Função Quadrática – Parte III

Ângelo Moreira dos Reis

Função Quadrática

Gráfico da Função QuadráticaGráfico da Função Quadrática Toda Função Quadrática, do tipo descreve, geometricamente, uma parábola.

cbxaxxf 2)(

O gráfico de uma função quadrática é composto por três partes fundamentais:

01) Zeros da função: é ou são os pontos onde o gráfico corta o eixo das abscissas (eixo x).

02) Vértice: ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.

03) Termo independente: ponto que o gráfico corta o eixo das ordenadas (eixo y). Obs: x = 0

Vamos construir o gráfico da função y = x2 – 2x – 3 calculando os pontos citados anteriormente:

01) Zeros da função:

y = y = 00xx22 – 2x – 3 = 0 – 2x – 3 = 0

x = 3 x = 3 x = – x = – 1 1

-1 2 3

1

2

3

4

5

-2 410

-1

-2

-3

x

y

-4(-1 , 0) (3, 0)(-1 , 0) (3, 0)

Função Quadrática

-1 2 3

1

2

3

4

5

-2 410

-1

-2

-3

x

y

-4

02) Vértice da função: y = x2 – 2x – 3

a2

bxv

a4yv

12

2xv

2

2xv

1xv

14

16yv

4

16yv

4yv

)4,1(V V

Função Quadrática

Função Quadrática

-1 2 3

1

2

3

4

5

-2 410

-1

-2

-3

x

y

-4 V

03) Termo Independente: y = x2 – 2x – 3

x = 0

y = x2 – 2x – 3

y = (0)2 – 2(0) – 3 y = 0 – 0 – 3

y = – 3 (0, – 3)

-1 2 3

1

2

3

4

5

-2 410

-1

-2

-3

x

y

-4 V

Observações:I: Perceba que o gráfico possui uma eixo de simetria vertical, que passa exatamente pelo vértice.

II: Pelo eixo de simetria percebemos que o xv é o ponto médio entre os zeros da função, podendo ser calculado pela média aritmética dos zeros!

2

31xv

1xv

Função Quadrática

Vamos construir o gráfico da função

-1 2 3

1

2

3

4

5

-2 410

-1

x

y

9

8

7

6

01) Zeros da função:

y = – x2 + 2x + 8

– x2 + 2x + 8 = 0

x = – 2

x = 4 02) Vértice:

a2

bxv

)1(2

2xv

1xv

a4yv

)1(4

36yv

9yv

03) Termo independente:y = – x2 + 2x + 8 (0, ) + 8

y = –x2 + 2x + 8:

x=0

Função Quadrática

(-2,0)

(4,0)

Observações:I: Na função y = ax2 + bx +c, a concavidade da parábola depende do valor de a:

a > 0 a < 0

II: A coordenada y do vértice pode ser chamado de valor da função, podendo ser mínimo ou máximo:

a > 0 a < 0

mínimo

máximo

Função Quadrática

Função Quadrática

diferentesreais

raízesduas0realraiz

existenão0iguaisreais

raízesduas0

x

0a

0ax

x

x

x

x

III:III: Nem sempre o gráfico corta o eixo x em dois pontos, tendo em vista Nem sempre o gráfico corta o eixo x em dois pontos, tendo em vista que nem todas as funções quadráticas possuem duas raízes reais que nem todas as funções quadráticas possuem duas raízes reais diferentes: diferentes:

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Ângelo Moreira dos Reis