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Topologia

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Campos escalares e vectoriais - Parte 1Analise Matematica 2

2o Semestre 2011/12

Versao de 16 de Maio de 2012

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FuncoesNeste capıtulo trabalhamos com funcoes

~f : Rn −→ Rm (n, m ∈ N, nao simultaneamente iguais a 1)

Se m = n = 1 estas funcoes designam-se por funcoes reais devariavel real e foram estudadas em AM1.

f : R −→ RSe m = 1 estas funcoes designam-se por campos escalares oufuncoes escalares.

f : Rn −→ R (n > 1)

Se m > 1 estas funcoes designam-se por campos vectoriais oufuncoes vectoriais.

~f : Rn −→ Rm (n ≥ 1)

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Exemplos:

1 f : D ⊂ R3 −→ R tal que f (x , y , z) = x + y + z

2 ~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que

~f (x , y) =

(x + y , x − y , xy ,

x

y

)3 f : D ⊂ R2 −→ R tal que

f (latitude, longitude) = (altitude)

4 ~f : D ⊂ R2 −→ R3 tal que~f (latitude, longitude) = (altitude, humidade, temperatura)

5 ~f : D ⊂ R2 −→ R2 tal que ~f (latitude, longitude) =vector que indica a direccao e intensidade do vento

6 ~f : D ⊂ R3 −→ R3 tal que ~f (x , y , z) =vector que indica a direccao de escoamento de um fluıdo emmovimento

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Dado o campo vectorial

~f : R2 −→ R4

~f (x , y) =

(xy , x2 − y , x − 3y ,

x√

y

)e composto por 4 funcoes componentes ou funcoescoordenadas que sao:

f1(x , y) = xy

f2(x , y) = x2 − y

f3(x , y) = x − 3y

f4(x , y) =x√

y

Nota: estas funcoes sao campos escalares.

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Exercıcios

Faca um esboco do grafico das seguintes funcoes:

1 f (x , y) = 5

2 f (x , y) = x

3 f (x , y) = x + y

4 f (x , y) = y 2

5 f (x , y) = 2 + cos(x)

6 f (x , y) = x2 + y 2

7 f (x , y) = −√

x2 + y 2 + 3

8 f (x , y) = −√

x2 + y 2 + 3

9 f (x , y) =√

9− x2 − y 2

10 f (x , y) = −√

25− x2

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Domınio

Definicao (Domınio de uma funcao)

Dada uma funcao ~f : Rn −→ Rm (n,m ≥ 1) define-se odomınio de ~f por

D~f = {~x ∈ Rn : ∃1~y ∈ IRm, ~f (~x) = ~y}

Exemplo:

~f : D ⊂ R2 −→ R4 tal que ~f (x , y) =

(x + y , x − y , xy ,

x

y

)tem como domınio D = {(x , y) ∈ R2 : y 6= 0}

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1

a⇒ a ∈ R \ {0}√

a⇒ a ∈ R+0

ln(a)⇒ a ∈ R+

|a| ⇒ a ∈ Ran ⇒ a ∈ R (n ∈ N)

cos(a)⇒ a ∈ Rsin(a)⇒ a ∈ R

tan(a)⇒ a ∈ R \{π

2+ kπ, k ∈ Z

}arccos(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arcsin(a)⇒ a ∈ [−1, 1]

arctan(a)⇒ a ∈ R...

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Continuidade

Determine o domınio das seguintes funcoes e represente-ogeometricamente:

1 ~f (x , y) = (ln(x), ln(y), x − y)

2 f (x , y) = xy

3 f (x , y) = 1√4−x2−y2

4 ~f (x , y) = (√−x2 + 1,

√4− y 2)

5 ~f (x , y , z) = ( −3√x2+y2+z2−9

, zex , y)

6 f (x , y) = arcsin( x2 ) +√

xy

7 f (x , y) = ln( x−y2x )

8 f (x , y) =√

y − 2x2

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Linhas e Superfıcies de Nıvel

Definicao

Seja f : R2 −→ R chama-se curva ou linha de nıvel k aoconjunto:

Nk = {(x , y) ∈ R2 : k = f (x , y), (x , y) ∈ Df } (k ∈ D ′f )

Se f : R3 −→ R chama-se superfıcie de nıvel k aoconjunto:

Nk = {(x , y , z) ∈ R3 : k = f (x , y , z), (x , y , z) ∈ Df } (k ∈ D ′f )

http://www.flashandmath.com/mathlets/multicalc/contours/index.html

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Exercıcios

Calcule algumas linhas de nıvel das funcoes que se seguem ateconseguir fazer um esboco do grafico da funcao:

1 f (x , y) = xy

2 f (x , y) = x2 − y 2

3 f (x , y) = y − cos(x)

4 f (x , y) = e1

x2+y2

5 f (x , y) = ln(x2 + y 2)

6 f (x , y) = |x |+ |y |7 f (x , y , z) =

√x2 + y 2 − z2

(ver figuras)

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Distancia

Definicao (Distancia)

Dados dois pontos de Rn, P = (x1, ..., xn) e P ′ = (x ′1, ...x′n) a

distancia euclideana entre eles e dada por

d(P,P ′) =√

(x1 − x ′1)2 + (x2 − x ′2)2 + ...+ (xn − x ′n)2

Nota: d(P,P ′) = ||−−→PP ′|| e a norma ou comprimento do vector

−−→PP ′.

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Bola aberta ou Vizinhanca

Definicao (Bola aberta ou Vizinhanca)

Diz-se vizinhanca ε de um ponto ~a ∈ Rn (Bola aberta decentro em a e raio ε) ao conjunto

Bε(~a) = {~x ∈ Rn : d(~x ,~a) < ε}

ouBε(~a) = {~x ∈ Rn : ||~x −~a|| < ε}.

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Calcule:B5(3) =

B2(2,−3) =

B3(1, 2, 3) =

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Definicao

Seja ~a ∈ Rn e X ⊂ Rn.

~a e interior a X se

∃ε : Bε(~a) ⊂ X ;

se existe uma Bola de centro em ~a toda contida em X .

~a e exterior a X se

∃ε : Bε(~a) ⊂ Rn\X ;

se existe uma Bola de centro ~a que nao tem pontos de X .

~a e fronteiro a X se ∀ε > 0

Bε(~a) ∩ X 6= ∅ e Bε(~a) ∩ (Rn\X ) 6= ∅,

se qualquer Bola de centro em ~a tem pontos de X e deRn\X .

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Continuidade

Definicao

Seja ~a ∈ Rn e X ⊂ Rn .

a e ponto de acumulacao de X se

∀ε > 0, Bε(~a) ∩ (X\{~a}) 6= ∅;

se qualquer vizinhanca de ~a tem infinitos pontos de Xdistintos de ~a.

~a e ponto isolado de X se

∃ε > 0, : Bε(~a) ∩ X = {~a};

se existe uma Bola de centro em a que o unico ponto quetem de X e o proprio ~a.

~a e aderente a X se ~a ∈ X ou ~a ∈ fr(X )

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Definicao

Interior de X : int(X ) e o conjunto dos pontos interioresa X

Exterior de X :ext(X ) e o conjunto dos pontos exterioresa X

Fronteira de X : fr(X ) e o conjunto dos pontos fronteirosde X

Derivado de X : X ′ e o conjunto dos pontos deacumulacao de X

Aderencia de X : X e o conjunto dos pontos aderentes aX

Teorema

int(X ) ∪ ext(X ) ∪ fr(X ) = Rn e sao disjuntos 2 a 2

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Definicao

Um conjunto X de Rn e

aberto se X = int(X ) (⇔ X ∩ fr(x) = ∅)fechado se X = X (⇔ fr(X ) ⊂ X )

limitado se existir uma bola que o contenha.

compacto se for limitado e fechado.

Nota:

Existem conjuntos que nao sao abertos nem fechados

∅ e Rn sao abertos e fechados.

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Continuidade

Seja X o conjunto de R2 colorido a vermelho:

Complete:

{ } ∈ int(X )

{ } ∈ ext(X )

{ } ∈ fr(X )

{ } ∈ X ′

{ } ∈ X

{ } ∈ Pontos Isolados de X

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Exercıcios

1 Classifique topologicamente os conjuntos:

1 A ={

(x , y) ∈ R2 : −x2 + 1 < y < −2x2 + 2}

2 B ={

(x , y) ∈ R2 : |x | ≤ 1 ∧ |y | ≤ ex}

3 C ={

(x , y) ∈ R2 : (x2 + y 2 − 1)(4− x2 − y 2) > 0}

2 Calcule o domınio, Df , das seguintes funcoes. Representegeometricamente e classifique topologicamente Df .

1 f (x , y) =√

x(1− |y |)

2 f (x , y) =

{x2+y2

x−y (x , y) 6= (0, 0)

1 (x , y) = (0, 0)

3 f (x , y) = ln( xy ) + arcsin(x2 + y 2)

4 f (x , y) = ln(y − x)√

9− x2 − (y + 1)2

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Limite

Definicao (Limite de campo escalar definido em R2)

Seja f : Df ⊆ R2 −→ R e (x0, y0) um ponto de acumulacao dodomınio Df .O limite de f (x , y) quando (x , y) tende para (x0, y0) e l , eescreve-se

lim(x ,y)→(x0,y0)

f (x , y) = l

se e so se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x , y) ∈ Df \ {(x0, y0)},

(x , y) ∈ Bε(x0, y0) =⇒ f (x , y) ∈ Bδ(l)

ou seja,√(x − x0)2 + (y − y0)2 < ε =⇒ |f (x , y)− l | < δ)

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GeometricamenteEste limite implica que,para qualquer ponto (x , y) 6= (x0, y0) do domınio de f ,no disco de raio ε,o valor de f (x , y) esteja entre os planos de equacao z = l − δ ez = l + δ,ou seja, todos contidos no cilindro de raio ε e altura 2δ.

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Exemplo:

Vejamos selim

(x ,y)→(0,0)5 + 4

√x2 + y 2 = 5

ou seja, vejamos se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀(x , y) ∈ Df \ {(0, 0)},

(x , y) ∈ Bε(0, 0) =⇒ f (x , y) ∈ Bδ(5)

ou seja,√(x − 0)2 + (y − 0)2 < ε =⇒ |f (x , y)− 5| < δ)

Determine ε sendo δ = 10, δ = 110 , δ = 1

100 , δ qualquer...

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Continuidade

Revisoes: |ab| = |a| |b|

∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

|a + b| ≤ |a|+ |b|∣∣∣ab∣∣∣ = |a|b

|a| =√

a2

|a| ≤√

a2 + b2

0 ≤ a2

a2 + b2≤ 1

| sin(a)| ≤ 1

| arctan(a)| ≤ π

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Continuidade

Exercıcios: I

Mostre, por definicao de limite, que:

1 lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = 0 onde f (x , y) = 3√

x2 + y 2 cos(xy)

2 lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y) = 0 onde

f (x , y) = 2 sin(x + y)√

x2 + y 2

3 lim(x ,y)→(2,3)

f (x , y) = 7 onde f (x , y) = 2x + y

4 lim(x ,y)→(2,1)

x = 2

5 lim(x ,y)→(0,0)

4xy = 0

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Continuidade

Exercıcios: II

6 lim(x ,y)→(0,0)

x2y 2

x2 + y 2= 0 (ver fig.)

7 lim(x ,y)→(0,0)

4x3

x2 + y 2= 0

8 lim(x ,y)→(0,0)

1

x2 + y 2= 0 (se possıvel - ver fig.)

9 lim(x ,y)→(0,0)

x4 + 2y 3

x2 + y 2= 0

10 lim(x ,y)→(0,0)

xy sin(y

x) = 0

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Exercıcios: III

11 lim(x ,y)→(0,0)

(x2 + y 2) arctan(xy) = 0

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Limite

Definicao (Limite de campo escalar definido em Rn)

Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a um ponto de acumulacao dodomınio Df .O limite de f (~x) quando ~x tende para ~a e l , e escreve-se

lim~x→~a

f (~x) = l

se e so se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀~x ∈ Df \ {~a},

~x ∈ Bε(~a) =⇒ f (~x) ∈ Bδ(l)

ou seja,√(x1 − a1)2 + ...(xn − an)2 < ε =⇒ |f (~x)− l | < δ)

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Proposicao (Propriedades dos limites)

Sejam f : Df ⊆ Rn −→ R e g : Dg ⊆ Rn −→ R duas funcoesescalares e ~a um ponto de acumulacao de Df ∩ Dg .Se lim~x→~a f (~x) = l1 e lim~x→~a g(~x) = l2 entao

O limite e unico.

lim~x→~a

(f (~x) + g(~x)) = l1 + l2

lim~x→~a

(f (~x).g(~x)) = l1.l2

lim~x→~a

f (~x)

g(~x)=

l1l2

lim~x→~a

(cf (~x)) = c .l1

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Limite relativo

Definicao (Limite relativo a um conjunto)

Seja S um subconjunto de Df , f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a umponto de acumulacao do domınio Df . O limite de f (~x)relativo a S quando ~x tende para ~a e l , e escreve-se

lim~x→~a~x∈S

f (~x) = l

se e so se

∀δ > 0, ∃ε(δ) > 0 : ∀~x ∈ S \ {~a},

~x ∈ Bε(~a) =⇒ f (~x) ∈ Bδ(l)

No caso em que S ={

(x , y) ∈ R2 : y = mx + b}

a esteslimites chamam-se os limites direccionais.

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Proposicao

Se o limite existir entao o limite relativo a qualquer conjuntoexiste e tem o mesmo valor.

Exercıcio:Que pode concluir se encontrar dois limites relativos

diferentes?

iguais?

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Continuidade

ExercıciosUtilize limites relativos para estudar os limites:

1 lim(x ,y)→(0,0)

x2

x2 + y 2(ver fig.)

2 lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2(ver fig.)

3 lim(x ,y)→(0,0)

x

x2 + y 2(ver fig.)

4 lim(x ,y)→(0,0)

x − y

x + y

5 lim(x ,y)→(0,0)

4xy

x2 + y 2

6 lim(x ,y)→(0,0)xy2

(x+y2)265/1

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Limites

Continuidade

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Limites

Continuidade

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Limites

Continuidade

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Limites

Continuidade

Limites e propriedades

Definicao (Limites iterados ou sucessivos)

Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) um ponto de acumulacao dodomınio Df , entao os limites

limx→a

(limy→b

f (x , y)

), lim

y→b

(limx→a

f (x , y))

dizem-se limites iterados ou sucessivos.

Nota: o caso geral, de uma funcao definida em Rn, elimx1→a1 (· · · (limxn→an f (x1, · · · , xn))).

Proposicao

Se dois limites iterados forem diferentes (existirem e foremfinitos) entao nao existe limite.

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Continuidade

Exercıcios

Utilize limites iterados para estudar os limites:

1 lim(x ,y)→(0,0)

x − 2y

x + y

2 lim(x ,y)→(0,0)

4xy

(x2 + y 2)5

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Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites I

Estude a existencia dos seguintes limites.

1 lim(x ,y)→(0,0)

x4 + 2y 2

x2 + y 2

2 lim(x ,y)→(0,0)

y 2

x2 + y 2

3 lim(x ,y)→(0,0)

x2y

(x2 + y 2)2

4 lim(x ,y)→(−3,2)

y − 2

x + 3

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Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites II

5 lim(x ,y)→(0,0)

xy + 3

1− 2x2

6 lim(x ,y)→(0,0)

xy 2

x2 + y 4

7 lim(x ,y)→(0,0)

x sin

(1

y

)

8 lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + 3y 2

9 lim(x ,y)→(0,0)

x2y

(x2 + y)2

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Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites III

10 lim(x ,y)→(0,0)

x4y

y 3 − x6

11 lim(x ,y)→(0,0)

x2y

(y + x2)2

12 lim(x ,y)→(1,1)

x + y − 2

x − y

13 limite de f nos pontos (0, 0); (1, 1); (1, 0); (0, 1), sendo

f (x , y) =

1− 2y + x se x + y < 1

1 se x + y = 12− x + y se x + 1 > 1.

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites IV

14 limite de f nos pontos (1, 1); (−1, 0); (0, 2), sendo

f (x , y) =

x + y se x > 0

2 se x = 0x − y + 2 se x < 0.

15 indique para que pontos da recta y = −x existe limite def , sendo

f (x , y) =

1− 2y + x se x + y < 0

4 se x + y = 06− x + y se x + 1 > 0.

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites V

16 limite de f nos pontos (1, 2); (2, 1); (2, 2), sendo

f (x , y) =

{2x − y se y < x

x2 se y ≥ x .

17 lim(x ,y)→(0,0)

~g(x , y) e lim(x ,y)→(0,2)

~g(x , y) onde

~g(x , y) =

e4−x2−y2

se x2 + y 4 ≥ 4e se (x , y) = (0, 0)1

x2+y2 se x2 + y 2 < 4

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios Globais de Limites VI

18 lim(x ,y)→(0,−4)

f (x , y) onde

f (x , y) =

{x2

x2+(y+4)2 se (x , y) 6= (0,−4)

1 se (x , y) = (0,−4)

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Limite

Definicao (Limite de funcoes vectoriais)

Seja

~f : Df ⊆ Rn −→ Rm

~x 7−→ ~y = ~f (~x) = (f1(~x), ..., fm(~x))

e ~a um ponto de acumulacao do domınio D~f =Df1∩Df2

∩...∩Dfm.

O limite de ~f (~x) quando ~x tende para ~a e um vector de mcoordenadas onde cada uma corresponde ao limite da funcaocoordenada respectiva. Assim

lim~x→~a

~f (~x) =

(lim~x→~a

f1(~x), ... lim~x→~a

fm(~x)

)

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios

Calcule:

1 lim(x ,y)→(1,2)

~f (x , y) onde ~f (x , y) = (x2, xy 2)

2 lim(x ,y)→(0,0)

~f (x , y) onde ~f (x , y) =(

ln(4− x2 − y 2), 3xyx2+y2

)

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Funcao composta (camposescalares)

Definicao

Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R e f : Df ⊆ R −→ R duas funcoesescalares. Define-se a funcao composta de f com g como

f : D ⊆ Rn −→ R~x 7−→ (f ◦ g)(~x) = f (g(~x))

sendoD = {~x ∈ Rn : ~x ∈ Dg ∧ g(~x) ∈ Df }

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios

1 Seja f (t) =√

t e g(x , y) = x2 + y 2 + 2. Calcule(f ◦ g)(1, 3), (f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x , y).

2 Seja f (t) = t3 e g(x , y) = x − 4y . Calcule (f ◦ g)(1, 3),(f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x , y).

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Funcao composta (camposvectoriais)

Definicao

Sejam ~g : D~g ⊆ Rn −→ Rp e ~f : D~f ⊆ Rp −→ Rm duas

funcoes vectoriais. Define-se a funcao composta de ~f com ~gcomo

~f ◦ g : D ⊆ Rn −→ Rm

~x 7−→ ( ~f ◦ g)(~x) = ~f (~g(~x))

sendoD =

{~x ∈ Rn : ~x ∈ D~g ∧ ~g(~x) ∈ D~f

}

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios

1 Seja ~f (u, v) = (eu, ev ) e ~g(x , y , z) = (x2 + 2y 2 + z2, xyz).Calcule, se existir, ( ~f ◦ g)(1, 2, 3), ( ~f ◦ g)(1, 1, 1),( ~f ◦ g)(x , y , z) e ( ~g ◦ f )(x , y).

2 Seja ~f (u, v) = (u + v , u − v , uv) e ~g(x , y , z) = (xy , yz).Calcule, se exisitir, ( ~f ◦ g)(1, 2, 3), ( ~f ◦ g)(1, 1, 1),( ~f ◦ g)(x , y , z) e ( ~g ◦ f )(x , y).

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Continuidade

Definicao

Seja f : Df ⊂ Rn −→ R, e ~a um ponto de Df . Diz-se que f econtınua em a se e so

∃ lim~x→~a

f (~x) e lim~x→~a

f (~x) = f (~a)

Definicao

f diz-se contınua num dado conjunto S se f e contınua emtodos os pontos de S .

Nota: Se S = Df diz-se simplesmente que f e contınua.

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Funcoes

Domınio

Linhas de nıvel

Topologia

Limites

Continuidade

Propriedades das funcoescontınuas

Proposicao

Sejam f e g duas funcoes escalares com domınio contido emRn e contınuas em ~a. Entao,

f + g , f − g , f .g ef

g(g(~a) 6= 0)

sao contınuas em ~a.

Proposicao

Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R contınua em ~a e f : Df ⊆ R −→ Rcontınua em g(~a). Entao

f ◦ g e contınua em ~a.

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Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios I

Estude quanto a continuidade:1(ver figuras)

1

f (x , y) =x2 +

√sin(x + y)− ecos(y)

x − 3

2

f (x , y) =

2xy

x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

3

f (x , y) =

xy 2

x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

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Funcoes

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Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios II

4

f (x , y) =

xy(x2 − y 2

)x2 + y 2

se (x , y) 6= (0, 0)

0 se (x , y) = (0, 0)

5

f (x , y) =

2x + 3y

x − yse x 6= y

5 se x = y

6

f (x , y) =

xy + 1

x2 − yse y 6= x2

0 se y = x2

7

f (x , y) =

{ √1− x2 − y 2 se x2 + y 2 ≤ 1

0 se x2 + y 2 > 1

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Funcoes

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Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios III

8

f (x , y) =

{x + y se x 6= y

0 se x = y

9

f (x , y) =

{ xy

x2 − y 2se x2 6= y 2

0 se x2 = y 2

10

f (x , y) =

(x − 1)y 2

(x − 1)2 + y 2se (x , y) 6= (1, 0)

10 se (x , y) = (1, 0)

11

f (x , y) =

{x + y se y ≤ x2

3x − 1 se y > x2

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Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios IV

12

f (x , y) =

{ey − 2x se y ≤ 2x

ln(y − 2x) se y > 2x

13

f (x , y) =

1− 2y + x se y + x < 0

4 se y + x = 06− x + y se y + x > 0

1Pode confirmar usando http://math.hws.edu/xFunctions/89/1

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Topologia

Limites

Continuidade

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Limites

Continuidade

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Topologia

Limites

Continuidade

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Topologia

Limites

Continuidade

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Topologia

Limites

Continuidade

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Topologia

Limites

Continuidade

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Topologia

Limites

Continuidade

Prolongamento contınuo

Uma funcao f : Df ⊂ Rn −→ R diz-se prolongavel porcontinuidade ao ponto ~a ( ~a 6∈ Df ),se e so se

~a ∈ D ′f e existe lim(~x)→~a

~f (~x) .

O Prolongamento (contınuo) de f a ~a e

f (~x) =

{f (~x) se ~x ∈ Df

lim~x→~a

~f (~x) se ~x = ~a

Nota: esta funcao e contınua.

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Topologia

Limites

Continuidade

Exercıcios I

Determine, se existirem, prolongamentos contınuos de:

1 f (x , y) = e− 1

x2+y2

2 f (x , y) = x2 cos(

1x2+y2

)3 f (x , y) = x2y

x4+y−sin(x)ao ponto (0, 0)

4 f (x , y) = x2

x3+y−tan(x)ao ponto (0, 0)

5 f (x , y) = x3 cos(y)+y3 cos(x)x2+y2 ao ponto (0, 0)

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Topologia

Limites

Continuidade

Continuidade de funcoes vectoriais

Definicao

Uma funcao vectorial e contınua num ponto se e so se todasas suas funcoes coordenadas forem contınuas nesse ponto.

Exercıcios:Estude quanto a continuidade a funcao vectorial~f (x , y) = (f1(x , y), f2(x , y)) onde

f1(x , y) =

x5

x2 + y 2se (x , y) 6= (0, 0)

1 se (x , y) = (0, 0)

ef2(x , y) = cos(x + y)

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Topologia

Limites

Continuidade

Faca um esboco das seguintes regioes

1{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 3, −1 ≤ z ≤ 3, z ≥ 0}

2

{(x , y , z) ∈ R3 : −9 ≤ −

√x2 + y 2, y ≥ 0

}3{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 4, y ≤ 0}

4{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 16, z ≤ 0, x ≥ 0}

5 {(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z2 ≤ 25, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0

}6

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 2−

√x2 + y 2, y ≥ 0

}7{

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z2 + 3, y ≤ x}

8

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 5−

√x2 + y 2, y ≥ 0

}9 {

(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≥ 4, z ≥ x2 + y 2, z ≤ 9, x ≤ 0}

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