03_Sistemas_Lineares (1).pdf

Sistemas Lineares

Prof. Wellington Passos de [email protected]

Programag

1. Introdução2 Mé d Di2. Métodos Diretos

a) Eliminação de Gaussb) Decomposição LUb) Decomposição LU

3. Métodos Iterativosa) Gauss-Jacobia) Gauss-Jacobib) Gauss-Siedel

Sistemas Lineares

Introduçãoç


Introduçãoç

A resolução de sistemas lineares é um problema que i di ásurge nas mais diversas áreas

Ex: Cálculos de estruturas, Redes de transporte, Redes de comunicação, etc

Introduçãoç

Exemplo: Calcular tensões dos nós do circuito elétrico:

V

Solução:

1V

ç

Temos que a corrente entre 2 pontos é dada por: RVVI ba Temos que a corrente entre 2 pontos é dada por: .

Pela lei de Kirchoff a soma das correntes que chega a um nó é igual a soma das correntes que saem dele. Assim:

R

g q

Introduçãoç


V

Nó 1:

1V

01141312

VVVVVVV 2312 VVVV

Nó 2:Nó 1:

Nó 3:

1221

31

127 3134323 VVVVVVV

Nó 2:

Nó 3:3213

3134323

VVVV Nó 4:21

1443 VVVV

Introduçãoç


Simplificando as equações:Nó 1:

10

2211141312

VVVVVVV 026 4321 VVVV

Nó 2:31

2312 VVVV

043 321 VVV

Nó 3:3

127213

3134323 VVVVVVV

VVVV

25461323 4321 VVVV

Nó 4:21

1443 VVVV

032 431 VVV

Introduçãoç


0014301126 4321

VVVVVVVV

Montando o sistema:

032012546132300143

4321

4321

VVVVVVVVVVVV

03201 4321 VVVV

Nosso problema agora se resume em encontrar os valores de V V V e V que solucionem o sistema linearde V1, V2, V3 e V4 que solucionem o sistema linear acima.

Introduçãoç

Um sistema linear com m equações e n variáveis tem a i f lseguinte forma geral:

nn bxaxaxa ... 11212111

nn

nn

bxaxaxa ... 22222121

11212111

mnmnmm bxaxaxa ...2211

onde:a coeficientes 1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

mnmnmm 2211

aij coeficientes 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ nxj incógnitas j = 1,...,nb termos independentes i 1 mbi termos independentes i = 1,...,m

Introduçãoç

Exemplo:

5542 321 xxx

15422514 321

xxxxxx

onde:

1542 321 xxx

onde:

2 4 5 4 1 5 2 4 e 5 fi i t2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5 coeficientes

x1, x2 e x3 incógnitas

5, 2 e -1 termos independentes

Introduçãoç

Relembrando... Multiplicação de Matrizes

O produto de uma matriz A de dimensão n x m por um escalar k resulta em uma matriz B = kA de mesma dimensão n x m, tal que .,, jikab ijij

Ex: 321 642

e

654321

A

12108642

2AB

Introduçãoç

Relembrando... Multiplicação de Matrizes

O produto de uma matriz A (n x m) por um vetor v (m x 1) resulta em um vetor x (n x 1) de forma que

m

....,,2,1,1

nivaxj

jiji

Ex:

5

121

1711

21

,6543 AvxvA

Introduçãoç

Relembrando... Multiplicação de MatrizesO produto de uma matriz A (n x p) por uma matriz

B (p x m) é uma matriz C = AB (n x m) tal que

....,,2,1...,,2,1,1

mjenibacp

kkjikij

o elemento cij é obtido pela soma dos produtos da linha i de A pelos correspondentes elementos da coluna j de B. Logo, para a multiplicação de duas matrizes, o número de colunas da primeira tem que ser igual ao número de linhas da segundaEx: 126

61012

2223

32 48415304,

653 xx

x

ABCBA

Introduçãoç

É possível então reescrever o sistema linear na Forma M i i lMatricial:

Ax = b

na qual:

naaa 11211

b1

x1

naaaA 22221

b

b2

x

x2

mnmmm aaaa 321

mb

nx

Introduçãoç

Exemplo: Forma Geral:

5542 321 xxx

25145542

321

321

xxxxxx

Forma Matricial:

1542 321 xxx

5542 1x

1

2542514

3

2

xx

1542 3x

Introdução – Classificação de Sistemasç ç

Relembrando…. Conceito de DeterminanteUma matriz quadrada (n x n) A, chamada matriz de ordem

n, tem um número associado denominado determinante, cujo valor pode ser obtido pela fórmula de recorrência

)det()1()det()det()det( 1n MaMaMaA

onde Mij é a matriz de ordem n-1 resultante da remoção

)det()1(...)det()det()det( 1112121111 nn MaMaMaA

da linha i e coluna j de A e sendo o determinante de uma matriz (1 x 1) igual a esse único elemento. Logo:

1111 )det(][ aAaA

aa 12212211

2221

1211 )det( aaaaAaaaa

A


Relembrando…. Conceito de Determinante

232221

131211

aaaaaa

A

333231

232221

aaaaaaA

)()()()det( 223132211323313321122332332211 aaaaaaaaaaaaaaaA

Matriz A com det(A) = 0 Matriz Singular

Matriz A com det(A) ≠ 0 Matriz Não Singular


Classificação dos sistemas Solução Única

det (A) ≠ 0 (Matriz de Coeficientes Não Singular)

Infinitas Soluções ou Sem Solução det (A) = 0 (Matriz de Coeficientes Singular)


Solução Única1 Exemplo:

2332

21

21

xxxx

11

x

det (A) = -6 -1 = -7

Infinitas SoluçõesInfinitas Soluções Ex:

62432 21

xxxx

23x

det (A) = 4 4 = 0

624 21 xx 23

det (A) = 4 - 4 = 0


Sem Solução Ex:

22432

21

21

xxxx

det (A) = 4 - 4 = 0

Introdução – Sistemas Triangularesç g

Possibilidade de resolução da forma Direta Sistema Triangular Inferior

Sistema Triangular Superior


Sistema Triangular Inferior

bb

xx

aaa

2

1

2

1

2221

11

00000

bxaaa

33333231 0

A solução é calculada pelas substituições sucessivas

nnnnnnn bxaaaa 321

A solução é calculada pelas substituições sucessivas

1bb 1212 xabb , ,

11

111111 a

xbxa 22

121222222121 a

xbxaxa

b

23

232131333333232131 a

xaxabxbxaxaxa



bb

xx

aaa

2

1

2

1

2221

11

00000

bxaaaaa

3

2

3

2

333231

2221

000

nnnnnnn bxaaaa

321

bxaxaxaxa

nnnnnnnnnn bxaxaxaxa 11,2211 ...

nnnnnn xaxaxab 112211 ...

nn

nnnnnnn a

x 11,2211



bb

xx

aaa

2

1

2

1

2221

11

00000

bxaaaaa

3

2

3

2

333231

2221

000

nnnnnnn bxaaaa

321

As substituições sucessivas podem ser representadas por:

21

1

1 nixab

x

i

jjiji

....,,2,1, nia

xii

ji


Sistema Triangular InferiorExemplo: Calcular a solução do sistema triangular inferior

usando as substituições sucessivas:

14

00530002

2

1

xx

648

93410861

4

3

2

xx

,

4

2442 11 xx 1231153 221

xxx,22

42 11 xx 15

153 221 xxx

)1(6248 58

)1(62484886 3321

xxxx


Sistema Triangular InferiorExemplo: Calcular a solução do sistema triangular inferior

usando as substituições sucessivas:

14

00530002

2

1

xx

648

93410861

4

3

xx

39

)5(3)1(4)2(66934 44321

xxxxx

Logo o vetor solução é dado por:

9

1

2

xLogo, o vetor solução é dado por:

35

x



n

ndd

xx

ccccccc

2

1

2

1

22322

1131211

0

n

ndxcc

33333

22322

00

A solução é calculada pelas substituições retroativas:

nnnn dxc000

A solução é calculada pelas substituições retroativas:

ndd ,nn

nnnnnn c

xdxc

11 nnnn xcdd

1,1

,1111,111,1

nn

nnnnnnnnnnnn c

xdxcxc



n

ndd

xx

ccccccc

2

1

2

1

22322

1131211

0

n

ndxcc

33333

22322

00

nnnn dxc000

,21232222323222

...... xcxcdxdxcxcxc nnnn

22c

11313212111 ... dxcxcxcxc nn

11

131321211

...c

xcxcxcdx nn



n

ndd

xx

ccccccc

2

1

2

1

22322

1131211

0

n

ndxcc

33333

22322

00

nnnn dxc000

As substituições retroativas podem ser representadas por:

111

nnixcd

x

n

ijjiji

.1...,,1,, nnic

xii

ji


Sistema Triangular SuperiorExemplo: Determinar a solução do sistema triangular superior

utilizando as substituições retroativas:

21

47301625

2

1

xx

828

20005400

4

3

xx

, ,42882 44 xx 2

445282854 343

xxx

2

03

442722473 2432

xxxx3


Sistema Triangular SuperiorExemplo: Determinar a solução do sistema triangular superior

utilizando as substituições retroativas:

21

47301625

2

1

xx

828

20005400

4

3

xx

35

4260211625 14321

xxxxx


5

03

xLogo, o vetor solução é dado por:

42

x

Introdução –Métodos de Soluçãoç ç

Os métodos numéricos para a solução de sistemas li d di idid d ilineares podem ser divididos em dois grupos: Métodos Diretos Fornecem a solução do sistema,

caso ela exista, após um número finito de iterações (soluções arredondadas também podem ocorrer)

Métodos Iterativos Geram uma sequência de { (k)} i d i i i i l (0)vetores {x(k)} a partir de uma aproximação inicial x(0).

Sob certas condições esta sequência converge para a solução x do sistema caso ela existasolução x do sistema, caso ela exista

Sistemas Lineares

Métodos Diretos


Métodos Diretos

Pertencem a essa classe todos métodos utilizados no i i dprimeiro e segundo graus Esses métodos não são eficientes para a resolução de

sistemas lineares de grande porte, ou seja, sistemas que envolvam um grande número de equações e variáveis

Para o caso de sistemas lineares n x n, com solução 1 1única, o vetor x é dado por x = A-1b, onde A-1 é a

inversa da matriz de coeficientes A. 1 O cálculo de A-1 é demorado e, por isso, não competitivo

com os métodos que veremos a seguir: Eliminação de Ga ss e Decomposição LUGauss e Decomposição LU

Sistemas Lineares

Eliminação de Gaussç



Consiste em transformar o sistema linear original em i li i l i i lum sistema linear triangular superior equivalente

Resolução do novo sistema utilizando as substituições retroativas

A solução encontrada para o sistema equivalente será a mesma do sistema linear original Conceito de Si t E i l tSistemas Equivalentes


A transformação do sistema linear original em outro i l é f i é d iequivalente é feita através das seguintes operações

elementares: Trocar duas equações

94222 2121 xxxx

Multiplicar uma equação por uma constante não nula

22294 2121 xxxx

941

94222

21

21

21

21

xxxx

xxxx

Adicionar um múltiplo de uma equação a uma outra equação

2121

1832

194

21

21

21

21

xxxx

xxxx

Eliminação de Gauss - Execuçãoç ç

Passo 1: Construção da matriz aumentada Ab

n baaa 111211

n baaaAb 222221

Importância:

nnnnnn baaaa 321

Importância: É necessário transformar matriz A em uma matriz

triangular superiortriangular superior Todavia, todas as operações elementares aplicadas

sobre as linhas de A também devem ser refletidas nosobre as linhas de A, também devem ser refletidas no vetor de termos independentes b


Passo 2: Eliminar os coeficientes de x1 presentes nas linhas

2,3,...,n, fazendo assim a21 = a31, = ... = an1 = 0, sendo a11 chamado de pivô e a linha 1 de linha pivotal

Substituir a linha 2, L2, pela combinação linear

11

212112122 :,

aamqualnaLmLL

Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:

a

11

313113133 :,

aamqualnaLmLL


Passo 2: Continuar a substituição até a linha n Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde

akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução

Próximos Passos: Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n

(fazendo a32=a42=...=an2 = 0)

Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n 3

(fazendo a43=a53=...=an3 = 0) e assim sucessivamente


Exemplo: Resolver o sistema linear abaixo:

3344532

321

321

xxxxxx

132 321 xxx

Matriz aumentada:

5132

33445132

Ab

1132



3344532

321

321

xxxxxx

Pivô da linha 1: 2

132 321 xxx

2212112122

aamLmLL

71205132233442

11

La

1,11

313113133

aamLmLL

62605132111323 L



3344532

321

321

xxxxxx

132 321

321

xxx

Obtemos então a seguinte matriz aumentada:

71205132

Ab

6260



3344532

321

321

xxxxxx

132 321 xxx

Pivô da linha 2: -2

a

15500712036260

3,

3

22

323223233

LaamLmLL

155007120362603 L



3344532

321

321

xxxxxx

132 321 xxx

Nova matriz [Ab] e sistema linear equivalente obtido:

5x3x2x

7x2x

5x3x2x

32

321

71205132

Ab 155x3

15500



3344532

321

321

xxxxxx

O novo sistema obtido é resolvido utilizando-se as

132 321 xxx

substituições retroativas:

3155 3x155x 33

12253625322x42x732x7x2x 22232


21

x

1x22x5362x5x3x2x 111321

Logo, o vetor solução é dado por:

32x


Verificação da exatidão do resultado obtido através do íd b Avetor resíduo r = b – Ax:

011325

000

321

132344132

135

Axbr

Logo, a solução x obtida é exata.

031321

g , ç

A verificação acima pode ser utilizada também paraA verificação acima pode ser utilizada também para validar os resultados encontrados por TODOS os métodos diretos que vamos estudar.métodos diretos que vamos estudar.

Exercício

Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto de Eliminação de Gauss.

8425

5734228425

321

321

xxxxxx

Solução:

5734 321 xxx

ç

3335...333,1

3/163/4

...333,2...333,5

3/73/16x


No método de Gauss os multiplicadores das linhas são d i d i fó lgerados a partir da seguinte fórmula:

nikniaam

ii

ikik ...,,1...,,1

sendo aii o pivô e aik o elemento a ser zerado

Assim, podemos concluir:

ii

O método de Gauss não funciona quando o pivô é nulo

Quando o pivô é muito próximo de zero, os multiplicadores gerados para as linhas são muito grandes, ocasionando um aumento nos erros de arredondamento gerados durante a execução do método.

Solução: Pivoteamento Parcial

Eliminação de Gauss - Pivoteamento Parcialç

Melhoria do Método de Gauss

Consiste em escolher o elemento de maior valor (em módulo) em cada coluna para ser o pivô Garante que os multiplicadores estarão sempre entre 0 e 1

Minimiza a amplificação de erros de arredondamento p çdurante as eliminações



15182

1123

321

321

xxxxxx

29564 321 xxx

Matriz aumentada:

11231

1518211231

Ab

29564



1518211231

Ab

Maior elemento (em módulo) da primeira coluna: 4. Logo

29564( ) p g

este será o primeiro pivô. Assim:

25011 amLmLL

75,375,05,102956425,011231

25,0

1

311331311

La

mLmLL

5,0,31

212332322

aamLmLL

5,05,15029564)5,0(511822 L



15182

1123

321

321

xxxxxx

29564 321 xxx

Obtemos então a seguinte matriz aumentada:

5,05,15075,375,05,10

Ab

29564



50515075,375,05,10

Ab

29564

5,05,150Ab

Maior elemento (em módulo) da segunda coluna: 5. Logo este será o segundo pivô. Assim:g p

3,0121221211

amLmLL

6,32,1005,05,150)3,0(75,375,05,101

22

La



15182

1123

321

321

xxxxxx

Nova matriz [Ab]:

29564 321 xxx

[ ]

5,05,1506,32,100

Ab

Trocando a ordem das linhas chegamos ao seguinte

29564

5,05,50b

Trocando a ordem das linhas, chegamos ao seguinte sistema equivalente:

5051529564 321 xxx

6,32,15,05,15

3

32

xxx



15182

1123

321

321

xxxxxx

O novo sistema obtido é resolvido utilizando-se as

29564 321 xxx

substituições retroativas:

36321 36,32,1 33 xx

1555,05,455,05,15 22232 xxxxx28429156429564


12

x

28429156429564 111321 xxxxxx

Logo, o vetor solução é dado por:

31x

Determinante

O determinante da matriz de coeficientes pode ser b id é d i i l l dobtido através da matriz triangular resultante da

aplicação da Eliminação de Gauss. Basta considerar no cálculo a influência das operações

elementares realizadas durante o processo de eliminação

Vamos então analisar essas 5 relações:1) Se duas linhas de uma matriz A forem trocadas, então o determinante da nova matriz B será:

)det()det( AB

4122 10)det(

2241

10)det(4122

BBeAA

Determinante

2) Se todos os elementos de uma linha de A forem multiplicados por uma constante k, então o determinante da matriz resultante B será:

)det()det( AkB

5)d t(41

10)d t(41

BBAA 5)det(11

10)det(22

BBeAA

3) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado a outra linha, então o determinante da nova matriz B será:

)det()det( AB

4141 5)det(

5041

5)det(11

41

BBeAA

Determinante

4) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n, então seu determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal, ou seja:

n

iiinn aaaaaA

1332211 ...)det(

15)d t(050003

2)d t(32

BBAA 15)det(100

0502)det(10

BBeAA

Determinante

5) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, o d i d i l C ádeterminante da matriz resultante C será:

)det()det()det( BAC )det()det()det( BAC

3)det(03

10)det(21

BBeAA 3)det(11

10)det(43

BBeAA

30)det(41321

CC

Determinante

Exemplo: Calcular o determinante da matriz utilizada no último exemplo:

15182

1123

321

321

xxxxxx

Matriz de coeficientes: 231

29564 321 xxx

564182

231A

Depois de 3 combinações lineares das linhas e uma troca de linhas, chegamos à seguinte matriz triangular:

de linhas, chegamos à seguinte matriz triangular:

5150564

B

2,1005,150B

Determinante


Pela propriedade 3, não há alteração no determinante de B, todavia, pela propriedade 1, , assim:)det()det( AB

24)2,154()det()det( BA

Exercício

Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto de Eliminação de Gauss, com pivoteamento parcial.

251541938426

4321

4321

xxxxxxxx

7239335181284

4321

4321

xxxxxxxx

Solução:

138

1120

x

1

Sistemas Lineares

Decomposição LUp ç



O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes A em um d d d i L Uproduto de duas matrizes L e U.

aaa

Seja:

n

n

aaaaaa

A 22221

11211

nnnnn aaaa

A

321

A = matriz de coeficientes do sistema linear

nnnnn 321

A = matriz de coeficientes do sistema linear


e o produto LU:

n

uuuuuuu

l

00010001 1131211

n

n

uuuuu

lll

LU

000

001001

333

22322

3231

21

nnnnn ulll 0001321

sendo:L = matriz triangular inferior unitária il 1L = matriz triangular inferior unitária U = matriz triangular superior

ilii ,1


tem-se então:

n

n

n

n uuuuuuu

lll

LUaaaaaa

A

000

010010001

22322

1131211

2122221

11211

n

nnnnn

n

u

uu

lll

llLU

aaaa

A

000

00

1001 333

321

3231

321

22221

Logo, o sistema Ax = b pode ser reescrito como Ax = b LUx = b

nnnnn ulll 0001321

Ax = b LUx = b

Fazendo Ux = y a equação acima reduz se a Ly = b Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b.

Resolvendo o sistema triangular inferior (utilizando as substituições sucessivas) Ly = b, obtém-se o vetor y


O vetor y é então utilizado como termo independente i i l i U j l éno sistema triangular superior Ux = y, cuja solução x é

calculada pelas substituições retroativas

A Decomposição LU é um dos processos mais empregados. Uma das vantagens é que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matri de coeficientes Se o etor b for alterado amatriz de coeficientes. Se o vetor b for alterado, a solução do novo sistema linear será quase que imediataimediata

Decomposição LU - Execuçãop ç ç

Exemplo:Resolver o sistema abaixo, utilizando a Decomposição LU:

1511

182231 1

xx

29

15564182

3

2

xx

Passo 1: Aplicar o método da Eliminação de Gauss à matriz de A.matriz de A. Pivô linha 1: 1

221amLmLL

320231)2(182

2

2

11

212112122

La

mLmLL


Exemplo:

4,11

313113133

aamLmLL

Obtemos então a seguinte matriz de coeficientes:

36023145643 L

g

320231

A

Pivô linha 2: 2

360

320A

Pivô linha 2: 2

3323223233

amLmLL

120032033603

22

La


Exemplo:Nova matriz de coeficientes:

231

1200320A

A matriz L é então constituída pelos multiplicadores utilizados nas eliminações de cada uma das linhas,

ç ,logo:

001001001

134012001

101001

101001

2121

mmm

lllL

13411 32313231 mmll



231

1200320A

A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após a Eliminação de Gauss:

ç

231131211 uuu

1200320

000

33

2322

uuuU


Exemplo:Assim:

231001231

1200320231

134012001

564182

231LUA

Substituindo a matriz de coeficientes A no sistema

1200134564

Substituindo a matriz de coeficientes A no sistema, temos então LUx = b. Fazendo Ux = y, temos então Ly = b. Assim o próximo passo na solução do problemaLy b. Assim o próximo passo na solução do problema é calcular o valor do vetor y.


Exemplo:Passo 2: Calcular a solução do sistema Ly = b:

11001 y

2915

11

134012001

2

1

yy

29134 3y

111 y1

711215152 2221 yyyy

3673114292934 33321 yyyyy

TLogo: Ty 36711


Exemplo:Passo 3: De posse do valor de y, calcular então a solução do sistema Ux = y:

711

320231 1

xx

36

71200320

3

2

xx

33612 33 xx12/)337(732 2232 xxxx /)7(7 2232

232)1(3111123 11321 xxxxx

Logo: Tx 312

Exercício

Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método direto da Decomposição LU.

22

1423

321

321

xxxxxx

3234 321 xxx

Solução:3

053

x

Exercício


1423 321 xxx

323422

321

321

xxxxxx

Mas e se, ao invés de colocar o termo de multiplicação na linha pivotal, eu colocá-lo na própria linha cujo elemento

desejo zerar? Funciona?

423

234211423

A 3

Exercício


Mas e se, ao invés de colocar o termo de multiplicação na linha pivotal, eu colocá-lo na própria linha cujo elemento desejo zerar? Funciona?

Aplicando a Eliminação de Gauss à matriz A:

Pivô linha 1: 3

21042321133

2

2112212

LmLLmL

21042321132 L

43, 3113313 mLLmL

4/104/1042323443

3 L

Exercício




423

Pivô linha 2: -1

4/104/10210A

43223323 mLLmL 12002104/104/1043

3223323

L

Exercício



Nova matriz de coeficientes:

423

1200210A

Exercício



Fazendo então A = LU

423001423

1200210

144/3013

234211LUA

Percebemos, pela igualdade acima, que, ao fazer L x U, não encontramos A. Daí concluímos que a multiplicação

deve sempre ser feita na linha pivotal, como mostra

a fórmula trabalhada em sala.

Decomposição LU – Pivoteamento Parcialp ç

Os motivos para Pivoteamento Parcial na D i LU d iliDecomposição LU são os mesmos de sua utilização na Eliminação de Gauss: Evitar pivô nulo Evitar que os multiplicadores mij tenham valores muito

grandes


Relembrando... Matriz Identidade É uma matriz quadrada na qual os elementos situados na

diagonal principal são iguais a um e, os demais, são nulos. ÉÉ denotada por In.

001

010001

nI

1000

Sendo A uma matriz de ordem n, tem-se que

AAIIA AAIIA nn ..


No pivoteamento parcial, a decomposição é feita da fforma:

PA = LUonde P é uma matriz de permutações que será construída das linhas de uma matriz identidade I, colocadas na mesma ordem das linhas que geram a matriz triangular superior U. A matriz L é formada pelos m ltiplicadores tili ados na eliminação naspelos multiplicadores utilizados na eliminação nas respectivas linhas de U. Assim, para resolver o sistema Ax = b tem-se:sistema Ax = b, tem-se:

Ax = b PAx = Pb LUx = PbF d U tã L PbFazendo Ux = y, então Ly = Pb


Exemplo:Resolver o sistema abaixo, utilizando a Decomposição LU, com Pivoteamento Parcial:

1511

182231 1x

2915

564182

3

2

xx

Passo 1: Aplicar o método da Eliminação de Gauss, com Pivoteamento Parcial, à matriz A.Pivoteamento Parcial, à matriz A. Primeiro pivô: 4

25011 amLmLL

75,05,1056425,0231

25,0

1

311331311

La

mLmLL

Decomposição LU - Pivoteamento Parcialp ç

Exemplo:

5,0,31

212332322

aamLmLL


5,150564)5,0(1822 L

g

515075,05,10

A

Segundo pivô: 5

5645,150A

Segundo pivô: 5

3,0121221211

amLmLL

2,1005,150)3,0(75,05,101

22

La



5642,100

2,1005,150

5645,150A

A matriz L é então constituída pelos multiplicadores relativos a cada uma das linhas pivotais, logo:

,

p , g

001001001

13,025,0015,0

101

101

1213

23

3231

21

mmm

lllL



5642,100

2,1005,150

5645,150A

A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após o pivoteamento:

,

p

564131211 uuu

2,1005,150

000

33

2322

uuuU



5642,100

2,1005,150

5645,150A

A matriz P possui as linhas de uma matriz identidade na ordem das linhas pivotais. P pode ser vista ainda como

,

p puma matriz similar à identidade com as linhas colocadas de modo que os elementos iguais a 1 estejam nas colunas relativas aos índices das linhas pivotais.

100

001010P


Exemplo:Assim:

564001231100

21005,150

564

130250015,0001

564182

231

001010100

LUPA

Assim para resolver o sistema Ax = b temos:

2,10013,025,0564001

Assim, para resolver o sistema Ax = b, temos:

Ax = b PAx = Pb LUx = PbAx = b PAx = Pb LUx = Pb

Fazendo Ux = y, então Ly = Pb


Exemplo:Passo 2: Calcular a solução do sistema Ly = Pb:A multiplicação Pb ordena as linhas de b na ordem das linhas pivotais

29001 1y

1115

13,025,0015,0

3

2

yy

291 y

5,0295,015155,0 2221 yyyy ,,, 2221 yyyy5,03,02925,011113,025,0 3321 yyyy

6,33 y

Logo: Ty 6,35,029

6,33y


Exemplo:Passo 3: De posse do valor de y, calcular então a solução do sistema Ux = y:

5029

5150564 1

xx

6,3

5,02,1005,150

3

2

xx

36,32,1 33 xx15/)35,15,0(5,05,15 2232 xxxx /),,(,, 2232

4/35)1(62929564 1321 xxxx2x

Logo: Tx 312

21 x

Determinante

Considerando que:

PA = LU det (PA) = det (LU)

pela propriedade dos determinantes vista anteriormente:p p p

)det()det()det()det(

PULA

matriz triangular

d t d i ô

)(

1...)det(1

332211

n

iiinn lllllL

n

U )d t( produto dos pivôs

troca de linhas necessárias para

i

iiuU1

)det(tP )1()det(

transformar a matriz de permutações P em uma matriz identidade.

Determinante

Considerando que:

PA = LU det (PA) = det (LU)

pela propriedade dos determinantes vista anteriormente:p p p

)d t()det()det()det(

PULA

Logo:)det(P

n

n

iit

t

n

iii

uu

A 1 )1()1(

1)det(

i 1)1(

Determinante


564231

2,1005,150

564182A

Para calcular o determinante, precisamos encontrar o valor de t, isto é, o número de trocas de linhas necessárias para transformar a matriz P em uma matriz identidade. Voltando na matriz, percebemos que somente uma troca é suficiente. Assim, temos t=1 e:

1n

t 242,154)1()1()det( 1

1

i

iit uA

Sistemas com Matriz Singularg

Quando a matriz de coeficientes do sistema linear for i l j d (A) 0 i d i fi isingular, ou seja, det(A) = 0, o sistema pode ter infinitas

soluções ou não ter solução. Será mostrado como diferenciar essas situaçõesdiferenciar essas situações.

Exemplo:Resolver os sistemas Ax = b e Ax = c utilizando a decomposição LU com pivoteamento parcial, sendo

1020

1222

,182231

cebA

8010151


Exemplo:Os três fatores são:

010182001

100001

0005,110,

1150015,0 PeUL

Para Ax=b a solução do sistema Ly = Pb é dada por:

100000115,0

Para Ax=b, a solução do sistema Ly = Pb é dada por:

1212001 1y

0

161022

115,0015,0

3

2 yyy

, 3y


Exemplo:A solução do sistema Ux = y é dada por:

12182 x

01612

0005,110182

2

1

xx

Logo:

0000 3x

Logo:)(00 333 soluçãoéxdequalquerxx

51161651 5,116165,1 232 xxx

2/)5,116(8121282 1321 xxxx

5,6701 x


Exemplo:Assim, o vetor solução do sistema é dado por

, ou seja, o sistema Ax=b Tx 5,1165,670 apresenta infinitas soluções, uma para cada valor de

. |

Para resolver o sistema Ax=c, não é necessário calcular novamente L, U e P. Como a matriz de coeficientes A é comum aos dois sistemas (Ax=b e Ax=c), os cálculos feitos anteriormente podem ser reaproveitados.


Exemplo:Assim, para Ax = c, solução de Ly = Pc é

1010001

15

102010

015,0001

2

1

yyy

7080115,0 3y


Exemplo:A solução do sistema Ux = y é dada por:

10182 x

701510

0005,110182

2

1

xx

Logo:

70000 3x

Logo:xxx 33 700

Assim, o sistema Ax = c não tem solução pois tal q e

3x00que . 00 3 x

Exercício

Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da solução:

322943 321

xxxxxx

234

322

31

321

xxxxx

Solução: 1Solução:

21

1x

2

Exercício


943 321 xxx

234322943

31

321

321

xxxxxxxx

Demonstrando a solução:

221143

A

31

Fazendo a eliminação com pivoteamen. parcial na matriz A:

304

221A

Fazendo a eliminação com pivoteamen. parcial na matriz A:

Primeiro Pivô: 4311

amLmLL

4/13403044/31434

1

311331311

La

mLmLL

Exercício

Resolva o sistema linear pela Decomposição LU, utilizando o pivoteamento parcial, e verificar a exatidão e unicidade da solução: 121

amLmLL

4/11203044/12214

,

2

312332322

La

mLmLL


4/1340

3044/1120A

Segundo Pivô: -4

1123221211

amLmLL

8/35004/1340)2/1(4/11202

1

223221211

La

mLmLL

Exercício



3044/1340

8/35004/1340

3048/3500A

A matriz P é então constituída pelas linhas da matriz Identidade, com as linhas trocadas, assim como em A, logo:

001100

P

010001P

Exercício



3044/1340

8/35004/1340

3048/3500A

A matriz L é então constituída pelos multiplicadores utilizados nas eliminações de cada uma das linhas, logo:

014/3001

01001

lL

12/14/1014/3

101

3231

21

lllL

Exercício



3044/1340

8/35004/1340

3048/3500A

A matriz U é própria matriz de coeficientes, obtida após as eliminações e a troca de linhas:

4/1340304

0 2322

131211

uuuuu

U

8/3500

4/134000

0

33

2322

uuuU

Exercício


Calcular a solução do sistema Ly = Pb:

A multiplicação Pb ordena as linhas de b na ordem das linhas pivotais.

2001 y

392

12/14/1014/3001

2

1

yy

Fazendo os cálculos, vamos encontrar:

312/14/1 3y

Fazendo os cálculos, vamos encontrar: Ty 4/352/212

Exercício


De posse do valor de y, calcular então a solução do sistema Ux = y:

2/212

4/1340304 1

xx

4/35

2/218/35004/1340

3

2

xx

Fazendo os cálculos, vamos encontrar:

T211 Tx 211

Exercício


Provando a unicidade da solução:

304143

8/35004/1340

304221A

8/3500304

703544)1()1()det( 2 n

t uA

Como o det(A) ≠ 0 logo o sistema tem solução

708

44)1()1()det(1

i

iiuA

Como o det(A) ≠ 0, logo o sistema tem solução única!

Cálculo da Matriz Inversa

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, não-singular, i é d (A) ≠ 0 U i A 1 é i d Aisto é, det(A) ≠ 0. Uma matriz A-1 é a inversa de A se

A . A-1 = A-1 . A = I

010001

22221

11211

22221

11211

n

n

n

n

vvvvvv

aaaaaa

1000321

22221

321

22221

nnnnn

n

nnnnn

n

vvvvaaaa

onde V = A-1 é usado para simplificar a notação. Para calcular V basta resolver os n sistemas lineares da

321321 nnnnnnnnnn

Para calcular V, basta resolver os n sistemas lineares da forma:

Avi = ei, i = 1, 2, …, ni i, , , ,onde vi e ei são as i-ésimas colunas das matrizes inversa e identidade, respectivamente


Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:

5106264

3052

5106

Solução:

Precisaremos então calcular a solução dos seguintesPrecisaremos então calcular a solução dos seguintes sistemas: Av1 = e1, Av2 = e2, Av3 = e3, onde:

00

,,10

,,01

,,5106264

223

13

3222

12

2121

11

1 evv

vevv

vevv

vA 1003052 333231 vvv


Exemplo: Calcular a inversa da matriz abaixo:Solução:

Como a matriz de coeficientes é mesma para os três sistemas, fazemos então a Decomposição LU de A:

5106001264

3/853/505106

,013/1001

,5106264

ULA 100015/23/23052

100010

P

001



Calculando então a solução de cada um dos sistemas:

Coluna 1: Para Av1 = e1, a solução do sistema Ly = Pe1 é dada por:1 1, ç y 1 p

0

000

013/1001 1

yyy

A l ã d i t U é d d

1

010

15/23/2013/1

3

2 yyy

A solução do sistema Uv1 = y é dada por:

10/174/11

00

3/853/505106 11v

10/110/17

10

10003/853/50 1

31

21 vvv





3/1

101

013/1001 1

yyy


5/4

3/100

15/23/2013/1

3

2 yyy


25/2910/17

3/11

3/853/505106 12v

25/225/29

5/43/1

10003/853/50 2

32

22 vvv





1

010

013/1001 1

yyy


5/2

101

15/23/2013/1

3

2 yyy


25/210/1

10

3/853/505106 13v

25/125/2

5/21

10003/853/50 3

33

23 vvv



Consequentemente, A-1 = V = [v1 v2 v3], ou seja:

080161711,07,15,2

25/225/2910/1710/110/174/11

1A

04,008,01,008,016,17,1

25/125/210/125/225/2910/171A

A relação A . A-1 = I pode ser verificada:

010001

08,016,17,11,07,15,2

5106264

A

10004,008,01,03052

Exercício

Calcule a inversa da matriz abaixo:

203

101719A

Solução:

Solução:

201

301312

01A

301

Sistemas Lineares

Métodos Iterativos


Métodos Iterativos

A solução de problemas complexos com sistemas li d à / i ê i d i dlineares tende à geração/existência de matrizes de coeficientes grandes e/ou esparsas Grandes Comum para n > 100.000 Esparsas Maioria dos coeficientes nulos

Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos Processos de triangularização e fatoração Onerosos,

por não preservarem a esparsidade original, que pode ser útil por facilitar a resolução do sistema.

Métodos Iterativos

Métodos mais apropriados para a resolução de i d Mé d I isistemas de natureza esparsa Métodos Iterativos Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel

Métodos Iterativos

Os métodos iterativos consistem em gerar, a partir de i i i l 0 ê i d { 0 1 2um vetor inicial x0, uma sequência de vetores {x0, x1, x2,

…, xk, …} que deve convergir para a solução x do sistemasistema

)0(x )1(x )2(1x )(

1kx

)0(2

1

x

x

)1(2

1

x

x

)2(2

1

x

x

)(2

1

kx

x

)0(3x

)1(3x

)2(3x

)(3kx

)0(nx

)1(nx

)2(nx

)(knx

Métodos Iterativos

Lembretes importantes: Como todo processo iterativo, estes métodos sempre

apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas.

Além disto, também é preciso ter cuidado com a convergência destes métodos.

Métodos Iterativos - Funcionamento

Os métodos iterativos funcionam a partir da f d i li A b Ctransformação do sistema linear Ax = b em x = Cx + g,

onde:

A: matriz dos coeficientes (n x n)

x: vetor das variáveis (n x 1)

b: vetor dos termos constantes, (n x 1)

C: matriz n x n

g: vetor n x 1

Métodos Iterativos - Funcionamento

Conhecida a estimativa inicial, x(0), obtém-se iconsecutivamente os vetores:

o)aproximaçã(primeira)0()1( gCxx

o)aproximaçã (segunda ,o)aproximaçã(primeira ,

)1()2( gCxxgCxx

o)aproximaçãésima-(k)1()( gCxx kk

De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada

o)aproximaçãésima(k ,gCxx

gpela fórmula:

x(k+1) = C x(k) + g, k = 0, 1, ...chamada de função de iteração, dada na forma matricial

Sistemas Lineares

Gauss - Jacobi


Método de Gauss - Jacobi

Dado o sistema linear:

nn bxaxaxa ... 11212111

nn bxaxaxa ... 22222121

nnnnnn bxaxaxa ...2211

e supondo , i = 1, …, n.0iiaii


Isolamos então o vetor x mediante a separação pela di l A i i d i i ddiagonal. Assim, a partir da primeira equação do sistema:

b

obtemos:

11212111 ... bxaxaxa nn

)(1 xaxaxabx obtemos:

e, analogamente:

)...( 1313212111

1 nnxaxaxaba

x

e, analogamente:

)...(1232312122 nnxaxaxab

ax

22a

)(1 b )...( 113311 nnnnnnnn

n xaxaxaba

x


Dessa forma, temos x = C x + g, onde:

abxaaaaaax /0

n

n

babab

xx

aaaaaaaaaaaa

xx

///

00

0

222

111

2

1

22222232221

11111131112

2

1

n abxaaaaaax /0 3333333333233313

nnnnnnnnnnnnnn abxaaaaaax /0321

x(k+1) C x(k) g


O método de Gauss-Jacobi consiste em, dado , i i i i l b é d

)0(x 1 kaproximação inicial, obter através da

relação recursiva :

......,1 kxx gCxx kk 1

)...(1 )(

1)(

313)(

212111

)1(1

knn

kkk xaxaxaba

x

)...(1 )(

2)(

323)(

1212)1(

2

11

knn

kkk xaxaxabx

a

)( 2323121222

2 nna

)...(1 )(11,

)(22

)(11

)1( knnn

kn

knn

kn xaxaxab

ax nna


O processo é repetido até que o vetor esteja fi i ó i

kx 1ksuficientemente próximo ao vetor

A distância entre duas iterações é dada por

1kx

A distância entre duas iterações é dada por

- max d 1)(k-i

(k)i

(k) xx

assim, dada uma precisão , o vetor será escolhido como , solução aproximada da solução

ii

kxx

escolhido como , solução aproximada da solução exata, se

x d(k)

Podemos utilizar também como critério de parada o erro relativo:

d(k)

max

d d )(

( )(k)r

k

ix


Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-

Jacobi com :0501 60,7

)0(

Jacobi com : 05,00,61,6-)0(

ex

7 2 10 321 xxx

8 5 321

321

xxx 6103 2 321 xxx


Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-J biJacobi :

85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

O processo iterativo é dado por:

7121

8111107

101

1020) 2 (7

101 )(

3)(

2)(

1)(

3)(

2)1(

1kkkkkk xxxxxx

632158

51 0

51 8

51 )(

3)(

2)(

1)(

3)(

1)1(

2kkkkkk xxxxxx

106 0

103

102 3 26

101 )(

3)(

2)(

1)(

2)(

1)1(

3kkkkkk xxxxxx



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

Na forma matricial temos: gCxx kk 1

1/10 -2/10 -0

C

8/57/10

ge

03/10– 1/5-1/5-01/5-C

6/108/5-ge



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

Assim para k=0 e temos:

1,6-0,7

)0(xAssim para k 0 e temos:

0,6

1,6x

86,16,16,02,07,02,06,12,02,0

96,07,06,0 1,0 )6,1(2,07,0 1,0 2,0)0(

3)0(

1)1(

2

)0(3

)0(2

)1(1

xxx

xxx

94,06,0)6,1(3,07,02,0 6,0 3,02,0

86,16,16,02,07,02,06,12,02,0 )0(

2)0(

1)1(

3

312

xxx

xxx



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

0,96

Logo:

0 941,86- g C (0)(1) xx

0,94



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

Calculando , para temos:d(1)

1,86-0,96

6,1-7,0

(1))0( xexCalculando , para temos:dr

0,94

1,866,06,1 xex

26,0 - )0(1

)1(1 xx

1828,086,134,0

max34,0d

)1()1(

ir x

26,0 - )0(2

)1(2 xx

i34,0- )0(

3)1(

3 xx



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx


1,86-0,96


0,94

1,86x

98,16,194,02,096,02,06,12,02,0

978,07,094,0 1,0 )86,1(2,07,0 1,0 2,0)1(

3)1(

1)2(

2

)1(3

)1(2

)2(1

xxx

xxx

966,06,0)86,1(3,096,02,0 6,0 3,02,0

,,,,,,,,,)1(

2)1(

1)2(

3

312

xxx



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

0,978

Logo:

0 9661,98- g C )1()2( xx

0,966



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

Calculando , para :d(2)

1,98-0,978

1,86-0,96

)2()1( xexCalculando , para :dr

0,966

1,980,941,86 xex

018,0 - )1(1

)2(1 xx

0,060698,112,0

max12,0d

)2()2(

ir x

12,0 - )1(2

)2(2 xx

i026,0 - )1(

3)2(

3 xx



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

Prosseguindo com as iterações temos:Para k=2Para k 2

0,01630,0324d1,9888-0,9994

gC (2)(2)(3)

xx 0,01631,9888

d0,99841,9888gC r

xx



85

7 2 10 321

xxxxxx

6 10 3 2 8 5

321

321

xxxxxx

Logo a solução obtida pelo método de Gauss-Jacobi é:

1 98880,9994

(3)

0,99841,9888- (3)xx

Método de Gauss – Jacobi - Convergênciag

No exemplo estudado, o valor de foi fornecido d d bl T d i ê i

(0)xcomo entrada do problema. Todavia, a convergência ou não dos métodos iterativos independe da aproximação inicial escolhidaaproximação inicial escolhida

Teorema: Critério das Linhas Teorema: Critério das LinhasDado um sistema Ax=b, é condição suficiente para a convergência do método iterativo de Gauss-Jacobi:convergência do método iterativo de Gauss Jacobi:

n ..., 3, 2, 1,i para , ii

n

ij aa

ou seja, o somatório do módulo de todos os elementos

1

ijj

da linha, exceto o elemento da diagonal principal, deve ser menor que este elemento

Método de Gauss – Jacobi - Convergência

Analisando a matriz A do sistema linear do exemplo i

g

anterior:

1511210

A

Assim:

1032

151A

Assim:

31210 131211 aaa

53210

2115

323133

232122

aaa

aaa

Logo, como temos a

53210 323133 aaa

3 2, 1,i para ii

n

ij aa

convergência garantida para o método de Gauss-Jacobi

1

ijj


Exemplo: Dado o sistema:

g

322523

321

321

xxxxxx

686

3225

32

321

xxxxx

O critério das linhas não é satisfeito pois:

4131

Contudo, se permutarmos a primeira equação com a

4131 131211 aaa

segunda, temos o sistema linear:

23

3225 321

xxxxxx

686

23

32

321

xxxxx


Exemplo: Dado o sistema:

g

322523

321

321

xxxxxx

686

3225

32

321

xxxxx

O novo sistema é equivalente ao sistema original e sua matriz A satisfaz o critério de linhas:sua matriz A satisfaz o critério de linhas:

225

860131A


Conclusão:

g

Sempre que o critério de linhas não for satisfeito, de emos tentar ma perm tação de linhas e/o col nasdevemos tentar uma permutação de linhas e/ou colunas de forma a obtermos uma disposição para a qual a matriz dos coeficientes satisfaça o critério de linhasmatriz dos coeficientes satisfaça o critério de linhas

Exercício

Calcule as 3 primeiras iterações do método de Gauss-J bi d i li b iJacobi do sistema linear abaixo:

7924 321 xxx

51523865

321

321

xxxxxx

Utilize como chute inicial:

321

21

)0(xUtilize como chute inicial:

3

Sol.:

667,3

5,7 )1(x

039,5783,4

)2(x

361,4246,2

)3(x

533,0

656,0

686,0

Sistemas Lineares

Gauss - Seidel


Método de Gauss - Seidel

Similarmente ao método de Gauss-Jacobi, conhecida a (0)estimativa inicial, x(0), obtém-se consecutivamente os

vetores x(1), x(2), ..., x(k)

Todavia, ao se calcular xj(k+1), usa-se todos os valores

x (k+1) x (k+1) x (k+1) que já foram calculados e osx1(k+1), x2

(k+1), ..., xj-1(k+1) que já foram calculados e os

valores xj+1(k), xj+2

(k), ..., xn(k) restantes.


O processo do método de Gauss - Seidel se dá a partir das equações:

111131321211

1 ...1 kkkkk xaxaxaxabx

11

111,1313212111

1

1

...

kkkkk

nnnn

xaxaxaxabx

xaxaxaxaba

x

111

211,2323121222

2

1

...

kkkkk

nnnn xaxaxaxaba

x

311,3

1232

11313

33

13 ...1 k

nnknn

kkk xaxaxaxaba

x

111

122

111

1 ...1 knnn

kn

knn

kn xaxaxabx

11,2211 nnnnnnnn

n a


Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-

Seidel com :05000

)0(

Seidel com : 05,000)0(

ex

5 5 321 xxx

6 4 3 321

321

xxx 0633 321 xxx


Exemplo: Resolva o sistema abaixo utilizando Gauss-S id lSeidel:

643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx

O processo iterativo é dado por:

1151

1361

51

51

55) 5(

51 )(

3)(

2)(

3)(

2)1(

1kkkkk xxxxx

3301

41

43

46 36

41 )(

3)1(

1)(

3)1(

1)1(

2kkkkk xxxxx

63

63

60 3 30

61 )1(

2)1(

1)1(

2)1(

1)1(

3kkkkk xxxxx



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx


00


00x

75,0025,0175,05,125,075,05,1

10 2,0 02,01 2,0 2,01)0(

3)1(

1)1(

2

)0(3

)0(2

)1(1

xxx

xxx

875,075,05,015,00 5,05,00

75,0025,0175,05,125,075,05,1 )1(

2)1(

1)1(

3

312

xxx

xxx



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx

1

Logo:

875075,0 g C (0)(1) xx

875,0



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx

Calculando , para temos:d(1)

75,01

00

(1))0( xex

1 - )0(1

)1(1 xx

Calculando , para temos:dr

875,0

75,000 xex

1175,0 - )0(

2)1(

2 xx 111

max1d

)1()1(

ir x

875,0 - )0(3

)1(3 xx



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx


0,751


0,875-

0,75x

950875025002517505125075051

025,1875,0 2,0 75,02,01 2,0 2,01)1()2()2(

)1(3

)1(2

)2(1

xxx

xxx

9875,095,05,0025,15,00 5,05,00

95,0875,025,0025,175,05,125,075,05,1)2(

2)2(

1)2(

3

312

xxx

xxx



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx

025,1

Logo:

9875095,0 g C )1()2( xx

9875,0



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx

Calculando , para :d(2)

95,0025,1

75,01

)2()1( xex

2020

Calculando , para :dr

9875,0

95,0875,075,0 xex

025,0 - )1(1

)2(1 xx

1951,0025,1

2,0max

2,0d)2(

)1(

ir x

20,0 -)1()2(

)1(2

)2(2 xx

1125,0 - )1(3

)2(3 xx



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx

Prosseguindo com as iterações temos:Para k=3Para k 3

ε4090 0d991200075,1

gC )3()2()3(

xx ε4090,0d9930,9

9912,0gC )(r

)()(

xx



643

5 5 321

xxxxxx

0 6 3 36 4 3

321

321

xxxxxx

Prosseguindo com as iterações temos:Logo a solução obtida pelo método de Gauss-Seidel é:Logo a solução obtida pelo método de Gauss Seidel é:

0075,1

9930 9

9912,0 )3(xx 9930,9

Método de Gauss – Seidel - Convergênciag

Para o método de Gauss - Seidel, utilizaremos os i i é i d ê iseguintes critérios de convergência

Critério de SassenfeldC ité i d Li h Critérios das Linhas

Critério de Sassenfeld

Sejam o valores dados por:i

11 1

11

n

ij

i

jiji

n

j aaa

eaa

n ordem do sistema linear que se deseja resolvern ..., 3, 2, i para

11211

ijjiij aa

n - ordem do sistema linear que se deseja resolveraij - coeficientes das equações do sistema

Este critério garante que o método de Gauss-Seidel i á d d SEL l M d fi idconvergirá para um dado SEL se o valor M, definido por:

iMnimax

1

for menor que 1 (M<1). Além disso, quanto menor o valor de mais rápida será a convergência


Seja A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos d dtermos constantes, dados por:

1 aaa

114131211

baaaabaaaa

14131211

1

1

aaa

aaaa

334333231

224232221

baaaabaaaa

342321313

242312122

2

1

aaa

aaaa

444434241 baaaa

3432421414

3423213133

3

1

aaa

aaaa

34324214144

4 a


Exemplo: Mostrar que a solução do sistema a seguir i á l é d d G S id lconvergirá pelo método de Gauss - Seidel.

4,0 2,02,0 2 4321 xxxx

12,02,01,0

8,73,06,03 6,0

4321

4321

xxxxxxxx

10 48,0 2,1 4,0

,,,

4321

4321

xxxx


Exemplo: Mostrar que a solução do sistema a seguir i á l é d d G S id lconvergirá pelo método de Gauss - Seidel.

0,2 0,2- 1,0 2,0

0,2 1,0 0,2- 0,1-0,3- 0,6- 3,0 0,6 ,,,,

A 7,0max

1

iniM

70202011

4,0 0,8 1,2 0,4 ,,,,

Logo, como M < 1, o método deGauss – Seidel converge para o

44,03,06,07,06,031

7,02,02,012

2

1

sistema em questão

358,02,044,02,07,01,0113

3

2

2736,0358,08,044,02,17,04,0411

4


O exemplo anterior também satisfaz o critério das li hlinhas:

0,2 0,2- 1,0 2,0

4 00 81 20 40,2 1,0 0,2- 0,1-0,3- 0,6- 3,0 0,6

A 4 3, 2, 1,i para 1

ii

n

jij aa

4,0 0,8 1,2 0,4 ijj

5,13,06,06,03

4,12,02,012

24232122

14131211

aaaa

aaaa

428021404

5,02,02,01,01 34323133

3

aaaa

aaaa

4,28,02,14,04 43424144 aaaa

Considerações finais – Gauss Seidelç

Tanto o Critério de Sassenfeld quanto o Critério das Li h di fi i éLinhas são condições suficientes, porém não necessárias, para a convergência do método de Gauss Seidel para um dado sistema linearGauss-Seidel para um dado sistema linear

Um dado sistema pode não satisfazer estes critérios e Um dado sistema pode não satisfazer estes critérios e ainda convergir

Um sistema pode não satisfazer o Critério das Linhas, porém sua convergência será garantida se satisfizer o Critério de Sassenfeld

Considerações finais – Gauss Seidelç

Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld

Exemplo: Seja o sistema linear abaixo:

182623 10

21

21

xxxx

O Critério das Linhas não é satisfeito, visto que: 21

Todavia o Critério de Sassenfeld é satisfeito, uma vez que:

62 2122 aa

3,01,06211,01

101

21 e

Convergência garantida!

210

Considerações finais – MétodosDiretos/Iterativos Métodos Diretos

Processos finitos Teoricamente obtêm a solução de qualquer sistema não

singular ( det(A) ≠ 0 ) Podem sofrer com problemas de arredondamento

Solução: Técnicas de Pivoteamento

Métodos Iterativos Métodos Iterativos Convergem para a solução do sistema linear somente

sob certas condiçõessob certas condições Sofrem menos com problemas de arredondamento Convergência independe do valor de x(0) Convergência independe do valor de x

Somente erros cometidos na última iteração afetam a solução

Exercício

Verifique se o sistema abaixo atende ao Critério das Li h / C i é i d S f ld D i l lLinhas e/ou Critério de Sassenfeld. Depois, calcule as 3 primeiras iterações do método de Gauss - Siedel :

38657924 321

xxxxxx

51523865

321

321

xxxxxx

Utilize como chute inicial: Tx 321 )0(

Sol.

75,15,7

)1(x

266,0026,1

)2(x

01,1292,2

)3(x

0,067

3,0

315,0

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