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D E L I N E A M E N T O S C O M P O S T O S C E N T R A I S O R T O G O N A I S ,

R O T A C I O N A I S E D I V I S Í V E I S E M B L O C O S (

1

)

ARMANDO CONAGIN,

Divisão de Plantas Alimentícias Básicas, Instituto Agronôm ico

(

1

)

Trabalho apresentado

na 10.

a

Conferência Internacional

de

Biometria Guarujá

(SP), em

agosto de 1979. Recebido para publicação a 25 de junho de 1980.

RESUMO

Na família dos delineamentos compostos centrais, os compostos centrais ortogonais

são mais eficientes que os outros e a estimação dos coeficientes do modelo é facilmente

obtida. Dentro da família dos delineamentos compostos centrais ortogonais, os compostos

centrais ortogonais rotacionais apresentam algumas vantagens adicionais, principalmente

uma uniformidade de variâncias para os pontos que se encontram à mesma distância

do centro do delineamento. A obtenção das propriedades ortogonalidade, rotacionalidade

e partição em blocos torna o delineamento mais eficiente e aplicável naqueles casos

em que possam existir gradientes como o de fertilidade, no caso da experimentação de

campo. A partição em dois, três ou cinco blocos é, então, altamente desejável. Delinea

mentos com essas três características foram conseguidos para determinadas combinações

de valores, sendo os resultados mais interessantes apresentados no quadro 1 para

k = 2, 3, 4, 5, 6 e 7; os resultados que ap resen tam um asterisco repres entam delinea

mentos ortogonais, quase rotacionais e subdivisíveis em blocos, de forma quase perfeita

mente ortogonal (as covariancias entre os coeficientes quadráticos puros e os coeficientes

de blocos são quase nulas); para fins práticos, esses delineamentos poderiam ser tratadoscomo se fossem ortogonalmente subdivididos em blocos. As soluções obtidas implicam

a exigência de ser alocado certo número de pontos centrais; esses pontos, por sua vez,

possibilitam uma estimativa precisa do erro e o teste de adequação do modelo.

1.

INTRODUÇÃO

Os delineamentos compostos

centrais têm sido bastante utilizados

em pesquisas conduzidas em tecno

logia industrial, biologia, agronomia,

medicina, química etc.

Delineamentos compostos cen

trais ortogonais têm-se constituído em

um competidor dos fatoriais e dos

fatoriais fracionados, em pesquisas

recentes. Esses delineamentos são

bastante flexíveis, possibilitando ao

pesquisador, para um número deter-

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minado de fatores, escolher entre vá

rias alternativas, a que mais lhe con

vém: dependendo do valor de

a

esco

lhido é possível obter-se ortogonali-

dade, rotacionalidade ou ambas. A

ortogonalidade propicia a estimação

independente para os coeficientes do

modelo e a rotacionalidade propor

ciona variâncias idênticas para pon

tos situados à mesma distância do

centro, em qualquer direção. Depen

dendo do número de pontos centrais

e feita uma distribuição conveniente,

é possível dividir o delineamento em

dois, três ou mais blocos, ortogonal-

mente, sem perder as características

atrás mencionadas.

Box, c i tado por NALIMOV

et alii (8), mostrou que é possível

construir delineamentos que sejam,

ao mesmo tempo, ortogonais e rota-

cionais. Contudo, segundo o autor

citado, é impossível manter as duas

propriedades, simultaneamente, para

delineamentos de segunda e terceira

ordem.

O presente t rabalho procurou.

não obstante, determinar soluções

que possibilitassem a obtenção de

delineamentos que fossem, simulta

neamente, ortogonais, rotacionais e

subdivisíveis em blocos. Em alguns

casos, obtiveram-se soluções exatas;

em outros, as soluções foram apro

ximadas, pois conseguiram-se deli

neamentos compostos centrais orto

gonais quase rotacionais e divisíveis

em blocos, de forma praticamente

ortogonal.

Esses delineamentos são aplicá

veis sobretudo para aqueles casos em

que só uma parte das observações

pode ser experimentada de cada vez

(um bloco por vez, como acontece

em certos experimentos industriais)

ou nos casos, como na agricultura,

em que todo o experimento tem que

ser executado ao mesmo tempo, mas

se sabe que existem diferenças de

ferti l idade, havendo vantagem na

alocação dos tratamentos em blocos;

ainda, em outras árteas, como na

experimentação animal, em que os

blocos poderiam ser lotes diferentes,

raças etc.

2 .

M A T E R I A L E M É T O D O

2.1 General idades

O del ineamento composto cen

tral consta de uma parte fatorial , uma

parte axial e pontos centrais (1).

No caso de três fatores, por

exemplo, o composto central com

pleto com o menor número possível

de pontos, consta de uma parte fato

rial (2

:í

= 8 tratam ento s nos níveis

l

e + 1 , para cad a fator), seis pon

tos na parte axial (nos níveis ~a e

+« para um dos eixos e no nível zero

para os outros dois fatores) e, ainda,

um ponto na parte central do deli

neamento ( t ratamento 000), abran

gendo 2

3

+ 2(3) + 1 = 15 pontos.

Quando o número de fatores k

cresce (k — 4, 5, 6, 7 etc), para

não crescer demasiadam ente o

número total N de pontos, usa-se

apen as um a pa rte (fração) da parte

fatorial, ou seja 2

k

~

f

pontos (se se

utilizar a fração 1/4 do fatorial com

pleto, então, f — 2), além da parte

axial e dos pontos centrais.

Esse tipo de delineamento foi

desenvolvido por BOX & HUN

TER (1) , BOX & WILSON (2) e ou

tros,

visando inicialmente a sua util i

zação em pesquisas da indústria, na

química etc, onde, normalmente, os

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erros experimentais são muito pequenos, o processo é normalmente repe-

tível no espaço e no tempo, podendo as determinações ser feitas seqüencialmente.

A técnica de partição desses delineamentos, em blocos (dois, três ou mais),

possibilitou seu uso na Agricultura e em outras áreas da ciência.

O modelo de segundo grau, para k fatores, levando em consideração a

existência de interações, é o que se segue:

No caso, a matriz X das observações (esquem atizadas) pa ra k = 2 é a

que se segue:

A extensão pa ra k = 3, 4, . . . etc. é imediata.

A matriz A

~

X 'X para k = 2, torna-se então:

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A extensão para k = 3, 4, . . . é imediata.

N o caso, N é o número tota l de pontos do del ineamento, F é o número

de pontos da parte fatorial , 2k o número de pontos da parte axial, n o número

de pontos centrais, sendo a

0

os pon tos centrais da parte axial, b

0

os pontos

centrais da parte fatorial e f o grau de fracionamento do fatorial.

B O X & HUNTER (1) e BOX & WILSON (2) desenvolveram as condições

para a obtenção seja dos compostos centrais, seja dos compostos centrais orto-

gonais, dos compostos centrais rotacionais, e, ainda, as condições necessárias

para se conseguir a partição ortogonal, em blocos, do delineamento.

Fazend o-se q = 0, as covariâncias entre os coeficientes quad ráticos puros

ficam eliminadas e o delineamento torna-se

ortogonal

(a matriz X'X passa

a ser diagonal). A resolução de q

=

0 (7) leva-nos a obter a equação

«4 + F '«2 _ (N — F) F / 4 — 0.

A condição de

roíacionalidade

implica em que se obten ha F + 2a

2

— 3 F

ou a = (F )% (2, 7) .

Para se obter a

partição ortogonal em blocos

é necessário que cada bloco

se constitua em um delineamento de primeira ordem, ortogonal, e, ainda,

que a contribuição de cada bloco, para o total da soma de quadrados do

delineamento, seja proporcional ao número de unidades existentes dentro de

cada bloco (2, 7).

Deve-se ter, por isso, que 2a

2

-^ (F + 2a

2

) = ( 2k +a

0

) -^ N = rio -f- N .

Nessa fórmula, a

0

representa o número de pontos centrais na parte axial, devendo

os restantes bo = n— a

0

pontos centrais ficar igualmente distribuídos nos outros

blocos da parte fatorial.

O modelo completo deve incluir, por isso, os termos correspondentes a

blocos, o mesm o acontecendo à ma triz X. O mo delo (A) passa a ser:

A maneira de bem util izar esses delineamentos, alocar os tratamentos,

escolher os níveis, proceder aos cálculos e à análise dos resultados experimentais,

para os vários t ipos de delineamentos compostos centrais, é encontrada em

alguns l ivros de texto, tais como COCHRAN & COX (3) , DAVIES (4) e

MYERS (7) .

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BOX & HUNTER (1 ) e BOX

& WILSON (2) procuraram desen

volver delineamentos do tipo com

posto central que fossem ortogonais

e rotacionais, que fossem ortogonais

e subdivisíveis em blocos e rotacio

nais subdivisíveis em blocos, conci

liando as condições de ortogonali-

dade com rotacionalidade, ortogona-

lidade com partição em blocos e

rotacionalidade com partição em blo

cos.

MYERS (7) apresenta, para k

variando de dois a oito, quadro com

valores de

a

que tornam o composto

central ortogonal, quadro com os

valores de

a

que tornam o composto

central rotacional, quadro com os

delineamentos que são ao mesmo

tempo compostos centrais ortogonais

e rotacionais e ainda quadro com os

delineamentos rotacionais ou quase

rotacionais e ortogonalmente subdi

visíveis em blocos.

2 . 2 Obtenção de delineamentos

compostos centrais ortogonais

e simultaneamente rotacionais

ou quase perfeitamente rota-

cionais divisíveis em blocos ou

divisíveis de forma quase com-

pletamente ortogonal em blocos

Para conseguir delineamentos

desse últ imo t ipo, o autor procurou

impor as três condições apontadas,

através do processo descrito a seguir.

Inicia-se pela busca do valor de

que leva à rotacionalidade. Deter

minado a, busca-se o valor que leva

à partição em blocos, calculando-se

(2 «

2

) - ^ ( F + 2 a

2

) = n

0

-h

N = 2 .

O valor n

0

= N 2 é s ub stitu íd o n a

equação

n

p

2

q = 4(N -2n

0

)a

4

- 4 F n

0

a

2

+

+ Fng = 0 (C)

que concilia as condições de ortogo-

nalidade com a part ição ortogonal em

blocos. Determina-se o valor de N

que torna q — 0. Se N for exato,

segue-se o processo inverso, chegan-

do-se a n

0

,

a

e à solução desejada.

Há casos, porém, em que o N

obtido é um número não inteiro e

n

0

= 2 N tam bém não o é. Nesse

caso, tomam-se como solução núme

ros inteiros, próximos ao N e ao n

0

obtidos, substituindo-os em (C); daí,

recalcula-se o vaíor

que constitui

a estimativa procurada; escolhe-se o

par de valores n

0

e N que propor

ciona a melhor solução visando à

quase perfeita partição em blocos e

à quase completa rotacionalidade.

Os valores obtidos pa ra k =

2 ,

3, 4, 5, 6 e 7 representando solu

ções ótimas ond e F é um fatorial

completo ou parte do mesmo, encon

tram-se no quadro 1: os valores apre

sentados com um asterisco são solu

ções quase ótimas em relação à rota

cionalidade e partição quase perfei

tamente ortogonal, em blocos.

Segundo LUCAS (6) , na compa

ração de vários delineamentos, pelo

critério do | X 'X | má xim o, a D-efi-

ciência dos delineamentos compostos

centrais decresce à medida que cres

ce o número de fa tores k . Para n ^ 3 ,

o aumento de pontos centrais diminui

um pouco a eficiência média geral.

Não obstante, segundo aquele autor,

os pontos centrais continuam a ser

usados, na prática, e muitas vezes

são repetidos mais pesadamente que

outros pontos do delineamento, pelas

seguintes razoes:

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a) Embora | X'X seja um

critério geral bom, outras considera

ções,

como a de se obter uma esti

mativa do erro, por exemplo, são

muito importantes.

b) O pesquisador sabe, a prion

que o ponto central do delineamento

está próximo da área mais impor

tante das decisões (ponto extremo,

ponto de maior rentabilidade econô

mica no caso de ensaios de fertili

zantes etc).

c) A adição de pontos centrais

a um delineamento composto central

aumenta a informação obtida na re

gião, apesar de que pode diminuir a

informação por ponto experimental.

No caso dos delineamentos com

fracionamento da parte fatorial, em

metade ou quarta parte, deve-se

escolher a interação ou interações

que proporcionam o melhor con-

fundimento, como recomendam DA-

VIES (4) e HARTLEY (5).

3 . CONCLUSÕES

Esses delineamentos poderão ser

utilizados com sucesso em experi

mentos como os de adubação, no

estudo de N, P e K, por exemplo

(k = 3), em que se deseja dispor de

cinco níveis para cada fator, utilizan

do um número moderado N de pon

tos; convém acentuar que a ortogo-

nalidade, a rotacionalidade e a par

tição em blocos são propriedades

altamente desejáveis (7); ainda, por

apresentarem vários pontos centrais,

o teste de adequação do modelo pode

ser feito, e com precisão razoável.

No caso de experimentos de

adubação, deve-se calibrar bem a

amplitude das doses escolhidas de

forma a que as decisões econômicas

ótimas possam estar situadas no inter

valo zero a um das doses, mais pró

ximas de zero do que de um.

ORTHOGONAL, ROTATABLE AND BLOCKED CENTRAL COM POSITE DESIGN S

SUMMARY

I n t he f am i l y o f cen t r a l com pos i t e des i gns , t he o r t hogona l cen t r a l com pos i t e i s

more efficient than the others, and the estimation of the coefficients is easily obtained.

Inside the family of orthogonal central composite designs the rotatable orthogonal

central composite have some additional advantages, regarding uniformity of variances

of the points at the same distance from the center of the design.

Putting together the conditions for rotatability, orthogonality and blocking, through

the choice of an adequate number of points, designs are obtained that satisiy the

three specifications and that may be divided in 2, 3 or 5 blocks. Some of them represent

designs with orthogonality, near rotatability and very near orthogonal blocking (the

covariances between the pure quadratic and the block coefficients are so small that,

for practical purposes, the design can be analysed as if it was orthogonally blocked).

In fertilizer experiments, orthogonality, rotatability and blocking are very impor

tant; the solutions presented may be useful for research workers interested in central

composite designs with the characteristics pointed out and that are blockable. They

present also the possibility of obtaining a precise estimate of the error and the test

of adequacy of the model.

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R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S

1.

B O X , G . E . P . & H U N T E R , J . S . M u l t i f a c t o r e x p e r i m e n t a l d e s i g n s f or e x p l o r i n g

r e s p o n s e s u r f a c e s . A n n a l s o f M a t h e m a t i c a l S t a t i s t i c s ,

28

:195-241, 1957.

2 .

& W I L S O N , K . B . O n t h e e x p e r i m e n t a l a t t a i n m e n t o f o p t i m u m c o n d i ti o n s .

J o u r n a l o f t h e R o y a l S t a t i s t i c a l S o c i e t y B ,

1 3

:1-45, 1951.

3 . CO CH RA N, W . G. & CO X, G. M. Ex p e r im en ta l d es ig n s . 2 . ed . New Yo rk , J o h n

Wiley, 1964. 611p.

4 .

D A V I E S , O . L . D e s i g n a n d a n a l y s i s o f i n d u s t r i a l e x p e r i m e n t s . N e w Y o r k , H a f n e r

Pu bl i s h in g Co m pa ny , 1954. 637p .

5 .

H A R T L E Y , H . O . S m a l l e s t c o m p o s i te d e s i g n s f or q u a d r a t i c r e s p o n s e s u r f a c e s .

B i o m e t r i c s ,

15

:611-624, 1959.

6 . L U C A S , J . M . O p t i m u m c o m p o s i t e d e s i g n s . T e c h n o m e t r i c s , 16 :561-567, 1974.

7 .

M Y ER S, R . H . Resp o n se su r f ace m eth o d o lo g y . Bo s to n , Al ly n an d Baco n , 19 71 . 2 4 3p .

8 . N A L I M O V , V . V . ; G O L I K O V A , T . I . ; M I R E S H I N A , N . G . O n p r a c t i c a l u s e of t h e

c o n c e p t o f D - o p t i m a l i t y . T e c h n o m e t r i c s ,

12

:799-812, 1970.

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