UNIDADE VI – O PLANO EM R3 1

UNIDADE V - O PLANO

1.1. EQU A Ç Ã O GE R A L D O P L A N O

Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano e

)0,0,0( , nkcjbian um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano pode ser

definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor

AP é ortogonal a n . O ponto P pertence a se, e somente se : 0.APn

Tendo em vista que:

0),,).(,,(: ),,,( ),,( 111111 zzyyxxcbaficaequaçãoazzyyxxAPecban

ou: 0)()()( 111 zzcyybxxa

ou, ainda: 0111 czbyaxczbyax

Fazendo: :,111 vemdczbyax 0dczbyax . Esta é a equação

geral ou cartesiana do plano .

Observações: a) Da forma com que definimos o plano , vimos que ele fica

perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal

cbacomacban ,, , ),,( não simultaneamente nulos. Qualquer vetor

,0, knk é também vetor normal ao plano.

b) Sendo n um vetor ortogonal ao plano , ele será ortogonal a

qualquer vetor representado no plano. Em particular, se 21 vev são vetores não

colineares, e paralelos ao plano, em virtude de n ser ortogonal, ao mesmo tempo, a

21 vev , tem-se: 21 vxvn .

A B

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 2

c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação

geral 0dczbyax representam as componentes de um vetor normal ao plano.

Por exemplo, se um plano é dado por: ,05423: zyx um de seus vetores

normais é: ).4,2,3(n Este mesmo vetor n é também normal a qualquer plano

paralelo a .

Assim, todos os infinitos planos paralelos a têm equação geral do tipo:

,0423 dzyx na qual d é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor

de d está identificado quando se conhece um ponto do plano.

Exemplos: 1º) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto

A(2,-1,3), sendo )4,2,3(n um vetor normal a .

2º) Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto

A(3,1,-4) e é paralelo ao plano: .0632:1 zyx

3º) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB,

dados A(2,-1,4) e B(4,-3,-2).

4º) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2)

e é perpendicular à reta

tz

ty

tx

r 21

34

: .

1.2. DE T E R M I N A Ç Ã O D E U M P L A N O

Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele.

Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos

(ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir

apresentadas.

Assim, existe apenas um plano que:

1.) passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores 21 vev não colineares.

Neste caso: 21 vxvn .

2.) passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor v não colinear ao vetor AB .

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 3

Neste caso: ;ABxvn

3.) passa por três pontos A, B e C não em linha reta.

Neste caso: ACxABn

4.) contém duas retas r1 e r2 concorrentes.

Neste caso: 21 vxvn , sendo 21 vev vetores diretores de r1 e r2 ;

5.) contém duas retas r1 e r2 paralelas.

Neste caso: ,211 AAxvn sendo 1v um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 r1 e A2 r2.

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 4

6.) contém uma reta r e um ponto .rB

Neste caso: vdoABxvn sen, um vetor diretor de r e A r.

Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor

normal n sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no

plano. Estes dois vetores são chamados vetores-base do plano.

Exemplos: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto

)4,3,1(A e é paralelo aos vetores ).1,1,1( )2,1,3( 21 vev

2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos

)1,2,1( )1,1,0();1,1,2( CeBA .

3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta

)1,2,3( 3

4: Bpontooe

y

xr .

1.3. PL A N OS PA R A L E L OS A O S E I X OS E A OS PL A N OS CO OR D E N A D OS

Casos Particulares

A equação 0dczbyax na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um

plano ),,( sen, anormalvetorumcbando . Quando uma ou duas das componentes

de n são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares.

1 .3 .1. Plano que passa pe la origem

Se o plano 0dczbyax passa pela origem: 0 ,00.0.0. déistodcba

Assim a equação: 0czbyax representa a equação de um plano que passa pela

origem.

1.3.2. Planos Para le los aos Eixos Coordenados

Se apenas uma das componentes do vetor ),,( cban é nula, o vetor é ortogonal a

um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano é paralelo ao mesmo eixo:

I) se xxcbna 0//0),,0(,0 e a equação geral dos planos paralelos ao eixo

0x é: .0dczby

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 5

A figura mostra o plano de equação: .0632 zy

Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2),

respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor

normal ao plano é ),3,2,0(n pois a equação de pode ser escrita na forma:

.06320 zyx

Com raciocínio análogo, vamos concluir que:

II) os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: ;0dczax

III) os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: .0dbyax

Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na

equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável.

As figuras seguintes mostram os planos ,042: 03: 21 yxezx

Observações: a) A equação 042yx , como vimos, representa no espaço 3

um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 2 , representa uma reta.

b) Se na equação 0 ,0 0 byaxequaçãoadfizemosdbyax

representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 6

1.3.3. Planos Para le los aos Planos Coordenados

Se duas das componentes do vetor normal ),,( cban são nulas, n é colinear a um

dos vetores )1,0,0( )0,1,0( )0,0,1( koujoui ,e, portanto, o plano é paralelo ao

plano dos outros dois vetores:

I) se yxkcccnba 0//)1,0,0(),0,0(,0 e a equação geral dos planos

paralelos ao plano x0y é: . :,0 ,0c

dzvemccomodcz

Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y.

A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 0400 zyx na

qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e )1,0,0(k é

um vetor normal ao plano.

Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) tem

por equação: z = z1.

Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e é paralelo ao plano x0y tem

por equação: z = -3.

Com raciocínio análogo, vamos concluir que:

II) os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k;

III) os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k.

As figuras abaixo mostram os planos 2: ; 3: 21 xy respectivamente

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 7

Exemplos: 1º) Determinar a equação cartesiana do plano que contém o ponto

A(2,2,-1) e a reta 3

4:

y

xr .

2º) Determinar a equação geral do plano que passa por A(2,3,4) e é

paralelo aos vetores kjvekjv 21 .

1.4. ÂN GU L O E N T R E D OI S P L A N OS

Sejam os planos

0dzcybxa

e

0dzcybxa

22222

11111

:

:

Então, 1111 cban ,, e 2222 cban ,, são vetores normais a 1 e 2 ,

respectivamente (figura abaixo)

Chama-se ângulo de dois planos 1 e 2 o menor ângulo que um vetor normal

de 1 forma com um vetor normal de 2 . Sendo este ângulo, tem-se:

2

22

22

22

12

12

1

212121

cbacba

ccbbaacos

Exemplo: Determinar o ângulo entre os planos:

04z5y2x3

e

08z5y3x2

2

1

:

:

R: 48º51’

1.5. PO SI Ç ÕE S D E PA R A L E L I SM O E PE R P E N D I C U L A R I SM O D E D OI S

P L A N OS

Sejam os planos

0dzcybxa

e

0dzcybxa

22222

11111

:

:

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 8

Então, 11111 cban ,, e 22222 cban ,,

As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são as

mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é:

I) Se 2

1

2

1

2

12121

c

c

b

b

a

ann //,//

Obs.:

a) Se além das igualdades anteriores se tiver também

2

1

2

1

2

1

2

1

d

d

c

c

b

b

a

a

os planos 1 e 2 serão coincidentes porque, nesse caso, a equação de 2 é obtida de

1 mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de 1 .

b) Em particular, se 21212121 ddeccbbaa ,, , os planos 1 e 2 também

são paralelos.

II) Se 0ccbbaann 2121212121 ,

Exemplos:

1) Calcular os valores de m e n para que o plano 03212:1 nzyxm seja

paralelo ao plano 044:2 zyx .

2) Calcular os valores de m e n para que o plano 03212:1 nzyxm seja

perpendicular ao plano 044:2 zyx .

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 9

1.6. POSIÇÕES DE PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

Para a reta r e o plano anteriores, temos:

I. Se nvr ,//

O paralelismo de r e implica a

ortogonalidade dos vetores nev

II. Se nvr //,/

O perpendicularismo de r e implica o

paralelismo dos vetores nev .

Exemplo: Verificar se a reta 12

1

3

2:

zyxr é perpendicular ao plano

05369: zyx .

1.7. C ON D I Ç ÕE S P A R A QU E U M A R E T A E S T E JA C ON T I D A N U M P L A N O

Uma reta r esta contida num plano se:

I. O vetor diretor v de r é ortogonal ao vetor n , normal ao plano ;

II. Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano.

Obs.: uma reta r está também contida num plano se dois pontos A e B

pertencentes a r pertencem a esse plano.

Exemplo 1: Verificar se a reta

tz

ty

tx

r

23

1

2

:

está contida no plano 0123: zyx .

Solução: (a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r, verificaremos se A :

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 10

00

01616

013.212.3

0123 zyx

Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano .

Mas só essa condição não é suficiente para garantir que r .

(b) Verificar se o 2,1,1rv é ortogonal a 2,1,3n (vetor normal ao

plano ).

04132,1,32,1,1 nvr . Logo, rv é ortogonal a n ;

Conclusão: Como rA e A , e rv é ortogonal a n , então podemos afirmar que

a reta r pertence ao plano .

Exemplo 2: Determinar os valores de m e n para que a reta

tz

ty

tx

r

23

1

2

:

Esteja contida no plano 012: znymx .

1.8. IN T E R SE C Ç Ã O D E D OI S PL A N OS

A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será

determinar a equação que define esta reta.

Sejam 1 e 2 planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de 1 e

2 resolveremos o sistema composto por suas equações.

Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos

0725:1 zyx e 0433:2 zyx .

Solução: Montamos o seguinte sistema:

0433

0725

zyx

zyx

O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z

que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando

entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos.

Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de

intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de

uma 3ª variável, que chamamos de variável livre.

Como fazer então:

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 11

ambos. de somaa efetuamos seguidaem e 1- por

equações das uma ndomultiplicaz variável a oseliminaremzyx

zyx

0433

0725

y) caso (no variáveis das uma isolamosyx

zyx

zyx

032

0433

0725

32xy

Agora substituímos 32xy na primeira ou na segunda equação do primeiro

sistema.

Substituindo 32xy na equação 0725 zyx , teremos:

07645

073225

zxx

zxx

Agora isolando z, teremos:

139xz

As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos 1 e 2 serão:

139

32:

xz

xyr

1.9. IN T E R SE Ç Ã O D E R E T A E P L A N O

A intersecção entre uma reta r e um plano é um ponto, que chamaremos de I.

Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas

equações REDUZIDAS da reta r e pela equação do plano .

Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta 3

4

2

3:

zyxr com o

plano 09253: zyx .

1º passo: obter as equações reduzidas da reta r.

Neste exemplo faremos y e z em função de x.

32

2

3

xy

xy

e

43

3

4

xz

xz

Logo as equações reduzidas de r são:

43

32:

xz

xyr

Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e , então suas coordenadas devem verificar as

equações do sistema formado pelas equações de r e de :

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 12

09253

43

32

zyx

xz

xy

Resolve-se este sistema substituindo 32xy e 43xz na equação

09253 zyx .

0147

098615103

0943.232.5.3

x

xxx

xxx

2x

Para 2x 32.2y e 42.3z

1y 10z

Logo I (-2, -1, -10)

1.9.1. Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados

(a) Seja o plano 0632: zyx

Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer

na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim

obter as interseções com os eixos. Assim:

I) Se y = z = 0, 3062 xx e 0,0,31A é a interseção do plano com o

eixo dos x.

II) Se x = z = 0, 2063 yy e 0,2,01A é a interseção do plano com o

eixo dos y.

III) Se x = y = 0, 606 zz e 6,0,01A é a interseção do plano com o eixo

dos z.

(b) Como as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 e z = 0, basta fazer, na

equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas

z

y

x

0,2,02A

6,0,03A

0,0,31A

UNIDADE VI – O PLANO EM R3 13

outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados.

Então:

I) Se 063,0 zyx , a reta 63

0:1

yz

xr é a interseção de com o plano

yOz.

II) Se 062,0 zxy , a reta 62

0:1

xz

yr é a interseção de com o

plano xOz.

III) Se 0632,0 yxz , a reta 2

3

20

:1 xy

zr é a interseção de com o

plano xOy.