105

CAPÍTULO 09 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

Assunto Pág.

9.1. INTRODUÇÃO

9.2. NOÇÃO DE FUNÇÃO 106

9.2.1. PRODUTO CARTESIANO

9.2.2. RELAÇÃO de A em B (R: A B) 107

9.3. FUNÇÃO de A em B (f: A B)

9.3.1. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM 109

9.3.2. RECONHECIMENTO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 110

9.3.3. CÁLCULOS ESPECIAIS DE IMAGENS 111

9.3.4. FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS

9.3.5. ZEROS ou RAÍZES de uma função

115

9.3.6. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE 116

9.4. FUNÇÃO COMPOSTA 118

9.5. FUNÇÃO INVERSA f – 1 (x) 121

9.5.1. REGRA PRÁTICA PARA OBTER A INVERSA f – 1 (x) 122

9.5.2. GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA 123

TESTES COMPLEMENTARES (20 TESTES) 125

RESPOSTAS SÉRIE AULA

GABARITO TESTES COMLEMENTARES 130

QUESTÕES DISCURSIVAS (7 QUESTÕES) 131

RESPOSTAS QUESTÕES DISCURSIVAS 132

106

CAPÍTULO 09 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

9.1. INTRODUÇÃO Muitas grandezas com as quais lidamos no nosso cotidiano dependem uma da outra, isto é, a variação de uma delas tem como conseqüência a variação da outra. Exemplo 1: Angélica vende maravilhosos “chup-chup” ao preço de R$ 0,80 cada. Para não ter

de fazer contas a toda hora, ela montou a seguinte tabela:

Quantidade 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor (R$) 0,80 1.60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00

Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: a quantidade de “chup-chup” e o respectivo valor. A cada quantidade de “chup-chup” corresponde um único valor.

Dizemos, por isso, que o preço é função da quantidade de “chup-chup”.

Assim, a fórmula matemática que estabelece a relação de interdependência entre o valor (y) e a quantidade (x) será:

y = 0,80.x

Exemplo 2:

Um automóvel está percorrendo uma estrada à velocidade constante de 120 km/h (que equivale a 2 km/min). O passageiro que vai ao lado do motorista começa a anotar, de minuto em minuto, a distância percorrida, que aparece no painel. O resultado pode ser observado na tabela abaixo.

A cada instante (x) corresponde uma única distância percorrida (y). Dizemos que a distância é função do instante. A fórmula que relaciona y com x é:

y = 2.x

Instante (min) 0 1 2 3 4 5 ...

Distância (km) 0 2 4 6 8 10 ... 9.2. NOÇÃO DE FUNÇÃO Vamos, agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois grandezas variáveis (tais quais vistas nos exemplos anteriores) compõem conjuntos numéricos que se relacionam segundo uma lógica específica.

Admitindo seu conhecimento prévio referente ao Plano Cartesiano e respectivos Pares Ordenados (x,y), vamos estudar alguns conceitos necessários à formalização da definição de função propriamente dita; entre os quais:

Produto Cartesiano; Relação.

107

9.2.1. PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos A e B, não vazios, o produto cartesiano de A por B (A X B), “lê-se A cartesiano B”, é o conjunto dos pares ordenados (x, y) onde x é elemento do conjunto A e y é elemento do conjunto B.

A X B = { (x, y) | x A e y B } Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 0, 2, 4 }

A X B = { (1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4) }. Observações:

O produto cartesiano A X A = A2; Se A B, então A X B B X A; O número de elementos de A X B é dado por: n(A X B) = n(A).n(B), onde n(A) e

n(B) são, respectivamente, número de elementos do conjunto A e número de elementos do conjunto B.

9.2.2. RELAÇÃO de A em B ( R: A B) Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação binária de A em B é um subconjunto de A X B formado pelos pares (x, y) que possuem uma relação associando o elemento x de A ao elemento y de B. Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4 }, então a relação

R = { x e A X B | x < y } é dada por :

R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }. Observações:

O Domínio de uma relação R, de A em B, é o conjunto formado pelos elementos x dos pares ordenados (x, y);

A Imagem de uma relação R, de A em B, é o conjunto formado pelos elementos y dos pares ordenados (x, y).

No exemplo acima:

D (R) = { 1, 2, 3 }, Im (R) = { 2, 3, 4 }.

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 1) (UFES) Se A = { 0, 1, 2 } e B = { 0, 2, 4, 5 } então o número de elementos distintos do

conjunto (A X B) (B X A) é: a) 4 b) 8 c) 12 d) 20 e) 24

108

2) (U.F.Uberlândia-MG) Dados os conjuntos A = { 0, –1, 1 }, B = { 1, 3, 4 } e C = { 0, 1 }, temos (A – B) X (C – B) igual a:

a) { (0, 0); (0, –1) } b) { (–1, 0); (0, 0) } c) { (0, 0); (0, 1) } d) { (0, 1); (0, –1) } e) (vazio) 3) (U.E. Londrina) sejam os conjuntos A e B tais que A X B = { (–1; 0), (2; 0), (–1;2), (2; 2),

(–1;3), (2;3) }. O número de elementos do conjunto A B é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4) (Mack-SP) Dados os conjuntos A = { 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, e a relação R de A em

B definida por R = { (x, y) A X B | y = 2x – 3 }. R é representada por: a) R = { (2, 1), (3,3), (4,5) } b) R = { (1, 3), (2,5) } c) R = { (1, 2), (3,3), (5,4) } d) R = { (1, 3), (2,4), (3,5) } e) R = { (2, 2), (1,4) } 5) (CELV) Se A = { x N | x 50 } e B = { (x, y) e A2 | x < y }, então o número de elementos

do conjunto B é : a) 1 275 b) 1 265 c) 1 255 d) 1 245 e) 2 500

109

9.3. FUNÇÃO de A em B ( f: A B)

Sejam A e B conjuntos não vazios.

Uma função f, de A em B, é uma relação que associa a cada elemento de A uma e somente uma imagem em B.

Toda função f: A B é uma relação, entretanto, nem toda relação R: A B é uma função. À direita, as figuras ( 1 ) e ( 2 ) são exemplos de relações que são funções de A em B, e as figuras ( 3 ) e ( 4 ) são exemplos de relações, de A em B, que não são funções.

Observações:

1) A figura ( 3 ) não representa uma f: A B, pois existe um elemento do conjunto A que não está associado a nenhum elemento do conjunto B;

2) A figura ( 4 ) não representa uma f: A B, pois um elemento do conjunto A está associado a mais de um elemento do conjunto B.

9.3.1. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM

DOMÍNIO: Domínio de uma função f: A B , é o conjunto formado pelos elementos do conjunto A, ou seja, D( f ) = A.

CONJUNTO IMAGEM:

Conjunto Imagem de uma função f: A B , Im( f ), é o conjunto formado pelos elementos do contradomínio (B) que estão associados a elementos do domínio D( f ) = A.

CONTRADOMÍNIO: Na função f: A B , é o conjunto B. Observações: Podemos afirmar, com as definições acima, que para uma relação R: A B representar uma função,

“ cada elemento do domínio está associado a uma e somente uma imagem no contradomínio”.

Em outras palavras, considerando os pares ordenados (x, y) da relação-função, de A em B, um elemento x do domínio não pode estar associado a mais de um elemento y do conjunto imagem.

110

9.3.2. RECONHECIMENTO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Exemplo 1: A relação R1 NÃO é uma função de A em B, pois existem retas verticais traçadas pelos pontos de abscissa pertencentes a A que cortam o gráfico em mais de um ponto, e isto equivale a termos para um elemento a de A mais de uma imagem b em B.

Exemplo 2: A relação R2 NÃO é uma função de A em B, pois o elemento a de A não tem correspondente em B. A reta vertical traçada por (a, 0) não corta o gráfico.

Exemplo 3: O gráfico ao lado representa uma função f: A B , pois, verificando os segmentos verticais, as respectivas intersecções com o gráfico e imagens, cada elemento do domínio (D) possui uma e somente uma imagem (Im). “Para sabermos se um determinado gráfico cartesiano representa uma função ou não, basta verificarmos se toda reta vertical traçada pelos pontos (x, 0), em que x é elemento do domínio, corta o gráfico num único ponto”.

Observação:

No diagrama cartesiano de uma relação, função ou não, a projeção ortogonal do gráfico no eixo horizontal informa seu domínio e a projeção no eixo vertical informa o conjunto imagem relacionado.

111

9.3.3. CÁLCULOS ESPECIAIS DE IMAGENS

A determinação de uma imagem “f(a)” de uma função “f(x)”, quase sempre, não se resume na substituição direta de “x = a” na lei de definição desta função.

É comum o desenvolvimento de cálculos aliando o raciocínio lógico aos conhecimentos de seqüências numéricas (principalmente, progressões aritméticas), entretanto, outras seqüências, com leis de formação próprias, podem surgir.

Exemplo 1: (UFLA) Seja f: R R uma função tal que f(x + 1) = f(x) + 4 para todo x em R. Sabendo-se que f(0) = 2, o valor de f(3) é:

a) – 4 b) 0 c) 8 d) 14 e) 16

Resolução: f(x + 1) = f(x) + 4

x = 0 f(0 + 1) = f(0) + 4 f(1) = 2 + 4 f(1) = 6 x = 1 f(1 + 1) = f(1) + 4 f(2) = 6 + 4 f(2) = 10 x = 2 f(2 + 1) = f(2) + 4 f(3) = 10 + 4 f(3) = 14

Resposta: f(3) = 14 (alternativa d) Exemplo 2: (UFMG) Uma função f: R R é tal que f(5x) = 5.f(x) para todo número real x. se

f(25) = 75, então o valor de f(1) é:

a) 3 b) 5 c) 15 d) 25 e) 45

Resolução: Para encontrarmos f(1) podemos armar a seguinte estratégia para f(5x) = 5.f(x) :

Se x = 1 f(5.1) = 5.f(1) f(5) = 5.f(1) f(1) = f(5) / 5 ................ (1)

Neste caso vamos precisar do f(5) ... conhecemos o f(25) = 75, lembra?

Se x = 5 f(5.5) = 5.f(5) f(25) = 5. f(5) 75 = 5.f(5) f(5) =15

Então, em (1): f(1) = 15 / 5 f(1) = 3 (alternativa a) Exemplo 3: (Viçosa-MG) Seja a função real f tal que f(x + 2) = f(x) + 5/6 e f(0) = 5/4.

Pode-se afirmar que f(12) vale:

a) 77/6 b) 25/4 c) 65/6 d) 53/4 e) 19/12

Resolução: Para f(x+2) = f(x) + 5/6 :

f(0) = 5/4 x = 0 f(0 + 2) = f(0) + 5/6 f(2) = 5/4 + 5/6 f(2) = 25/12 x = 2 f(2 + 2) = f(2) + 5/6 f(4) = 25/12 + 5/6 f(4) = 35/12 x = 4 f(4 + 2) = f(4) + 5/6 f(6) = 35/12 + 5/6 f(6) = 45/12

Assim, como 5/4 é o mesmo que 15/12:

f(0) f(2) f(4) . . . f(12) 15/12 25/12 35/12 . . . ?

Verificamos que as imagens f(0), f(2), f(4), ..., encontram-se em progressão aritmética de razão 10/12, ou seja, 5/6...

f(0) f(2) f(4) . . . f(12) 15/12 25/12 35/12 . . . ?

a1 a2 a3 a7

Atenção: O primeiro termo da PA é o f(0) e as posições estão ordenadas de dois em dois: f(0), f(2), f(4) ..., o f(12) será o 7º termo da seqüência, concorda?

Na P.A., a7 = a1 + 6.r

a7 = 15/12 + 6.(10/12) a7 = 15/12 + 60/12 a7 = 75/12 a7 = 25/4 (alternativa b).

112

Exemplo 4: (Cesgranrio) Se 2

1)n(f2)1n(f

, para n = 1, 2, 3, ... e se f(1) = 2,

então f(101) é:

a) 49 b) 50 c) 51 d) 52 e) 53

Resolução:

Sabemos que muitas questões envolvendo “cálculos especiais de imagens” recaem em uma progressão aritmética;

A identificação da P.A. pode ser facilitada se a função envolvida apresentar, em

sua expressão matemática, um número sendo somado (ou subtraído), entretanto, isso não garante que a seqüência numérica é uma progressão aritmética;

Basta, então, planificar a seqüência de pelo menos três termos consecutivos numa tabela e analisar a fórmula do termo geral envolvida.

No teste anterior, a P.A. fica configurada facilmente, contudo, uma atenção especial deve ser adotada em casos onde ocorre f(0) “posição zero”.

Neste teste da Cesgranrio:

2

1)n(f2)1n(f

2

1

2

)n(f2)1n(f

2

1)n(f)1n(f ........... (1)

Analisando as imagens da função como termos de uma seqüência numérica:

“O termo da posição seguinte é igual ao termo anterior mais um número fixo (razão = 1/2)”.

Trata-se de uma Progressão Aritmética, onde a1 = f(1) = 2 e a razão r = 1/2 .

Assim: f(101) = f(1) + 100.r

f(101) = 2 + 100.(1/2)

f(101) = 52 . (alternativa d)

113

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 6) (UFMG) das figuras abaixo, a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x),

x [a, b] é:

a)

d)

b)

e)

c)

7) (UFMG) Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem { y R | 1 y 4 } e domínio { x R | 0 x < 3 } é:

a)

c)

e)

b)

d)

114

8) (Unisinos-RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função

x2500

x22)x(f

, em que x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros.

Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o número de residências desse bairro, que as receberam, é:

a) 300 b) 340 c) 400 d) 420 e) 460 9) (Unifor-CE) certo economista supõe que, em uma população de f famílias, o número N de

famílias cuja renda excede x reais é uma função da variável x dada por x

f2N

.

De acordo com essa função, quantas são as famílias brasileiras cuja renda excede 2 500 reais? (suponha que há 30 000 000 de famílias no país.)

a) 5 000 000 de famílias. b) Entre 5% e 9% das famílias. c) Entre 1% e 5% das famílias. d) Menos que 1% das famílias. e) 6 000 famílias. 10) (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.

Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo organismo, também em mg/dia. A única afirmativa falsa relativa ao gráfico é:

a) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante.

b) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia.

c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido.

d) Para ingestões de 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.

11) (UFES) Num tanque, as variações na população de espécies de peixes A, B e C são

descritas, no período de 10 meses, pelos gráficos abaixo:

Assinale a alternativa correta:

a) No período de 0 a 2 meses, a população B manteve-se menor que a C.

b) No quinto mês, havia menos de 3 500 peixes nesse tanque.

c) No período de 0 a 5 meses, as populações B e C mantiveram-se crescentes.

d) A população C atingiu o seu máximo no terceiro mês.

e) No período de 3 a 7 meses, a população B manteve-se maior que a A.

115

12) (UF-MA) Seja f: R R uma função, tal que 2 f (2x + 1)= f(x) – 5 para todo x real. O valor de f(0), sabendo-se que f(31) = 0, é:

a) 255 b) 0 c) 150 d) 75,5 e) 155

13) (Uneb-BA) ) Para uma função f: R R , que satisfaz as condições

I. f(x + y) = f(x) + f(y) II. f(1) = 3,

O valor de f(3) é igual a:

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 27

9.3.4. FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS

Na maioria das vezes, uma função f fica definida por uma única sentença matemática, mas pode também ser definida por várias sentenças.

Exemplo 1: Seja a função f: R R definida por

2xpara1

2xpara1)x(f

O gráfico cartesiano desta função é:

Exemplo 2: Seja a função f: R R definida por

2xsex

2x1se2

1xse3x

)x(f

O gráfico cartesiano desta função é:

9.3.5. ZEROS ou RAÍZES de uma função

Dada uma função y = f(x), os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes ou zeros dessa função.

116

Observações:

1) Teorema de Bolzano

Seja f(x) = 0 uma equação polinomial com coeficientes reais e (a, b) um intervalo real aberto:

Se f(a) e f(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existem raízes reais no intervalo (a, b);

Se f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então existe um número ímpar de raízes reais da equação no intervalo (a, b).

2) Teorema das Raízes Irracionais

Numa equação polinomial com coeficientes racionais, se )nm( for raiz

irracional, então )nm( também o será, com m e n racionais. 9.3.6. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE

Considerando que x1 e x2 pertençam a um intervalo [a, b] contido no domínio de f(x), dizemos que, neste intervalo, f(x) será:

Crescente: se e somente se x2 > x1 f(x2) > f(x1); Decrescente: se e somente se x2 > x1 f(x2) < f(x1).

117

Exemplo 1:

Seja a função f de A = { x R | x 0 } em B = { y R | y 1 }, definida pela lei y = x2 + 1. Pelo gráfico de f(x):

Para x1 = 1 temos f(x1) = 2 Para x2 = 2 temos f(x2) = 5

Então: x2 > x1 e f(x2) > f(x1) .

Nesse caso, dizemos que a função é crescente no intervalo considerado.

Exemplo 2:

Seja a função f de A = { x R | x 1 } em B = { y R | y 4 }, definida pela lei y = – x2 + 2x + 3. Pelo gráfico de f(x):

Para x1 = 1 temos f(x1) = 4 Para x2 = 2 temos f(x2) = 3

Então: x2 > x1 e f(x2) < f(x1) .

Nesse caso, dizemos que a função é decrescente no intervalo considerado.

Observações:

1) Algumas funções podem ser crescentes em certos intervalos e decrescentes em outros, por exemplo:

f(x) = x2 – 4 .

2) Existem funções que não são nem crescentes nem decrescentes;

toda função com esta característica é denominada “função constante”. A função f(x) = 3, por exemplo, representada pelo gráfico ao lado, não é nem crescente nem decrescente no intervalo [ –3, 3 ].

118

9.4. FUNÇÃO COMPOSTA

Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2 }, B = { 0, 1, 2, 3, 4 } e C = { 0, 1, 4, 9, 16 }, vamos considerar as funções:

f: A B definida por f(x) = 2x

g: B C definida por g(x) = x2

Através de uma função h(x): A C , composta de g

e f é possível levar cada elemento de A diretamente a C, como vemos no esquema ao lado.

A função h(x) pode ser obtida aplicando f(x) aos elementos de A; em seguida, essas imagens são transformadas para g(x), ou seja:

(A B) C = A C .

x = 0 f(0) = 2.(0) f(0) = 0 g(0) = (0)2 g(0) = 0 h(0) = 0 x = 1 f(1) = 2.(1) f(1) = 2 g(2) = (2)2 g(2) = 4 h(1) = 4 x = 2 f(2) = 2.(2) f(2) = 4 g(4) = (4)2 g(4) = 16 h(2) = 16

Genericamente:

h(x) = g ( f(x) ) ou h(x) = g o f(x) ) ou h(x) = (g o f)(x)

A função h(x) representa a função g composta com f.

119

EXEMPLOS RESOLVIDOS Exemplo 1: (Cesgranrio) Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 3. O

valor de g ( f(3) ) é:

a) –1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Resolução:

x = 3 f(3) = 2(3) + 1 f(3) = 7

g ( f(3) ) = g ( 7 ) g ( f(3) ) = (7) – 3 g ( f(3) ) = 4 . (alternativa e)

Exemplo 2: (P. Bucchi) Sejam as funções f e g de R em R, definidas por f(x) = x + 5 e g(x) = x – 5. O conjunto solução da equação ( f o g )(x) = 3 é:

a) S = b) S = { 3 } c) S = { 5, –5 } d) S = { 5, –3 } e) n.d.a.Resolução:

( f o g )(x) = 3 ( g(x) ) + 5 = 3

( x – 5 ) + 5 = 3 x = 3 S = { 3 } . (alternativa b)

Exemplo 3: (UFPA) Dadas as funções 3x)x(f e g(x) = x2 – 1, o valor de (g o f)(0) é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 2Resolução:

( g o f )(0) = g ( f(0) )

f(0) = 330

( g o f )(0) = )3(g

( g o f )(0) = 1)3( 2 ( g o f )(0) = 2 . (alternativa e)

Exemplo 4: (UCSal-BA) Sejam f e g funções de R em R de modo que f(x) = 2x – 3 e f(g(x)) = – 4x + 1. nessas condições, g( –1 ) é igual a:

a) –5 b) –4 c) 0 d) 4 e) 5Resolução:

f(g(x)) = – 4x + 1 2( g(x) ) – 3 = – 4x + 1 2.g(x) – 3 = – 4x + 1 g(x) = – 2x + 2 g(x) = – 2x + 2 g( –1 ) = – 2 ( –1 ) + 2 g( –1 ) = 4 . (alternativa d)

Exemplo 5: (P. Bucchi) Seja uma função tal que f (2x – 3) = 4x2 + 5 , para todo x real.

Determine f(x). Resolução:

Fazendo 2x – 3 = t 2

3tx

f(2x – 3) = 4x2 + 5 f ( t ) = 4x2 – 5

52

3t.4)t(f

2

f ( t ) = t2 + 6t + 14

Como “t” representa um número real qualquer, podemos eventualmente trocá-lo pela variável x. Portanto,

f(x) = x2 + 6x + 14 .

120

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 14) (UFRN) Se f(x) = x2 – 1, então f(x) é crescente no intervalo: a) [ 0, + [ b) [ – 1, 1 ] c) [– 1, + [

d) ] – , 1 ]

e) ] – , 0 ] 15) (FGV-SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 – 1. Então, as raízes da equação

f(g(x)) = 0 são: a) inteiras b) negativas c) racionais não inteiras d) inversas uma da outra e) opostas. 16) (PUC-SP) Se f(x) = 3x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale: a) – 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5 17) (UFRN) Seja f uma função real de variável real. Se f(x + 3) = x2 + 2, então f(– 1) é igual a: a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 48 18) (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x + 3) = x + 1 e f(g(x)) = 2x. Então o

valor de g(0) é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

121

19) (Mack-SP) Na figura, temos o gráfico de uma função f. Desse modo, f(f(1)) vale:

a) – 3 b) – 1 c) – 1/2 d) 1/2 e) 2

20) (UFES) Sejam f, g: R R funções tais que g(x) = 3x + 6 e (f o g)(x) = x2 – 1 para cada x R. Então o valor de f em zero é:

a) – 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 1

9.5. FUNÇÃO INVERSA f – 1 (x)

Existem funções que, sob certas condições, originam outras funções. Quando uma função f : A B origina uma outra função, de B A, ou seja, com domínio e contradomínio iguais, respectivamente, ao contradomínio e ao domínio de f, tal função originada é denominada função inversa da função f , a qual indicamos, geralmente, por f – 1.

Pela definição de função, vista no item 9.3, uma função f : A B será inversível, ou seja, possuirá inversa f – 1 se, e somente se:

D (f – 1 ) = Im ( f )

Im (f – 1 ) = D ( f )

Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 0, 2, 4 }, B = { 1, 5, 9 } e as seguintes funções:

f : A B, definida por f(x) = 2x + 1

g : B A, definida por g(x) = 2

1x

D ( f ) = { 0, 2, 4 }

Im ( f ) = { 1, 5, 9 }

f = { (0, 1), (2, 5), (4, 9) }

D ( g ) = { 1, 5, 9 }

Im ( g ) = { 0, 2, 4 }

g = { (1, 0), (5, 2), (9, 4) }

122

9.5.1. REGRA PRÁTICA PARA OBTER A INVERSA f – 1(x)

O novo “y” é a função inversa f – 1(x)

Em y = f(x), trocar “x” por “y” e “y” por “x”, obtendo-se x = f(y) Isolar a variável “y”, obtendo-se, então, f – 1(x).

Exemplo 1: Determine a inversa da função f(x) = 2x – 3.

Resolução:

Portanto, f – 1(x) = 2

3x

Exemplo 2: Seja uma função f: R – { 1/2 } R – { 3/2 }, definida por 1x2

5x3)x(f

.

Determine a inversa da função f. Resolução:

1x2

5x3y

1x2

5x3)x(f

Trocando de variável, vem: 1y2

5y3x

Isolando y, temos:

x(2y + 1) = 3y – 5 2xy + x = 3y – 5 2xy – 3y = – x – 5

y.(2x – 3 ) = – x – 5 y = 3x2

5x

f – 1(x) =

3x2

5x

.

Observações: 1) O resultado encontrado poderia ter sido arrumado da seguinte forma:

f – 1(x) =3x2

5x

)1.(

)1.(

f – 1(x) =

x23

5x

;

2) Atente-se às informações do enunciado referentes ao domínio e ao contradomínio da função f e conclua sobre a existência da função f – 1(x).

Resposta: f – 1(x) =x23

5x

123

9.5.2. GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA

Vamos tomar como exemplo as funções 2

1x)x(

e . 1x2)x(f 1 f

Observe que para cada par (x, y) f tem-se (y, x ) f-1. Então podemos concluir:?

O gráfico de uma função f(x) e o de sua inversa f – 1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Por meio de simetria, podemos, a partir do gráfico de uma função inversível dada, construir o gráfico da função inversa correspondente.

124

EXERCÍCIOS SÉRIE AULA

21) (UFAL) Seja f a função de R em R, dada por 23

x)x(f . Se f –1 é a função inversa de

f, então f –1(1) é igual a:

a) – 3 b) – 1/3 c) 3 d) 6 e) 9

22) (UFSE) Seja a função IRB2

1IR:f

, definida por 1x2

1)x(f

. Se f admite

inversa f –1, o domínio de f –1 é: a) R – { 2 } b) R – { 1/2 } c) R d) R + e) R – { 0 }

23) (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função 3x

1x2)x(f

é:

a) 1x2

3x)x(f 1

b) 3x

1x2)x(f 1

c) x3

x21)x(f 1

d) 2x

1x3)x(f 1

e) x2

1x3)x(f 1

24) (P.Bucchi) Seja f a função definida por 1x4

2x3)x(f

, com

4

1x . Os valores de a e b,

tais que bax

2x)x(f 1

, são, respectivamente:

a) 3 e 4 b) 4 e 3 c) – 4 e – 3 d) 4 e – 3 e) – 4 e 3

125

25) (Fafi-MG) Se o gráfico de f é

, então o gráfico de f – 1 é:

a) b)

c)

d)

TESTES COMPLEMENTARES

1) (PUC-RS) Seja R a relação de A = { x Z | – 3 < x 5 } em B = { x Z | – 2 x < 4 }, definida por x2 = (y – 1)2 com x A e y B. O conjunto imagem de R é:

a) { x Z | – 2 x < 4 } b) { x Z | – 2 x < 4 } c) { x Z | – 2 x 4 } d) { x Z | – 3 x < 4 } e) { x Z | – 3 x 4 } 2) (Mack-SP)

Sejam A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 4, 5 } e a relação R = { (x, y) A X B y = 2x – 1 }. O domínio e a imagem dessa relação são, respectivamente:

a) { 1, 3 } e { 1, 5 } b) { 0, 1, 2 } e { 2, 4 } c) { 0, 1, 2, 3 } e { 1 } d) A e B e) n.d.a. 3) (Santa Casa-SP) Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A X B tem 12 elementos, então

A B pode ter, no máximo: a) 7 elementos b) 8 elementos c) 11 elementos d) 121 elementos e) 13 elementos

126

4) (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período 1985–1996, realizado pelo Seade–Dieese, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de desemprego:

Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado:

a) a maior taxa de desemprego foi de 14%. b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período. c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente. d) no período de 1985–1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%. e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991. 5) (UFRS) A taxa de crescimento natural de uma população é igual à diferença entre as taxas

de natalidade e mortalidade, cujas evoluções estão representadas no gráfico a seguir.

Dentre as opções abaixo, a maior taxa de crescimento natural da população ocorreu no ano de:

a) 1881 b) 1900 c) 1930 d) 1955 e) 1993

127

6) (Covest-PE) Analisando o gráfico que representa a taxa média mensal de desemprego na região metropolitana do Recife em 1996 (dados do IBGE), é incorreto afirmar que:

a) A taxa de desemprego não cresceu entre janeiro e abril. b) a menor taxa de desemprego ocorreu em dezembro. c) Durante o ano de 1996, a taxa de desemprego não excedeu 5%. d) A média anual de desemprego em 1996 foi superior a 3%. e) A média anual de desemprego em 1996 foi inferior a 7%. 7) (Funrei-MG) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real de variável

real y = f(x):

Considerando os elementos desse gráfico, analise as afirmativas seguintes:

I. A função f em questão possui exatamente 3 raízes reais. II. A função f é crescente no intervalo [ 1/4 , 7/3 ]. III. A função f é decrescente no intervalo [ 10/3 , 9/2 ]. IV. f(3) + f(1) < f(2) + f(5). V. f(19/3) + f(–19/3) = 0

De acordo com esses dados, a alternativa correta é: a) Todas as afirmativas são falsas. b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Apenas a afirmativa V é falsa. d) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

128

8) (Fatec-SP) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a

x anos, em 10002

120)x(f

x

habitantes. Estima-se que, durante o 3º ano, essa

população:

a) se manterá constante; b) aumentará em até 125 habitantes; c) aumentará em até 250 habitantes; d) diminuirá de até 125 habitantes; e) diminuirá de até 250 habitantes; 9) (UFMG) Seja f: R R uma função tal que f(x + 1) = 2.f(x) – 5 e f(0) = 6. O valor de f(2) é:

a) 0 b) 3 c) 8 d) 9 e) 12

10) (UF-CE) Considere a função real definida por

2

1x

3

1

3x2)x(f

, x – 3/2.

Então o valor da soma 1.f(1) + 2.f(2) + 3.f(3) + . . . + 20.f(20) é:

a) 120 b) 600 c) 210 d) 620 e) 1 260 11) (F.Carlos Chagas-MG) As funções f e g, de R em R, são definidas por f(x) = 3x + 2 e

g(x) = 2x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), então m é igual a;

a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 12) (Vunesp-SP) Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = 2x + 3 e f(g(x)) = 2x – 5, então

g(f(2)) é igual a:

a) – 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 13) (UFES) Se f: R R, dada por f(x) = mx + n, com m 0, é tal que f(f(x)) = 2.f(x) para todo x

real, então m + n é igual a:

a) 3 b) 2 c) 0 d) – 1 e) – 2

129

14) (UFES) Se f(x) = x3 + 1 e g(f(x)) = x, então:

a) 1x

x)x(g

3

b) 3 1x)x(g c) g(x) = x3 + 1 d) 1x)x(g 3 e) g(x) = x3 – 1

15) (UFES) Seja f a função dada por 3x2

5x)x(f

, para x real diferente de

2

3 . Se g é a

função tal que g(f(x))=x para todo x do domínio de f, então g(1) vale:

a) – 5/3 b) – 3 c) – 4 d) – 8 e) – 2/5

16) (F.Visconde de Cairu-BA) dada a função f(g(x)) = 4x – 1 e g(x) = 2x + 3, pode-se afirmar que:

a) f(x) = x – 7 b) f –1(0) = 0 c) f(3) = – 5 d) f –1(3) + f(3) = 4 e) f –1(1) + g(2) = 10

17) (Cesgranrio) Sejam f: ] 0 , + [ ] 0, + [ a função dada por f(x) = 2x

1 e f –1 a função

inversa de f. O valor de f –1 no ponto 4 é:

a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4 18) (UEPI) Sejam f e g funções reais de variável real tal que f(x) = 2x + 3 e (f o g)(x) = – 6x + 5.

Se g –1 indica a inversa da função g, então g –1(1) é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

19) (Mack-SP) A função f, definida em R – { 2 }, dada por x2

x2)x(f

é inversível.

O seu contradomínio é R – { a } . O valor de a é: a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1 e) n.d.a.

130

20) (Cesesp-PE) Seja f: R R a função dada pelo gráfico seguinte:

Identifique a alternativa que corresponde ao gráfico da função inversa de f:

a)

d)

b)

e)

c)

RESPOSTAS SÉRIE AULA

1 D 6 E 11 C 16 D 21 C

2 B 7 C 12 E 17 B 22 E

3 B 8 A 13 D 18 C 23 E

4 A 9 C 14 A 19 A 24 D

5 A 10 C 15 E 20 C 25 A

GABARITO TESTES COMPLEMENTARES

1 B 6 C 11 D 16 D

2 A 7 D 12 C 17 B

3 E 8 B 13 B 18 A

4 D 9 D 14 B 19 D

5 D 10 E 15 D 20 C

131

QUESTÕES DISCURSIVAS D1) (UFMG) Seja f: N – Z a função definida por:

f (0) = 2 f (1) = 3 f (n + 1) = 2.f (n) – f (n – 1)

Determine o valor de f (3).

D2) (UFMG) Observe a tabela abaixo:

Essa tabela é utilizada para calcular o imposto de renda a ser pago à Receita Federal por um trabalhador assalariado no mês em questão. Para se obter o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair de seu rendimento bruto todas as deduções a que ele tem direito. Ao rendimento para base de cálculo aplica-se a alíquota correspondente e, em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir, também correspondente, de acordo com a tabela, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago. Nesse mês, um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ 2 000,00, teve direito somente às seguintes deduções: R$ 90,00 por dependente e R$ 200,00 pagos à Previdência. Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por esse trabalhador, nesse mês, foi de R$ 108,00, qual foi o número de dependentes considerado?

D3) (Unicap-PE) Um estudo das condições ambientais de um município indica que a taxa média de monóxido de carbono no ar será de C(p) = 0,5p – 1 ppm (partes por milhão) quando a população for de p milhares de habitantes.

Daqui a t anos, a população será de p(t) = 10 + 0,1t2.

a) Atualmente, qual é a taxa de monóxido no ar? b) Qual será a taxa de monóxido de carbono daqui a 4 anos? c) Daqui a quanto tempo a concentração do monóxido será de 9 ppm? d) Determine o nível de monóxido em função do tempo.

D4) (FEI-SP) Sendo f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1, x R, determine f(1 – x).

D5) (Faap-SP) Qual o valor de k que torna as funções de R em R definidas por f(x) = kx – 1 e

2

1x)x(g

inversas uma da outra?

132

D6) (UFSC) Sejam as funções 1x

1x)x(f

, definida para todo x real e x 1, e g(x) = 2x + 3

definida para todo x real, de modo que exista a composta f o g.

Analise as seguintes afirmações:

a) Para todo x R – { 0, 1 } tem-se )x(fx

1f

.

b) O domínio de f o g é R – { – 1 }.

c) Os gráficos de g e de g –1 interceptam-se em um único ponto do 2º quadrante.

D7) (UFPR) No interior de uma caverna existe uma

estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a

função h definida por 10

t)t(h , com t 0, relaciona a

altura da estalagmite (em centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido desde o início de sua formação.

Analise as seguintes informações:

a) A função inversa de h é definida por t

10)t(h 1 .

b) Serão necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite. c) h (h

–1(50)) = 50.

RESPOSTAS QUESTÕES DISCURSIVAS

D1 f (3) = 5

D2 2 dependentes

D3 a) 4 ppm b) 4,8 ppm c) 10 anos d) C(t) = 4 + 0,05 t2

D4 f(1 – x) = x2 + x – 1

D5 k = 2

D6 a) Verdadeira b) Verdadeira c) Falsa; interceptam-se em (– 3, – 3) III Q.

D7 a) Falsa; h – 1(t) = 10t b) Verdadeira c) Verdadeira