу лишків за модулем . Довести.5. Чому дорівнює ? Довести.6. Як можна подати клас лишків за модулем через класи лишків за модулем (

– натуральне)?7. Як задаються операції додавання і множення в кільці ?8. За яких умов множина відносно операцій і є

кільцем? А полем? Кільцем з дільниками нуля? Нульовим кільцем? Кільцем, ізоморфним ?

9. За яких умов до класу лишків кільця існує обернений? Довести.10. За яких умов клас лишків є дільником нуля в кільці ? Довести.

Повна та зведена система лишків. Теореми Ойлера і Ферма1. Що називають повною системою лишків за модулем ? Які ви знаєте повні системи

лишків? Скільки є лишків в ПСЛ?2. Сформулювати основні властивості повної системи лишків.3. Довести, що будь-яка сукупність цілих чисел, попарно не конгруентних за

модулем , утворює повну систему лишків.4. Якщо числа утворюють ПСЛ за модулем , то чи утворюють числа

(де , , ) ПСЛ за модулем . Якщо так, довести.5. Що називають зведеною системою лишків за модулем ? Скільки є лишків в ЗСЛ?

6. Довести, що будь-яка сукупність цілих чисел, попарно не конгруентних між собою за модулем і взаємно простих із , утворює повну систему лишків.

7. Якщо числа утворюють ЗСЛ за модулем , то чи утворюють числа (де , , ) ЗСЛ за модулем . Якщо

так, довести.8. Сформулювати теорему Ойлера.9. З якою метою використовується при доведенні теореми Ойлера умова ?10. Сформулювати теорему Ферма.

Лінійні конгруенції з одним невідомим. Конгруенції -го степеня1. Яку конгруенцію називають конгруенцією -го степеня? Що називають її

розв’язком? 2. Що називають елементарними перетвореннями конгруенцій з одним невідомим? Які

елементарні перетворення конгруенцій ви знаєте?3. Які конгруенції називаються рівносильними? Чи завжди при множенні обох частин

конгруенції з одним невідомим на одне й те саме ціле число отримуємо рівносильну конгруенцію?

4. Які конгруенції називаються рівносильними? Чи отримаємо рівносильну конгруенцію при множенні обох частин заданої конгруенції і її модуля на ціле невід’ємне число?

5. Які розв’язки конгруенції вважаються різними?6. Яку конгруенцію називають лінійною? Що називають її розв’язком? 7. Сформулюйте теорему про існування та число розв’язків лінійної конгруенції.8. За яких умов лінійна конгруенція не має розв’язків?9. За яких умов лінійна конгруенція має один розв’язок?10. За яких умов лінійна конгруенція має розв’язків?11. Як знайти всі розв’язки конгруенції при , якщо відомо

один із її розв’язків ? 12. Які ви знаєте способи розв’язування лінійних конгруенцій? 13. Сформулюйте алгоритм розв’язання лінійної конгруенції.14. Сформулюйте алгоритм розв’язання конгруенції -го степеня ( ).15. Скільки розв’язків може мати конгруенція -го степеня? 16. Сформулюйте теорему про кількість розв’язків конгруенції -го степеня. 17. Чи може конгруенція мати більше ніж розв’язків?18. Яке перетворення слід виконати, щоб конгруенцією ,

, щоб її старший коефіцієнт дорівнював одиниці?19. Яке перетворити конгруенцією за простим модулем у рівносильну конгруенцію

степеня, меншого за ?20. Чи завжди існує таке , що при ?21. Сформулюйте і доведіть теорему Вільсона.22. Сформулюйте і доведіть ознаку Паскаля.23. Сформулювати і вивести ознаку подільності на .24. Сформулювати і вивести ознаку подільності на .25. Сформулювати і вивести ознаку подільності на .26. Сформулювати і вивести ознаку подільності на 11.......................................................................................................................................................

Чи є справедливими наступні твердження? Якщо ні, відкоригувати.1. Якщо , , то .2. Якщо , – просте, то .3. Якщо , , то .4. Якщо , , то .5. Якщо , , то .6. Якщо , то або , або .7. Якщо , то .8. Добуток ділиться на тоді і лише тоді, коли або , або .9. Для будь-яких цілих справедливо, що або , або .10. Якщо , , то .11. Для будь-якого натурального числа справедливо, що або – просте, або –

складене.12. Будь-яке натуральне число можна розкласти на прості множники.13. Остача не зміниться, якщо дільник і неповну частку при діленні поміняти місцями.14. Найбільший спільний дільник двох цілих чисел і завжди існує.15. Якщо , то .

16. Якщо і – довільні цілі числа, то .

17. Натуральне число називається простим, якщо воно має лише два дільники.18. До класу лишків завжди існує обернений.19. Умова є необхідною і достатньою для того, щоб числа і були

конгруентні за модулем .20. Класи і співпадають.21. Якщо , , то .22. Якщо , то .23. Якщо , , то .24. є кільцем з дільниками нуля.25. є полем.26. Клас є підмножиною класу .27. При множенні обох частин лінійної конгруенції на додатне ціле число

одержимо рівносильну конгруенцію.28. При множенні обох частин і модуля лінійної конгруенції на додатне

ціле число одержимо рівносильну конгруенцію.29. Нехай – просте. Знайти: .30. При яких , , кільце є полем?31. Скільки існує натуральних чисел, менших за і взаємно простих із ним для даного

простого ?32. При діленні цілого числа на ціле число одержали остачу . Яку остачу буде

одержано при діленні на ? ТЕОРІЯ КІЛЕЦЬ

Елементарні відомості про кільця1. Сформулювати означення кільця. Навести приклади.

2. Яке кільце називається кільцем з одиницею? Комутативним кільцем? Навести приклади некомутативних кілець.

3. Чи є кільце полем? Відповідь пояснити.4. Довести, що в кільці нульовий елемент єдиний і для кожного елемента із

протилежний елемент єдиний.5. Сформулювати означення підкільця. Навести приклади.6. Сформулювати критерій підкільця.7. Сформулювати означення поля. Яка додаткова умова виділяє поле із множини всіх

кілець?8. Сформулювати критерій підполя.9. Довести, що в кільці з одиницею одиничний елемент відмінний від нульового.10. Які елементи кільця називаються дільниками нуля? Приклади.11. Який елемент кільця називається дільником одиниці? Приклади.12. Чи може дільник одиниці бути дільником нуля? Довести.13. Сформулювати означення області цілісності.14. Довести, що будь-яке поле є областю цілісності.15. Довести, що множина всіх дільників одиниці кільця з одиницею є

мультиплікативною групою.16. Чи є в полі дільники нуля? Довести.17. Що називається характеристикою кільця з одиницею? Навести приклад кільця

характеристики 8?18. Довести, що якщо є кільцем характеристики , то для будь-якого елемента

справедливо: .19. Довести, що якщо – поле характеристики , то – просте.20. Нехай – підкільце кільця . Встановити, які з наступних тверджень істинні, а які

ні: a. якщо – кільце з одиницею, то теж є кільцем з одиницею;b. якщо – кільце з одиницею, то теж є кільцем з одиницею;c. якщо і – кільця з одиницею, то одиниця кільця співпадає з

одиницею кільця ;d. якщо – кільце з дільниками нуля, то теж є кільцем з дільниками нуля;e. якщо – кільце з дільниками нуля, то теж є кільцем з дільниками нуля;f. якщо є дільником нуля в , то є дільником нуля в ;g. якщо є дільником нуля в , то є дільником нуля в ;h. якщо – кільце без дільників нуля, то теж є кільцем без дільників нуля;

Подільність в області цілісності1. Що розуміють під висловлюванням «елемент кільця ділиться на елемент в

»?2. Сформулювати властивості подільності в комутативному кільці.3. Довести, що якщо , в , то в .4. Довести, що якщо , в , то в .5. Довести, що якщо в , то для будь-якого елемента , , справедливо,

що в . Чи буде справедливим це твердження при ( – деякий дільник одиниці кільця )?

6. Чи кожний елемент із ділиться на довільний дільник одиниці цього кільця. Якщо так, довести.

7. Нехай в . Чи буде справедливо, що в ( – деякий дільник одиниці кільця )? Якщо так, довести.

8. Нехай в . Чи буде справедливо, що в ( – деякий дільник одиниці кільця )? Якщо так, довести.

9. Навести приклади: а) нескінченного комутативного кільця без дільників нуля;б) нескінченного не комутативного кільця;в) скінченного комутативного кільця з дільниками нуля;г) скінченного комутативного кільця без дільників нуля;д) нескінченного комутативного кільця з дільниками нуля;е) комутативного кільця без одиниці;є) некомутативного кільця без одиниці;ж) комутативного кільця без одиниці і без дільників нуля.

10.Скільки дільників одиниці має кільце ?11.Чи може в кільці бути нескінченна кількість дільників одиниці? Довести.12.Чи може скінченне поле мати характеристику 6?13.Навести приклад поля ненульової характеристики.14.Нехай – ненульовий елемент поля характеристики 0. При якому натуральному

справедлива рівність: ?Ідеали кільця. Фактор-кільця

1. Сформулювати означення лівого ідеалу кільця. Навести приклади.2. Сформулювати означення правого ідеалу кільця. Навести приклади.3. Сформулювати означення ідеалу (двостороннього) кільця. Навести приклади. Чи є

довільний ідеал кільця його підкільцем? А навпаки?4. Сформулювати і довести критерій ідеалу. 5. Сформулювати означення головного ідеалу. Навести приклад кільця, в якому всі

ідеали головні.6. Довести, що в полі всі ідеали головні.7. Чи правильно, що в кільці цілих чисел всі ідеали головні? Якщо так, довести.8. Які Ви знаєте операції над ідеалами? Сформулювати відповідні означення.9. Довести, що сума двох ідеалів кільця є ідеалом цього кільця.10.Довести, що добуток двох ідеалів кільця є ідеалом цього кільця. 11.Довести, що переріз двох ідеалів кільця є ідеалом цього кільця. 12.В якому випадку елемент називається конгруентним елементу за ідеалом ?13.Що називають конгруенцією (за ідеалом)?14.Чи є відношення конгруентності (за ідеалом) відношенням еквівалентності? Якщо

так, довести.15.Сформулювати властивості конгруенцій (за ідеалом)?16.Чи завжди можна переносити доданок з однієї частини конгруенції (за ідеалом) в

іншу? Якщо так, довести.17.Чи завжди можна до обох частин конгруенції (за ідеалом) додати одне й те саме

ціле число? А елемент кільця? Якщо так, довести.18.Чи завжди можна множити обидві частини конгруенції (за ідеалом) на одне й те

саме ціле число? Якщо так, довести.19.За яких умов дві конгруенції (за ідеалом) можна почленно перемножувати?

Довести.20.Чи завжди можна поділити обидві частини конгруенції (за ідеалом) на їхній

спільний дільник? Якщо так, довести.

21.Що називають класом лишків за ідеалом? А лишком?22.Сформулювати властивості класів лишків.23.Довести, що якщо , то .24.Довести, що якщо , то , де 0 – нульовий елемент кільця.25.Довести, що будь-який елемент класу лишків можна взяти за його представник.26.Довести, що для будь-яких класів лишків справедливо: або , або

.27.Довести, що якщо клас лишків є ідеалом кільця, то . 28.Довести, що якщо , то клас лишків є ідеалом кільця. 29.Сформулювати означення фактор-кільця кільця за ідеалом .30.Як задаються операції у фактор-кільці кільця за ідеалом ?31.Який існує зв’язок між класами лишків кільця цілих чисел за ідеалом і

класами лишків кільця цілих чисел за модулем ?32.Який існує зв’язок між фактор-кільцем і кільцем ?

Гомоморфізми кілець1. Коли кільце називають гомоморфним кільцю ? 2. Коли кільце називають ізоморфним кільцю ? 3. Сформулювати властивості гомоморфізму двох кілець.4. Довести, що при гомоморфізмі образом нульового елемента кільця є

нульовий елемент кільця . 5. Довести, що при гомоморфізмі образом протилежного до елемента

кільця є елемент кільця , протилежний до . 6. Довести, що якщо кільце є кільцем з одиницею, то при гомоморфізмі

образом одиничного елемента кільця є одиничний елемент кільця . 7. Чи можна деяке кільце, яке не є полем, гомоморфно відобразити на поле? Чому?8. Чи можна деяке кільце з одиницею гомоморфно відобразити на кільце без одиниці?

Чому?9. Чи можна деяке кільце без одиниці гомоморфно відобразити на кільце з одиницею?

Чому?10.Що називають ядром гомоморфізму кільця на кільце ?11.Чи є ядро гомоморфізму кільця на кільце його ідеалом? Якщо так, довести.12.Чи кожен ідеал кільця може бути ядром деякого гомоморфізму цього кільця?13.Сформулювати основну теорему про гомоморфізми кілець.14.Чи завжди гомоморфним образом області цілісності є область цілісності?15.Чому кільце цілих чисел не можна гомоморфно (ізоморфно) відобразити на

будь-яке його підкільце, відмінне від і самого кільця ? Кільця, що є областями цілісності

1. Який елемент називають асоційованим із елементом в області цілісності ? 2. Чи є відношення асоційованості рефлексивним, симетричним, транзитивним?

Якщо так, довести.3. Довести, що асоційовані елементи області цілісності породжують один і той самий

головний ідеал.4. Сформулювати критерій асоційованості.5. Довести критерій асоційованості.

6. Сформулювати означення кільця головних ідеалів. Навести приклади.7. Якими є ідеали будь-якого поля? Скільки їх? Довести.8. Сформулювати означення спільного дільника двох елементів кільця головних

ідеалів .9. Сформулювати означення НСД двох елементів кільця головних ідеалів . Чи для

будь-яких елементів кільця головних ідеалів існує їхній НСД? Скільки їх? 10.Довести, що НСД двох елементів кільця головних ідеалів означено з точністю до

асоційованості.11.Як НСД двох елементів і кільця головних ідеалів можна виразити через і

? 12.Сформулювати означення спільного кратного двох елементів кільця головних

ідеалів .13.Сформулювати означення НСК двох елементів кільця головних ідеалів .14.Довести, що НСК двох елементів кільця головних ідеалів означено з точністю до

асоційованості.15.Сформулювати означення простого елемента кільця головних ідеалів . Навести

приклад числа, яке і є простим елементом в , але не є простим елементом в .16.Які елементи кільця головних ідеалів називають простими, а які складеними? Чи є

область цілісності об’єднанням множин простих і складених елементів? 17.Сформулювати властивості простих елементів кільця головних ідеалів. 18.Довести, що будь-який асоційований із простим елементом кільця головних ідеалів

елемент також є простим в .19.Довести або спростувати наступні твердження. Нехай – області цілісності,

причому є підкільцем , : якщо – складений в , то – складений і в ; якщо – складений в , то – складений і в ; якщо – простий в , то – простий і в ; якщо – простий в , то – простий і в .

20.Які елементи кільця головних ідеалів називають взаємно простими?21.Сформулюйте критерій взаємної простоти двох елементів кільця головних ідеалів.22.Сформулюйте властивості взаємно простих елементів кільця головних ідеалів.23.Довести, що якщо , , то .24.Довести, що якщо в , причому , то в .25.Довести, що якщо , в , причому , то в .26. Довести, що для будь-якого елемента кільця головних ідеалів і простого

елемента або , або .27.Довести, що головний ідеал, породжений дільником одиниці кільця з одиницею

збігається із .28.Яким є фактор-кільце кільця головних ідеалів за головним ідеалом ,

якщо: а) – простий в ;

б) – складений в ; в) – дільник одиниці в ; г) – нуль-елемент кільця ;

29.Що називають зростаючим рядом ідеалів кільця ?30.Чи може в кільці головних ідеалів зростаючий ряд ідеалів бути нескінченним?

Довести.

31.В якому випадку говорять, що елемент області цілісності володіє однозначним розкладом на прості множники?

32.Яке кільце називають факторіальним?33.Опишіть зв’язок між множинами: – множина всіх кілець; – множина всіх

комутативних кілець; – множина всіх кілець головних ідеалів; – множина всіх областей цілісності; – множина всіх евклідових кілець; – множина всіх факторіальних кілець.

34.Чи є кільце факторіальним? А кільцем головних ідеалів? А евклідовим кільцем?35.Яке кільце називають евклідовим? Навести приклади.36.Що називають нормою елемента евклідового кільця? Чи визначається вона

однозначно?37.Як знайти всі дільники елемента факторіального кільця, знаючи його канонічний

розклад?38.Як, знаючи канонічні розклади елементів і факторіального кільця, знайти їхні

НСД і НСК?39.Як пов’язані НСД і НСК двох елементів факторіального кільця?40.Як можна знайти НСД і НСК двох елементів: а) евклідового кільця; б)

факторіального кільця?41.Нехай – елементи кільця . Чи правильне твердження, що якщо , то

? Якщо так, довести. Якщо ні, то вказати, за яких умов.42.Які з наступних тверджень про кільця є істинними:

a. область цілісності є факторіальним кільцем;b. кільце головних ідеалів є факторіальним;c. евклідове кільце є факторіальним;d. кільце головних ідеалів є евклідовим.

43.Нехай – підкільце області цілісності . Чи може бути так, щоб: a. кільце було факторіальним, а – ні;b. кільце було евклідовим, а – ні;c. кільце було евклідовим, а – ні;d. було кільцем головних ідеалів, а – ні?

44.Навести приклади кілець, в яких: а) складені елементи неоднозначно розкладаються в добуток простих; б) всі складені елементи однозначно розкладаються в добуток простих; в) не існує послідовності ідеалів, в якій кожний наступний ідеал включає

попередній; г) можна застосовувати алгоритм Евкліда для знаходження НСД.

ТЕОРІЯ ГРУП Елементарні відомості про групи

1. Сформулювати означення групи. Навести приклади.2. Нехай – множина із асоціативною операцією такою, що для будь-якого із

існують елементи та такі, що та . Чи буде групою? Пояснити.

3. Сформулюйте означення підгрупи даної групи.4. Сформулюйте критерій підгрупи.5. Скільки нейтральних елементів може бути в групі відносно операції ?

Довести.

6. Скільки симетричних елементів до деякого фіксованого елемента може бути в групі відносно операції ? Довести.

7. Яка група називається абелевою?8. Навести приклад числової системи, яка не є групою.9. Чому підмножина адитивної групи раціональних чисел (яка сама є

групою) не є підгрупою групи ?10.Чи може 0 бути одиничним елементом групи?11.Що позначають через ? ? Якими є , ?12.Сформулювати означення циклічної групи? Навести приклади.13.Що називають порядком елемента групи? Яким є порядок в симетричній групі

підстановок ? Елемента : а) в мультиплікативній групі ; б) в адитивній групі ?

14.Нехай , . Що можна сказати про , якщо ? Довести. 15.Сформулюйте властивості циклічних груп.16.Довести, що будь-яка підгрупа циклічної групи є циклічною.17.Як задати ізоморфізм довільної скінченної циклічної групи порядку на адитивну

групу ? 18.Як задати ізоморфізм довільної нескінченної циклічної групи на адитивну групу

цілих чисел? 19.Навести приклад скінченної групи, що має лише 2 різні підгрупи (порядку більше

2). Чи існує нескінченна група с такою властивістю?20.Чи завжди в групі рівняння має розв’язок? Якщо так, скільки таких

розв’язків є? Довести.21.Чи завжди в групі рівняння має розв’язок? Якщо так, скільки таких

розв’язків є? Довести.Суміжні класи групи за підгрупою

1. Сформулювати означення лівостороннього (правостороннього) суміжного класу групи за підгрупою .

2. Сформулювати властивості суміжних класів.3. Нехай . Довести, що якщо , то .4. Довести, що якщо суміжний клас є підгрупою групи , то .5. Яким є , якщо , ? Довести.6. Нехай . Що можна сказати про , якщо ? Довести.7. Що можна сказати про суміжні класи і , якщо ? Довести.8. Нехай . Чому дорівнює об’єднання всіх можливих суміжних (наприклад,

лівосторонніх) класів за підгрупою ? 9. Сформулюйте теорему Лагранжа та наслідки з неї.10.Нехай . Довести, що кількість лівосторонніх суміжних класів за підгрупою

дорівнює кількості правосторонніх. Як називають цю кількість?11.Що являють собою розклади довільної групи за її одиничною підгрупою і за

самою ?12.Довести, що в скінченній циклічній групі немає двох різних підгруп однакового

індексу. 13.Якою є група простого порядку? Довести.14.Довести, що порядок елемента скінченної групи є дільником порядку групи.

Нормальні підгрупи1. Сформулюйте означення нормальної підгрупи? Чи є нормальними підгрупами

групи її одинична підгрупа і сама група?2. Сформулювати і довести критерій нормальної підгрупи.3. Довести, що якщо , то для довільного .4. Якою є підгрупа індексу 2? Довести.5. Довести, що в абелевій групі кожна підгрупа є нормальною.6. Що називають фактор-групою групи за нормальною підгрупою?7. Нехай – нескінченна група. Чи може фактор-група бути скінченною?

Довести.8. Який елемент називають спряженим до елемента із ?9. Довести, що якщо порядок підгрупи вдвічі менший за порядок групи , то

.10. При яких умовах підгрупа не буде нормальною?11.Нехай , . Довести, що умови: 1) ; і 2) якщо , то

; еквівалентні. Гомоморфізми груп

1. Коли група називається гомоморфною групі ?2. Коли група називається ізоморфною групі ?3. Сформулюйте властивості гомоморфізму двох груп.4. Довести, що при гомоморфізмі образом нейтрального елемента групи

є нейтральний елемент групи .5. Довести, що при гомоморфізмі образом елемента симетричного до в

групі є елемент групи , симетричний до .6. Що називають ядром гомоморфізму двох груп? Чи є ядро гомоморфізму групи

на групу нормальною підгрупою групи ? А групи ? Довести.7. Сформулювати критерій переростання гомоморфізму двох груп в їхній

ізоморфізм? 8. Сформулювати основну теорему гомоморфізму двох груп.9. Нехай . Довести, що фактор-група є гомоморфним образом групи .10.Чи можна задати гомоморфізм адитивної групи на адитивну групу ?

Пояснити. 11.Якою є фактор-група симетричної групи підстановок за її підгрупою ?