02d Estudo Analitico Polinomios

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1 Curso de Matemática UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS Ana Cristina dos Santos Garcia Elaine R. Marquezin Marinho Rafael Cremm Ricelli Pereira da Silva Osasco 1º semestre / 2007

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Curso de Matemática

UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Ana Cristina dos Santos Garcia

Elaine R. Marquezin Marinho

Rafael Cremm

Ricelli Pereira da Silva

Osasco

1º semestre / 2007

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Centro universitário FIEO

Curso de Matemática

UM ESTUDO ANALÍTICO DOS POLINÔMIOS E

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Trabalho apresentado para créditos

na disciplina de Pesquisas em

Matemática I sob orientação da

Profª. Drª. Élvia Mureb Sallum.

Ana Cristina dos Santos Garcia

Elaine R. Marquezin Marinho

Rafael Cremm

Ricelli Pereira da Silva

Osasco

1º semestre / 2007

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”Deus criou os números naturais, tudo o mais foi invenção do homem”

Leopold Kronecker (1886)

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ÍNDICE

Resumo............................................................................................................................06

Introdução........................................................................................................................07

1.1 As Equações algébricas.............................................................................................08

1.1.1 A equação do 2º grau e a fórmula de Bháskara..................................................08

1.1.2 A equação do 3º grau e a fórmula de Cardano.......................................................09

1.1.3 A equação do 4º grau e a fórmula de Ferrari......................................................11

1.1.4 As equações de grau superior a quatro...............................................................12

Capítulo II........................................................................................................................14

2.1 Polinômios e equações polinomiais...........................................................................15

2.1.1 Polinômios..........................................................................................................15

2.1.2 Equações algébricas............................................................................................17

2.1.3 Propriedades de operações com polinômios.......................................................18

2.1.4 Divisão de polinômios........................................................................................19

2.1.5 Redução do grau de uma equação......................................................................23

2.2 Teorema Fundamental da Álgebra............................................................................25

2.3 Relações entre coeficientes e Raízes.........................................................................30

2.3.1 Equação do 2º grau.............................................................................................30

2.3.2 Equação do 3º grau.............................................................................................31

2.3.3 Equação de grau n (n>1)....................................................................................31

2.4 Teorema das raízes racionais.....................................................................................34

2.5 Teorema das raízes complexas..................................................................................36

2.6 Equação do 2º grau....................................................................................................38

2.6.1 Resolução da equação do 2º grau completando quadrados................................38

2.6.2 Fórmula de Bháskara..........................................................................................40

2.7 Trinômio do 2º grau...................................................................................................42

2.7.1 Estudo do sinal....................................................................................................43

2.8 Fórmula de Cardano..................................................................................................49

2.8.1 Análise das raízes de uma equação do 3º grau...................................................54

2.9 A equação do 4º grau.................................................................................................56

2.9.1 O método de Ferrari............................................................................................56

2.9.2 Resolução geral para um polinômio do 4º grau..................................................58

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5

2.9.3 Conseguindo as quatro raízes.............................................................................59

Capítulo III......................................................................................................................61

3.1 Aproximação de raízes de uma equação polinomial por métodos numéricos...........62

3.1.1 Métodos iterativos para aproximação de zeros reais de funções.........................63

3.1.1.1 Método da Bissecção......................................................................................63

3.1.1.2 Método de Newton.........................................................................................67

3.2 Aplicações.................................................................................................................71

Referências bibliográficas...............................................................................................88

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1.1 RESUMO

A Matemática, guardiã de uma riqueza inestimável, tem nos proporcionado aos

poucos desvendar alguns desses tesouros como, por exemplo, os polinômios e as

equações algébricas. O estudo analítico do tema, cujas idéias originais foram extraídas

das mais diversas publicações destinadas ao ensino de Álgebra, Cálculo Numérico e

História da Matemática e textos científicos disponíveis na internet, nos tem

proporcionado a construção de uma base teórica consistente acerca do surgimento das

fórmulas usadas na resolução de equações polinomiais do 2º ao 4º grau e da

impossibilidade de se determinar uma fórmula para resolver algebricamente equações

de grau superior a quatro, mesmo depois das muitas tentativas feitas por ilustres

matemáticos. Ainda, nos tem revelado os nomes dos verdadeiros descobridores dos

métodos de resolução das equações, que na grande maioria dos casos foram passados

para trás por colegas desleais que acabaram levando o mérito pelo feito de outro. Desta

forma, assim como no ponto de vista teórico foram frutíferas as descobertas; no ponto

de vista das aplicações não ficou a desejar, isto é, mostrou que o tema tem sua

relevância tanto na Matemática como no cotidiano e em outras áreas do conhecimento

científico; sobretudo, na Física e na Economia, possibilitando a estas ciências

determinar, por exemplo, a altura mínima necessária para uma pessoa saltar de bungee

jumping considerando sua massa, o comprimento e a resistência do elástico ou o lucro

máximo obtido com a venda de um produto; entre muitas outras aplicações.

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INTRODUÇÃO

A presente pesquisa tem por objetivo o estudo analítico dos polinômios e das

equações polinomiais, resgatando os métodos de resolução das equações do 2º ao 4º

grau e identificando os motivos pelos quais não existe uma fórmula geral para resolver

as equações de grau maior ou igual a cinco.

Além disso, visa contribuir para o aprimoramento e/ou ampliação dos

conhecimentos científicos dos profissionais da Área de Exatas e, sobretudo dos

graduandos do curso de Matemática, acerca dos polinômios e das equações polinomiais.

Entretanto, para uma melhor compreensão do texto científico produzido aqui é

fundamental aos leitores um prévio conhecimento dos fundamentos matemáticos,

principalmente das operações algébricas com polinômios.

O leitor poderá verificar no terceiro capítulo, a grandiosidade de aplicações do

fenômeno estudado no campo da matemática, no dia-a-dia e em outras áreas do

conhecimento, contribuindo de maneira significativa no desenvolvimento das mesmas.

Para o leitor que aprecia uma boa história, em seguida apresentamos um breve

resumo das notas históricas que envolveram as equações polinomiais e seus métodos de

resolução.

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1.1 AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Devido a registro muito antigos, os chamados papiros, sabemos que as equações

algébricas existem há aproximadamente 4000 anos. Foram várias as maneiras utilizadas

pelos egípcios para resolver tais equações. Mas foi a partir dos axiomas enunciados na

obra Os Elementos de Euclides que se chegou ao método de resolução da equação do 1º

grau utilizado até hoje. A obra de Euclides influenciou toda a produção científica

posterior a ela e é o livro-texto mais antigo e que continua em vigor até os dias atuais.

Os axiomas enunciados por Euclides no início dos Elementos e em que está

fundamentada a resolução das equações são:

i) Entidades iguais a uma terceira são iguais entre si ( ca = e bacb =⇒= ).

ii) Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem

iguais ( cbcaba ±=±⇒= ).

iii) A parte é menor que o todo ( *11Ν∈∀< m

m).

Além destes usamos também um outro axioma que não foi enunciado

diretamente por Euclides, mas que facilmente aceitamos sua veracidade:

iv) Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais

( bcacba =⇒= ).

Uma vez encontrada a maneira de resolver as equações do 1º grau, um grande

passo foi dado, pois como veremos mais adiante, os métodos utilizados para resolver as

equações de 2º e 4º graus foram obtidos na tentativa de se reduzir o grau da equação de

modo a deixá-la solúvel pelo método já encontrado.

1.1.1 Equações do 2º grau e a Fórmula de Bháskara

A fórmula que conhecemos como fórmula de Bháskara na verdade não foi

descoberta por Bháskara (1114-1185), ela foi publicada pelo matemático hindu Sridhara

um século antes de Bháskara em uma obra que não chegou até nós.

A fórmula amplamente conhecida e utilizada por todos nós, se fundamentou na

idéia de reduzir uma equação do 2º grau para uma equivalente do 1º grau, cuja solução

já era conhecida, utilizando para tanto a extração de raízes quadradas. Para isto os

hindus se basearam na técnica de completar quadrados, obtendo assim um quadrado

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perfeito que envolvesse a incógnita, de modo que as operações usadas para obter este

quadrado perfeito sempre obedecessem aos axiomas de Euclides.

Desta forma, para reduzir o problema a um equivalente, mas agora com a

incógnita de 1º grau, bastava extrair as raízes quadradas. Mas o que não passou

despercebido aos hindus, como havia ocorrido com os babilônios, foi o fato de que tanto

números negativos quanto positivos quando elevados ao quadrado são sempre positivos.

Assim, temos duas alternativas: uma positiva e outra negativa e por isto a fórmula ficou

desta forma:

a

acbbx2

42 −±−=

As equações do 2º grau são solução de um problema clássico: encontrar dois

números conhecendo sua soma e seu produto, conforme pode ser verificado na página...

Da fórmula de Bháskara vieram duas contestações muito importantes:

1) Equações de grau maior que 1 poderiam ter mais de uma solução;

2) Em alguns casos a fórmula podia levar a uma raiz quadrada de um número

negativo, o que era desconhecido na época. Neste caso se dizia ser impossível

resolver tal equação.

E foi a partir da fórmula de Bháskara, no século XII, que se viu pela primeira

vez tal problema. Uma vez resolvido o problema das equações do 2º grau, os

matemáticos buscavam agora resolver as equações do 3º grau. Essa curiosidade

inesgotável levou os matemáticos a uma busca que durou séculos para ser cessada.

1.1.2 Equações do 3º grau e a fórmula de Cardano

Como sabemos, os grandes gênios são seres humanos com qualidades e defeitos,

como qualquer um de nós, e, o dom do intelecto não escolhe caráter. O que veremos a

seguir é um bom exemplo disto.

Conforme relatos da época consta que, por volta de 1510, Scipione Del Ferro,

um matemático italiano, encontrou uma fórmula para resolver as equações do 3º grau do

tipo 03 =++ qpxx , mas que morreu antes que pudesse publicar sua descoberta. Seu

discípulo, Antonio Maria Fior, que conhecia o método tentou se apropriar do mérito de

seu mestre. Na época eram comuns desafios entre os sábios e Fior decidiu desafiar

Tartaglia, que era bastante conhecido por seu talento.

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Nicoló Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, nascido em Bréscia, na

Itália, teve uma vida marcada pelo infortúnio, uma infância tão pobre que não pôde

estudar, sua mãe não tinha dinheiro nem sequer para lhe comprar papel e tinta, mas

como Tartaglia tinha muito amor pelos estudos e uma imensa vontade de aprender,

decidiu fazê-lo por conta própria, utilizando para isto uns poucos livros que conseguia.

Desta maneira penosa, Tartaglia construiu sua cultura e anos mais tarde, ganhava seu

sustento como professor. Tartaglia publicou várias obras, mas sua história começou a

ser marcada a partir do desafio lançado por Fior.

O desafio consistia na solução de diversos problemas que um proporia ao outro,

e Fior, por ser o único a conhecer a solução da equação do 3º grau do tipo

03 =++ qpxx , pretendia apresentar questões relacionadas a ela. Tartaglia aceitou o

desafio e depois veio a saber que Fior detinha o método descoberto pelo professor

Scipione Del Ferro. Mais tarde, Tartaglia relatou “mobilizei todo o entusiasmo, a

aplicação e a arte de que fui capaz, objetivando encontrar uma regra para a solução

daquelas equações, que consegui a 10 de fevereiro de 1535”. Mas além de resolver as

equações do tipo 03 =++ qpxx , Tartaglia também encontrou uma fórmula geral para

resolver as equações do tipo 023 =++ qpxx , que Fior não conhecia.

Assim Fior saiu derrotado, pois não conseguiu resolver as questões propostas

por Tartaglia, que consistiam em solucionar equações do tipo 023 =++ qpxx . Na

verdade, Tartaglia não encontrou um método para resolver um tipo específico de

equação do 3º grau, pois como veremos no próximo capítulo, qualquer equação do 3º

grau pode ser escrita na forma 03 =++ qpxx , bastando para isto fazer uma

substituição do tipo myx += na equação original e calculando m de modo a cancelar o

termo de grau 2.

Nesta época, Gerolamo Cardano (1501-1576) italiano, talentoso cientista,

dedicado à astrologia e autor de várias obras, estava escrevendo um livro que englobaria

Álgebra, Aritmética e Geometria. Acreditando ainda na impossibilidade da resolução

das equações do 3º grau, Cardano não pretendia tocar no assunto em seu livro.

Quando Cardano ficou sabendo que Tartaglia havia encontrado a solução para o

problema, resolveu procurá-lo e pedir que revelasse seu método para ser publicado.

Tartaglia não aceitou a proposta de Cardano, alegando que pretendia publicar ele

mesmo mais tarde. Cardano voltou a procurar Tartaglia várias vezes e após juras de

fidelidade, conseguiu que ele revelasse seu segredo.

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Como já era de se esperar, Cardano traiu todos os juramentos feitos a Tartaglia e

em 1545, publicou na Ars Magna sua fórmula, embora tenha feito vários elogios a

Tartaglia, acrescentou que alguns anos antes Scipione Del Ferro havia chegado aos

mesmos resultados.

Tartaglia publicou sua versão dos fatos e denunciou Cardano por trair

juramentos feitos sobre a Bíblia. Após trocar ofensas, o que prevaleceu foi que a

fórmula deduzida por Tartaglia, a qual ao invés de receber o seu nome é hoje conhecida

como Fórmula de Cardano. O mesmo que havia acontecido com a fórmula de Bháskara.

Mas o que nem Cardano, nem Tartaglia poderiam imaginar é que sua fórmula

traria mais perguntas do que respostas. A fórmula descoberta por Tartaglia exibia

apenas uma solução para a equação, mas se a fórmula de Bháskara dava as duas

soluções para a equação do 2º grau, não poderia a equação do 3º grau também ter mais

de uma solução? Outra questão que veremos mais detalhadamente no próximo capítulo

é que uma equação do 3º grau que tenha as três soluções reais, implica em trabalhar com

raiz quadrada de números negativos na aplicação da fórmula de Cardano, como na

época este tipo de operação não estava definida, este foi um problema que demorou

muito tempo para ser solucionado.

Felizmente, Rafael Bombelli (1526-1572), publicou em 1572 no livro L’Algebra

parte Maggiore dell’Arithmetica, algumas regras que criou para trabalhar com a raiz

quadrada da unidade negativa ( 1− ), o que não tinha simbologia que utilizamos hoje

mas que já era o início dos trabalhos com números complexos. A representação da 1−

por i é devida a Leonard Euler, que a propôs quase duzentos anos depois.

É importante esclarecer que a raiz quadrada dos números negativos apareceu

pela primeira vez na resolução de equações do 2º grau, mas que isto era tomado como a

impossibilidade de solução da mesma. Apenas quando chegamos à resolução das

equações do 3º grau é que isto se tornou um problema concreto, pois podemos

facilmente tomar exemplos de equações do 3º grau com soluções reais em que aparecem

as raízes de números negativos quando aplicamos a fórmula de Cardano.

1.1.3 Equações do 4º grau e a fórmula de Ferrari

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Ludovico Ferrari (1522-1560), nascido em Bolonha, era de família muito

humilde e aos 15 anos de idade foi trabalhar como servo na residência de Cardano, o

qual percebendo sua notável inteligência, o promoveu a seu secretário.

Como já dissemos, os matemáticos daquela época tinham o costume de

promover desafios e um certo Zuanne de Tonini da Coi propôs a Cardano uma questão

que envolvia a equação:

036606 24 =+−+ xxx

Após inúmeras tentativas, Cardano não obteve êxito e passou a questão a seu

aluno Ferrari, que acabou por encontrar a fórmula geral para a solução das equações do

4º grau. Este método encontrado por Ferrari também foi publicado por Cardano na Ars

Magna, em continuidade à solução das equações do 3º grau.

No próximo capítulo veremos mais detalhadamente como Ferrari resolveu este

problema, mas o que podemos destacar em seu raciocínio, foi que ele buscou reescrever

a equação, usando as operações permitidas pelos axiomas de Euclides, de modo a obter

quadrados perfeitos e assim reduzir o problema a resolução de uma equação do 2º grau

que era possível usando a fórmula de Bháskara. Este método permite a exibição das

quatro raízes da equação, assim a fórmula de Bháskara permite a exibição das duas

raízes da equação do 2º grau.

A partir daí os matemáticos começaram a pensar, que se as equações do 2º grau

podem ter 2 soluções e as do 4º grau, 4 soluções, então uma equação de grau n possuiria

n soluções? Nada foi provado, mas eles acreditavam ser verdade e buscavam uma

maneira de demonstrar tal fato.

Foi apenas em 1.799 que o brilhante matemático alemão Carl Friedrich Gauss

(1777-1855) apresentou como sua tese de doutorado o famoso Teorema Fundamental da

Álgebra que foi intitulado desta maneira pelo próprio Gauss. Este teorema dizia que

toda equação polinomial tem ao menos uma solução kx no campo complexo, e fazendo

as sucessivas divisões do polinômio pelo binômio )( kxx − , temos uma decomposição

em n fatores, sendo que n é o grau do polinômio. Estava assim provado que todo

polinômio de grau n possui exatamente n raízes, contando com as suas multiplicidades.

1.1.4 As equações de grau superior a 4

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13

Desde que fora encontrada a solução das equações de grau 4 por Ferrari que o

desafio dos matemáticos neste campo passou a ser as equações de grau 5. Muitas foram

as tentativas e um jovem prodígio, Niels Henrik Abel (1802-1829) norueguês, acreditou

que havia conseguido tal façanha por volta de 1819, seus professores não conseguiam

encontrar nenhuma falha no processo desenvolvido por Abel, mas foi ele mesmo que

acabou descobrindo que sua solução estava incorreta.

A partir de então, resolver tais equações tornara-se uma questão de honra para

Abel. E após muito trabalho, por volta de 1823, demonstrou que, exceto em casos

particulares, de um modo geral é impossível resolver equações do 5º grau utilizando

apenas operações algébricas.

Infelizmente, Abel morreu sem que seu trabalho fosse devidamente reconhecido,

foi apenas em 1830 que a Academia de Ciências de Paris concedeu seu Grande Prêmio

a Abel pelas contribuições feitas por ele à Matemática. O teorema que diz que “O

polinômio geral de grau n não é solúvel por radicais se n ≥ 5”, que foi demonstrado por

Abel, é hoje conhecido como Teorema de Abel-Ruffini.

Outro gênio da Matemática que demonstrou a impossibilidade da resolução por

radicais das equações de grau superior a 4 foi Évariste Galois (1811-1832). Galois,

assim como Abel, chegou a acreditar que conseguira encontrar uma solução geral para

as equações de 5º grau, mas enquanto Abel usou apenas operações algébricas para

demonstrar a impossibilidade de uma solução geral para tais equações, Galois criou uma

nova teoria para fazer tal demonstração. Além disso, a teoria de Galois, não prova

apenas que as equações de grau superior a 4 não podem ser reolvidas em geral por

métodos algébricos, mas também porque as de grau inferior a 5 podem ser resolvidas

usando estes métodos.

Os estudos de Galois eram muito avançados para a época e os outros

matemáticos tinham uma certa dificuldade em entender seu raciocínio. A verdade é que

a Álgebra nunca mais foi a mesma depois de Galois, a Teoria dos Grupos, desenvolvida

por ele, é um dos mais importantes pilares da Matemática Moderna.

Não apresentaremos mais detalhes da Teoria dos Grupos neste trabalho por se

tratar de um tema muito complexo e que demandaria muito tempo, mas esperamos que

as explicações apresentadas tenham sido suficientes para convencer o leitor que de fato

não podemos resolver de uma maneira geral as equações com grau maior ou igual a

cinco.

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CAPÍTULO II

O presente capítulo tem por objetivo mostrar as definições e propriedades

fundamentais para as operações com polinômios. Apresentaremos ainda algumas

demonstrações muito importantes no estudo dos polinômios como, por exemplo, o

algoritmo da divisão, o teorema das raízes racionais e das raízes complexas, as relações

entre coeficientes e raízes, o Teorema Fundamental da Álgebra entre outros.

Quanto ao estudo das equações polinomiais, procuramos abordar de maneira

mais simples possível, as equações de 2º grau, relevando tópicos como o

completamento de quadrados, a fórmula de Bháskara e um breve estudo do sinal do

trinômio do 2º grau; além das demonstrações de métodos desenvolvidos para resolver

equações do 3º e 4º graus, respectivamente por Tartaglia e Ferrari.

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2.1 POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS

2.1.1 Polinômios

Veremos a seguir algumas definições e propriedades que serão de extrema

importância no desenvolvimento do trabalho.

Definição: Chamamos polinômio ou função polinomial na variável Cx ∈ (conjunto

dos números complexos) a função: 0

02

21

1)( xaxaxaxaxP nn

nn ++++= −

− K ,

onde n é um número natural e 01 ,,, aaa nn K− são números complexos, denominados

coeficientes do polinômio.

As parcelas da forma Ν∈kxa kk , , são chamadas de termos do polinômio e, em

particular, 0a é denominados termo independente. O grau de um polinômio P(x) não

nulo, que indicaremos por )(xP∂ , é o maior dos expoentes de x que tem coeficiente não

nulo. Contudo, quando o polinômio for nulo, seu grau não é definido.

Exemplos:

1) 13215)( 23 −+−= xxxxP constitui um polinômio de grau 3 e coeficientes:

1,3,21,5 0123 −==−== aaaa

2) 0000)( 234 +++= xxxxP constitui um polinômio nulo, pois todos os coeficientes

são iguais a zero.

3) 1)( 22 ++= − xxxP não constitui um polinômio, pois um de seus expoentes é

Ν∉− 2 .

Definição: O valor numérico de um polinômio corresponde ao valor obtido pela

substituição da variável de um polinômio por um número Cx ∈0 .

Exemplo:

Dado 432)( 3 +−= xxxP , o valor de P(x) para x=1 é:

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16

3)1(4)1(3)1(2)1( 3 =⇒++= PP

Definição: Um número complexo 0x é raiz ou zero do polinômio P(x) se, e

somente se, 0)( 0 =xP , ou seja,

0)( 0012

021

0100 =+++++= −− axaxaxaxaxP n

nn

n K

Exemplo:

Dado 652)( 23 −−+= xxxxP , verificar se x=3 é raiz do polinômio.

De fato,

6)3(5)3(2)3()3( 23 −−−−+−=−P

Como P(-3)=0, então –3 é raiz de P(x).

Propriedade: Sejam as funções polinomiais:

011

1

011

1

)(

)(

bxbxbxbxB

axaxaxaxAn

nn

n

nn

nn

++++=

++++=−

−−

K

K e

Então A(x) e B(x) são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos de

mesmo grau forem iguais, isto é,

001111 ,,,, babababa nnnn ==== −− K

Demonstração por indução finita sobre o grau do polinômio:

1º passo:

A propriedade é verdadeira para n=1, pois:

Cxbaxbabxbaxa ∈∀=−+−⇔+=+ 0)()( 00110101

-se 0=x ,

0000 0 baba =⇔=−

- se 0≠x , derivando a equação 1 vez, temos:

1111 0 baba =⇔=−

2º passo:

Suponhamos que a propriedade vale para n=k:

kibabxbxbaxaxa iik

kk

kk

kk

k ...,,1,0,01

101

1 =∀=⇔+++=+++ −−

−− KK

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17

Vejamos se vale para n=(k+1)

0)()()( 001

11

01

101

1

=−++−+−⇔

⇔+++=++++

++

++

++

baxbaxba

bxbxbaxaxak

kkk

kk

kk

kk

kk

kk

K

KK

derivando a equação k vezes, temos:

0)()1()()1()1( 11 =−−+−−+ ++ kkkk bakkxbakkk KK

pela HI temos que kk ba = , logo, a equação fica:

0)()1()1( 11 =−−+ ++ xbakkk kkK

como a expressão é válida para todo x e 11,),1(,),1( ≥−+ Kkkk temos que:

1111 0)( ++++ =⇔=− kkkk baxba

logo, dos 1º e 2º passos, pelo Processo de Indução Finita, concluímos que nn ba = .

2.1.2 Equações Algébricas

Definição: Chamamos equação polinomial ou algébrica na variável ,Cx ∈ toda

equação escrita na forma ,0)( =xP onde:

• ;0,)( 011

1 ≠++++= −− n

nn

nn aaxaxaxaxP K

• 011 ,,,, aaaa nn K− são coeficientes complexos e *Ν∈n a potência de x ,

cujo maior valor determina o grau da equação.

Exemplos:

1) 0152 24 =++ xx ( equação polinomial do 4° grau na variável x e

coeficientes 1,0,5,0,2 ).

2) 03)2(3 2 =−−+ yiiy ( equação polinomial do 2° grau na variável y e

coeficientes 3,2,3 −− ii ).

Definição: Uma raiz de uma equação polinomial ,0)( =xP é um número

complexo ,0x tal que .0)( 0 =xP

O conjunto de todas as raízes da equação polinomial é chamado de conjunto

solução (ou conjunto verdade) e designaremos por .S

Page 18: 02d Estudo Analitico Polinomios

18

Exemplos:

1) Verificar se S={3, -2i, 2i} é o conjunto solução da equação

.01243 23 =−+− xxx

Solução:

• 3 é raiz, pois 012)3(4)3(33 23 =−+− .

• -2i é raiz, pois 012)2(4)2(3)2( 23 =−−+−−− iii

• 2i é raiz, pois 012)2(4)2(3)2( 23 =−+− iii

• Logo, S={3, -2i, 2i}.

2.1.3 Propriedades de operações com polinômios

Sejam A, B e C três polinômios na variável Cx ∈ , valem as seguintes propriedades:

ACABCBADBAABM

CABBCAMAAA

AAAABBAA

CBACBAA

+≡+≡

≡≡−+

≡++≡+

++≡++

)(::

)()(:0)(:

0::

)()(:

2

1

4

3

2

1

onde 0 é o polinômio nulo.

Observações:

I) A adição e a subtração de dois ou mais polinômios são feitas somando ou subtraindo

os coeficientes dos termos de mesmo grau.

II) A multiplicação é feita por meio da propriedade distributiva, que consiste na

multiplicação de cada termo de A(x) por todos os termos de B(x), por exemplo,

reduzindo-se então os termos semelhantes.

Exemplos:

1)Dados 13)(32)( 223 +−=−−= xxxBexxxA , obter o polinômio S(x) tal que

S(x)=A(x)+B(x).

Solução:

222)()13()32()(

23

223

−−+=⇒

+−+−−=

xxxxSxxxxxS

Page 19: 02d Estudo Analitico Polinomios

19

2) Considerando os polinômios A(x) e B(x) do exemplo anterior, obter o polinômio

A(x)-B(x).

Solução:

442)()()13()32()()(

23

223

−+−=−⇒

+−−−−=−

xxxxBxAxxxxxBxA

3) Sejam 33)(23)( 232 +−=+−= xxxBexxxA , obter o polinômio P(x)=A(x)B(x).

Solução:

693116)(66299333

)33(2)33(3)33()33)(23()(

2345

2334245

2323232

232

+−−+−=

+−+−+−+−=

+−++−−+−=

+−+−=

xxxxxxPxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxP

2.1.4 Divisão de polinômios

Definição: Dados dois polinômios, reais ou complexos, A(x) e B(x), B não nulo,

dividir A(x) por B(x) significa encontrar um par de polinômios, reais ou complexos,

Q(x) e R(x) tais que:

)()()()( xRxQxBxA +=

)()(

)()(

xQxR

xBxA

Teorema 2.1.1: O quociente Q(x) e o resto R(x) com BR ∂<∂ da divisão de A(x)

por B(x), B não nulo, existem e são únicos.

Demonstração:

Consideremos:

011

1

011

1

)(

)(

bxbxbxbxB

axaxaxaxAm

mm

m

nn

nn

++++=

++++=−

−−

K

K ,

00

≠≠

m

n

ba

1º caso: n < m

Como o grau de A(x) é menor que o grau de B(x), então Q(x)=0 e R(x)=A(x).

Ou seja:

Page 20: 02d Estudo Analitico Polinomios

20

)()(0)( xAxRexQBA ==⇒∂<∂

Exemplo:

Dados os polinômios 134)(532)( 232 ++=++= xxxBexxxA . Da divisão de A(x)

por B(x) obtemos:

0532

134|5322

232

++

++++

xx

xxxx

)(532)(0)( 2 xAxxxRexQ =++==

Caso geral: n ≥ m

Existência:

Consideremos os monômios mm

nn xbexa de mais alto grau em A(x) e B(x),

respectivamente. A partir da divisão de A(x) por B(x), obtemos:

)(

)(|)(

1

0

xRxQ

xBxAmn−

onde )()()( 010 xBxQxAxRexbaxQ mnmn

m

nmn −−− −=∴=

O polinômio 1R é chamado de primeiro resto parcial. Como:

=1R )()( 011

1011

1 bxbxbxbxbaaxaxaxa m

mm

mmn

m

nnn

nn ++++−++++ −

−−−

− KK

Fazendo a distributiva e um agrupamento adequado dos termos temos o

cancelamento de nnxa . Isto implica que )(1 xApR ∂<=∂ . Assim:

011

11 cxcxcxcR pp

pp ++++= −

− K

Agora, consideremos os monômios mm

pp xbexc . Através da divisão de )(1 xR

por B(x), temos:

)(

)(|)(

2

1

1

xRxQ

xBxRmp−

onde )()()( 1121 xBxQxRxRexbc

xQ mpmp

m

pmp −−− −=∴=

Page 21: 02d Estudo Analitico Polinomios

21

O polinômio )(2 xR é o segundo resto parcial e pode ser escrito da seguinte

forma:

)()()( 011

1011

12 bxbxbxbxbc

cxcxcxcxR mm

mm

mp

m

ppp

pp ++++−++++= −

−−−

− KK

onde o termo pp xc também é cancelado. Ou seja, )(12 xRkR ∂<=∂ . Assim,

011

12 )( dxdxdxdxR kk

kk ++++= −

− K

Aplicando a divisão parcial t vezes, teremos:

)()()( 11 xBxQxRxR msttt

−−− −=

onde BRt ∂<∂ .

Desta forma,

)()(

])[()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)(

110

11

112

01

xRxR

xQxQxQxBxAxR

xBxQxRxR

xBxQxRxR

xBxQxAxR

t

xQ

mst

mpmnt

msttt

mp

mn

=

+++−=

−=

−=

−=

−−

−−

−−−

444444 3444444 21K

M

Ou seja,

R(x)=A(x)-B(x)Q(x)

Unicidade:

Suponhamos que existam dois quocientes )()( 21 xQexQ e dois restos

)()( 21 xRexR , respectivamente, na divisão de A(x) por B(x) com BRi ∂<∂ , isto é,

)()()()()()()()(

22

11

xRxBxQxAxRxBxQxA

+=+=

e

Temos:

)()()())()(()()()()()()(

1221

2211

xRxRxBxQxQxRxBxQxRxBxQ

−=−+=+

Como BRR ∂<−∂ )( 12 , então )()(0)()( 2121 xQxQexQxQ =∴=−

Conseqüentemente, )()( 21 xRxR = .

É importante ressaltar que toda a discussão acima é valida tanto para polinômios

reais quanto complexos.

Page 22: 02d Estudo Analitico Polinomios

22

Exemplo:

Vamos dividir A(x)= 5323 234 −+−+ xxxx por B(x)= 12 +x .

Assim temos que:

5342)1(3)5323(

)(3)()(

23

22234

21

−+−=

+−−+−+=

−=

xxxxxxxxx

xBxxAxR

1)1(4)54(

)()4()()(

54)1(2)5342(

)(2)()(

2223

2

22312

−=++−+−=

−−=

−+−=

+−−+−=

−=

xxxx

xBxRxR

xxxxxxx

xxBxRxR

Como o grau de )(3 xR é menor que o grau de B(x), o processo está encerrado e

obtemos como quociente 423)( 2 −+= xxxQ e o resto 1)( −= xxR .

Abaixo seguem os cálculos feitos pelo método da chave.

1

4454

225342

42333

1|5323

2

2

3

23

224

2234

+

−+−

−−

−+−

−+−−

+−+−+

x

xxx

xxxxx

xxxx

xxxxx

Corolário 1: O polinômio P(x) é divisível por )( 0xx − se, e somente se, 0x é

raiz de P(x).

Demonstração:

Aplicando o Teorema 2.1.1 podemos escrever:

P(x)=A(x)Q(x)+R(x)

Onde 0)( xxxA −= , então

)()()()( 0 xRxQxxxP −−=

Page 23: 02d Estudo Analitico Polinomios

23

Assumindo que 0xx = , temos

)()()(0)(

00

00

xRxPxRxP

=+=

Assim, pela definição de raiz de um polinômio:

0)(0)( 00 =⇔= xRxP

Corolário 2: Se P(x) é divisível separadamente por )()( 10 xxexx −− , com

10 xx ≠ , então P(x) é divisível por ))(( 10 xxxx −− .

Demonstração:

Como o grau do divisor ))(( 10 xxxx −− é dois, então o grau do resto R(x), pelo

Teorema 2.1.1, da divisão de P(x) por ))(( 10 xxxx −− é no máximo um. Assim

consideramos baxxR +=)( .

Desta forma, temos:

CxbaxxQxxxxxP ∈∀++−−= )()())(()( 10

Como P(x) é divisível por )( 0xx − , então 0)( 0 =xP , ou seja,

bax

CxbaxxQxxxxxP+=

∈∀++−−=

0

0010000

0)()())(()(

(1)

E, como P(x) é divisível por )( 1xx − , então 0)( 1 =xP , ou seja,

baxCxbaxxQxxxxxP

+=∈∀++−−=

1

1111011

0)()())(()(

(2)

De (1) e (2), temos:

=+=+

00

1

0

baxbax

Subtraindo as equações temos:

0)( 10 =− xxa

Como 10 xx ≠ , segue que a=0, conseqüentemente, b=0. Logo, se 10 xx ≠ e se

P(x) é divisível por )( 0xx − e por )( 1xx − , então P(x) é divisível por ))(( 10 xxxx −− .

2.1.5 Redução do grau de uma equação

Page 24: 02d Estudo Analitico Polinomios

24

Dada a equação algébrica

0)( 011

1 =++++= −− axaxaxaxP n

nn

n K

A resolução desta equação pode ser facilitada se for decomposta em fatores

kx − onde k é raiz da equação.

Vimos que se k é raiz de ,0)( =xP então )(xP é divisível por kx − , isto é,

)()()( xQkxxP ⋅−=

onde )(xQ é o quociente da divisão de )(xP por kx − e possui grau ,1−n ou seja,

uma unidade inferior ao grau de )(xP .

Assim, de posse da raiz de ,0)( =xP pode-se reduzir a equação original e a

busca passa a ser pelas raízes de .0)( =xQ

Desta forma, a questão é determinar uma raiz de .0)( =xP Contudo, pode

ocorrer de recair numa nova equação ,0)( =xQ cuja resolução pode não ser tão simples.

Exemplos:

1) Resolver a equação .0410105 234 =+−+− xxxx

Solução:

Note que a soma dos coeficientes da equação é igual a zero, ou seja, 1 é raiz da

equação.

Logo, podemos dividir a equação por .1−x

Assim, obtemos .464)( 231 −+−= xxxxQ Agora, devemos resolver .0)(1 =xQ

Por “inspeção” encontramos 2 como raiz dessa equação. Logo, )(1 xQ é divisível por

2−x , ou seja,

Page 25: 02d Estudo Analitico Polinomios

25

Assim, obtemos .22)( 22 +−= xxxQ Resolvendo ,0)(2 =xQ obtemos

iei −+ 11 como raízes.

Logo, a equação original 0410105 234 =+−+− xxxx tem como raízes .1,1,2,1 ii −+

2.2 Teorema Fundamental da Álgebra

Todo polinômio complexo de grau maior ou igual a 1 possui pelo menos uma

raiz complexa.

Demonstração:

Embora este Teorema seja fundamental para a Álgebra, é na Análise que

buscaremos elementos para a sua demonstração. Para isto nos basearemos na

continuidade das funções polinomiais complexas.

A idéia utilizada aqui é a mesma empregada para provar que toda função

polinomial de grau ímpar tem ao menos uma raiz real. Pois, se uma função é contínua

num intervalo, então ela assume todos os valores entre os valores assumidos nas

extremidades.

Seja CCP →: uma função polinomial complexa dada por:

CxaxaxaxaxP nn

nn ∈∀++++= −

− 011

1)( K

onde 011 ,,,, aaaa nn K− são números complexos. Esta função associa a cada ponto do

plano complexo sua imagem, que também é um ponto do plano complexo. Devemos

mostrar que existe 0x tal que 0)( 0 =xP .

Para entender o que acontece com a imagem de P(x), vamos considerar as

imagens de círculos no plano complexo com centro na origem. Devido à continuidade

de P(x), a imagem de uma curva contínua e fechada, deve ser outra curva contínua e

Page 26: 02d Estudo Analitico Polinomios

26

fechada. Mas isto não implica que a curva imagem seja uma curva simples, ou seja, ela

pode se cruzar.

Vejamos o que acontece com a imagem de um círculo rx = através do

polinômio:

2)( 2 ++= xxxP

Escrevendo x na forma trigonométrica dos números complexos temos:

2)sen(cos)2sen2(cos2)sen(cos))sen(cos()(

2

2

++++=

++++=

θθθθ

θθθθ

iriririrxP

Quando x percorre o círculo de raio r, θ varia de 0 a 2π , enquanto que 2θ

varia de 0 a 4π . Assim, enquanto x percorre uma vez o círculo de raio r, 2x percorre

duas vezes o círculo de centro na origem e raio 2r .

Embora não seja simples descrever o comportamento desta soma, é fácil ver o

que acontece nos extremos, quando r é muito pequeno ou muito grande.

Quando r está próximo de zero, 2r é muito menor que r, logo x dita o

comportamento de P(x). Assim, a curva descrita por P(x) é um círculo de centro 2 e

levemente desvia do pela ação de 2x .

Para r grande, o comportamento de P(x) é ditado por 2x , assim a curva descrita

por P(x) é um círculo de centro na origem e raio 2r , percorrido duas vezes, e

ligeiramente perturbado pelos outros dois termos da equação.

Tomando dois exemplos: 321

== rer , temos:

Page 27: 02d Estudo Analitico Polinomios

27

Para valores de r próximos de zero, a curva é fechada em torno do complexo

2+0i. Assim, para valores pequenos de r, a origem fica externa à curva descrita por P(x).

Para valores grandes de r, a curva se comporta como um círculo de centro na origem,

logo a origem está interna à curva. Mas, sabemos pela continuidade que, a curva

descrita por P(x) evolui continuamente quando r cresce, portanto, podemos concluir que

para passar do exterior para o interior da curva, a origem tem que pertencer à curva para

algum r. Na equação dada, isto ocorre para 2=r . Ou seja, existe um complexo 0x de

módulo 2 cuja imagem )( 0xP é a origem, e portanto, P(x)=0 tem uma solução.

De fato, as raízes de P são:

2

71 i±−

O mesmo se aplica para:

CxaxaxaxaxP nn

nn ∈∀++++= −

− 011

1)( K

Para r pequeno, se x descreve um círculo de raio r e centro na origem, P(x)

descreve uma curva fechada em torno de 0a e com a origem em seu exterior. Para r

grande, a curva descrita por P(x) dá n voltas em torno da origem, logo, para passar da 1ª

para a 2ª situação, é necessário que, em algum momento, a origem pertença à curva.

Logo, toda equação polinomial possui pelo uma raiz complexa.

Teorema 2.1.2: Todo polinômio P(x) de grau n, 1≥n , pode ser escrito na

forma:

)())()(()( 321 nn xxxxxxxxaxP −−−−= K

onde nxxx ,,, 21 K são raízes do polinômio.

Demonstração:

Seja 00

22

11)( xaxaxaxaxP n

nn

n ++++= −− K , Cx ∈ . Pelo Teorema

Fundamental da Álgebra (TFA), P(x) admite ao menos uma raiz complexa; logo se 1x é

raiz da equação P(x)=0, então P(x) é divisível por )( 1xx − . Desta forma,

)()()( 11 xQxxxP −= (1)

onde )(1 xQ é um polinômio de grau (n-1), e se 1)1( ≥−n , então )(1 xQ possui pelo

menos uma raiz complexa, logo se 2x é raiz da equação 0)(1 =xQ , então temos que:

Page 28: 02d Estudo Analitico Polinomios

28

)()()( 221 xQxxxQ −= (2)

Substituindo (2) em (1) obtemos:

)())(()( 221 xQxxxxxP −−=

onde )(2 xQ possui grau (n-2). Aplicando sucessivamente o TFA temos:

)())()(()( 21 nn xxxxxxxQxP −−−= K

onde )(xQn tem grau nulo. Da identidade

0121 )())()(( axaxaxxxxxxxQ nnnn ++=−−− KK

temos que nn axQ =)( . Logo,

)())()(()( 321 nn xxxxxxxxaxP −−−−= K

Corolário3: A menos da ordem dos fatores, a decomposição de P(x) em n

fatores é única.

Demonstração:

Supondo que o polinômio 00

22

11)( xaxaxaxaxP n

nn

n ++++= −− K , admita duas

decomposições, ou seja,

)())()(()( 321 nn xxxxxxxxaxP −−−−= K (1)

)())()(()( 321 mm rxrxrxrxbxP −−−−= K (2)

Aplicando a distributiva em ambos os polinômios, obtemos:

)]()1()1()()([)( 212

1111

1 nnkn

kkn

nnn

nn

n xxxxSxxxxxxxxxaxP KKKK −+−+++++++−= −−−

ou seja,

)]()1[()( 21 nn

nkn

knn

n xxxaxSaxaxP K−+−= −

e, analogamente para (2) temos:

)]()1[()( 21 mm

mkm

kmm

m xxxbxSbxbxP K−+−= −

Assim, obtemos a seguinte igualdade:

)]()1[()]()1[( 2121 mm

mkm

kmm

mnn

nkn

knn

n xxxbxSbxbxxxaxSaxa KK −+−=−+− −−

Da identidade de polinômios temos que

mn baemn ==

Desta forma,

Page 29: 02d Estudo Analitico Polinomios

29

)())(()())(( 2121 mn rxrxrxxxxxxx −−−=−−− KK (3)

Adotando 1xx = temos:

},,2,1{0)()())((0

1

12111

njrxrxrxrx

j

m

K

K

∈=−−−−=

Alterando, convenientemente a ordem dos fatores, podemos obter 11 rx =

Assim, teremos em (3)

)())(()())(( 2121 mn rxrxxxxxxxxx −−−=−−− KK

ou seja,

)())(()())(( 3232 mn rxrxrxxxxxxx −−−=−−− KK

Analogamente, obtém-se },,2,1{, njirx ji K∈∀= . Conseqüentemente, para

mnmn rxrxbamn ==== ,,,, 11 K . Temos, portanto, a unicidade da decomposição.

Observação:

Na decomposição do polinômio P(x), Cx ∈ pode ocorrer de um mesmo fator

)( α−x se repetir m vezes. Neste caso diz-se que α é uma raiz de multiplicidade m do

polinômio P(x) ou da equação P(x)=0. Se o fator )( α−x , aparece uma única vez, diz-se

que α é uma raiz simples da equação P(x)=0.

Além disso, P(x) é divisível por cada um de seus fatores.

Exemplos:

1) Fatorar o polinômio 6555)( 234 −++−= xxxxxP sabendo que suas raízes são –

1, 1, 2 e 3.

Solução:

Sabemos que P(x) pode ser escrito da seguinte forma:

))()()(()( 4321 xxxxxxxxaxP n −−−−= , assim temos,

)3)(2)(1))(1((1)( −−−−−= xxxxxP

2) Sabendo que 1, 3 e 5 são raízes da equação 015383210 234 =+−+− xxxx , onde

1 é raiz com multiplicidade 2, fatore a equação.

Page 30: 02d Estudo Analitico Polinomios

30

Solução:

))()()(()( 4321 xxxxxxxxaxP n −−−−=

Assim, )5)(3)(1)(1(1)( −−−−= xxxxxP , ou seja,

)5)(3()1()( 2 −−−= xxxxP

2.3 Relações entre coeficientes e raízes

As relações entre os coeficientes reais ou complexos de uma equação polinomial

e suas raízes são muito usadas quando, embora não se conheça nenhuma raiz da

equação, são dadas algumas informações acerca das mesmas como, por exemplo, “uma

raiz é o oposto da outra”; “uma raiz é o inverso da outra”, etc.

As relações entre coeficientes e raízes são também chamadas de relações de

Girard.

2.3.1 Equação do 2º grau

Consideremos a equação de 2º grau,

002 ≠=++ acbxax (1)

onde a, b e c são coeficientes complexos para todo Cx ∈ .

Como a equação (1) possui duas raízes (em C), ou seja, 21 xex , então pelo

Teorema da Decomposição, temos:

00))(( 21 ≠=−− axxxxa (2)

De (1) e (2) temos a identidade:

0))(( 212 ≠−−=++ axxxxacbxax

Dividindo ambos os membros por a, temos:

0))(( 212 ≠−−=++ axxxx

acx

abx

Aplicando a distributiva no 2º membro, temos:

212122 )( xxxxxx

acx

abx ++−=++

e, da identidade de polinômios, vem que:

Page 31: 02d Estudo Analitico Polinomios

31

acxx

abxx

=

−=+

21

21

que correspondem às relações de Girard para a equação do 2º grau.

2.3.2 Equação do 3º grau

Dada a equação de 3º grau:

0023 ≠=+++ adcxbxax (1)

Como a equação (1) admite três raízes (em C), ou seja, 321, xexx , então, pelo

Teorema da Decomposição, temos:

00))()(( 321 ≠=−−− axxxxxxa (2)

De (1) e (2), temos a identidade:

0))()(( 32123 ≠−−−=+++ axxxxxxadcxbxax

Dividindo ambos os membros por a:

0))()(( 32123 ≠−−−=+++ axxxxxx

adx

acx

abx

Aplicando a distributiva no 2º membro temos:

3213231213

321323 )()( xxxxxxxxxxxxxxx

adx

acx

abx −+++++−=+++

Da identidade de polinômios, temos que:

adxxx

acxxxxxx

abxxx

−=

=++

−=++

321

323121

321

2.3.3 Equação de grau n ( 1≥n )

Consideremos a equação polinomial

)0(001

1 ≠=+++ −− n

nn

nn aaxaxa K

onde naaa ,,, 10 K são coeficientes complexos para todo Cx ∈ . Assim, sejam

),,,( 21 nxxx K as raízes dessa equação. Pelo Teorema da Decomposição, temos:

Page 32: 02d Estudo Analitico Polinomios

32

00))(())(( 121 ≠=−−−− − nnnn axxxxxxxxa K

Assim obtemos a identidade:

))(())(( 121011

1 nnnn

nn

n xxxxxxxxaaxaxaxa −−−−=++++ −−

− KK

Dividindo ambos os membros da igualdade por na , temos:

))(())(( 1210111

nnnn

n

n

nn xxxxxxxxaax

aax

aax −−−−=++++ −

−− KK

Aplicando a distributiva no 2º membro, temos:

CxxxxxSxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxaax

aax

aax

nnkn

kkn

nnn

nnn

nnn

n

nn

n

n

nn

∈∀−++−+++++−

−++++++++−=++++

−−−−

−−

−−

−−

)()1()1()(

)()(

213

12421321

213121

1121

0111

KKKK

KKK

Da identidade de polinômios temos:

n

nnn

n

knkk

n

nnnn

n

nnn

n

nn

aaxxxxx

aaS

aaxxxxxxxxx

aaxxxxxx

aaxxxx

01321

312421321

213121

1321

)1(

)1(

−=

−=

−=+++

=+++

−=++++

−−−

−−

K

M

M

K

K

K

que são as relações de Girard para uma equação polinomial de grau 1≥n .

Exemplos:

1) Resolver a equação 0254 23 =−+− xxx , sabendo que uma das raízes é o

inverso da outra.

Solução:

Sendo 321, xexx as raízes, temos:

2)(5)(

4)(

321

323121

321

==++

=++

xxxiiixxxxxxii

xxxi

Page 33: 02d Estudo Analitico Polinomios

33

Do enunciado temos que 1

21x

x = . Assim em (iii) temos:

22.1. 331

1 =⇒= xxx

x

Como 23 =x é uma das raízes da equação, podemos baixar o grau desta equação

fazendo a divisão de 254 23 −+− xxx por 2−x . Assim,

022

42252

122

2|254

2

2

223

23

+−−

−+−

+−+−

−−+−

xx

xxxx

xxxx

xxxx

Podemos então escrever:

)2)(12(254 223 −+−=−+− xxxxxx

Resolvendo a equação 122 +− xx por Girard:

12

21

21

==+

xxxx

Como 1

21x

x = , então, 121 == xx .

Assim, as raízes da equação dada são 1 (raiz dupla) e 2 (raiz simples).

S={1, 2}

2) Foi apresentado a um exímio calculista, conhecido como “o homem que

calculava”, o sistema de equações:

=

=++

=++

151

21

3037

321

323121

321

xxx

xxxxxx

xxx

e ele rapidamente respondeu: “Uma solução do sistema é 52,

21,

31

321 === xxx .” Em

seguida perguntaram-lhe: qual a soma dos quadrados das raízes da equação

Page 34: 02d Estudo Analitico Polinomios

34

02153730 23 =−+− xxx ? De pronto ele respondeu corretamente. Qual foi a sua

resposta?

Solução:

“O homem que calculava” certamente notou que o sistema de equações que lhe

foi apresentado correspondia às relações de Girard da equação do terceiro grau

02153730 23 =−+− xxx . Então, ligando os fatos e já tendo descoberto as raízes,

bastava elevar cada uma ao seu quadrado e depois soma-las, ou seja,

222

23

22

21 5

221

31

+

+

=++ xxx

obtendo como resposta o valor de 900469 .

2.4 Teorema das raízes racionais

Teorema 2.4.1: Se ,0,)( 011

1 ≠++++= −− n

nn

nn aaxaxaxaxP K com

coeficientes inteiros, possui raiz racional ( )qp com *Ζ∈p e ,*Ζ∈q ,1),( =qpmdc

então p é divisor de 0a e q é divisor de .na

Demonstração:

Por hipótese, temos que ( )qp é uma raiz não nula de ).(xP Logo,

001

1

1 =+

++

+

=

− aqpa

qpa

qpa

qpP

n

n

n

n K (1)

Multiplicando a equação acima por ,nq obtemos

001

11

1 =++++ −−−

nnnn

nn qapqapapa K (2)

Isolando na equação (2) o termo ,n

n pa temos

( )10

21

22

11

−−−−

−− ++++−= nnn

nn

nn

n qapqapapaqpa K (3)

Isolando na equação (2) o termo ,0

nqa temos: ( )1

12

11

0−−

−− +++−= nn

nn

nn qapapapqa K (4)

Page 35: 02d Estudo Analitico Polinomios

35

Como Ζ∈qpaaa n ,,,,, 10 K , então

( ) Ζ∈++++= −−−−

−−

10

21

22

111

nnnn

nn qapqapapak K ;

( ) Ζ∈+++= −−−

− 11

21

12

nnn

nn qapapak K

Retomando (3) e (4), respectivamente, temos

Ζ∈−= 1kqpa n

n e Ζ∈−= 20 kpqa n

Ou seja, nn pa é divisível por q e nqa0 é divisível por .p Como np e q são

primos entre si e, também, nq e p são primos entre si, segue que q é divisor de na e

p é divisor de .0a

Exemplos:

1) Determinar a raiz racional da equação polinomial

.062)( 234 =−−++= xxxxxP

Resolução:

Pelo teorema, se qp for uma solução da equação, então p é um divisor de

60 −=a e q é

um divisor de .14 =a Ou seja, { }3,2,1 ±±±∈p e { }.1±∈q Assim, { }.3,2,1 ±±±∈qp

Substituindo cada possível raiz qp no polinômio )(xP , obtemos:

3611)1(21)1( 234 −=−−++=P

56)1()1()1(2)1()1( 234 −=−−−−+−+−=−P

28622)2(22)2( 234 =−−++=P

06)2()2()2(2)2()2( 234 =−−−−+−+−=−P

135633)3(23)3( 234 =−−++=P

336)3()3()3(2)3()3( 234 =−−−−+−+−=−P

Ou seja, a raiz racional procurada é 2.

2) Resolver a equação .061392)( 23 =+++= xxxxP

Solução:

Page 36: 02d Estudo Analitico Polinomios

36

Pelo teorema das raízes racionais,se existir uma raiz racional qp , temos que

{ }3,2,1 ±±±∈p e { }.2,1 ±±∈q Logo, { }.23,3,2,1 ±±±±∈qp

Como todos os coeficientes de )(xP são positivos, então podemos excluir as

possíveis raízes qp positivas. Assim, { }.23,3,2,1 −−−−∈qp

Verificando se uma delas é raiz de )(xP , temos

06)1(13)1(9)1(2)1( 23 =+−+−+−=−P

06)2(13)2(9)2(2)2( 23 =+−+−+−=−P

66)3(13)3(9)3(2)3( 23 −=+−+−+−=−P

062313

239

232

23 23

=+

+

+

=

−P

Assim, obtemos as três raízes .23,2,1 321 −=−=−= xxx Portanto, o conjunto

solução { }2/3,2,1 −−−=S .

3) Verificar se o polinômio 1)( 23 −++= xxxxP possui raiz racional.

Solução:

Pelo teorema das raízes racionais, se existir uma raiz racional qp , esta deverá ser

1 ou –1, verificando as duas possibilidades temos:

21)1()1()1()1( 23 −=−−+−+−=−P

21)1()1()1()1( 23 =−++=P

e portanto podemos concluir que o polinômio não possui raiz racional.

2.5 Teorema das raízes complexas

Teorema 2.5.1: Se um número complexo ),0( ≠+= bbiaz é raiz de uma

equação polinomial ,0)( =xP com coeficientes reais, então o complexo conjugado

)0( ≠−= bbiaz também é raiz da equação.

Demonstração:

Page 37: 02d Estudo Analitico Polinomios

37

Seja ),0(0)( 011

1 ≠=++++= −− n

nn

nn aaxaxaxaxP K com coeficientes

reais.

Da hipótese, temos )0( ≠+= bbiaz é raiz da equação, isto é, .0)( =zP Logo,

0011

1 =++++ −− azazaza n

nn

n K

Assim,

0011

1 =++++ −− azazaza n

nn

n K

A partir de uma das propriedades do conjugado 2121 zzzz +=+ , temos

0011

1 =++++ −− azazaza n

nn

n K

Da propriedade do conjugado 11 zkkz = e ,kk = temos

0011

1 =++++ −− azazaza n

nn

n K

Da propriedade do conjugado ,)( nn zz = obtemos

0)()( 011

1 =++++ −− azazaza n

nn

n K

ou seja, ,0)( =zP isto é, z também é raiz da equação .0)( =xP

Exemplo:

Determinar as raízes da equação .043 =+ xx

Solução:

Fatorando a equação, temos

ixouxxouxxx 200400)4( 22 ±==⇔=+=⇔=+

Logo, { }.2,2,0 iiS −=

Teorema 2.5.2: Toda equação polinomial de grau )1( ≥nn admite n e,

somente n , raízes complexas, contando com suas multiplicidades.

Demonstração:

Seja a equação polinomial

).0(0)( 011

1 ≠=++++= −− n

nn

nn aaxaxaxaxP K

Pela demonstração do Teorema da Decomposição, vimos que a equação

0)( =xP admite como raízes nn xxxxx ,,,, 13,21 −K , sejam elas distintas ou não. Além

Page 38: 02d Estudo Analitico Polinomios

38

disso, na demonstração da unicidade da decomposição de )(xP em fatores de 1° grau,

provou-se que são apenas nn xxxxx ,,,, 13,21 −K as raízes da equação 0)( =xP .

Desta forma, concluímos que a equação 0)( =xP , de grau )1( ≥nn , admite

exatamente n raízes complexas, contando com suas multiplicidades.

2.6 Equação do 2° grau

Toda equação de grau 2 na forma )0(2 ≠++ acbxax é chamada equação de

2° grau, onde ℜ∈cba ,, são coeficientes e .Cx ∈

Exemplos:

1) 0232 =+− xx

2) 0162 =+x

A resolução de uma equação de 2° grau pode ser feita através de algumas

“técnicas” desenvolvidas por grandes matemáticos, tais como:

• “Completar quadrados”;

• Fórmula de Báskara.

Além desses, podemos utilizar também alguns métodos já comentados

anteriormente, como as relações de Girard e as raízes racionais.

2.6.1 Resolução da equação de 2° grau completando quadrados

“Completar quadrados”é um artifício que consiste em somar ou subtrair um

valor adequado a ambos os membros da equação, de modo a obter em um dos membros

um trinômio quadrado perfeito (TQP), isto é, uma equação na forma .)( 2 bax =+

Podemos então ter três possibilidades, 00,0 <>= boubb .

• se 0=b , não há o que se fazer, pois a equação já é um TQP.

• se 0>b , podemos resolver como no 1º exemplo.

• se 0<b , podemos resolver como no 2º exemplo.

Exemplos:

1) 2044208 22 =−−⇒=− xxxxx .

Geometricamente, temos:

Page 39: 02d Estudo Analitico Polinomios

39

Assim,

Note que a equação 2082 =− xx não é um TQP. Para que o primeiro membro

seja um TQP, devemos adicionar 16 em ambos os membros da equação, isto é,

.16201682 +=+− xx De onde vem que: 36)4( 2 =−x é um TQP.

Desta forma, da fatoração do TQP, temos:

6464 −=−=− xoux

Ou seja, 210 −== xoux .

Logo, S={-2, 10}.

2) 2040204 22 −=+⇒=++ xxxx

Novamente a equação não é um TQP, para que o primeiro membro seja um

TQP, devemos somar 4 em ambos os membros da equação, obtendo assim,

420442 +−=++ xx que podemos escrever como 16)2( 2 −=+x , que é um TQP.

Assim, extraindo as raízes em ambos os membros temos que:

ixouix 4242 −=+=+

Ou seja, ixouix 4242 −−=+−=

Logo, }42,42{ iiS −−+−= .

De modo geral, para “completar quadrados” de uma equação 02 =++ cbxax

basta somar ou subtrair um valor adequado em ambos os membros da equação, de tal

modo que se tenha um TQP no membro em que se tem a incógnita.

Page 40: 02d Estudo Analitico Polinomios

40

2.6.2 Fórmula de Báskara

A fórmula de Báskara, tão conhecida e utilizada por muitos na resolução de

equação do 2° grau, fora obtida através da técnica de “completar quadrados”.

Consideremos a equação de 2° grau

)0(02 ≠=++ acbxax Cceba ∈,,

Dividindo toda a equação por a , de modo que o coeficiente de 2x seja igual a 1,

temos:

acx

abx

acx

abx −=+⇒=++ 22 0

Para obtermos um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro da equação,

adicionemos o termo ( )22ab em ambos os membros da equação:

222

22

+−=

++

ab

ac

abx

abx

Assim,

2

22

44

2 aacb

abx −

=

+

Extraindo as raízes quadradas dos dois lados da equação, obtemos:

2

2

44

2 aacb

abx −

±=+

Ou seja,

aacbbx

242 −±−

=

Vale lembrar que é comum denotar o termo acb 42 − por ,∆ e desta forma

teremos:

abx

2∆±−

=

a famosa fórmula de Báskara.

As equações de 2° grau foram fundamentais na resolução de vários problemas,

dentre eles um clássico: encontrar dois números x e y conhecendo-se sua soma (S) e seu

produto(P). Isto é,

Page 41: 02d Estudo Analitico Polinomios

41

Adotando PSy −= e substituindo na segunda equação, temos:

PxSx =− )(

02 =+− PxSx

Aplicando a fórmula de Báskara, temos

242 PSSx −±

=

Como PSy −= , então

24

24 22 PSSPSSSy −

=

−±−=

m

Exemplos:

1) Resolva pela fórmula de Báskara a equação .4122 xx =−

Solução:

Temos ,01242 =−− xx onde ,1=a 4−=b e .12−=c

Aplicando a fórmula de Báskara,

284

)1(2)12)(1(4)4()4( 2 ±

=−−−±−−

=x

Ou seja, 26 21 −== xex

Logo, S={-2, 6}

3) Resolver a equação 0322 =+− xix utilizando a fórmula de Báskara. Solução:

Aplicamos a fórmula de Báskara e obtemos:

ii

ii

x2

3122)(2

)3)((4)2()2( 2 −±=

−−±−−=

temos duas possibilidades para 31 i− , assim temos:

iix

oui

ix

2)26(2

2)26(2

+=

+±=

m

Assim,

+−+−−

=2

)62(2,2

)62(2 iiS

Page 42: 02d Estudo Analitico Polinomios

42

2.7 Trinômio do 2° grau (Estudo do sinal)

Definição: Trinômio do 2° grau é toda função da forma ,)( 2 cbxaxxf ++=

onde ba, e ℜ∈c , , definida em ℜ .

Como já vimos, as raízes de um trinômio do 2° grau são valores numéricos que

atribuídos à variável ,x anulam o trinômio quando este é igualado a zero.

Exemplos:

1) 652 ++ xx é um trinômio do 2° grau, o qual admite 2− e 3− como raízes.

Verificação: Temos .0652 =++ xx De fato, 2− e 3− são raízes da equação,

pois:

06)2(5)2( 2 =+−+− e 06)3(5)3( 2 =+−+−

2) 25102 ++ xx é um trinômio do 2° grau e admite 5− como raiz, com

multiplicidade 2.

Verificação: Temos .025102 =++ xx De fato, 5− é raiz, pois:

025)5(10)5( 2 =+−+−

Como –5 é a única raiz do trinômio, dizemos que ela tem multiplicidade 2, pois

o trinômio pode ser escrito como: 2)5()5)(5( +=++ xxx

Como visto, se 1x e 2x forem raízes do trinômio de 2° grau ,2 cbxax ++ então

pelo Teorema da Decomposição, este trinômio pode ser fatorado em ).)(( 21 xxxxa −−

Exemplos:

1) Vimos que 2− e 3− são raízes do trinômio 652 ++ xx , quando este é

igualado a zero. Logo, podemos escrevê-lo na forma fatorada, ou seja,

[ ][ ] )3)(2()3()2(652 ++=−−−−=++ xxxxxx

Page 43: 02d Estudo Analitico Polinomios

43

2) De maneira análoga podemos escrever o trinômio 25102 ++ xx na forma

fatorada, já que 5− é raiz, com multiplicidade 2. Logo, 22 )5()5)(5(2510 +=++=++ xxxxx

2.7.1 Estudo do sinal

Dado ,)( 2 cbxaxxf ++= sendo ba, e ℜ∈c , ,0≠a temos uma função do 2°

grau ou função quadrática na variável ℜ∈x .

O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma curva aberta, denominada

parábola, cuja concavidade depende do coeficiente ,a termo que acompanha ,2x isto é,

• Se ,0>a a parábola possui concavidade voltada para cima:

• Se ,0<a a parábola possui concavidade voltada para baixo:

Estudar o sinal da função cbxaxxf ++= 2)( significa encontrar os

valores de ,fDx ∈ tais que .0)(0)(,0)( <>= xfexfxf

Já sabemos que os valores de x para os quais se tem ,0)( =xf correspondem as

raízes ou zeros da função e para obtê-los basta resolver a equação .02 =++ cbxax

Pela técnica de “completar quadrados” temos que

04

42 2

222 =

−−

+=++

aacb

abxcbxax (1)

onde acb 42 − é chamado de discriminante e é representado pela letra grega .∆

Como no estudo do sinal da função quadrática é preciso analisar o coeficiente a

e o discriminante, vamos primeiro analisar este último através de três situações:

• Se ,042 >− acb então extraindo a raiz quadrada nos dois membros da

igualdade (1), temos:

Page 44: 02d Estudo Analitico Polinomios

44

aacb

abx

24

2

2 −±=

+ ,

ou seja,

aacbbx

242 −±−

= , isto é,

−−−=

−+−=

aacbbx

aacbbx

24

24

2

2

2

1

Assim, para ,042 >− acb a equação de 2° grau admite duas raízes reais e

distintas.

• Se ,042 =− acb então em (1) temos:

022

02

=

+

+⇒=

+

abx

abx

abx ,

ou seja,

)2(,2

dademultiplicicomabx −

=

Assim, para ,042 =− acb a equação admite duas raízes reais e iguais.

• Se ,042 <− acb então não existem raízes reais, pois caímos no cálculo

da raiz quadrada de um número negativo, e isto não está definido nos

reais, mas no conjunto dos complexos.

Vejamos, agora, como prosseguir na análise do estudo do sinal da função

quadrática com relação ao coeficiente a e o discriminante ,42 acb − através do esboço

do gráfico e sua respectiva representação no varal.

• Se 0>a e ,042 >− acb temos:

21,0)( xxouxxquandoxf ===

21,0)( xxouxxquandoxf <<>

Page 45: 02d Estudo Analitico Polinomios

45

21,0)( xxxquandoxf <<<

• Se 0<a e ,042 >− acb temos:

21,0)( xxouxxquandoxf ===

21,0)( xxxquandoxf <<>

21,0)( xxouxxquandoxf <<<

• Se 0>a e ,042 =− acb temos:

21,0)( xxxquandoxf ===

21,0)( xxxquandoxf =≠>

ℜ∈< xexistenãoxf ,0)(

• Se 0<a e ,042 =− acb temos:

21,0)( xxxquandoxf ===

ℜ∈> xexistenãoxf ,0)(

21,0)( xxxquandoxf =≠<

Page 46: 02d Estudo Analitico Polinomios

46

• Se 0>a e ,042 <− acb temos:

0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão

0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão

0)(, >ℜ∈ xfxtodoPara

• Se 0<a e ,042 <− acb temos

0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão

0)(/ >ℜ∈ xfxexisteNão

0)(, <ℜ∈ xfxtodoPara

Geralmente, na representação do varal, temos:

• ,042 >− acb então,

• ,042 =− acb então,

Page 47: 02d Estudo Analitico Polinomios

47

• ,042 <− acb então,

não admite raízes reais

Exemplos:

Estudar o sinal das funções de 2° grau abaixo:

a) 65)( 2 +−= xxxf d) 96)( 2 +−−= xxxf

b) 65)( 2 +−−= xxxf e) 52)( 2 +−= xxxf

c) 96)( 2 +−= xxxf f) 52)( 2 +−−= xxxf

Solução:

a) Temos 0>a e .042 >− acb Logo,

Analisando o sinal da função f(x), temos:

• Se 0)(32 >⇒>< xfxoux

• Se 0)(32 =⇒== xfxoux

• Se 0)(32 <⇒<< xfx

b) Temos 0<a e ,042 >− acb

Page 48: 02d Estudo Analitico Polinomios

48

Analisando o sinal de f(x), temos:

• Se 0)(32 <⇒>< xfxoux

• Se 0)(32 =⇒== xfxoux

• Se 0)(32 >⇒<< xfx

c) Temos 0>a e ,042 =− acb

Analisando o sinal de f(x):

• Se 0)(3 =⇒= xfx

• Se 0)(3 >⇒≠ xfx

• 0)(/ <ℜ∈ xfxexisteNão

d) Temos 0<a e ,042 =− acb

Analisando o sinal de f(x),

• Se 0)(3 =⇒= xfx

• Se 0)(3 <⇒≠ xfx

• 0)(/ >ℜ∈ xfxexisteNão

Page 49: 02d Estudo Analitico Polinomios

49

e) Temos 0>a e .042 <− acb Logo,

Analisando o sinal de f(x), temos:

• 0)(, >ℜ∈ xfxtodoPara

• 0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão

• 0)(/ <ℜ∈ xfxexisteNão

f) Temos 0<a e .042 <− acb

Analisando o sinal de f(x), temos:

• 0)(, <ℜ∈ xfxtodoPara

• 0)(/ =ℜ∈ xfxexisteNão

• 0)(/ >ℜ∈ xfxexisteNão

2.8 Fórmula de Cardano

Dada a equação polinomial:

)1.(0023 eqadcxbxax ≠=+++

A idéia fundamental para resolver a eq.(1) é transformá-la em uma outra

equação polinomial da forma:

)2.(03 eqqpxx =++

Page 50: 02d Estudo Analitico Polinomios

50

No intuito de eliminar o termo de grau 2 da eq.(1) vamos definir x=y+m, e

substituindo na eq.(1) temos:

)3.(0)()23()3(0)()()(

23223

23

eqdcmbmamcbmamybamyaydmycmybmya

=+++++++++

=++++++

Para eliminarmos o termo de grau 2, basta que façamos:

abm

2−

=

E substituindo na eq.(3), temos:

039273

23 2

3

2

3223 =

+−+−+

+−+ d

acd

ab

abc

ab

abyay

Dividindo ambos os lados da equação por a, temos:

)4.(03

3272

3 23

3

2

23 eq

acdad

ab

ac

abyy =

−++

+−+

Note que a eq.(4) está na forma:

−+=

+−==++ 23

3

2

23

33

272

330

acdad

abqe

aacbpcomqpyy

Para resolvermos a eq.(4), vamos supor que y é a soma de duas parcelas, ou seja,

BAy += , logo:

)(333)( 33322333 yABBABABBAABAy ++=+++=+=

0)(3 333 =+−− BAAByy onde:

273

333 pBAABp −=⇒−=

)( 3333 AqBBAq +−=⇒+=− , logo

02727

)( 363

3333 =−+⇒−

=−−=pqAApAqABA , (bi-quadrada), ou seja,

( ) 027

)(3

323 =−+pAqA

Observando a equação bi-quadrada temos que:

Page 51: 02d Estudo Analitico Polinomios

51

+

=+=∆

3232

324

274 pqpq

323

323

322322

+

−=

+

±−=∴

pqqBepqqA m

3

32

3

32

322322

+

−−+

+

+−=+=∴

pqqpqqBAy , Fórmula de Cardano

Agora já conhecemos o valor de y e m, logo já somos capazes de resolver a

eq.(1)., pois sua raiz é myx += .

Além disso, podemos observar que se extrairmos as três raízes cúbicas de cada

parcela A e B, teremos 9 valores diferentes para y, o que nos levaria a 9 valores também

para x, mas sabemos, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, que uma equação cúbica

tem exatamente 3 raízes complexas. Então porque aparecem estas 9 possíveis soluções?

Na verdade, apenas 3 destas são solução da equação original. Isso ocorre porque quando

supomos que a solução para a equação seria uma soma de duas parcelas e em seguida

elevamos ao cubo ( 33 )( BAxBAx +=⇒+= ), introduzimos 6 raízes estranhas à

equação. Por exemplo:

Seja a equação:

01 =−x

que tem como raiz 1=x . Se fizermos como na fórmula de Cardano, elevando ambos os

membros da igualdade ao cubo teremos:

011 333 =−⇒= xx

A equação 013 =−x pode ser escrita como 0)1)(1( 2 =++− xxx , que tem três

raízes distintas:

2

312

31,1 321ixeixx −−

=+−

==

mas apenas 1=x é raiz da equação original, o mesmo ocorre com a fórmula de

Cardano, vejamos um exemplo do que acontece na resolução de uma equação cúbica

pela fórmula de Cardano.

Exemplo:

Seja 0963 =−− xx , verificar que apenas 3 combinações das raízes da fórmula

de Cardano são solução da equação.

Page 52: 02d Estudo Analitico Polinomios

52

Como sabemos que qualquer equação completa do 3º grau pode ser reduzida a

uma deste tipo, basta verificarmos o que acontece com uma desta forma. Assim,

aplicando a fórmula de Cardano, temos que:

3

32

3

32

36

29

29

36

29

29

+

−+

+

+=x

33

449

29

449

29

−++=x

33

27

29

27

29

−++=x

33 18 +=x

temos então três raízes cúbicas de 8, ou seja,

=−−=

+−=

=2

31

31

8

2

1

0

3

ziz

iz

e também três raízes cúbicas de 1,

=

−−=

+−=

=

1'2

31'

231'

1

2

1

0

3

z

iz

iz

Assim temos as seguintes possibilidades para x:

+++

+++

+++

22

12

02

21

11

01

20

10

00

'''

'''

'''

zzzzzz

zzzzzz

zzzzzz

Vamos então verificar cada uma delas.

• 00 ' zz + =2

3332

3131 iii +−=

+−++−

( ) 3927'

92

33362

3332

333

00

3

izzf

iiif

−=+

+−−

+−=

+−

• 10 ' zz + =2

332

3131 iii +−=

−−++−

Page 53: 02d Estudo Analitico Polinomios

53

( ) 0'

92

3362

332

33

10

3

=+

+−−

+−=

+−

zzf

iiif

• 3131' 20 iizz =++−=+

( ) ( ) ( )( ) 399'

93633

20

3

izzf

iiif

−−=+

−−=

• 01 ' zz + =2

332

3131 iii −−=

+−+−−

( ) 0'

92

3362

332

33

01

3

=+

−−−

−−=

−−

zzf

iiif

• 11 ' zz + =2

3332

3131 iii −−=

−−+−−

( ) 3927'

92

33362

3332

333

01

3

izzf

iiif

+=+

−−−

−−=

−−

• 21 ' zz + = 3131 ii −=+−−

( ) ( ) ( )( ) 399'

93633

20

3

izzf

iiif

+−=+

−−−−=−

• 02 ' zz + =2

332

312 ii +=

+−+

( ) 18'

92

3362

332

33

02

3

−=+

+−

+=

+

zzf

iiif

• 12 ' zz + =2

332

312 ii −=

−−+

( ) 18'

92

3362

332

33

12

3

−=+

−−

−=

zzf

iiif

• 312' 22 =+=+zz

Page 54: 02d Estudo Analitico Polinomios

54

( ) ( ) ( )( ) 0'

93633

22

3

=+−−=

zzff

Portanto, apenas três das nove possíveis combinações para x são raízes da

equação e seu conjunto solução é:

−−+−

=2

33,2

33,3 iiS .

2.8.1 Análise das Raízes de uma Equação do 3º Grau pela fórmula de

Cardano

1º Caso: 3 raízes reais e distintas

Seja a equação polinomial: *,0))()(( ℜ∈≠≠=−−− cbacomcxbxax

desenvolvendo o produto temos:

0)()(23 =−+++++− abcbcacabxcbaxx

Para que o produto desenvolva uma equação do tipo:

03 =++ qpxx

para qual é válida a fórmula de Cardano.

Devemos eliminar o termo de grau 2, e portanto é necessário e suficiente que:

)(0 baccba +−=⇒=++

e substituindo na equação temos:

0)())(( 23 =+++−+ baabbaabxx , onde

)()( 2 baabqebaabp +=+−=

Aplicando a Fórmula de Cardano, temos:

3

32

3

32

322322

+

−+

+

+

−=

pqqpqqx

+

+−+

+

++

−= 3

322

3)(

2)(

2)( baabbaabbaabx

3

322

3)(

2)(

2)(

+−+

+

−+

−+baabbaabbaab

Page 55: 02d Estudo Analitico Polinomios

55

Observamos agora que:

32

32

3)(

2)(

32

+−

+

+

=∆

+

=∆

baabbaab

pq

baba

bababa

babbabababaa

≠ℜ∈∀<∆∴

++−−=∆

−−+++−−=∆

*

222

6542332456

,0108

)2()2()(108

4123263124

No caso em que )( bac +−≠ , temos que reduzir a equação fazendo a

substituição myx += , como já vimos.

2º caso: 2 raízes complexas e uma real

Supondo a+bi é uma raiz de uma equação de 3º grau com coeficientes reais,

então conseqüentemente a-bi também é raiz, a terceira raiz será obrigatoriamente real, e

para conseguirmos aplicar diretamente a Fórmula de Cardano é necessário que a soma

das 3 raízes seja igual a zero para que anulemos o termo de grau 2 da equação para

então aplicarmos a Fórmula de Cardano, logo:

accbiabia 20)()( =⇒=+−++

Portanto a equação pode ser reescrita da seguinte forma:

0)(2)3( 22223 =++−+ baaabxx

Observando o discriminante da Fórmula de Cardano nessa equação temos:

0,0271881

33

2)(2 64224322222

≠ℜ∈∀>∆

++=

−+

+=∆

bba

bbabaabbaa

Mas observe que:

00 =∆⇒=b

O que faria que as três raízes fossem reais, sendo duas ou três coincidentes.

Assim provamos que:

Page 56: 02d Estudo Analitico Polinomios

56

>∆⇒ℜ∈−+

<∆⇒≠≠ℜ∈

0,,},,{)20},,{)1

*

*

cbacomcbiabiacbacomcba

Mas podemos observar que as recíprocas também são verdadeiras. Supondo que

0<∆ não implicasse em três raízes reais distintas, teríamos uma raiz complexa bia +

e conseqüentemente sua conjugada bia − e assim estaríamos no 2º caso, que implica

em 0>∆ , o que é uma contradição. Logo podemos concluir que 0<∆ implica em três

raízes reais distintas.

De maneira análoga se prova que 0>∆ implica em duas raízes complexas e

uma raiz real. Assim podemos concluir que:

⇔<∆ 0)1 as três raízes são reais e distintas

⇔=∆ 0)2 as raízes são reais sendo 2 ou 3 iguais

⇔>∆ 0)3 uma raiz é real e 2 são complexas

2.9 A equação de quarto grau em C.

O mérito da solução geral para a equação do quarto grau é atribuído ao

matemático italiano Lodovico FERRARI, no século XVI.

Publicado na “Ars Magna” de Gerolamo CARDANO, a resolução originou-se de

um desafio proposto a Cardano por Tonini da Coi, que enunciou: “Dividir dez em três

partes que estejam em ‘proporção contínua’ (equivalente à terça proporcional, i é,

cb

ba

= ) e tais que o produto das duas primeiras seja seis”.

2.9.1 O método de Ferrari:

Vejamos como Ferrari resolveu o problema:

Está claro que o problema se reduz a determinar cba ,, tais que 10=++ cba e

6=ab , e também cb

ba

= . Assim , Ferrari tomou x

a 6= , xb = e

6

3xc = , obtendo:

106

6 3

=++xx

x,

que é equivalente a xxx 60366 24 =++ (eq. 1)

Page 57: 02d Estudo Analitico Polinomios

57

Para resolver, Ferrari completou quadrados, somando 26x nos dois membros,

obtendo:

( ) 2222242 66066603666 xxxxxxxx +=+⇔+=+++

Somando “y” no segundo membro afim de se obter ( )22 6 yx ++ e somado ao

segundo membro ( )62 22 +++ yyy para manter a igualdade, teremos:

( ) ( ) xxyyyyx 606626 22222 +++++=++

Desenvolvendo o segundo membro, temos:

( ) ( ) ( )yyxxyxxyyy 12606260662 22222 ++++=+++++

Portanto:

( ) ( ) ( )yyxxyyx 1260626 2222 ++++=++ (eq. 2)

Observe que existe uma equação quadrática no segundo membro. Logo podemos

calcular y de modo a obtermos um quadrado perfeito. Para isso, basta fazermos com que

o discriminante seja igual a zero( i é, se 0=∆ em ( ) ( ) 0126062 22 =++++ yyxxy

então teremos uma equação da forma ( )2kx + ).

Vejamos:

( ) ( ) 0,0126062 22 =∆=++++ yyxxy

( )( ) ( )( ) 012623001262460 2222 =++−⇒=++− yyyyyy

Desenvolvendo a equação, temos:

450315 23 =++ yyy

Dessa forma Ferrari conseguiu calcular um y, através do método Tartaglia-

Cardano, tal que ( ) ( ) 0126062 22 =++++ yyxxy seja um quadrado perfeito na forma

( )2kx + .

Dessa forma, da equação (eq. 2) teremos:

( ) ( ) ( ) kxkxkxyxkxyx +=+⇒+=++⇒+=++ 122222 66

Portanto:

02 =+− kxx (eq. 3),

onde as raízes da (eq. 3) coincidem com duas das raízes de (eq. 1).

Com o método criado por Ferrari para resolver o problema de Da Coi,

conseguimos encontrar duas raízes de qualquer polinômio de grau quatro.

Page 58: 02d Estudo Analitico Polinomios

58

2.9.2 Resolução geral para um polinômio do quarto grau:

Seja o polinômio ( ) 012

23

34

4

4

04 axaxaxaxaxaxP

i

ii ++++== ∑

=

, 04 ≠a

achar as raízes de ( )xP4 significa fazermos ( )xP4 = 0.

Assim:

004

0

4

12

4

23

4

3401

22

33

44 =++++⇒=++++

aax

aax

aax

aaxaxaxaxaxa

Que é equivalente a:

0234 =++++ dcxbxaxx ,onde 4

0

4

1

4

2

4

3 ,,,aad

aac

aab

aaa ====

Para conseguirmos uma equação como a do problema demonstrado na “Ars

Magna”, de Cardano, devemos eliminar o termo cúbico 3ax , substituindo x por 4at − :

Fazendo 4atx −= temos:

04444

234

=+

−+

−+

−+

− datcatbataat

Desenvolvendo:

0444

244

2444

2 22

22

222 =+

−+

+−+

+−

−+

+− datcatatbatatataatat

0416256

32828

2432

224 =

+−+

−+

+−+

+−+ dacbaatcabatbaat

Que é equivalente a:

024 =+++ rqtptt , chamada de equação reduzida onde:

,28

22

+−= baap

+−= cabaq

28

3

e

+−+

−= dacbaar

4162563 24

Para resolvê-la, reescreva a equação da seguinte forma:

rqtptt −−=+ 24

Complete o quadrado no primeiro membro:

( ) ( ) rqtpptppttpptrqtpttppt −−+=++⇒++−−=+++ 22224222422 2

Page 59: 02d Estudo Analitico Polinomios

59

( ) rqtpptpt −−+=+∴ 2222

Agora, somando um “y” na equação, tal que:

( ) ( )[ ]ptyyrqtpptypt +++−−+=++∴ 222222 2 (eq. 4)

Note que a equação (eq. 4) é equivalente à (eq. 2), logo podemos resolvê-la

como vimos no problema de Da Coi, utilizando as passagens da (eq. 2) para (eq. 3).

Desenvolvendo a (eq. 4) e fazendo seu discriminante igual a zero, iremos ver a

cúbica resolvente

0)44()816(208 32223 =+−+−++ prpqyrppyy

que pode ser escrita

023 =+++ γβα yyy (eq. 5)

Portanto, resolvemos a (eq.5) pelo método de Cardano, encontrando os valores de y tais

que fiquem dois quadrados perfeitos em (eq.4), e com isso resolver a equação geral

( ) 04 =xP .

2.9.3 Conseguindo as quatro raízes:

Uma maneira mais sofisticada de resolver uma ( ) 04 =xP é fazer zuvx ++= ,

onde 0,, ≠zuv .

Vejamos:

Seja ( ) 04

04 == ∑

=i

ii xaxP que é 0234 =++++ dcxbxaxx , já vimos que podemos

escrevê-la na forma 024 =+++ rqxpxx .

Fazendo zuvx ++= , temos

[ ]

)(8)(4)(8)(4)(2)()(2

)(4)(

)(2)(

222222222222222

22222244422224

222222

2222

zvuuvzzvzuvuuvzzuvvzuzvzuvuzvzuvuzvuzuvxx

vzuzuvzuvx

vzuzuvzuvx

+++++=+++++

=++++++++−

⇔++=++−∴

++=++−

Então conseguimos a equação reduzida da quadrática original

[ ] 0)(4)()(8)(2 222222222222224 =++−+++−++− zvzuvuzuvxuvzzuvxx

Page 60: 02d Estudo Analitico Polinomios

60

Relacionando os coeficientes da equação com zeuv, :

[ ]

−=++⇒=++−++

=⇒=−⇒=−

−=++⇒=++−

−16

4)(4)(

64)(8)(8

2)()(2

22222222222222

2

222

222222

222222

rpzvzuvurzvzuvuzuv

qzvuquvzquvz

pzuvpzuv

p43421

Assim fica claro que 222 ,, zuv são raízes de uma equação cúbica (resolvente) tal

que suas raízes sejam βα , e γ .

06416

42

2224 =+

−++

qyrpypy

Nota-se que as raízes da equação resolvente estão relacionadas a 222 ,, zuv , onde

γβαγβα ===⇔=== zevuzevu ,, 222

Como uvqz

8−= , temos que z é uma das raízes da ( ) zvuxxP ++== ,04 ;

Assim podemos combinar as raízes γβα e, de modo a conseguir as quatro

raízes de ( ) 04 =xP .

+−−=

−+−=

−−=

++=

γβα

γβα

γβα

γβα

4

3

2

1

x

x

x

x

No próximo capítulo apresentaremos exemplos de equações que podem ser

resolvidas com os métodos apresentados e também que existem algumas equações que

não podem ser resolvidas por nenhum destes métodos, e então, mostraremos os métodos

numéricos utilizados nestes casos.

Page 61: 02d Estudo Analitico Polinomios

61

CAPÍTULO III

Neste capítulo, apresentaremos os métodos pelos quais podem ser

encontradas as raízes reais de uma equação que não poderíamos resolver por nenhum

dos métodos apresentados. Além disso, mostraremos algumas aplicações práticas das

equações estudadas e seus respectivos métodos de resolução.

Page 62: 02d Estudo Analitico Polinomios

62

3.1. APROXIMAÇÃO DE RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL

POR MÉTODOS NUMÉRICOS

Começaremos por enunciar um teorema que será muito importante na hora de

determinar se um dado intervalo contém uma raiz da equação:

Teorema do Valor Intermediário (TVI):

Seja [ ] ℜ→baf ,: uma função contínua. Se )()( bfyaf << , então existe

] [bax ,∈ tal que yxf =)( .

Demonstração:

Façamos 00 bbeaa == , e seja 1x o ponto médio do intervalo [ ]00 ,ba . Se

yxf <)( 1 definimos 0111 bbexa == , mas se yxf ≥)( 1 definiremos 1101 xbeaa == e

em ambos os casos teremos )()( 11 bfyaf ≤≤ e o comprimento do intervalo [ ]11,ba é

metade do comprimento do intervalo [ ]ba, .

Aplicando este método repetidas vezes teremos:

[ ] [ ] [ ] [ ] KK ⊃⊃⊃⊃⊃ nn babababa ,,,, 2211

Fazendo 1−== nnnn bbexa ou nnnn xbeaa == −1 , dependendo se yxf n <)( ou

yxf n ≥)( , note que a seqüência de termos nn bea convergem para algum ℜ∈x tal que

Ν∈∀≤≤ nbxa nn .

Além disso, pela continuidade de f temos que:

yaf nn=

+∞→)(lim ybf nn

=+∞→

)(lim e Ν∈∀≤≤ nbfyaf nn )()(

logo, podemos concluir que yxf =)( .

Deste teorema decorre a seguinte proposição:

Seja )(xf uma função contínua num intervalo [ ]ba, . Se 0)().( <bfaf , então

existe pelo menos um ponto x entre bea tal que 0)( =xf .

Demonstração:

Pelo TVI temos que se f é contínua e [ ])(),( bfafy∈ , então existe ∈x [ ]ba, tal

que yxf =)( , e se )(0)( bfaf << , temos pelo TVI que existe ∈x [ ]ba, tal que

0)( =xf .

Para )(0)( afbf << a demonstração é análoga.

Page 63: 02d Estudo Analitico Polinomios

63

3.1.1 Métodos iterativos para aproximação de zeros reais de funções

São vários os métodos iterativos que podem ser utilizados para encontrar raízes

reais de funções polinomiais, mas como o objetivo do trabalho não é estudar tais

métodos, escolhemos dois deles para mostrar apenas que é possível encontrar estas

raízes. O primeiro método que escolhemos foi o da Bissecção, por se basear numa idéia

bastante simples e fácil de entende, já o segundo foi o método de Newton, que

escolhemos por ser um método mais eficiente e rápido, mas ambos os métodos

fornecem os mesmos resultados.

3.1.1.1 Método da Bissecção

Seja a função )(xf contínua no intervalo [ ]ba, e tal que 0)().( <bfaf , já

sabemos pelo TVI que existe ∈x [ ]ba, tal que 0)( =xf .

O método da bissecção nada mais é do que reduzir o intervalo que contém a raiz

até atingir a precisão requerida, ou seja, ε<− ab , usando para isto a sucessiva divisão

do intervalo [ ]ba, ao meio.

Exemplo:

As iterações são realizadas da seguinte forma:

( )

==

∈⇒

>><

+=

01

01

00

0

0

000

0

,

0)(0)(0)(

2xbaa

xax

xfbfaf

bax

Page 64: 02d Estudo Analitico Polinomios

64

( )

==

∈⇒

<><

+=

12

12

11

1

1

111

1

,

0)(0)(0)(

2bbxa

bxx

xfbfaf

bax

( )

MMM

==

∈⇒

<><

+=

23

23

22

2

2

222

2

,

0)(0)(0)(

2bbxa

bxx

xfbfaf

bax

Encontrar as raízes de 1803665135)( 2345 −++−−= xxxxxxf com precisão

2,0=ε , utilizando o método da bissecção.

x -5 -2,5 0 2,5 4 6

f(x) -3360 46,41 -180 15,47 -84 864

Logo, nos intervalos [ ]5.2,51 −−=I , [ ]0,5.22 −=I , [ ]5.2,03 =I , [ ]4,5.24 =I e

[ ]6,45 =I existe ℜ∈x tal que 0)( =xf .

{{ 0)5.2(0)5(5.2,500

1 >−<−

−−= fefI

ba

1ª iteração:

074.445)(75.32 00

000 <−=−=⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 25.1111010 abbbeax

2ª iteração:

087.35)(125.32 11

111 <−=−=⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 625.0222121 abbbeax

3ª iteração:

029.33)(8125.22 22

222 >=−=⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 3125.0332323 abxbeaa

4ª iteração:

015.7)(9688.22 33

333 >=−=⇒

+= xfxbax , logo

Page 65: 02d Estudo Analitico Polinomios

65

ε<=−== 1562.0443443 abxbeaa

portanto 9688.2−=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .

{ { 0)5.2(0)0(0,5.200

2 >−<

−= fefI

ba

1ª iteração:

031.113)(25.12 00

000 <−=−=⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 25.1111010 abbbeax

2ª iteração:

026.18)(875.12 11

111 <−=−=⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 625.0222121 abbbeax

3ª iteração:

079.23)(1875.22 22

222 >=−=⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 3125.0332323 abxbeaa

4ª iteração:

032.4)(03125.22 33

333 >=−=⇒

+= xfxbax , logo

ε<=−== 1562.0443443 abxbeaa

portanto 03125.2−=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .

{ { 0)5.2(0)0(5.2,000

3 ><

= fefI

ba

1ª iteração:

098.67)(25.12 00

000 <−==⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 25.1110101 abbbexa

2ª iteração:

030.8)(875.12 11

111 <−==⇒

+= xfxbax , logo

Page 66: 02d Estudo Analitico Polinomios

66

ε>=−== 625.0221212 abbbexa

3ª iteração:

031.9)(1875.22 22

222 >==⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 3125.0332323 abxbeaa

4ª iteração:

082.1)(03125.22 33

333 >==⇒

+= xfxbax , logo

ε<=−== 1562.0443434 abxbeaa

portanto 03125.2=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .

{ { 0)5.2(0)4(4,5.200

4 ><

= fefI

ba

1ª iteração:

094.17)(25.32 00

000 <−==⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 75.0110101 abbbexa

2ª iteração:

066.6)(875.22 11

111 >==⇒

+= xfxbax , logo

ε>=−== 375.0221212 abxbeaa

3ª iteração:

095.3)(875.32 22

222 <==⇒

+= xfxbax , logo

ε<=−== 1875.0332323 abbbexa

portanto 0625.3=x é uma raiz de )(xf com precisão 2,0=ε .

{ { 0)6(0)4(6,400

5 ><

= fefI

ba

1ª iteração:

0)(52 00

000 ==⇒

+= xfxbax

portanto 5=x é uma raiz de )(xf .

Page 67: 02d Estudo Analitico Polinomios

67

As raízes aproximadas de )(xf encontradas utilizando o método da bissecção

são: 9688.21 −=x , 03125.22 −=x , 03125.23 =x , 0625.34 =x e 55 =x com precisão

2,0=ε . Se exigíssemos uma precisão maior, chegaríamos mais próximo do valor exato

das raízes que são: 31 −=x , .22 −=x , 23 =x , 34 =x e 55 =x .

3.1.1.2 Método de Newton

Seja a função )(xf contínua no intervalo [ ]ba, e tal que 0)().( <bfaf .

O método de Newton pode ser facilmente deduzido geometricamente, basta

tomar o coeficiente angular da reta tangente no ponto ( ))(, kk xfx , ou seja, )(' kxf . Feito

isso, traçamos a reta )(xRk tangente à curva neste ponto:

)).((')()( kkkk xxxfxfxR −+=

Fazendo 0)( =xRk , temos:

kk

k xxfxfx +

−=

)(')(

E, se fizermos 1+= kxx , teremos o algoritmo para as iterações pelo método de

Newton.

)(')(

1k

kkk xf

xfxx −+=+

Para encontrar as raízes de uma função )(xf , realizamos as iterações até se

obter uma precisão ε tal que ε<)(xf .

Graficamente temos:

Iniciando com a aproximação inicial 0x , a aproximação 1x é o valor em que a

reta tangente ao gráfico de )(xf em ( ))(, 00 xfx intercepta o eixo das abscissas. A

aproximação 2x é o valor em que a reta tangente ao gráfico de )(xf em ( ))(, 11 xfx

corta o eixo dos x e assim por diante.

Page 68: 02d Estudo Analitico Polinomios

68

Exemplo:

Encontrar todas as raízes reais de 38464120206)( 2345 −++−−= xxxxxxf ,

com precisão 1.0=ε .

x -5 -3 -1 0 1 3 5 7

)(xf -2079 315 -315 -384 -225 105 -189 1485

Logo, nos intervalos [ ]3,51 −−=I , [ ]1,32 −−=I , [ ]3,13 =I , [ ]5,34 =I e [ ]7,55 =I

existe ℜ∈x tal que 0)( =xf .

6424060245)('38464120206)( 2342345 ++−−=⇒−++−−= xxxxxfxxxxxxf

[ ]3,51 −−=I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz neste intervalo tomando

50 −=x .

)(')(

)(')(

0

0011 xf

xfxx

xfxf

xxk

kkk −=⇒

−+=+

ε>=−=⇒ 544)(4.4 11 xfex

ε>=−=⇒−= 108)(1.4)(')(

221

112 xfex

xfxfxx

ε>=−=⇒−= 7.9)(01.4)(')(

332

223 xfex

xfxfxx

0)(0.4)(')(

443

334 =−=⇒−= xfex

xfxf

xx

Page 69: 02d Estudo Analitico Polinomios

69

e portanto 4−=x é uma raiz de )(xf .

[ ]1,32 −−=I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando

10 −=x .

ε>=−=⇒−= 82.193)(52.2)(')(

110

001 xfex

xfxf

xx

ε>=−=⇒−= 30.21)(94.1)(')(

321

112 xfex

xfxfxx

0)(0.2)(')(

332

223 =−=⇒−= xfex

xfxfxx

e portanto 2−=x é uma raiz de )(xf .

[ ]3,13 =I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando

10 =x .

0)(2)(')(

110

001 ==⇒−= xfex

xfxf

xx

e portanto 2=x é uma raiz de )(xf .

[ ]5,34 =I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando

50 =x .

ε>==⇒−= 33.95)(3.3)(')(

110

001 xfex

xfxf

xx

ε>==⇒−= 28.149)(73.4)(')(

321

112 xfex

xfxfxx

ε>==⇒−= 2.18)(90.33)(')(

332

223 xfex

xfxfxx

0)(0.4)(')(

443

334 ==⇒−= xfex

xfxf

xx

e portanto 4=x é uma raiz de )(xf .

Page 70: 02d Estudo Analitico Polinomios

70

[ ]7,55 =I , vamos fazer a aproximação inicial da raiz deste intervalo tomando

70 =x .

ε>==⇒−= 399)(42.6)(')(

110

001 xfex

xfxf

xx

ε>==⇒−= 20.80)(11.6)(')(

321

112 xfex

xfxfxx

ε>==⇒−= 95.6)(01.6)(')(

332

223 xfex

xfxfxx

0)(0.6)(')(

443

334 ==⇒−= xfex

xfxf

xx

e portanto 6=x é uma raiz de )(xf .

Neste caso chegamos às raízes exatas da função e estas são: 41 −=x , .22 −=x ,

23 =x , 44 =x e 65 =x .

Como sabemos, as equações de grau superior a cinco, exceto alguns casos

particulares, não podem ser resolvidas pelos métodos algébricos usuais, mas podem ser

resolvidas através destes métodos que acabamos de apresentar, a seguir apresentaremos

alguns exemplos de aplicações das equações das quais falamos até o presente momento.

Page 71: 02d Estudo Analitico Polinomios

71

3.2. APLICAÇÕES

A Matemática possui muitas ferramentas que tem contribuído significativamente

no desenvolvimento de diversas áreas do conhecimento científico como, por exemplo,

na Economia, na Biologia e na Física. Essas ferramentas como, por exemplo, fórmulas,

gráficos e tabelas são muitos importantes nestas áreas por facilitarem a compreensão

dos fenômenos em estudo.

Os polinômios e as equações polinomiais, assunto abordado nesta pesquisa,

possui muitas aplicações, tanto na própria Matemática e no cotidiano quanto nas áreas

da Economia, Física, Administração e entre outras.

Abaixo seguem algumas aplicações encontradas sobre o assunto em estudo.

1) Seja o polinômio ).2()32()1()( 3 caxbaxbaxA +++−+−+= Determine

a, b e c para que se tenha 0)( =xA , para qualquer x pertencente aos complexos.

Solução:

Pela Propriedade (Identidade de Polinômios), temos:

322231

0232

1

02032

010)( −=⇒

−=−==+

=+−=−

=+⇔

=+=+−

=−+⇔= a

caa

ba

caba

ba

caba

baxA

Logo, .3/13/5,3/2 ==−= ceba

2) Dados os polinômios 4)2()1()( 2 +++−= xbxaxA e

,45)3()( 23 +−++= cxxxcxB calcule a, b e c para que se tenha .),()( CxxBxA ∈∀≡

Solução:

Pela Propriedade (Identidade de Polinômios), temos:

==

−=⇒

−=+=−=+

⇔≡163

25103

)()(bac

cbac

xBxA

Portanto, a=6, b=1 e c=-3.

3) Determine p e q sabendo que o polinômio qxpxxxA +−+= 72)( 23 é

divisível por 2−x e por .1+x

Solução:

Page 72: 02d Estudo Analitico Polinomios

72

Pelo Corolário 1, vimos que se A(x) é divisível por 2−x e por 1+x , então 2 e

–1 são raízes, respectivamente. Assim, temos:

05)1(024)2(

=++=−=++=

qpAqpA

Resolvendo o sistema nas incógnitas p e q, temos:

=−=

−=+−=+

16

524

pq

qpqp

Logo, .61 −== qep

4) Resolva a equação ,0401263 234 =−+−+ xxxx sabendo que i2 é uma de

suas raízes.

Solução:

Seja .401263)( 234 −+−+= xxxxxP Como i2 é raiz de ,0)( =xP então i2−

também é raiz, pelo Teorema das raízes complexas. Desta forma, temos a seguinte

decomposição:

)103)(2)(2()( 2 −++−= xxixixxP

Resolvendo a equação ,1032 −+ xx através da fórmula de Bháskara:

{ 252

)10.(1.43321

2

=−=⇒−−±−

= xouxx

Logo, o conjunto-solução de 0)( =xP é }.2,2,2,5{ iiS −−=

5) Resolva a equação ,0123432 23456 =+−+−+− xxxxxx sabendo que i é

uma raiz dupla.

Solução:

Seja .123432)( 23456 +−+−+−= xxxxxxxP Como i é raiz dupla, então i−

também é raiz dupla, pelo Teorema das raízes complexas. Desta forma, podemos

escrever a seguinte decomposição:

)12()()()( 222 +−+−= xxixixxP

Resolvendo a equação ,0122 =+− xx através da fórmula de Bháskara,

obtemos 1 como raiz dupla.

Portanto, as raízes de ,0)( =xP com multiplicidade dois cada uma, são .1, eii −

Page 73: 02d Estudo Analitico Polinomios

73

6) Considere o polinômio .)( 23 baxxxxA +++= Calcule a e b sabendo que os

restos das divisões de A(x) por )1( −x e por ),2( −x são iguais a 5 e –3,

respectivamente.

Solução:

A partir da divisão de A(x) por )1( −x , obtemos quociente )2(22 axx +++ e

resto ba ++2 . Como nos foi informado o valor do resto, temos ,52 =++ ba ou seja,

3=+ ba (1).

Através da divisão de A(x) por ),2( −x obtemos quociente )2(2 axx +++ e

resto .212 ba ++ Como o valor dor resto e –3, neste caso, teremos 152 −=+ ba (2).

De (1) e (2), temos o seguinte sistema:

−=+=+

1523

baba

de onde vem .2118 =−= bea

7) Sabendo que a soma de duas raízes da equação 02123 =++− mxxx é igual

a 4, determine o valor de .m

Solução:

Sejam 321, xexx as raízes da equação dada. Pelas relações entre coeficientes e

raízes, temos:

)2()()3(21

)1(1

21321

321

323121

321

mxxxxxxxx

mxxxxxxxxx

=++⇒

−==++

=++

Como a soma de duas das raízes da equação é igual a 4, então seja .421 =+ xx

Substituindo em (1), obtemos .33 −=x

Substituindo 421 =+ xx e 33 −=x em (2), obtemos:

)4(1221 += mxx

Substituindo (4) em (3), temos

53621321)12(3

−=∴+−=−⇒−=+−

mmm

Page 74: 02d Estudo Analitico Polinomios

74

8) (FUVEST-2001) O polinômio 62)( 24 +−+= xxxxP admite i+1 como

raiz, onde .12 −=i O número de raízes reais deste polinômio é:

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

Solução:

Pelo Teorema das raízes complexas, se i+1 é raiz de ,0)( =xP então i−1

também é raiz. Logo, temos a seguinte decomposição:

)32)](1()][1([)( 2 ++−−+−= xxixixxP

Resolvendo 0322 =++ xx , pela fórmula de Bháskara, temos que:

2222

21242 ixx ±−

=⇒−±−

=

Ou seja, 2121 iei −−+− são raízes.

Logo, não existem raízes reais para .62)( 24 +−+= xxxxP Deste modo, (a) é a

alternativa correta.

9) (MACKENZIE) Dividindo-se cbxxxP ++= 2)( por 1−x e por ,2−x

obtém-se o mesmo resto 3. Então, a soma das raízes de 3)( −xP é:

(a) -3 (b) -2 (c) -1 (d) 1 (e) 3

Solução:

Dividindo-se cbxxxP ++= 2)( por 1−x e por ,2+x respectivamente, temos:

Como cb ++1 e cb +− 24 são os restos, respectivamente, da divisão de )(xP

por 1−x e por ,2−x e ambos valem 3, então:

Page 75: 02d Estudo Analitico Polinomios

75

.112

2324

31==

=+−=+

=+−=++

cbvemondedecb

cbcb

cb

Assim, .23)( 2 −+=− xxxP Admitindo que 21 xex são as raízes deste

polinômio, então, pelas relações de Girard, a soma das raízes é dada por 121 −=+ xx .

Portanto, alternativa (c).

10) (MACKENZIE) Se 6 é a soma dos quadrados das raízes da equação

,0,0)1()1( 23 >=++−+− kkxxkx e se p é a maior raiz, então k+p vale:

(a) 8 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4

Solução:

Pelas relações de Girard, temos:

)3()1()2(1

)1()1()(1

321

323121

22321321

+−=−=++

+=++⇒+=++

kxxxxxxxxx

kxxxkxxx

Das informações do problema, temos:

)4(623

22

21 =++ xxx

Desenvolvendo o primeiro membro de (1):

)5()1()(2(

)1()(2

3231212

32

22

1

22321

+=+++++⇒

+=++

kxxxxxxxxx

kxxx

Substituindo (4) e (2) em (5), temos:

,4)1()1()1(26 22 =+⇒+=−+ kk ou seja, um T.Q.P. Pela fatoração, temos:

2121 −=+=+ kouk , ou seja, .31 −== kouk

Como, ,0>k então, .1=k

Logo, a equação é dada por .022)( 23 =+−−= xxxxA Usando o Teorema das

raízes racionais, para verificar se existe alguma raiz na forma ,qp temos:

• }2,1{ ±±=qp . Verificando em A(x):

122)2()2(2)2()2(022)2(22)2(

02)1()1(2)1()1(021)1(21)1(

23

23

23

23

−=+−−−−−=−

=+−−=

=+−−−−−=−

=+−−=

AAAA

Portanto, 1, -1 e 2 são raízes de A(x)=0, e são únicas conforme Teorema

Fundamental da Álgebra.

Page 76: 02d Estudo Analitico Polinomios

76

Desta forma, k+p=3. Portanto, alternativa (d).

11) Um terreno quadrado tem lados medindo 30m. Uma parte deste terreno,

também quadrada, com lados de 24m, estava destinada a um armazém (fig. 1). Contudo,

o dono do terreno resolveu mudar seus planos e construir o armazém na forma de um T

(fig.2), mas ocupando a mesma área anterior. Desta forma, calcule o valor de x.

Solução:

Sabendo que as áreas do quadrado e do retângulo são dadas pelo produto da base

pela altura, temos:

Na fig.1, temos:

• Área do Armazém= 2424×

Na fig.2, temos:

• Área do Armazém= xxx )30(30 −+

Como a área nas duas figuras deve ser igual, então:

057660)30(302424

2 =+−⇒

−+=×

xxxxx

Pela fórmula de Bháskara, temos

48122

)576.(1.46060 2

==⇒−±

= xouxx

Contudo, desprezamos x=48, uma vez que ao substituí-lo em (30-x), lado de um

retângulo da fig.2, teremos um valor negativo para uma medida, o que não convém.

Logo, x=12.

12) A tela de um quadro tem comprimento de 60 cm e largura de 50 cm. Nessa

tela foi colocada uma moldura, também retangular, de largura uniforme x cm. Calcule

essa largura, sabendo que o quadro todo passou a ocupar uma área de 4200 cm 2 .

Page 77: 02d Estudo Analitico Polinomios

77

Solução:

Sabemos que a área do retângulo é dada pelo produto entre o comprimento e a

altura. Assim,

• Área Total do Quadro= 4200 cm 2

Ou seja,

030055)250)(260(4200

2 =−+⇒

++=

xxxx

Pela fórmula de Bháskara, temos:

5602

)300.(1.45555 2

=−=⇒−−±−

= xouxx

Como não convém uma medida com valor negativo, temos x=5 cm.

13) A receita mensal (em reais) de uma empresa é dada pela função

,200020000)( 2pppR −= onde p é o preço de venda de cada unidade ).100( ≤≤ p

a) Qual o preço p que deve ser cobrado para uma receita de R$ 50.000,00?

b) Determine os valores de p para o qual a receita é nula, positiva ou negativa.

Solução:

a) Para 0000.50)( =pR temos:

0251050000200020000

2

2

=−+−⇔

=−

pppp

Pela fórmula de Bháskara, temos:

)2(5)1(2

)25).(1.(41010 2

dademultiplicipp =⇒−

−−−±−=

b) A receita é nula quando ,0)( =pR ou seja,

0100200020000

2

2

=+−⇔

=−

pppp

Page 78: 02d Estudo Analitico Polinomios

78

Colocando p em evidência, obtemos p=0 e p=10 como raízes.

Esboçando o gráfico de R(p), temos:

Analisando o gráfico, temos:

100,0)(100,0)(

100,0)(

><<<<>

===

poupsepRpsepR

poupsepR

14) (FGV) O lucro mensal (em unidades monetárias) de uma empresa é dado

por ,530)( 2 −+−= xxxL em que x é a quantidade mensal vendida.

a) Qual o lucro mensal máximo possível?

b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual

a 195 u.m.?

Solução:

a) Como a função lucro é uma função polinomial do tipo cbxax ++2 , então

podemos usar a relação do vértice dada por abx 2/−= , o qual determina o pico

positivo nesta parábola (ver HOFFMANN, p. 15-16).

Calculando o vértice, temos:

15)1(2

30−=⇒

−−= xx

Desta forma, para determinar o lucro máximo mensal, basta substituir 15−=x ,

na função lucro:

220)15(5)15(30)15()15( 2 =⇒−+−= LL

Ou seja, o lucro mensal máximo é de 220 u.m.

b)Para um lucro mensal no mínimo igual a 195 u.m., temos

,195)( =xL ou seja,

Page 79: 02d Estudo Analitico Polinomios

79

020030195530

2

2

=−+−⇒

=−+−

xxxx

Pela fórmula de Bháskara, temos:

2010)1(2

)200).(1.(43030 2

==⇒−

−−−±−= xouxx

Ou seja, para 2010 ≤≤ x tem-se um lucro mensal de no mínimo 195 u.m.

15) (VUNESP) Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de

arestas medindo x, x, e 2x, do qual foi retirado um prisma de base quadrada de lado 1 e

altura x. O sólido está representado abaixo:

(a) 232 xx − (b) 234 xx − (c) xx −32 (d) 23 22 xx − (e) xx 22 3 −

Solução:

Da Geometria Euclidiana sabe-se que o volume de um paralelepípedo retângulo

ou de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Assim,

• No paralelepípedo retângulo, temos:

xalturaexAbase == 22

Portanto, .2 3xV pedoparalelepí =

• No prisma de base quadrada, temos:

xalturaeAbase == 1

Portanto, .xVprisma =

Desta forma, o volume do sólido é dado por:

,prismapedoparalelepísólido VVV −= ou seja,

xxVsólido −= 32

Portanto, alternativa (c).

Page 80: 02d Estudo Analitico Polinomios

80

16) Uma livraria pode encomendar um certo livro a uma editora por um preço

de R$3,00 o exemplar. A livraria vende o livro a R$15,00 e por esse preço tem vendido

200 exemplares por mês. Pretendendo aumentar as vendas, a livraria decidiu reduzir o

preço e calcula que para cada R$1,00 de redução no preço, conseguirá vender mais 20

exemplares por mês. Expresse o lucro mensal da livraria com a venda desse livro em

função do preço de venda e, em seguida, estime o preço ótimo de venda.

Solução:

Temos que:

))(( exemplarporlucrovendidosexemplaresdenLucro °=

Seja x o preço de venda e L(x) o lucro mensal correspondente. Das informações

do problema temos:

• 200 exemplares são vendidos por mês quando o preço é de R$15,00.

• 20 exemplares são vendidos a mais por mês para cada R$1,00 de redução

no preço. Como o número de reais de redução é igual a diferença (15-x) entre o antigo

preço de venda e o novo preço, temos:

50020

)15(20200)00,1$(20200

+−=−+=

°+=°

xx

Rdereduçãodenvendidosexemplaresden

O lucro por exemplar é simplesmente a diferença entre o preço de venda, x, e o

custo R$3,00. Assim,

3−= xexemplarporLucro

Desta forma, o lucro mensal total é dado por:

150056020)3)(50020()(

2 −−−=

−+−=

xxxxxL

O vértice da parábola, isto é, o preço ótimo de venda é dado por:

14)20(2)560(

=−

−−=x

Portanto, o preço ótimo de venda é R$14,00.

17) Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina,

de 18 cm por 18 cm, removendo-se um pequeno quadrado de cada canto e dobrando as

abas resultantes para formar os lados. Expresse o volume da caixa em função do lado x

dos quadrados removidos.

Page 81: 02d Estudo Analitico Polinomios

81

Solução:

Temos que o volume é dado pelo produto da área pela altura, ou seja: 2)218( xxV −=

Em Física para uma melhor compreensão das aplicações que serão aqui

abordadas, faremos uma breve introdução sobre Movimento Uniformemente Variado

(MUV).

Nos estudos dos MUV, a função horária que descreve como os espaços s variam

no decorrer do tempo é uma função polinomial do 2° grau em t, dado por:

200 2

)( tatvsts α++=

onde 0s é o espaço inicial, 0v a velocidade inicial e α a aceleração escalar constante do MUV.

Dada a função horária dos espaços, é possível pela fórmula de Báskara

determinar os instantes em que o corpo em movimento passa pela origem dos espaços,

isto é, quando seu espaço ,0=s ou seja,

02

200 =++ ttvs α

Fazendo uma correspondência com a equação do 2° grau 02 =++ cbxax ,

teremos ,2/α=a 0vb = e .0sc = Assim ,pela fórmula de Bháskara temos:

αα

α

α..2

22

2..4

02

000

200 svv

tsvv

t−±−

=⇒

−±−=

A função horária dos espaços do MUV, também é utilizada nos estudos de

lançamentos vertical e lançamentos oblíquo no vácuo, de modo que a aceleração escalar

α passa a ser chamada de aceleração da gravidade ( 2/10 smg ≅ ). No estudo do

Page 82: 02d Estudo Analitico Polinomios

82

lançamento oblíquo (ver RAMALHO, p.180-182), sua aplicação se dá na análise da

componente vertical, ou seja,

20 2

ttvy yα

+=

onde yv0 corresponde a velocidade inicial vertical.

Abaixo segue algumas aplicações:

18) Um móvel descreve um MUV numa trajetória retilínea e seus espaços

variam no tempo de acordo com a função horária 2396 tts +−= , sendo t em segundos

e .0=s em metros. Determine o instante em que o móvel passa pela origem dos

espaços.

Solução:

O móvel passa pela origem dos espaços quando .0=s Desta forma, temos:

0396 2 =+− tt

Resolvendo esta equação de 2° grau na variável t, pela fórmula de Bháskara:

126

39)3(2

)6)(3.(499 2

==⇒±

=⇒−±

= touttt

Ou seja, o móvel passa pela origem dos espaços nos instantes: 1s e 2s.

19) Um móvel é atirado verticalmente para cima a partir do solo com

velocidade inicial de 20m/s. Desprezando-se a resistência do ar e adotando a origem de

espaços no solo com trajetória orientada para cima, determine:

a) A função horária dos espaços.

b) O instante em que o móvel atinge o solo.

(Dados: 2/10 smg = ).

Solução:

Temos: ;00 ms = smv /200 =

2

2

200

5205

1020

2

tts

tts

tgtvss

−=⇒

−=⇒

++=

Page 83: 02d Estudo Analitico Polinomios

83

c) Quando o móvel atinge o solo, seu espaço volta a ser nulo. Logo, ,0ms =

isto é,

==

⇒=−⇒

=−

)(4).(0

0)520(

0520 2

soloaochegadastinicialinstst

tt

tt

20) Dois corpos são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto e com

velocidades iniciais iguais a 30m/s. O segundo corpo é lançado 3s depois do primeiro.

Desprezando-se a resistência do ar e considerando 2/10 smg = , determine o instante e a

posição de encontro.

Solução:

Obs: B está deslocado lateralmente só para efeito da

figura, mas é lançado do mesmo ponto que A.

Seja A o corpo lançado primeiro e B o segundo corpo. Orientando a trajetória

para cima, teremos ./10 2smg −=

• Corpo A: ;00 ms = ./300 smv =

Logo, 2530 ttsA −= .

• Corpo B: ;00 ms = smv /300 = e partiu 3s depois de A.

Logo, 2)3(5)3(30 −−−= ttsB .

Para determinar o instante de encontro, temos: BA ss = . Ou seja,

stttttt

5,413530)3(5)3(30530 22

=⇒=⇒−−−=−

Substituindo t = 4,5 s em qualquer uma das funções horárias dos espaços,

determinamos o ponto de encontro:

Em 2530 ttsA −= , teremos:

msA 75,33)5,4(5)5,4(30 2 =−=

Ou seja, o encontro ocorre 4,5s depois do lançamento do primeiro corpo e a

33,75 m do ponto de lançamento.

Page 84: 02d Estudo Analitico Polinomios

84

21) Uma bola é lançada verticalmente de baixo para cima com velocidade

inicial de 60m/s. Três segundos depois, lança-se uma segunda bola com velocidade

inicial de 80m/s. Calcule o tempo gasto pela segunda bola até encontrar a primeira e a

altura do encontro.

Solução:

Seja A e B, respectivamente, a primeira e a segunda bola. Temos um MUV, cuja

função horária dos espaços (altura) é dada por:

200 2

tgtvhh ++=

Orientando a trajetória para cima, teremos ./10 2smg −= Assim,

• Em A, temos: 2560 tthA −=

• Em B, temos: 2)3(5)3(80 −−−= tthB , pois foi lançada 3s depois de A.

Fazendo, BA hh = , temos:

).(7,5028550)3(5)3(80560 22

encontrodeinststttttt

=⇒=−⇒−−−=−

Assim, o tempo gasto pela segunda bola até encontrar a primeira é dado pela

diferença do instante de encontro e o instante que a segunda foi lançada, ou seja,

stgasto 7,237,5 =−=

A altura do encontro é dada substituindo-se o instante de encontro t=5,7s em

BA houh . Logo, em ,Ah temos:

.55,179)7,5(5)7,5(60 2 mhA =−=

22) Um corpo é atirado obliquamente no vácuo com velocidade horizontal

constante de 60m/s e velocidade inicial vertical de 80 m/s. Adotando 2/10 smg = ,

determine a altura máxima atingida pelo corpo, sabendo que este atinge o ponto mais

alto da trajetória em 8s.

Solução:

Considere a figura como um pequeno esboço da situação do problema:

Page 85: 02d Estudo Analitico Polinomios

85

Orientando a trajetória para cima, teremos ./10 2smg −= Assim,

A altura máxima é dada pela direção vertical, logo: 200 2

tgtvHH y ++= .

Como, ,00 =H ;/800 smv y = 2/10 smg −= e st 8= (instante em que atinge o ponto

mais alto), temos:

mHH 320)8(2

10)8(80 2 =⇒−=

Portanto, a altura máxima é de 320m.

Para a próxima aplicação é importante lembrar da Física Mecânica (ver

RAMALHO, p.298-307) que a energia mecânica )( mE em cada instante é a soma das

energias cinética )( CE , potencial gravitacional )( gE e potencial elástica )( eE . Para

tais energias temos as seguintes fórmulas matemáticas:

• ,2

2mVEC = onde m: massa e V: velocidade.

• ,mghEG = onde m :massa, g: aceleração da gravidade e h:altura.

• ,2

2kxEE = onde k: constante elástica da mola/elástico e x: elongação do

elástico/mola.

23) Um homem com massa 60 kg pretende saltar de bungee jumping.

Considerando que o comprimento natural do elástico é 10m e sua constante elástica

k=50 N/m e que o sistema apresentado abaixo com três situações é conservativo,

determine a altura mínima necessária para que o homem salte.

Page 86: 02d Estudo Analitico Polinomios

86

Onde:

N.R: nível mais baixo atingido pelo saltador

A: antes do salto

B: elástico não esticado (comprimento natural)

C: elongação do elástico

Solução:

• Em A, temos 0,0 hhv aA == . Logo,

)1(00 00 mghEmghEEEEE

MAMA

EAGACAMA

=⇒++=⇒++=

• Em B, temos LhhB −= 0 . Assim,

)2()(2

0)(2 0

2

0

2

LhmgmvELhmgmvE

EEEE

BMB

BMB

EBGBCBMB

−=⇒+−+=⇒

++=

• Em C, temos Lhxvh CC −=== 0,0,0 . Assim,

Page 87: 02d Estudo Analitico Polinomios

87

)3()(2

)(2

)(00 0

00 LhLhK

ELhk

E

EEEE

MCMC

ECGCCCMC

−−

=⇒−

++=⇒

++=

Como o sistema é conservativo, temos .MCMBMA EEE == Analisando

,MBMA EE = temos:

2000

2

0 )(2)(2

LhkmghLhmgmvmgh B −=⇒−=

Das informações do problema, temos m=60 kg, L=10m e k=50 N/m. Logo, a

altura mínima 0h é dada por:

010044)10(50)10).(60.(2 02

02

00 =+−⇒−= hhhh

Pela fórmula de Bháskara, temos:

mhoumhh 40,26,412

)100.(4444400

2

0 ==⇒−±

=

Como a altura mh 40,20 = não é conveniente nesta situação em estudo, então

mh 6,410 = corresponde a altura mínima.

Page 88: 02d Estudo Analitico Polinomios

88

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BEZERRA, Manoel J. Matemática para o ensino médio. São Paulo: Scipione, 2001. 496p. CENTURIÓN, Marília. Et all. Matemática na medida certa. 8ª série. São Paulo: Scipione, 2003. 237p. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da Unicamp, 2002. pp. 302-308. GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas: a história da álgebra. São Paulo: Makron Books, 1997.

LIMA, Elon Lages. Et all. Meu professor de matemática e outras histórias. Rio de

Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1991. pp. 13-25.

HOFFMANN, Laurence D.; BRANDLEY, Geraldo L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 525p. RAMALHO, Francisco. Et all. Os fundamentos da física: mecânica. 6. ed. São Paulo: Moderna, 1993. v. 1. 480p. RUGGIERO, Márcia Gomes. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2.

ed. São Paulo: Makron Books, 1996. p. 27-74.

SITES:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm105/abel.htm

http://www.searadaciencia.ufc.br/especiais/matematica/eulergauss/eulergauss9.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_Galois