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CE2 ESTABILIDADE DAS CONSTRUES IITema: Anlise Matricial de Estruturas
Tpico: Elemento de Trelia Plana
FORMULAO TRELIA PLANA
MODELO 01
Para a trelia hiperesttica, indicada na Figura 1a, determinar por Anlise Matricial de Estruturas:
a) o deslocamento vertical do ponto A e o deslocamento horizontal do ponto B;b) a fora reativa horizontal no apoio A e a fora reativa vertical no apoio B ;c) os esforos normais nas barras.
da So dados o mdulo de elasticidade do ao E= 205 GPa e seo transversal composta por um tubo
circular com dietro externo D= 20 mm e espessura da parede do tubo t=2 mm. So fornecidas as
matrizes de rigidez do elemento da trelia (Figura 1b). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).
Figura 1aTrelia hiperesttica e matriz de rotao (global/local)
Barra AB
Dados:E=205x106 kN/m2;A=113,04x10-6m2;L= 3 m; (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Barra AC
Dados:E=205x106 kN/m2;A=113,04x10-6m2;L= 5,1 m; (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Barra BC
Dados:E=205x106 kN/m2;A=113,04x10-6m2;L= 2,7 m; (Unidades: kN, m, kN/m2=kPa)
Figura 1bMatrizes de rigidez dos elementos da trelia plana no sistema global
cossen
sencos
cossen
sencos
T
0000
00
00
ij
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CE2 ESTABILIDADE DAS CONSTRUES IITema: Anlise Matricial de Estruturas
Tpico: Elemento de Trelia Plana
MODELO 02
Para a trelia esquematizada na Figura 2a, cujas barras so formadas por cantoneiras duplas de ao
laminado do tipo L 102x76x9,5, determinar por Anlise Matricial de Estruturas:
a) o deslocamento vertical do ponto F;b) a fora normal na barra EF.
Dados: mdulo de elasticidade do ao estrutural E 205000 N/mm2, rea da seo transversal composta
A 3201,5 mm2. So fornecidos os deslocamentos nodais (Figura 2b) e as matrizes de rigidez dos
elementos de trelia plana no sistema global (Figura 2c). Unidades consistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).
Figura 2aTrelia isosttica plana
Figura 2bGraus de liberdade e deslocamentos nodais da trelia isosttica plana (em mm)
R1 R2 U3 R3
U1 U2
U4 U5
U6 U7 U8 U9
__ __
__ __
__ __
__ __
__ __
A BC
D
E F
__ __
9
8
7
6
5
4
3
2
1
U
U
768,8U
829,1U
939,6U
060,2U
463,0U
660,1U
014,2U
831,0U
U
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Tpico: Elemento de Trelia Plana
Figura 2cMatrizes de rigidez dos elementos de trelia plana no sistema global
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Tpico: Elemento de Trelia Plana
MODELO 03
Para a estrutura treliada, esquematizada na Figura 3a, determinar por Anlise Matricial de Estruturas a
fora normal na barra BC, sabendo-se que U1=0,916 U2. So dados: modulo de elasticidade das barras de
aoE= 205000 MPa (=N/mm2), rea da seo transversal tubularA= 706,86 mm2. Tambm fornecida a
matriz de rigidez genrica do elemento de trelia plana no sistema global (Figura 3b). Unidadesconsistentes: N, mm, MPa (=N/mm2).
Figura 3aTrelia isosttica plana
Figura 3bMatriz de rigidez genrica do elemento de trelia plana no sistema global
U2
4422
22
22
22
ij
coscos
coscoscoscos
coscos
coscoscoscos
xsensensensen
sensen
sensensensen
sensen
L
EA
K
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Tpico: Elemento de Trelia Plana
MODELO 04
Os deslocamentos da trelia isosttica plana, indicada na Figura 4a, so apresentados na Figura 4c, com
base na numerao dos graus de liberdade indicados na Figura 4b. A partir destas informaes,
determinar por Anlise Matricial de Estruturas:a) deslocamento horizontal do APOIO E (indicar o sentido);
b) reao vertical do APOIO A (indicar o sentido);c) fora normal da BARRA BH (trao ou compresso?).
Utilizar as unidades consistentes: kN (kilonewton), mm (milmetro) e GPa (gigapascal). Operar com 03(trs) casas decimais. fornecida a matriz de rigidez global de uma barra genrica ij dada por:
44
22
22
22
22
ij
sensen
cos
sensen
cos
sencoscossencoscos
sensencossensencos
sencoscossencoscos
x
EA
K
Figura 4aTrelia isosttica plana
R1 R2
GRAU DELIBERDADE
U1U2U3U4U5U6
TRANSLAO(mm)2,070
14,680
MATERIAL:LIGA DE AOE=205 GPa
SEO TRANSVERSAL:TUBULAR
t=5 mmD=50 mm
20 kN
20 kN
20 kN
U1 U2 U3 U4 U5 U6
U7 R3
U8 U9 U10 U11
U12 U13
GRAU DELIBERDADE
U8U9
U10U11U12U13
TRANSLAO(mm)
2,89814,440
3,72714,680
4,55813,740
1,23913,740
2,89814,440
Tabela 1 Deslocamentos da trelia isosttica, propriedades geomtricas da seo transversal
Figura 4b Graus de liberdade da trelia isosttica plana
2 m
4 m 1 m 3 m 4 m1 m3 m
2 m20 kN
20 kN
20 kN
(B) (D)
(E)(A)
(F)
(H)
(G)
(C)-
Figura 4c Deslocamentos nodais da trelia isosttica plana
e propriedades fsicas e geomtricas das barras
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Tpico: Elemento de Trelia Plana
MODELO 05
Para a trelia esquematizada na Figura 5a, utilizando-se a Anlise Matricial de Estruturas foram obtidosos deslocamentos apresentados na Figura 5b. A partir destes dados, determinar por Anlise Matricial de
Estruturas:a. a reao horizontal do APOIO D (sentido);
b. a reao vertical do APOIO D (sentido);c. a fora normal da BARRA AB (trao ou compresso?).
Utilizar as unidades consistentes: kN (kilonewton), mm (milmetro) e GPa (gigapascal). Operar com 03(trs) casas decimais. A matriz de rigidez global de uma barra genrica ij dada por:
4422
22
22
22
ij
sensencossensencos
sencoscossencoscos
sensencossensencos
sencoscossencoscos
x
EA
K
Figura 3 Trelia de ao: geometria, dimenses, material e seo transversal
Figura 5b Graus de liberdade ativos (U) e impedidos (R) e deslocamentos
nodais obtidos por Anlise Matricial de Estruturas
3 m
3 m 3 m
30
kN
40 kN
60
kN
(A) (B) (C)X
(D) (E)
MATERIAL:LIGA DE AOE=200 GPa
SEO TRANSVERSAL:QUADRADA (MACIA)
30 mm30 mm
30
kN
40 kN60
kN
R1 U1
U2 U3 U4 U5
U6 R4
R2 R3
GRAU DELIBERDADE
U1
U2
U3
U4
U5
U6
Y
X
TRANSLAO(mm)
0,207
1,667
0,500
6,955
0,793
3,333
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Tpico: Elemento de Trelia Plana
MODELO 06
Os deslocamentos nodais, apresentados na tabela abaixo, referentes trelia hiperesttica esquematizada
na Figura 6a, foram obtidos por Anlise Matricial de Estruturas. A partir destes dados, pede-se os
esforos nas Barras DE e AE. Trabalhar com as unidades consistentes: kN (kilonewton), mm (milmetro)e GPa (gigapascal). Operar com 03 (trs) casas decimais. Dados: mdulo de elasticidade E= 200 GPa e
rea da seo transversal A= 100 mm2.Tambm fornecida a matriz de rigidez genrica do elemento de
trelia plana no sistema global (Figura 6b).
Tabela 1 Deslocamentos nodais da trelia hiperesttica
DESLOCAMENTO U1 U2 U4 U5 U6 U7
VALOR (mm) 3,214 1,432 5,639 0,2855 5,639 1,432
Figura 6a Trelia hiperesttica (a) esquema esttico; (b) graus de liberdade ativos e impedidos
4422
22
22
22
ij
coscos
coscoscoscos
coscos
coscoscoscos
xsensensensen
sensen
sensensensen
sensen
L
EA
K
Figura 6bMatriz de rigidez genrica do elemento de trelia plana no sistema global
R4 U8
R1 R2U1 U2
U3 R3
U4 U5
U6 U7
CBA
ED
F
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Tpico: Elemento de Trelia Plana
MODELO 07
Determinar, por Anlise Matricial de Estruturas, o deslocamento vertical do Ponto C e a reao horizontal
no Ponto A da estrutura simtrica formada pela associao de cabos, mostrada na Figura 7a. Dados:
mdulo de elasticidade do alumnio E= 70 GPa e seo transversal circular macia com dimetroD = 25,4 mm.So fornecidas as matrizes de rigidez dos elementos de cabo no sistema global (Figura 7b).
Figura 7a Estrutura de cabos
Barra ACE= 70000 N/mm2;A= 506,45 mm2;L= 4472,136 mm; (Unidades: N, mm, N/mm2=MPa)
ACK
Barra CB
E= 70000 N/mm2;A= 506,45 mm2;L= 4472,136 mm; (Unidades: N, mm, N/mm2=MPa)
CBK
Figura 7bMatrizes de rigidez dos elementos de cabo no sistema global
(A) (B)
(C )
100 kN
4 m
4 m
1585,43 -3170,87 -1585,43 3170,87
-3170,87 6341,76 3170,87 -6341,76
-1585,43 3170,87 1585,43 -3170,87
3170,87 -6341,76 -3170,87 6341,76
1585,43 3170,87 -1585,43 -3170,87
3170,87 6341,76 -3170,87 -6341,76
-1585,43 -3170,87 1585,43 3170,87
-3170,87 -6341,76 3170,87 6341,76