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  • 7/24/2019 01-intro AULA 1

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Matemtica Discreta

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Apresentao

    Alexandre Noma

    Cincia da Computao

    Instituto de Matemtica e Estatstica- Universidade de So Paulo

    Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais 2

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Cronograma estimado:Aula Contedo

    1 Introduo: teoria dos conjuntos

    2 Princpio da Induo Matemtica;Princpio Aditivo e Multiplicativo

    3 Permutao e Arranjo

    4 [RECESSO]

    5 Combinao

    6 Equaes lineares com coeficientes unitrios

    7 Permutaes circulares

    8 Binmio de Newton

    9 Exerccios

    10 [Prova 1]

    3

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    Introduo

    Cronograma estimado:Aula Contedo

    11 PIE: Princpio da Incluso e Excluso

    12 PIE

    13 Funes geradoras14 [RECESSO]

    15 Torres de Hanoi, Introduo Recorrncias

    16 Funo log, rvores de Recorrncia

    17 rvores de Recorrncia

    18 Teoria dos Grafos

    19 ?

    20 [Prova 2]

    21 [Prova Substitutiva]

    22 [Recuperao]

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    Introduo

    Bibliografia Bsica:

    [1] J. Plnio O. Santos, M. P. Mello, I. T. C. Murari. Introduo a Anlise

    Combinatria. Editora Cincia Moderna. 2008.

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    Introduo

    2 provas:

    P1: 26/06/2015

    P2: 31/07/2015

    Prova substitutiva: 05/08/2015.

    Recuperao: 07/08/2015.

    Avaliao:

    6

    (A SUB fechada, isto , somente para quem perder a P1 ou P2.)

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Material e outras informaes no site...

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    Introduo

    Tarefa

    Exerccios:

    Lista 1

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Uma breve reviso sobre

    Teoria dos Conjuntos...

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Um conjunto uma coleo de objetos,

    chamados de elementos.

    (ex. pessoas, plantas, animais, fenmenos, etc)

    Notao:

    representamos conjuntos por letras maisculas A, B, C, ...

    e os seus elementos por letras minsculas a, b, c, ...

    Exemplos:A = {a, b, c}

    B = {6, 8, 10, 12, 14} = {x | 4 < x < 15 e x par}

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    Introduo

    A cardinalidadede um conjunto A

    o nmero de elementosde A e denotado por |A|.

    O conjunto vazio tem zero elementos e denotado

    por .

    Um conjunto unitriose possui um nico elemento.

    Ex. A = {a}

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    IntroduoRelaes

    "Pertence"

    : a pertence a A;

    indica que a um elemento do conjunto A.

    : a no pertence a A para caso contrrio.

    "Contido"

    : A est contido em B;

    A um subconjuntode B.

    Todo elemento de A tambm um elemento de B.

    : caso contrrio

    Aa

    Aa

    BA

    BA

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    IntroduoRelaes

    "Contm"

    : B contm A;

    A um subconjuntode B.

    Todo elemento de A tambm um elemento de B.

    : caso contrrio

    AB

    AB

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    Introduo

    Exemplo 1

    SejamA = {0, 2, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e C = {1, 3, 5}.

    Ento:

    (a) Todo elemento deA elemento de B, ou seja,

    (b) Como e , ento

    BA

    C5 B5 BC

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    IntroduoExemplo 2

    SejamA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ento:

    (a) A' = {x A | x par} = {2, 4, 6, 8}.

    (b) B = {x A | x mltiplo de 3} = {3, 6, 9}.

    (c) C = {x A | x + 1 = 6} = {5}.

    (d) D = {x A | x < 0} = .

    (e) E = {x A | x < 10} = A.

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    IntroduoConjuntos iguais...

    Os conjuntos A e B so iguais se eles

    possuem os mesmos elementos, ou seja:

    Todo elemento de A tambm um elemento de B.

    Todo elemento de B tambm um elemento de A.

    Note que:

    a ordemdos elementos em um conjunto irrelevante;

    a repetiode elementos em um conjunto desnecessria,

    embora no seja um erro.

    AB

    BA

    )( BA

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    Introduo

    Exemplo 3

    Diferentes representaes de um mesmo conjunto:

    (a) Os conjuntosA = {5, 6, 7}eA' = {6, 7, 5} so iguais.

    (b) Os conjuntos B = {2, 2, 1, 3} e B' = {2, 1, 3} so iguais.

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    Matemtica Discreta

    IntroduoComplemento

    Para cada exemplo, o conjunto universoU aquele

    que contm todos os elementos que esto sendo

    considerados.

    Se A um subconjunto de U, o complementarde A

    definido por

    }|{ AxUxA

    (Diagrama de Venn)

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    IntroduoOperaes

    Diferena

    eAxUxBA |{ }Bx

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    IntroduoOperaes

    Diferena

    eAxUxBA |{ }Bx

    M i Di

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    Introduo

    Exemplo 4

    Diferena: e

    (a) SejamA = {1, 3, 4, 5}eA' = {1, 2, 4}. Ento:

    A-A'= {3, 5} e A'-A= {2}

    (b) Sejam B = {3, 4, 5} e B' = {1, 2, 6}. Ento:

    B - B' = B e B' - B = B'

    AxUxBA |{ }Bx

    M t ti Di t

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    IntroduoOperaes

    Unio

    ouAxUxBA |{ }Bx

    M t ti Di t

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Exemplo 5

    Unio: ou

    (a) SeA = {1, 3, 4, 5} eA' = {1, 2, 4},

    entoAUA'= {1, 2, 3, 4, 5}

    (b) Se B = {3, 4, 5} e B' = {1, 2, 6},

    ento B UB' = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    AxUxBA |{ }Bx

    M t ti Di t

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    Matemtica Discreta

    IntroduoOperaes

    Interseco

    e

    Dizemos que A e B so disjuntosse

    AxUxBA |{ }Bx

    BA

    M t ti Di t

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    Introduo

    Exemplo 6

    Interseco: e

    (a) SeA = {1, 3, 4, 5} eA' = {1, 2, 4},

    ento

    (b) Se B = {3, 4, 5} e B' = {1, 2, 6},

    ento

    AxUxBA |{ }Bx

    }4,1{AA

    BB(B e B' so disjuntos)

    M t ti Di t

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    Introduo

    Produto Cartesiano

    Dados dois conjuntos A e B,

    o produto cartesianoA x B o conjuntos dos pares

    (a, b), onde a elemento de A e b elem. de B. e

    De maneira geral, o conjunto das n-uplas

    onde , para i = 1, ..., n.

    AabaBA |),{( }Bb

    nAAAA 321),,,,( 321 naaaa

    ii Aa

    Matemtica Discreta

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    De maneira geral, ...

    Unio

    ou ou . . . ou

    Interseco

    1

    1

    |{ AxUxAn

    i

    i

    }nAx2Ax

    },,,|{ 211

    n

    n

    i

    i AxAxAxUxA

    nAAAA 321

    nAAAA 321

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    Matemtica Discreta

    IntroduoPropriedades

    1. Para todo , temos que e

    2.

    3.

    4.Associativa: e

    5. Comutativa: e

    6. Distributiva:e

    7. , , ,

    UA A A

    BBABA

    ABABA

    CBACBA )()( CBACBA )()(

    ABBA ABBA

    )()()( CABACBA )()()( CABACBA

    UAA AA U U

    A

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    Matemtica Discreta

    Introduo

    Propriedades

    8. Leis de De Morgan:

    eBABA )( BABA )(