ENGENHARIA

ELETROTCNICA TERICA

PROF RAED

2011-1

CAPTULO I ELETRODINMICA

1. Tenso Eltrica A tenso eltrica entre dois pontos, tambm chamada de diferena de potencial (ddp), o trabalho necessrio em joules para mover um coulomb de carga de um ponto a outro.

A unidade no Sistema Internacional (SI) de tenso eltrica o volt, cujo smbolo V. O smbolo de tenso eltrica U.

U=

W q U a tenso eltrica, em volts (V). W o trabalho, em joules (J). q a carga eltrica, em coulomb (C).

Onde:

2. Corrente Eltrica o movimento ou o fluxo de eltrons. Para se produzir a corrente, os eltrons devem se deslocar pelo efeito de uma ddp.

A unidade no SI de corrente o ampre, cujo smbolo A. Os smbolos utilizados so o I para uma corrente constante e i para uma corrente varivel no tempo.

O condutor metlico da figura 1, submetido a uma ddp entre os seus extremos, possui uma quantidade de eltrons que atravessa a seo reta transversal do condutor desde o instante t at o instante t + t. Cada eltron apresenta uma carga eltrica elementar e de valor igual a 1,6 10 19 C . Em um intervalo de tempo t, passa pela seo transversal uma carga eltrica de valor absoluto igual a:q = n . e q a quantidade de carga eltrica em movimento, em coulomb (C). n o nmero de eltrons. e a carga eltrica elementar de um eltron, que igual a 1,6x10-19C.

Onde:

1

Fig. 1 Define-se intensidade mdia de corrente eltrica im no intervalo de tempo t:q t

im =

Quando a corrente varia com o tempo, define-se intensidade de corrente i em um instante t o limite para o qual tende a intensidade mdia, quando o intervalo de tempo t tende a zero:q t

i = lim

t o

Denomina-se corrente contnua constante toda corrente de sentido e intensidade constantes com o tempo. Neste caso, a intensidade mdia da corrente im em qualquer intervalo de tempo t a mesma e, portanto, igual intensidade i em qualquer instante t .im = i

A figura 2 mostra o grfico dessa corrente em funo do tempo. Esse o caso mais simples de corrente eltrica. A pilha mostrada ao lado do grfico um exemplo de fonte que fornece uma corrente contnua constante.

Fig. 2

2

A figura 3 mostra um grfico de uma corrente eltrica que muda, periodicamente, de intensidade e sentido, esta chamada de corrente alternada. Nos terminais das tomadas das residncias, escritrios, comrcios e indstrias h uma corrente alternada na freqncia de 60 Hz, ou seja, 60 ciclos/segundo.

Fig. 3

Um ampre de corrente definido como o deslocamento de um coulomb atravs de um ponto qualquer de um condutor durante um intervalo de um segundo.

1 ampre =

1 coulomb 1 segundo

I=

q t

Onde: I a corrente eltrica, em ampres (A).

q a quantidade de carga eltrica em movimento, em coulomb (C). t o intervalo de tempo, em segundos (s), que a carga eltrica est em movimento.

3. Densidade de Corrente a relao entre a corrente eltrica em ampres e a rea da seo transversal do condutor em m2.

J=

I S

Onde: J a densidade de corrente eltrica, em ampres/metro quadrado (A/m2). I a intensidade da corrente eltrica, em ampres (A). S a rea da seo transversal do condutor, em metros quadrados (m2).

3

4. Resistores O resistor todo elemento cuja funo em um circuito oferecer uma resistncia especificada. A unidade no SI de resistncia eltrica o ohm, cujo smbolo o .

Para uma dada tenso eltrica, quanto maior a resistncia menor ser corrente eltrica. Portanto, a resistncia a oposio ao fluxo da corrente eltrica.

So exemplos de resistores: filamentos de tungstnio de lmpadas incandescentes e fios de nicromo enrolados em hlice em chuveiro eltrico.

5. Lei de Ohm Considere o resistor da figura 4, mantido a uma temperatura constante, percorrido por uma corrente eltrica i , quando entre seus terminais A e B for aplicada a ddp U.

Fig. 4

Mudando-se a ddp sucessivamente para U1, U2, U3, ..., o resistor passa a ser percorrido por corrente de intensidade i1 , i2 , i3 , ...

Ohm verificou, experimentalmente, que mantida a temperatura constante, o quociente da ddp aplicada pela respectiva intensidade de corrente era uma constante caracterstica do resistor.

U U1 U 2 U 3 = = = = ... = cons tan te = R i i1 i2 i3

A grandeza R assim introduzida foi denominada resistncia eltrica do resistor. A resistncia eltrica no depende da ddp aplicada ao resistor nem da corrente eltrica que o percorre; ela depende do condutor e de sua temperatura. A expresso que simboliza a lei de Ohm :

R=

U I

4

Onde, conforme j definido:R resistncia eltrica, em ohms (). U tenso eltrica, em volts (V). I intensidade da corrente eltrica, em ampres (A).

6. Resistores hmicos e No-hmicos Na figura 5, o grfico de U em funo de i uma reta que passa pela origem, constituindo, assim, a curva caracterstica de um resistor hmico. O coeficiente angular da reta (tg ) numericamente igual a resistncia eltrica do resistor, que igual a uma constante no-nula.

tg =

U =R i

Fig. 5

Para condutores que no obedecem a Lei de Ohm, a curva caracterstica passa pela origem, mas no uma reta, conforme mostra a figura 6. Esses condutores so denominados condutores nolineares ou no-hmicos. A resistncia aparente (Rap) definida em cada ponto da curva da

seguinte maneira:

Rap =

U i

R ' ap =

U' i'

Fig. 6

5

7. Efeito Trmico ou Efeito Joule Um resistor transforma exclusivamente em trmica a energia eltrica recebida de um circuito. Portanto, comum afirmar que um resistor dissipa energia eltrica que recebe do circuito.

Nos aquecedores eltricos em geral (chuveiros eltricos, torneiras eltricas, ferros eltricos, secadores de cabelos), constitudos de resistores, ocorre a transformao de energia eltrica em energia trmica.

O efeito da transformao de energia eltrica em trmica denominado efeito trmico ou efeito joule. Esse efeito pode ser entendido considerando o choque dos eltrons livres contra os tomos do condutor.P = U .I

Onde P potncia eltrica, em watts (W). Pela Lei de Ohm, U = R I

P = U I = R.I .I = R I 2

Sendo I =

U R

U2 A potncia eltrica dissipada pode, tambm, ser dada por: P = RA energia eltrica transformada em energia trmica ao fim de um intervalo de tempo t dada por: E el = R I 2 t . Esta expresso conhecida como a Lei de Joule, podendo assim ser enunciada: A energia eltrica dissipada em um resistor, durante um dado intervalo de tempo t, diretamente proporcional ao quadrado da intensidade de corrente que o percorre.

6

8. Resistividade A resistncia eltrica de um resistor depende do material que o constitui, de suas dimenses e de sua temperatura. Portanto, a resistncia eltrica R de um resistor em dada temperatura : diretamente proporcional ao seu comprimento ( l ), em metros (m); inversamente proporcional sua rea de seo transversal (S), em m2; dependente do material que o constitui ( ), em .m.

R=

.lS

Onde (letra grega r) uma grandeza que depende do material que constitui o resistor e da temperatura, sendo denominado resistividade do material.

A resistividade de um material varia com a temperatura. Para variaes no-excessivas (at cerca de 400C), pode-se admitir como linear a variao da resistncia com a temperatura. Nestas condies, a resistividade a uma temperatura T dada por:

= 0 [1 + (T t 0 )]

Onde:

resistividade na temperatura final (T), em .m. 0 resistividade na temperatura inicial (t0), em .m.

coeficiente de temperatura do material, em C-1.T temperatura final, em C. t0 temperatura inicial, emC.

Tabela 1 - Resistividade de alguns materiais temperatura ambiente (20C).

MATERIALPrata Cobre Ouro Alumnio Tungstnio Ferro

RESISTIVIDADE (.m)1,47x10-8 1,72x10-8 2,44x10-8 2,75x10-8 5,25x10-8 9,68x10-8

7

Todos os condutores metlicos apresentam um aumento de resistncia eltrica com a elevao de temperatura. Se uma determinada corrente eltrica aquecer um condutor, haver uma diminuio desta corrente devido o aumento da resistncia eltrica do condutor, provocado pelo aumento da temperatura. R = R0 [1 + (T t 0 )]R resistncia na temperatura final (T), em . R0 resistncia na temperatura inicial (t0), em .

Onde:

coeficiente de temperatura do material, em C-1.T temperatura final, em C. t0 temperatura inicial, emC. Tabela 2 - Coeficiente de temperatura ( ) de alguns materiais. MATERIAL Prata Cobre Alumnio Tungstnio Ferro

(C-1)0,0038 0,00393 0,0039 0,0045 0,0050

9. Condutividade A condutividade de um material ( ) o inverso da resistividade.

=

1

A unidade no SI de condutividade o mho/metro.

8

10. Energia Eltrica e Potncia De acordo com a figura 7, o movimento das cargas eltricas, para estabelecer a corrente eltrica, s possvel se for mantida a ddp U entre os pontos A e B. Sejam UA e UB os respectivos potenciais eltricos desses pontos e U = U A U B a ddp entre os pontos A e B.

Fig.7 A carga eltrica q no intervalo de tempo t, atravessa o trecho entre os pontos A e B. No ponto A, a carga tem energia potencial eltrica E PA = q . U A e, ao chegar em B, ela tem energiapotencial eltrica E PB = q . U B . Quando a carga eltrica atravessa o trecho AB, o trabalho

(W AB ) das foras eltricas dado por:W AB = q .U = q (U A U B ) = q .U A q .U B = E PA E PB

Essa energia eltrica consumida pelo trecho AB pode ter sido transformada em energia trmica, energia mecnica, energia qumica, etc. Portanto, a frmula geral, podendo ser utilizada qualquer que seja o aparelho existente entre os pontos A e B.W AB q .U = t t

A potncia eltrica consumida dada por:

P=

Como

q =I t

P = U.I

A energia eltrica ( E EL ) consumida pelo aparelho existente entre A e B, num intervalo de tempot , dada pelo trabalho das foras eltricas: W AB = P . t

E EL = P . t

A unidade usual de energia eltrica o kWh. 1Ws = 1 J 1kWh =1kW .1h = 1000W . 3600 s = 3.600.000Ws = 3.600.000 joules = 3,6 10 6 J

9

11. Mltiplos e Submltiplos Os prefixos das unidades so utilizados para facilitar a escrita das mesmas quando elas esto expressas ou em valores muito grandes ou muito pequenos. A Tabela 3 mostra os prefixos, seus multiplicadores e seus smbolos.

Tabela 3 Mltiplos e Submltiplos. PREFIXO SMBOLO POTNCIA DECA da 10 HECTO h 10 QUILO k 103 MLTIPLOS MEGA GIGA TERA PETA EXA ZETA IOTA M G T P E Z Y 106 109 10 10 10 1012 15

MULTIPLICADOR 10 100 1.000 1.000.000 1.000.000.000 1.000.000.000.000 1.000.000.000.000.000 1.000.000.000.000.000.000 1.000.000.000.000.000.000.000 1.000.000.000.000.000.000.000.000 MULTIPLICADOR 0,1 0,01 0,001 0,000.001 0,000.000.001 0,000.000.000.001 0,000.000.000.000.001 0,000.000.000.000.000.001 0,000.000.000.000.000.000.001 0,000.000.000.000.000.000.000.001

101821 24

SUBMLTIPLOS

PREFIXO SMBOLO POTNCIA DECI d 10-1 CENTI c 10-2 MILI m 10-3 MICRO NANO PICO FEMTO ATO ZEPTO IOCTO n p f a z y 10-6 10 10 10 10-9 -12

10-15-18 -21

10-24

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EXERCCIOS PROPOSTOS

1. O grfico abaixo representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em funo do tempo. Calcule para o intervalo de tempo de 0 a 20 segundos: (a) A quantidade de carga que passa por uma seo reta do condutor. (b) O nmero de eltrons que atravessa a seo reta do condutor.

2. O grfico a seguir representa a intensidade de corrente em um fio condutor, em funo do tempo. Calcule para o intervalo de 0 a 6s: (a) A quantidade de carga que passa por uma seo reta do condutor. (b) O nmero de eltrons que atravessa a seo reta do condutor.

3. Um condutor percorrido por uma corrente eltrica de intensidade de 1A. Determine o nmero de eltrons que passam por uma seo transversal do condutor em um segundo, sabendo que a carga eltrica elementar de um eltron vale 1,6 x 10-19C.

4. Relacione quatro efeitos principais produzidos pela corrente eltrica.

5. Um resistor de 20 percorrido por uma corrente eltrica de intensidade de 3A. Determine: (a) A ddp nos terminais do resistor. (b) A potncia eltrica consumida pelo resistor. (c) A energia eltrica consumida no intervalo de tempo de 20s, expressa em joules.

11

6. Sabendo-se que 20 lmpadas de 100 watts e 10 lmpadas de 150 watts permanecem acesas 5 horas por dia, pergunta-se: Qual o consumo de energia eltrica, em kWh, no perodo de 30 dias?

7. Um chuveiro eltrico alimentado sob ddp de 127V, consome uma potncia de 4,4kW. Calcule: (a) A resistncia eltrica do aparelho. (b) A intensidade de corrente que percorre o aparelho. (c) A energia eltrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 72 segundos, expressa em kWh. (d) A energia eltrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 72 segundos, expressa em joules. (e) O gasto de 30 dias, em reais, se o chuveiro utilizado durante 90 minutos por dia. Suponha que o preo do kWh seja de R$0,52.

8. Um chuveiro alimentado sob ddp de 220V, consome uma potncia de 4,4kW. Calcule para esta condio: (a) A resistncia eltrica do aparelho. (b) A energia eltrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 24 minutos, expressa em kWh. (c) A energia eltrica consumida pelo chuveiro, quando ligado durante 5 minutos, expressa em joules.

9. Aplica-se a ddp de 100V nas extremidades de um fio de 20m de comprimento e seo circular de rea 2mm2. Sabendo-se que a corrente eltrica que circula tem intensidade 10A, calcule a resistividade do material que constitui o fio em .cm.

10. Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente de 50mA passar perto do seu corao. Um eletricista trabalhando com as mos suadas faz bom contato com os dois condutores que ele est segurando, um em cada mo. Se a sua resistncia for de 2000, qual poderia ser a tenso fatal? 12

11.

Um fio condutor possui 1,0mm de dimetro, um comprimento de 2,0m e uma resistncia de

50m. Qual a resistividade do material?

12.

O grfico abaixo representa a tenso eltrica em funo da intensidade de corrente eltrica

em um resistor. Se o resistor for submetido a uma tenso eltrica de 6V, qual ser a sua potncia eltrica dissipada?

13.

O grfico abaixo representa a tenso eltrica em funo da intensidade de corrente

eltrica em um resistor. Determine a potncia eltrica dissipada no resistor, quando for percorrido por uma corrente de 50mA.

14.

Quando 115V so aplicados entre as extremidades de um fio que possui 10m de

comprimento e 0,30mm de raio, a densidade de corrente igual a 1,4x104A/m2. Determine a resistividade do fio.

15.

Um fusvel em um circuito eltrico um fio que projetado para derreter, e desse modo

abrir o circuito, se a corrente exceder um valor predeterminado. Suponha que o material a ser usado em um fusvel se funda quando a densidade de corrente atinge 440A/cm2. Que dimetro de fio cilndrico deveria ser usado para fazer um fusvel que limitar a corrente a 0,50A?

13

16.

Um fio de tungstnio tem uma resistncia de 10 a 20C. Determine a sua resistncia a

120C. Dado: = 0,0045/C.

17.

Um fio de Nicromo (uma liga de nquel-cromo-ferro normalmente usada em elementos de

aquecimento) possui 1,0m de comprimento e 1,0mm2 de rea de seo transversal. Ele transporta uma corrente de 4,0A quando uma diferena de potencial de 2,0V aplicada entre as suas extremidades. Calcule a condutividade do Nicromo.

Respostas: (1) (a) 60C; (b) 3,75x1020eltrons; (2) (a) 27C; (b) 1,6875x1020eltrons; (3) 6,25x1018 eltrons; (4) magntico, qumico, fisiolgico e trmico (ou joule); (5) (a) 60V; (b) 180W; (c) 3.600J; (6) 525kWh; (7) (a) 3,6657; (b) 34,646A; (c) 0,088kWh; (d) 316.800 joules; (e) R$102,96; (8) (a) 11; (b) 1,76kWh; (c) 1.320.000 joules; (9) 10-4.cm; (10) 100V; (11) 1,9635x10-8.m; (12) 18W; (13) 2W; (14) 8,2143x10-4.m; (15) 0,38037mm; (16) 14,5;

(17) 2.000.000 mhos/metro

14

CAPTULO II CIRCUITOS ELTRICOS DE CORRENTE CONTNUA

II.1 CIRCUITOS EM SRIE

1. Introduo Atualmente, dois tipos de corrente eltrica so usados nos equipamentos eltricos e eletrnicos. Um deles a corrente contnua (CC), cujo fluxo de cargas (corrente) no varia em intensidade e sentido com o tempo. O outro a corrente alternada (CA) senoidal, cujo fluxo de cargas varia continuamente em intensidade e sentido com o tempo.

Uma bateria como a ilustrada na figura 1 tem, em funo da diferena de potencial entre seus terminais, a capacidade de promover (pressionar) um fluxo de cargas atravs de um simples circuito. O terminal positivo atrai os eltrons do fio com a mesma rapidez com que eles so fornecidos pelo terminal negativo. Enquanto a bateria estiver ligada ao circuito e mantendo as suas caractersticas eltricas, a corrente (CC) atravs do circuito no ter variaes de intensidade nem sentido.

Se considerar o fio como um condutor ideal (isto , que no se ope ao fluxo de eltrons), a diferena de potencial V entre os terminais do resistor ser igual tenso aplicada pela bateria.

A corrente limitada somente pelo resistor R. Quanto maior a resistncia, menor a corrente, e vice-versa, como determinado pela lei de Ohm.

Fig. 1 - Componentes bsicos de um circuito eltrico.

Por conveno, o sentido do fluxo convencional da corrente ( I convencional ) como indicado na figura 1, oposto ao do fluxo de eltrons ( I eletrnico ). Alm disso, o fluxo uniforme de cargas leva a concluir que a corrente contnua I a mesma em qualquer ponto do circuito. Segundo o sentido do fluxo convencional, observa-se que h aumento de potencial ao atravessar a bateria (de para +) e uma queda de potencial ao atravessar o resistor (de + para -). Em circuitos de 15

corrente contnua com apenas uma fonte de tenso, a corrente convencional sempre passa de um potencial mais baixo para um potencial mais alto ao atravessar uma fonte de tenso, como mostra a figura 2.

Fig. 2 - Sentido convencional da corrente para circuitos CC com uma fonte de tenso.

Entretanto, o fluxo convencional sempre passa de um potencial mais alto para um potencial mais baixo ao atravessar um resistor, qualquer que seja o nmero de fontes de tenso no mesmo circuito, como mostra a figura 3.

Fig. 3 - Polaridade resultante da passagem de uma corrente I no sentido convencional, atravs de um elemento resistivo.

2. Circuitos em Srie Um circuito consiste de um nmero qualquer de elementos unidos por seus terminais, estabelecendo pelo menos um caminho fechado atravs do qual a carga possa fluir. O circuito visto na figura 4(a) possui trs elementos, conectados em trs pontos (a, b e c), de modo a constituir um caminho fechado para a corrente I.

Fig. 4(a) - Circuito em srie

Fig. 4 (b) - R1 e R2 no esto em srie.

16

Dois elementos esto em srie se: Possuem somente um terminal em comum (isto , um terminal de um est conectado somente a um terminal do outro). O ponto comum entre os dois elementos no est conectado a outro elemento percorrido por corrente.

Na figura 4(a), os resistores R1 e R2 esto em srie porque possuem apenas o ponto b em comum. As outras extremidades dos resistores esto conectadas a outros pontos do circuito. Pela mesma razo, a bateria U e o resistor R1 esto em srie (terminal a em comum), e o resistor R2 e a bateria U esto em srie (terminal c em comum). Visto que todos os elementos esto em srie, o circuito chamado circuito em srie.

Se o circuito mostrado na figura 4(a) for modificado de modo que um resistor R3 percorrido por corrente seja introduzido, conforme ilustra a figura 4(b), os resistores R1 e R2 no estaro mais em srie porque a segunda parte da definio de elementos em srie no ser verdadeira.

Uma caracterstica do circuito em srie que a corrente eltrica a mesma atravs de todos os elementos ligados no circuito.

Um ramo do circuito qualquer parte do circuito que possui um ou mais elementos em srie. Na figura 4(a), o resistor R1 constitui um ramo do circuito, o resistor R2 , outro, e a bateria U, um terceiro.

A resistncia total de um circuito em srie a soma das resistncias do circuito.

Na figura 4(a), por exemplo, a resistncia total ( RT ) igual a R1 + R2 . Observa-se que a resistncia total na realidade a resistncia vista pela bateria quando ela observa a combinao de elementos em srie, conforme ilustra a figura 5.

Fig. 5 - Resistncia vista pela fonte. 17

Em geral, para determinar a resistncia total (ou equivalente) de N resistores em srie, aplicada a seguinte equao. RT = R1 + R2 + R3 + ... + R N

Para determinar a resistncia total de n resistores de mesmo valor em srie, simplesmente multiplica-se o valor de um dos resistores pelo nmero total de resistores em srie, n, ou seja:

RT = n R

Uma vez conhecida a resistncia total, o circuito visto na figura 4(a) pode ser redesenhado segundo mostrado na figura 6, revelando claramente que a nica resistncia que a fonte v a resistncia equivalente. No importa como os elementos esto conectados para estabelecer

RT . Desde que o valor de RT seja conhecido, a corrente drenada da fonte pode serdeterminada usando a lei de Ohm da seguinte forma:

IT =

U RT

Fig. 6 Circuito equivalente.

Como a tenso U fixa, a intensidade da corrente da fonte depende somente do valor de

RT . Uma resistncia RT elevada resultar em um valor relativamente pequeno de I T ,enquanto valores pequenos de RT resultaro em grandes valores de corrente I S .

O fato de a corrente ser a mesma em todos os elementos do circuito mostrado na figura 4(a) permite calcular a tenso entre os terminais de cada resistor usando diretamente a lei de Ohm, ou seja:

U 1 = R1 I

U 2 = R2 I18

A potncia fornecida a cada resistor pode ento ser determinada utilizando qualquer uma das trs equaes, conforme listado a seguir: U 12 P1 = U 1 I = R1 I = R12

2 U2 P2 = U 2 I = R2 I = R2 2

PN = U N I = R N I 2 =

2 UN RN

A potncia fornecida pela fonte :

Pfornecida = U I

A potncia total fornecida a um circuito resistivo igual a potncia total dissipada pelos elementos resistivos, ou seja: Pfornecida = P1 + P2 + P3 + ... + PN

Exemplo 1: No circuito abaixo, determine: (a) A resistncia total. (b) A corrente fornecida pela fonte I . (c) As tenses U 1 , U 2 e U 3 . (d) A potncia dissipada por R1 , R2 e R3 . (e) A potncia fornecida pela fonte e a compare com a soma das potncias calculadas em (d).

Soluo: (a) RT = R1 + R2 + R3 = 2 + 1 + 5 = 8

(b)

I=

U 20 = = 2,5 A RT 8

19

(c)

U 1 = R1 I = (2)(2,5) = 5V U 2 = R2 I = (1) (2,5) = 2,5VU 3 = R3 I = (5)(2,5) = 12,5V

(d)

P1 = U 1 I = (5)(2,5) = 12,5WP1 = R1 I 2 = (2)(2,5) 2 = 12,5W P1 = U 12 5 2 = = 12,5W R1 2

P2 = U 2 I = (2,5)(2,5) = 6,25WP2 = R2 I 2 = (1)(2,5) 2 = 6,25W P2 =2 U 2 2,5 2 = = 6,25W R2 1

P3 = U 3 I = (12,5)(2,5) = 31,25WP3 = R3 I 2 = (5)(2,5) 2 = 31,25W P3 = U 32 12,5 2 = = 31,25W R3 5

(e)

PT = U I = ( 20 )( 2,5) = 50 W

PT = P1 + P2 + P3 = 12,5 + 6,25 + 31,25 = 50W

Exemplo 2: Determine RT , I e U 2 para o circuito mostrado.

Soluo:

20

Observe o sentido da corrente, estabelecido pela bateria e a polaridade da queda de tenso entre os terminais de R2 determinada pelo sentido da corrente. RT = R1 + R2 + R3 + R4 = 7 + 4 + 7 + 7 = 25 Como R1 = R3 = R4 = 7 , o valor de RT pode ser calculado, tambm, da seguinte forma:

RT = nR1 + R2 = (3)(7) + 4 = 25

I=

50 U = = 2A RT 25

U 2= R2 I = (4)(2) = 8V

3. Fontes de Tenso em SrieAs fontes de tenso podem ser conectadas em srie, como mostra a figura 7, para aumentar ou diminuir a tenso total aplicada a um sistema. A tenso resultante determinada somando-se as tenses das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade resultante aquela para a qual a soma maior.

(a)

(b) Fig. 7 - Reduzindo fontes de tenso CC em srie a uma nica fonte.

Na figura 7(a), por exemplo, as fontes esto todas forando a corrente para a direita, de modo que a tenso total dada por:

21

U = U 1 + U 2 + U 3 = 10 + 6 + 2 = 18V

Entretanto, na figura 7(b) a maior fora para esquerda, o que resulta em uma tenso total dada por: U = U 2 + U 3 U 1 = 9 + 3 4 = 8V

4. Lei de Kirchhoff para Tenses A lei de Kirchhoff para tenses (LKT) afirma que a soma algbrica das elevaes e quedas de tenso em uma malha fechada zero.

Uma malha fechada qualquer caminho contnuo que, ao ser percorrido em um sentido a partir de um ponto, retorna ao mesmo ponto vindo do sentido oposto, sem deixar o circuito. Seguindo a corrente na figura 8, pode-se traar um caminho contnuo que deixa o ponto a atravs de R1 e retorna atravs de U sem deixar o circuito. Assim, abcda uma malha fechada. Para poder aplicar a lei de Kirchhoff para tenses, a soma das elevaes e quedas de potencial precisa ser feita percorrendo a malha num certo sentido.

Fig. 8 - Aplicando a lei de Kirchhoff para tenses em um circuito srie.

Por conveno, o sentido horrio ser usado para todas as aplicaes da lei de Kirchhoff para tenses que se seguem. Entretanto, o mesmo resultado pode ser obtido se o sentido escolhido for o anti-horrio e a lei for aplicada corretamente.

Um sinal positivo indica uma elevao de potencial (de para +), e um sinal negativo, uma queda (de + para -). Se seguir a corrente no circuito mostrado na figura 8 a partir do ponto 22

a, primeiro encontra-se uma queda de potencial U 1 (de + para -) entre os terminais de R1 e outra queda U 2 entre os terminais de R2 . Ao passar pelo interior da fonte, tem-se um aumento de potencial U (de para +) antes de retornar ao ponto a.U =0

No circuito da figura 8 usando o sentido horrio, seguindo a corrente I e comeando no ponto d, tem-se:

+ U U1 U 2 = 0U = U1 + U 2

A tenso aplicada a um circuito em srie igual a soma das quedas de tenso nos elementos em srie.

A lei de Kirchhoff tambm pode ser baseada na seguinte frmula:

U elevaes = U quedas

A soma das elevaes de potencial em uma malha fechada tem de ser igual soma das quedas de potencial.

Se o circuito fosse estudado no sentido anti-horrio, comeando no ponto a, o resultado seria o seguinte:

U = 0 U + U 2 + U1 = 0 U = U1 + U 2

A aplicao da lei de Kirchhoff para tenses no precisa seguir um caminho que inclua elementos percorridos por corrente. Por exemplo, na figura 9 h uma diferena de potencial entre os pontos a e b, embora os dois pontos no estejam conectados por um elemento percorrido por corrente. A aplicao da lei de Kirchhoff para tenses em torno da malha fechada ir resultar em uma diferena de potencial de 4V entre os dois pontos. Usando o sentido horrio:

23

12 U x 8 = 0 U x = 4V

Fig. 9 - Demonstrao de que pode existir tenso entre dois pontos no-conectados por um condutor percorrido por corrente.

Exemplo 3: Determine as tenses desconhecidas nos circuitos abaixo: (a)

Soluo: A aplicao da lei de Kirchhoff para tenses no sentido horrio ir resultar em:

U 1 V1 V2 U 2 = 0 V1 = U 1 V2 U 2 = 16 4,2 9 = 2,8V

(b)

24

Soluo: Nesse caso, h duas formas possveis de calcular a tenso desconhecida.

1) Adotando o sentido horrio, incluindo a fonte de tenso U, tem-se: U U1 U x = 0 U x = U U 1 = 32 12 = 20 V

2) Usando o sentido horrio para a outra malha que envolve R2 e R3 , tem-se: U x U2 U3 = 0 U x = U 2 + U 3 = 6 + 14 = 20 V O que confirma o resultado anterior.

5. Intercambiando Elementos em Srie Os elementos de circuitos em srie podem ser intercambiados sem que a resistncia total, a corrente que atravessa o circuito e a potncia consumida pelos diferentes elementos sejam afetadas.

Fig. 10 - Circuitos CC em srie com os elementos a serem intercambiados.

Por exemplo, o circuito mostrado na figura 10 pode ser redesenhado, segundo ilustra a figura 11, sem que os valores de I e a tenso U no resistor de 7 sejam afetados. A resistncia total nos dois casos e I = (37,5/15) = 2,5A. A tenso U = R7 I = (7)(2,5) = 17,5V

RT de 15

nas duas configuraes.

25

Fig. 11 - Circuito da figura 10 com elementos intercambiados.

6. Regras do Divisor de Tenso Nos circuitos em srie a tenso entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma proporo que os valores de resistncia.

Por exemplo, as tenses entre os terminais dos elementos resistivos mostrados na figura 12 so dadas. O maior resistor, de 6 , captura a maior parte da tenso aplicada, enquanto o menor resistor, R3 , fica com a menor. Observa-se tambm que, como a resistncia de R1 6 vezes maior que a de R3 , a tenso entre os terminais de R1 tambm 6 vezes maior que entre os terminais de R3 . O fato de que a resistncia de R2 3 vezes maior que a de R1 resulta em uma tenso 3 vezes maior entre os terminais de R2 . Finalmente, como a resistncia de R1 o dobro da resistncia de R2 , a tenso entre os terminais de R1 o dobro da de R2 . Portanto, em geral, a tenso entre os terminais de resistores em srie est na mesma razo que suas resistncias.

Fig. 12 - Como a tenso se divide entre elementos resistivos em srie.

Se a resistncia de todos os resistores da figura 12 for aumentada na mesma proporo como mostrado na figura 13, os valores de tenso permanecero os mesmos. Em outras palavras, ainda que as resistncias sejam multiplicadas por um milho, as tenses continuaro as 26

mesmas. Assim, fica claro que a relao entre os valores dos resistores que conta para a diviso da tenso, e no o valor absoluto dos resistores. O valor de corrente no circuito ser profundamente afetado pela mudana nos valores das resistncias da figura 12 para a figura 13, mas os valores de tenso permanecero os mesmos.

Fig. 13 - A razo entre os valores das resistncias determina a diviso da tenso em um circuito CC em srie.

O mtodo denominado regra dos divisores de tenso, permite calcular s tenses sem determinar primeiro a corrente. A regra pode ser deduzida analisando o circuito mostrado na figura 14.

Fig. 14 - Deduo da regras dos divisores de tenso.

RT = R1 + R2

I=

U RT

27

Aplicando a lei de Ohm:

U U 1 = R1 I = R1 R T

R1 U = RT

U U 2 = R 2 I = R2 R T

R2 U = RT

Regra geral:

Ux =

Rx U RT

Onde U x a tenso entre os terminais de Rx , U a tenso aplicada aos elementos em srie e

RT a resistncia total do circuito em srie.

Exemplo 4: Determine a tenso U 1 para o circuito mostrado a seguir.

Soluo:

U1 =

R1U R1U (20)(64) 1280 = = = = 16V RT R1 + R2 20 + 60 80

28

Exemplo 5: Usando a regra dos divisores de tenso, determine as tenses U 1 , U 3 e U ' para o circuito em srie visto abaixo.

Soluo:

U1 =

R1 U (2k)(45V ) (2 10)(45) 90 = = = =6V RT 2k + 5k + 8k 15 10 15 R3 U (8k)(45V ) (8 10)(45) 360 = = = = 24V RT 15k 15 10 15

U3 =

U '=

( R1 + R2 ) U (2k + 5k)(45V ) (7 10)(45) 315 = = = = 21V RT 15k 15 10 15

7. Fonte de Tenso e Terra Exceto em alguns poucos casos especiais, os sistemas eltricos e eletrnicos so aterrados por razes de segurana e para fins de referncia. O smbolo que indica a conexo terra aparece na figura 15 com seu valor de potencial definido (zero volt).

Fig. 15 - Potencial do ponto de terra.

Se a figura 4(a) fosse redesenhada com a fonte aterrada, pode ter o aspecto mostrado na figura 16(a), 16(b) ou 16(c). Em qualquer caso, fica entendido que o terminal negativo da bateria e o terminal inferior do resistor R2 esto conectados ao potencial do ponto de terra. Embora a figura 16(c) no mostre nenhuma conexo entre os dois smbolos de terra, supe-se que tal 29

ligao exista para garantir o fluxo contnuo da carga. Se U = 12 V, ento o ponto a est a um potencial positivo de 12 V em relao ao potencial do ponto de terra (0 V) e existem 12 V entre os terminais da combinao em srie dos resistores R1 e R2 . Se, por exemplo, um voltmetro conectado entre o ponto b e a terra medir 4 V, ento a tenso entre os terminais de R2 igual a 4 V, com o potencial maior em b.

Fig. 16 - Trs formas de mostrar o mesmo circuito CC em srie.

O fato de a tenso ser uma grandeza que estabelecida entre dois pontos resulta em uma notao de duplo ndice inferior que define o primeiro ndice inferior como correspondente ao ponto de maior potencial. Na figura 17(a), os dois pontos que definem a tenso entre os terminais do resistor R so representados por a e b. Como a o primeiro ndice em U ab , o ponto de a deve estar a um potencial maior que o ponto b para que U ab tenha um valor positivo. Se, na verdade, o ponto b estiver a um potencial maior que o ponto a, U ab ter um valor negativo, conforme indicado na figura 17(b).

A notao de duplo ndice inferior U ab especifica o ponto a como o de maior potencial. Se este no for o caso, um sinal negativo deve ser associado no valor de U ab . A tenso U ab a tenso no ponto a em relao ao ponto b.

Fig. 17 - Definindo o sinal para a notao de duplo ndice inferior.

30

Se o ponto b da notao U ab for especificado como o potencial de terra (zero volt), ento uma notao de subscrito inferior nico poder ser usada para informar a tenso em um ponto em relao ao ponto de terra.

Na figura 18, U a a tenso entre o ponto a e o ponto de terra. Neste caso ele obviamente 10V, pois medida diretamente entre os terminais da fonte de tenso U. A tenso U b a tenso entre o ponto b e o ponto de terra. Como uma tenso obtida diretamente sobre o resistor de 4 , U b = 4 V .

Fig. 18 - Definindo o uso da notao de ndice nico para valores de tenso.

A notao de ndice inferior nico U a especifica a tenso no ponto a em relao ao ponto de terra (zero volt). Se a tenso menor que zero, um sinal negativo deve ser associado ao valor de U a . U ab = U a U b

Em outras palavras, se a tenso nos pontos a e b em relao ao ponto de terra for conhecida, a tenso U ab pode ser determinada usando a equao anterior. A partir da figura 18, por exemplo: U ab = U a U b = 10 4 = 6 V

31

Exemplo 6: Determine a tenso U ab .

Soluo: U ab = U a U b = 16 20 = 4 V

Observe que o sinal negativo indica o fato de que o ponto b est a um potencial mais elevado que o ponto a.

Exemplo 7: Determine a tenso U a .

Soluo: U ab = U a U b U a = U ab + U b = 5 + 4 = 9 V

Exemplo 8: Determine as tenses U b , U c e U ac .

Soluo: Comeando no potencial da terra (zero volt), subindo at 10V para chegar ao ponto a e em seguida passa-se por uma queda de potencial de 4V para chegar ao ponto b. O resultado que o medidor ler: U b = 10 4 = 6 V

Se continuar at o ponto c, haver uma queda adicional de 20V, o que dar: U c = U b 20 = 6 20 = 14 V 32

A tenso U ac pode ser obtida usando a equao abaixo. U ac = U a U c = 10 (14 ) = 24 V

8. Resistncia Interna das Fontes de Tenso Toda fonte de tenso, seja ela um gerador, uma bateria ou uma fonte de alimentao para experincias de laboratrio como a que mostrada na figura 19, possui uma resistncia interna. O circuito equivalente de qualquer fonte de tenso , portanto, parecido ao mostrado na figura 19(b).

Fig. 19 - (a) Fontes de tenso CC; (b) circuito equivalente.

A fonte de tenso ideal no possui resistncia interna e sua tenso de sada U volts com carga mxima ou sem carga. Nas fontes reais, figura 20(b)(c), nas quais consideram-se os efeitos devido a resistncia interna, a tenso de sada ser de U volts somente quando a fonte no estiver ligada a nenhuma carga ( I L = 0 ). Quando uma carga for conectada fonte, figura 20(c), a tenso de sada da fonte diminui devido queda de tenso na resistncia interna.

33

Fig. 20 - Fonte de tenso: (a) ideal Rint = 0; (b) determinao de V NL ; (c) determinao de Rint . Aplicando a lei de Kirchhoff para tenses ao circuito fechado da figura 20(c), tem-se: U Rint I L U L = 0 U L = U Rint I L

Se o valor de Rint no for conhecido, ele pode ser determinado da seguinte forma:

Rint =

U UL IL

Exemplo 9: Antes que a carga seja conectada, a tenso de sada da fonte mostrada na figura (a) est ajustada para 40 V. Quando uma carga de 500 conectada, com mostra a figura

(b), a tenso de sada cai para 36 V. O que aconteceu ao restante da tenso e qual a resistncia interna da fonte?

Soluo: A diferena de 40V 36V = 4V aparece entre os terminais da resistncia interna da fonte. A corrente na carga :IL = 36 = 0,072 A 500

Rint =

U U L 40 36 = = 55,55 IL 0,072

34

9. Regulao de Tenso Para qualquer fonte de tenso, o ideal que a tenso da sada se mantenha constante, independente do valor de corrente, dentro da faixa especificada para a corrente de carga ( I L ). Em outras palavras, se uma fonte for ajustada para 12 V, desejvel que ela mantenha essa tenso entre os terminais de sada, mesmo que a corrente de carga varia. Uma medida que indica o quanto uma fonte est prxima das condies ideais dada pela caracterstica de regulao de tenso da fonte. Por definio, a regulao de tenso de uma fonte entre as condies sem carga e em plena carga dada pela seguinte equao:

Re gulao de tenso (U R )% =

vazio c arg a c arg a

100 =

U U L x 100 UL

Em condies ideais U = U L e (UR)% = 0. Portanto, quanto menor a regulao de tenso, melhor, pois ser menor a variao da tenso de sada de uma fonte quando a carga varia.

Pode ser mostrado, por meio de uma breve substituio que a regulao tambm pode ser expressa na forma:

(U R ) % =

Rint 100 RL

Em outras palavras, quanto menor for a resistncia interna de uma fonte, menor ser sua regulao e mais ela se aproximar de uma fonte ideal.

Exemplo 10: Calcule a regulao de tenso de uma fonte com U = 24V e Rint = 0,1 ,alimentando uma carga RL = 5 .

Soluo:

35

(U R )% =

Rint 0,1 100 = 100 = 2% RL 5

Outra forma de resoluo:IL = U 24 = = 4,7059 A Rint + R L 0,1 + 5

U L = RL I L = (5) (4,7059) = 23,529V U U L 24 23,529 0,471 100 = 100 = 100 = 2% UL 23,529 23,529

(U R )% =

EXERCCIOS RESOLVIDOS1 Dado RT = 12k e I = 6mA, calcule R1 e U para o circuito abaixo.

Soluo:

RT = R1 + R2 + R3

12 = R1 + 4 + 6 R1 = 12 10 = 2kU = RT I = (12 10 3 )(6 10 3 ) = 72 V

36

2 Determine U 1 e U 2 .

Soluo: Para a malha 1, comeando no ponto a e escolhendo o sentido horrio, tem-se:

25 U 1 + 15 = 0 U 1 = 40V

Para a malha 2, comeando no ponto a e escolhendo o sentido horrio, tem-se: U 2 20 = 0 U 2 = 20 V

3 Usando a lei de Kirchhoff para tenses, determine as tenses desconhecidas para os circuitos mostrados. (a)

Soluo: Aplicando a lei de Kirchhoff para tenses no sentido horrio, tem-se: 60 40 U x + 30 = 0 U x = 60 40 + 30 = 50 V

37

(b)

Soluo: Aplicando a lei de Kirchhoff para tenses no sentido horrio, tem-se: 6 14 U x + 2 = 0 U x = 6 14 + 2 = 18V

Como o resultado foi negativo, sabe-se que a deve ser negativo e b positivo, mas o valor absoluto de 18 V est correto.

4 Determine: a) A resistncia RT . b) A corrente I. c) As tenses U 1 e U 2 . d) A potncia dissipada pelos resistores de 4 e6 . e6

e) A potncia total fornecida pela bateria e a compare dissipada pelos resistores de 4 combinados.

Soluo: a)

RT = R1 + R2 = 4 + 6 = 10

b)

I=

20 U = = 2A RT 10

38

c)

U 1 = R1 I = (4)(2) = 8V U 2 = R2 I = (6)(2) = 12V

d)

P4 =

U 12 (8) 64 = = = 16 W R1 4 4

P4 = R1 . I 2 = 4 . (2) 2 = 16W

P4 = U 1 . I = 8 2 = 16W

P6

2 U 2 (12) 144 = = = = 24 W R2 6 6

P6 = R2 I = (6)(2) = 24 W P6 = U 2 . I = 12 2 = 24W

e)

PT =

U 2 (20) 400 = = = 40 W RT 10 10

PT = RT I = (10)(2) = 40W PT = U I = (20)(2) = 40WPT = P4 + P6 = 16 W + 24W = 40W

5 Para o circuito determine: a) A tenso U 2 usando a lei de Kirchhoff para tenses. b) A corrente I. c) As resistncias R1 e R3 .

39

Soluo: a) A lei de Kirchhoff para tenses (escolhendo o sentido horrio): U + U 3 + U 2 + U1 = 0 U 2 = U U 3 U 1 = 54 15 18 = 21V

b)

I=

U 2 21 = = 3A R2 7

c)

R1 =

U 1 18 = = 6 I 3

R3 =

U 3 15 = = 5 I 3

6 Determine a tenso U ab .

Soluo: U ab = U a U b = 20 (15) = 35V

7 Determine U ab e U cb

40

Soluo: Existe uma queda de tenso de 54V entre os terminais dos resistores em srie R1 e R2 . A corrente pode ento ser determinada usando a lei de Ohm e os valores das tenses como segue:

I=

U ac U 2 U 1 35 (19) 54 = = = = 1,2 A RT R1 + R2 20 + 25 45

U ab = R2 I = (25)(1,2) = 30 V U a = U 2 = 35V U ab = U a U b U c = U 1 = 19 V U cb = U c U b = 19 5 = 24V U b = U a U ab = 35 30 = 5V

8 Usando a regra dos divisores de tenso, determine as tenses U 1 e U 2 .

Soluo: Redesenhando o circuito com o smbolo de bateria, tem-se o circuito abaixo.

41

Aplicando a regra dos divisores de tenso:

U1 =

R1 U (4 )(24) = = 16V R1 + R2 4+ 2

U2 =

R2 U (2 )(24) = = 8V R1 + R2 4+ 2

9 Calcule: (a) U ab (b) U b (c) U c

Soluo: (a)

U ab =

R1 U (2 )(10) = = 2V RT 2+ 3+ 5 ( R2 + R3 ) U (3 + 5 )(10) = = 8V RT 10

(b)

U b = U R2 + U R3 =

(c)

U C = potencial do ponto de terra = 0V

42

10 A bateria vista abaixo possui uma resistncia interna de 2

. Determine a tenso com

carga ( U L ) e a potncia dissipada pela resistncia interna se a carga for um resistor de 13 .

Soluo:

IL =

30 U 30 = = = 2A Rint + R L 2 + 13 15

U L = RL I L = (13)(2) = 26V2 PRint = Rint . I L = 2 (2 ) 2 = 8W

11 Calcule a regulao de tenso de uma fonte com U = 12V e Rint = 0,05 , alimentandouma carga com U L = 11,8V .

Soluo:

(U R )% =

U U L 12 11,8 0,2 100 = 100 = 100 = 1,6949 % UL 11,8 11,8

43

II.2 CIRCUITOS EM PARALELO

1. Elementos em Paralelo Dois elementos ou ramos ou circuitos esto conectados em paralelo quando possuem dois pontos em comum.

Na figura 1, por exemplo, os elementos 1 e 2 tm terminais a e b em comum; portanto, eles esto em paralelo.

Fig. 1 - Elementos em paralelo.

Na figura 2 todos os elementos esto em paralelo porque satisfazem o critrio anteriormente citado. Essas trs configuraes tm o objetivo de ilustrar como os circuitos em paralelo podem ser desenhados.

Fig. 2 - Diferentes aparncias para uma configurao com trs elementos em paralelo.

44

Na figura 3, os elementos 1 e 2 esto em paralelo porque tm os terminais a e b em comum, e esta combinao est em srie com o elemento 3.

Fig.3 - O elemento 1 est em paralelo com o elemento 2. O elemento 3 est em srie com a combinao em paralelo de 1 e 2.

Na figura 4, os elementos 1 e 2 esto em srie devido ao ponto comum a, e esta combinao em srie est em paralelo com o elemento 3, como evidenciam as conexes comuns aos pontos b e c.

Fig. 4 - O elemento 1 est em srie com o elemento 2. Esta associao de 1 com 2 est em paralelo com o elemento 3.

Nas figuras 1 a 4, os retngulos numerados foram usados como smbolos genricos representando um resistor, ou uma bateria, ou mesmo circuitos complexos.

45

2. Circuitos em Paralelo O circuito mostrado na figura 5 o mais simples dos circuitos em paralelo. Os terminais a e b so comuns a todos os elementos.

Fig. 5 - Circuito em Paralelo.

Como os terminais da bateria esto diretamente ligados aos terminais de R1 e R2 , bvio que as tenses obtidas entre os terminais destes elementos em paralelo so iguais.

Fazendo uso deste fato, tem-se:

U1 = U 2 = U

I1 =

V1 E = R1 R1

I2 =

U2 U = R 2 R2

Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida pela fonte ( I T ) igual soma das correntes em cada um dos ramos do circuito. Logo, a corrente fornecida pela fonte :

I T = I1 + I 2

U U U = + RT R1 R2

46

A potncia dissipada pelos resistores e a potncia fornecida pela fonte podem ser obtidas da seguinte maneira: U 12 P1 = U 1 . I 1 = R1 .I = R12 1

2 U2 P2 = U 2 . I 2 = R2 . I = R2 2 2

2 PT = U . I T = RT . I T =

U2 = P1 + P2 RT

3. Resistncia Equivalente

Fig. 6 - Determinao da resistncia total (ou equivalente) para resistncias em paralelo. I T = I 1 + I 2 + I 3 + ...I N

U U U1 U 2 U 3 = + + + ... + N RT R1 R2 R3 RNU = U 1 = U 2 = U 3 = ... = U N

1 1 1 1 1 = + + + ... + RT R1 R2 R3 RN

Para dois resistores diferentes em paralelo:

R + R2 1 1 1 = + = 1 RT R1 R2 R1 . R2

RT =

R1 . R2 R1 + R247

Para n resistores iguais a R em paralelo:RT = R n

A resistncia total de um conjunto de resistores em paralelo sempre menor que a do resistor de menor resistncia. Alm disso, quanto maior for a diferena entre os valores das resistncias de dois resistores em paralelo, mais o valor da resistncia equivalente ser prximo do valor da menor resistncia. Por exemplo, a resistncia total para um resistor de 3 em paralelo com um de 6 vale 2 . Entretanto, a resistncia total de um resistor de 3

em paralelo com um de 60

de 2,857 .

4. Condutncia Equivalente A condutncia o inverso da resistncia. A unidade de condutncia o siemens (S) ou mho (inverso de ohms).G= 1 R

No caso de elementos em paralelo, a condutncia total a soma das condutncias individuais. Ou seja, para o circuito em paralelo visto na figura 7, pode-se representar: GT = G1 + G2 + G3 + ... + G N

Fig. 7 - Determinao da condutncia total para circuito em paralelo.

Quanto maior a condutncia total, maior a intensidade da corrente total no circuito (mantendo constante a tenso aplicada). Quanto maior for o nmero de elementos em paralelo, maior ser a corrente de entrada do circuito. Em outras palavras, medida que aumenta o nmero de resistores em paralelo, a corrente na entrada do circuito tambm aumenta, para uma tenso de entrada constante. Este efeito oposto ao que acontece no caso dos resistores em srie.

48

Exemplo 1: Determine a condutncia e a resistncia equivalente no circuito abaixo.

Soluo:GT = G1 + G2 = 1 1 + = 0,333 + 0,167 = 0,5 S 3 6

RT =

1 1 = = 2 GT 0,5

Ou, RT =

R1 . R2 3 6 = = 2 R1 + R2 3 + 6

Ou,

1 1 1 1 1 2 +1 3 1 = + = + = = = 6 RT R1 R2 3 6 6 2 2 1

RT = 2

Exemplo 2: Determine a condutncia e a resistncia totais do circuito mostrado no exemplo anterior, se um resistor adicional de 10 Soluo: for colocado em paralelo com outros elementos.

GT = 0,5 +

1 = 0,5 + 0,1 = 0,6 S 10

RT =

1 1 = 1,667 GT 0,6

Observa-se que a adio de mais resistores em paralelo, aumenta-se a condutncia e diminuise a resistncia.

Exemplo 3: Determine a resistncia total para o circuito abaixo.

49

Soluo: 1 1 1 1 1 1 1 10 + 5 + 4 19 = + + = + + = = 4 5 RT R1 R2 R3 2 20 20 10 5 4

RT =

20 = 1,0526 19

Exemplo 4: Determine a resistncia equivalente de cada circuito. a)

Soluo: RT = R 12 = = 4 n 3

b)

Soluo: R1 = R2 = R3 = R4 = R

RT =

R 2 = = 0,5 n 4

50

Exemplo 5: Calcule a resistncia total do circuito.

Soluo: O circuito foi redesenhado de modo mais conveniente:

' RT =

R 6 = = 2 n 3

" RT =

R 2 . R4 9 72 648 = = = 8 R2 + R4 9 + 72 81

' " RT = RT || RT

RT =

' " RT . RT 2 8 16 = = = 1,6 ' " RT + RT 2 + 8 10

Exemplo 6: Determine a resistncia total para cada circuito: a)

Soluo: 30 || 30 RT = 30 = 15 2

51

b) Qual o efeito no valor da resistncia total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor de mesmo valor?

Soluo:30 || 30 || 30 RT = 30 = 10 3

O valor de RT diminui em relao ao circuito do item (a).

c) qual o efeito no valor da resistncia total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor de valor grande em paralelo, conforme mostra a figura abaixo?

Soluo: 30 || 30 || 1k = 15 || 1k RT = 15 1000 = 14,778 15 + 1000

Pequena diminuio no valor de RT , em comparao ao valor de RT do circuito do item (a).

d) Qual o efeito sobre a resistncia total do circuito do item (a) se acrescentarmos um resistor de valor pequeno em paralelo, conforme figura abaixo?

52

Soluo: 30 || 30 || 0,1 = 15 || 0,1 RT = 15 0,1 = 0,099338 15 + 0,1

Diminuio considervel no valor de RT , em comparao ao valor de RT do circuito do item (a).

Concluso: Em todos os casos, a resistncia total de um circuito em paralelo diminui quando adicionado um resistor em paralelo, no importando o valor de sua resistncia. Observa-se, tambm, que a resistncia total menor que a resistncia de menor valor do circuito.

Exemplo 7: Determine: (a) A resistncia equivalente. (b) A corrente total I T . (c) As correntes I 1 e I 2 . d) A potncia dissipada em cada resistor. e) A potncia fornecida pela fonte comparando o resultado com a potncia dissipada pelos resistores.

Soluo: a)

RT =

R1 . R2 9 18 162 = = = 6 R1 + R2 9 + 18 27

b)

IT =

27 U = = 4,5 A RT 6

c)

I1 =

U 1 U 27 = = = 3A R1 R1 953

I2 =

U2 U 27 = = = 1,5 A R2 R2 18

d)

P1 = U 1 . I 1 = U . I 1 = 27 3 = 81W P2 = U 2 . I 2 = U . I 2 = 27 1,5 = 40,5W PT = U . I T = 27 4,5 = 121,5W PT = P1 + P2 = 81 + 40,5 = 121,5W

e)

Exemplo 8: A resistncia equivalente do circuito igual a 4, determine: a) A resistncia R3 . b) A tenso da fonte U. c) A corrente total I T . d) A corrente I 2 . e) A potncia dissipada em R2.

Soluo: a)1 1 1 1 = + + RT R1 R2 R3

1 1 1 1 = + + 4 10 20 R3 1 1 1 1 5 2 1 2 = = = 10 20 R3 4 20 20 5 2 1

R3 =

20 = 10 2

54

b)

U = U 1 = R1 . I 1 = 10 4 = 40V

c)

IT =

U 40 = = 10 A RT 4

d)

I2 =

U2 U 40 = = = 2A R2 R2 20

e)

2 P2 = R2 . I 2 = 20 (2) 2 = 80 W

5. Lei de Kirchhoff para CorrenteA lei de Kirchhoff para a tenso d uma relao muito importante entre os valores da tenso ao longo de uma malha fechada de um circuito. A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) fornece uma relao igualmente importante entre as corrente que chegam a qualquer n.

A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) afirma que a soma algbrica das correntes que

entram e saem de um n igual a zero. Em outras palavras, a soma das corrente que entram em um n tem de ser igual soma das correntes que deixam este n. I entram = I saem

Em forma de equao, tem-se:

Fig. 8 - Ilustrao da lei de Kirchhoff para corrente.

Na figura 8, por exemplo, a rea sombreada pode representar um sistema completo, um circuito complicado ou simplesmente uma juno de dois ou mais ramos (um n). Em qualquer dos casos, a soma das correntes que entram igual soma das corrente que saem, conforme pode ser verificado facilmente:

55

I1 + I 4 = I 2 + I 3 4 + 8 = 2 + 10 12 A = 12 A A aplicao mais comum desta lei ser em junes de dois ou mais caminhos (ramos) para a corrente, conforme mostrado na figura 9.

Fig. 9 - Demonstrao da lei de Kirchhoff para corrente.

Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente ao n da figura 9:

I entram = I saem6= 2 + 46A = 6A

Exemplo 9: Determine as correntes I 3 e I 4 no circuito abaixo usando a lei de Kirchhoff para corrente.

Soluo: Deve-se trabalhar primeiro com o n a, pois neste caso a nica incgnita I 3 . Na juno b existem duas correntes desconhecidas, I3 e I5, determinadas a partir de uma nica aplicao da lei. que no podem obviamente serem

56

Em a: I entram = I saem I1 + I 2 = I 3 2 + 3 = I3 I3 = 5 A

Em b: I entram = I saem I3 + I5 = I 4

5 + 1= I 4 I4 = 6 A

Exemplo 10: Determine I 1 , I 3 , I 4 e I 5 para o circuito abaixo.

Soluo: Em a: I entram = I saem

I = I1 + I 2 5 = I1 + 4 I 1 = 5 4 = 1A I entram = I saem

Em b: I1 = I 3 = 1 A

Um resultado esperado, pois R1 e R3 esto em srie, sendo que a corrente em elementos em srie igual. I entram = I saem 57

Em d:

I3 + I 4 = I5 1+ 4 = I5 = 5 A

Em c:

I2 = I4 = 4 A

Considera-se o circuito como um todo. Observa-se que a corrente que entra I = 5 A. A intensidade da corrente que deixa o circuito, direita, I 5 = 5 A . Os dois valores tm de ser iguais, j que a corrente que entra em qualquer sistema tem de ser igual corrente que sai do sistema.

Exemplo 11: Determine as correntes I 3 e I 5 aplicando a lei de Kirchhoff para corrente.

Soluo: Visto que na juno b h duas quantidades desconhecidas e na juno a apenas uma, tem que se aplicar a lei de Kirchhoff para corrente primeiro ao n a. O resultado pode ento ser aplicado ao n b:

Para o n a: I1 + I 2 = I 3 4 + 3 = I3 I3 = 7 A

Para o n b: I3 = I 4 + I5 7 = 1 + I5 I5 = 7 1 = 6 A

58

Exemplo 12: Encontre o valor e o sentido das correntes I 3 , I 4 , I 6 e I 7 no circuito mostrado.

Soluo: Embora os elementos no estejam em srie nem em paralelo, pode-se aplicar a lei de Kirchhoff para corrente para determinar todas as correntes desconhecidas.

Considerando o sistema em sua totalidade, sabe-se que a corrente que entra deve ser igual corrente que sai. Portanto: I 7 = I 1 = 10 A

Como esto chegando 10A juno a e 12A esto deixando esta mesma juno, I 3 tem de estar fornecendo corrente a este n.

Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente na juno a: I1 + I 3 = I 2 10 + I 3 = 12 I 3 = 12 10 = 2 A

No caso do n b, como 12A esto entrando e 8A saindo, logo I 4 , tambm, deve sair deste ponto. Portanto: I2 = I4 + I5 12 = I 4 + 8

I 4 = 12 8 = 4 ANa juno c, tem-se I 3 = 2 A saindo e I 4 = 4A entrando; logo I 6 deve estar saindo. Aplicando a lei de Kirchhoff para a corrente ao n c: I4 = I3 + I6 4 = 2 + I6 I6 = 4 2 = 2A

59

Verifica-se a consistncia dos resultados na juno d: I5 + I6 = I7 8 + 2 = 10 A 10 A = 10 A

6. Regra do Divisor de Corrente Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente mostra que uma corrente que entra em um conjunto de elementos em paralelos se dividir entre esses elementos.

No caso de dois elementos em paralelo com resistncias iguais, a corrente se dividir igualmente.

Se os elementos em paralelo tiverem resistncias diferentes, o elemento de menor resistncia ser percorrido pela maior frao da corrente.

A razo entre os valores das correntes nos dois ramos ser inversamente proporcional a razo entre as suas resistncias.

Por exemplo, se a resistncia de um dos resistores de uma combinao em paralelo for o dobro da resistncia do outro, ento a corrente que o atravessa ser a metade da corrente que percorre o resistor de menor resistncia.

Na figura 10, como I 1 vale 1 mA e o valor de R1 seis vezes o de R3 , a corrente atravs de R3 tem de ser 6mA (no havendo necessidade de se efetuar quaisquer outros clculos). No caso de R2 a corrente tem de ser 2mA, pois R1 o dobro de R2 . A corrente total, I 1 + I 2 + I 3 , de 9mA. Portanto, conhecendo somente a corrente que percorre R1 , possvel calcular todas as outras correntes no circuito, sem ter conhecimento adicional sobre o circuito.

No caso de circuitos para os quais so conhecidos somente os valores dos resistores e a corrente de entrada, deve-se utilizar a regra do divisor de corrente para calcular as correntes nos vrios ramos.

60

Fig. 10 - Ilustrao da forma como a corrente se divide entre resistncias diferentes.

Fig. 11 - Deduo da regra do divisor de corrente.

A corrente de entrada (I ) dada por U / RT , em que RT a resistncia total do circuito.Substituindo esta expresso para U = R x I x , em que I x a corrente que atravessa o ramo de resistncia R x , a frmula geral para a regra do divisor de corrente obtida da seguinte forma:

I=

R I U = x x RT RT

Ix =

RT I Rx

Descrevendo em palavras, a corrente que percorre qualquer dos ramos em paralelo igual ao produto da resistncia total do circuito pela corrente de entrada, dividido pelo valor da resistncia no ramo em que se deseja determinar a corrente.

Para a corrente I 1 :

I1 =

RT I R161

Para a corrente I 2 :

I2 =

RT I R2

E assim por diante.

No caso particular de dois resistores em paralelo como mostra a figura 12:

Fig. 12 - Deduo de uma frmula para a diviso da corrente entre dois resistores em paralelo.

RT =

R1 R2 R1 + R2

R1 R2 I R1 + R2 RT I1 = I= R1 R1

I1 =

R2 I R1 + R2

Analogamente para I 2 :

I2 =

R1 I R1 + R2

Ou seja, no caso de dois ramos em paralelo, a corrente atravs de um deles igual ao produto da resistncia no outro ramo pela corrente de entrada, dividido pela soma dos valores das duas resistncias em paralelo.

62

Exemplo 13: Determine a corrente I 2 usando a regra do divisor de corrente.

Soluo:

I2 =

R1 I T (4000) (6) 6 (4000)(6) = = = = 2A R1 + R2 4000 + 8000 12000 3

Exemplo 14: Determine o valor da corrente I 1 usando a regra do divisor de corrente.

Soluo: Existem dois mtodos para resolver este problema.

1 Mtodo: 1 1 1 1 8 + 2 + 1 11 = + + = = 24 48 RT 6 48 48 2 8 1RT = 48 = 4,363 6 11

Logo: I 1 =

RT 4,3636 I= (42 mA) = 30,545 mA R1 6

2 Mtodo: 24 || 48 24 48 = 16 24 + 48 I1 = 16 (42 mA) = 30,545 mA 16 + 6

Os dois mtodos forneceram, claro, a mesma resposta. E tem-se agora uma opo para resolver problemas que envolvam mais de dois resistores em paralelo.

63

A corrente sempre procura o caminho de menor resistncia. 1) Para dois resistores em paralelo a maior corrente passar atravs do resistor de menor resistncia. 2) Uma corrente que entra em uma configurao de vrios resistores em paralelo se divide entre estes resistores na razo inversa dos valores de suas resistncias. Esse efeito ilustrado a seguir.

Fig. 13 - Diviso da corrente entre ramos em paralelo.

64

EXERCCIOS RESOLVIDOS 1 Determine o valor de R2 de modo que a resistncia total do circuito seja igual a 9k .

Soluo:

RT =

R1 . R2 R1 + R2

RT ( R1 + R2 ) = R1 R2 RT R1 + RT R2 = R1 R2 RT R1 = R1 R2 RT R2 RT R1 = ( R1 RT ) R2 RT R1 9 12 108 = = = 36k R1 RT 12 9 3

R2 =

2 Determine os valores de R1 , R2 e R3 , sabendo que R2 = 2 R1 , R3 = 2 R2 e que a resistncia total 16k .

Soluo:1 1 1 1 = + + RT R1 R2 R3 Como: R3 = 2 R2 = 2(2 R1 ) = 4 R1

65

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 + 2 +1 7 1,75 = + + = = + + = R 4 R 16000 = 4 R = 4 R = R 16000 R1 2 R1 4 R1 16000 R1 2 1 1 1 1 1

R1 = 1,75 16000 = 28000 = 28k R2 = 2 R1 = 2 28000 = 56000 = 56kR3 = 2 R2 = 2 56000 = 102000 = 102k

3 Encontre o valor e o sentido da corrente I 1 no circuito mostrado.

Soluo:

I I

entram

= 10 + 4 + 8 = 22mA

saem

= 5 + 4 + 2 + 6 = 17mA

A comparao da corrente total de entrada com a mesma quantidade na sada mostra claramente que I 1 a corrente de intensidade 22mA 17mA = 5mA e que a esta corrente est deixando o sistema.

4 Determine o valor das correntes I 1 , I 2 e I 3 , usando a regra do divisor de corrente:

Soluo:

I1 =

R2 I (4)(12 A) = =8A R1 + R2 2 + 466

Aplicando a lei de Kirchhoff para corrente:

I = I1 + I 2 I 2 = I I 1 = 12 A 8 A = 4 A

Usando novamente a regra do divisor de corrente:

I2 =

R1 I (2)(12 A) = = 4A R1 + R2 2 + 4

A corrente total que entra na configurao em paralelo tem de ser igual aquela que abandona esta mesma configurao. Portanto: I 3 = I = 12 A I 3 = I 1 + I 2 = 8 + 4 = 12 A

5 Determine o valor de R1 de modo a efetuar a diviso de corrente.

Soluo: Aplicando a regra do divisor de corrente:

I1 =

R2 I R1 + R2

( R1 + R2 ) I1 = R2 I R1 I1 + R2 I1 = R2 I R1 I1 = R2 I R2 I1 R2 ( I I 1 ) 7 (27 mA 21 mA) 6 42 = = 7 = = 2 I1 21 mA 21 21

R1 =

67

Uma soluo alternativa seria:

I 2 = I I 1 = 21 mA 21 mA = 6 mA U 2 = R2 I 2 = (7)(6 mA) = 42 mV U 1 = R1 I 1 = V2 = 42 mVR1 = U 1 42 mV = = 2 I1 21 mA

68

II.3 CIRCUITOS EM SRIE-PARALELO Circuitos em srie-paralelo, tambm chamados mistos, so os que contm componentes ligados em srie e em paralelo.

Exemplo 1: Determine: (a) A resistncia equivalente. (b) A corrente I. (c) A corrente I1.. (d) A tenso U3.

Soluo: (a)

RT =

R1 . R2 12 6 + R3 = + 12 = 16 R1 + R2 12 + 6

(b)

I=

U 64 = = 4A RT 16

(c)

I1 =

R2 . I 6 4 = = 1,3333 A R1 + R2 12 + 6

(d)

V3 = R3 . I T = 12 4 = 48V

69

Exemplo 2: Determine: (a) A resistncia equivalente. (b) A corrente total I T . (c) A corrente I 1 . (d) A tenso U3. (e) A potncia consumida em R2.

Soluo: (a)

RT =

R1 . R2 12 4 + R3 + R4 = + 5 + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 R1 + R2 12 + 4

(b)

IT =

U 120 = = 12 A RT 10

(c)

I1 =

R2 . I T 4 12 = = 3A R1 + R2 12 + 4

(d)

U 3 = R3 . I T = 5 12 = 60V

(e)

I2 =

R1 . I T 12 12 = = 9A R1 + R2 12 + 4

2 PR2 = R2 . I 2 = 4 (9) 2 = 324W

70

EXERCCIOS RESOLVIDOS 1 Determine: (a) A resistncia equivalente. (b) A corrente I T , I 1 e I 2 . (c) A tenso Ua.

Soluo: (a)1 1 1 1 1 1 1 6+4+5 = + + = + + = Rt R1 R2 R3 + R4 10 15 10 + 2 60RT = 60 = 4 15

(b)

IT =

U 36 = = 9A RT 4 R1 . R2 10 15 = = 6 R1 + R2 10 + 15

R1 // R2

I1 =

U 36 = = 6A R1 . R2 6 R1 + R2

I2 =

U 36 = = 3A R3 + R4 10 + 2

(c)

U a = R4 . I 2 = 2 3 = 6 V

Usando a lei de Kirchhoff para comprovar o clculo da corrente total.

I T = I1 + I 2 = 6 + 3 = 9 A

71

2 Determine: (a) A resistncia equivalente. (b) A corrente I T . (c) As tenses U 1 , U 3 e U ab .

Soluo: Redesenhando o circuito:

(a)

RT =

( R1 + R2 ) . ( R3 + R4 ) (5 + 3) (6 + 2) 8 8 64 = = = = 4 ( R1 + R2 ) + ( R3 + R4 ) (5 + 3) + (6 + 2) 8 + 8 16

(b)

IT =

E 12 = = 3A RT 4

(c)

U1 =

R1 . E 5 12 = = 7,5V R1 + R2 5+3

U3 =

R3 . E 6 12 = = 9V R3 + R4 6 + 2

U ab + U 1 = U 3 U ab = U 3 U 1 = 9 7,5 = 1,5V

72

II.4 CURTO-CIRCUITO Provoca-se um curto-circuito entre dois pontos de um circuito quando esses pontos so ligados por um condutor de resistncia desprezvel.

O exemplo 1 apresenta resistores em curto-circuito nos itens (a) e (b). Porm, no h curtocircuito no item (c), pois nesse caso os trs resistores esto em paralelo.

Exemplo 1 Em cada item, determine a resistncia equivalente entre os pontos A e B. (a)

RAB = 22

(b)

RAB = 11

(c)

RAB = (11/3)

73

Exemplo 2 Em cada item, determine a resistncia equivalente entre os pontos A e B. (a)

RAB = 10

(b)

RAB = 32

(c)

RAB = 2 74

(d)

RAB = 2

(e)

RAB = 1

(f)

RAB = 8 75

(g)

RAB = 2,5

(h)

RAB = 2

(i)

RAB = 5

76

II.5 AS LEIS DE KIRCHHOFF Considere um circuito eltrico constitudo de trs fontes de tenso (E1, r1), (E2, r2) e (E3, r3) e de resistores eltricos R1, R2 e R3, conforme o exemplo abaixo.

Chama-se n o ponto no qual a corrente eltrica se divide.

Os trechos de circuitos entre dois ns consecutivos so denominados ramos.

Qualquer conjunto de ramos formando um percurso fechado recebe o nome de malha.

No circuito eltrico apresentado acima, como exemplo, so: Ns B e E. Ramos: BAFE, BE e BCDE. Malhas: ABEFA, BCDEB e ABCDEFA.

A cada ramo do circuito eltrico atribui-se um sentido de corrente. Esse sentido, embora arbitrrio, deve ser coerente com o elemento de circuito do ramo. Sendo uma fonte de tenso, a corrente eltrica entra pelo terminal negativo e sai pelo terminal positivo. Sendo um resistor, a corrente entra pelo terminal positivo e sai pelo negativo.

A primeira lei de Kirchhoff ou lei dos ns estabelece que em um n, a soma das intensidades de corrente que chegam igual a soma das intensidades de corrente que saem.

I

chegam

= I saem

77

A lei dos ns aplicada no n B fornece: i1 + i2 = i3 (1)

Essa lei aplicada ao n E leva mesma equao anterior.

Conhecendo os valores de tenso das fontes e dos resistores, h trs incgnitas ( i1 , i2 , i3 ), logo, so necessrias trs equaes. Como j existe uma, i1 + i2 = i3 , ficam faltando duas equaes. Para solucionar, escolhem-se duas das trs malhas existentes e adota-se um sentido, que nesse caso ser aplicado o horrio ().

Malha ABEFA:

E1 r1 . i1 R1 . i1 r2 . i2 E 2 R2 . i1 = 0 (r1 + R1 + R2 ) . i1 + r2 . i 2 = E1 E 2

(2)

Malha BCDEB: E 2 r2 . i2 R3 . i3 E3 r3 . i3 = 0 r2 . i2 + ( R3 + r3 ) . i3 = E 2 E3 i1 + i2 = i3 r2 . i2 + ( R3 + r3 ) . (i1 + i 2 ) = E 2 E3 r2 . i2 + R3 . i1 + r3 . i1 + R3 . i 2 + r3 . i 2 = E 2 E3 ( R3 + r3 ) . i1 + (r2 + r3 + R3 ) . i 2 = E 2 E3 (3)

Dessa forma, obtido o sistema de duas equaes com duas incgnitas:

(r1 + R1 + R2 ) . i1 + r2 . i 2 = E1 E 2( R3 + r3 ) . i1 + (r2 + r3 + R3 ) . i 2 = E 2 E3

78

Exemplo 1: Determine as intensidades e os sentidos das correntes em todos os ramos.

Soluo: Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes i1 , i2 , i3 : A corrente i1 no sentido horrio na malha da esquerda; A corrente i2 no ramo central no sentido para cima; A corrente i3 no sentido horrio na malha da direita. i1 + i2 = i3

(1)

10 2 i1 + 3 i2 13 = 0 2 i1 + 3 i2 = 13 10 2 i1 + 3 i2 = 313 3 i2 + 14 4 i3 3,5 i3 = 0 3 i 2 + 5 i3 = 14 + 13 3,5 3 i 2 + 5 i3 = 23,5 (2)

3 i 2 + 5 (i1 + i2 ) = 23,5 3 i 2 + 5 i1 + 5 i2 = 23,5 5 i1 + 8 i 2 = 23,5 2 i1 + 3 i2 = 3 5 i1 + 8 i 2 = 23,5 (10) (4)(3)

79

20 i1 + 30 i2 = 30 ( +) 20 i1 + 32 i2 = 94 62 i2 = 124

i2 =

124 = 2A 62

Uma equao deve ser escolhida, para encontrar a corrente i1 .

2 i1 + 3 i2 = 3 2 i1 + 3 (2) = 3 2 i1 = 3 6 2 i1 = 3 i1 = 1,5 Ai3 = i1 + i2 i3 = 1,5 + 2 = 3,5 A

Exemplo 2: Determine as intensidades das correntes i1 , i2 , i3 .

Soluo:

i1 = i2 + i3

(1)

10 + 2 i2 + 8 i 2 + 20 i1 40 = 0 20 i1 + 10 i 2 = 50 10 i1 + 5 i2 = 25 (2)(2)

80

40 20 i1 4 i3 i3 + 5 = 0 20 i1 + 5 i3 = 45

20 i1 + 5 (i1 i 2 ) = 45 20 i1 + 5 i1 5 i 2 = 45 25 i1 5 i2 = 45 10 i1 + 5 i2 = 25 (+) 25 i1 5 i2 = 45 35 i1 = 70(3)

i1 =

70 = 2A 35

10 i1 + 5 i2 = 25 10 (2) + 5 i 2 = 25 5 i2 = 25 20 5 i2 = 5i2 = 5 = 1A 5

i1 = i2 + i3 i3 = i1 i 2 = 2 1 i3 = 1 A

81

Exemplo 3: Determine as intensidades das correntes I 1 , I 2 e I 3 .

I1 + I 2 = I 3

(I)

75 4 I 1 + 5I 2 65 = 0 4 I 1 + 5 I 2 = 75 + 65 4 I 1 + 5I 2 = 10 4 I 1 5I 2 = 1065 5 I 2 + 3 5 I 3 16 I 3 = 0 5 I 2 6 I 3 = 65 3 + 16 5 I 2 6 I 3 = 52 5 I 2 + 6 I 3 = 52 (II)

5I 2 + 6(I 1 + I 2 ) = 52 5I 2 + 6 I 1 + 6 I 2 = 52 6 I 1 + 11I 2 = 52 6 I 1 + 11I 2 = 52 4 I 1 5I 2 = 10 (4) (6) 24 I 1 + 44 I 2 = 208 ( ) 24 I 1 30 I 2 = 60 74 I 2 = 148 4 I 1 5I 2 = 10 4 I 1 5 (2) = 10 4 I 1 = 10 + 10 = 20I 3 = I1 + I 2 = 5 + 2 = 7 A I1 = 20 = 5A 4 I2 = 148 = 2A 74

(III)

82

Exemplo 4: Determine as intensidades das correntes I 1 , I 2 e I 3 .

I1 + I 2 = I 3

(I)

36 3I 1 + 8I 2 40 I 1 = 0 4 I1 + 8I 2 = 4 I1 + 2I 2 = 140 8 I 2 5 I 3 + 51 10 I 3 = 0 40 8 I 2 15 I 3 + 51 = 0 8 I 2 + 15 I 3 = 91

4(II)

8 I 2 + 15 ( I 1 + I 2 ) = 91 8 I 2 + 15I 1 + 15I 2 = 91 15I 1 + 23I 2 = 91 15I 1 + 23I 2 = 91(+) I 1 + 2 I 2 = 1 (III)

15I 1 + 23I 2 = 91 15(+)

15I 1 + 30 I 2 = 15 53I 2 = 106

I2 =

106 = 2A 53

I 1 = 3 A I1 = 3 A

I1 + 2I 2 = 1 I 1 + 2 (2) = 1 I1 = 1 4

I 3 = I1 + I 2 I3 = 3 + 2 = 5A

83

Exemplo 5: Determine as intensidades das correntes I 1 , I 2 e I 3 .

I1 + I 2 = I 3

180 15I 1 + 5I 2 130 5 I 1 = 0 20 I 1 + 5I 2 + 50 = 0 20 I 1 5I 2 = 50130 5 I 2 12 I 3 + 100 8 I 3 = 0 230 5 I 2 20 I 3 = 0 5 I 2 + 20 I 3 = 230 (I)

5I 2 + 20 ( I 1 + I 2 ) = 230 5I 2 + 20 I 1 + 20 I 2 = 230 20 I 1 + 25I 2 = 230 4 I 1 + 5I 2 = 46 20 I 1 5I 2 = 50(+) 4 I 1 + 5I 2 = 46

()5(II)

24 I 1 = 96

I1 =

96 = 4A 24

5I 2 = 30I2 = 30 = 6A 5

4 I 1 + 5I 2 = 46 4 (4) + 5I 2 = 46 5I 2 = 46 16I 3 = I1 + I 2 I 3 = 4 + 6 = 10 A

84

Exemplo 6: A intensidade de corrente i1 vale 0,2A. Determine i2 , i3 e R3 .

Soluo: i3 = 0,2 + i 2 3 5 i1 R3 i3 = 0 3 (5) (0,2) R3 (0,2 + i2 ) = 0 3 1 0,2 R3 R3 . i 2 = 0 0,2 R3 + R3 . i 2 = 2 R3 . i3 + 5 i2 5 = 0 R3 (0,2 + i 2 ) + 5 i 2 5 = 0 0,2 R3 + R3 . i 2 + 5 i2 = 5 0,2 R3 + R3 . i 2 + 5 i2 = 5 () 0,2 R3 + R3 . i2 =2i2 = 3 = 0,6 A 5

(1)

(2)

(3)

5 i2 = 3

i3 = 0,2 + i 2 = 0,2 + 0,6 = 0,8 A 0,2 R3 + R3 . i 2 = 2 0,2 R3 + R3 (0,6) = 2 0,8 R3 = 2

R3 =

2 = 2,5 0,8

85

Exemplo 7: Determine a diferena de potencial U A U B .

Soluo: Adotam-se os seguintes sentidos para as correntes i1 , i2 , i3 : A corrente i1 no sentido horrio na malha da esquerda; A corrente i2 no ramo central no sentido para baixo; A corrente i3 no sentido anti-horrio na malha da direita.

i2 = i1 + i3

(1)

10 i1 + 20 15 i 2 = 0 10 i1 + 15 i2 = 2015 i2 12 + 10 i3 = 0 (2)

15 i2 12 + 10 (i2 i1 ) = 0 15 i2 12 + 10 i 2 10 i1 = 0 10 i1 + 25 i2 = 12(3)

86

10 i1 + 15 i2 = 20 10 i1 + 25 i2 = 12 40 i 2 = 32

i2 =

32 = 0,8 A 40

10 i1 + 15 i2 = 20 10 i1 + 15 (0,8) = 20 10 i1 = 20 15 (0,8) = 20 12 = 8

i1 =

8 = 0,8 A 10

i2 = i1 + i3 i3 = i 2 i1 = 0,8 0,8 = 0 A

U A U B = 15 i2 = 15 0,8 = 12V

87