02. Eletrostática

ELETROMAGNETISMO - PARTE 1 - Edio 01.2011

Eduardo Fontana, PhD

Professor Titular

Departamento de Eletrnica e Sistemas

UFPE

Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana

Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana

Captulo 2 - Eletrosttica 2.1 Campo Eletrosttico

2.1.1 Lei de Coulomb

2.1.2 Campo eletrosttico

Conceituao do campo eletrosttico

Linhas de campo

2.1.3 O conceito de cargas distribudas

2.2 Lei de Gauss para o Campo Eltrico

2.2.1 Fluxo eltrico atravs de uma superfcie fechada

2.2.2 Determinao de campos atravs da Lei de Gauss

2.3. Potencial Eletrosttico

2.3.1 Definio da funo potencial

2.3.2 Diferena de potencial e circulao do campo eletrosttico

2.3.3 Energia potencial de uma carga puntiforme em uma regio de campos

2.3.4 Energia potencial de uma distribuio de cargas

2.4 Equaes de Maxwell para a Eletrosttica

2.4.1 Forma diferencial

2.4.2 Equao de Poisson

2.4.3 Densidade de energia

2.5 Eletrosttica em Meios Materiais

2.5.1 Potencial e campo do dipolo eltrico

2.5.2. Energia de interao entre campo e diplo eltrico

2.5.3. Campo de uma distribuio de dipolos - Vetor polarizao

2.5.4. Cargas de polarizao e relaes constitutivas em meios materiais

2.5.5. Tipos de meios materiais

Meios lineares

Meios isotrpicos e anisotrpicos

Meios homogneos

Meios no-lineares

2.6. Condies de Contorno

Problemas

2.1 Campo Eletrosttico

2.1.1 Lei de Coulomb

A eletrosttica lida com a interao entre partculas carregadas em

repouso e com a anlise de campos produzidos por distribuies de cargas em

repouso. A carga eltrica uma grandeza fundamental, tal como, por

exemplo, a massa, o comprimento e o tempo. Experimentos demonstraram

que cargas eltricas satisfazem as seguintes propriedades:

Existem dois tipos de carga na natureza, que diferem na forma com que interagem.

Cargas do mesmo tipo se repelem, e cargas de tipos distintos se atraem.

Para representar-se o tipo de interao entre cargas, atribui-se o sinal positivo para cargas de um tipo, e o negativo para cargas pertencentes ao

segundo tipo.

A carga quantizada, e o quantum de carga eltrica corresponde a carga de um eletron e vale 1,60 10-19 Coulombs. O Coulomb a unidade de

carga no Sistema Internacional (SI) de unidades.

A carga total em um sistema isolado conservada. Por sistema isolado nesse caso, subtende-se aquele que bloqueie a entrada ou sada de matria

mas que seja susceptvel a penetrao ou emisso de radiao

eletromagntica.

Historicamente, foi atribudo o sinal negativo

carga do eletron.

Coulomb em 1785

realizando uma srie de

experimentos com uma

balana de toro de alta

preciso, determinou que a

fora entre objetos

puntiformes carregados era

inversamente proporcional ao

quadrado da distncia e

proporcional ao produto das

cargas. Por objetos

puntiformes entendem-se

aqueles cujas dimenses

tpicas sejam pequenas comparadas com a distncia de separao. Foi tambm

observado que a linha de ao da fora era dirigida ao longo da linha de

separao entre cargas. Com base na Fig. 2.1, a relao matemtica obtida por

Coulomb pode ser posta na forma vetorial

(2.1)

onde 0 a permissividade eltrica do vcuo e q1 e q2 so os valores das

cargas localizadas nos pontos e , respectivamente. Em unidades

SI, . Na notao da Eq.(2.1), o termo

representa a fora sobre a carga q2 devido a q1 , que ser repulsiva ou atrativa,

se o produto das cargas for positivo ou negativo, respectivamente.



Um outro resultado importante obtido de observaes experimentais

que a fora eletrosttica obedece ao princpio da superposio, i.e., a fora

total sobre uma carga de teste, produzida por um conjunto de cargas

puntiformes, pode ser obtida somando-se vetorialmente a fora de cada carga

individual, na ausncia das demais. Conseqentemente, para a situao

ilustrada na Fig.2.2, a fora total sobre a carga qt devido ao conjunto de

cargas qi pode ser obtida de,

(2.2)

Fig.2.2 Geometria para o clculo da fora total produzida por um conjunto

de N cargas sobre uma carga de teste qt.

2.1.2 Campo eletrosttico

Conceituao do campo eletrosttico

Observa-se que uma carga eltrica produz uma regio de influncia ao

seu redor. O efeito pode ser sentido por outro objeto carregado posicionado

nas imediaes da carga. Este transmissor de efeito, que faz-se presente no

espao, a partir da existncia de uma partcula carregada, denominado

de campo eletrosttico.

A caracterizao do campo eletrosttico produzido por um conjunto de

cargas eltricas, pode ser feita colocando-se uma carga de teste qt na regio de

campo, e medindo-se a fora eltrica produzida sobre qt. A magnitude da

carga de teste deve ser pequena de forma a no perturbar o campo

originalmente presente. A partir dessa medio, o campo eletrosttico pode ser

definido pela relao

(2.3)

De acordo com essa definio, o campo eletrosttico independente

da existncia de uma carga no ponto de observao, sendo medido, no sistema

SI, em unidades de Newton/Coulomb.

Por exemplo,

uma carga

puntiforme positiva

produz um campo

eltrico radial

conforme ilustrado

na Fig.2.3. A

dependncia espacial

do campo eltrico

nessa situao,

mais

convenientemente

obtida, admitindo-se

um sistema de

coordenadas tendo

como origem a posio da carga puntiforme. Nesse sistema, o vetor campo

eltrico observado no ponto de coordenadas (R,, ), dado por

(2.4)

Como mostra a Eq.(2.4), o vetor campo eltrico de uma carga

puntiforme radial, o que caracteriza a natureza central da fora eletrosttica,

sendo dependente apenas do inverso do quadrado da distncia.

A generalizao da Eq.(2.3) para o campo produzido por um conjunto

de cargas discretas obtida diretamente da expresso para a fora eletrosttica

dada pela Eq.(2.2), resultando em

(2.5)



Linhas de campo

Considere-se a existncia no espao de uma distribuio de cargas que

produz um campo eltrico. Se uma carga de teste positiva fosse colocada em

um determinado ponto dessa regio, sofreria uma acelerao que, em cada

ponto da trajetria, teria mesma direo e sentido do vetor fora eltrica, e por

conseguinte do vetor campo eltrico sobre a carga de teste. Uma linha de

campo uma curva que fornece, em cada ponto, a direo inicial da

trajetria que seria descrita por uma carga de teste inicialmente em repouso.

importante salientar que a linha de campo assim definida no corresponde

a trajetria completa que seria seguida pela carga de teste uma vez que esta

deve estar inicialmente em repouso e no em movimento, de acordo com a

definio.

Para uma dada distribuio de campo eltrico, equaes para as linhas

de campo podem ser obtidas fazendo-se as correspondncias apropriadas entre

as componentes do campo e as coordenadas. Considere-se por exemplo o

traado de linhas em um plano, com o campo decomposto em uma base

ortonormal do tipo

De acordo com a definio de linha de campo, o vetor campo eltrico

deve ser tangente a curva correspondente em cada ponto. Sendo dl1 e dl2 os

comprimentos diferenciais ao longo das direes 1 e 2, respectivamente, a

equao da linha de campo tem de satisfazer a relao

(2.6)

Conhecendo-se a dependncia espacial das componentes do campo,

pode-se resolver a equao diferencial expressa pela Eq.(2.6) para obteno da

equao da linha que passa por um dado ponto do espao. Se uma soluo

analtica da Eq.(2.6) no puder ser obtida, recorrem-se a mtodos numricos

de soluo. Com a difuso de softwares de computao matemtica

compatveis com o sistema operacional Microsoft Windows, tais como Mathcad, Matematica eMatlab, o clculo e traado de linhas de

campo pode ser prontamente programado.

Exemplo 2.1. Traado de linhas

de campo utilizando Mathcad

Considere-se como

exemplo o traado das linhas de

campo de um par de cargas de

sinais opostos, conforme ilustrado

na Fig.2.4. Em um ponto do

plano xy definido pelo vetor

posio, , o vetor campo

eltrico obtido da soma vetorial,

Utilizando-se a transposta da matriz de transformao dada pela

Eq.(1.8), o vetor posto na forma,

resultando em

donde,

Utilizando-se a Eq.(2.6), com dl2=dr, dl1=rd , resulta em

Dado um valor inicial ri para a funo r, valores subseqentes podem

ser obtidos para pequenos incrementos d, a partir da aproximao de Taylor,

onde os valores do primeiro membro so calculados iterativamente a partir de

um dado valor inicial.. A Fig.2.5 ilustra algumas linhas de campo calculadas

com o emprego do aplicativo Mathcad cujo cdigo est mostrado no Quadro

2.1. Nesse clculo, utilizou-se d = 1 e 400 pontos de iterao. Cinco linhas

de campo no semi-plano y 0 foram geradas no intervalo 5o 175o, a partir de valores iniciais, =5o, r = 0.75, 0.85, 0.95, 1.05, 1.15, respectivamente. Linhas de campo no semi-plano y 0 so simtricas com respeito ao eixo x.

Fig.2.5 Linhas de campo para o diplo eltrico



Quadro 2.1 Cdigo Mathcad correspondente ao Exemplo 2.1 Traado de linhas de campo para o diplo eltrico

copyright by Eduardo Fontana, 1994

Mathcad d := 1

N := 400 Nmero de pontos k := 0 ...4 Subscrito utilizado para denotar 5 pontos iniciais distintos

i := 1..N+1 Subscrito utilizado para calcular N pares de coordenadas

:= Valor inicial do azimute

:= Valor final do azimute r0,k := 0.1k + 0.75 Valores iniciais para a varivel r

Incremento da varivel azimutal Calcula a varivel azimutal na iterao de ordem i : i := (i-1) + Calcula a varivel r na aproximao em 1

a orde de Taylor :

Transforma coordenadas para o sistema xy e plota :

xi,k := ri,k cos [i] yi,k := ri,k sen [i]

2.1.3 O conceito de cargas distribudas

No clculo do campo eletrosttico resultante de um grande nmero de

cargas discretas, como por exemplo, aquelas compondo um meio

macroscpico, muitas vezes conveniente definir uma funo densidade, que

fornea uma medida da distribuio de cargas no meio em questo. Na Fig.

2.6, est ilustrado um elemento de volume diferencial com dimenses lineares

pequenas comparadas com a escala de variao do campo, o que equivale a

admitir que o volume diferencial esteja contido no interior de uma esfera de

raio , tal que,

(2.7)

onde define o centro do elemento de volume, e define o ponto de

observao. Por outro lado, para que se obtenha uma boa medida da

quantidade de carga existente no interior do volume diferencial, necessrio

que sua dimenso caracterstica seja grande comparada com as distncias

inter-atmicas, de forma a conter um grande nmero de elementos de carga. O

campo eletrosttico gerado pelos elementos de carga contidos no volume

diferencial pode ser obtido diretamente da Eq.(2.5),



Com base na condio expressa pela Eq.(2.7), pode-se escrever,

resultando em

Fig.2.6. Geometria para determinao do campo produzido

por um elemento diferencial de volume de um meio material. Da ltima relao, a contribuio para o campo eltrico observado no

ponto , depende da carga total contida no volume diferencial, mas

independe de como essa carga esteja distribuda no volume.

Conseqentemente, pode-se assim definir uma funo densidade de carga, tal

que

donde

(2.8)

e o campo produzido pelo elemento diferencial obtido de

(2.9)

O campo total produzido pelas cargas no volume V pode ser assim

obtido integrando-se diretamente a Eq. (2.10), o que fornece,

(2.10)



Existem situaes em que pode-se admitir a carga distribuda sobre

uma superfcie ou mesmo sobre uma curva, conforme ilustrado nas Figs.2.7b e

2.7c, respectivamente. Nessas situaes, densidades superficial e linear de

carga podem tambm ser respectivamente definidas, a partir das relaes:

(2.11)

(2.12)

(a) (b)

(c) Fig.2.7. Geometria para o clculo do campo eltrico para distribuies de

carga, (a) volumtrica, (b) superficial e (c) linear.

Campos gerados pelas distribuies ilustradas nas Figs.2.7b e 2.7c

podem ser expressos nas formas gerais:

Distribuio superficial de cargas:

(2.13)

Distribuio linear de cargas:

(2.14)

Exemplo 2.2. Campo produzido por uma esfera exibindo distribuio

uniforme de carga. Considere-se uma esfera de

raio a, uniformemente carregada

com densidade de carga ,

conforme ilustrado na Fig.2.8. Se a

carga total na esfera Q, ento a

densidade uniforme

simplesmente,

O objetivo determinar-se o campo eletrosttico gerado por essa

distribuio. Sem perda de generalidade, o ponto de observao escolhido

sobre o eixo z.. Utilizando-se a Eq.(2.10), com , vem

O elemento de volume em coordenadas esfricas dado por,

donde,



Para resolver-se a integral, necessrio explicitar-se a dependncia do

vetor varivel , o que pode ser feito a partir de sua decomposio nos

vetores de base do sistema xyz,

O denominador do integrando obtido de,

Os termos do integrando, dependentes das funes peridicas ,

fornecem contribuio nula aps integrao no intervalo de um perodo

completo dessas funes. Assim, o vetor campo eltrico assume a forma

A integrao em ' realizada a partir da mudana de variveis,

donde,



Resolvendo-se a integral na varivel u, resulta em

Para a integral em R', note-se que o termo entre colchetes da forma:

logo,

Se o ponto de observao exterior a esfera, z > a R, o que fornece

Se o ponto de observao interior a esfera vem

Note-se que a escolha do eixo z arbitrria, e o campo eltrico radial

a partir do centro da esfera. Conseqentemente, sendo R a distncia medida

at o ponto de observao, a expresso geral para o campo reduz-se a,

importante observar-se que o campo pode ser representado em ambas

as situaes na forma,

onde a carga total envolvida por uma esfera imaginria de raio R. A

carga envolvida em termos da densidade de carga dada por,



Na Fig.2.9, est

ilustrada a dependncia

em R da

componente . Note-

se que a dependncia

linear para pontos no

interior da esfera,

variando inversamente

com o quadrado da

distncia para pontos

exteriores.

2.2 Lei de Gauss para o Campo Eltrico

2.2.1 Fluxo eltrico atravs de uma superfcie fechada

A natureza central e a dependncia com o inverso do quadrado da

distncia, do campo eletrosttico, conforme previsto pela lei de Coulomb,

implica em uma propriedade de conservao para o fluxo das linhas de campo

eltrico atravs de uma superfcie fechada. Considere-se inicialmente uma

carga puntiforme q, localizada na origem de um sistema de coordenadas,

interior a uma superfcie fechada imaginria e de forma arbitrria, conforme

ilustrado na Fig.2.10a. No vcuo, o fluxo eltrico E para fora da regio limitada por essa superfcie definido pela relao,

(2.15)

Em um ponto sobre a superfcie, definido pelo vetor posio ,

o vetor campo eltrico dado por,

resultando em

onde , a componente radial do vetor cuja magnitude

corresponde quela do elemento diferencial de rea perpendicular ao vetor

unitrio . Em termos do elemento diferencial de ngulo

slido, , ilustrado na Fig. 2.10a, pode-se escrever,



importante observar-se que a partir da introduo do parmetro d, a superfcie fechada subtende um ngulo slido total

e portanto,

o que implica na seguinte lei de conservao para as linhas de campo

eletrosttico,

(2.16)

(a) (b)

Fig.2.10 (a) Carga envolvida por uma superfcie imaginria e geometria

utilizada para computar o fluxo eltrico atravs da superfcie. (b)

Determinao do fluxo eltrico quando a carga exterior ao volume limitado

pela superfcie.

Ou seja, independentemente da localizao da carga e do formato da

superfcie que encerra essa carga, o fluxo eltrico sempre igual ao valor da

carga envolvida pela superfcie. A questo a se considerar a partir da

propriedade obtida da Eq.(2.16), a seguinte: o que ocorreria se a carga

envolvida fosse colocada na regio exterior ao volume limitado pela superfcie

? Note-se que para responder a essa questo, no basta atribuir-se o valor q =

0 na Eq.(2.16), pois isso poderia implicar a no existncia de um campo

eltrico, levando-se a concluso bvia de um fluxo eltrico lquido nulo. Para

analisar-se essa questo considere-se o clculo da Eq.(2.15), para a situao

ilustrada na Fig.2.10b. A superfcie fechada dividida em duas superfcies 1 e 2. Sobre 1 o produto escalar do integrando da Eq.(2.15) sempre positivo, sendo sempre negativo sobre 2 , logo,

que em termos do ngulo slido pode ser posto na forma,

onde a ltima relao decorre do fato de termos um mesmo ngulo

slido , subtendido por ambas as superfcies, conforme ilustrado na

Fig.2.10b. Ou seja:

O fluxo eltrico para o exterior da regio limitada por uma superfcie fechada igual a carga envolvida por essa surperfcie,

com cargas exteriores no exercendo qualquer influncia na

determinao do fluxo Esse resultado pode ser generalizado para o caso de um nmero

arbitrrio de cargas discretas, pela aplicao direta do princpio da

superposio. Para isso considere-se a situao ilustrada na Fig.2.11a, onde

existe um conjunto de N cargas, com as N1 primeiras limitadas pela superfcie

, e as (N - N1) subseqentes, localizadas no exterior do volume limitado pela mesma superfcie. O campo total gerado pelo conjunto de N cargas dado

por,

onde o campo produzido pela carga . O fluxo eltrico atravs de dado

por,



A segunda soma corresponde ao fluxo eltrico devido as cargas

exteriores superfcie , sendo portanto nulo. A primeira soma, corresponde carga total lquida limitada pela superfcie , e de acordo com a Eq.(2.16),

(2.17)

importante observar-se que no primeiro membro da Eq.(2.17), o

campo eltrico que aparece no integrando o campo total produzido

pelas N cargas, sejam elas internas ou externas.

Se a carga est distribuda continuamente com densidade em um

volume V, conforme ilustrado na Fig.2.11b, ento a Eq.(2.17) pode ser posta

na forma,

(2.18)

onde o volume de integrao no segundo membro, aquele limitado pela

superfcie , conforme ilustrado na Fig.2.11b. As Eqs.(2.17) e (2.18) so as formas da lei de Gauss para distribuies discreta e contnua, respectivamente.

(a) (b)

Fig.2.11. Aplicao da lei de Gauss para:(a) distribuio discreta de cargas;

(b) distribuio contnua de cargas.



2.2.2 Determinao de campos atravs da Lei de Gauss

Na presente seo so examinadas algumas situaes favorveis a

determinao de campos atravs da lei de Gauss. Nessa formulao quer-se

determinar o campo eltrico a partir da Eq. (2.18), para uma dada distribuio

de cargas . Uma vez que o campo eletrosttico aparece no integrando da Eq.(2.18), sua determinao s ser possvel quando a componente normal

superfcie for constante, permitindo assim extrair-se aquela componente do

integrando da Eq.(2.18). Situaes dessa natureza ocorrem, em geral, quando

a distribuio de carga exibe um alto grau de simetria.

Assim, o emprego dessa formulao, requer obteno a priori, de respostas

as seguintes questes:

Quais componentes de campo esto presentes?

De que coordenadas o campo depende?

Exemplo 2.3. Campo de uma esfera uniformemente carregada.

Considere-se novamente o exemplo da esfera de raio a, onde o campo

eltrico foi determinado no Exemplo 2.2 pelo uso da Eq.(2.14). Para

determinar-se de que coordenadas as componentes de campo dependem,

analisa-se inicialmente a simetria da distribuio. Como a funo densidade

possui simetria esfrica, i.e., a funo densidade independente das

coordenadas angulares, pode-se definir um sistema de coordenadas com

centro coincidente com o centro da esfera. Nesse sistema, qualquer operao

de rotao em torno de qualquer eixo passando pelo centro da esfera, no

modifica a distribuio de carga. A partir dessa operao de simetria, conclui-

se que as componentes do vetor campo eltrico s devem depender da

distncia R ao centro da esfera. Sabe-se tambm que esse tipo de configurao

produz um campo com uma componente radial apenas. Conseqentemente, o

campo eletrosttico deve ser do tipo,

A prxima etapa determinar-se uma superfcie Gaussiana sobre a qual

a componente normal do campo seja constante. Como o campo radial e s

depende da varivel R, a superfcie deve satisfazer a equao , que

corresponde a superfcie de uma esfera. Se a superfcie Gaussiana tal

que, , a Eq.(2.18) conduz a:

Se , a integral de volume realizada sobre toda a esfera de raio a,

resultando em

Essas expresses so idnticas quelas obtidas no Exemplo 2.2,

atravs do princpio da superposio que envolve uma maior manipulao

algbrica.

Exemplo 2.4 Campo eletrosttico para um fio retilneo uniformemente

carregado.

Considere-se um fio retilneo infinitamente longo, com carga

uniformemente distribuda com densidade linear (C/m). Para essa

distribuio importante observar-se que o sistema de coordenadas que mais

se adapta a simetria do problema o cilndrico, devido a prpria forma

cilndrica do fio retilneo. A escolha mais adequada para o eixo de simetria do

sistema aquela coincidente com o eixo do fio, conforme ilustrado na

Fig.2.12. Nesse sistema de coordenadas, pode-se extrair as seguintes

observaes:

Como o fio infinitamente longo, no importa em que plano transversal do fio esteja localizado o plano xy, o que implica na existncia de simetria

de translao ao longo da direo z. Assim, as componentes de campo que

existirem independem da varivel z, uma vez que a distribuio

inalterada perante translao ao longo dessa direo.

Rotaes arbitrrias no ngulo , tambm no alteram a distribuio de carga, indicando tambm que as componentes presentes do campo

independem dessa varivel.

As componentes do campo devem portanto depender apenas da varivel r.

Para determinao das componentes de campo presentes pode-se, por

exemplo, aplicar o princpio da superposio, na forma ilustrada na Fig.2.12.

Como pode ser a observado, o campo resultante da contribuio de um par de

elementos de carga, localizados simetricamente com respeito ao plano xy

dirigido no sentido do vetor . Pode-se portanto decompor toda a

distribuio em pares de cargas diferenciais, simetricamente localizados em

relao ao plano xy, e concluir-se que o campo eltrico resultante da forma

Fig.2.12 Geometria utilizada para a determinao do campo eletrosttico de

um filamento retilneo infinitamente longo atravs da lei de Gauss.



A partir dessas consideraes, conclui-se que a superfcie gaussiana

apropriada para a geometria do problema deve ser da forma,

. Escolhendo-se uma seo longitudinal de comprimento l de uma superfcie

cilndrica, conforme ilustrado na Fig.2.12 e notando-se que o fluxo eltrico s

existe atravs dessa superfcie, a aplicao da Eq.(2.18) resulta em

Sobre a superfcie cilndrica, , e conseqentemente,

donde,

Com base na lei de Gauss para o campo eletrosttico, e utilizando-se

consideraes semelhantes quelas descritas anteriormente, pode-se mostrar

que o campo eletrosttico produzido pelo plano infinito com carga

uniformemente distribuda com densidade superficial s, ilustrado na Fig.2.13, constante acima ou abaixo do plano, e dado por

.

Fig.2.13 Geometria utilizada para a determinao do campo eletrosttico do

plano infinito uniformemente carregado.



2.3. Potencial Eletrosttico

2.3.1 Definio da funo potencial

Considere-se a Eq.(2.10) para o campo produzido por uma distribuio

de cargas suspensas no vcuo,

(2.10)

onde deve-se notar que as variveis de integrao so aquelas relacionadas ao

vetor posio , que define a localizao do elemento diferencial de carga

no volume de integrao. Considerando-se o fator no integrando,

nota-se que este pode ser obtido da operao,

onde o operador atua sobre as coordenadas do vetor posio . Portanto, a

Eq.(2.10) pode ser reescrita na forma,

ou ainda,

(2.19)

A Eq.(2.19) indica que o campo eletrosttico pode ser obtido do

gradiente de uma funo escalar. Essa funo escalar a funo potencial

eletrosttico resultante da distribuio de cargas, e dada por,

(2.20)

No sistema SI, a funo potencial medida em Nm/C que a

denominao do Volt nesse sistema. Note-se que a adio de uma constante

arbitrria no segundo membro da Eq.(2.20) no altera o valor do campo

eltrico obtido da Eq.(2.19). Conseqentemente, a funo potencial definida

a menos de uma constante. Essa constante pode ser definida estabelecendo-se

uma referncia para o potencial em um ponto ou superfcie no espao. Para

distribuies fsicas, isto , distribuies que podem ser localizadas no interior

de um volume finito, uma referncia de potencial nulo geralmente imposta

para pontos arbitrariamente afastados da distribuio.



Devido a natureza escalar da funo potencial, o problema de

determinao do campo de uma distribuio de cargas, simplificado com o

auxlio dessa funo, pois a integrao vetorial presente na Eq.(2.10), que

envolve a obteno de trs componentes vetoriais eliminada, dando lugar a

uma nica integrao escalar, como expresso pela Eq.(2.20). Como

demonstra a Eq.(2.19), obtida a funo potencial, o vetor campo eltrico pode

ento ser determinado da relao

(2.21)

Por exemplo, para uma carga puntiforme q, pode-se utilizar a

Eq.(2.20), com

e notando-se que constante sobre a regio ocupada pela carga

puntiforme, obtm-se

onde define a posio da carga q, e corresponde ao ponto de

observao. Portanto, para uma carga puntiforme, o potencial eletrosttico

inversamente proporcional a distncia medida desde a carga at o

ponto de observao. Para um conjunto de N cargas discretas, com a i-sima carga

localizada no ponto , o potencial total pode ser obtido pela soma das

contribuies individuais, na forma,

(2.22)

2.3.2 Diferena de potencial e circulao do campo eletrosttico

O potencial eletrosttico formado pela superposio de funes que,

excludos os pontos de singularidade, assumem valores bem definidos em

cada ponto do espao, conforme demonstram as Eqs. (2.20) e

(2.22). Conseqentemente, estabelecido um valor de referncia, o potencial

eletrosttico univocamente especificado.

Considere-se um caminho arbitrrio C1 ligando dois

pontos P1 e P2 conforme ilustrado na Fig.2.13, a diferena de potencial entre

esses dois pontos pode ser obtida de

donde,

(2.23)



Na Eq.(2.23), e so os valores assumidos pela funo potencial

nos pontos P1 e P2 , respectivamente. A unicidade da funo potencial em

cada ponto do espao implica que a integral de linha no segundo membro da

Eq.(2.23) independe da escolha da curva conectando os

pontos P1e P2. Conseqentemente, se for escolhido o caminho fechado

formado pela unio de C1 e C2conforme ilustrado na Fig.2.13, tem-se que

ou equivalentemente,

(2.24)

A Eq.(2.24), indica que o campo eletrosttico possui circulao nula,

Esse era um resultado esperado em vista de o campo eltrico ser uma

grandeza vetorial derivada do gradiente de uma funo escalar.

Em resumo:

As Eqs.(2.18) e (2.24) descrevem o comportamento

bsico do campo eletrosttico de cargas no vcuo e

correspondem as Eqs. de Maxwell para a eletrosttica

no vcuo, na forma integral.

Com base nas propriedades da operao gradiente, conclui-se que as

linhas de campo so sempre perpendiculares as superfcies equipotenciais e

que o vetor campo eltrico tem magnitude igual a mxima taxa de variao da

funo potencial, sendo dirigido no sentido de diminuio do valor dessa

funo no ponto considerado.

Fig.2.14 Caminho fechado utilizado para o clculo da circulao do campo

eltrico



2.3.3 Energia potencial de uma carga puntiforme em uma regio de campos

A funo potencial tem uma relao direta com a energia de interao

entre cargas e campos. Considere-se uma regio onde existe um campo

eltrico . Quer-se computar a energia de uma carga de teste em um

ponto dessa regio. Para isso imagina-se que um agente externo fictcio traga

essa carga de um ponto distante, onde a carga no interage com o campo, at o

ponto de localizao final, seguindo, por exemplo, a trajetria definida pela

curva C ilustrada na Fig.2.14. Para computar-se corretamente a energia, o

agente externo deve trazer a carga em movimento uniforme, isto ,

imprimindo uma fora de forma a equilibrar a fora eltrica devida

ao campo , em todos os pontos da trajetria. Dessa forma, o trabalho

realizado pelo agente fictcio dever corresponder a energia adquirida pela

carga de teste para ser posta na regio de campo. A condio de equilbrio de

foras ao longo da trajetria pode ser posta na forma

Fig.2.15. Geometria utilizada no clculo da energia potencial de uma carga

discreta em uma regio de campo.

O trabalho realizado pelo agente externo , ou equivalentemente, a

energia adquirida pela carga, obtida de,

donde,

(2.25)

A Eq.(2.25) mostra que a funo potencial resultante de uma dada

distribuio de cargas, calculada em um ponto no espao, corresponde a

energia que seria adquirida por uma carga unitria ao ser trazida quele ponto.



2.3.4 Energia potencial de uma distribuio de cargas

Considere-se a questo de determinao da energia de interao

associada a um conjunto de cargas discretas. Admite-se que a configurao

final consiste de N cargas discretas, com a carga qidesse conjunto localizada

no ponto . Para determinar-se a energia de interao, seja inicialmente a

carga localizada em sua posio final no conjunto, e o clculo do trabalho

realizado por um agente externo fictcio para trazer a carga at a sua

posio final, prxima de . Com base na Eq.(2.25), essa energia dada por,

U = W12 = q2 12 onde

o potencial eletrosttico produzido pela carga na posio da carga .

Note-se que,

W12 = W21

e portanto essa primeira contribuio para a energia pode ser escrita na forma,

Continuando-se com esse processo, e trazendo-se a carga para sua

posio final na distribuio, a expresso para U se torna,

podendo ser posta na forma,



Uma inspeo dessa ltima expresso permite identificar cada fator

como o produto de uma das cargas do conjunto com o potencial eletrosttico

produzido pelas demais. Conseqentemente, se esse procedimento for

estendido para formar-se a configurao final de N cargas, obtm-se,

(2.26)

onde o potencial eletrosttico calculado sobre a carga devido as

demais cargas no conjunto. A Eq.(2.26) representa a energia de

interao entre as N cargas, e exclui termos de auto-energia, i.e., termos de

interao da carga com o campo produzido por ela prpria.

O resultado obtido para um conjunto de cargas discretas pode ser

generalizado para uma distribuio contnua de cargas, pelas substituies,

resultando em,

(2.27) Exemplo 2.6: Energia potencial de uma esfera uniformemente carregada

Considere-se a determinao da energia eltrica necessria formao

da distribuio uniforme de cargas no interior da esfera de raio a, considerada

no Exemplo 2.2. Para utilizao da Eq.(2.27), o potencial eletrosttico no

interior da distribuio deve ser inicialmente determinado. Sem perda de

generalidade, essa funo pode ser calculada em um ponto sobre o semi-

eixo z > 0, a uma distncia R da origem. Utilizando-se a Eq.(2.20),

Fazendo-se a substituio de variveis utilizada no Exemplo 2.2,

vem,

com, . Realizando-se a integrao na varivel u,

vem,



Se o potencial calculado no exterior da distribuio, ento R > a, e a

funo potencial assume a forma,

,

que a dependncia caracterstica com o inverso da distncia. Se R < a,

ento, deve-se considerar o comportamento do integrando para R' < R e R' >

R. Para isso note-se que,

resultando em,

donde,

Devido a simetria esfrica da distribuio, o potencial depende apenas

da varivel R, i.e., os resultados obtidos so vlidos independentemente da

escolha da direo z, no nosso sistema de coordenadas. Para calcular-se a

energia, utiliza-se a Eq.(2.27), onde deve-se observar que a integrao

realizada no volume da distribuio de carga, ou seja,

(2.28a) ou em termos da carga Q da esfera,

(2.28b)

A Eq.(2.28a) mostra que para uma distribuio contnua a energia tende

a zero, se o volume da distribuio tender a um valor nulo. A Eq.(2.28b) serve

para ilustrar o comportamento da auto-energia de uma carga puntiforme, que

seria obtida mantendo-se a carga Q em um valor finito, e fazendo-se a 0 o que resultaria em uma auto-energia infinita.



2.4 Equaes de Maxwell para a Eletrosttica

2.4.1 Forma diferencial

A partir da lei de Coulomb, obtm-se as duas relaes integrais

representadas pelas Eqs.(2.18) e (2.24) , transcritas a seguir,

(2.18)

(2.24)

que juntamente com a expresso para a fora eletrosttica sobre uma

distribuio de carga, obtida da Eq.(2.3),

(2.29)

so suficientes para descrever o comportamento de campos eletrostticos, bem

como a interao entre corpos carregados. Essas equaes integrais para o

campo so casos particulares das relaes mais gerais obtidas por James

Clerck Maxwell no final do Sculo 19, para descrever o comportamento de

campos eletromagnticos.

Como discutido anteriormente, o uso dessa formulao integral para

determinao do vetor se restringe a situaes onde as distribuies de

carga apresentem um alto grau de simetria. Este raramente o caso

encontrado na prtica, onde uma relao entre campo e fonte vlida ponto a

ponto mais apropriada.

Para obter-se equaes diferenciais, relacionando campo e fonte,

considere-se a aplicao do teorema de Gauss [Eq.(1.46)] ao primeiro membro

da Eq.(2.18),

Essa relao independente da escolha do volume de integrao. Em

particular, para um volume diferencial dV,

resultando na forma diferencial da lei de Gauss,

(2.30)

A Eq.(2.30) mostra que a operao divergncia realizada sobre o vetor (

) em um dado ponto do espao, indica a existncia de carga naquele

ponto, aqui representada localmente pela densidade volumtrica .

Aplicando-se o teorema de Stokes [Eq.(1.48)] ao primeiro membro da

Eq.(2.24), vem,

Como essa ltima relao vlida qualquer que seja a rea de

integrao, o mesmo ocorrer sobre uma rea diferencial dS, o que fornece,

Nenhuma restrio foi imposta quanto a orientao do vetor rea

diferencial . Logo, essa relao s poder ser verificada se,

(2.31)

o que mostra que o campo eletrosttico irrotacional.



2.4.2 Equao de Poisson

As Eqs.(2.30) e (2.31) so equaes diferenciais que descrevem o

campo eletrosttico em cada ponto do espao, podendo ser utilizadas para sua

determinao, independentemente da geometria da distribuio de

cargas. Essas equaes podem ser resolvidas com o auxlio da funo

potencial. Para isso, note-se que o rotacional nulo do vetor , implica que

esse pode ser derivado da funo potencial como j mostrado anteriormente

na Eq.(2.21). Isso tambm decorrncia direta da identidade vetorial

expressa pela Eq.(1.37), ou seja,

Substituindo a Eq.(2.21) na Eq.(2.30), tem-se que,

donde

(2.32)

que a Equao de Poisson, vlida para distribuies de cargas no vcuo. A

soluo dessa equao, no caso especial em que a distribuio de carga est imersa em uma regio ilimitada, dada pela Eq.(2.20), essa ltima tendo

surgido da prpria definio e clculo do potencial eletrosttico produzido por

uma distribuio de cargas. Mtodos de soluo da equao de Poisson em

casos envolvendo no s a existncia de distribuies de carga como tambm

a presena de superfcies condutoras e meios materiais distintos na regio de

interesse, sero tratados no Captulo 3.

2.4.3 Densidade de energia

Na Seco 2.3.4 obteve-se uma expresso para a energia eltrica

associada a uma distribuio de cargas existindo no espao sem fronteiras. A

expresso a obtida, envolvia uma integral volumtrica do produto das

grandezas e , calculada sobre o volume da distribuio, ou seja, expressa sob o ponto de vista da fonte do campo eletrosttico. Alternativamente,

pode-se imaginar essa energia como estando distribuda no espao de

existncia do campo. Para isso, considere-se a Eq.(2.27), que com o auxlio

da Eq. (2.30), pode ser posta na forma,

utilizando-se a Eq.(1.31), com , tem-se que,

e utilizando-se a Eq.(2.21) vem,



Nessa ltima expresso, importante observar que a integrao

realizada em todo o espao de existncia do campo eletrosttico. A integral

pode ainda ser posta na forma,

A primeira integral pode ser transformada em uma integral de

superfcie com base no teorema de Gauss, o que fornece,

Para distribuies de carga existindo em uma regio sem fronteiras, a

superfcie de integrao que aparece no primeiro termo envolve todo o espao

de existncia do campo. Portanto, essa superfcie tomada a uma

distncia R , com R medido desde o centro da distribuio at um ponto sobre a superfcie. Levando-se em conta que a distribuio localizada, o

potencial e campo eltrico para R assumem as respectivas formas assintticas,

onde q a carga total na distribuio. Com ,

fornecendo portanto,

(2.33)

A Eq.(2.33) representa a energia eltrica estabelecida por uma

distribuio de cargas,expressa no ponto de vista do campo

eletrosttico. Nesse ponto de vista, a energia interpretada como estando

distribuda em todo o espao. De acordo com essa interpretao, pode-se

definir umadensidade de energia,

(2.34)

que permite associar regies de alta ou baixa energia como aquelas exibindo

campos de alta ou baixa magnitude, respectivamente.



Considere-se, por exemplo, a obteno da energia associada a

distribuio de cargas do Exemplo 2.6, com o emprego da Eq.(2.33). O campo

em cada ponto do espao, obtido do Exemplo 2.3, dado por,

Utilizando-se a Eq.(2.33) vem,

que corresponde ao resultado previsto pela Eq.(2.28a).



2.5 Eletrosttica em Meios Materiais 2.5.1 Potencial e campo do dipolo eltrico

Um par de cargas de sinais opostos constitui um dipolo eltrico.

Dipolos na matria podem ser produzidos pela aplicao de um campo

eltrico nos tomos ou molculas constituintes, resultando em uma separao

dos centros de cargas positiva e negativa correspondentes. Dipolos assim

gerados, produzem campos que se superpem ao campo externamente

aplicado.

Em outros tipos de

materiais, a configurao

molecular de seus elementos

constituintes tal que os

centros de cargas so

intrinsecamente separados,

dando origem a dipolos

permanentes que existem

independentemente da

presena de um campo

externo. Quando um campo

externo aplicado nesses

materiais, os dipolos

permanentes, inicialmente

orientados desordenadamente,

tendem a alinhar-se com o

campo. Nesse processo o

campo produzido pelo

conjunto de dipolos

razoavelmente intenso,

superpondo-se ao campo

externo.

Em ambas as situaes o campo em um meio material constitudo de

dipolos diferente do campo externamente aplicado, devido ao campo de

reao no material. Dessa forma, para determinar-se o campo no interior ou

nas proximidades de um material constitudo de dipolos, necessrio analisar

as propriedades eltricas do elemento fundamental, eletricamente neutro, aqui

denominado de dipolo eltrico.

Com esse propsito considere-se o comportamento da funo potencial

e campo eletrosttico para o dipolo eltrico ilustrado na Fig.2.16. O potencial

no ponto P obtido a partir da Eq.(2.22),

e o campo eltrico obtido da relao,



Uma situao de interesse prtico ocorre quando a distncia do ponto

de observao origem grande comparada com a distncia de separao

entre cargas. Essa situao tpica daquela encontrada em meios materiais,

onde a distncia de separao tipicamente menor do que uma dimenso

atmica ou molecular, e a distncia ao ponto de observao corresponde a

escala macroscpica de variao das grandezas de campo. Reescrevendo-se a

funo potencial na forma,

,

com o auxlio da varivel auxiliar,

e com base na aproximao de Taylor em 1a. ordem

,

, vem

donde,

Define-se o momento de dipolo de uma distribuio de cargas pela

expresso geral,

Para o caso das duas cargas discretas ilustradas na Fig.2.15, essa

integral reduz-se a:

,

e a funo potencial pode ser reescrita na forma,

(2.35)

A Eq.(2.35) permite extrair as seguintes observaes:

Para uma carga puntiforme(monopolo eltrico), o potencial varia na

proporo 1/R

Para o dipolo eltrico, o potencial varia na proporo 1/R2

O campo eltrico obtido diretamente da Eq.(2.21) que em coordenadas

esfricas da forma:

que com o emprego da Eq.(2.35) resulta em

(2.36)



Alguns valores especficos assumidos pelo campo em sub-regies do espao

tridimensional esto ilustrados a seguir:

No plano z = 0 ,

Sobre o semi-eixo z > 0 ,

Sobre o semi-eixo z < 0 ,

As linhas de campo do diplo eltrico podem ser traadas em um plano

contendo o eixo z, com base na formulao desenvolvida na Seo 2.1.

Utilizando-se a Eq.(2.6), obtm-se,

que resulta na equao diferencial,

A equao descrevendo o comportamento de cada linha de campo,

resolvida por integrao direta da equao diferencial. Assumindo-se o valor

inicial , resulta em

donde

(2.37)

A forma assinttica do conjunto de linhas de campo, traadas no plano

contendo o eixo z, e obtidas da Eq.(2.37), est ilustrada na Fig.2.17.

Fig.2.17. Linhas de campo para o diplo eltrico obtidas a partir da Eq.(2.37)



2.5.2. Energia de interao entre

campo e diplo eltrico

Considere-se um diplo

eltrico imerso em uma regio de

campo, conforme ilustrado na

Fig.2.18. A energia de interao

entre campo e diplo pode ser obtida diretamente a partir da interpretao

fsica da funo potencial. A expresso, a ser obtida, serve para elucidar a

compreenso de fenmenos de interao de meios materiais com campos

eletromagnticos.

Na geometria da Fig.2.18, admite-se que o campo eltrico derivado

da funo potencial . A energia de interao U, a soma das energias potenciais das duas cargas que compem o diplo,

Assumindo-se que a funo potencial varie pouco sobre a distncia de

separao entre as cargas, pode-se utilizar a aproximao de Taylor em 1a.

ordem,

o que fornece


(2.38)

Da Eq.(2.38) nota-se que:

A energia mnima quando o diplo est alinhado com o campo.

A energia mxima quando campo e diplo so antiparalelos

Assim, a tendncia

natural do dipolo eltrico a

de orientar-se no sentido do

campo aplicado, pois esta a

condio em que a energia

de interao minimizada.

Pode-se determinar a

energia de interao entre

dois diplos a partir das

Eqs.(2.36) e (2.38). Considerando-se a configurao ilustrada na Fig.2.19,

fcil mostrar que a energia de interao da forma,

(2.39)



2.5.3. Campo de uma distribuio de dipolos - Vetor polarizao

Considere-se o caso mais

geral de uma distribuio de

dipolos em um determinado

volume V, conforme ilustrado na

Fig.2.20. Esta a situao obtida,

por exemplo, em meios materiais

isolantes neutros, cujo efeito

eltrico predominante aquele de

seus dipolos constituintes. Apesar

da natureza discreta da estrutura da

matria, do ponto de vista

macroscpico pode-se assumir que

os dipolos estejam distribudos

continuamente no interior do

volume V. Sob esse ponto de vista,

utiliza-se a descrio usual para o volume diferencial de um meio material, ou

seja, ele deve ser grande comparado com distncias interatmicas, e ainda

assim pequeno comparado com a escala tpica de variao das grandezas que

definem o campo eletrosttico.

Para computar-se o momento de dipolo lquido em um dado volume

diferencial dV' do material localizado no vetor posio , introduz-se

o vetor polarizao , definido pela relao:

(2.40)

Da definio dada pela Eq.(2.40), pode-se notar que a unidade SI dessa

grandeza o C/m2 . Dessa expresso, dado dV e o valor do vetor polarizao, obtm-se diretamente o momento de dipolo lquido no volume diferencial.

Assim, o vetor uma grandeza do tipo densidade volumtrica de dipolos,

que fornece a magnitude, direo e sentido do momento de dipolo lquido em

um volume diferencial dV. A menos da natureza vetorial, o vetor polarizao

fornece uma representao da densidade local de dipolos na matria, tendo

papel semelhante quele desempenhado pela densidade volumtrica de cargas

ou monopolos em um objeto carregado.

Utilizando-se a Eq.(2.35), com o auxlio da Eq.(2.40), obtm-se a

contribuio do volume diferencial dV para a funo potencial no ponto , na forma

e o potencial total naquele ponto obtido integrando-se as contribuies

elementares sobre o volume V, ou seja,

(2.41)

A Eq. (2.41) uma expresso simples que permite computar o

potencial, e por conseguinte, o campo eltrico da matria polarizada. Existem

materiais ferroeletricos que so capazes de reter polarizao, mesmo na

ausncia de um campo aplicado. Os tomos ou molculas destes materiais

formam dipolos permanentes que em princpio so orientados aleatriamente

devido as vibraes trmicas. Quando se aplica um campo no material,

suficiente para vencer o efeito trmico, possvel obter-se alinhamento dos

dipolos, que pode persistir mesmo na ausncia do campo externo.

Exemplo 2.7: Campo de uma placa

delgada polarizada

Como exemplo de

determinao da funo potencial e

campo eltrico da matria

polarizada, considere-se o caso do

disco delgado polarizado

uniformemente, conforme ilustrado

na Fig. 2.21, e a determinao do

potencial e vetor campo eltrico em

um ponto arbitrrio do eixo z..

Utilizando-se a Eq.(2.41),

com , tem-se



Realizando-se a integrao, obtm-se

Da expresso anterior, nota-se que o potencial no eixo z, apresenta os

valores limites:

a) :

onde, p representa o momento de dipolo do disco delgado. Uma inspeo da

Eq.(2.35) indica que essa ltima expresso representa, de fato, o potencial no

eixo z produzido por um dipolo localizado na origem.

b) :

O campo eltrico no eixo z obtido de:

donde,

com .



2.5.4. Cargas de polarizao e relaes constitutivas em meios materiais

Uma questo importante no

estudo de eletrosttica a

determinao de campos na presena

de meios materiais. Como discutido

na seo anterior, dipolos na matria

fornecem uma contribuio para o

potencial eletrosttico e o objetivo da

presente anlise caracterizar as

contribuies advindas de cargas

livres (monopolos) e de cargas

ligadas (dipolos). . Em essncia, um

meio material pode ser

caracterizado eletricamente como

formado por dipolos e monopolos,

em suspeno no vcuo.

Considere-se o volume V do

meio material contendo uma

distribuio de dipolos, caracterizada

pelo vetor polarizao , e uma

distribuio de cargas, caracterizada por uma densidade de cargas livres ,

conforme ilustrado na Fig.2.22 O potencial eletrosttico observado no

ponto obtido por superposio utilizando-se as Eqs.(2.20) e (2.41), o que

fornece,

(2.42)

Na segunda integral da Eq.(2.42) pode-se utilizar a relao,

com o operador atuando apenas nas coordenadas do ponto . Com base

nessa relao, a dependncia espacial do integrando do segundo termo da

Eq.(2.42) pode ser posta na forma,

Fazendo-se uso da Eq.(1.31),

com as substituies, , resulta em

Inserindo-se esta ltima expresso na Eq.(2.42) e arranjando-se os termos do

segundo membro, obtm-se,

A aplicao do teorema de Gauss, na segunda integral da expresso anterior

permite escrever a funo potencial na forma,

(2.43)

onde o vetor unitrio normal dirigido para fora da superfcie que limita o meio material, conforme ilustrado na Fig.2.22.



A Eq.(2.43) expressa a forma caracterstica com que o vetor

polarizao, representativo do meio material, contribui para a funo

potencial. O numerador do integrando do primeiro termo da Eq.(2.43)

representa uma densidade equivalente de cargas

(2.44)

com a densidade de cargas ligadas definida por,

(2.45)

Com essa identificao, a contribuio do volume do material para o

potencial ou campo eltrico em um ponto do espao aquela proveniente da

densidade equivalente de cargas, definida pela Eq.(2.44).

A integral de superfcie no segundo membro da Eq.(2.43) representa a

contribuio da superfcie do material para o potencial. O numerador do

integrando desse termo equivale eletricamente a uma densidade superfcial

de cargas ligadas

, (2.46)

Com a introduo da polarizao do material pode-se determinar de que

forma esse parmetro deve ser levado em conta na forma diferencial da lei de

Gauss, dada pela Eq.(2.30). Notando-se que o segundo membro dessa equao

representa a densidade volumtrica de cargas, com cargas livres e ligadas

simultaneamente levadas em conta, com base na Eq.(2.44) pode-se escrever a

Eq.(2.30) na forma

Inserindo-se a Eq.(2.44), com o auxlio da Eq.(2.45), na expresso

anterior obtm-se

Assim, a divergncia do vetor

(2.47)

depende apenas da densidade de cargas livres . Esse campo auxiliar

denominado de vetor densidade de fluxo eltrico, sendo medido em C/m2 no

sistema SI. Com a introduo do vetor , a lei de Gauss em forma

diferencial assume a forma

(2.48)



Com a introduo do vetor densidade de fluxo eltrico, a eletrosttica

fica descrita pelas Eqs.(2.48) e (2.31), levando-se em conta a relao

constitutiva, dada pela Eq.(2.47), entre os vetores . A vantagem de

introduzir-se o vetor densidade de fluxo eltrico que nesse novo ponto de

vista, a densidade de cargas que aparece em uma das equaes de Maxwell,

representa apenas as cargas livres, com o efeito das cargas de polarizao

sendo levado em conta na Eq.(2.47). Observe-se que o vetor campo eltrico

aquele que leva em conta todas as fontes de carga possveis na matria, ou

seja, livres ou ligadas. O vetor densidade de fluxo eltrico, por outro lado,

aparece como grandeza auxiliar, com divergncia diretamente relacionada a

densidade de cargas livres, facilitando assim o tratamento das equaes de

Maxwell.

A ttulo de ilustrao, considerando-se o exemplo da placa polarizada

ilustrada na Fig.2.19, pode-se identificar os tipos de cargas ligadas a

presentes. Nota-se, por exemplo, que a densidade volumtrica de cargas

ligadas nula, dado que,

Existe no entanto carga ligada distribuda em partes da superfcie da

placa, conforme discriminado a seguir:

Tampa superior:

Tampa inferior:

Fita lateral de altura t:

Ou seja, a placa delgada polarizada permanentemente equivalente,

sob o ponto de vista da eletrosttica, a dois discos uniformemente carregados,

imersos no vcuo, com cargas de sinais opostos e separados de uma

distncia t.

2.5.5. Tipos de meios materiais

Meios lineares

Existem certos materiais cujos tomos ou molculas constituintes

possuem os centros de carga positiva e negativa coincidentes, e

consequentemente estes materiais s se polarizam na presena de um campo

eletrosttico externamente aplicado. Quando um campo aplicado, induz-se

uma separao de cargas que em primeira ordem proporcional a intensidade

do campo. Consequentemente, para essa classe de materiais, o vetor

polarizao pode ser relacionado ao campo interno atravs de uma relao do

tipo,

(2.49)

onde o parmetro adimensional denominado de susceptibilidade

eltrica. Esse parmetro depende essencialmente da composio do material

considerado. Materiais cuja relao entre e obedece a Eq.(2.49), so

denominados de lineares. A relao entre e para meios lineares

obtida combinando-se as Eqs.(2.47) e (2.49), resultando em

(2.50)

onde

(2.51)

denominado de permissividade eltrica do material.



Meios isotrpicos e anisotrpicos

Um meio eletricamente isotrpico quando suas propriedades

dieltricas independem da direo do campo aplicado. Em materiais lineares

isotrpicos, valem as relaes dadas pelas Eqs.(2.49) e (2.50).

Existe no entanto uma classe importante de materiais em que a

propriedade dieltrica em uma dada direo depende no s do campo

aplicado nessa direo, como tambm das outras componentes de

campo. Nestes materiais, denominados de anisotrpicos, a relao entre

polarizao e campo aplicado assume a forma mais geral,


(2.52)

com, , e

(2.53)

representando o tensor susceptibilidade eltrica.

Com base na Eq.(2.47), a relao entre os vetores e pode ser

posta na forma matricial

(2.54)

com

(2.55)

representando o tensor permissividade eltrica e , a matriz identidade.

Meios homogneos

Se alm de linear e isotrpico, o meio tambm for homogneo, i.e., se

suas propriedades dieltricas independerem das coordenadas, as equaes da

eletrosttica podem ser escritas na forma,

,

,

o que fornece

com .

Essas relaes mostram que o potencial eletrosttico em um meio

linear, homogneo e isotrpico, satisfaz a Equao de Poisson. O segundo

membro dessa equao indica que no interior de meios dieltricos, o

potencial, e conseqentemente o campo eletrosttico, produzidos por uma

distribuio de cargas livres enfraquecido por um fator , com

respeito queles que seriam produzidos pela mesma distribuio de cargas, na

ausncia do material.



Meios no-lineares

A estrutura de materiais ferroeltricos tal que seus tomos ou

molculas constituintes exibem um momento de dipolo permanente. Na

ausncia de um campo externo, vibraes trmicas mantm os dipolos

orientados aleatoriamente, resultando em uma polarizao mdia nula. A

aplicao de um pequeno campo no material pode ser suficiente para vencer a

barreira trmica produzindo um alinhamento dos dipolos. O acoplamento dos

dipolos devido aos campos dipolares pode ser suficientemente forte, de forma

que retirando-se o campo externo, o material seja capaz de reter uma

polarizao residual que s pode ser quebrada revertendo-se o campo externo,

ou aquecendo-se o material ou atravs de choques mecnicos. Materiais desse

tipo, alm de serem capazes de reter polarizao permanente, exibem

uma relao no linear entre campo e polarizao. O tratamento de campos

eletrostticos na presena de tais materiais feito utilizando-se as equaes da

eletrosttica conjuntamente com a relao constitutiva mais geral expressa

pela Eq.(2.47).

2.6. Condies de Contorno

As equaes de

Maxwell, bem como a

equao de Poisson,

so equaes

diferenciais cujas

solues requerem o

conhecimento do

comportamento dos

campos nas fronteiras

da regio de interesse

ou mesmo na interface

entre materiais

exibindo propriedades

dieltricas

distintas. A forma

como feita a

transio de campos

entre meios distintos

ditada pelas condies de contorno examinadas a seguir. Para isso, considere-

se a interface entre os meios 1 e 2 conforme ilustrado na Fig.2.23. Nessa

figura esto desenhados um cilindro imaginrio de altura h e rea de

base S, bem como um caminho fechado C com segmentos de

dimenses l e h. Ambas as figuras esto parcialmente contidas em cada meio. As grandezas de campo, na regio bem prxima interface, so

representadas pelos vetores e , nos meios 1 e 2,

respectivamente. O vetor unitrio tangente interface representado pelo

parmetro , com representando o vetor unitrio normal interface,

dirigido do meio 1 para o meio 2.

Utilizando-se a lei de Gauss

com correspondendo superfcie cilndrica mostrada na Fig.2.23, no limite

em que h 0, obtm-se

No primeiro membro dessa ltima relao, utilizou-se o fato de a

contribuio da superfcie lateral para o fluxo total tender a zero , no

limite h 0. No segundo membro, admitindo-se a existncia de uma

densidade superficial de carga , ento,

resultando na condio de contorno para o vetor densidade de fluxo

eltrico,

(2.56)



A Eq.(2.56) indica que a componente normal do vetor densidade de

fluxo eltrico descontnua se existir densidade superficial de carga na

interface de separao dos meios. Essa situao pode ocorrer, por exemplo,

na interface entre meios condutores, ou naquela entre um condutor e um no-

condutor. Se ambos os meios so no-condutores, ento = 0, e da

Eq.(2.52), conclui-se que a componente normal do vetor contnua.

Aplicando-se a Eq.(2.24) para o caminho fechado mostrado na

Fig.2.23, obtm-se

uma vez que a contribuio para a integral de linha dos segmentos normais

interface tende a zero no limite h 0. Assim,

Essa ltima relao indica que a componente tangencial do vetor

campo eltrico contnua na interface entre dois meios quaisquer. Indica

tambm que o vetor perpendicular ao vetor , ou

equivalentemente, , i.e.,

(2.57)

Um caso particular importante para as condies de contorno dadas

pelas Eqs.(2.56) e (2.57) ocorre quando a fronteira de interesse formada

entre um meio condutor e um meio isolante. Como o campo no interior de um

condutor nulo no regime esttico, no meio isolante, os campos assumem os

seguintes valores na interface de separao,

Se o meio isolante for linear, ento .



Problemas

2.1) Um fio retilneo semi-infinito tem carga uniformemente distribuda

com densidade (C/m). Defina um sistema de coordenadas apropriado e determine o vetor campo eltrico no plano perpendicular ao fio e que

contenha uma de suas extremidades.

2.2) Carga distribuda com densidade s = k (C/m2), na superfcie R = a ,

, 0 2. Determine: a) a carga total na superfcie

b) o vetor campo eltrico na origem.

2.3) Carga distribuda com densidade s = kcos (C/m2), na

superfcie R = a . Determine

a) a carga total na superfcie.

b) o vetor campo eltrico na origem.

2.4) Uma carga puntiforme q est localizada na origem de um sistema de

coordenadas. Considere o cubo com vrtices nos pontos:

(-1,-1,-1); (1,-1,-1); (-1,1,-1); (1,1,-1); (-1,-1,1); (1,-1,1); (-1,1,1); (1,1,1)

Determine o fluxo eltrico atravs da face do cubo definida por {z = 1, -1

x 1, -1 y 1}.

2.5) Uma carga q est localizada no ponto (0,0,0) e uma carga q, no ponto (0,2,0). Determine o fluxo eltrico atravs da superfcie definida pelas

condies

{y = 1, -1 x 1, -1 z 1}, admitindo que o vetor rea diferencial associado a essa superfcie aponte

no sentido +y.

2.6) Um plano infinitamente extenso tem carga uniformemente distribuda

com densidade s = k(C/m2). Uma carga puntiforme q est localizada a uma

altura h do plano. Admitindo que a carga puntiforme no distora a

distribuio de cargas no plano, calcule a fora exercida pela carga sobre o

plano.

2.7) Dois fios retilneos, infinitamente longos e paralelos tm cargas

distribudas e localizaes definidas pela tabela seguinte. Determine:

a) o vetor fora por unidade de comprimento exercida pelo fio 1 sobre o

fio 2.

b) o vetor campo eltrico resultante no plano y=0 para os

casos 1 = 2 e 1 = 2.

Fio Localizao Densidade linear de carga(C/m)

1 x = 0, y=a 1

2 x = 0, y = a 2

2.8) Carga distribuda na regio {r a , < z < }, com

densidade =k(r/a) (C/m3). Determine o vetor campo eltrico dentro e fora da regio de carga.

2.9) Carga distribuda na regio a R b com densidade =k(R/b) (C/m3). Determine:

a) a carga total na regio a R b. b) o vetor campo eltrico nas regies, 0 R a, a R b e R b.

2.10) Considere a existncia de

uma carga puntiformeQ imersa no

vcuo e localizada no centro de um

cilindro imaginrio de altura 2L e

raio a. Determine o fluxo eltrico

atravs da superfcie lateral do

cilindro.

2.11) Considere a existncia de

uma distribuio uniforme de

cargas no interior da esfera de

raiob. Calcule a poro do fluxo

eltrico para fora do cilindro

imaginrio de raio a e altura 2L que

atravessa suas tampas superior e

inferior, admitindo o cilindro imerso

no interior da distribuio, conforme

ilustrado na figura.

2.12) Considere a existncia de um campo eltrico no espao

tridimensional, dado por,

a) qual a carga total envolvida por um cilindro imaginrio de raio a e

altura 2L , com eixo de simetria sobre o eixo z e existente na regio -L

< z < L.

b) que tipo de distribuio produziria este campo e qual a sua localizao

no espao?

2.13) Para a distribuio

de carga definida por:

a) determine o vetor

campo eltrico em todo o

espao.

b) faa um esboo da

dependncia em zda(s)

componente(s) do vetor

campo eltrico.

2.14) Carga distribuda

em todo o espao com

densidade volumtrica

dada por,

, onde 0 (C/m3) e (1/m3) so constantes e R mede a distncia de um

ponto no espao origem. Determine o vetor campo eltrico em todo o

espao.

2.15) Uma distribuio esttica de cargas est distribuda em todo o espao

com densidade volumtrica dada por, , onde 0 (C/m3) ,

(1/m3) e a (m), so constantes er mede a distncia de um ponto sobre o plano xy origem. Determine o vetor campo eltrico em todo o espao.

2.16) Considere um fio finito de comprimento l, com densidade linear de

carga constante em todo fio. Defina um sistema de coordenadas adequado

e determine a funo potencial e o vetor campo eltrico produzidos por

esta distribuio.

2.17) Carga distribuda com densidade s = kcos (C/m2), na

superfcie R = a . Determine:

a) o potencial eletrosttico em um ponto sobre o eixo z, interior ou

exterior a esfera.

b) o vetor campo eltrico correspondente no eixo z.

2.18) Considere um anel de cargas de raio a, com uma densidade linear

uniforme . Calcule o trabalho realizado por um agente externo fictcio para trazer uma carga q de um ponto infinitamente distante at o centro do

anel.

2.19) Oito cargas puntiformes, cada uma com q coulombs, esto dispostas

nos vrtices de um cubo de lado a. Determine a energia potencial eltrica

desse sistema de cargas.

2.20) Para a distribuio de cargas da questo anterior, qual seria o trabalho

realizado por um agente externo fictcio para trazer uma carga q0 de um

ponto infinitamente distante, at o centro do cubo?

2.21) Carga distribuda uniformemente com densidade na regio

definida pelas equaes, , onde e so as

coordenadas radial e polar no sistema de coordenadas esfricas. Determine

o potencial e o vetor campo eltrico sobre o eixo z. Qual a energia

necessria para se trazer uma carga q de um ponto remoto at o ponto de

coordenadas, R=a, ?

2.22) Carga distribuda uniformemente com densidade no interior da

regio definida pelas equaes, , onde r e z so as

coordenadas radial e axial no sistema de coordenadas cilndricas.

Determine o potencial e o vetor campo eltrico no eixo z.

2.23) Para a distribuio de cargas do problema anterior, qual a energia

necessria para se mover uma carga de teste q do centro da distribuio at

o ponto de coordenadas, ?

2.24) Considere uma casca esfrica limitada pelas superfcies R = a e R = b,

com b>a. Nessa regio, carga distribuda uniformemente com densidade

0 (C/m3). Admitindo o ponto de vista do campo, onde a energia

eletrosttica considerada como distribuda no espao, determine:

a) a densidade de energia eletrosttica nas regies R a, a R b e R b.

b) as respectivas pores de energia eletrosttica contidas nas

regies R a, a R b e R b 2.25) Considere um cilindro de altura h e

raio a, exibindo um vetor polarizao

permanente dada por , conforme

ilustrado na figura. Determine o potencial

eletrosttico em um ponto sobre o eixo z, dentro

ou fora do cilndro.

2.26) Considere dois dipolos e ,

separados por uma distnciad, e um vetor

unitrio dirigido ao longo da linha de separao

entre e . Dado que os dipolos esto

alinhados sobre retas paralelas, determine os

ngulos entre e de forma que a energia de

interao seja nula.

2.27) Para o cilindro polarizado do problema 2.25, determine o trabalho que

seria realizado por um agente externo fictcio para transportar uma carga

de teste q0 de um ponto no centro da tampa inferior at um ponto no centro

da tampa superior.

2.28) Uma esfera isolante de raio a, com centro na origem, polarizada

permanentemente com vetor polarizao constante . Determine os

vetores campo eltrico e densidade de fluxo eltrico na origem.

2.29) O espao entre duas superfcies condutoras esfricas concntricas de

raios a e b preenchido com um dieltrico de

permissividade . Admitindo a esfera externa aterrada e a interna submetida a um potencial V, determine as densidades superficiais de carga

de polarizao nas duas superfcies do dieltrico.

2.30) Calcule os momentos de dipolo eltrico para o cilindro do problema

2.25 e para a esfera do problema 2.28.

2.31) Para um conjunto de cargas discretas qi (i=1,2,3,...N), localizadas nos

pontos (i=1,2,3,...N), o momento de dipolo pode ser calculado da

expresso

e para uma distribuio contnua de cargas definida pela funo

densidade ocupando um volume V, o momento de dipolo pode ser

calculado da relao

Utilizando essas definies determine os momentos de dipolo para os

sistemas de cargas mostrados na figura seguinte.

Prob. 2.31



02. Eletrostática

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