342 Capítulo 4: Integração

,.0" .'. -"';:,'.: ,.::.,,',j: ::tI:"';.,~':',:-: ,..-'-;ii.j:\:}f':~'-'" l;:~.'t;:'-

EXERCICIOS 4.3

Débito Cardíaco1. A tabela a seguir dá as concentrações de corante obtidas em

uma detenninação de débito cardíaco por diluição de corantecomo no Exemplo 1. A quantidade de corante injetado nessecaso foi de 5 mg em vez de 5,6 mg. Use retângulos para esti-mar a área sob a curva de concentração de corante e depois es-time o débito cardíaco.do paciente.

Segundos apósa injeção

Concentração do corante(ajustada para a recirculação)

2468

1012141618202224

o0,61,42,73,74,13,82,91,71,00,5O

c

o 2 4 6 8 10 12 14 16Tempo (s)

, 2. A tabela a seguir dá as concentrações de corante obtidas emuma determinação de débito cardíaco como aquela do Exem-plo 1. A quantidade de corante injetado nesse caso foi de10 mg. Marque os pontos em um sistema de coordenadascartesianas e una-os por meio de uma curva lisa. Estime a áreasob a curva e calcule o débito cardíaco dessa estimativa.

Segundosapós ainjeçãot

Concentração decorante

(ajustada para arecirculação)c

Segundosapós ainjeçãot

Concentração decorante

(ajustada paraa recircula~o)c

O2468

1012

.14

OO0,10,62,04,26,37,5

1618202224262830

7,97,86,14,73,52,10,7O

Distância

3. DistânciapercorridaA tabela a seguir mostra a velocidade deuma locomotiva miniatura que se desloca por um trilho du-rante 10 segundos. Estime a distância percorrida pelaminiatura usando 10 subintervalos de comprimento 1 com

(a) valores nas extremidades esquerdas

(b) valores nas extremidades direitas.

4. Distânciapercorridarioacima Você está sentado junto à foz deum rio. Quando a maré sobe, as ondas levam uma garrafa rioacima. Você registra a velocidade da garrafa a cada cincominutos durante uma hora, obtendo os resultados apresentadosna tabela a seguir. Aproximadamente que distância a garrafapercorreu durante aquela hora? Faça uma estimativa usando 12subintervalos de comprimento 5 com

(a) valo~esnas extremidades esquerdas

(b) valores nas extremidades direitas.

Tempo Velocidade Tempo Velocidade

(s) (polegadas/s) (s) (polegadas/s)

O O 6 11I, 12 7 62 22 8 23 10 9 64 5 10 O5 13

Tempo Velocidade Tempo Velocidade(OOn) (mls) (min) (mls)

O 'I 35 1,25 1,2 40 1,0

10 1;7 45 1,815 2,0 50 1,520 1,8 55 1,225 1,6

j 60

O30 1,4

5. Comprimentode uma f!lstradaVocê e um companheiro estãopara dirigir em um trecho sinuoso de uma estrada de terra emum carro cujo velocímetro funciona mas cujo hodômetro (con-tador de quilômetros) está quebrado. Para descobrir a extensãodesse trecho da estrada, você registra a velocidade do carro aintervalos de 10 segundos, com os resultados apresentados natabela a seguir. Estime o comprimento desse percurso usando

(a) o valor na extremidade esquerda de cada subintervalo

(b) o valor na extremidade direita de cada subintervalo.

6. Distânciaa partirdos dadosde velocidadeA tabela a seguir for-nece dados sobre a velocidade de um carro esporte que acelerade O até 142 miJh em 36 segundos (10 milésimos de umahora).

(a) Use retângulos para estimar a distância que o carro percorreudurante os 36 segundos decorridos para atingir 142 nll/h.

(b) Aproximadamente qnantos segundos o carro levou paraatingir o ponto médio do caminho? Qual era a velocidadeaproximada do carro então?

Mi/h

160

140

120

100

80

o. Horas

0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

4.3 Estimando com Somas Finitas 343

Volume

7. Volumede uma esfera (Continuação do Exemplo 3) Suponhaque aproximamos o cálculo do volume V da esfera do Exem-plo 3 dividindoo intervalo-4 ~ x ~ 4 emquatrosubinterva-los de comprimento2 e usando cilindroscujas bases são assecções transversais que passam pela extremidade esquerda decada subintervalo. (Como ocorreu no Exemplo 3, o cilindromais à esquerda terá raio zero.)

(a) Detennine a soma 84dos volumes dos cilindros.

(b) Expresse IV - 841como porcentagem de V arredondandopara valores inteiros.

8. Volumede uma esferasólida Para estimar o volume V de umaesfera sólida de raio 5, você divide seu diâmetro em cinco su-bintervalo.s de comprimento 2. Depois você secciona a esferacom planos perpendiculares ao diâmetro e que passam pela ex-tremidade esquerda de cada subintervalo e soma os volumesdos cilindros de altura 2 e com bases nas secções transversaisdeterminadas por esses planos.

(a) Determine a soma 85dos volumes dos cilindros.

(b) Expresse IV - 851como porcentagem de V arredondandopara valores inteiros.

9. Volumede um hemisfériosólido Para estimar o volume V de umhemisfério sólido de raio 4, imagine que seu eixo de simetriaseja o intervalo [O, 4] no eixo x. Divida [O,4] em oito subinter-valos de igual comprimento e faça uma aproximação para osólido usando cilindros com bases nas secções transversais cir-cularesdo hemisfério,perpendicularesao eixox equepassampela extremidade esquerda de cada subintervalo. (Veja o perfillogo abaixo.)

.ta) EscrevendoparaaprenderDeterminea soma88 dos volu-- .mes dos cil~ndros.Você espera que 88superestime ou su-

bestime V? Justifique sua resposta.

(b) Expresse IV - 881como porcentagem de V arredondandopara valores inteiros.

y

y = ~16 - x2

x

10. VolumedeumhemisfériosólidoRepitao Exercício9 usandoci-lindros com bases em secçÕestransversais nas extremidades àdireita dos subintervalos.

11. Volumede água em um reservatórioColoca-se água em um re-servatório com formato de hemisfério de raio 8 m até o nívelde4m.

Velocidade Velocidade

Tempo (convertida para pés/s) Tempo (convertida para pésls)

(s) (30 mi/h = 44 pés/s) (s) (30 mi/h = 44 pésls)

O O ....70 15

10 44 80 22

20 15 90 35

30 35 100 4440 30 110 30

50 44 120 35

60 35

Tempo Velocidade Tempo Velocidade

(h) (mllhas/h) (h) (milhas/h)

0,0 O 0,006 116

0,001. 40 0,007 125

0:002 62 0,008 132

0,003 82 0,009 137

0,004 96 0,010 142

0,005 108

344 Capítulo4: Integração

(a) Estime S o volumt1 de água fazendo uma aproximaçãocom oito cilindros sólidos circunscritos.

(b) Como você verá na Seção 4.5, Exercício 43, o volume deágua é V = 32077"/3m3. Determine o erro IV - S Icomouma porcentagem de V arredondando para o inteiro maispróximo.

12. Volumede águaem umapiscina Uma piscina retangular tem 30pés de comprimento e 50 pés de largura. A tabela a seguir mos-tra a profundidade h(x) da água de um lado ao outro com inte~-valos de 5 pés. Estime o volume de água da piscina usando

(a) o valor na extremidade esquerda de h

(b) o valor na extremidade direita de h.

13. VolumedeumconeO 'nariz' deuIE-fogueteé um parabolóideobtidogirando-sea curvay = V'x, O$ X $ 5, emtomo doeixo x, sendo x medido em pés. Estime o volume V desse conedividindo o intervalo fechado [O,5] em cinco subintervalos deigual comprimento, seccionando o cone com planos perpen-diculares ao eixo x que passam pela extremidade esquerda decada subintervalo; além disso, construa cilindros de altura 1com bases nas secções transversais que passam por esses pon-tos (veja a figura a seguir).

y

o~X

(a) EscrevendoparaaprenderDeterminea soma Ss dos volu-mes dos cilindros. Você espera que Ss superestime ou su-bestime V? Justifique sua resposta.

(b) Como você verá na Seção 4.5, Exercício 44, o volume do'nariz' é V = 2571'/2 pés3. Expresse IV - ssl como umaporcentagem de V arredondando para o inteiro maispróximo.

14. Volumedeum'nariz'deconeRepitao Exercício13usandocilin-dros com bases nas secções transversais que passam pela ext-remidade direita de cada subintervalo.

Veioddade e Distância

\~ Quedalivree resistênciadoar Um objeto é solto de um he1icóp~' / teroque se encontraparadono ar. O objetocai cada vezmais

rápido, mas sua aceleração (taxa de variação da velocidade) di-minui com o passar do tempo devido à resistência do ar. Aaceleração é medida em pés por segundo ao quadrado e regis-trada a cada segundo durante 5 segundos após o lançamento,como se pode ver na tabela abaixo.

a

O

32,00

52,63

1

19,41

2

11,77

3

7,14

4

4,33

(a) Superestime a velocidade quando t ='5.

(b) Subestime a velocidade quando t = 5.

(c) Superestime a altura da queda quando t = 3.

16. Distânciapej(:orridapor umpiOjétifUm objeto é atirado do níveldo mar para cima com uma velocidade inicial de 400 pés/s.

(a) Admitindo-se que a gravidade é a única força que atuasobre o objeto, superestime sua velocidade depois de 5 se-gundos. Use g = 32 pés/s2 para a constante gravitacional.

(b) Subestime a altura atingida depois de 5 segundos.

\}~~:rvt' I\j~,i;~~.f} di? Iw..-:.~ 1=q';'H"'~nt!'w>~'V~ .".'_,..011 '<.lI"" "",.1.<..] U ".~~~u..V

Nos exercícios 17-20, use uma soma tinita para estimar o valormédio de f no intervalo dado, dividindo o intervalo em quatrosubintervalos de igual comprimento e avaliando f nos pontos mé-dios dos subintervalos.

(~f(x) = ~ em [O,2]

(!9~'j(t) = (1/2) + sen2 7Tf

18. f(x) = l/x em [1,9]

em [O,2]

yy = ! + sen 2 11:12

/'='\ .ir.,.f ,', .,I' \ /.='

1,5

1

0,5 '\...

o 2

( 71't

)4

,20. f(t) = 1 - cos 4 em [0,4]

yy = 1 - (cos 11:1)

4

/=~-- \ 4I '\

,/ ...

/ \/? I I \I \

o 2 3 4

Controle da PohJicão~_. ~

, 21.J Poluiçãoda água Está vazando combustível de um petroleiro.,' avariado no mar. A tabela a seguir mostra que a avaria está

piorando, pois o vazamento aumenta a cada hora.

PosiçãoProfundidade I Posição

Profundidadex pés h(x)pés j xpés h(x)pésI

O 6,0 I 30 11,5

5 8,2 i 35 11,910 9,1

I

40 12,3

15 9,9j

45 12,7

20 10,5I

50 13,0

25 11,0 I1

Tempo (horas) ti

Vazamento (galões/h)

Tempo (horas) 5

Vazamento (galões/h) 265 7:0 I

(a) Superestime e subestime a quantidade total de petróleoque vazou 5 horas depois do acidente.

(b) Repita a parte (a) para estimar a quantidade total de petró-leo que vazou'8 horas depois do acidente.

(c) O tanque continua vazando 720 galões/h depois das pri-meiras 8 horas. Se o petroleiro originalmente continha25.000 galões de combustível, aproximadamente quantashoras mais irão decorrer, na hipótese pessimista, até quetodo o petróleo vaze? E na hipótese otimista?

22. Poluiçãodo ar U~a fábrica obtém eletricidade queimandoóleo. Os poluentes produzidos como resultado da combustãosão removidos por limpadores colocados nas chaminés. Com otempo, o mecanismo de remoção torna-se menos eficiente e nofinal, quando a quantidade de poluentes lançada excede os pa-râmetros governamentais, os limpadores devem ser troéados.Conforme os registros a seguir, medições são feitas no fim decada mês para determinar a taxa com que os pqluentes são lan-çados na atmosfera.

Mês JuI. Set. Out.Ago. Nov. Dez.

PoluenteTaxa residual 0,63(toneladas/dia)

0,70 0,81 0,85 0,89 0,95

(a) Admitindo-se um mês com 30 dias e que novos limpado-res permitam lançar apenas 0,05 ton/dia, faça uma su-perestimativa da quantidade total de poluentes lançada nofim de junho. Qual é a subestimativa?

(b) Na melhor das hipóteses, quando aproximadamente terãosido lançados 125 toneladas de poluentes na atmosfera?

4.4 Somasde Riemanne Integrais Definidas 345

ff.\re~~

ir23>;Areade W7i circulo Inscreva um polígono regular de. n lados

\ " " ./dentro de um círculo de raio 1 e calcule a área do polígonopara os valores de n a seguir.

(a) 4 (quadrado) (b) 8 (octógono) (c) 16

(d) Compare as áreas obtidas nos itens (a), (b) e (c) com aárea do círculo.

24. (Continuação do Exercício 23)

(a) Inscreva um polígono regular de n lados dentro de um cír-culo de raio 1 e calcule a área de um dos n triângulos con-gruentes formados pelos raios que cruzam os vértices dopolígono.

(b) Calcule o limite da área do polígono inscrito quandon~ 00.

(c) Repita os cálculos feitos nas partes (a) e (b) para umcír-culo de raio r.

<Kk~~~

USANDO O COMPUTADOR

Estirnfmdü (, \/81m'

Nos exercícios 25-28, use um SAC para executar os passos aseguir.

(a) Faça um gráfico das funções ao longo do intervalo dado.

(b) Divida o intervalo em n = 100, 200 e 1.000 subintervalosde igual comprimento e calcule a função no ponto médiode cada intervalo.

(c) Calcule o valor médio dos valores da função gerados naparte (b).

(d) Resolva a equação f(x) = (valor médio) para x usando ovalor médio calculado na parte (c) para n = 1.000 par-tições.

25. f(x) = sen x em

26. f(x) = sen2x em

27. f(x) = x sen f em

[O, 1T]

[O, 1T]

[*,l7J

28. !(x) ~ x sen' k~m [*,17J

Mês Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun.

PoluenteTaxa residual 0,20 0,25 0,27 0,34 0,45 0,52(toneladas/dia)