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Logica proposicional 1/28

Logica proposicional

A logica e a ciencia do raciocınio.

Socrates e um homem. Todos os homens sao mortais. Logo Socrates emortal.

A(s) logica(s) promove(m) um modelo formal do raciocınio.

David Deharbe, 2 de marco de 2007 DIMAp/UFRN


Motivacao

A logica e um dos fundamentos da Ciencia da Computacao (software e hardware):

• projeto de circuitos digitais:

– circuitos sao basicamente uma rede de unidades de memorizacaointerconectados eletricamente atraves e de portas logicas (dispositivos fısicosque implementam operadores logicos).

– requisitos sobre a interface de um circuito sao descritos atraves de diagramastemporais, que podem ser vistos como expressoes numa logica temporal

• desenvolvimento de software:

– condicoes logicas permeam programas de computadores,

– descricao do papel de um componente de software (contrato),

– especificacao dos requisitos de um sistema;

• verificacao: sistemas de deducao, ou procedimento de decisao, corretos e,possivelmente completos.



Logica ou logicas?

Existem varios modelos para o raciocınio, correspondendo a varios tipos de logica:

• Logica proposicional,

• Logica da primeira ordem (logica dos predicados),

• Logica de ordem superior,

• Logica difusa;

• Logica intuicionista.

E ainda:

• Logicas modais,

• Logicais temporais,

• etc.

Focaremos na logica classica proposicional e da primeira ordem.



Expressoes booleanas

Existem dois valores booleanos:

• verdadeiro (V, true, T, 1, �, ...);

• falso (F, false, F, 0, ⊥, ...).

Uma expressao booleana e composta por

• variaveis logicas (que sao nomes representandos algum valor booleano);

• operadores logicos (e, ou, nao, implica, etc.)a

– sintaxe: denotacao, aridade

– semantica: tabelas verdade

Uma expressao booleana possui valor booleano.

Uma expressao booleana e chamada de formula.aAlgumas logicas possuem outros operadores.



Variaveis logicas

Sao tambem conhecidas como proposicoes, ou proposicoes atomicas.

Uma proposicao e identificada por um nome e representa algum fato:

p: A velocidade do vento esta maior que 50km/hora.

q: O banho esta autorizado.

A formula p → ¬q modela a assercao:

Quando a velocidade do vento ultrapassa os 50km/hora, e prohibido entrarna agua.

Notacao: Letras minusculas (p, q, etc.) representam variaveis (proposicoes),enquanto que letras maiusculas (E, E1, etc.) representam formulas (p → q).



O operador de negacao ¬ (not, !, ˜ , ′)

• O operador ¬ representa a negacao.

• E um operador unario.

• A negacao de verdadeiro e falso, e a negacao de falso e verdadeiro.

• Tabela verdade da negacao:

E ¬E

� ⊥⊥ �– Operadores logicos sao funcoes que associam um valor booleano a um (ou

mais) valor(es) booleano(s).

– A tabela verdade e uma notacao usada para definir essas funcoes porenumeracao dos casos.



Propriedades da negacao

Seja E uma formula. Qualquer que seja o valor de suas variaveis, temos

• Exatamente um de E e de ¬E e verdadeiro.

• Exatamente um de E e de ¬E e falso.

• Princıpio de terco excluıdo: Um entre E e de ¬E e verdadeiro.

• Princıpio de nao-contradicao: E e ¬E nao podem ser simultaneamenteverdadeiros.

Prova(s): direto da tabela-verdade da negacao.

Verifique que ¬(¬E) = E.



Correcao

E ¬E

� ¬⊥ = �⊥ ¬� = ⊥

• E e ¬(¬E) sao iguais se, e somente se, se igualam em todas as valoracoes

possıveis de E.

E ¬(¬E)

� ¬(¬�) = ¬⊥ = �⊥ ¬(¬⊥) = ¬� = ⊥



O operador de disjuncao: ∨ (+, or, |)

• O operador ∨ representa a escolha num sentido nao exclusivo.

O aluno estudou regularmente ou recebeu ajuda (tambem pode ser queos dois sejam verdadeiros).

• E um operador binario.

• A formula E1 ∨ E2 e verdadeira se e somente se pelo menos um de E1 e de E2

for verdadeira.

• Tabela verdade da disjuncao:

E1 E2 E1 ∨ E2

⊥ ⊥ ⊥⊥ � �� ⊥ ��



• Existe um outro operador para o ou exclusivo (usado no projeto de circuitos,nao no de programas).

A solucao e acida ou basica (a solucao nao pode ser ao mesmo tempoacida e basica).

• Na lıngua natural, os dois operadores sao representados pela mesma palavra¿

• Fonte de ambiguidade.



Propriedades da disjuncao

• A disjuncao e associativa (verifique – com a tabela de verdade).

(E1 ∨ E2) ∨ E3 = E1 ∨ (E2 ∨ E3).

• A disjuncao e comutativa (verifique – com a tabela de verdade).

(E1 ∨ E2) = (E2 ∨ E1).

• Logo podemos escrever∨n

i=1 Ei = E1 ∨ E2 ∨ E3 ∨ . . . ∨ En sem ambiguidade.

• O falso e elemento neutro.

• O verdadeiro e elemento absorvente.

Verifique que E ∨ E = E.



Correcao

(E1 ∨ E2) ∨ E3 = E1 ∨ (E2 ∨ E3).

• A formula a provar depende de 3 valores: 23 = 8 casos diferentes.

E1 E2 E3 (E1 ∨ E2) ∨ E3 (E1 ∨ E2) ∨ E3

⊥ ⊥ ⊥ (⊥∨⊥)∨⊥ = ⊥∨⊥ = ⊥ ⊥∨(⊥∨⊥) = ⊥∨⊥ = ⊥⊥ � ⊥� ⊥ ⊥� � ⊥⊥ ⊥ �⊥ � �� ⊥ ��



O operador de conjuncao: ∧ (., and, juxtaposicao)

• O operador ∧ representa a simultaneidade.

O aluno e serio e e pontual na aula.


• A formula E1 ∧ E2 e verdadeira se e somente se E1 e E2 forem verdadeiras.

• Tabela verdade da conjuncao:

E1 E2 E1 ∧ E2

⊥ ⊥ ⊥⊥ � ⊥� ⊥ ⊥� � �



Propriedades da conjuncao

• A conjuncao e associativa (verifique – com a tabela de verdade).

• A conjuncao e comutativa (verifique – com a tabela de verdade).

• Logo podemos escrever∧n

i=1 Ei = E1 ∧ E2 ∧ E3 ∧ . . . ∧ En sem ambiguidade.

• O verdadeiro e elemento neutro.

• O falso e elemento absorvente.

Verifique que E ∧ E = E.



Algumas propriedades adicionais

Leis de De Morgan

¬(E1 ∨ E2) = (¬E1) ∧ (¬E2)

¬(E1 ∧ E2) = (¬E1) ∨ (¬E2)

Distributividade

E ∧ (E1 ∨ E2) = (E ∧ E1) ∨ (E ∧ E2)

E ∨ (E1 ∧ E2) = (E ∨ E1) ∧ (E ∨ E2)

Note a dualidade entre a conjuncao e a disjuncao.

Verifique a validade dessas leis com tabelas verdade.



Analise de formulas

• Para uma determinada atribuicao das suas variaveis, uma formula pode ter ovalor verdadeiro ou falso.

• Esse valor e calculado a partir dos valores das sub-formulas e dastabelas-verdade apresentadas anteriormente.

Exemplo, determinar o valor de ¬(p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬q), para p = q = � e r = ⊥:

¬q = ⊥p ∧ q = �r ∧ ¬q = ⊥¬(p ∧ q) = ⊥¬(p ∧ q) ∨ (r ∧ ¬q) = ⊥



Tautologia, contradicao, contingencia e satisfatibilidade

Definicao: Um modelo de uma expressao booleana E e uma atribuicao dasvariaveis de E que torna essa expressao verdadeira.

• Uma expressao booleana e satisfatıvel se possui um modelo.

• Uma expressao booleana e uma tautologia, ou valida, quando qualqueratribuicao das suas variaveis e um modelo.

• Uma expressao booleana e uma contradicao se nao possui modelo.

• Uma expressao booleana e uma contingencia quando e num uma tautologia,nem uma contradicao.

Questao: Se ¬E e uma contradicao (e satisfatıvel, e uma tautologia), que podemosconcluir sobre E?

Questao: Como utilizar a tabela verdade para determinar a classificacao de umaexpressao booleana?



Consequencia logica

Dado Γ = {E1, . . . , En} um conjunto de formulas.

• Γ e chamada de teoria.

• Um modelo de Γ e uma atribuicao das variaveis de E1, ... En que e modelo decada E1,...En.

• Uma expressao E e consequencia logica de Γ se qualquer modelo de Γ e ummodelo de E.

• E notado Γ |= E.

• Se Γ = {}, entao notamos |= E.

• |= E quando E e uma tautologia.



Tecnicas de verificacao de expressoes booleanas:

Tabelas verdade: Pratico para provas manuais;

Calculo proposicional: Aplicacao das leis;

Sistemas dedutivos: Deducao natural, tableaux analıticos, axiomatizacoes;

Davis e Putnam: procedimento de decisao da satisfatibilidade,

implementacoes modernas tratam expressoes com ate milhares de variaveis;

Diagramas de decisao binaria: estrutura de dados canonica para representarexpressoes booleanas,

varias operacoes adicionais (quantificacao, substituicao),

implementacoes tratam expressoes com ate centenas de variaveis.

Como um procedimento de decisao de satisfatibilidade pode ser utilizado em umprocedimento de decisao de tautologia?



Prova e consequencia logica

Considerando um sistema de prova σ (por exemplo deducao natural).

Se, aplicando σ a partir de um conjunto de formulas Γ, conseguimos derivar umaformula E, escrevemos:

Γ �σ E

Um sistema de prova σ e correto quando, cada vez que Γ �σ E entao Γ |= E.

Um sistema de prova σ e completo quando, cada vez que Γ |= E entao Γ �σ E.



Equivalencia (↔, ⇔)

• O operador ↔ e chamado equivalencia.

Se o aluno estuda regularmente, sera aprovado, caso contrario serareprovado.


• E1 ↔ E2 e verdadeira quando E1 e E2 tem o mesmo valor.

• Tabela verdade da equivalencia:

E1 E2 E1 ↔ E2

⊥ ⊥ �⊥ � ⊥� ⊥ ⊥� � �

E1: o aluno estuda regularmente; E2: o aluno sera aprovado.



Propriedades da equivalencia

• Comutativa: E1 ↔ E2 = E2 ↔ E1.

• Simetrica: E1 ↔ E1.

• E1 = E2 se e somente se E1 ↔ E1.

• Duas formulas E e E2 sao iguais (ou equivalentes) se e somente se E1 ↔ E2 foruma tautologia.

• Princıpio de substituicao de iguais: se E1 ↔ E2 e uma tautologia, e E1 ocorreem E, E e equivalente a E′, formado por substituicao de E1 por E2 em E.

• Por exemplo: (p ∧ (¬(¬q))) ↔ (p ∧ q) pois q ↔ (¬(¬q)) e uma tautologia.



Operadores logicos: implicacao (→, ⇒)

• O operador → e chamado implicacao.

Quando um aluno estuda regularmente, ele e aprovado.

• Implicitamente, estamos entendendo que alunos que nao estudam regularmenteacabam sendo reprovados. O operador → nao modela essa informacao.

• Tabela verdade da implicacao:

E1 E2 E1 → E2

⊥ ⊥ �⊥ � �� ⊥ ⊥� � �

E1: o aluno estuda regularmente;E2: o aluno e aprovado. Comointerpretar as duas primeiras li-nhas da tabela com essas pro-posicoes ?



Propriedades da implicacao

• E1 → E2 = (¬E1) ∨ E2.

• ¬E1 → ¬E2 = E2 → E1;

• E1 ↔ E2 = E1 → E2 ∧ E2 → E1.

• Γ |= E1 → E2 se e somente se Γ ∪ {E1} |= E2.

Na expressao E1 → E2, E1 e chamado o antecedente (ou premissa), e E2 oconsequente (ou conclusao).



Exercıcio

p: A velocidade do vento esta maior que 50km/hora.

q: O banho esta autorizado.

A expressao p → ¬q modela a assercao:

Quando a velocidade do vento ultrapassa os 50km/hora, esta prohibidoentrar na agua.

O que modelam as assercoes: (p ∧ (p → ¬q)) → ¬q e ((¬p) ∧ (p → ¬q)) → q ?

Verifique se sao tautologias.



Convencoes de notacao

Ha uma convencao sobre a precedencia dos operadores logicos: ¬ e o operador demaior precedencia, seguido de ∧ e ∨, seguido de → e ↔.

• ((¬p) ∧ (p → q)) → (¬q) pode ser escrito ¬p ∧ (p → q) → ¬q.



Conclusoes

• Logica proposicional: sintaxe e semantica;

• operadores logicos classicos;

• logica e um modelo matematico do raciocınio.

• Socrates e um homem. Todos os homens sao mortais. Logo Socrates e mortal.

– p: Socrates e um homem.

– q: Todos os homens sao mortais.

– r: Socrates e mortal.

– Na logica proposicional, p ∧ q → r nao e uma tautologia.

– Conclusao: o modelo fornecido pela logica proposicional nao esuficientemente expressivo.



Bibliografia

• Logica para Computacao, Capıtulo 1. Flavio Soares Correa da Silva, MarceloFinger, Ana Cristina Vieira de Melo. Editora Thomson Learning, 2006.

• Introducao a Logica para a Ciencia da Computacao. Abe, Jair Minoro. [[[BCZM ]]]


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