Tensão coesiva teórica e concentradores de tensão

COT 744 - Fratura dos Materiais Prof. Enrique M. Castrodeza

Programa de Eng. Metalúrgica e de Materiais COPPE - UFRJ

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Forças de ligação interatômicas• Os átomos sofrem forças

atrativas e repulsivas. A distância de equilíbrio é atingida quando:

• Energia potencial:

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E = Fdr∞

r

∫

E = FA dr +∞

r

∫ FR dr = EA + ER∞

r

∫

F = FA + FR = 0

2

Tensão coesiva teórica• A tensão entre planos atômicos

pode ser modelada como:

• Para pequenos deslocamentos:

• A inclinação dessa curva na região de equilíbrio:

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σ =σ C sinπ xλ / 2

$%&

'()

σ ≈σ C2π xλ

dσdx

=2πσ C

λ

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Tensão coesiva teórica• A Lei de Hooke aplica-se também na região:

• Derivando:

• Assim:

• Se , a tensão coesiva teórica será

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E = σε=

σx / r0

dσdx

=Er0

σ C =Eλ2πr0

r0 ∼

λ2

σ C ≈Eπ

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Tensão coesiva teórica• Na realidade, a tensão de fratura é muito menor (quais os

motivos?).

• Do ponto de vista energético, o trabalho de fratura teórico por unidade de área é:

• Na fratura são criadas duas novas superfícies (2γS). Considerando que temos:

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WF = σ C sinπ xλ / 2

$%&

'()0

λ /2

∫ dx =σ Cλπ

λ =σ C2πr0

E

σ C =Eγ S

r0

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Exemplo

• Estimar a resistência coesiva de fibras de sílica e comparar com o valor experimental (5,6 GPa em fibras de altíssima qualidade). Energia superficial: 1750 mJ/m2, espaçamento interatômico Si-O aproximadamente 1,6 × 10-10 m, módulo de elasticidade 72 GPa.

• Discutir os resultados.

• Tarefa: procurar dados da relação tensão de ruptura vs. módulo de elasticidade para nanotubos de C (mono e multicamada) e comparar com a relação teórica.

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Furo vazante elíptico em placa infinita

• Em 1913 Inglis publicou sua análise de tensões em furos elípticos vazantes em placas infinitas (elasticidade linear).

• Em A:

• Raio de curvatura:

• Assim:

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σ A =σ 1+ 2ab

"#$

%&'

σ A =σ 1+ 2 aρ

#

$%&

'(

ρ =b2

a

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Furo vazante elíptico em placa infinita

• Em geral a≫ρ e temos:

• Discutir os casos:

• a = b (furo circular, usar solução completa);

• ρ → 0 (trinca vazante).

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σ A ≈ 2σaρ

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Furo vazante elíptico em placa infinita

• Imaginando que ρmin = r0 (distância interatômica) temos:

• Propondo que a fratura acontece quando σA = σC (slide 5) a tensão externa que provocaria a fratura será:

• A equação anterior é uma estimativa grosseira da tensão de fratura, pois a mecânica do continuo (modelo de Inglis) não é válida a nível atômico.

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σ A = 2σar0

σ f =Eγ S

4a

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Bibliografia

• R.W. Hertzberg, R.P. Vinci, J.L. Herztberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials, 5th Ed, John Wiley & Sons, 2013.

• T.L. Anderson, Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications, 3rd Ed, CRC Press, 2005.

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