03 Flambagem de Colunas

9/28/2008

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RESISTÊNCIA DOSMATERIAIS I

CAPÍTULO

3Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

3FLAMBAGEM DE

John T. DeWolf

TraduçãoProf. Emerson Morais

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

COLUNAS

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Beer • Johnston • DeWolf • Tradução Prof. Emerson Morais

Conteúdo Programático do Capítulo 31. Estabilidade de estruturas2. Fórmula de Euler para colunas biarticuladas3. Extensão da fórmula de Euler para colunas com outras condições de extremidade4 Projeto de colunas submetidas a uma força centrada

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4. Projeto de colunas submetidas a uma força centrada


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Estabilidade de Estruturas

• Em projetos de pilar (coluna), a seção transversal éescolhida, tal que:

- Tensões não excedem a tensão admissível:P

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allAP σσ ≤=

- A deformação é abaixo da especificada:

specAEPL δδ ≤=

• Após estes cálculos de projeto, pode-se descobrir


que o pilar é instável sob carregamento e que ele setorna subitamente bastante encurvado.


Estabilidade de Estruturas• Considerar um modelo com duas barras rígidas AC e

BC, ligadas em C por um pino e uma mola de torçãode constante K. Depois de uma pequena perturbação:

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P(L/2) iP' e P força da conjugado

θΔ )2(KMmola pela exercido Mconjugado

θΔ

( )

moment ingdestabiliz2

sin2

moment restoring 2

=Δ=Δ

=Δ

θθ

θ

LPLP

K

vertical da barra a afastar tende que,P(L/2)sin θΔ

barra a devolver a tende que )2(K M θΔ=

• Se a intensidade do segundo conjugado é a maior, osistema é estável, caso contrário é consideradoinstável.


22• A coluna é estável (tende a retornar à

orientação do alinhamento) se:

( )

LKPP

KLP

cr4

22

=<

Δ<Δ θθ

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Estabilidade de Estruturas

• Assumir que a carga P é aplicada. Depois daperturbação, o sistema atinge uma novaconfiguração de equilíbrio a um ângulo dedeflexão finito.

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• Deve-se notar que para qualquer valor positivod θ θ θ A fi ã id

θθ

θθ

sinK4PL

)2(KP(L/2)sin

=

=


de θ, temos sinθ < θ. A configuração assumidaé somente possível se P > Pcr.


Fórmula de Euler para Colunas com Extremidades Articuladas

• Considerar uma viga carregada axialmente.Sendo y a deflexão, após uma pequenaperturbação, o sistema atinge uma configuração

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de equilíbrio tal que:

02

2

2

2

=+

−==

yEIP

dxyd

yEIP

EIM

dxyd

• A solução com a configuração assumidasomente pode ser obtida se:


somente pode ser obtida se:

( )( )2

2

2

22

2

2

rLE

ALArE

AP

LEIPP

cr

cr

ππσσ

π

==>=

=>

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EIPP cr 2

2=>π

• O valor da tensão correspondente para ocarga,

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Fórmula de Euler para Colunas com Extremidades Articuladas

( )

( )tresscritical s

LE

ALArE

AP

AP

L

cr

crcr

cr

2

2

2

22

2

==

=

=>=

π

πσ

σσ


( )

s ratioslendernesrL

rL

2

=

• A análise anterior é limitada acarregamento cêntricos.r giração de raio do

mínimo valor o usar se-deveesbeltez de índice :r/L


Extensão da Fórmula de Euler

• Uma coluna com uma extremidade livre e aoutra engastada, se comportará como a partesuperior de uma coluna de extremidadesarticuladas.

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• O carregamento crítico é calculado a partir daFórmula de Euler’,

( )22

2

2

=

=

LE

LEIP

cr

ecr

πσ

π


( )length equivalent 2

2

== LL

rL

e

e

esbeltez de efetivo índice :r/Le

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Extensão da Fórmula de Euler9



Exemplo 1Uma coluna de alumínio de comprimento L e seçãotransversal retangular tem extremidade engastadaem B e suporta um carregamento cêntrico em A.Duas placas lisas e de cantos arredondados impedem

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a extremidade A de se mover em um dos planosverticais de simetria, mas não impedem movimentosna direção do outro plano.

a) Determinar a relação a/b entre os lados da seçãotransversal que corresponde à solução deprojeto mais eficiente contra a flambagem(buckling).


( g)

b) Dimensionar a seção transversal mais eficientepara a coluna.

5,2CSkN20PGPa70E

mm500L

====

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Exemplo1SOLUÇÃO:

O dimensionamento mais eficiente ocorre quando aresistência à flambagem é igual em ambos osplanos de simetria. Isto ocorre quando os índices

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• Flambagem no plano xy:

127.0

1212

,

23121

2

aL

rL

araabba

AIr

z

ze

zz

z

=

====

• Dimensionamento mais eficiente:,, LL yeze

efetivos de esbeltez são iguais,


• Flambagem no plano xz:

12/2

1212

,

23121

2

bL

rL

brbabab

AI

r

y

ye

yy

y

=

====

27.0

12/2

127.0

,

=

=

=

ba

bL

aL

rr y

y

z

35.0=ba


Exemplo 1• Projeto:

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b)b350(AkN50)kN20)(5,2(PCSPcritico

⋅===⋅=

)b/464,3()Pa1070(

b35,0N1050

))12/b/()105002(()Pa1070(

)r/L(E

b35,0N1050

AP

b)b35,0(A

2

92

2

3

23

92

2e

2

critico

2

3critico

critico

×=

×

××

×==

×==

=

−

π

ππσ

σ


35,0b/a5,2CS

kN20PGPa70E

mm500L

==

===

mm9,13b35,0amm7,39b==

=

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