01. Análise Vetorial

ELETROMAGNETISMO - PARTE 1 - Edio 01.2011

Eduardo Fontana, PhD

Professor Titular

Departamento de Eletrnica e Sistemas

UFPE

Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana

Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana

Captulo 1 - Anlise Vetorial 1.1 Campo Vetorial e Escalar

1.2 lgebra Vetorial

1.2.1 Soma

1.2.2 Produto

Produto escalar

Produto vetorial

1.2.3 Decomposio de vetores

1.3. Alguns sistemas de coordenadas

1.3.1 Coordenadas cartesianas

1.3.2 Coordenadas cilndricas

1.3.3 Coordenadas esfricas

1.4. Transformao de coordenadas e vetores

1.4.1 Cartesianas-Cilndricas

1.4.2 Cilndricas-Esfricas

1.4.3 Cartesianas-Esfricas

1.5. Integrais

1.5.1 Integral de linha de uma funo

1.5.2 Integral de linha de um vetor

1.5.3 Integral de superfcie

1.5.4 Integral de volume

1.6. Operaes diferenciais com vetores

1.6.1 Gradiente

1.6.2 Operador Nabla

1.6.3 Divergente

1.6.4 Rotacional

1.7. Identidades vetoriais

1.8. Alguns teoremas da anlise vetorial

1.8.1 Teorema de Gauss

1.8.2 Teorema de Stokes

1.8.3 Identidades de Green

1.8.4 Teorema de Helmholtz

Problemas



1.1 Campo Vetorial e Escalar

O eletromagnetismo lida essencialmente com grandezas escalares e

vetoriais. Por grandeza escalar, entende-se uma grandeza fsica que possa

ser quantificada por um nico parmetro, como por exemplo, a massa de um

objeto ou a carga de um corpo carregado. Uma grandeza vetorial, por outro

lado, requer parmetros adicionais para uma mais completa especificao,

como por exemplo, magnitude, linha de ao e sentido. Esse o caso, por

exemplo, da velocidade de um objeto em movimento. Um outro conceito que

surge no estudo de eletromagnetismo o de campo. Na maioria das situaes

de interesse o campo uma forma conveniente de representao do efeito

produzido por uma fonte fsica em cada ponto de espao, a cada instante de

tempo. O campo ser escalar ou vetorial, se a grandeza fsica a ele associada

for de natureza escalar ou vetorial, respectivamente.

O estudo detalhado do eletromagnetismo requer familiaridade com as

propriedades de vetores, escalares e de campos escalares e vetoriais. Algumas

destas propriedades so examinadas a seguir.

1.2 lgebra Vetorial

Um vetor representado geometricamente por um segmento de reta

orientado conforme ilustrado na Fig. 1.1, onde o comprimento da seta

proporcional a magnitude do vetor, e a orientao da seta indica a direo e

sentido do vetor.

Vetores satisfazem algumas propriedades quanto a soma e produto, descritas a

seguir:

1.2.1 Soma

A soma de vetores realizada geometricamente, a partir do

deslocamento paralelo de um dos vetores at a extremidade do outro,

conforme ilustrado na Fig.1.2. O vetor resultante se estende na direo da

diagonal do paralelogramo formado pelos dois vetores. A partir dessa

definio, a soma de vetores satisfaz as propriedades:

Comutatividade:

Associatividade:



1.2.2 Produto

Outro tipo de operao entre vetores o produto, que pode resultar em

uma grandeza escalar ou vetorial.

Produto escalar

O produto escalar entre dois vetores e definido por

(1.1)

onde e so as magnitudes dos vetores e , respectivamente, e o

menor dos ngulos entre eles. A partir dessa definio, a magnitude de um

vetor pode ser obtida da relao

A operao produto escalar, satisfaz algumas propriedades, tais como:

Comutatividade:

Distributividade:

Produto vetorial

Este tipo de produto gera como resultado um vetor. Define-se esta

operao pela relao

(1.2) onde, conforme ilustrado na Fig.1.3, o menor dos ngulos entre os

vetores , um vetor de magnitude unitria, perpendicular ao plano que

contm os vetores , e cujo sentido aquele do polegar, quando simula-se

com a mo direita a rotao do vetor em direo ao vetor .

Fig.1.3 Disposio dos vetores na operao produto vetorial.

Algumas das propriedades satisfeitas pelo produto vetorial seguem

diretamente da definio e das propriedades de soma de vetores. Duas dessas

so:

Anti-comutatividade:

Distributividade:



1.2.3 Decomposio de vetores

No espao tridimensional, um vetor arbitrrio pode ser especificado

em termos de trs vetores ortogonais. Quando esses vetores possuem

magnitude unitria eles formam uma base ortonormal no espao

tridimensional. Uma base ortonormal de vetores 1 , 2 e 3 satisfaz as

seguintes propriedades:

A base ortonormal tambm uma base cclica de vetores se

,

onde:

Uma seqncia cclica a partir de 123 gera como resultado as

combinaes, 231, 312, etc. Uma seqncia acclica obtida trocando-se um

dos ndices da seqncia cclica, como por exemplo, a seqncia 213.

A decomposio de um vetor em uma base cclica ortonormal

requer a determinao dos coeficientes , tal que

.

Os coeficientes da decomposio so denominados de projees do

vetor nos vetores de base, e essas projees so obtidas simplesmente a

partir da operao produto escalar com cada vetor de base. Por exemplo, a

projeo A1 obtida do produto escalar

Realizando-se a mesma operao com os outros vetores de base,

obtm-se

Utilizando-se a decomposio de vetores em uma base cclica

ortonormal, as operaes de soma, produto escalar e produto vetorial entre

dois vetores podem ser representadas respectivamente por,

Para o produto vetorial, a soma resulta em

(1.3)

que tambm pode ser posta na forma de um determinante,

(1.4)



Pode-se simplificar a notao de somatrio utilizada nas vrias operaes

descritas anteriormente, convencionando-se que a ocorrncia de ndices

repetidos no segundo membro dessas operaes indique somatrio no ndice

correspondente. Por exemplo, na operao produto escalar, pode-se

representar o resultado na forma simplificada

(1.

5)

onde a dupla ocorrncia do ndice i no segundo membro da Eq.(1.5)

indica . No caso do produto vetorial a representao simplificada da

forma

(1.6)

onde a dupla ocorrncia dos ndices i, j e k, no segundo membro indica a soma

tripla .

1.3. Alguns sistemas de coordenadas

Em problemas de teoria de campo, a escolha de um sistema de

coordenadas adequado fundamental para obteno de representaes

simplificadas dos campos envolvidos. O sistema mais adequado geralmente

determinado levando-se em conta a geometria da regio de existncia dos

campos. Vrios sistemas de coordenadas podem ser definidos para atender

uma larga gama de situaes. Os trs sistemas de coordenadas mais comuns e

freqentemente utilizados no estudo de eletromagnetismo sero tratados no

texto, e esses so descritos a seguir.

1.3.1 Coordenadas cartesianas

Neste sistema, as coordenadas de um ponto no espao so definidas a

partir de trs eixos x, y , z, perpendiculares aos planos x = 0, y = 0 e z

= 0, respectivamente, conforme ilustrado na Fig.1.4. Qualquer vetor neste

sistema de coordenadas pode ser representado como combinao linear dos

trs vetores unitrios,1=x, 2=y, 3=z, paralelos aos

eixos x, y, z, respectivamente. A origem do sistema cartesiano a interseo

dos planos x=0 , y=0 e z=0. A localizao de um ponto no espao pode ser

representada pelo vetor posio

tendo uma das extremidades na origem do sistema, conforme ilustrado na

Fig.1.4. A distncia do ponto P a origem obtida de,

Fig.1.4 Representao de um ponto e vetores de base no sistema de

coordenadas cartesianas.



1.3.2 Coordenadas cilndricas

Neste sistema as coordenadas de um ponto no espao so

representadas pelos parmetros:

r = distncia at a origem da projeo do ponto no plano xy.

= ngulo azimutal, que representa o desvio angular do vetor projeo no plano xy relativamente ao eixo x.

z = coordenada axial do ponto.

A base de vetores neste sistema formada pelos vetores unitrios

ortogonais as superfcies,

r = constante, que representa a equao de uma superfcie cilndrica,

= constante, que representa a equao de um semi-plano,

z = constante, que representa a equao de um plano.

Essas superfcies e os vetores unitrios correspondentes,

, esto representados na Fig.1.5. importante observar que a seqncia de

vetores unitrios da base deste sistema, est escrita na forma de uma

seqncia cclica, conforme definido anteriormente. Notemos tambm que

diferentemente do que ocorre com os vetores de base do sistema de

coordenadas cartesianas, neste sistema os dois primeiros vetores de base

variam com a coordenada .

Fig.1.5 Vetores de base e superfcies coordenadas do sistema de coordenadas

cilndricas.

1.3.3 Coordenadas esfricas

As coordenadas de um ponto neste sistema de coordenadas so

representadas pelos parmetros ilustrados na Fig.1.6, a saber:

R = distncia do ponto origem,

= ngulo polar, que representa o desvio angular do vetor posio em relao ao eixo z,

= ngulo azimutal, comum ao sistema de coordenadas cilndricas.

A base deste sistema formada pelos vetores,

, que so perpendiculares as superfcies,

R = constante , que representa a superfcie de uma esfera.

= constante , que representa a superfcie de um cone. = constante , que representa a superfcie de um semi-plano.

O espao tridimensional gerado pelas condies,

e . As superfcies coordenadas, bem como os vetores de base esto

ilustrados na Fig. 1.6. Neste sistema de coordenadas, o vetor posio

representado por .

Fig.1.6 Base de vetores e superfcies coordenadas do sistema de coordenadas

esfricas.



1.4. Transformao de coordenadas e vetores

1.4.1 Cartesianas-Cilndricas

Existem situaes em que torna-se necessria a transformao de

vetores e coordenadas de um sistema de coordenadas para outro. Considere-

se inicialmente um vetor representado no sistema de coordenadas

cartesianas. Qual seria a representao desse vetor, por exemplo, no sistema

de coordenadas cilndricas?

Essa questo pode ser resolvida com o emprego das propriedades

bsicas de vetores. Para isso, seja da forma

O objetivo determinar as componentes de forma que o vetor

assuma a representao

As componentes incgnitas podem ser obtidas pelo clculo das

projees

Os produtos escalares entre vetores unitrios nessas ltimas expresses,

so obtidos com base na Fig.1.7, resultando em,

portanto,



Esse sistema de equaes lineares relacionando as projees no

sistema de coordenadas cilndricas quelas correspondentes ao sistema de

coordenadas cartesianas pode ser posto na forma matricial

e essa forma matricial determina a lei de transformao de vetores entre os

dois sistemas.

Pode-se representar a lei de transformao atravs da equao matricial

(1.7)

onde,

e

Nas Eqs.(1.7) e (1.8), foi introduzida a representao matricial de

vetores em um sistema de coordenadas. Com se pode observar na Fig.1.7, o

efeito da matriz produzir uma rotao do sistema xy, de radianos no

sentido anti-horrio, em torno do eixo z, A matriz possui um determinante

unitrio e sua inversa igual a sua transposta. Essa matriz portanto uma

matriz unitria e satisfaz a relao

onde

a matriz identidade.

Matrizes de transformao resultantes de rotao ou translao de

eixos so unitrias pois essas transformaes no alteram a magnitude de um

vetor ou mesmo a orientao relativa entre vetores. Para demonstrao dessa

afirmativa, seja a operao produto escalar entre vetores, que na representao

matricial assume a forma

(1.9)

Transformaes de rotao ou translao de eixos no alteram a

magnitude e orientao relativa de vetores e se tal transformao for

representada pela matriz , tal que

(1.10)

o produto escalar no novo sistema de coordenadas pode tambm ser escrito

como,

(1.11)

Igualando-se as Eqs. (1.9) e (1.11), resulta,

e essa ltima relao s se verifica se a matriz satisfizer a propriedade



1.4.2 Cilndricas-Esfricas

Seguindo o procedimento descrito na seo anterior, considere-se

agora o vetor expresso em coordenadas cilndricas e a obteno de sua

representao em coordenadas esfricas. Seja portanto,

e quer-se determinar a representao correspondente em coordenadas esfricas

Seguindo as etapas j descritas na seo anterior, e com base na Fig.

1.8, obtm-se

que pode ser posto na forma,

com,

(1.12)

A transformao inversa obtida de,

Fig.1.8 Disposio relativa dos vetores de base nos sistemas de coordenadas

cilndrica e esfrica.

1.4.3 Cartesianas-Esfricas

Essa transformao obtida pela aplicao sucessiva das

transformaes anteriores, ou seja,

e a transformao inversa simplesmente,



1.5. Integrais

Em eletromagnetismo operaes de integrao e diferenciao so

geralmente efetuadas no espao tridimensional e envolvem campos escalares e

vetoriais. Essas operaes so revisadas a seguir.

1.5.1 Integral de linha de uma funo

Seja f(x,y,z) uma funo definida em uma regio do espao

tridimensional e uma curva ou caminho Ccontida nessa regio. A equao de

uma curva no espao tridimensional obtida a partir da interseo de duas

superfcies, cada uma representada por uma relao entre coordenadas do tipo, S(x,y,z) = 0 onde S uma funo arbitrria das variveis x , y e z. Conseqentemente, uma

curva no espao tridimensional corresponde a soluo do sistema de equaes

Define-se a integral de linha de f sobre C, com respeito a varivel x,

pela relao

onde o subscrito C sob o sinal de integrao implica que a funo

escalar f(x,y,z) calculada sobre os pontos compondo o caminho C, resultando

em uma funo fC(x,y,z). Portanto, para efetuar-se esta integrao necessria

a utilizao do sistema de equaes definindo a curva C, o que implica

Definies semelhantes se aplicam a integrais de linha com respeito as

variveis y e z ou com respeito a variveis compondo sistemas de coordenadas

curvilneas em geral. Exemplo 1.1: Seja a funo f(x,y,z)=2x+y+z2 e o caminho C, limitado pelos

pontos (0,0,0) e (1,1,1) e definido pela interseo entre os planos,

Para calcular a integral de f sobre C com respeito a varivel y, utilizam-

se as duas equaes anteriores para obter,

e portanto

A integral de linha com respeito a uma das coordenadas do caminho

apenas um caso particular da situao mais geral envolvendo a integrao com

respeito ao deslocamento ao longo do caminho. Seja luma varivel que mede

o comprimento ao longo da curva C. A integral de linha de f sobre C com

respeito a varivel l definida pela relao,



possvel reduzir-se essa ltima expresso para uma integral com

respeito a uma das variveis do sistema de coordenadas considerado, no caso,

o sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, seja o vetor tendo

magnitude dl e direo tangente a curva C. Sua decomposio em

coordenadas cartesianas dada por

Para efetuar-se o clculo da integral com respeito a varivel x, por

exemplo, calcula-se o efeito de um pequeno incremento dx sobre as

coordenadas y e z da curva C, resultando em,

portanto,

e a integrao com respeito a varivel l reduz-se a,

No clculo dessa ltima integral, necessrio expressar-se as

variveis y e z em termos da varivel x, o que equivale ao clculo da

funo f sobre a curva C.



1.5.2 Integral de linha de um vetor

A funo escalar no integrando da integral de linha pode representar

uma das componentes de um campo vetorial . Seja um caminho C e

um vetor tangente a curva C em cada um de seus pontos. Define-se a

integral de linha da projeo de sobre C por,

Dados dl e , define-se o vetor deslocamento diferencial ao longo da

curva por, , e a ltima integral pode ser posta na forma,

Para um caminho formando uma curva fechada, denota-se

Essa ltima integral tambm denominada de circulao de

sobre C.

A decomposio do vetor deslocamento diferencial nos sistemas de

coordenadas cilndrica e esfrica obtida com base nas Figs. 1.9a e 1.9b e a

integral de linha de um vetor, nos trs sistemas de coordenadas

considerados, pode ser expressa como a soma de integrais com respeito a uma

nica varivel conforme delineado a seguir,

Cartesianas

Cilndricas

Esfricas



(a)

(b) Fig.1.9 (a) Projees no plano xy do vetor deslocamento diferencial no

sistema de coordenadas cilndricas. (b) Componentes do vetor deslocamento

diferencial no sistema de coordenadas esfricas.

Exemplo 1.2: Para o caminho fechado C mostrado na Fig.1.10 calcular a

circulao do campo vetorial, em coordenadas cilndricas.

Primeiramente transforma-se utilizando-se a matriz de

transformao dada pela Eq.(1.8)

onde fez-se uso das transformaes de

coordenadas,

Portanto em coordenadas cilndricas,

Com base na Fig.1.10, as equaes para os caminhos 1, 2 e 3 em

coordenadas cilndricas so

portanto

Sobre os trs caminhos, tem-se

resultando em



1.5.3 Integral de superfcie

A integral de uma funo sobre uma superfcie uma extenso do caso

unidimensional. Seja S uma superfcie e f(x,y,z) uma funo

escalar. Seja fs(x,y,z) o valor dessa funo calculada sobre pontos da

superfcie. Define-se a integral de superfcie de f como sendo

onde dS um elemento diferencial de rea sobre a superfcie S. Se fs a

projeo de um campo vetorial ao longo da direo normal

superfcie, denota-se,

como sendo o fluxo do vetor atravs de S, onde o vetor unitrio

normal a superfcie em cada ponto. Se a superfcie fechada, e o vetor

aponta para fora do volume limitado por S, denota-se,

como sendo o fluxo lquido de para fora da regio limitada por S. Note-se

que se o vetor for tangente superfcie em todos os pontos, ento o fluxo

lquido nulo. Ser mostrado adiante que o clculo do fluxo de um campo

vetorial para fora de um volume limitado por uma superfcie S auxilia na

determinao de fontes de campo no interior do volume considerado.

conveniente incorporar-se o carter vetorial do vetor normal

superfcie diretamente no elemento diferencial de rea dS. Para isso, define-se

um vetor rea diferencial em cada ponto da superfcie por,

O vetor , apontando em um dado sentido, tem magnitude igual ao

produto de comprimentos diferenciais ao longo da superfcie, e

conseqentemente as representaes desse vetor nos trs sistemas de

coordenadas aqui considerados so dadas por:

Cartesianas:

Cilndricas:

Esfricas:



1.5.4 Integral de volume

A integral de uma funo ou vetor em um volume ocorre

freqentemente no estudo de Eletromagnetismo e em outras reas da Fsica.

Seja f uma funo escalar e um campo vetorial, V um volume no espao

tridimensional e dV um volume diferencial. Denotam-se

como sendo as integrais de volume das grandezas f e , respectivamente. A

escolha mais adequada para representao do elemento diferencial de volume

depende da geometria do volume de integrao. O elemento diferencial dV o

produto de trs comprimentos diferenciais, e as representaes

correspondentes nos trs sistemas de coordenadas so:

Cartesianas:

Cilndricas:

Esfricas:



1.6. Operaes diferenciais com vetores

1.6.1 Gradiente

Seja uma superfcie descrita no sistema de coordenadas cartesianas pela

equao f(x,y,z)=C. Na Fig.1.11a esto ilustradas duas superfcies

adjacentes S1 e S2, descritas respectivamente pelas equaes,

S1 : f(x,y,z) = C

S2 : f(x,y,z) = C + dC

onde dC>0 um pequeno incremento diferencial na constante C. O

deslocamento do ponto P para o ponto Qilustrados na Fig.1.11a,

representado pelo vetor deslocamento diferencial,

Fig.1.11 Geometria das superfcies e disposio de vetores utilizados na

definio do gradiente de uma funo.

A variao df , na funo f , devido a esse deslocamento pode ser obtida

utilizando-se o termo em primeira ordem de uma expanso de Taylor para

funes de trs variveis

que pode ser expressa na forma do produto escalar

onde

denominado de gradiente da funo f. Esse vetor resultante da ao do

operador vetorial

sobre a funo f , gerando como resultado um vetor.

Para pontos P e Q bem prximos e situados sobre S1 conforme ilustrado

na Fig.1.11b, a variao na funo f , df = 0, i.e.,

o que indica que o vetor perpendicular a superfcie S1 no ponto P.

Orientando-se o vetor de forma a torn-lo paralelo e no mesmo sentido do

vetor , a magnitude de assume seu valor mnimo, resultando em

ou seja, o vetor tem como magnitude a mxima taxa de variao da

funo f no ponto P e aponta no sentido dessa mxima variao. Definindo-se

um caminho curvilneo passando perpendicularmente a famlia de

superfcies Si descritas por equaes do tipo, f(x,y,z)=Ci, conforme ilustrado na

Fig.1.11c, permite expressar o gradiente na forma simples

(1.13)

onde u a varivel que mede comprimento ao longo da direo normal ao

conjunto de superfcies e u o vetor unitrio, tangente a essa trajetria e

orientado no sentido de crescimento de u.



1.6.2 Operador Nabla

O operador pode atuar sobre escalares ou vetores. Operao sobre

uma funo escalar resulta no vetor gradiente. A representao do vetor

gradiente feita com os vetores unitrios escritos esquerda dos respectivos

operadores diferenciais, como na Eq.(1.13). Isso porque, em sistemas de

coordenadas curvilneas, vetores de base em geral dependem dessas

coordenadas, e portanto essa notao evita que os operadores diferenciais

atuem sobre os vetores de base. Da Eq.(1.13), o operador , quando

decomposto em uma base de vetores unitrios, ter como componentes as

derivadas com respeito aos comprimentos diferenciais medidos ao longo dos

respectivos eixos coordenados, assumindo a forma geral,

(1.14) onde dli o comprimento diferencial ao longo do eixo i. De acordo com essa

expresso, as seguintes representaes so obtidas nos sistemas de

coordenadas cilndricas e esfricas:

Cilndricas:

(1.15)

Esfricas:

(1.16)

1.6.3 Divergente

O divergente uma funo escalar resultante de uma operao

diferencial sobre um vetor. Considere-se um sistema ortogonal de

coordenadas generalizadas, representadas pelas variveis u, v e w. Os

elementos diferenciais de comprimento associados a essas variveis so

definidos por dl1=h1du, dl2=h2dv, dl3=h3dw .

Os parmetros h, so fatores de escala, funes das coordenadas, que

multiplicados pelos respectivos elementos diferenciais du, dv e dw

, produzem os comprimentos diferenciais correspondentes. Na Tabela 1.1,

esto tabulados os parmetros h correspondentes aos trs sistemas de

coordenadas mais utilizados. Tabela 1.1 Parmetros h e variveis correspondentes em trs sistemas de

coordenadas

u v w h1 h2 h3

Cartesianas x y z 1 1 1

Cilndricas r z 1 r 1

Esfricas R 1 R Rsen

Seja o cubo curvilneo de volume , ilustrado na

Fig.1.12, com centro no ponto , e um campo vetorial

Define-se o divergente de no ponto P pela relao,

(1.17)

que mede a densidade volumtrica de fluxo lquido do vetor para fora de

um volume diferencial com centro no ponto P. Com base na geometria

ilustrada nas Figs.1.12a e b, possvel determinar-se formalmente uma

expresso para o divergente em termos das componentes de e das

coordenadas u, v e w. Para isso basta computar-se o fluxo do vetor para

fora do volume diferencial, atravs das seis superfcies do cubo curvilneo. Na

Fig.1.12b, esto indicadas as superfcies S1 e S2 , e a superfcie

intermediria S0 . Sendo o vetor normal a superfcie intermediria, obtm-se

para o fluxo atravs dessa superfcie

Os fluxos atravs das superfcies que tm em comum o vetor

unitrio , podem ser expressos em termos de a partir das expanses

de Taylor em 1a. ordem

Fig.1.12. Cubo curvilneo utilizado no clculo formal do divergente de um

campo vetorial.



Assim, a contribuio das superfcies S1 e S2 para o fluxo total para o

exterior da regio limitada pelo cubo pode ser obtida de

A contribuio das outras superfcies obtida fazendo-se permutaes

cclicas sobre os respectivos ndices e coordenadas, resultando em,

donde

Inserindo-se essa ltima expresso na Eq.(1.17), fornece

(1.18)

Utilizando-se os parmetros da Tabela 1.1 e a Eq.(1.18), as seguintes

expresses so obtidas nos trs sistemas de coordenadas:

(1.19)

(1.20)

(1.21)

A divergncia de um campo vetorial, indica a existncia de fontes ou

sumidouros associados a esse campo. Se a divergncia em um ponto nula, o

fluxo total que entra o mesmo que sai em um volume arbitrariamente

pequeno circundando o ponto considerado, indicando assim uma certa

conservao das linhas de campo naquele ponto. Se a divergncia positiva,

existe um fluxo liquido para o exterior do volume diferencial ao redor do

ponto considerado, indicando a presena de uma fonte capaz de produzir essas

linhas de campo. Finalmente, quando a divergncia negativa, existe um

fluxo lquido convergindo para o interior do volume diferencial, indicativo da

existncia de um sumidouro de linhas de campo no ponto sob considerao.

Considerando-se a Eq.(1.19), pode-se escrever o divergente de um

campo vetorial na forma

Ou seja, no sistema de coordenadas cartesianas, o divergente de um

campo vetorial obtido diretamente do produto escalar do vetor com o

vetor . Essa expresso tambm se verifica em qualquer sistema de

coordenadas, mas deve-se levar em conta que em outros sistemas os vetores

de base dependem das coordenadas, e que os operadores diferenciais atuam

sobre os vetores de base. Por exemplo, considerando-se o sistema de

coordenadas cilndricas e a Eq.(1.17), tem-se

Antes da realizao dos produtos escalares, deve-se observar que os

vetores e dependem da coordenada . A forma explcita dessa

dependncia obtida decompondo-se esses vetores na base de vetores do

sistema de coordenadas cartesianas. Com base na matriz de transformao

dada pela Eq.(1.8), tem-se que,



Diferenciao desses vetores com respeito a varivel fornece

Levando-se em conta essas propriedades no desenvolvimento da

operao , resulta em

Comparando-se essa ltima expresso com a Eq.(1.20) tem-se



1.6.4 Rotacional

O rotacional uma operao

diferencial realizada sobre um vetor,

produzindo como resultado um outro vetor

e til na determinao das propriedades

de circulao de campos vetoriais. Com

base na Fig.1.13, define-se o rotacional de

um campo vetorial pela relao

(1.22)

Verifica-se da definio dada pela Eq.(1.22) que cada componente do

vetor rotacional a razo entre a circulao do campo vetorial e a rea

limitada pelo caminho de integrao, calculada no limite quando essa rea

tende a zero. No clculo da Eq.(1.22), a orientao do caminho definida de

forma que a rea por ele limitada esteja sempre situada esquerda no decorrer

do percurso de integrao. O vetor unitrio normal a rea diferencial

orientado no sentido da extremidade do polegar ao simular-se a trajetria de

integrao com a mo direita.

Considere-se um sistema genrico de coordenadas curvilneas (u, v, w)

e a geometria ilustrada na Fig.1.14 para o clculo da componente u da

Eq.(1.22). Admitindo-se um campo vetorial da forma

,

a integral de linha da Eq.(1.22) reduz-se a

Fig.1.14 Geometria para o clculo do rotacional em termos das componentes do

campo vetorial

Supondo-se conhecidas as integrais de linha sobre os dois caminhos

que cruzam o centro do retngulo curvilneo, as integrais ao longo dos quatro

segmentos indicados na Fig.1.14 podem ser obtidas a partir das expanses de

Taylor em 1a. ordem

onde,

,

so as integrais de linha intermedirias no sentido crescente das

variveis v e w, respectivamente.

A integral de linha resultante portanto,

A rea do retngulo diferencial aproximadamente,

e a componente u do rotacional, obtida da Eq.(1.22),

donde

(1.23)

As outras componentes so obtidas realizando-se permutaes cclicas

nos ndices e coordenadas, o que fornece:

(1.24)

(1.25)



As Equaes (1.23)-(1.25) so vlidas para um sistema ortogonal de

coordenadas curvilneas generalizadas. Nos trs sistemas de coordenadas mais

usados e com base na Tabela 1.1, essas expresses assumem as formas:

Cartesianas:

(1.26)

Cilndricas:

(1.27)

Esfricas:

(1.28)

A operao pode ser obtida diretamente do produto vetorial do

operador com o vetor , levando-se em conta a operao diferencial sobre

os vetores unitrios do sistema de coordenadas curvilneas. Por exemplo, no

sistema de coordenadas cilndricas obtm-se formalmente

Em coordenadas cilndricas os vetores e dependem apenas da

coordenada , conforme descrito na Sec. 1.6.3. Efetuando-se os produtos

vetoriais entre vetores unitrios obtm-se

Comparando-se essa ltima expresso com a Eq. (1.27) fornece

(1.29)

Existe uma segunda forma de definio da operao rotacional que

envolve uma integrao na superfcie fechada que limita o ponto

considerado. Essa definio til no desenvolvimento de algumas relaes

integrais e pode ser desenvolvida com base na geometria do cubo curvilneo

ilustrado na Fig.1.12a. Seja o vetor rea diferencial em cada face do cubo

e dV o volume diferencial correspondente. O rotacional pode ento ser

definido na forma

(1.30)

Note-se que a Eq.(1.30) tem uma forma semelhante a Eq.(1.17) a

menos da natureza vetorial. Para verificar-se que o resultado obtido com essa

nova definio idntico quele obtido da Eq.(1.22), considere-se as

contribuies das superfcies S1 e S2 para a integrao de superfcie, expressas

em termos da contribuio da superfcie S0, conforme ilustrado na

Fig.1.12b. Na superfcie S0 tem-se



De forma semelhante quela descrita anteriormente as integraes nas

superfcies S1 e S2 podem ser expressas como as expanses de Taylor em 1a.

ordem

onde o sinal negativo na ltima expresso decorrncia de a normal para o

exterior da regio na superfcie S2apontar no sentido do vetor . Assim a

contribuio das superfcies S1 e S2 dada por

que pode ser reescrita na forma

A partir desse resultado, as integraes nas quatro superfcies restantes

podem ser obtidas realizando-se permutaes cclicas nas coordenadas,

resultando em

Pode-se mostrar que os ltimos trs termos do segundo membro da

expresso anterior so todos nulos. Para isso, suficiente mostrar que um

deles se anula e utilizar a correspondncia cclica entre os termos. A

demonstrao como segue. Considere-se o vetor deslocamento diferencial

que no sistema uvw pode tambm ser escrito na forma

A igualdade dessas duas relaes fornece

Assim, o primeiro dos trs ltimos termos da integral de superfcie

pode ser escrito na forma

,

e o mesmo resultado se aplica para os dois ltimos termos. Com esse resultado

a integral na superfcie do cubo curvilneo reduz-se a

Utilizando-se esse ltimo resultado juntamente com a

expresso V=h1h2h3dudvdw, na definio dada pela Eq.(1.30) obtm-se finalmente

o que corresponde ao resultado contido nas Eqs.(1.23)(1.25).



1.7. Identidades vetoriais

O operador pode operar sobre escalares ou vetores ou combinaes

de produtos dessas grandezas e vrias identidades vetoriais podem ser obtidas

da definio bsica do operador conforme ilustrado a seguir:

1.7.1

Utilizando-se a notao compacta e a definio do produto escalar,

tem-se

onde subtendida a soma nos ndices i e j e . Utilizando-se a regra da

cadeia para a operao de diferenciao, obtm-se

donde

(1.31)

1.7.2

Utilizando-se o procedimento delineado anteriormente, obtm-se

donde

(1.32)

1.7.3

A divergncia do gradiente de um escalar denominada

de Laplaciano que um operador diferencial de 2a. ordem encontrado

freqentemente em teoria de campos. Utilizando-se a Eq.(1.14), e os

parmetros hdefinidos anteriormente, o gradiente de um escalar pode ser

expresso como

O divergente do vetor obtido da Eq.(1.16), resultando em

(1.33)

Utilizando-se os parmetros da Tabela 1.1, obtm-se as seguintes

expresses nos sistemas de coordenadas considerados neste captulo:

Cartesianas

(1.34)

Cilndricas

(1.35)

Esfricas

(1.36)



1.7.4

Considere-se a determinao do rotacional do gradiente de uma funo

escalar. Utilizando-se a notao compacta, com ndices repetidos

representando soma, o gradiente e o rotacional podem ser representados por,

onde, . Fazendo-se , obtm-se

Para uma funo f com 2a. derivada contnua tem-se

que, . Portanto, fixado o ndice k , e fazendo-se uso da

propriedade , conclui-se que,

(1.37)

Essa identidade implica que: qualquer campo vetorial obtido do

gradiente de uma funo escalar irrotacional.

1.7.5

Considere-se agora o divergente do rotacional de um vetor. Para isso,

a Eq.(1.16) expressa na forma compacta,

com ndices repetidos indicando soma, e o ltimo fator na expresso anterior,

satisfaz a,

Seja

cuja divergncia ,

onde nessa ltima expresso tem-se uma soma sobre os ndices repetidos i , j ,

k, l , m. Notando-se que,

e este termo ser no nulo para cada valor do ndice i, se a seguinte condio

for satisfeita,



Quando esta condio satisfeita, tem-se que,

,

portanto,

Para Fm com 2a. derivada contnua tem-se

e utilizando-se a propriedade , obtm-se finalmente,

(1.38)

Essa identidade implica que: qualquer campo vetorial derivado do

rotacional de outro vetor, possui divergncia nula.

1.7.6 Outras identidades vetoriais

Existem outras identidades envolvendo operadores e vetores que so

de importncia no formalismo matemtico da teoria eletromagntica, algumas

das quais listadas a seguir. A demonstrao dessas expresses geralmente

realizada seguindo procedimentos semelhantes queles delineados

anteriormente.

(1.39)

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

1.8. Alguns teoremas da anlise vetorial

Vrias relaes integrais so de importncia no formalismo

matemtico da teoria eletromagntica e algumas destas so descritas a seguir.



1.8.1 Teorema de Gauss

A definio da divergncia de um vetor expressa pela Eq.(1.15), pode

ser posta na forma

com representando o

fluxo lquido do vetor para

fora da regio diferencial em

torno do ponto P. Essa ltima

relao permite obter o fluxo

lquido a partir do

conhecimento do divergente e

do volume diferencial uma

vez que

(1.45)

A generalizao dessa

expresso para o caso de um

volume macroscpico V limitado por uma superfcie fechada pode ser

obtida com base na Fig.1.15. O volume V subdividido em elementos

diferenciais , e sobre cada elemento a Eq.(1.45) utilizada para calcular o

fluxo lquido para fora do elemento diferencial de volume. Efetuando-se a

soma dos fluxos diferenciais de cada elemento, componentes de fluxo

calculadas sobre superfcies comuns a elementos adjacentes se cancelam.

Conseqentemente, ao se somar as contribuies diferenciais, as nicas

componentes de fluxo que no se cancelam so aquelas calculadas sobre a

superfcie . Dessa forma, pode-se escrever,

que leva ao teorema de Gauss,

(1.46)

onde o vetor rea diferencial dirigido para fora do volume V.



1.8.2 Teorema de Stokes

A definio do rotacional de um vetor dada pela Eq.(1.19) pode ser

expressa na forma,

onde um vetor unitrio normal ao elemento de rea S, e C o caminho de integrao, orientado de acordo com a regra da mo direita. Essa relao

permite obter a circulao do campo vetorial a partir do conhecimento da

projeo do rotacional na direo normal superfcie limitada pelo caminho.

Definindo-se no limite,

pode-se escrever,

donde

(1.47)

A Eq.(1.47) pode ser

generalizada para o clculo de

circulao de um campo vetorial,

qualquer que seja a forma e tamanho do caminho, conforme ilustrado na

Fig.1.16. A superfcie subdividida em elementos diferenciais, e sobre cada

elemento, a Eq.(1.47) utilizada para o clculo da integral de linha no

caminho limitando o elemento de superfcie correspondente. Efetuando-se a

soma dessas circulaes diferenciais sobre todos os elementos da superfcie,

integrais de linha calculadas sobre segmentos comuns a elementos adjacentes

se cancelam. Conseqentemente, ao somar-se as contribuies diferenciais, o

nico segmento que contribui para a integral de linha do vetor o

caminho C limitando a superfcie S. Pode-se escrever portanto,

resultando no teorema de Stokes,

(1.48)

Uma outra identidade integral envolvendo o rotacional de um campo

vetorial decorre diretamente da Eq.(1.30). Com base naquela equao e

seguindo procedimento semelhante quele que levou a Eq. (1.46) pode-se

mostrar que

(1.49)

onde a superfcie fechada que limita o volume V, conforme ilustrado na Fig.1.15.

1.8.3 Identidades de Green

As identidades de Green seguem diretamente do teorema da

divergncia e so teis no formalismo das funes de Green para

determinao de campos. Considere-se duas funes f e g, que so utilizadas

para gerar os vetores, e . Utilizando-se a identidade vetorial expressa

pela Eq.(1.26), obtm-se,

(1.50)

(1.51)

Efetuando-se a diferena entre as Eqs.(1.50) e (1.51) e integrando-se o

resultado em um volume V, resulta em

Aplicando-se o teorema de Gauss, expresso pela Eq. (1.46), no primeiro

membro, resulta em

(1.52) que o Teorema de Green. Procedimento semelhante aplicado Eq.(1.50),

leva a primeira identidade de Green,

(1.53)



1.8.4 Teorema de Helmholtz

O Teorema de Helmholtz estabelece que um campo vetorial

univocamente especificado em uma regio, se forem conhecidos seu

divergente, rotacional e sua componente normal sobre a superfcie que limita a

regio. A importncia deste teorema na teoria eletromagntica consequncia

da forma de representao matemtica do comportamento de campos

eletromagnticos em termos de operaes de divergncia e rotacional. Para

demonstrar-se o teorema, seja um vetor definido em uma regio limitada

por uma superfcie fechada , tal que,

com especificadas em toda regio, conjuntamente com a componente

normal de sobre , . Admitindo-se a existncia de um vetor distinto

satisfazendo as mesmas propriedades, ou seja

a unicidade do vetor ficar demonstrada se a condio, , for satisfeita.

Para isso, constri-se o vetor,

que satisfaz as propriedades,

Como irrotacional, da Eq.(1.37), pode-se definir uma funo , tal

que,

,

e a divergncia nula de fornece

Utilizando-se a 1a. identidade de Green dada pela Eq.(1.53),

com f = g = , resulta em

donde

Dado que vem

Como a grandeza positiva definida, a integrao de volume s

ser nula se para qualquer ponto no interior do volume, o que

implica , como se queria demonstrar.



Problemas

1.1) Considere a funo, , com

e . Mostre que , onde .

1.2) Calcule o valor da integral de linha,

onde C o segmento de reta orientado do ponto (a,0,0) ao ponto

(a,a,0).

1.3) Determine,

onde C o arco de circunferncia orientado, definido por r=3, z=0,

0/2.

1.4) Dado o campo vetorial , determine o fluxo desse

vetor atravs da superfcie definida pelas condies, {z=4, 0 x 3,

1 y 2}.

1.5) Para o campo vetorial , determine , sobre a

superfcie do cubo cujos vrtices esto localizados nos pontos,

(0,0,0); (1,0,0); (1,1,0); (0,1,0)

(0,0,1); (1,0,1); (1,1,1); (0,1,1)

Admita que seja o vetor rea diferencial dirigido para fora da

regio limitada por .

1.6) Use o teorema de Gauss e determine a resposta da questo anterior,

pelo clculo de uma integral de volume na regio limitada por .

1.7) Dado o campo vetorial , mostre que .

1.8) Dado o campo vetorial , mostre que .

1.9) Calcule as seguintes integrais:

, , , , ,

onde C a circunferncia z=0 , r = 1.

1.10) Calcule as seguintes derivadas e expresse suas respostas na base de

vetores do sistema de coordenadas esfricas.

1.11) Calcule as integrais de superfcie:

, , ,

, , ,

onde a superfcie esfrica R = 1.

1.12) Calcule as integrais de volume

, , ,

onde V o volume esfrico R 1.

1.13) Utilize o teorema de Stokes em uma superfcie fechada, com o auxlio

do teorema de Gauss, para mostrar que

1.14) Use o resultado da questo anterior para mostrar

que

1.15) Verifique que para uma funo f e um elemento diferencial de

deslocamento , tem-se que , onde df a

diferencial de f.

1.16) Utilize o resultado da questo anterior, juntamente com o teorema de

Stokes, para mostrar que

1.17) Aplique o resultado da questo anterior em uma rea de integrao

diferencial para mostrar que .

1.18) Demonstre a Eq.(1.49)

1.19) Verifique que o gradiente de uma funo escalar pode ser obtido da definio

onde uma superfcie fechada que limita o volume

diferencial V e o vetor rea diferencial dirigido para o exterior do volume V.



01. Análise Vetorial

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